Показательная функция ее свойства – Показательная функция, свойства, область определения, значений, график. Курсы по математике

§1. Показательная функция, её свойства и график

1. Значение функции 1 вид — рецептивный лёгкое 3 Б. Вычисление значения показательной функции f(x) по значению аргумента. Основание больше единицы.
2. Определение показательной функции 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Среди функций, заданных формулами, найти показательную функцию.
3. Свойства показательной функции (возрастание функции) 1 вид — рецептивный лёгкое
1 Б.
Сравние двух чисел, используя свойство возрастания функции.
4. Значение аргумента 1 вид — рецептивный среднее 1 Б. По известному значению функции найти значение аргумента.
5. Преобразования графика показательной функции 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Построение графиков показательных функций вида y=f(x)+b и y=-f(x)
6. Область определения функции (показатель степени – дробь)
2 вид — интерпретация
среднее 2 Б. Нахождение области определения показательной функции, показатель степени которой — дробь.
7. Свойства показательной функции (возрастание и убывание функции) 2 вид — интерпретация среднее
2 Б.
Определение по формуле возрастания и убывания показательной функции.
8. График показательной функции, область определения и область значений функции 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Построение графика показательной функции, нахождение области определения, области значений функции и точек пересечения функции с осями координат.
9. Свойства показательной функции (убывание функции) 1 вид — рецептивный среднее 2 Б. Сравнение двух чисел, применяя свойство убывания показательной функции.
10. Вычисление значения функции 1 вид — рецептивный среднее 3 Б. Вычисление значения показательной функции y по значению аргумента. Основание больше нуля, но меньше единицы.
11. График показательной функции 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Выбор графика показательной функции вида y=f(x-a) или y=f(x)+b.
12. Область определения функции (показатель степени квадратный корень) 2 вид — интерпретация сложное 5 Б.
Нахождение области определения показательной функции, показатель степени которой — квадратный корень.
13. Свойства показательной функции (произведение степеней) 2 вид — интерпретация сложное 3 Б. Вычисление произведения степеней с одинаковыми основаниями, показатели которых — тригонометрические выражения.

www.yaklass.ru

Показательная функция, её свойства и график

Если каждому значению из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определённому правилу число, то говорят, что на этом множестве определена функция.

При этом  

 называют независимой переменной или аргументом, а зависимой переменной или функцией.

Множество значений, для которых определены значения , называют областью определения функции.

Мы с вами уже говорили, что степень определена для любого положительного основания и любого действительного показателя.

Давайте вспомним основные свойства степени.

Пусть , , ,  и   — любые действительные числа. Тогда верны следующие равенства:

;

;

;

;

;

;

, если , ;

, если , ;

, если , .

Понятие степени с действительным показателем позволяет нам рассматривать функции вида .

Итак, пусть основание степени . Тогда каждому  соответствует одно определённое число . То есть тем самым задана функция .

В случае если , то функция  принимает одно и то же значение  при всех . Этот случай нас интересовать не будет.

Запомните! Показательной функцией называется функция вида , где  — заданное число, , .

Например, функции ,  и так далее – это показательные функции.

То есть имеем дело с функциями вида , где а — заданное положительное число, х — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Как же будет выглядеть график такой функции?

Итак, давайте построим график функции , например, при а = 2. Для этого, как обычно, найдём сначала координаты некоторых точек графика и заполним таблицу значений функции.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим.

Получившаяся кривая является графиком функции , аргумент которой может принимать любые действительные значения. Отметим, что график функции  проходит через точку с координатами , и расположен выше оси . Если  и   увеличивается, то график быстро приближается к оси , но не пересекает её. Таким образом, ось  является горизонтальной асимптотой графика функции .

Если  и   увеличивается, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции , если .

Если же основание степени , а точнее , то график функции будет симметричен относительно оси ординат.

Например, нам нужно построить график функции . Поскольку , то график функции  мы можем получить из графика функции  с помощью симметрии относительно оси ординат.

Заметим, что график этой функции также проходит через точку с координатами (0;1) и расположен выше оси . Если  и  увеличивается, то график быстро приближается к оси , не пересекает её. Таким образом, ось  является горизонтальной асимптотой графика функции . Если  и  увеличивается, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции и, если .

Рассматривая эти графики, мы можем отметить несколько свойств, общих для всех функций вида .

1. Область определения показательной функции — множество  всех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что , где , определена для всех действительных .

2. Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.

3. Показательная функция  является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей, если .

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Решите уравнение .

Решение. Введём вспомогательную переменную .

Ответ: .

videouroki.net

Показательная функция, её свойства и график

1. Значение функции 1 вид — рецептивный лёгкое 3 Б. Вычисление значения показательной функции f(x) по значению аргумента. Основание больше единицы.
2. Определение показательной функции 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Среди функций, заданных формулами, найти показательную функцию.
3. Свойства показательной функции (возрастание функции) 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Сравние двух чисел с использованием свойства возрастания функции.
4. Умножение степеней с одинаковым основанием 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Применение свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями.
5. Деление степеней с одинаковыми основаниями 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Применение свойства «деление рациональных степеней с одинаковыми основаниями».
6. Возведение степени в степень 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Применение свойства: «Возведение рациональной степени в степень».
7. Значение аргумента 1 вид — рецептивный среднее 1 Б. По известному значению функции найти значение аргумента.
8. Преобразования графика показательной функции 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Построение графиков показательных функций вида y = f(x) + b и y = -f(x).
9. Область определения функции (показатель степени — дробь) 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Нахождение области определения показательной функции, показатель степени которой — дробь.
10. Свойства показательной функции (возрастание и убывание функции) 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Определение по формуле возрастания и убывания показательной функции.
11. Свойства степени с рациональным показателем (деление) 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Найти значение выражения, использовав свойства степени с рациональным показателем.
12. Свойства степени с рациональным показателем (умножение) 2 вид — интерпретация среднее 5 Б. Найти значение выражения, использовав свойства степени с рациональным показателем.
13. График показательной функции, область определения и область значений функции 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Построение графика показательной функции, нахождение области определения, области значений функции и точек пересечения функции с осями координат.
14. Решение уравнения графически 2 вид — интерпретация сложное 4 Б. Решение уравнения графически. В одной части уравнения — квадратичная, в другой — показательная функции.
15. Свойства показательной функции (произведение степеней) 2 вид — интерпретация сложное 3 Б. Вычисление произведения степеней с одинаковыми основаниями, показатели которых — тригонометрические выражения.

www.yaklass.ru

Показательная функция, 11-й класс

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.

Л. Эйлер

Цели урока

  1. Формировать учебную мотивацию.
  2. Сформировать знания о показательной функции, ее свойствах и графике.
  3. Формировать умение использовать изученный материал в конкретных условиях и новых ситуациях.
  4. Автоматизировать вычислительные навыки.
  5. Развивать логическое мышление.
  6. Развивать способность долгое время работать с информацией, удерживать мысль.
  7. Развивать коммуникативные способности.
  8. Ход урока

    1. Объявление темы урока, его целей, вводная беседа (5-6 минут).

    Ребята, занимаем свои места, приступаем к работе.

    Вы знаете, недавно мне в руки попала сенсационная секретная информация. Это был репортаж о запуске космического корабля, не вышедший, к сожалению, в эфир. Послушайте запись этого репортажа.

    Звучит магнитная запись (приложение 1).

    “22 ноября 2003 года в 10 часов 20 минут по московскому времени с космодрома “Плесецк” стартовал космический корабль “Русь–2”. Цель экспедиции: установить причины отсутствия связи с космической станцией “Русь–1”, работающей на планете Кармен. После стыковки космонавты обнаружили погибший экипаж станции. Капитан корабля, летчик-космонавт Игнатьев решил исследовать биосферу планеты. Исследования показали, что в верхнем слое грунта наблюдается необычайно быстрый рост числа колоний живых организмов (бактерий), что поставило под угрозу жизнь экипажа и грозит катастрофой планете. Как нормализовать ситуацию и предотвратить катастрофу?”

    Итак, первая экспедиция погибла от неизвестных бактерий.

    Ученые установили, что рост числа бактерий происходил по такой зависимости:

    , где – время размножения, – число колоний бактерий (приложение 2,сл №1).

    Подсчитайте, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? (увеличится до ). За 3 секунды? (увеличится до ) (слайд №2). Т.е. каждому моменту времени соответствует свое определенное число бактерий.

    Я предлагаю вам исследовать эту зависимость. А к проблеме экспедиции мы вернемся в конце урока.

    Зависимость между двумя переменными такого типа была замечена не только в процессе роста числа микроорганизмов, но и, например, в спорте – зависимость длины прыжка спортсмена с трамплина от начальной скорости полета, в медицине – способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, в предвыборных кампаниях. В рамках предвыборной кампании каждый кандидат выбирает себе в помощники двух доверенных лиц (слайд №3). Каждый из доверенных лиц в течение следующего дня, проводя агитационную работу, привлекает в команду этого кандидата еще по одному человеку. На следующий день агитационная работа проводится уже командой в 4 человека. Что произойдет с командой кандидата, если эту работу продолжить по той же схеме? Если эту работу продолжить, то команда кандидата будет очень быстро расти.

    Для данного вида зависимостей ученые составили следующую математическую модель: (слайд №4).

    Что представляет из себя правая часть формулы? (Степень).

    Чему равно основание степени? (Основание равно ).

    А что такое х? (показатель степени)

    Поэтому эту функцию назвали.… Как вы думаете, как? (Показательной функцией) А почему?

    Именно потому, что аргумент находится в показателе степени, она носит название показательной функции.

    Попробуйте сформулировать тему урока. (“Показательная функция”)

    Эта функция обладает одним замечательным свойством: скорость роста пропорциональна значению самой функции. Она как костер, который, чем больше разгорается, тем больше в него надо подкладывать дров.

    Изучением этой функции мы и займемся сегодня на уроке.

    Что значит “Изучить функцию”? (Дать определение, сформулировать свойства и построить график)

    Следовательно, целями урока являются…(сформулировать определение, рассмотреть свойства и построить график показательной функции). А поможет нам в достижении целей – составление опорного конспекта (см. приложение 3), который лежит перед вами на столах (слайд №5).

    Запишите тему урока в опорном конспекте.

  9. Актуализация прежних знаний (6-8 минут).
  10. Прежде чем говорить о показательной функции и ее свойствах, вспомните план исследования любой функции.

    План исследования функции.

    1. Область определения функции.
    2. Четность (нечетность).
    3. Периодичность.
    4. Точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства.
    5. Производная и критические точки.
    6. Монотонность и экстремумы.
    7. График функции.
    8. Множество значений функции (слайд №6).

    Сегодня на уроке мы рассмотрим только некоторые из свойств.

    Посмотрите на экран, здесь изображены графики двух функций, для каждой из которых необходимо найти:

    а) область определения функции;

    б) множество значений функции;

    в) точки пересечения графиков с осями координат;

    г) промежутки монотонности;

    д) наибольшее и наименьшее значения функции.

    Ребята, работаем с графиком функции (слайд №7).

    а) ; б) ; в) ;

    г) возрастает на , убывает на и ; д) .

    Рассматриваем график функции :

    а) ; б) ; в) ;

    г) возрастает на ; д) и нет.

      1. Изучение нового материала (18 – 20 минут).

    Ребята, вернемся к изучаемой нами сегодня функции (слайд №8).

    Какое значение может принимать основание ? ( и ).

    Найдите значение (–7)1/2  (не имеет смысла), значит, договариваемся, что берем только положительное, т.е. .

    А если ? ()

    А ? (не имеет смысла.), т.е. .

    Если взять , то…(получаем всегда 1). Рассматривать это значение в данном случае не будем, т.е. .

    Итак, при каких же значениях будем рассматривать функцию? ( и ).

    Теперь попробуйте сами сформулировать определение показательной функции (Функция вида , где , называется показательной функцией с основанием ) (слайд №9).

    Учитель сам проговаривает еще раз.

    Запишите определение в опорном конспекте.

    Приведите примеры показательных функций: (слайд №10).

    Изучили вы много функций:
    Квадратичную и линейную,
    Степенную и тригонометрические,
    А теперь слушайте внимательно:
    И тогда признаете обязательно,
    Что одна из важнейших – показательная!

    Т.к. по определению показательной функции, основание и , то, каким двум промежуткам должно принадлежать значение? ( или .)(слайд №11)

    Выбрав из каждого промежутка, например, (из первого промежутка) и (из второго), рассмотрим две показательные функции и .

    Построим графики этих функций.

    Что нужно сделать для того, чтобы построить график функции?

    Найти значения функций в некоторых точках.

    Верно, найдем значения функций при .

    Первый вариант делает расчеты для функции , а второй вариант – для , а потом проверим.

    Зафиксируйте все найденные значения в опорных конспектах. В это время на экране появляются таблицы (слайд №12).

    Давайте построим графики этих функций, вы выполняете это задание у себя в конспектах (первый вариант строит график функции , второй вариант – график функции ), а по одному представителю от каждого варианта предлагаю выйти к доске и продемонстрировать построение графиков.

    Т.к. (по определению), то функция принимает только положительные значения.

    Итак, мы с вами сформулировали определение показательной функции, построили график, исходя из графика, сформулируем свойства функции, и все наши рассуждения зафиксируем в таблице (слайд №13).

     

    1. Область

    определения

    2. Множество

    значений

    3. Пересечение

    с осью OY

    при x = 0, y = 1

    при x = 0, y = 1

    4. Монотонность

    Функция убывает на всей числовой прямой, т.е. если

    , то

    Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. если

    , то

    5. Наибольшее

    и наименьшее значения функции

    Не существует

    Не существует

    1. Какова область определения функции? (Вся числовая прямая, т.е. )
    2. Найдите множество значений функции (все положительные числа, т.е. ).
    3. Назовите точки пересечения графика с осями координат(с осью Ох точек пересечения нет, с осью Оу точка, т.е. при х=0, у=1).
    4. Найдите промежутки монотонности функции (Функция убывает на всей числовой прямой, т.е. большему значению аргумента из ее области определения соответствует меньшее значение функции, или если , то . Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. если , то ).
    5. Значит, если основание , то показательная функция монотонно убывает на всей области определения, а, если , то монотонно возрастает.

    6. Назовите наибольшее и наименьшее значения функции (нет).

    Хоть нет названья линии ее,
    И нет, как у параболы ветвей,
    Но – положительна! И это всем вам видно
    И жмется к оси Ох одним концом безобидно,
    Вторым концом стремится ввысь!
    А, ну-ка, степенная, попробуй, доберись!

    Ребята, посмотрите на экран, здесь схематически изображен график показательной функции. (Характерным свойством является то, что график показательной функции с любым основанием проходит через точку (0; 1)) (слайд №14).

    Есть точка нуль и единица.
    И хоть график функции быстро вверх (вниз) стремится,
    В любом он случае через эту точку проходит –
    Она все графики в пучок единый сводит!

    А свойство монотонности показательной функции используется при решении многих задач.

    Например: 1) Сравнить числа, и .

    Рассмотрим функцию , т.к. основание , а , то она монотонно убывает, сравниваем показатели: – 2 < 2, значит, .

    2) Сравнить числа и .

    Т.к. функция возрастает (основание больше единицы) и –2 < 2, то < .

    Я предлагаю вам выполнить несколько заданий, чтобы проверить, как вы усвоили новый материал.

      1. Обучающая самостоятельная работа (4 минуты).
      2. На листочках заранее написаны задания самостоятельной работы (см. приложение 4), необходимо только указать ответ, время для работы 4 минуты.

        По истечении указанного времени:

        Ребята, обменяйтесь листочками, проверьте правильность выполнения работы с помощью слайда, учитывая критерии, оцените работу товарища (правильные ответы проецируются на экран) (слайд №15).

        После взаимопроверки, ученики возвращают свои работы. Кто получил сегодня “5”, “4”, “3”? Итак, “5” получили… человек, “4” – …, “3” – … Молодцы!!!

        Я проанализирую ваши решения, и на следующем уроке объявлю вам результаты.

        Что нового вы сегодня узнали на уроке? (дали определение, сформулировали свойства и построили график показательной функции.)

        Достигли ли мы поставленных целей (слайд №15)?

        Ребята, вернемс

    urok.1sept.ru

    Конспект урока 10 класс Показательная функция, ее свойства и график

    Конспект урока по алгебре и началам математического анализа в 10 классе.

    Широковой В.Г.

    Тема: “Показательная функция, ее свойства и график”

    Цель урока:

    Ученик должен знать:

    -Понятие показательной функции

    -Свойства степени

    -Область определения, множество значений показательной функции

    -Алгоритм решения уравнений и строить график.

    Ученик должен уметь:

    -Уметь построить график функции

    — Уметь решать уравнения.

    Задачи урока:

    Образовательные: увеличить знания по теме “Показательная функция, ее свойства и график”. Формировать умение использовать знания полученные ранее.

    Развивающие: формировать устойчивость внимания. Совершенствовать вычислительные навыки и словестно-логическое мышление у учащихся. Развивать память.

    Воспитательные: воспитывать интерес к данному предмету.

    Тип урока: комбинированный.

    Структура урока.

    1. Организационный момент. (1мин.)

    2. Проверка выполнения домашнего задания. (9мин.)

    * Мини-тест

    3. Объяснение нового материала. (15мин.)

    4. Закрепление изученного материала. (15 мин.)

    5. Подведение итогов урока. Выставление оценок и отметок. (4 мин).

    6. Домашнее задание

    Ход урока.

    1. Организационный момент. (1мин.)

    2. Проверка выполнения домашнего задания. (9мин.)

    1 вариант.

    1. Решите уравнение: hello_html_m258a2582.gif

    1. 6 b) -6 c) -14 d) 14

    1. Решите уравнение: hello_html_4078e359.gif

    1. 20 b) -20 c) -10 d) 10

    1. Найти функцию, обратную к функции hello_html_79d40c70.gif

    1. hello_html_m3434faa2.gif b) hello_html_442e3f9c.gif c) hello_html_318252e7.gif d) hello_html_5cc765cf.gif

    1. Сравните числа hello_html_m5762e13.gifи hello_html_m2269a398.gif

    а)hello_html_m5762e13.gif=hello_html_m2269a398.gif b) hello_html_7819c166.gif c) hello_html_m688f3f8b.gif

    2 вариант.

    1. Решите уравнение: hello_html_60d0f84.gif

    1. 6 b) -6 c) -8 d) 8

    1. Решите уравнение: hello_html_m33dc9e44.gif

    1. 11 b) -11 c) -4 d) 4

    1. Найти функцию, обратную к функции hello_html_25fda48b.gif

    1. hello_html_m65da6ab5.gif b) hello_html_m778ce7f0.gif c) hello_html_353274b5.gif d) hello_html_m23b48317.gif

    1. Сравните числа hello_html_m5762e13.gif и hello_html_79fbf11d.gif

    а)hello_html_m5762e13.gif=hello_html_79fbf11d.gif b) hello_html_444c2733.gif c) hello_html_599f0b1b.gif

    3. Объяснение нового материала. (15 мин.)

    Напомним основные свойства степени

    1. hello_html_m527d60a5.gif

    2. hello_html_m623f80d2.gif

    3. hello_html_m4c407778.gif

    4. hello_html_m7169b72c.gif

    5. hello_html_4f870856.gif

    6. hello_html_m155ee744.gif

    7. hello_html_m3df489ed.gif, если hello_html_54fee40f.gif

    8. hello_html_m42e24348.gif, если hello_html_m4b46a5d7.gif

    9. hello_html_m2f55ee98.gif, если hello_html_5a4064c1.gif

    Показательной функцией называется функция вида hello_html_m62c8957.gif, где hello_html_47a9dd3c.gif – заданное число, hello_html_762a6da3.gif.

    Примеры: hello_html_6279b475.gif

    Свойства показательной функции.

    1. Область определения показательной функции – множество R всех действительных чисел (hello_html_m69435a37.gif)

    2. Множество значений показательной функций множество всех положительных чисел.

    3. Показательная функция hello_html_m62c8957.gif является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если hello_html_627225c0.gif, и убывающей, если hello_html_342f02e2.gif.

    Это следует из свойств степени (8) и (9).

    Пример 1. Построить графики функции hello_html_m2e6de366.gifи hello_html_648fc0b6.gif

    1* hello_html_m3b65eef2.gif

    X

    -2

    -1

    0

    1

    2

    Y

    hello_html_m45f32651.gif

    hello_html_4d61ccbf.gif

    1

    2

    4

    График функции проходит через точку (0,1) и расположен выше оси hello_html_381f5249.gif.

    Если hello_html_3ffdf6ea.gif и hello_html_1babcc4b.gif увеличивается, то график функции быстро приближается у оси hello_html_381f5249.gif.

    Если hello_html_m70f39293.gif и hello_html_1babcc4b.gif увеличивается, то график поднимается вверх.

    hello_html_m1d96266d.png

    2* hello_html_648fc0b6.gif

    X

    -2

    -1

    0

    1

    2

    Y

    4

    2

    1

    hello_html_4d61ccbf.gif

    hello_html_m45f32651.gif

    График функции проходит через точку (0,1) и расположен выше оси hello_html_381f5249.gif.

    Если hello_html_m70f39293.gif и hello_html_1babcc4b.gif увеличивается, то график функции быстро приближается у оси hello_html_381f5249.gif.

    Если hello_html_3ffdf6ea.gif и hello_html_1babcc4b.gif увеличивается, то график поднимается вверх.

    hello_html_m7727fedc.png

    Пример 2. Решить уравнение hello_html_m6cae1b4e.gif.

    По свойству (2) показательной функции данное уравнение имеет корень, так как 27hello_html_7a153dae.gif

    hello_html_m6cae1b4e.gif

    hello_html_471d7481.gif

    hello_html_27ced583.gif

    Ответ: hello_html_480156b8.gif Других корней нет, так как функция hello_html_715389de.gif возрастает на всей числовой прямой.

    1. Закрепление изученного материала. (15 мин.)

    № 195 с. 75 (Устно) Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа.

    1. hello_html_m322c9484.gif

    hello_html_23a9833a.gif

    hello_html_9f2e52b.gif hello_html_38d7cad9.gif

    1. hello_html_m2e81190c.gif

    hello_html_m19abc44.gif

    hello_html_7de207cf.gif hello_html_m5747d684.gif

    1. hello_html_m65355f5d.gif

    hello_html_12cce493.gif

    hello_html_3dc5e1f1.gif

    1. hello_html_m67eca0b4.gif

    hello_html_38bc943d.gif

    hello_html_7df0047d.gif

    1. hello_html_7e504044.gif

    hello_html_m2d017692.gif

    hello_html_39ca46d6.gif

    1. hello_html_m53bdd116.gif

    hello_html_66590fb3.gif

    hello_html_m6c90997f.gif

    № 197 с.76. Найти координаты точки пересечения графиков функции:

    1. hello_html_m3b65eef2.gif и hello_html_49381859.gif

    hello_html_m459bc481.gif

    hello_html_m3c8c495a.gif

    hello_html_27ced583.gif

    Ответ: (3;8) точка пересечения графиков функции

    1. hello_html_715389de.gif и hello_html_315d4048.gif

    hello_html_m7227dbea.gif

    hello_html_m6df50f54.gif

    hello_html_m155fea82.gif

    Ответ: (-1;hello_html_m79f5502f.gif) точка пересечения графиков функции

    1. hello_html_m5121f423.gif и hello_html_30ee654b.gif

    hello_html_9798128.gif

    hello_html_76744aba.gif

    Ответ: (2;hello_html_m79f5502f.gif) точка пересечения графиков функции

    1. hello_html_43c6a9d3.gif и hello_html_37841af5.gif

    hello_html_ebba786.gif

    hello_html_ma428a77.gif

    Ответ: (-2;hello_html_4738ab78.gif) точка пересечения графиков функции.

    № 199 с.76 (Устно). Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция.

    1. hello_html_m26f39915.gif значит, данная функция является возрастающей.

    2. hello_html_2185d6c9.gif, значит данная функция является возрастающей.

    3. hello_html_5293411f.gifзначит, данная функция является возрастающей.

    №200 с.76 (1,3) Решить графически неравенство.

    1. hello_html_7deca88c.gif

    hello_html_m23ede81b.gif

    hello_html_m49743dfb.gif

    X

    -2

    -1

    0

    1

    2

    Y

    9

    3

    1

    hello_html_7e008e6d.gif

    hello_html_2c30440e.gif

    hello_html_25cc6609.png

    hello_html_3ffdf6ea.gif

    1. hello_html_m186be9db.gif

    hello_html_629e962c.gif

    hello_html_m28175390.gif

    X

    -2

    -1

    0

    1

    2

    Y

    hello_html_m131f1187.gif

    hello_html_m3667af12.gif

    1

    5

    25

    hello_html_m40cb5031.png

    hello_html_m186be9db.gif

    hello_html_26da9e7e.gif

    1. Подведение итогов урока. Выставление оценок и отметок (4 мин).

    — Что такое показательная функция?

    Ответ: Показательной функцией называется функция вида hello_html_m62c8957.gif, где hello_html_47a9dd3c.gif – заданное число, hello_html_762a6da3.gif.

    — Свойства показательной функции

    Ответ: а) ООФ множество R (hello_html_m11d61cce.gif)

    б) Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел

    в) Показательная функция hello_html_m62c8957.gif является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если hello_html_627225c0.gif, и убывающей, если hello_html_342f02e2.gif.

    — Примеры показательной функции.

    Ответ: (примерный) hello_html_4e1d42eb.gif

    1. Задание на дом №192, №196, №200(2,4)

    Литература: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин 10-11 класс Алгебра и начала математического анализа.

    infourok.ru

    Показательная функция, ее свойства и график

    Показательной функцией называется функция вида Подготовка к ГИА и ЕГЭ, где Подготовка к ГИА и ЕГЭ

    На этом интерактивном чертеже вы можете исследовать зависимость свойств функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значение Подготовка к ГИА и ЕГЭ. Подвигайте ползунок и посмотрите, как меняются свойства показательной функции:


    Обратите внимание:

    • при Подготовка к ГИА и ЕГЭ функция не определена;
    • при Подготовка к ГИА и ЕГЭ получаем функцию Подготовка к ГИА и ЕГЭ, определенную при Подготовка к ГИА и ЕГЭ;
    • при Подготовка к ГИА и ЕГЭ получаем функцию Подготовка к ГИА и ЕГЭ, определенную при Подготовка к ГИА и ЕГЭ;
    • график показательной функции всегда проходит через точку с координатами Подготовка к ГИА и ЕГЭ

    Итак, при Подготовка к ГИА и ЕГЭ график функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ имеет такой вид:

    33

    При Подготовка к ГИА и ЕГЭ график функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ выглядит так:

    33

    Свойства показательной функции:

    1.Область определения:  Подготовка к ГИА и ЕГЭ —  нет ограничений на ОДЗ.

    2. Множество значений: Подготовка к ГИА и ЕГЭ — принимает только положительные значения.

    3. При Подготовка к ГИА и ЕГЭ функция Подготовка к ГИА и ЕГЭ убывает, то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:

    если Подготовка к ГИА и ЕГЭ, то Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

    4. При Подготовка к ГИА и ЕГЭ функция Подготовка к ГИА и ЕГЭ возрастает, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

    если Подготовка к ГИА и ЕГЭ, то Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

    5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами Подготовка к ГИА и ЕГЭ

    6. Поведение на бесконечности:

    При Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

    Подготовка к ГИА и ЕГЭ при Подготовка к ГИА и ЕГЭ

    При Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

    Подготовка к ГИА и ЕГЭ при Подготовка к ГИА и ЕГЭ

    То есть график функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ имеет горизонтальную асимптоту Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

    И.В. Фельдман, репетитор по математике.Подготовка к ГИА и ЕГЭ

    ege-ok.ru

    Показательная функция

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    Тип урока: урок изучения нового материала.

    Цель урока:обеспечить усвоение учащимися знаний о показательной функции, её свойствах, создать условия для развития умений получать знания посредством проведения исследовательской деятельности и анализа ситуации.

    Развивающие задачи:

    • развитие памяти учащихся;
    • развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли;
    • развитие логического мышления, внимания и умения работать в проблемной ситуации.

    Воспитательные задачи:

    • воспитание умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения.
    • развитие познавательного интереса учащихся;
    • развитие любознательности учащихся;
    • развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели;

    Средства обучения:компьютер, классная доска, слайдовая презентация, интерактивная доска, учебник «Алгебра и начала анализа10-11» под редакцией А.Г.Мордковича, чертёжные инструменты, карточки.

    План урока

    1. Орг. момент 1 мин
    2. Повторение пройденного материала в форме игры 3-4мин
    3. Новая тема 13-15мин
    4. Закрепление изученного материала. 21-23мин
    5. Подведение итогов и домашнее задание 2 мин

    Ход урока

    1. Орг. момент.

    2. Игра «Самый умный на уроке»

    Эта игра проводится с целью актуализации знаний учащихся на уроке изучения нового материала по теме «Показательная функция и ее график».

    Учащемуся предлагается в течение 60 секунд отвечать на вопросы. (листочки розданы заранее)

    Звание «самого умного на уроке» присваивается тому, кто ответил на большее количество вопросов. (итог в конце урока — можно приготовить мини-призы)

    Вопросы:

    1. Независимая переменная (х)
    2. Наглядный способ задания функции (графический)
    3. График четной функции симметричен относительно чего (Оу)
    4. График квадратичной функции называется (парабола)
    5. Что обозначают буквой D (область определения)
    6. Способ задания функции с помощью формулы (аналитический)
    7. График какой функции — прямая (линейной)
    8. О какой функции речь? Чем больше х, тем больше у. (возрастающая)
    9. Свойство функции f(-x) = f(x ) (четность)
    10. Множество значений, принимаемых независимой переменной  (область определения)
    11. Что обозначают буквой Е ? (область значений)
    12. График нечетной функции симметричен относительно чего (начала координат)
    13. О чем речь? Чем меньше х, тем больше у. (убывание)
    14. Множество целых чисел — какая буква? (Z)
    15. Точки пересечения графики функции с осью Ох (нули функции)
    16. Множество действительных чисел — какая буква? (R)
    17. Свойство функции f(-x) = — f(x) (нечетность)

    Проверка ответов слайд№3

    3. Изучение новой темы.

    а) определение

    Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать выводы, спорить.

    В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между величин. Оценка по контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий, стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят случайный характер, другие постоянны.

    Давайте рассмотрим следующие законы. Слайд 4-6

    Рост древесины происходит по закону A=A0*akt

    A — изменение количества древесины во времени;

    A0 — начальное количество древесины;

    t — время, к, а — некоторые постоянные.

    Давление воздуха убывает с высотой по закону: P=P0*a-kh

    P — давление на высоте h,

    P0 — давление на уровне моря,

    а — некоторая постоянная.

    Изменение количества бактерий N=5t

    N-число колоний бактерий в момент времени t

    t- время размножения

    — Что общее объединяет эти процессы? Слайд №7 — схожесть вида формулы, задающей закон у=с·акх

    Тема нашего урока показательная функция. Слайд №8 (запись в тетрадях)

    — Положим в этих формулах с=1,к=1, какую функцию получим? — у=ах

    • постройте график Слайд№9
    • что это за функция?

    б) практическая работа. Слайд№10

    — построить графики функций на отрезк е[-2;3] с шагом 1.

    • 1 вариант у=2х,
    • 2 вариант у=(1/2)х

    Проверим правильность ваших построений Слайд №11

    Давайте сравним графики функций у=2х , у=(3/2)х , у=(5/2)х

    — Какие выводы мы можем сделать? — Чем больше основание ,тем более пологий график.

    А теперь сравним графики функций у=(1/2)х , у=(4/6)х, у=(1/3)х и сделаем соответствующие выводы. — Чем больше основание, тем более пологий график.

    Такие функции называются показательными.

    И сегодня на уроке, мы должны дать определение показательной функции, рассмотреть некоторые свойства и научится применять эти свойства при выполнении заданий, определенного вида.

    Итак, попробуйте сформулировать определение показательной функции.

    (учащиеся отвечают, учитель, если нужно корректирует определение).

    (На слайде №12 появляется определение, учащиеся записывают его в тетрадь)

    По предложенной схеме исследовать функцию. Слайд №13

    Каждый вариант исследует свою функцию

    1. Область определения функции.

    2. Область значений функции.

    3. Точки пересечения с осями координат.

    4. Промежутки возрастания и убывания.

    в) проверка результатов практической работы.

    Слайды №14,15

    На экране появляются графики функций, учащиеся называют свойства, которые демонстрируются. Ученики делают записи в тетрадях.

    4. Закрепление изученного.

    Я предлагаю вам выполнить некоторые задания по теме нашего урока.

    а) Устно.(учащиеся выбирают верный ответ, обосновывая выбор )

    1.»Выбери показательную функцию«.

    а) Функции заранее записаны на доске

    ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

    б). Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию, которая является показательной: (На слайде16 )

    Укажите множество значений функции:

    1.

    2.

    3.

    4.

    Последняя функция — решение в тетрадь Слайд№17

    3. Дана функция: у =аx + b. Вывести правило, по которому можно, не выполняя построение графика данной функции, найти область значения функции. Слайд №18-19 (правило записать в тетрадь)

    Вывод:

    Если у = а х+ b, то Е (у) = (b; +?)

    Если у = ах -b, то Е (у) = (-b; +?)

    4. Укажите возрастающую функцию. Слайд №20

    5. Укажите убывающую функцию.

    б) Письменно.

    Используя свойства убывания или возрастания показательной функции, сравнить с единицей следующие числа: № 1322

    Слайд №21

    г) Самостоятельная работа (если необходимо с помощью учителя).

    Приложение 1. Дидактический материал к уроку по теме «Показательная функция»

    5. Домашнее задание. (на слайде №22)

    6. Подведение итогов. Выставление оценок. (на слайде №23)

    Фрагменты этого урока можно также использовать при повторении пройденного материала, при подготовке к экзамену.

    Цветными геометрическими фигурами на слайдах показаны гиперссылки. (слайд №11,16)

    В ходе подготовки данной работы использовались материалы из опыта работы: Морина С.А. — учитель математики МОУ СОШ №5 г.Железноводска.

    urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск