Третий признак подобия треугольников | Треугольники

Теорема

(Третий признак подобия треугольников — подобие треугольников по трём сторонам).

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

   

Доказать: ΔABC∼ ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

1) Отложим на луче A₁B₁ отрезок A₁B₂, A₁B₂=AB.

2) Через точку B₂ проведём прямую B₂С₂, параллельную прямой B₁C₁.

3) В треугольниках A₁B₂C₂ и A₁B₁C₁:

Поэтому  ΔA₁B₂C₂∼ΔA₁B₁C₁ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   

4) Поскольку A₁B₂=AB, то

   

Так как по условию

   

то A₁C₂=AC и B₂C₂=BC.

5) В треугольниках ABC и A₁B₂C₂:

• A₁B₂=AB (по построению)
• B₂C₂=BC (по доказанному)
• A₁C₂=AC (по доказанному).

Значит, ΔABC=ΔA₁B₂C₂ (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

• ∠A=∠A₁
• ∠ABC=∠A₁B₂C₂.

6) В треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

• ∠A=∠A₁ (по условию)
• Так как ∠A₁B₂C₂=∠A₁B
  1C₁, то и ∠ABC=∠A₁B₁C₁.

Отсюда ΔABC∼ ΔA₁B₁C₁ (по двум углам).

Что и требовалось доказать.

3-й признак подобия треугольников используется реже 1-го.

Подобные треугольники. Признаки и свойства

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-08-22 2014-01-31

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

 

Признаки подобия треугольников

 

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

 II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

 

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

 

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники   и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете  подборку задач по теме «Подобные треугольники».

Автор: egeMax | комментариев 50

3 признака равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать. 

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников. 

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых AC = A₁C₁,  AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁.

Докажите, что △ABC  =  △A₁B₁C₁.

Доказательство:

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина  A₁  совмещается с вершиной  A,  и сторона  A₁B₁ накладывается на сторону AB,  AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B

1, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

B₁C₁ = BC, следовательно, △ABC совмещается с △A₁B₁C_{, значит, △ABC = △A1B1C1.}

Теорема доказана.

Важно!

Первый признак используют при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.

Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями на курсах по математике для учеников с 1 до 11 класса!

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых:
AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁,  ∠C = ∠C₁.

Докажите, что △ABC  =  △A₁B₁C₁.

Доказательство:

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной  A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с  A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C

1.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Если АВ совмещается с А₁В₁, ВС совмещается с В₁С₁, то △ABC совмещается с △A₁B₁C₁, значит, △ABC = △A₁B₁C₁ .

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых:
AC = A₁C₁,
AB = A₁B₁,
CB = C₁B₁.  

Докажите, что △ABC  = △A₁B₁C₁.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁

C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, то △A₁C₁С и △B₁C₁С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), значит,
∠A₁СB₁ = ∠A₁C₁B₁.
AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. 
∠C = ∠C₁, тогда △ABC  = △A₁B₁C₁ (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана. 

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

 

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
   


2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
   


3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
   


4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
   


5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
   

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Третий признак равенства треугольников 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 Третий признак подобия треугольников.

Докажем подобие треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

АВ:А₁В₁ = АС:А₁С₁ = ВС:В₁С₁

Доказать: ΔABC∼ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

 

 

1. Пусть AB<A₁B₁. Отложим на луче A₁B₁ отрезок A₁B₂, A₁B₂=AB.

2. Через точку B₂ проведём прямую B₂С₂, параллельную прямой B₁C₁.

3. В треугольниках A₁B₂C₂ и A₁B₁C₁: ∠A_{1— общий, ∠A1B2C2 = ∠A1B1C1 (как соответственные при B2C2∥ B1C1 и секущей A1B1).}

   Поэтому ΔA₁B₂C₂∼ΔA₁B₁C_{1(по двум углам).}

   Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   А₁В₂:А₁В₁ = А₁С₂:А₁С₁ = В₂С₂:В₁С₁

4. Поскольку A₁B₂ = AB, то АВ:А₁В₁ = А₁С₂:А₁В₁ = В₂С₂:В₁С₁

   Так как по условию АВ:А₁В₁ = АС:А₁В₁ = ВС:В₁С₁, то A₁C₂ = AC и B₂C₂ = BC.

5. В треугольниках ABC и A₁B₂C₂:

   A₁B₂ = AB (по построению),

   B₂C₂ = BC (по доказанному),

   A₁C₂ = AC (по доказанному).

   Значит, ΔABC = ΔA₁B₂C₂ по трём сторонам.

   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

   ∠A = ∠A₁, ∠ABC = ∠A₁B₂C₂.

6. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

   ∠A = ∠A₁; так как ∠A₁B₂C₂ = ∠A₁B₁C₁, то и ∠ABC=∠A₁B₁C₁.

   Отсюда ΔABC∼ΔA₁B₁C₁ по двум углам, что и требовалось доказать.

Задача. Подобны ли треугольники АВС и А₁В₁С₁, если АВ = 1,3 см, А₁В₁ = 26 см, В₁С₁ = 50 см, А₁С₁ = 60 см, ВС = 2,5 см, АС = 3,2 см?

Для треугольников АВС и А₁В₁С₁ найдем отношения соответствующих сторон:

А₁В₁:АВ = 26:1,3 = 20

А₁С₁:АС = 60:3,2 = 18,75

В₁С₁:ВС = 50:2,5 = 20

Получили, что A₁B₁:AB = B₁C₁:BC ≠ А₁С₁:АС, следовательно, треугольники не являются подобными.

Подобие треугольников — 657 КЛАСС

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

 

Признаки подобия треугольников

 

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

 

II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

 

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• 
  
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники   и, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.  Коэффициент подобия – 

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

 

 

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

1. Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
2. Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
3. Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

1. Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.
2. Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
3. Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α		sin β		sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a² = b² + c² — 2bc·cos α

b² = a² + c² — 2ac·cos β

c² = a² + b² — 2ab·cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 23√2(m_b² + m_c²) — m_a²

b = 23√2(m_a² + m_c²) — m_b²

c = 23√2(m_a² + m_b²) — m_c²

Медианы треугольника

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

   AOOD = BOOE = COOF = 21

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

   S_∆ABD = S_∆ACD

   S_∆BEA = S_∆BEC

   S_∆CBF = S_∆CAF

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

   S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 12√2b²+2c²-a²

m_b = 12√2a²+2c²-b²

m_c = 12√2a²+2b²-c²

Биссектрисы треугольника

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

   AEAB = ECBC

3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

   Угол между l_c и l_c‘ = 90°

4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√bcp(p — a)b + c

l_b = 2√acp(p — b)a + c

l_c = 2√abp(p — c)a + b

где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2bc cos α2b + c

l_b = 2ac cos β2a + c

l_c = 2ab cos γ2a + b

Высоты треугольника

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

• внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
• совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
• проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

h_a:h_b:h_c = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

h_a = 2Sa

h_b = 2Sb

h_c = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

h_a = bc2R

h_b = ac2R

h_c = ab2R

Окружность вписанная в треугольник

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру: Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь: Радиус описанной окружности через площадь и три угла:

R = S2 sin α sin β sin γ

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

rR = 4 sinα2sinβ2sinγ2 = cos α + cos β + cos γ — 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

S_∆MBN = 14 S_∆ABC

S_∆MAK = 14 S_∆ABC

S_∆NCK = 14 S_∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон

P = a + b + c

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

   S = 12a · h_a
   S = 12b · h_b
   S = 12c · h_c

2. Формула площади треугольника по трем сторонам
   

   Формула Герона

   S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

   где p = a + b + c2 — полупериметр треугльника.
3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
   Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

   S = 12a · b · sin γ
   S = 12b · c · sin α
   S = 12a · c · sin β

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
   Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Определение. Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Теорема 1.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α₁, β = β₁, γ = γ₁ и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S_∆АВСS_∆MNK = k²

Подобие треугольников. Часть 2

Второй признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 1). 

Пусть даны треугольники Δ ABC, Δ A₁B₁C₁, в которых углы < A = < A₁ и  АВ/А₁В₁ =  АС/А₁С₁.
Необходимо доказать, что Δ ABC ~ Δ A₁B₁C₁.

Доказательство.

1) Достроим Δ A₁B₂C₁ такой, что < A₁C₁B₂ = < C,
< C₁A₁B₂ = < A = < C₁A₁B₁.

Тогда Δ ABC ~ Δ A₁B₂C₁ по двум углам, следовательно, по определению подобных треугольников, АВ/А₁В₂ = АС/А₁С₁.

2) По условию АВ/А₁В₁ = АС/А₁С₁, из пункта 1
АС/А₁С₁ = АВ/А₁В₂.
Объединив эти равенства, имеем:

АВ/А₁В₁ = АС/А₁С₁ = АВ/А₁В₂, следовательно,  A₁B₁ = A₁B₂.

3) Δ A₁B₂C₁ = Δ A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними:
A₁C₁ – общая, A₁B₁ = A₁B₂ из пункта 2,
< C₁A₁B₂ = < C₁A₁B₁ по построению.
Следовательно, по определению равных треугольников, < A₁C₁B₂ = < A₁C₁B₁.

4) Имеем: < A = < C₁A₁B₁ по условию, < C = < A₁C₁B₂ = < A₁C₁B₁ из доказанного,
следовательно, Δ ABC ~ Δ A₁B₁C₁ по двум углам.

Второй признак подобия треугольников позволяет доказать факт, который значительно облегчает решение некоторых задач.

Если AA₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC, то треугольник A₁BC₁ подобен треугольнику ABC (рис. 2).

Следует обратить внимание на порядок вершин подобных треугольников ABC и A₁BC₁: вершины одного из них обходятся по часовой стрелке, а второго – против часовой стрелки.

При решении задач второй признак подобия, как правило, используется в сочетании с первым признаком.

Например,  сначала доказывается подобие треугольников с использованием первого признака. Далее делается вывод о пропорциональности сторон. Затем, используя полученную пропорциональность сторон, доказывается подобие другой пары треугольников, опираясь уже на второй признак.

Третий признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников довольно редко используется в решении задач, а доказательство его аналогично доказательству второго признака, поэтому приводить его не будем.

Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Средним пропорциональным или средним геометрическим двух положительных чисел a и b называется число √(ab).

При проведении высоты к гипотенузе прямоугольного треугольника (рис. 3) образуется три подобных треугольника, в результате чего образованные в треугольнике отрезки связаны некоторыми соотношениями. Итак, имеем:

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Кроме того, проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу пропорциональны квадратам соответствующих катетов.

Подведем итоги.

В прямоугольном треугольнике выполняются следующие соотношения (рис. 3):

 

а² = b² + c²

h_a² = c_a · b_a

c² = c_a · a

b² = (a · b_a)

h_a = (c · b)/a.

 

 

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на подобие треугольников?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog. tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

похожих треугольников — объяснения и примеры

Теперь, когда мы закончили с конгруэнтными треугольниками, мы можем перейти к другой концепции, называемой подобных треугольников.

В этой статье мы узнаем о похожих треугольниках, особенностях подобных треугольников, о том, как использовать постулаты и теоремы для определения похожих треугольников, и, наконец, как решать похожие задачи о треугольниках.

Что такое похожие треугольники?

Понятия похожих треугольников и конгруэнтных треугольников — это два разных термина, которые тесно связаны. Подобные треугольники — это два или более треугольника одинаковой формы, равных пар соответствующих углов и одинакового отношения соответствующих сторон.

Иллюстрация подобных треугольников:

Рассмотрим три треугольника ниже. Если:

1. Соотношение соответствующих сторон равно.

AB / PQ = AC / PR = BC = QR, AB / XY = AC / XZ = BC / YZ

1. ∠ A = ∠ P = ∠X, ∠B = ∠Q = ∠Y, ∠C = ∠R = ∠Z

Следовательно, ΔABC ~ ΔPQR ~ ΔXYZ

Сравнение подобных треугольников и конгруэнтных треугольников

Характеристики	Конгруэнтные треугольники	Похожие треугольники	Похожие треугольники размер	одинаковый размер и форма	Та же форма, но другой размер
Символ	≅	~
Соответствующие длины сторон	Отношение соответствующих сторон конгруэнтных треугольников всегда равно постоянное число 1.	Соотношение всех соответствующих сторон в подобных треугольниках согласовано.
Соответствующие углы	Все соответствующие углы равны.	Каждая пара соответствующих углов равна.

Как определить похожие треугольники?

Мы можем доказать сходство в треугольниках, применяя аналогичные теоремы о треугольниках. Это постулаты или правила, используемые для проверки похожих треугольников.

Существует трех правил для проверки похожих треугольников: правило AA , правило SAS или правило SSS.

Правило угла-угла (AA):
Согласно правилу AA два треугольника считаются подобными, если два угла в одном конкретном треугольнике равны двум углам другого треугольника.

Правило стороны-угла-стороны (SAS):
Правило SAS гласит, что два треугольника подобны, если соотношение их соответствующих двух сторон равно, а также угол, образованный двумя сторонами, равен.

Правило стороны-стороны-стороны (SSS):
Два треугольника подобны, если все соответствующие три стороны данных треугольников находятся в одинаковой пропорции.

Как решать похожие треугольники?

Существует двух типов одинаковых задач треугольника ; это задачи, которые требуют от вас доказательства того, что данный набор треугольников похожи, и те, которые требуют от вас вычисления недостающих углов и длин сторон подобных треугольников.

Давайте посмотрим на следующие примеры:

Пример 1

Проверьте, похожи ли следующие треугольники

Решение

Сумма внутренних углов в треугольнике = 180 °

Следовательно, учитывая Δ PQR

∠P + ∠Q + ∠R = 180 °

60 ° + 70 ° + ∠R = 180 °

130 ° + ∠R = 180 °

Вычтем обе стороны на 130 °.

∠ R = 50 °

Рассмотрим Δ XYZ

∠X + ∠Y + ∠Z = 180 °

∠60 ° + ∠Y + ∠50 ° = 180 °

∠ 110 ° + ∠Y = 180 °

Вычтем обе стороны на 110 °

∠ Y = 70 °

Отсюда;

• По правилу угла-угла (AA) ΔPQR ~ ΔXYZ.
• ∠Q = ∠ Y = 70 ° и ∠Z = ∠ R = 50 °

Пример 2

Найдите значение x в следующих треугольниках, если ΔWXY ~ ΔPOR.

Решение

Учитывая, что два треугольника подобны, тогда;

WY / QR = WX / PR

30/15 = 36 / x

Перекрестное умножение

30x = 15 * 36

Разделите обе стороны на 30.

x = (15 * 36) / 30

x = 18

Следовательно, PR = 18

Давайте проверим, равны ли пропорции соответствующих двух сторон треугольников.

WY / QR = WX / PR

30/15 = 36/18

2 = 2 (RHS = LHS)

Пример 3

Проверьте, похожи ли два треугольника, показанные ниже, и рассчитайте значение k.

Решение

По правилу SAS, два треугольника подобны.

Доказательство:
8/4 = 20/10 (LHS = RHS)

2 = 2

Теперь вычислите значение k

12 / k = 8/4

12 / k = 2

Умножьте оба стороны на k.

12 = 2k

Разделите обе части на 2

12/2 = 2k / 2

k = 6.

Пример 4

Определите значение x на следующей диаграмме.

Решение

Пусть треугольник ABD и ECD подобны треугольникам.

Примените правило стороны-угла-стороны (SAS), где A = 90 градусов.

AE / EC = BD / CD

x / 1,8 = (24 + 12) / 12

x / 1,8 = 36/12

Перекрестное умножение

12x = 36 * 1,8

Разделите обе стороны на 12.

x = (36 * 1,8) / 12

= 5,4

Следовательно, значение x равно 5,4 мм.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Подобные треугольники

Два треугольники как говорят похожий если их соответствующие углы равны конгруэнтный и соответствующие стороны лежат в пропорция . Другими словами, похожие треугольники имеют одинаковую форму, но не обязательно одного размера.

Треугольники конгруэнтный если к тому же их соответствующие стороны имеют одинаковую длину.

Длины сторон двух одинаковых треугольников пропорциональны. То есть, если Δ U V W похож на Δ Икс Y Z , то имеет место следующее уравнение:

U V Икс Y знак равно U W Икс Z знак равно V W Y Z

Это обычное отношение называется масштаб .

Символ ∼ используется для обозначения сходства.

Пример:

Δ U V W ∼ Δ Икс Y Z . Если U V знак равно 3 , V W знак равно 4 , U W знак равно 5 и Икс Y знак равно 12 , найти Икс Z и Y Z .

Нарисуйте фигуру, чтобы облегчить себе визуализацию.

Запишите пропорцию. Убедитесь, что соответствующие стороны указаны правильно.

3 12 знак равно 5 Икс Z знак равно 4 Y Z

Коэффициент масштабирования здесь 3 12 знак равно 1 4 .

Решение этих уравнений дает Икс Z знак равно 20 и Y Z знак равно 16 .

Понятия подобия и масштабного коэффициента могут быть распространены не только на треугольники, но и на другие фигуры.

Как определить, похожи ли треугольники

Два треугольника похожи, если имеют:

• все их углы равны
• соответствующие стороны находятся в таком же соотношении

Но нам не нужно знать все три стороны и все три угла . .. Обычно достаточно двух или трех из шести .

Есть три способа определить, похожи ли два треугольника: AA , SAS и SSS :

AA

AA означает «угол, угол» и означает, что два угла треугольников равны.

Если два треугольника имеют два равных угла, треугольники подобны.

Пример: эти два треугольника похожи:

Если два из их углов равны, то третий угол также должен быть равным, потому что углы треугольника всегда складываются и составляют 180 °.

В данном случае недостающий угол составляет 180 ° — (72 ° + 35 °) = 73 °

Таким образом, AA можно также назвать AAA (потому что, когда два угла равны, все три угла должны быть равны).

SAS

SAS означает «сторона, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, где:

• соотношение между двумя сторонами такое же, как соотношение между двумя другими сторонами
• , и мы также знаем, что включенные углы равны.

Если два треугольника имеют две пары сторон с одинаковым соотношением, и включенные углы также равны, то треугольники подобны.

Пример:

В этом примере мы видим, что:

• одна пара сторон находится в соотношении 21: 14 = 3: 2
• другая пара сторон находится в соотношении 15: 10 = 3: 2
• между ними угол совпадения 75 °

Итак, информации достаточно, чтобы сказать нам, что два треугольника похожи на .

Использование тригонометрии

Мы также можем использовать тригонометрию для вычисления двух других сторон, используя закон косинусов:

Продолжение примера

В треугольнике ABC:

• a ² = b ² + c ² — 2bc cos A
• a ² = 21 ² + 15 ² — 2 × 21 × 15 × Cos75 °
• a ² = 441 + 225 — 630 × 0,2588 …
• a ² = 666 — 163,055. ..
• а ² = 502,944 …
• Итак, a = √502.94 = 22.426 …

В треугольнике XYZ:

• x ² = y ² + z ² — 2yz cos X
• x ² = 14 ² + 10 ² — 2 × 14 × 10 × Cos75 °
• x ² = 196 + 100 — 280 × 0,2588 …
• x ² = 296 — 72,469 …
• x ² = 223,530 …
• Итак, x = √223.530 … = 14,950 …

Теперь давайте проверим соотношение этих двух сторон:

a: x = 22,426 …: 14,950 … = 3: 2

такое же соотношение, как и раньше!

Примечание: мы также можем использовать закон синусов, чтобы показать, что два других угла равны.

ССС

SSS означает «сторона, сторона, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника со всеми тремя парами соответствующих сторон в одинаковом соотношении.

Если два треугольника имеют три пары сторон с одинаковым соотношением сторон, то треугольники подобны.

Пример:

В этом примере соотношение сторон:

• a: x = 6: 7,5 = 12: 15 = 4: 5
• б: у = 8: 10 = 4: 5
• с: z = 4: 5

Все эти отношения равны, поэтому два треугольника подобны.

Использование тригонометрии

Используя тригонометрию, мы можем показать, что два треугольника имеют равные углы, используя закон косинусов в каждом треугольнике:

В треугольнике ABC:

• cos A = (b ² + c ² — a ² ) / 2bc
• cos A = (8 ² + 4 ² -6 ² ) / (2 × 8 × 4)
• cos A = (64 + 16 — 36) / 64
• cos A = 44/64
• cos A = 0.6875
• Угол A = 46,6 °

В треугольнике XYZ:

• cos X = (y ² + z ² — x ² ) / 2yz
• cos X = (10 ² + 5 ² — 7,5 ² ) / (2 × 10 × 5)
• cos X = (100 + 25 — 56,25) / 100
• cos X = 68,75 / 100
• cos X = 0,6875
• Угол X = 46,6 °

Значит, углы A и X равны!

Аналогичным образом мы можем показать, что углы B и Y равны, а углы C и Z равны.

свойств подобных треугольников | Обзор по алгебре [видео]

Привет, и добро пожаловать в этот обзор похожих треугольников! Сегодня мы собираемся изучить, как определять похожие треугольники и как мы можем использовать эти знания для решения очень популярного вида геометрических задач.

Определение похожих треугольников

Начнем с простого определения. Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы. Это означает, что у них будут те же три угла .Но вот нюанс: похожие треугольники не обязательно должны быть одинакового размера! Поэтому, если вы возьмете копию треугольника и расширите ее вдвое, она все равно будет похожа на исходный треугольник.

Угол-угол-угол

Обратите внимание, что два треугольника имеют одинаковую форму и пропорции. Это потому, что у них одинаковые углы, что делает их похожими треугольниками. Это метод определения подобия Angle-Angle-Angle , или AAA. Следует отметить, что всякий раз, когда вы расширяете треугольник, вы получаете два одинаковых треугольника.

Поскольку мы знаем, что эти два треугольника похожи на треугольники, мы можем выразить это в математической записи следующим образом: \ (△ ABC \) ~ \ (△ A’B’C ‘\)

Хорошо, но что, если бы мы этого не сделали? Не начинаете с расширения и не знаете всех углов? Есть ли другой способ узнать, похожи ли два треугольника?

Метод «сторона-сторона-сторона»

Давайте посмотрим на пример, в котором нам известны длины сторон только двух треугольников:

Эти два треугольника кажутся одинаковыми по форме, но помните, что в геометрии мы не всегда можем доверяй нашим глазам.Нам нужно доказать, что они имеют одинаковую форму, и мы можем сделать это, проверив, пропорциональны ли их стороны друг другу. Мы устанавливаем наши пропорции, устанавливая соотношения или доли соответствующих сторон и устанавливая их равными друг другу, например: У нас будут длины сторон для \ (△ ABC \) в числителях, а длины для \ (△ DEF \) — знаменатели. Это сработало бы так же хорошо, если бы мы поменяли его местами.

Очень важно обозначить пропорции, чтобы убедиться, что мы поместили все числа на свои места.

Так что же нам дает эта пропорция? Что ж, нам нужно проверить, правда ли это. В этом случае мы можем сделать это , уменьшив каждой из этих дробей до их простейшего вида. Мы видим, что 3 входит в верхнюю и нижнюю часть \ (\ frac {6} {9} \), поэтому мы можем уменьшить его до 2 по 3. Четыре входит в \ (\ frac {8} {12} \) а 5 переходит в \ (\ frac {10} {15} \). Когда мы уменьшаем эти две дроби, мы также получаем \ (\ frac {2} {3} \). В уменьшенном виде наша пропорция выглядит так:

Это доказательство того, что все наши стороны пропорциональны.Если все стороны пропорциональны, то мы знаем, что наши треугольники пропорциональны. Это метод Side-Side-Side , или SSS, метод доказательства сходства. Итак, теперь мы можем сказать, что \ (△ ABC \) ~ \ (△ DEF \).

Вместо того, чтобы уменьшать, мы могли бы также проверить, пропорциональны ли отношения, преобразовав каждое отношение в десятичное число, разделив верхнюю часть на нижнюю часть каждого. В этом случае \ (\ frac {6} {9} \), \ (\ frac {8} {12} \) и \ (\ frac {10} {15} \) дали бы нам ту же десятичную дробь. значение, равное 0.66666666.

Итак, теперь мы знаем, что если все углы одинаковы или если все стороны пропорциональны, наши два треугольника похожи.

Side-Angle-Side Method

Существует еще один метод доказательства сходства, который называется Side-Angle-Side или SAS. Здесь мы знаем, что два треугольника имеют один угол, равный одной и той же величине, и что две стороны, выходящие из этого угла, пропорциональны.

Давайте посмотрим на наши последние два треугольника, но вместо того, чтобы знать все три стороны, мы знаем только два набора соответствующих сторон вместе с углом между ними, например:

Мы видим, что угол между двумя измеренными Стороны помечены квадратом, что, как мы знаем, означает, что это прямой угол и, следовательно, 90 градусов.Поскольку этот угол одинаков в обоих треугольниках, нам просто нужно проверить, пропорциональны ли две соседние стороны, например:

Уменьшение дробей снова приводит к тому, что они становятся 2 на 3, поэтому стороны пропорциональны. Поскольку угол между этими сторонами одинаковый, или , равный , этот треугольник аналогичен.

Задача о высоте дерева

Хорошо, что мы можем сделать с этой способностью распознавать похожие треугольники? Возможно, вы уже видели это раньше, но вот классическая задача о высоте дерева:

Вот что мы знаем.Дерево и флагшток стоят вертикально перпендикулярно земле. Каждый из них отбрасывает тень от одного и того же источника света — солнца. Лучи, исходящие от солнца, представляют собой прямые линии, падающие на предметы под углом. Земля плоская и может считаться плоской, что означает, что любые две точки на ней могут быть соединены прямой линией. Это означает, что я могу нарисовать два треугольника на этом рисунке, например:

Теперь давайте оставим наши треугольники, но потеряем красивый пейзаж.

Затем давайте обозначим все точки, чтобы мы могли ссылаться на них. Неважно, какую букву мы используем для каждой точки.

Мы также знаем, что угол B и угол D являются прямыми углами, поскольку флагшток и дерево указывают прямо вверх перпендикулярно земле, поэтому мы также обозначим это:

Поскольку мы знаем, что угол A одинаков для обоих треугольники и что углы B и D оба являются прямыми углами и, следовательно, конгруэнтны, это означает, что углы C и E также конгруэнтны. Почему? Потому что внутренние углы треугольника должны составлять в сумме 180 °.Таким образом, если A равно 30 °, а B и D равны 90 °, тогда C и E будут равны 60 °.

Теперь мы знаем, что это похожие треугольники, используя метод AAA доказательства подобия.

Теперь мы можем перейти к интересной части и использовать эти треугольники, чтобы найти высоту дерева. Во-первых, нам нужно сделать некоторые измерения. Нам нужно измерить флагшток, длину тени от флагштока и длину тени дерева. К счастью, все это легко сделать. Стандартный флагшток для гольфа имеет высоту 7 футов.Очевидно, тени лежат на земле, поэтому мы можем измерить их длинной рулеткой. Затем мы можем добавить их к нашим треугольникам.

Так как стороны одинаковых треугольников всегда пропорциональны, мы можем установить пропорцию со всеми помеченными строками и столбцами:

Мы не знаем ни одной из диагональных сторон, но нам они не нужны для этого типа задач . Мы знаем стороны обоих треугольников и высоту \ (△ ABC \). Мы можем поместить переменную для высоты дерева, которая равна \ (\ overline {DE} \) в нашем треугольнике.Теперь мы просто используем перекрестные произведения для решения:

В результате взятия перекрестных произведений получается уравнение \ (9x = 45 \ cdot 7 \), или \ (9x = 315 \) после умножения 45 и 7. Деление обеих частей на 9 дает нас \ (х = 35 \). Итак, наше дерево имеет высоту 35 футов!

---

Обзор

Хорошо, теперь, когда мы рассмотрели все, давайте сделаем краткий обзор:

Подобные треугольники — это треугольники, имеющие одинаковую форму. Есть три способа доказать, что два треугольника подобны. Метод подобия AAA — это когда пропорции всех трех углов треугольников совпадают.Метод SSS — это когда все три стороны треугольников имеют одинаковую длину. И, наконец, метод SAS — это когда два треугольника имеют один угол, равный одной и той же величине, и две стороны, выходящие из этого угла, пропорциональны.

Надеюсь, этот обзор был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Калькулятор треугольников

Укажите 3 значения, включая как минимум одну сторону, в следующие 6 полей и нажмите кнопку «Рассчитать». Если в качестве единицы измерения угла выбраны радианы, он может принимать такие значения, как пи / 2, пи / 4 и т. Д.

Треугольник — это многоугольник с тремя вершинами. Вершина — это точка, в которой встречаются две или более кривых, линий или ребер; в случае треугольника три вершины соединены тремя отрезками, называемыми ребрами. Треугольник обычно называют его вершинами. Следовательно, треугольник с вершинами a, b и c обычно обозначается как Δabc. Кроме того, треугольники обычно описывают на основе длины их сторон, а также их внутренних углов. Например, треугольник, в котором все три стороны имеют равную длину, называется равносторонним треугольником, а треугольник, в котором две стороны имеют равную длину, называется равнобедренным.Когда ни одна из сторон треугольника не имеет одинаковой длины, он называется разносторонним, как показано ниже.

Отметки на краю треугольника — это обычное обозначение, которое отражает длину стороны, где одинаковое количество отметок означает одинаковую длину. Аналогичные обозначения существуют для внутренних углов треугольника, обозначаемых различным количеством концентрических дуг, расположенных в вершинах треугольника. Как видно из приведенных выше треугольников, длина и внутренние углы треугольника напрямую связаны, поэтому логично, что равносторонний треугольник имеет три равных внутренних угла и три стороны равной длины.Обратите внимание, что треугольник, представленный в калькуляторе, не показан в масштабе; хотя он выглядит равносторонним (и имеет отметки угла, которые обычно воспринимаются как равные), он не обязательно является равносторонним и представляет собой просто изображение треугольника. После ввода фактических значений выходные данные калькулятора будут отражать форму входного треугольника.

Треугольники, классифицируемые на основе их внутренних углов, делятся на две категории: прямые и наклонные. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен 90 °, и обозначается двумя отрезками прямой, образующими квадрат в вершине, составляющей прямой угол. Самый длинный край прямоугольного треугольника, противоположный прямому углу, называется гипотенузой. Любой треугольник, который не является прямоугольным, классифицируется как наклонный треугольник и может быть тупым или острым. В тупом треугольнике один из углов треугольника больше 90 °, а в остром треугольнике все углы меньше 90 °, как показано ниже.

Факты, теоремы и законы о треугольнике

• Учитывая длины всех трех сторон любого треугольника, каждый угол можно вычислить с помощью следующего уравнения.Обратитесь к треугольнику выше, предполагая, что a, b и c — известные значения.

Площадь треугольника

Существует несколько различных уравнений для вычисления площади треугольника в зависимости от того, какая информация известна. Вероятно, наиболее известное уравнение для вычисления площади треугольника включает его основание, b , и высоту, h . «Основание» относится к любой стороне треугольника, где высота представлена ​​длиной отрезка линии, проведенного от вершины, противоположной основанию, до точки на основании, образующей перпендикуляр.

Учитывая длину двух сторон и угол между ними, следующую формулу можно использовать для определения площади треугольника. Обратите внимание, что используемые переменные относятся к треугольнику, показанному на калькуляторе выше. Для a = 9, b = 7 и C = 30 °:

Другой метод вычисления площади треугольника основан на формуле Герона. В отличие от предыдущих уравнений, формула Герона не требует произвольного выбора стороны в качестве основания или вершины в качестве начала координат.Однако для этого требуется, чтобы длина трех сторон была известна. Опять же, со ссылкой на треугольник, представленный в калькуляторе, если a = 3, b = 4 и c = 5:

Медиана, внутренний радиус и радиус окружности

Медиана

Медиана треугольника определяется как длина отрезка прямой, который проходит от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Треугольник может иметь три медианы, каждая из которых будет пересекаться в центре тяжести (среднее арифметическое положение всех точек в треугольнике) треугольника.См. Рисунок ниже для пояснения.

Медианы треугольника представлены отрезками m _a , m _b и m _c . Длину каждой медианы можно рассчитать следующим образом:

Где a, b и c обозначают длину стороны треугольника, как показано на рисунке выше.

В качестве примера, учитывая, что a = 2, b = 3 и c = 4, медиана m _a может быть вычислена следующим образом:

Inradius

Inradius — это радиус наибольшего круга, который может поместиться внутри данного многоугольника, в данном случае треугольника.Внутренний радиус перпендикулярен каждой стороне многоугольника. В треугольнике внутренний радиус можно определить, построив две биссектрисы угла, чтобы определить центр треугольника. Внутренний радиус — это расстояние по перпендикуляру между центром вращения и одной из сторон треугольника. Можно использовать любую сторону треугольника, если определено перпендикулярное расстояние между стороной и центром, поскольку центр, по определению, находится на равном расстоянии от каждой стороны треугольника.

В данном калькуляторе внутренний радиус рассчитывается с использованием площади (Area) и полупериметра (ов) треугольника по следующим формулам:

, где a, b и c — стороны треугольника

.

Окружной радиус

Радиус описанной окружности определяется как радиус окружности, проходящей через все вершины многоугольника, в данном случае треугольника.Центр этого круга, где встречаются все срединные перпендикуляры каждой стороны треугольника, является центром описанной окружности и точкой, от которой измеряется радиус описанной окружности. Центр описанной окружности треугольника не обязательно должен находиться внутри треугольника. Стоит отметить, что у всех треугольников есть описанная окружность (окружность, проходящая через каждую вершину) и, следовательно, радиус описанной окружности.

В данном калькуляторе радиус описанной окружности рассчитывается по следующей формуле:

Где a — сторона треугольника, а A — угол, противоположный стороне a

Хотя используются сторона a и угол A, в формуле можно использовать любую из сторон и их соответствующие противоположные углы.

сходств форм — CIRCLE Activity Collection

Дети будут различать атрибуты фигур с помощью блоков.

УСТАНОВКА

---

Малая группа, вся группа

МАТЕРИАЛЫ

---

блоков атрибутов

1. ВВЕДИТЕ

---

«Сегодня мы рассмотрим, как отличать формы друг от друга. Когда вы смотрите на определенные части формы, вы смотрите на ее атрибуты ».

Обучай атрибуты каждой формы:

• Окружности без сторон и без углов . Это патронов.
• Все треугольники имеют три стороны и три угла .Бока могут быть одинаковой длины, или разной длины.
• Квадраты имеют четыре стороны и четыре угла . Все четыре стороны имеют одинаковую длину .
• Прямоугольник имеет четыре стороны и четыре угла . Две стороны имеют длину и две стороны короткие .
• Шестиугольники имеют шесть сторон и шесть углов . Бока могут быть одинаковой длины, или разной длины.

2. МОДЕЛЬ И ОБЪЯСНЕНИЕ

---

«Я собираюсь сделать из этих блоков стопку. Я просто собираю блоки одинаковой формы ». Модель вытягивает 3-5 треугольников из большей кучи, чтобы создать треугольную кучу. Подумайте вслух, обращая внимание на три стороны и три угла каждого блока, которые позволяют узнать, что форма представляет собой треугольник. «Все они одинаковой формы. Неважно, какого они цвета, потому что все они треугольники.Я знаю, что все они треугольники, потому что у них три стороны и три угла ». Проведите пальцем по краям блока, когда говорите. «Что это за форма?» Попросите детей назвать фигуру.

Снова сложите треугольники в большую стопку и смоделируйте другую форму.

3. РУКОВОДСТВО ПО ПРАКТИКЕ

---

«Теперь ваша очередь.Сделайте кучу из кругов ». Наблюдайте за детьми и объясните детям, которые складывают другую фигуру. Поговорите о том, что круги круглые без сторон.

«Посмотрим». Выберите фигуру из детской стопки. « Почему вы положили этот блок в свою кучу?» Дайте ребенку время объяснить. Поощряйте ребенка использовать атрибуты, чтобы помочь объяснить ответ.

4.РЕЗЮМЕ

---

«Сегодня вы отлично поработали, глядя на атрибуты форм. Я собираюсь поместить эти блоки в математический центр, чтобы вы могли продолжать смотреть, насколько они похожи и отличаются в разных центрах ».

подобных треугольников в кругах и прямоугольных треугольниках — Концепция

Два треугольника в окружности подобны, если две пары углов имеют одну и ту же пересеченную дугу.Совместное использование перехваченной дуги означает, что вписанные углы совпадают. Поскольку эти углы совпадают, треугольники подобны сочетанию клавиш AA. Если в прямоугольном треугольнике высота рисуется из прямого угла, образуются три одинаковых треугольника, также из-за сочетания клавиш AA.

Если вы видите проблему, которая выглядит примерно так, вопрос в том, есть ли у нас похожие треугольники.Что ж, давайте вернемся к тому, что мы знаем о вписанных углах в круг.
Если я выберу здесь один из этих углов и хорошо посмотрю на конечные точки, это будет одна конечная точка прямо здесь и одна конечная точка прямо здесь. Перехваченная дуга простирается от одной точки до другой. Теперь есть еще один угол с точно такими же конечными точками. Таким образом, если эти двое имеют одинаковую перехваченную дугу, то они должны быть совпадающими. То же самое можно сказать и об этих углах здесь. У них такая же перехваченная дуга.И, наконец, у нас есть вертикальные углы, а это значит, что эти два тоже должны совпадать. Итак, у нас есть угол, угол, угол, равный между этими двумя треугольниками. Значит, они должны быть похожи. Итак, если вы видите подобную проблему и пытаетесь найти некоторые длины своих сторон, вы знаете, что у вас есть похожие треугольники, поэтому вы можете настроить пропорции.
Давайте рассмотрим еще один частный случай. И это если у меня есть прямоугольный треугольник, и если под этим прямым углом, если я сброшу высоту на другую сторону.Я собираюсь создать определенное количество подобных треугольников. Я собираюсь перерисовать два треугольника, которые я создал внизу. Итак, я создал один треугольник и левую сторону от этой высоты, а на правой стороне я создал еще один меньший треугольник.
Итак, если я смотрю на этот большой треугольник и считаю, что это треугольник номер 1, это треугольник номер 2, а это треугольник номер 3, я вижу, что сравнивая треугольник номер 1, который является большим, у меня есть по одному прямому углу в каждом. из них, и они разделяют этот угол прямо здесь, что означает, что вы можете использовать ярлык угла, чтобы сказать, что эти два треугольника должны быть похожими.