Площади фигур — задачи.
Кто подзабыл формулы – тому сюда. Еще очень удобно открыть статью с формулами в соседнем окне, чтобы они были перед глазами.
1. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 14 и 12, а угол между ними равен 30°.
По формуле площади параллелограмма через длины его сторон и синус угла между ними:
2. Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на .
Для того, чтобы найти площадь, необходимо знать сторону. Нам дан периметр, и, поскольку все стороны равны, найдем длину стороны:
Однако, формулу площади равностороннего треугольника не все помнят. Как же решить эту задачу без формулы? Проведем высоту треугольника из вершины к основанию. Так как треугольник равносторонний, то высота его будет и медианой, и разделит основание пополам:
Имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 5. По теореме Пифагора находим высоту:
Теперь по общеизвестной формуле площади треугольника находим: . В ответ записываем результат, разделенный на .
Ответ: 25.
3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на .
Можем найти высоту треугольника и основание, воспользовавшись определением косинуса и синуса, и затем площадь. Также нам известны две боковые стороны и угол между ними, поэтому можем воспользоваться формулой . Решим задачу обоими способами: ,
, здесь b – половина основания.
Находим площадь:
.Теперь вторым способом:
Ответ:
4. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.
Второй способ из предыдущей задачи – единственный для этой задачи:
Ответ: 75.
5. В прямоугольнике одна сторона равна 6, а диагональ равна 10. Найдите площадь прямоугольника.
Для того, чтобы найти площадь, нужна вторая сторона. Ее можно найти по теореме Пифагора:
Найдем площадь:
Ответ: 48.
6. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.
Как известно, диагонали ромба перпендикулярны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольник АВС прямоугольный, его гипотенуза 5, один из катетов 3. Второй катет можем найти по теореме Пифагора: . Значит, диагонали ромба – 6 и 8, а зная их, найдем площадь:
Ответ: 24.
7. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Здесь воспользуемся формулой для отыскания площади параллелограмма по двум сторонам и синусу угла между ними: . Но у нас имеется косинус, а не синус. Найдем синус из основного тригонометрического тождества:
.
Все стороны ромба равны, найдем их, зная периметр:
Площадь ромба:
Ответ: 12.
8. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь треугольника, деленную на .
В этой задаче нас хотят запутать, задав в условии основание треугольника. На самом деле совершенно неважно, каково его основание, так как треугольник равнобедренный, и нам известны боковые стороны и угол между ними, значит, можем воспользоваться формулой площади по двум сторонам и углу между ними:
Делим результат на и записываем ответ:
Ответ: 25
9. В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны . Найдите площадь прямоугольника, деленную на .
Найдем вторую сторону четырехугольника, чтобы потом определить площадь. Воспользуемся определением синуса, так как ищем мы противолежащий катет:
Площадь равна:
Есть другой путь решения этой задачи, если сообразить, что угол между диагоналями равен . Тогда площадь можем отыскать так:
Делим нашу найденную площадь на
, и записываем ответ: 25.10. Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна .Найдите площадь круга. В ответ запишите площадь, деленную на .
Если дан радиус круга, то мы без проблем определим его площадь и без знания длины окружности, верно?
.
Делим результат на , получаем 9 и записываем это число в ответ.
11. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен . Найдите площадь трапеции, если её основания равны 6 и 9.
Найдем высоту трапеции. Катет, лежащий против угла в , вдвое меньше гипотенузы, поэтому высота равна 2,5.
Определяем площадь:
Ответ: 18,75
12. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 92, а отношение соседних сторон равно 3:20.
Полупериметр прямоугольника равен 46. Полупериметр – это сумма длинной и короткой сторон. Их отношение равно 3:20, то есть три части и двадцать частей. Тогда одна часть: . Тогда длинная сторона – 40 (), а короткая – 6. Площадь прямоугольника
Ответ: 240.
13. Периметр равнобедренного треугольника равен 392, а основание – 192. Найдите площадь треугольника.
Тут годится единственная формула – это формула Герона: . Раз треугольник равнобедренный, значит, можно их найти: . p – половина периметра: .
Считаем площадь: .
Ответ: 2688.
easy-physic.ru
Урок-практикум «Решение задач по теме ПЛОЩАДИ ПРОСТЫХ ФИГУР»
УРОК- ПРАКТИКУМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ПЛОЩАДИ ПРОСТЫХ ФИГУР».
Геометрия, 9 класс (по учебнику Погорелова А.В.)
« Геометрия полна приключений,
потому что за каждой задачей скрывается
приключение мысли.
Решить задачу –
это значит пережить приключение»
(В. Произволов)
Цель: способствовать
— обобщению, систематизации и расширению знаний о площадях фигур на плоскости;
— повторению и закреплению формул посредством решения задач;
— развитию познавательного интереса, воображения, самостоятельности и работоспособности ребят.
Оборудование: геометрические фигуры из бумаги, карточки с тестовыми заданиями, учебник.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Структура урока:
1) Организационный момент.
2) Актуализация опорных знаний
3) Математический диктант
4) Решение задач по готовым чертежам с записью решения на доске и в тетрадях
5) Решение задач из ГИА
6) Решение тестовых заданий
7) Формула ПИКА
8)Итог урока
9) Домашнее задание
Ход урока
1) Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока. « Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение» (В. Произволов)
2) Актуализация опорных знаний
1. Ответить на вопросы:
— какая фигура называется простой?
— сформулируйте свойства площади для простых фигур
— как относятся площади простых фигур?
2. По какой формуле можно рассчитать площадь треугольника? параллелограмма? ромба? прямоугольника? квадрата?
1) S = ab 2) S = ah 3) S = 1/2ab 4) S = 1/2 d1d2 5) S = a2
3.Площади каких фигур можно вычислить, используя следующие формулы?
1) S = 1/2(a + b) h 2) S = ab sin α 3) S = 1/2 d2 4) S = √ p(p – a)(p – b)(p – c)
5) S = 1/2 d1d2 sin α
3) Математический диктант
Согласны ли вы с данным утверждением? Поставьте соответствующие символы
Да — О, нет — ∆
1. Фигуры называются равновеликими, если у них равные площади.
2. Площадь трапеции равна полусумме длин оснований.
3. Площадь треугольника равна произведению двух любых сторон на синус угла между ними
4. Площадь круга находится по формуле 2 π R.
5. Круг не является простой фигурой.
Ответы: О∆∆∆О
Отметка: «5» — все верно, «4» — 1 неверно, «3» — 2 неверно, более двух неверных ответов – повтори теорию
4) Решение задач по готовым чертежам с записью решения на доске и в тетрадях
5) Решение задач из ОГЭ
№1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 2√3 и 5, а один из углов равен 1200.
Решение: S = absinα, 2. √3 . 5 . √3/2 = 15, Ответ: 15.
№2. Площадь прямоугольного треугольника равна 96, а один из катетов равен 16. Найдите гипотенузу данного треугольника.
Решение: S = ½ ab, b = 2S/a, b = 2 . 96/16 = 12, с = √256 + 144 = 20 Ответ: 20.
№3. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба. Решение:Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем ½ диагонали √ (25-9)=4. Тогда вся диагональ равна 8. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: ½*8*6=24
Ответ: 24.
6) Решение тестовых заданий ( в группах)
Вариант 11. Площадь прямоугольника 20см2, одна из сторон – 5см. Найти другую сторону.
1) 15см 2) 4см 3) 5см 4) 100см
2. В параллелограмме одна из сторон 7см, высота, опущенная на нее 3см. Найти площадь.
1) 21см 2) 10см2 3) 21см2 4) 10,5см2
3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длиной 10см, равна 6см. Найти площадь.
1) 60см2 2) 30см2 3) 16см2 4) 8см2
5. Площадь квадрата 4 м2. Найти периметр квадрата.
1) 1 м 2) 8 м 3) 2 м 4) 16 м
Вариант 2
1. Площадь прямоугольника 40см2, одна из сторон – 10см. Найти другую сторону.
1) 4см 2) 2см 3) 30см 4) 200см
2. В параллелограмме одна из сторон 8см, высота, опущенная на нее 5см. Найти площадь.
1) 13см 2) 40см23) 40см 4) 26см2
3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длиной 9см, равна 4см. Найти площадь.
1) 35см2 2) 13см2 3) 18см2 4) 72см2
5. Площадь квадрата 16 м. Найти периметр квадрата.
1) 4 м 2) 64 м 3) 8 м 4) 16 м
Отметка: «5» — нет ошибок, «4» — 1 ошибка, «3» — 2 ошибки, более двух неверных ответов – выучи формулу, упражняйся в устном счете.
7. Формула Пика
8)Итог урока
1) На доске прикреплены цветные треугольники разных размеров. Ученики в группах находят площади и в порядке возрастания площадей составляют слово МЫШЛЕНИЕ
Геометрия, развивает зрительное восприятие и воображение, учит грамотно строить чертежи, помогает определить параметры всевозможных плоских и пространственных фигур, развивает пространственное
МЫШЛЕНИЕ
2) Выставление оценок.
3) Высказывания учащихся о том, что понравилось на уроке и чему они научились
4) На этом мы не заканчиваем изучение темы «Площади». В старших классах вы узнаете, как найти площади объемных фигур
9) Домашнее задание: Повторить материал, используя тематическую таблицу
Учитель математики Божко Марина Николаевна
infourok.ru
Определение площади сложной фигуры с помощью теории вероятностей / Habr
Зачем определять площадь сложной фигуры?
Да мало ли зачем. Например, возникла необходимость определить площадь территории на карте. Конечно, можно посмотреть в справочнике или поискать в интернете, но иногда и территории бывают нестандартными — допустим, вы озаботились проблемами лесов в пойме Амазонки и хотите ежемесячно измерять площадь зелёных пятен на фотографиях со спутника. Если вы ботаник (в хорошем смысле слова), то вам может понадобиться измерить площадь листовой поверхности разных сортов одного растения. Или, к примеру, более прозаичная задача — нужно зашпатлевать кусок стены, а банки шпатлёвки хватает только на 1 кв. м. — нужно выяснить, покупать одну банку или раскошелиться на две.
В чём сложность нахождения площади?
Теория вероятностей, Ваш выход!
Сразу оговорюсь, что теория вероятностей по своей сути не подразумевает точного решения задач. Так будет и в этом случае — если вам нужна космическая точность, то предлагаю копать в сторону методов имитационного моделирования. Если же погрешность в пределах 2-5% вас вполне устраивает, то будет достаточно того же калькулятора, базовых навыков программирования и умения считать до ста.
Суть метода
Суть метода проста до банальности. Допустим, мы пасмурным деньком выложили капустный листочек (см. ремарку про биолога выше) на прямоугольный поддон, а поддон выставили под накрапывающий дождик. А потом засекли определённое время (к примеру, пять минут) и посчитали, сколько капелек упало на поддон, а сколько непосредственно на лист. Если принять во внимание, что дождь обычно капает равномерно, то получается простая пропорция — лист во столько раз меньше поддона, во сколько раз на него упало меньше капель дождя, чем на весь поддон.
Возвращаемся к нашей фигуре
Итак, как же определить площадь той розовой пятерни? Да очень просто — заключить фигуру в прямоугольные границы и проставить случайным образом много точек. Чем больше, тем лучше (в соответствии с законом больших чисел). А потом подсчитать количество точек, попавших на фигуру.
Я намеренно не обсуждаю вопросы реализации такого алгоритма, потому что вариантов масса. Можно просто закрыть глаза и наугад тыкать шариковой ручкой, а можно действовать более научно — с помощью языков программирования. Например, код на PHP занял у меня не больше 15 строчек, а в результате получилось вот что:
Точки общим числом 300, разумеется, проставлены с помощью генератора случайных чисел. Для удобства подсчета точек я разбил изображение на 36 секторов — теперь нужно подсчитать количество точек, попавших на изображение, в каждом секторе, а результаты сложить. Сведём данные в таблицу (ячейка таблицы соответствует сектору на картинке):
0 | 4 | 8 | 4 | 0 | 0 |
0 | 7 | 5 | 6 | 0 | 4 |
3 | 6 | 13 | 7 | 8 | 5 |
1 | 10 | 10 | 13 | 7 | 2 |
0 | 2 | 3 | 7 | 10 | 2 |
0 | 0 | 2 | 5 | 3 | 0 |
Теперь у нас есть все данные для того, чтобы вычислить площадь розовой пятерни:
площадь описанного прямоугольника — 20 см х 20 см = 400 кв. см;
количество точек в прямоугольнике — 300;
количество точек внутри фигуры (сумма значений из таблицы) — 157;
площадь фигуры — 209,33 кв. см.
И насколько это точно?
Действительно, осталось определиться с точностью данного метода. Конечно, всё зависит от количества точек, и здесь нужно соблюдать золотую середину — десяти для нашего примера было бы явно недостаточно, а от тысячи слишком рябило бы в глазах. Поэтому попробуем определить погрешность для трёхсот точек и описанного квадрата со стороной 20 см. Для этого возьмём фигуру, площадь которой нам известна заранее. Например, такую:
Проставляем точки:
Результаты заносим в таблицу:
0 | 6 | 11 | 8 | 5 | 0 |
9 | 15 | 8 | 5 | 13 | 2 |
11 | 8 | 5 | 14 | 13 | 5 |
10 | 11 | 8 | 8 | 4 | 4 |
2 | 14 | 9 | 10 | 4 | 1 |
0 | 3 | 5 | 6 | 0 | 0 |
Рассчитываем площадь фигуры:
площадь описанного прямоугольника — 20 см х 20 см = 400 кв. см;
количество точек в прямоугольнике — 300;
количество точек внутри фигуры (сумма значений из таблицы) — 237;
площадь фигуры — 316 кв. см.
Нетрудно посчитать, что реальная площадь круга с радиусом 10 см составляет 314,16 кв. см. Таким образом, погрешность метода составила 0,59%, чего в большинстве случаев достаточно для прикладного использования.
habr.com
Презентация по геометрии «Площади геометрических фигур»
Слайд 1
ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Хворостюк Владислава 8Б классСлайд 2
Единичный квадрат Единичный квадрат — это квадрат со сторонами в одну единицу. Площадь единичного квадрата тоже равна единице.
Слайд 3
Расчет площади Площадь простейших геометрических фигур находят , сравнивая их с квадратом известной площади . Это удобно тем , что площадь квадрата легко вычислить . Также для вычисления площади , особенно многоугольника , фигуру делят на треугольники , вычисляют площадь каждого треугольника по формуле , а потом складывают . Площадь более сложных фигур вычисляют с помощью математического анализа
Слайд 4
Площадь квадрата Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. а
Слайд 5
Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (a, b) b а
Слайд 6
Площадь прямоугольного треугольника Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника : a c b
Слайд 7
Площадь прямоугольного треугольника Площадь прямоугольника равна произведению сторон ab . Катет треугольника c делит этот прямоугольник на две равные части . Отсюда площадь треугольника равна половине площади прямоугольника . a c d e b
Слайд 8
Площадь треугольника Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h) a h b c
Слайд 9
Площадь треугольника e h b c d a
Слайд 10
Площадь треугольника b c a Если известно две стороны треугольника и угол между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними β
Слайд 11
Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h) e h b a с
Слайд 12
Площадь трапеции e h b a с d
Слайд 13
Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h) h a с d b
Слайд 14
Площадь ромба Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей
Слайд 15
Площадь многоугольника Для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника его разбивают на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. А площадь правильного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности правильного многоугольника r n a
Слайд 16
Площадь круга При неограниченном увеличении сторон, форма многоугольника «стремится» к окружности. Исходя из формулы площади многоугольника можно вывести формулу площади круга: S = ⅟₂ Cr где С – длина окружности; r — радиус
Слайд 17
Высказывания великих… В огромном саду геометрии каждый найдет себе букет по вкусу. Давид Гильберт. Геометрия есть познание всего сущего. Платон. Всякая книга природы написана языком математики. Галилей.
Слайд 18
Спасибо за внимание!
nsportal.ru