Показательные сложные уравнения – Показательные уравнения. Более сложные случаи. Конспекты уроков

Показательные уравнения. Более сложные случаи. Конспекты уроков

На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.

1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция – это функция вида , где основание степени и Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

2. Решение типовых показательных уравнений

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель – свести каждое из них к простейшему.

Пример 1:

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Пример 2:

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Пример 3:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

1.

2.

В первом случае получаем

       

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

4. Примеры решения однородных уравнений

Пример 4:

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Пример 5:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

5. Решение системы показательных уравнений

Решение отдельных показательных уравнений является ключом к решению систем показательных уравнений.

Пример 6 – решить систему:

В обоих уравнениях приведем основания степеней к простым числам:

Получили систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных, такие системы мы умеем решать, например, методом подстановки:

Ответ: (1;3)

Итак, мы рассмотрели решение разнообразных сложных показательных уравнений, вывели методики их сведения к простейшим показательным уравнениям. На следующем уроке перейдем к решению показательных неравенств.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Mathematics-repetition. com . Terver. ru . Yourtutor. info .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 465, 471;

2. Решить уравнение:

3. Решить систему уравнений:

dp-adilet.kz

Показательные уравнения. Решения

Решение множества показательных уравнений не обходится без замен, квадратных уравнений и сложных преобразований. Приведенные ниже примеры помогут Вам в этом быстро разобраться и научат решать самые сложные из них. Также Вы сможете выучить некоторые свойства логарифмов без которых показательные уравнения в простой способ не решить. Начнем с самых азов — теоретического материала об уравнениях.
Показательными называют уравнения в которых неизвестная величина содержится в показателе степени, при этом основа степени не содержит неизвестной величины. Самое простое показательных уравнения a

x=b решают логарифмированием x=log[a](b).

При решении показательных уравнений используют свойство показателей: если в уравнение степени с одной и той же основой то равные показатели степени или основание равно единице.
Из равенства следует или .

Некоторые уравнения требуют замены переменной и сводится к решению степенного уравнения. Например уравнения
легко сводится к квадратному если сделать замену
При этом исходное уравнение примет вид
После его решения нужно вернуться к замене и решить полученное уравнение.
Если показательной уравнение содержит две различные показательные функции ( основы не сводятся к одной) , то выполняют деления уравнения на одну из основ в соответствующей степени и переход до показательного уравнения которое содержит функцию с дробной основой.

Находя решения показательных уравнений следует помнить что показательная функция принимает только положительные значения. Отрицательные значения или нули замененной переменной не принимаются к рассмотрению.

На этом необходимый теоретический материал заканчивается и переходим к рассмотрению распространенных примеров.

Пример 1.Решить показательное уравнение

Решение. Перепишем уравнение к следующему виду

Второе слагаемое распишем как произведение

и сделаем замену в уравнении

Исходное уравнение преобразуем к следующему

Областью допустимых значений будет действительная ось за исключением точки y=0.
Умножим его на y и переносим все в левую сторону

Получили квадратное уравнение корни которого находим по теореме Виета. Нетрудно убедиться что они принимают значения

Возвращаемся к замене и находим решения



Выполняем проверку


Итак оба решения удовлетворяют уравнению.

 

Пример 2. Решить показательное уравнение

Решение. Используя одну из свойств логарифма записываем правую сторону уравнения в виде

Приравнивая показатели находим

 

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Такого сорта примеры решают логарифмированием обеих сторон что приводит к сведению показательного уравнения к простому виду.


Полученное уравнение относительно переменной решаем через дискриминант

Корни уравнения приобретут значения



Другого метода позволяющего аналитически получить решения Вы не найдете ни в интернете, ни на форумах.

 

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним некоторые преобразования с показателями чтобы упростить уравнение


Эквивалентные значения подставим в уравнение, в результате получим

Выполняем замену

Уравнение превра

yukhym.com

Решение показательных уравнений. База для уверенной работы.

        Итак, друзья, на прошлом уроке мы с вами познакомились (или научились – кому как) решать самые простые показательные уравнения.

По итогам прошлого урока, в вашей светлой голове должна была остаться общая ключевая информация, касаемо подхода к решению показательных уравнений. Что-то в виде практических советов, а что-то – в самых общих чертах, исходя из примеров, разобранных на уроке.  

        По пунктам:

        1. Первым делом всегда смотрим на основания. Если основания степеней разные, то прикидываем, нельзя ли как-то сделать их

одинаковыми. В первую очередь, пытаемся это делать, активно используя действия со степенями и умение распознавать одно и то же число в разных степенях – целых, дробных и отрицательных.

 

        2. Стремимся привести показательное уравнение к каноническому виду, когда слева и справа стоит одно и то же число в каких угодно степенях. Для этого активно используем действия со степенями и базовые тождественные преобразования уравнений (перенос вправо-влево и умножение/деление).

 

        3. Степени популярных чисел надо уметь узнавать в лицо! Пробуем делать это.

 

        4. Действия со степенями надо знать и уметь применять. Причём в обоих направлениях (слева направо и справа налево)!

        В приведённых советах, если как следует вчитаться и присмотреться, можно заметить очень частое употребление слов:

«пытаемся», «пробуем», «стремимся». Это ключевые слова не только в показательных уравнениях, а во всей математике вообще. Кто пытается, пробует, стремится, у того и получается. Возможно, не сразу, но рано или поздно – обязательно получается! И не только в математике, между прочим. У того же, кто не пробует – не получается ни-че-го! Ничего не поделать. Так уж устроена эта коварная жизнь. К сожалению. Или к счастью.)

        Ну что, продолжаем наращивать наш потенциал?

 

Уровень 3.  Раскладываем на множители!

        К сожалению, для успешного решения очень многих примеров, одних только примитивных действий со степенями и базовых тождественных преобразований уравнений недостаточно. Необходимо ещё грамотно уметь применять и весь остальной набор ваших знаний и умений из младших и средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, не так ли?

        Например, разложение на множители. Привет 7-му классу! Это, между прочим, один из самых популярных приёмов в решении очень многих видов уравнений, не только показательных!

        Например, вот такое уравнение:

        5x+2 – 5x+1 + 5x = 105

        Первый совет (выход на одинаковые основания) здесь не нужен: основания всех степеней уже одинаковые – пятёрка.

        Второй совет (приведение к каноническому виду) здесь тоже пока что не работает: из 105 пятёрку в «красивой» степени никак не сделаешь. Убирать пятёрки тоже не имеем права: во-первых, из-за мешающего нам числа 105, а во-вторых, слева нам необходима одинокая степень пятёрки. А у нас там этих пятёрок целая прорва… Причём сделать из этих трёх пятёрок одну также нельзя: нету в математике стандартных правил на сложение и вычитание степеней…

        Тупик? Вовсе нет!

        Для хоть какого-то продвижения вперёд вспоминаем базовое правило всей математики:

        Не знаешь, что нужно – делай, что можно!

        Вот и смотрим на наше злое уравнение. Причём не просто пучим глазки, думая о чём-то своём, далёком, а именно внимательно всматриваемся. Что в левой части можно сделать? Да там прямо-таки напрашивается вынесение общего множителя за скобки! Но… где же там общий множитель?! Не видите? Ну ладно. Сейчас покажу!

        Начнём с первого слагаемого – с выражения 5x+2. По правилам действий со степенями, это выражение мы имеем полное право переписать вот так:

        5x+2 = 5x·52

        Почему именно так? А как же! Ну ладно, давайте перемножим обратно. По правилу перемножения степеней с одинаковым основанием:

        5x·52 = 5x+2

        Вот и всё, никаких хитростей. Просто здесь, как раз, именно тот самый случай, когда правило действий со степенями

        am·an = am+n

        надо применять справа налево! А я предупреждал: действия со степенями надо уметь применять в обоих направлениях! Да, непривычно, я не спорю. Но ведь и мы тоже серьёзными темами с вами всё-таки занимаемся.) Привыкайте.)

        С выражением 5x+1 полная аналогия:

        5x+1 = 5x·51

        Вставляем теперь наши результаты в уравнение:

        5x·52 — 5x·51 + 5x = 105

        Ну как, осеняет? Да! Теперь уже редкий кадр не увидит, что выносить за скобки надо 5x. Вот и выносим:

        5x(52 — 51 + 1) = 105

        Что дальше можно сделать? Ну, очевидно, можно посчитать выражение в скобках:

        52 — 51 + 1 = 25-5+1 = 21

        Уравнение из злого постепенно превращается в белое и пушистое:

        21·5x = 105

        Вспоминаем теперь, что для ликвидации оснований нам необходима одинокая степень, безо всяких коэффициентов. А число 21 нам мешает. Не беда! Запускаем в ход второе базовое тождественное преобразование и делим обе части на 21. Элементарную математику пока что никто не отменял, да.)

        Получаем:

        5x = 5

        Вот всё и наладилось! Вот мы и вырулили на одинаковые основания слева и справа!

        5x = 51

        x = 1

        Это окончательный ответ.)

        «Многа букафф», да. Но зато понятно, надеюсь. Кстати, кто на «ты» со степенями, тот сразу вынесет 5x за скобки, не расписывая так подробно. Знания – они иногда помогают. Если они есть, конечно…

        Запоминаем: если в уравнении стоит сумма (разность) одного и того же числа в разных степенях, то пробуем применить разложение этой суммы (разности) на множители! А именно – вынесение общего множителя за скобки. Очень часто пример значительно упрощается, и дальнейшая дорога к ответу становится простой и понятной. Всё что можно посчитать в числах – считаем!

        В этом примере мы снова вырулили на одинаковые основания путём элементарных преобразований, сведя исходное уравнение к каноническому виду. А именно – с помощью разложения на множители. К сожалению, такой удачный исход при решении показательных уравнений возможен далеко не всегда. Случается, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот полная их ликвидация – уже никак. Такое явление происходит в уравнениях другого типа. Освоим и его.

        Итак, знакомьтесь!

 

Уровень 4.  Делаем замену переменной!

        Для начала решим вот такое уравнение:

        9x — 4·3x + 3 = 0

        Сначала всё как обычно. Основания разные – девятка и тройка. Ничего, тройка в квадрате – это как раз и будет девятка. Так что выправление оснований никаких проблем не вызывает – приводим все степени с иксами к тройке:

        9x = (3x)2 = 32x

        Получаем вот такое уравнение:

        32x — 4·3x + 3 = 0

        А вот тут-то и застрянем. Старые советы здесь не помогут: как ни ухищряйся, как ни уединяй степени хоть слева, хоть справа, что ни выноси за скобку, канонический вид уравнения (слева и справа степень тройки) мы всё равно не получим. Кстати, кому интересно, можете попробовать: это полезно.)

        Так что же делать? Что-что… Придётся раскрывать вам новое секретное супероружие, предназначенное как раз именно для расправы с такого рода примерами. Да! Это замена переменной!

        Суть любой замены всегда проста до безобразия. Вместо одного сложного выражения мы пишем новую букву. Пусть t, например. Или y. Казалось бы, и какой в этом смысл? Ничего, сейчас интересно будет!

        В нашем примере прямо таки напрашивается заменить выражение 3x новой буковкой. Вот и попробуем. А там – видно будет.

        Итак, пусть

        3x = t

        Тогда, по правилам действий со степенями:

        32x = 3x·2 = (3x)2 = t2

        Ух ты! Кажется, я уже потихоньку догадываюсь, что получится… Ну-ка, ну-ка… Заменяем в уравнении все выражения с иксами на t:

        t2 – 4t + 3 = 0

        Ну и как вам? Квадратные уравнения ещё помните, я надеюсь?)

        Решаем через дискриминант (или по теореме Виета) и получаем два корня:

        t1 = 3

        t2 = 1

        А вот теперь, главное, не останавливаться, как это часто бывает. Это пока ещё не ответ: мы же икс с вами ищем! А буковка t – лишь вспомогательное средство.) Стало быть, возвращаемся к иксу, то есть делаем обратную замену.

        Начнём с t1:

        t1 = 3

        3x = 3

        x1 = 1

        Отлично. Один корень нашли. Теперь ищем второй, уже из t2:

        t2 = 1

        3x = 1

        О-па! Слева 3x, а справа 1… Какая-то нестыковочка… Как же нам из единички сделать справа тройку? Как-как… Да снова свойства степеней вспомнить!) А именно: единичка – это любое число в нулевой степени! Да-да! Совершенно любое (кроме нуля).) Какое хотим, такое и сделаем. Нам нужна тройка. Вот и пишем:

        1 = 30

        3x = 30

        x2 = 0

        Вот и всё. Получили два корня:

        x1 = 1

        x2 = 0

        Это окончательный ответ.

 

        Разберём теперь пример посложнее.

        2x+2 + 7·20,5x – 2 = 0

        Здесь тоже старые советы не действуют. Основания одинаковые, но никакими преобразованиями уединению слева и справа не поддаются: что-то обязательно будет мешаться – либо соседи, либо коэффициенты…. Ну что, попробуем замену? Вопрос – что и как заменять будем? А вот тут уже задачка…

        Для любой замены чётко уясним себе одну простую вещь: замена переменной оправдана тогда и только тогда, когда в примере в разных местах стоят одинаковые выражения с иксом.

        У нас есть выражения 2x+2 и 20,5x. Первое выражение, по правилам действий со степенями, можно немного упростить и переписать вот так:

        2x+2 = 2x·22 = 4·2x

        Уже лучше. Остались лишь 2x и 20,5x. Уже почти похоже.) А вот теперь начинаем прикидывать и размышлять. Примерно так:

        «Если мы за t примем 2x, то что нам тогда нужно сделать с 2x, чтобы получить 20,5x? Очевидно, возвести в степень 0,5. То есть, 20,5x = t0,5 = t1/2.

        Или, по правилам действий с дробными показателями:

        Тогда после такой замены у нас получается иррациональное уравнение с корнями. Как-то оно не очень…

        Так, стоп! А что, если попробовать взять за t не 2x, а наоборот 20,5x? Тогда, для того чтобы из 20,5x сделать 2x, надо 20,5x… возвести в квадрат! Ух ты! Получится квадратное уравнение! Отлично!»

        Да! Именно так.) Вот такая нетривиальная замена. Сразу и не увидишь. Работает привычка. Ну и крепкая дружба со степенями, разумеется.

        Итак, пусть

        20,5x = t

        Тогда

        2x+2 = 2x·22 = 4·2x = 4·(20,5x)2 = 4t2

        Заменяем все конструкции с иксами на выражения с t и получаем:

        4t2 + 7t – 2 = 0

 

        Так и есть! Снова вышли на квадратное уравнение! Решаем его и получаем корни:

        t1 = -2

        t2 = 0,25

 

        А теперь возвращаемся к иксам, делаем обратную замену.

        t1 = -2

        20,5x = -2

        Хм… В какую же такую степень надо возвести двойку, чтобы получить минус два? А вы попробуйте, повозводите! Возьмите полный набор самых разнообразных иксов – целое, дробное, отрицательное, нулевое… Минус два вы всё равно никогда не получите. Но! Самые наблюдательные могут заметить, что, во что двойку ни возводи, всё время будет получаться строго положительное число! А вот этот факт уже очень важен!

        Итак, запоминаем:

        Положительное число в любой степени даёт также положительное число.

       

        Стало быть, нету таких иксов, которые нам минус два дадут. В таких случаях пишут:

        t1 = -2 – посторонний корень

 

        Но это пока ещё не всё: у нас же есть ещё t2!

        t2 = 0,25

        20,5x = 0,25

 

        А вот здесь всё нормально:

        20,5x = 25/100 = 1/4 = 2-2

        20,5x = 2-2

        0,5x = -2

        x = -4

        Вот теперь всё. Получили единственный корень x = -4.

       

        Разумеется, применять замену переменной возможно не только в показательных уравнениях, сводящихся к квадратным. В любых! Лишь бы было что и как заменять. Например, вот такое уравнение:

        3x + 7·31-x = 10

        Здесь та же история. Да, основания одинаковы, но сами степени никак не уединяются, выкидывать тройки — нельзя. Разложение на множители тоже не катит: за скобку ничего не выносится, да и десятка всё время мешаться будет… Остаётся замена. Но, ещё раз напоминаю, что замена оправдана только тогда, когда в уравнении в разных местах стоят одинаковые выражения с иксом! Вот и пробуем сначала добраться до одинаковых выражений!

        Первым делом упрощаем выражение 31-x по правилам действий со степенями:

        31-x = 31·3-x = 3·3x

        Тогда наше уравнение станет таким:

        3x + 7·3·3x = 10

        Или, если ещё чуток упростить:

        3x + 21·3x = 10

        Уже получше. В одном месте в уравнении сидит 3x, а в другом 3x. Похоже, но всё-таки не одно и то же, да… Снова тупик? Да вовсе нет! Мы с вами знаем, что от минуса в степени математика, если надо, позволяет избавляться! Вот так:

        И теперь наше уравнение станет выглядеть вот так:

        Вот и всё! Теперь, кроме 3x, никаких других выражений с иксом в нашем примере больше нет. Делаем замену переменной:

        3x = t

        Тогда наше уравнение станет вот таким:

        Ну как? Узнали? Да! Это классическое дробно-рациональное уравнение. Куда более привычное, нежели исходное показательное, правда?

        А дальше действуем по всем правилам решения дробно-рациональных уравнений: умножаем обе части на t, приводим подобные, собираем всё слева и получаем:

        t2 – 10t + 21 = 0

        Решаем квадратное уравнение и получаем корни:

        t1 = 3

        t2 = 7

 

        А вот сейчас интересно будет! Возвращаемся к нашим иксам.

        Начинаем с t1:

        t1 = 3

        3x = 3

        x1 = 1

        Здесь ничего особенного… Хорошо, на очереди следующий клиент t2:

        t2 = 7

        3x = 7

        Опаньки! Из тройки семёрку через простую степень никак не сделаешь! Не родственники они… Как тут быть? Нет ответа?

        Спокойствие, как говорил Карлсон! Математика своих в беде никогда не бросает! Она нам на этот случай придумала логарифмы! Посему, если вы в теме, то хладнокровно игнорируем этот жуткий факт и с блеском в глазах записываем твёрдой рукой совершенно верный ответ:

        x2 = log37

 

        Вот и всё. Получили тоже два корня:

        x1 = 1

        x2 = log37

 

        Естественно, в заданиях на ЕГЭ из части 1, которые проверяет компьютер, такого экзотического ответа быть никак не может: там всегда конкретное число требуется. А вот в заданиях части 2, с развёрнутым решением, которые проверяются экспертами (т.е. людьми) – запросто! Так что будьте готовы и к таким сюрпризам. Чтобы не зависать, в случае чего.)

        Подытожим темку:

        Замена переменной, порой, существенно упрощает внешний вид примера! В этом и есть весь смысл замены. Очень часто с виду тупиковая ситуация с показательными выражениями после удачной замены превращается в простой и очевидный путь к правильному ответу. Характерные признаки применения замены переменной – присутствие (или получение) одного и того же выражения в разных местах примера.

 

Уровень 5.  Не самые простые примеры. И некоторые дополнительные фишки…

        Некоторые примеры не решаются стандартными методами – выравниванием оснований и уединением степеней, вынесением общего множителя за скобки, заменой переменной. Нет, ну не то что бы совсем-совсем не решаются… Это я зря математику обидел.) Но в таких примерах, как правило, дополнительно требуется смекалка и умение нестандартно мыслить. Хотя бы самую малость. Чтобы догадаться до какого-то нетривиального хода, который и спасёт положение.)

        Но основная проблема состоит в том, что умение нестандартно мыслить, в большинстве своём, не даётся от природы. Его у себя надо развивать. Даже людям, способным к математике. Как именно его надо развивать?

        Что ж, дам несколько самых общих правил.

        Правило №1 — Нужно интересоваться математикой!

        Да-да! А вы как думали? А иначе какой же смысл браться за сложные (и не только) примеры?

 

        Правило №2 — Нужно чётко понимать основные школьные понятия и термины математики.

        Конкретно по нашей теме:

        Что такое степень? Как возводить в степень? Какие бывают правила действий со степенями?

        Что такое отрицательные и дробные показатели и что с ними можно делать?

        Какие вам известны базовые тождественные преобразования уравнений?

        Что такое логарифм и зачем он нужен?

        Может ли положительное число при возведении в степень дать отрицательное число?

        И так далее. Вот берёте, задаёте сами себе определённый вопрос по той или иной теме (в нашем случае – степени и действия с ними) и пытаетесь своими словами, безо всяких заумных фраз, ответить на него. Как именно вы понимаете то или иное понятие, что это такое и как это употребить в дело.

        Прошу заметить, что «выучить» и «понимать» — вещи разные. Выучить, скажем, определение логарифма и понять смысл этого самого логарифма – две большие разницы! В первом случае вы зависните на любом нестандартном, хотя и элементарном вопросе на эту тему, а во втором – скорее всего, даже не заметите проблем.

 

        Правило №3 — Нужно знать основные формулы школьного курса математики.

        Но одного только знания формул мало. Нужно ещё уметь узнавать формулы, узнавать видоизменённые формулы, уметь применять формулы слева-направо и справа-налево. Это всё очевидно, но… сами понимаете.)

 

        Правило №4 – Нужно не бояться.

        А именно – не бояться браться за сложные примеры! Пробовать, пытаться шаг за шагом упростить пример и, возможно, найти решение. Один способ, другой, третий… Что-то подходит, а что-то нет. Это совершенно нормально.

 

        Правило №5 – Нужно думать…

        А вот с думаньем дело обстоит хуже всего, да… Нет, думается что-то, конечно. Иногда озаряет даже. Как молния.)

        К сожалению, как правильно думать, в книжках и в интернете не написано. Это как-то само собой образуется. С богатым опытом. Но некоторые примеры правильных мыслей и рассуждений я не зря выделяю синим цветом! Обращайте на них внимание!

        Итак, обо всём об этом – на этом уровне!

 

        А теперь разбираем примеры. Начнём с довольно безобидного. Решаемого в уме, между прочим.) Если понимать смысл. Допустим, перед нами вот такое уравнение:

        20,17x + 30,3x+1 + 50,23x+2 = -5

        И что тут можно сделать? Похоже, что… ничего.) Совершенно немыслимый набор степеней. Основания разные, друг в друга через степень не превращаются. Показатели – вообще ахтунг!

        Кстати, это и есть подсказка. Значит, где-то спрятан какой-то нестандартный обходной путь, который спасёт положение. И путь этот, скорее всего, до ужаса элементарный…

        Что ж, вскрою этот тайный ход. Обращаемся к Правилу №2 и вспоминаем наши самые общие сведения о степенях. А чуть конкретнее – пример, где я предлагал вам повозводить двойку в самые разнообразные степени. Забыли? Зря. Из того примера у вас должно было остаться важное знание. А именно – положительное число в любой степени даёт также положительное число.

        Конкретно в нашем примере:

        20,17x >0

        30,3x+1 >0

        50,23x+2 >0

        А теперь осмысливаем: может ли сумма положительных чисел дать нам в результате минус пять? Конечно же, нет! Ни при каком иксе такое равенство не получится.

        Ответ: корней нет.

        Возможно, кто-то подумает, что этот пример я дал чисто для прикола. Нет! В серьёзных заданиях (скажем, в задачах части 2 из ЕГЭ) необходимо уметь выкидывать целые куски примера из детального рассмотрения. Чтобы не зависать и не тратить время зря на поиск очевидного ответа.

        А вот следующий пример уже так просто не спишешь, да…

        Решить уравнение:

        6x – 9·2x — 8·3x + 72 = 0

        Начинаем размышлять:

        «Хм… И что тут можно сделать? Основания – разные, к одному и тому же числу никак не сводятся. За скобку ничего не вынесешь. И замена тоже не проходит. Пример явно не простейший…

        Но… Вообще говоря, чем больше одинаковых выражений в примере и меньше разных, тем лучше! Поэтому, первым делом, преобразую-ка я выражение 6x. Разложу шестёрку как 2·3, связав 6x с уже имеющимися в примере выражениями 2x и 3x:

        6x = (2·3)x = 2x·3x»

        Вот вам наглядный пример того, как нужно правильно думать. Да! Разложим 6x на отдельные степени двойки и тройки. Ну ведь явно ни к чему здесь шестёрка! Что получим:

        2x·3x – 9·2x — 8·3x + 72 = 0

        Продолжаем размышления:

        «И дальше что? В уравнении есть 2x и есть 3x. Из двойки тройку через простую степень не сделаешь, это понятно. Стало быть, можно даже не пытаться как-то выровнять основания. Хорошо было бы как-то разделить разные виды показательных выражений. Но как этого можно добиться? Только одним путём — попробовать разложить левую часть на множители! Тем более, что справа в уравнении стоит ноль! Это явный намёк…

        За скобку тут ничего не вынесешь, так как общего множителя, сидящего во всех слагаемых, здесь нет. Но! У нас же есть ещё один оч-чень мощный способ разложения подобных выражений! Группировка называется.) А не попробовать ли сгруппировать слагаемые таким образом, чтобы всё получилось? Ну-ка, посмотрим…»

        Да! Именно так. Только группировка в этом злом примере даёт нам шанс растащить разные типы показательных выражений (2x и 3x). Так что пробуем и группируем. Других вариантов как-то выкрутиться просто нет. Заключаем в скобочки выражения, в которых точно есть общий множитель, есть что вынести.

        Хотя бы вот так:

        (2x·3x – 9·2x) – (8·3x – 72) = 0

        Теперь видно, что в первых скобках можно вынести 2x, а во вторых – восьмёрку. Выносим:

        2x(3x – 9) – 8(3x – 9) = 0

        Вот и отлично. В скобках остались совершенно одинаковые выражения! И теперь эти скобочки сами стали общим множителем. Можно и их вынести:

        (3x – 9)(2x – 8) = 0

        Всё! Слева – произведение скобок, справа – ноль. А дальше уже всё ясно: произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

        Обратите внимание, как красиво разделились разные типы показательных выражений! Разошлись по своим скобочкам. И теперь каждую из них стало возможно рассматривать независимо друг от друга!

        Приравниваем к нулю первую скобочку:

        3x – 9 = 0

        3x = 9

        3x = 32

        x1 = 2

 

        Со второй аналогично:

        2x – 8 = 0

        2x = 8

        2x = 23

        x2 = 3

        Вот всё и получилось. Два корня.

 

        Запоминаем: при решении сложных примеров очень часто применяется разложение на множители способом группировки. Основная цель – разделить разные типы показательных выражений.

        А вот в следующих двух примерах уже и группировка не спасёт…

        Для начала вот такой:

        5·3x — 7·2x = 0

        Казалось бы, коротенькое и простенькое уравнение. Но… За что зацепиться? Совершенно безумный набор чисел, ни одно из них друг в друга не превращается. Специально, поди.) Ни разложение на множители не катит, ни замена…

        Спокойствие! На подобного рода примеры тоже есть своё секретное оружие. Называется – почленное деление на показательное выражение. Характерный признак применения такой процедуры – разные основания, но одинаковые показатели. Ибо по нашим незабвенным свойствам степеней мы знаем, что

        А теперь смотрим на уравнение. У нас есть тройка в степени икс и двойка также в степени икс. И, глядя на уравнение, прямо-таки напрашивается вместо двух разных степеней сделать одну. А что, если поделить обе части уравнения на какое-то из показательных выражений? Например, на 2x?

        Что ж, посмотрим. Делим:

        Вот и первый хитрый вопрос: почему я так смело делю всё уравнение на 2x? Ведь в теме про уравнения открытым текстом сказано, что делить мы имеем право только на отличное от нуля число! А тут в показателе икс есть! Кто ж его знает, какое он там число даст… Подумайте пока, ответ будет чуть ниже, после расправы над этим злым уравнением.

        А мы продолжаем. Вспоминаем действия со степенями, сокращаем что сокращается и получаем:

        Цель деления достигнута: вместо двух различных значков 3x и 2x стал один значок (3/2)x. Уже гораздо проще, правда?)

        А дальше дело техники. Уединяем степень слева: переносим семёрку вправо и делим на пятёрку. Получаем:

        Можно, для краткости, (но не обязательно) перевести дроби в десятичные:

        1,5x = 1,4

        Всё. Получено простейшее показательное уравнение. Слева – чистая степень, а справа – число. Правда, сами числа какие-то корявые… Выравнивание не катит… Ну и ладно, ничего страшного. Логарифмы — они выручают всегда!

        Так прямо и пишем:

        x = log1,51,4

 

        Вот и всё. Да, такой вот хитрый ответ у примера, через логарифм! Так и уравнение у нас тоже не подарок, прямо скажем. Мы ведь уже на пятом уровне с вами, не так ли? И, кстати сказать, даже по внешнему виду уравнения сразу было понятно, что ответ красивым целым числом не получится.

        Возможно, кто-то спросит: «А что, если поделить это же уравнение не на 2x, а на 3x? Это как-то повлияет на ответ?» А вы не поленитесь и попробуйте! И сравните. Будет интересно.)

        А теперь обещанный ответ на хитрый вопрос, почему же мы можем смело делить всё уравнение на показательное выражение с иксом типа 2x, 32x и т.п. Ведь, казалось бы, в показателе сидит икс! А делить на выражение с иксом мы имеем право лишь тогда это выражение отлично от нуля! А откуда мы знаем, какое там число получится – ноль, не ноль…

        Любое число может получиться! Почти… Но не ноль! Ещё раз (уже третий по счёту!) напоминаю, что положительное число в любой степени (в том числе и с иксом!) даёт число положительное! Никогда не получится ни отрицательное число, ни ноль! Именно поэтому такое деление в показательных уравнениях применяется весьма и весьма часто. И, как видите, порой только оно и спасает.

        Ну и на десерт рассмотрим ещё одно уравнение на деление. С одной стороны оно посложнее (ибо решается дольше), а с другой — попроще (ибо безо всяких логарифмов, все числа – красивые).

        Вот оно:

        5·32x + 3·52x = 8·15x

        С чего начинать? Ну, пока сделаем очевидное преобразование – распишем 15x как произведение 3x·5x. Всё-таки два основания в примере получше, чем три, правда?

        Получим:

        5·32x + 3·52x = 8·3x·5x

        Ну вот, уже гораздо приятнее. В основаниях остались только тройки и пятёрки. Но… Что же дальше? Основания разные, к одному через степень не приводятся. Замена не годится: нету пока что одинаковых выражений с иксами. Вынесение общего множителя за скобки и группировка – тоже не канают: ни выносить нечего, ни группировать… Так, стоп! А что, если поделить обе части уравнения на… да хоть на что-нибудь! Например, на 52x.

        Что получим:

        И чем же нам помогло такое, казалось бы, бессмысленное действие? Терпение! Сейчас всё будет! Работаем дальше. Упрощаем каждое слагаемое по правилам действий со степенями, сокращаем то, что сокращается и получаем:

        Ну и как? Осенило? Да! Теперь уже очевидно, что можно сделать замену (3/5)x = t. Получится квадратное уравнение. Кажется, жизнь налаживается!

        5t2 + 3 = 8t

        5t2 – 8t + 3 = 0

        Решаем и получаем корни:

        t1 = 1

        t2 = 3/5

        Возвращаемся к иксам. Для t1 = 1 получим:

        Для t2 = 3/5 получим:

        Видите! Всего одно бесполезное, казалось бы, действие (деление на 52x) – а эффект колоссальный! Сразу же всё высвечивается – что преобразовать, что сократить, что заменить…

 

        Запоминаем: при решении сложных примеров очень часто применяется почленное деление на показательное выражение. Основная цель – сделать как можно больше одинаковых выражений в примере.

 

        А теперь второй хитрый вопрос.) Мы с вами решаем самые разные показательные уравнения. Простые и не очень. Почему я ни разу не сказал здесь про ОДЗ? В уравнениях это весьма и весьма важная штука, между прочим!

        Да, важная, безусловно. Но фишка в том, что показательные выражения типа 2x, 32x и тому подобные, имеют смысл при любом икс! Нету никаких ограничений на показатель степени. Любым может быть показатель. Вот обычно и не вспоминают про ОДЗ в показательных уравнениях.

        Но я всё-таки вспомнил. И не зря. Привыкают люди к типовым примерам (когда в показателях стоят простые выражения типа x, 2x+1 и т.п.), вот и не вспоминают про ОДЗ в показательных уравнениях. Вообще! Даже и в таких показательных уравнениях не вспоминают:

        А вот здесь уже есть ограничение! В показателе слева икс не может равняться тройке! На ноль делить нельзя. В том числе и в показателе, да.) И, если по привычке проигнорировать это ограничение, то, чего доброго, можно и ответ неверный получить.

        Так что привычка привычкой, но внимание – превыше всего.

 

        Ну что! Поздравляю! Мы с вами успешно поработали с показательными уравнениями на всех уровнях! И теперь – финальный аккорд. Обещанная домашка. Да-да, решать так решать! Вам же экзамен сдавать, а не мне.) Так что меняем мышку на ручку и — тренируемся.)

        Уравнения даю вразброс, никак не сортируя их ни по типам, ни по способам решения. Ибо так интереснее.)

        Рецепт здесь один: внимательно осматриваем уравнение и сами лично выбираем способ решения. Если сразу не осеняет, то поочерёдно пробуем  все известные вам приёмы, о которых я рассказал на прошедших уроках. Что-то сработает, что-то – нет. Это не страшно. Пробуем дальше. Что-то обязательно сработает!

 

        Решить уравнения:

        

        Да-да, прошу не удивляться последнему уравнению! Это уравнение смешанного типа: иксы стоят и в показателях, и просто так. Такие уравнения мы с вами не рассматривали, да.) Но материала этого урока вполне достаточно для успешной расправы с этим монстром. И да поможет вам седьмой класс (это подсказка)!

 

        Ответы (в беспорядке):

        x = -2

        x1 = -1    x2 = log25

        x = 2

        x = 5

        x1 = 0     x2 = 0,5

        x = 1

        x1 = -0,5   x2 = 0,5

        x1 = -3    x2 = 0

        решений нет

        

abudnikov.ru

Показательные уравнения (уровень С) — Колпаков Александр Николаевич

Банк заданий на показательные уравнения для подготовки к ЕГЭ по математике и внутреннего экзамена в МГУ. Коллекция моих любимых уравнений. Обычно сильные репетиторы по математике ведут работу со способными выпускниками, поступающими на серьезные факультеты главного ВУза страны, за границами традиционных ЕГЭ задач. Хороший репетитор предложит Вам подборку классических показательно — логарифмических уравнений на разные виды и способы решений. Учебные планы репетитора по математике, занятого исключительно подготовкой к ЕГЭ, обычно не затрагивают подобные головоломки. Они предлагаются в случае занятий для поступления МГУ или разбираются на уроках с любознательным учеником, заинтересованном в дополнительных знаниях.

Показательный вид — наиболее простой из всех конкурсных уравнений, поэтому собрать номера с высоким уровнем сложности оказалось делом нелегким. Здесь опубликована только часть материалов моей базы. Она постоянно пополняется новыми заданиями. Появится время — размещу остальное.

Уважаемые репетиторы по математике и школьные преподаватели, присылайте понравившиеся Вам сложные показательные уравнения мне на почту (принимается сканер или фото условия). С удовольствием включу их в комплект.

Коллекция показательных уравнений репетитора по математике

Приведите к простейшему показательному уравнению:

3^x=5\cdot 15^{\frac{1}{x}}

5^x \cdot 4^{\frac{x+1}{x}}=80

2^x \cdot 3^{\frac{x-2}{x}}=4

=====================================================
Однородные уравнения:

4^x +6^x=2\cdot 9^x

36^x - 2\cdot 5^{2x}+30^{x}=0

3 \cdot 25^{x+1}+98\cdot 15^{x}=5 \cdot 9^{x+1}

3^{x}+\sqrt{3^{x+2}\cdot 7^x}=3\cdot 7^{x}+\sqrt{21^x}

2^{x+2}+\sqrt{2^{x+6}\cdot 5^x}=9\cdot 5^{x+1}

=====================================================
На преобразования и замену:

3^{\dfrac{x+2}{4-x}}-7 \cdot 3^{\dfrac{x-1}{4-x}}-6=0
Отв: x=2,5

5^{\dfrac{x+1}{x-3}}-23 \cdot 5^{\dfrac{x-1}{x-3}}-250=0
Отв: x=4

\left ( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right )^x +  \left ( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right )^x = 4
Отв: x_1=-2; x_2=2

\left (6 - \sqrt{35} \right )^x +  \left ( 6 + \sqrt{35} \right )^x = 142
Отв: x=\pm 2

\left ( \sqrt[4]{2-\sqrt{3}} \right )^x +  \left ( \sqrt[4]{2+\sqrt{3}} \right )^x = 4
Отв: x_1=-4; x_2=4

4^{x^2-x} - 10\cdot 2^{x^2} + 2^{2x+4}=0

======================================================
Уравнения с квадратным трехчленом:

3 \cdot 4^x +(3x-10) \cdot 2^x + 3-x =0
Отв: x_1=-\log_2 {3};x_2=1

2\cdot 2^{2x}+x \cdot 2^{x+1}-2^x+x-1=0

16^{2-x}+2x \cdot 4^{2-x} - 4^{2-x} + 4x -6 =0
Отв: x_1=1,5; x_2=2

======================================================
На метод оценки значений:

4^{\sqrt{x+2}} - 2^x = 4 \cdot \left (4^{-2\sqrt{x+2}}-4^{-x} \right )

8^{\sqrt{x+4}} - 2^{3x} = 16 \cdot \left (2^{-4\sqrt{x+4}}-2^{-4x} \right )

27^{\sqrt{x+9}} - 3^{3x} = 9 \cdot \left (9^{-\sqrt{x+9}}-3^{-2x} \right )

\sqrt {2^{x+1}-1}=1-x

======================================================
На монотонность

3^x+4^x=5^x

Sin^2 3^{\circ} + Cos^2 3^{\circ}=1

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — составитель комплекта. Москва, Строгино

ankolpakov.ru

Показательные уравнения. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1. Определение показательного уравнения

Сложность: лёгкое

1
2. Показательное уравнение с отрицательным показателем степени

Сложность: лёгкое

2
3. Определение показательного уравнения (корень n-ой степени)

Сложность: лёгкое

1
4. Определение корня n-ой степени

Сложность: лёгкое

1
5. Показательное уравнение с корнем

Сложность: среднее

1
6. Показательное уравнение (приведение к одному основанию)

Сложность: среднее

2
7. Показательное уравнение с приведением к одному основанию

Сложность: среднее

2
8. Показательное уравнение (приведение к общему основанию)

Сложность: среднее

2
9. Показательное уравнение (дробные показатели)

Сложность: среднее

2
10. Показательное уравнение (общий множитель)

Сложность: среднее

2
11. Показательное уравнение с общим множителем

Сложность: среднее

2
12. Показательное уравнение (умножение степеней)

Сложность: среднее

2
13. Показательное уравнение (деление степеней)

Сложность: среднее

2
14. Решение показательного уравнения (умножение степеней)

Сложность: среднее

2
15. Количество корней показательного уравнения, графический метод

Сложность: среднее

1
16. Показательное уравнение и неравенство, графический метод

Сложность: среднее

3
17. Показательное уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

4
18. Показательное уравнение с обратной дробью

Сложность: среднее

4
19. Показательное уравнение, сводимое к одному основанию

Сложность: сложное

3
20. Свойства степени в показательном уравнении

Сложность: сложное

3
21. Однородное уравнение

Сложность: сложное

7

www.yaklass.ru

11.3.6. Решение систем показательных уравнений   математика-повторение

Что является обязательным при решении системы показательных уравнений? Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений. 

Примеры.

Решить системы уравнений: 

 

Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.

 

Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:

2х+2x+2=10, применяем формулу: ax+y=axay.

2x+2x∙22=10, вынесем общий множитель 2х за скобки:

2х(1+22)=10 или 2х∙5=10, отсюда 2х=2.

2х=21, отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.

Ответ: (1; 2).

 Решение.

Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5.

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5.

Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.

 

 

Находим у.

 

Ответ: (2; 1,5).

Решение.

Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение относительно переменной v.

Решаем (2) -ое уравнение системы.

v (v+63)=64;

v2+63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v1+v2=-63; v1∙v2=-64.

Получаем: v1=-64, v2=1. Возвращаемся к системе, находим u.

 

Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4x=-1 и 4y=-64 решений не имеют.

Представляем 64 и 1 в виде степеней с основанием 4.

Приравниваем показатели степеней и находим х и у.

 

Ответ: (3; 0).

Ответ: (2; 1).

 

 

Запись имеет метки: системы показательных уравнений.

www.mathematics-repetition.com

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о