Площади простых фигур – Формулы геометрии. Площади фигур. — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Площади фигур — задачи.

Кто подзабыл формулы – тому сюда. Еще очень удобно открыть статью с формулами в соседнем окне, чтобы они были перед глазами.

1. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если две его сто­ро­ны равны 14 и 12, а угол между ними равен 30°.

По формуле площади параллелограмма через длины его сторон и синус угла между ними: S=absin{alpha}=14*12*sin{30circ}=168*0,5=84

2. Пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 30. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на sqrt{3}.

Для того, чтобы найти площадь, необходимо знать сторону. Нам дан периметр, и, поскольку все стороны равны, найдем длину стороны:  a=P/3=30/3=10

. Теперь воспользуемся формулой площади равностороннего треугольника: S={a^2sqrt{3}}/4={10^2sqrt{3}}/4=25sqrt{3}. Разделим на sqrt{3} и запишем ответ: 25.

Однако, формулу площади равностороннего треугольника не все помнят. Как же решить эту задачу без  формулы?  Проведем высоту треугольника из вершины к основанию. Так как треугольник равносторонний, то высота его будет и медианой, и разделит основание пополам:

ploshadi23

Имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 5. По теореме Пифагора находим высоту: h=sqrt{10^2-5^2}=sqrt{75}=5sqrt{3}

Теперь по общеизвестной формуле площади треугольника находим:  S={ah}/2={10*5sqrt{3}}/2=25sqrt{3}. В ответ записываем результат, разделенный на   sqrt{3}.

Ответ: 25.

3. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 120°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на sqrt{3}.ploshadi25

Можем найти высоту треугольника и основание, воспользовавшись определением косинуса и синуса, и затем площадь. Также нам известны две боковые стороны и угол между ними, поэтому можем воспользоваться формулой S={absin{alpha}}/2. Решим задачу обоими способами: h=10sin{30circ}=5,

b=10cos{30circ}=5sqrt{3}, здесь b – половина основания.

Находим площадь:  S={ah}/2=5*5sqrt{3}=25sqrt{3}

.

Теперь вторым способом:

S={absin{alpha}}/2={10*10*sin{120circ}}/2=50*{sqrt{3}/2}=25sqrt{3}

Ответ: S=25sqrt{3}

4. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна 10sqrt{3}, а угол между ними равен 60°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Второй способ из предыдущей задачи – единственный для этой задачи:

S={absin{alpha}}/2={10*10sqrt{3}*sin{60circ}}/2=50*{3/2}=75

Ответ: 75.

5. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 6, а диа­го­наль равна 10. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Для того, чтобы найти площадь, нужна вторая сторона. Ее можно найти по теореме Пифагора:  h=sqrt{10^2-6^2}=sqrt{64}=8

Найдем площадь: S=ab=8*6=48

Ответ: 48.

6. Сто­ро­на ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Как известно, диагонали ромба перпендикулярны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольник АВС прямоугольный, его гипотенуза 5, один из катетов 3. Второй катет можем найти по теореме Пифагора: h=sqrt{5^2-3^2}=sqrt{16}=4. Значит, диагонали ромба – 6 и 8, а зная их, найдем площадь: S={d_1d_2}/2={8*6}/2=24

Ответ: 24.

7. Пе­ри­метр ромба равен 24, а ко­си­нус од­но­го из углов равен  {2sqrt{2}}/3. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Здесь воспользуемся формулой для отыскания площади параллелограмма по двум сторонам и синусу угла между ними: S=absin{alpha}. Но у нас имеется косинус, а не синус. Найдем синус из основного тригонометрического тождества:

sin{alpha}=sqrt{1- ({2/3}*sqrt{2})^2}=sqrt{1-{8/9}}=sqrt{1/9}=1/3sin{alpha}=sqrt{1- ({2/3}*sqrt{2})^2}=sqrt{1-{8/9}}=sqrt{1/9}=1/3.

Все стороны ромба равны, найдем их, зная периметр:  a=P/4=24/4=6

Площадь ромба: S=absin{alpha}=6*6*{1/3}=12

Ответ: 12.

8. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — {10sqrt{2-sqrt{2}}}, а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, де­лен­ную на  sqrt{2}.

В этой задаче нас хотят запутать, задав в условии основание треугольника. На самом деле совершенно неважно, каково его основание, так как треугольник равнобедренный, и нам известны боковые стороны и угол между ними, значит, можем воспользоваться формулой площади по двум сторонам и углу между ними:

S={absin{alpha}}/2={10*10*sin{45circ}}/2=50*{sqrt{2}/2}=25sqrt{2}

Делим результат на sqrt{2} и записываем ответ:

Ответ: 25

9. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны  5sqrt{3}. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, де­лен­ную на sqrt{3}.

ploshadi27Найдем вторую сторону четырехугольника, чтобы потом определить площадь. Воспользуемся определением синуса, так как ищем мы противолежащий катет:

sin{30circ}=a/10

a=10sin{30circ}=5

Площадь равна: S=ab={5*5sqrt{3}}=25sqrt{3}

Есть другой путь решения этой задачи, если сообразить, что угол между диагоналями равен 60circ. Тогда площадь можем отыскать так:  S={d_1d_2sin{varphi}}/2={10*10*sin{60circ}}/2=25sqrt{3}

Делим нашу найденную площадь на sqrt{3}

, и записываем ответ: 25.

10. Ра­ди­ус круга равен 3, а длина огра­ни­чи­ва­ю­щей его окруж­но­сти равна  6{pi}.Най­ди­те пло­щадь круга. В ответ за­пи­ши­те пло­щадь, де­лен­ную на pi.

Если дан радиус круга, то мы без проблем определим его площадь и без знания длины окружности, верно?

S={pi}r^2=9{pi}.

Делим результат на pisin{alpha}=sqrt{1- ({2/3}*sqrt{2})^2}=sqrt{1-{8/9}}=sqrt{1/9}=1/3, получаем 9 и записываем это число в ответ.

11. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30circ. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 6 и 9.

ploshadi28Найдем высоту трапеции. Катет, лежащий против угла в 30circ, вдвое меньше гипотенузы, поэтому высота равна 2,5.

Определяем площадь: S={{a+b}/2}h={{6+9}/2}2,5=7,5*2,5=18,75

Ответ: 18,75

12. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 92, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 3:20.

Полупериметр прямоугольника равен 46. Полупериметр – это сумма длинной и короткой сторон. Их отношение равно 3:20, то есть три части и двадцать частей. Тогда одна часть: 46/23=2. Тогда длинная сторона – 40 (20*2=40), а короткая – 6.  Площадь прямоугольника S=40*6=240

Ответ: 240.

13. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 392, а ос­но­ва­ние – 192. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Тут годится единственная формула – это формула Герона: S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. Раз треугольник равнобедренный, значит, можно их найти: a=b={P-c}/2={392-192}/2=100. p – половина периметра: p={P}/2={392}/2=196.

Считаем площадь:  S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{196(196-100)^2(196-192)}=sqrt{196*96^2*4}=sqrt{14^2*96^2*2^2}=14*96*2=2688.

Ответ: 2688.

 

 

easy-physic.ru

Урок-практикум «Решение задач по теме ПЛОЩАДИ ПРОСТЫХ ФИГУР»

УРОК- ПРАКТИКУМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ПЛОЩАДИ ПРОСТЫХ ФИГУР».

Геометрия, 9 класс (по учебнику Погорелова А.В.)

« Геометрия полна приключений,

потому что за каждой задачей скрывается

приключение мысли.

Решить задачу –

это значит пережить приключение»

(В. Произволов)

Цель: способствовать

— обобщению, систематизации и расширению знаний о площадях фигур на плоскости;

— повторению и закреплению формул посредством решения задач;

— развитию познавательного интереса, воображения, самостоятельности и работоспособности ребят.

Оборудование: геометрические фигуры из бумаги, карточки с тестовыми заданиями, учебник.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Структура урока:

1) Организационный момент.

2) Актуализация опорных знаний

3) Математический диктант

4) Решение задач по готовым чертежам с записью решения на доске и в тетрадях

5) Решение задач из ГИА

6) Решение тестовых заданий

7) Формула ПИКА

8)Итог урока

9) Домашнее задание

Ход урока

1) Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока. « Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение» (В. Произволов)

2) Актуализация опорных знаний

1. Ответить на вопросы:

— какая фигура называется простой?

— сформулируйте свойства площади для простых фигур

— как относятся площади простых фигур?

2. По какой формуле можно рассчитать площадь треугольника? параллелограмма? ромба? прямоугольника? квадрата?

1) S = ab 2) S = ah 3) S = 1/2ab 4) S = 1/2 d1d2 5) S = a2

3.Площади каких фигур можно вычислить, используя следующие формулы?

1) S = 1/2(a + b) h 2) S = ab sin α 3) S = 1/2 d2 4) S = √ p(p – a)(p – b)(p – c)

5) S = 1/2 d1d2 sin α

3) Математический диктант

Согласны ли вы с данным утверждением? Поставьте соответствующие символы

Да — О, нет — ∆

1. Фигуры называются равновеликими, если у них равные площади.

2. Площадь трапеции равна полусумме длин оснований.

3. Площадь треугольника равна произведению двух любых сторон на синус угла между ними

4. Площадь круга находится по формуле 2 π R.

5. Круг не является простой фигурой.

Ответы: О∆∆∆О

Отметка: «5» — все верно, «4» — 1 неверно, «3» — 2 неверно, более двух неверных ответов – повтори теорию

4) Решение задач по готовым чертежам с записью решения на доске и в тетрадях

5) Решение задач из ОГЭ

№1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 2√3 и 5, а один из углов равен 1200.

Решение: S = absinα, 2. √3 . 5 . √3/2 = 15, Ответ: 15.

№2. Площадь прямоугольного треугольника равна 96, а один из катетов равен 16. Найдите гипотенузу данного треугольника.

Решение: S = ½ ab, b = 2S/a, b = 2 . 96/16 = 12, с = √256 + 144 = 20 Ответ: 20.

№3. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба. Решение:Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем ½ диагонали √ (25-9)=4.  Тогда вся диагональ равна 8. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: ½*8*6=24

Ответ: 24.

6) Решение тестовых заданий ( в группах)

Вариант 1

1. Площадь прямоугольника 20см2, одна из сторон – 5см. Найти другую сторону.

1) 15см 2) 4см 3) 5см 4) 100см

2. В параллелограмме одна из сторон 7см, высота, опущенная на нее 3см. Найти площадь.

1) 21см 2) 10см2 3) 21см2 4) 10,5см2

3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длиной 10см, равна 6см. Найти площадь.

1) 60см2 2) 30см2 3) 16см2 4) 8см2

5. Площадь квадрата 4 м2. Найти периметр квадрата.

1) 1 м 2) 8 м 3) 2 м 4) 16 м

Вариант 2

1. Площадь прямоугольника 40см2, одна из сторон – 10см. Найти другую сторону.

1) 4см 2) 2см 3) 30см 4) 200см

2. В параллелограмме одна из сторон 8см, высота, опущенная на нее 5см. Найти площадь.

1) 13см 2) 40см23) 40см 4) 26см2

3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длиной 9см, равна 4см. Найти площадь.

1) 35см2 2) 13см2 3) 18см2 4) 72см2

5. Площадь квадрата 16 м. Найти периметр квадрата.

1) 4 м 2) 64 м 3) 8 м 4) 16 м

Отметка: «5» — нет ошибок, «4» — 1 ошибка, «3» — 2 ошибки, более двух неверных ответов – выучи формулу, упражняйся в устном счете.

7. Формула Пика

8)Итог урока

1) На доске прикреплены цветные треугольники разных размеров. Ученики в группах находят площади и в порядке возрастания площадей составляют слово МЫШЛЕНИЕ

Геометрия, развивает зрительное восприятие и воображение, учит грамотно строить чертежи, помогает определить параметры всевозможных плоских и пространственных фигур, развивает пространственное

МЫШЛЕНИЕ

hello_html_1f075e0a.png

2) Выставление оценок.

3) Высказывания учащихся о том, что понравилось на уроке и чему они научились

4) На этом мы не заканчиваем изучение темы «Площади». В старших классах вы узнаете, как найти площади объемных фигур

9) Домашнее задание: Повторить материал, используя тематическую таблицу

Учитель математики Божко Марина Николаевна

infourok.ru

Определение площади сложной фигуры с помощью теории вероятностей / Habr

Зачем определять площадь сложной фигуры?

Да мало ли зачем. Например, возникла необходимость определить площадь территории на карте. Конечно, можно посмотреть в справочнике или поискать в интернете, но иногда и территории бывают нестандартными — допустим, вы озаботились проблемами лесов в пойме Амазонки и хотите ежемесячно измерять площадь зелёных пятен на фотографиях со спутника. Если вы ботаник (в хорошем смысле слова), то вам может понадобиться измерить площадь листовой поверхности разных сортов одного растения. Или, к примеру, более прозаичная задача — нужно зашпатлевать кусок стены, а банки шпатлёвки хватает только на 1 кв. м. — нужно выяснить, покупать одну банку или раскошелиться на две.
В чём сложность нахождения площади?

Конечно, если фигура представляет собой прямоугольник, круг или, что хуже, эллипс, то проблема решается с помощью Google и калькулятора. Но где бы найти формулу, да попроще, для нахождения площади, скажем, такого рисунка?
Теория вероятностей, Ваш выход!

Сразу оговорюсь, что теория вероятностей по своей сути не подразумевает точного решения задач. Так будет и в этом случае — если вам нужна космическая точность, то предлагаю копать в сторону методов имитационного моделирования. Если же погрешность в пределах 2-5% вас вполне устраивает, то будет достаточно того же калькулятора, базовых навыков программирования и умения считать до ста.
Суть метода

Суть метода проста до банальности. Допустим, мы пасмурным деньком выложили капустный листочек (см. ремарку про биолога выше) на прямоугольный поддон, а поддон выставили под накрапывающий дождик. А потом засекли определённое время (к примеру, пять минут) и посчитали, сколько капелек упало на поддон, а сколько непосредственно на лист. Если принять во внимание, что дождь обычно капает равномерно, то получается простая пропорция — лист во столько раз меньше поддона, во сколько раз на него упало меньше капель дождя, чем на весь поддон.
Возвращаемся к нашей фигуре

Итак, как же определить площадь той розовой пятерни? Да очень просто — заключить фигуру в прямоугольные границы и проставить случайным образом много точек. Чем больше, тем лучше (в соответствии с законом больших чисел). А потом подсчитать количество точек, попавших на фигуру.

Я намеренно не обсуждаю вопросы реализации такого алгоритма, потому что вариантов масса. Можно просто закрыть глаза и наугад тыкать шариковой ручкой, а можно действовать более научно — с помощью языков программирования. Например, код на PHP занял у меня не больше 15 строчек, а в результате получилось вот что:

Точки общим числом 300, разумеется, проставлены с помощью генератора случайных чисел. Для удобства подсчета точек я разбил изображение на 36 секторов — теперь нужно подсчитать количество точек, попавших на изображение, в каждом секторе, а результаты сложить. Сведём данные в таблицу (ячейка таблицы соответствует сектору на картинке):

0 4 8 4 0 0
0 7 5 6 0 4
3 6 13 7 8 5
1 10 10 13 7 2
0 2 3 7 10 2
0 0 2 5 3 0

Теперь у нас есть все данные для того, чтобы вычислить площадь розовой пятерни:
площадь описанного прямоугольника — 20 см х 20 см = 400 кв. см;
количество точек в прямоугольнике — 300;
количество точек внутри фигуры (сумма значений из таблицы) — 157;
площадь фигуры — 209,33 кв. см.
И насколько это точно?

Действительно, осталось определиться с точностью данного метода. Конечно, всё зависит от количества точек, и здесь нужно соблюдать золотую середину — десяти для нашего примера было бы явно недостаточно, а от тысячи слишком рябило бы в глазах. Поэтому попробуем определить погрешность для трёхсот точек и описанного квадрата со стороной 20 см. Для этого возьмём фигуру, площадь которой нам известна заранее. Например, такую:

Проставляем точки:

Результаты заносим в таблицу:

0 6 11 8 5 0
9 15 8 5 13 2
11 8 5 14 13 5
10 11 8 8 4 4
2 14 9 10 4 1
0 3 5 6 0 0

Рассчитываем площадь фигуры:
площадь описанного прямоугольника — 20 см х 20 см = 400 кв. см;
количество точек в прямоугольнике — 300;
количество точек внутри фигуры (сумма значений из таблицы) — 237;
площадь фигуры — 316 кв. см.

Нетрудно посчитать, что реальная площадь круга с радиусом 10 см составляет 314,16 кв. см. Таким образом, погрешность метода составила 0,59%, чего в большинстве случаев достаточно для прикладного использования.

habr.com

Презентация по геометрии «Площади геометрических фигур»

Слайд 1

ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Хворостюк Владислава 8Б класс

Слайд 2

Единичный квадрат Единичный квадрат — это квадрат со сторонами в одну единицу. Площадь единичного квадрата тоже равна единице.

Слайд 3

Расчет площади Площадь простейших геометрических фигур находят , сравнивая их с квадратом известной площади . Это удобно тем , что площадь квадрата легко вычислить . Также для вычисления площади , особенно многоугольника , фигуру делят на треугольники , вычисляют площадь каждого треугольника по формуле , а потом складывают . Площадь более сложных фигур вычисляют с помощью математического анализа

Слайд 4

Площадь квадрата Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. а

Слайд 5

Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (a, b) b а

Слайд 6

Площадь прямоугольного треугольника Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника : a c b

Слайд 7

Площадь прямоугольного треугольника Площадь прямоугольника равна произведению сторон ab . Катет треугольника c делит этот прямоугольник на две равные части . Отсюда площадь треугольника равна половине площади прямоугольника . a c d e b

Слайд 8

Площадь треугольника Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h) a h b c

Слайд 9

Площадь треугольника e h b c d a

Слайд 10

Площадь треугольника b c a Если известно две стороны треугольника и угол между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними β

Слайд 11

Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h) e h b a с

Слайд 12

Площадь трапеции e h b a с d

Слайд 13

Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h) h a с d b

Слайд 14

Площадь ромба Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

Слайд 15

Площадь многоугольника Для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника его разбивают на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. А площадь правильного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности правильного многоугольника r n a

Слайд 16

Площадь круга При неограниченном увеличении сторон, форма многоугольника «стремится» к окружности. Исходя из формулы площади многоугольника можно вывести формулу площади круга: S = ⅟₂ Cr где С – длина окружности; r — радиус

Слайд 17

Высказывания великих… В огромном саду геометрии каждый найдет себе букет по вкусу. Давид Гильберт. Геометрия есть познание всего сущего. Платон. Всякая книга природы написана языком математики. Галилей.

Слайд 18

Спасибо за внимание!

nsportal.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.