Замечаем, что а :

Делим обе части на положительную величину :

Делаем замену
Полученное квадратное уравнение имеет корни −1 и  .

В случае
решений нет.

В случае

имеем единственный корень

Ответ:

Вообще, показательные уравнения вида

называются однородными. Для них существует стандартный приём решения — деление обеих частей на  (эта величина не равна нулю, так как показательная функция может принимать только положительные значения). Именно этим приёмом мы в данной задаче и воспользовались.

С однородными уравнениями, кстати, мы уже встречались — в тригонометрии. Это были уравнения вида
Их мы решали похожим приёмом — делением на

Показательные уравнения. Решение показательных уравнений.

Примеры решения показательных уравнений

Закрепим теорию практикой, то есть, рассмотрим примеры решения показательных уравнений. На них мы разберем все основные нюансы, возникающие при использовании того или иного метода решения показательных уравнений.

Начнем с примеров решения простейших показательных уравнений. В первом примере главный интерес представляют рассуждения, обосновывающие отсутствие корней у простейших показательных уравнений с отрицательными числами в правых частях.

Во втором примере показано, как оформлять решение простейших показательных уравнений с нулями в правых частях.

Вот пример решения простейших показательных уравнений, в обеих частях которых находятся степени с одинаковыми основаниями.

Простейшие показательные уравнения в следующем примере требуют изначального приведения уравнения к виду a^x=a^c.

Следующие простейшие показательные уравнения имеют положительное число в правой части и решаются через логарифм.

Теперь сосредоточимся на решении показательных уравнений методом уравнивания показателей. В первом примере внимание сосредоточим на самом методе.

Для решения следующего показательного уравнения методом уравнивания показателей достаточно вспомнить, что число можно рассматривать как степень этого числа с показателем 1.

Для закрепления метода уравнивания показателей предлагаем рассмотреть еще один пример решения показательного уравнения.

Дальше на примерах разберем, как проводится решение показательных уравнений методом разложения на множители.

Часто перед применением метода разложения на множители требуется провести некоторые преобразования показательного уравнения, чтобы получить произведение в левой части уравнения и нуль в правой части. Решим такой пример.

Теперь разберем на примерах, как проводится решение показательных уравнений методом введения новой переменной. Начнем с решения показательного уравнения, в записи которого переменная фигурирует только в составе одинаковых выражений.

Метод введения новой переменной используется и для решения показательных уравнений, переменная в которых находится в составе степеней с противоположными показателями. Вот пример решения такого показательного уравнения.

Есть и другие типичные показательные уравнения, решающиеся методом введения новой переменной. Вот характерные примеры с решениями.

Решение многих показательных уравнений упирается в проведение преобразований. Для показательных уравнений наиболее характерны преобразования, базирующиеся на свойствах степеней и на связи корней со степенями. В статье «Решение показательных уравнений через преобразования» Вы найдете массу соответствующих примеров с решениями.

Некоторые показательные уравнения в результате проведения преобразований могут сводиться к числовым равенствам. В статье «Решение показательных уравнений, сводящихся к числовым равенствам» дан принцип их решения. Решение двух показательных уравнений, первое из которых сводится к неверному числовому равенству, а второе – к верному, приведем здесь.

Показательные уравнения, в левой части которых находится некоторая дробь, а в правой – число 0, на области допустимых значений для этих уравнений заменяются уравнениями «числитель равен нулю». Вот примеры решения характерных показательных уравнений из статьи «Решение показательных уравнений дробь равна нулю».

Переходим к примерам решения показательных уравнений h(f(x))=h(g(x)) методом освобождения от внешней функции h. Главная сложность при их решении, обычно, заключается в том, чтобы разглядеть соответствующую структуру уравнения и обосновать, что внешняя функция принимает каждое свое значение по одному разу. За более полной информацией обращайтесь к материалу «Решение показательных уравнений методом освобождения от внешней функции», а вот соответствующий пример с решением.

Стоит привести пример решения показательного уравнения методом логарифмирования. Обычно методом логарифмирования решают показательные уравнения, части которого представляют собой степени, произведения или частные степеней, возможно, с числовыми коэффициентами. Дополнительный материал по теме есть в статье «Решение показательных уравнений методом логарифмирования». Сейчас приведем типовое решение показательного уравнения методом логарифмирования.

Иногда получить решение показательного уравнения позволяет ОДЗ. Это касается случаев, когда ОДЗ состоит из нескольких чисел или является пустым множеством. Подробнее об этом написано в статье «Решение показательных уравнений через ОДЗ». Здесь же нас интересует пример решения характерного показательного уравнения.

Остается рассмотреть примеры решения показательных уравнений каждым из направлений функционально-графического метода – графическим методом, через возрастание-убывание и методом оценки.

К решению показательных уравнений графическим методом обычно прибегают тогда, когда не видно других более простых методов решения и довольно легко построить графики функций, отвечающих частям уравнения.1$

$3х-2=1$

$3х=3$

$х=1$

Ответ: $1$

Показательные системы. Показательные уравнения. Более сложные случаи. Что такое показательная функция

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные…

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.

Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию.{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя ! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников.{5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция — это функция вида , где основание степени и Здесь х — независимая переменная, аргумент; у — зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель — свести каждое из них к простейшему.

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить систему уравнений

Рисунок 1.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Рисунок 2.{\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

\U}

3.1.9. Показательные и логарифмические уравнения

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.9.

Уравнения вида a^f (x) = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f (x) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида 

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (t) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Решите уравнение

Уравнения вида a^f (x) = a^g (x), a > 0, a ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f (x) = g (x).

Решите уравнение

Решите уравнение

Уравнения вида  a^f (x) = b^g (x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1

При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:

А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f (x) и g (x) – алгебраические выражения.

Замечание. Рассмотренный приём перехода от уравнения a^f (x) = b^g (x) к уравнению f (x) = g (x) log_a b или, в общем случае, переход от уравнения

Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

Например, логарифмирование обеих частей уравнения x = x³, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg x = lg x³ (область определения сузилась). Действительно,

Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа a^f (x) = b^g (x) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.

Уравнения вида log_a f (x) = b, a > 0, a ≠ 1

Здесь предполагается, что f (x) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x) = a^b. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a^b – это число.

Уравнения вида 

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

• С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (x) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

• Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Решите уравнение

Решите уравнение

Уравнения вида log_a f (x) = log_a g (x), a > 0, a ≠ 1

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f (x) и g (x)). На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x) > 0 или g (x) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения log_a f (x) = log_a g (x) к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием.

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x) > 0 и g (x) > 0.

Решите уравнение

Решите уравнение

Экспоненциальные уравнения — Комплексные уравнения

Это обсуждение будет сосредоточено на решении более сложных задач, связанных с экспоненциальными функциями. Ниже приведен краткий обзор экспоненциальных функций.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

y = ab ^x

Где a ≠ 0, b ≠ 1 и x — любое действительное число.

Основные свойства экспоненциальной функции:

Свойство 2: b ¹ = b

Свойство 3: b ^x = b ^y тогда и только тогда, когда x = y Индивидуальное свойство

Свойство 4: log _b b ^x = x Обратное свойство

Давайте решим некоторые сложные естественные экспоненциальные уравнения.

Помните, что при решении для x, независимо от типа функции, цель состоит в том, чтобы изолировать переменную x.

12 (3 ^x ) = 156

Пример 1: 6 (2 ^{(3x + 1)} ) — 8 = 52

Пример 1: 9 ^-3-x = 729

Комплексное число Праймер

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Полярная и экспоненциальная форма

Большинство людей знакомы с комплексными числами в форме \ (z = a + bi \), однако есть несколько альтернативных форм, которые иногда могут быть полезны.В этом разделе мы рассмотрим и то, и другое, а также пару интересных фактов, которые из них вытекают.

Геометрическая интерпретация

Прежде чем мы перейдем к альтернативным формам, мы должны сначала очень кратко взглянуть на естественную геометрическую интерпретацию комплексных чисел, поскольку это приведет нас к нашей первой альтернативной форме.

Рассмотрим комплексное число \ (z = a + bi \). Мы можем представить это комплексное число либо как точку \ (\ left ({a, b} \ right) \) в стандартной декартовой системе координат, либо как вектор, который начинается в начале координат и заканчивается в точке \ (\ left ( {яркий)\).2}} \) — это не что иное, как длина вектора, который мы используем для представления комплексного числа \ (z = a + bi \). Эта интерпретация также говорит нам, что неравенство \ (\ left | {{z_1}} \ right | <\ left | {{z_2}} \ right | \) означает, что \ ({z_1} \) ближе к началу координат ( в комплексной плоскости), чем \ ({z_2} \).

Полярная форма

Давайте теперь взглянем на первую альтернативную форму комплексного числа. Если мы думаем о ненулевом комплексном числе \ (z = a + bi \) как о точке \ (\ left ({a, b} \ right) \) в плоскости \ (xy \), мы также знаем, что мы можем представить эту точку полярными координатами \ (\ left ({r, \ theta} \ right) \), где \ (r \) — расстояние от точки до начала координат, а \ (\ theta \) — угол в радианах от положительной оси \ (x \) до луча, соединяющего начало координат с точкой.

При работе с комплексными числами мы предполагаем, что \ (r \) положительно и что \ (\ theta \) может быть любым из возможных (как положительных, так и отрицательных) углов, которые заканчиваются на луче. Обратите внимание: это означает, что существует буквально бесконечное количество вариантов для \ (\ theta \).

Мы исключили \ (z = 0 \), поскольку \ (\ theta \) не определено для точки (0,0). Поэтому мы будем рассматривать только полярную форму ненулевых комплексных чисел.

У нас есть следующие формулы преобразования для преобразования полярных координат \ (\ left ({r, \ theta} \ right) \) в соответствующие декартовы координаты точки, \ (\ left ({a, b} \ верно)\).2}} \]

, но правая часть — это не что иное, как определение модуля, и мы видим, что

Итак, иногда полярная форма будет записана как,

Угол \ (\ theta \) называется аргументом \ (z \) и обозначается,

Аргумент \ (z \) может быть любым из бесконечных возможных значений \ (\ theta \), каждое из которых можно найти, решив

и убедившись, что \ (\ theta \) находится в правильном квадранте.

Также обратите внимание, что любые два значения аргумента будут отличаться друг от друга на целое число, кратное \ (2 \ pi \). Это имеет смысл, если учесть следующее.

Для данного комплексного числа \ (z \) выберите любое из возможных значений аргумента, скажем, \ (\ theta \). Если вы теперь увеличиваете значение \ (\ theta \), что на самом деле просто увеличивает угол, который точка образует с положительной осью \ (x \), вы поворачиваете точку вокруг начала координат против часовой стрелки. .Поскольку для совершения одного полного оборота требуется \ (2 \ pi \) радиан, вы вернетесь в исходную начальную точку, когда достигнете \ (\ theta + 2 \ pi \), и получите новое значение аргумента. См. Рисунок ниже.

Если вы продолжите увеличивать угол, вы снова вернетесь в исходную точку, когда достигнете \ (\ theta + 4 \ pi \), что снова является новым значением аргумента. Продолжая таким образом, мы видим, что каждый раз, когда мы достигаем нового значения аргумента, мы просто добавляем кратные \ (2 \ pi \) к исходному значению аргумента.

Аналогичным образом, если вы начнете с \ (\ theta \) и уменьшите угол, вы будете вращать точку вокруг начала координат по часовой стрелке и вернетесь к исходной начальной точке, когда достигнете \ (\ theta — 2 \ pi \ ). Продолжая таким образом, мы снова увидим, что каждое новое значение аргумента будет найдено путем вычитания кратного числа \ (2 \ pi \) из исходного значения аргумента.

Итак, мы видим, что если \ ({\ theta _1} \) и \ ({\ theta _2} \) являются двумя значениями \ (\ arg z \), то для некоторого целого числа \ (k \) мы будем иметь ,

Обратите внимание, что здесь мы также показали, что \ (z = r \ left ({\ cos \ theta + i \ sin \ theta} \ right) \) является параметрическим представлением окружности радиуса \ (r \) с центром в начале координат и что он будет очерчивать полный круг в направлении против часовой стрелки по мере увеличения угла от \ (\ theta \) до \ (\ theta + 2 \ pi \).

главное значение аргумента (иногда называемое основным аргументом ) — это уникальное значение аргумента, которое находится в диапазоне \ (- \ pi <\ arg z \ le \ pi \) и обозначается \ ({\ mathop {\ rm Arg} \ nolimits} z \). Обратите внимание, что неравенства на обоих концах диапазона говорят о том, что отрицательное действительное число будет иметь главное значение аргумента \ ({\ mathop {\ rm Arg} \ nolimits} z = \ pi \).

Напомним, что мы отметили выше, что любые два значения аргумента будут отличаться друг от друга на величину, кратную \ (2 \ pi \), приводит нас к следующему факту.

На этом этапе нам, вероятно, следует привести пару быстрых числовых примеров, прежде чем мы перейдем к рассмотрению второй альтернативной формы комплексного числа. {- 1}} \ left ({- \ sqrt 3} \ right) \]

и находится во втором квадранте, поскольку это расположение комплексного числа на комплексной плоскости.

Если вы используете калькулятор для нахождения значения этой обратной тангенсации, убедитесь, что вы понимаете, что ваш калькулятор будет возвращать значения только в диапазоне \ (- \ frac {\ pi} {2} <\ theta <\ frac {\ pi} {2} \), поэтому вы можете получить неверное значение. Напомним, что если ваш калькулятор возвращает значение \ ({\ theta _1} \), то второе значение, которое также будет удовлетворять уравнению, будет \ ({\ theta _2} = {\ theta _1} + \ pi \). Итак, если вы пользуетесь калькулятором, будьте осторожны.Вам нужно будет вычислить и то, и другое, и определить, какое из них попадает в правильный квадрант, чтобы соответствовать полученному комплексному числу. потому что только один из них будет в правильном квадранте.

В нашем случае два значения:

Первый находится в четвертом квадранте, а второй — во втором квадранте, как и тот, который мы ищем.Следовательно, главное значение аргумента —

и все возможные значения аргумента равны

А теперь давайте сделаем то, что нас изначально просили. Вот полярная форма \ (z = — 1 + i \, \ sqrt 3 \).

Теперь, для полноты картины, мы должны признать, что для этого комплексного числа существует множество других равнозначных полярных форм.Чтобы получить любую из других форм, нам просто нужно вычислить другое значение аргумента, выбрав \ (n \). Вот пара других возможных полярных форм.

В этом случае мы уже отметили, что главное значение отрицательного действительного числа — \ (\ pi \), поэтому нам не нужно его вычислять.Для полноты картины здесь представлены все возможные значения аргумента любого отрицательного числа.

Теперь, \ (r \) равно,

Полярная форма (с использованием главного значения):

Обратите внимание, что если бы у нас было положительное действительное число, главное значение было бы \ ({\ mathop {\ rm Arg} \ nolimits} \, z = 0 \)

Это еще один особый случай, очень похожий на действительные числа.Если бы мы использовали \ (\ eqref {eq: eq4} \), чтобы найти аргумент, мы бы столкнулись с проблемами, так как действительная часть равна нулю, и это дало бы деление на ноль. Однако все, что нам нужно сделать, чтобы получить аргумент, — это подумать о том, где это комплексное число находится на комплексной плоскости. В комплексной плоскости чисто мнимые числа лежат либо на положительной оси \ (y \), либо на отрицательной оси \ (y \), в зависимости от знака мнимой части.

В нашем случае мнимая часть положительна, поэтому это комплексное число будет лежать на положительной оси \ (y \).Следовательно, главное значение и общий аргумент для этого комплексного числа —

Кроме того, в этом случае \ (r \) = 12, поэтому полярная форма (опять же с использованием главного значения) равна

Экспоненциальная форма

Теперь, когда мы обсудили полярную форму комплексного числа, мы можем ввести вторую альтернативную форму комплексного числа. 2} \ theta} = r \]

, и мы видим, что \ (r = \ left | z \ right | \).{i \, \ left ({{\ theta _ {\, 1}} \, — \, \, {\ theta _ {\, 2}}} \ right)}} \ label {eq: eq11} \ end {выровнять}

Полярные формы для обоих:

Мы также можем использовать \ (\ eqref {eq: eq10} \) и \ (\ eqref {eq: eq11} \), чтобы получить некоторые интересные факты об аргументах продукта и частном комплексных чисел.Поскольку \ ({\ theta _1} \) — любое значение \ (\ arg {z_1} \), а \ ({\ theta _2} \) — любое значение \ (\ arg {z_2} \), мы можем видеть, что ,

Обратите внимание, что \ (\ eqref {eq: eq14} \) и \ (\ eqref {eq: eq15} \) могут работать или не работать, если вы используете главное значение аргумента, \ ({\ rm {Arg}} \, z \).Например, рассмотрим \ ({z_1} = i \) и \ ({z_2} = — 1 \). В этом случае у нас есть \ ({z_1} {z_2} = — i \), и главное значение аргумента для каждого равно

Однако

и поэтому \ (\ eqref {eq: eq14} \) не выполняется, если мы используем главное значение аргумента.Однако обратите внимание, если мы используем,

тогда,

допустимо, поскольку \ (\ frac {{3 \ pi}} {2} \) является возможным аргументом для — \ (i \), это просто не главное значение аргумента.

В качестве интересного примечания, \ (\ eqref {eq: eq15} \) действительно работает для этого примера, если мы используем основные аргументы.{i \, {\ theta _ {\, 2}}}} \]

Тогда у нас будет \ ({z_1} = {z_2} \) тогда и только тогда, когда,

Обратите внимание, что фраза «тогда и только тогда» — это причудливая математическая фраза, означающая, что если \ ({z_1} = {z_2} \) истинно, то верно и \ (\ eqref {eq: eq16} \), и аналогично, если \ (\ eqref {eq: eq16} \) истинно, то у нас будет \ ({z_1} = {z_2} \).{i \ theta} \ end {align}

5. Экспоненциальная форма комплексного числа

М. Борна

ВАЖНО:

В этом разделе `θ` ДОЛЖЕН быть выражен в радианы.

Мы используем важную константу

`е = 2,718 281 8 …`

в этом разделе.

Впервые мы встретили e в разделе Натуральные логарифмы (с основанием e ).(1.77j) `

РЕЗЮМЕ: Формы комплексного числа

Эти выражения имеют одинаковое значение . Это просто разные способы выражения одного и того же комплексного числа.

а. Прямоугольная форма

x + yj

г. Полярная форма

r (cos θ + j sin θ) = r cis θ = r ∠θ

θ может быть в градусах ИЛИ радианах для полярной формы.

г.@) `[полярная форма]

`-1,92 -1,61j` [прямоугольная форма]

Формула Эйлера и личность

В следующем разделе есть интерактивный график, где вы можете изучить особый случай комплексных чисел в экспоненциальной форме:

Интерактивный граф формулы Эйлера и тождества Эйлера

Комплексная экспонента — обзор

3.3.1 Комплексная экспонента

Метод комплексной экспоненты основан на импульсной характеристике во временной области h (t) (1.79). Импульсный отклик — это отклик конструкции на единичный импульс (в идеале, импульс Дирака), который также может быть получен как обратный FRF (1.91). Для модели вязкого демпфирования MDOF FRF в форме частичной дроби составляет

(3,38) α (ω) = ∑r = 12NRriω − λr.

Уравнение равно Ур. (1.189), но форма не делится на два сопряженных собственных значения, которые теперь заключены в расширенный диапазон 2 N , так что

(3.39) λr = λr + N⁎

и

(3.40) Rr = Rr + N⁎.

Импульсный отклик, основанный на модели (3.38), равен (см. Также уравнение (1.91))

(3.41) h (t) = ∑r = 12NRreλrt.

Отклик h (t) для последовательных интервалов дискретной выборки Δ t до последнего измеренного значения на временном шаге U + 1 согласно (3.41):

(3.42) h0 = h (0) = ∑r = 12NRr,

(3.43) h2 = h (Δt) = ∑r = 12NRreλr (Δt),

(3.44) h3 = h (2Δt) = ∑r = 12NRreλr (2Δt),

(3.45) ⋮⋮⋮ hU = h (UΔt) = ∑r = 12NRreλr (UΔt).

Использование символа

(3.46) Vr = eλr (Δt),

они становятся

(3,47) h0 = ∑r = 12NRr,

(3,48) h2 = ∑r = 12NRrVr,

(3,49) h3 = ∑r = 12NRrVr2,

(3,50) hU = ∑r = 12NRrVrU.

Значения Vr и Rr неизвестны. Во-первых, определяются Vr (и, следовательно, собственные значения λr), а во-вторых, модальные константы Rr. Значения Vr определяются с использованием метода Прони; собственные значения λr входят в комплексно сопряженные пары, как и значения Vr; следовательно, существует полином Vr порядка U с действительными коэффициентами βn такими, что

(3.51) β0 + β1Vr + β2Vr2 +… + βUVrU = 0.

Путем умножения обеих частей Ур. (3.47) — (3.50) с β0 до βU и суммируя эти уравнения, получаем следующее уравнение:

(3.52) ∑n = 0Uβnhn = ∑n = 0U (βn∑r = 12NRrVrn) = ∑r = 12N ( Rr∑n = 0UβnVrn).

Сумма ∑n = 0UβnVrn равна полиномиальному уравнению (3.51), поэтому сумма равна нулю, и следующее выражение может быть записано независимо от Vr:

(3.53) ∑n = 0Uβnhn = 0.

На этом этапе полиномиальный порядок (3.51) ограничено U , связанным с количеством временных шагов, которое может быть увеличено до количества 2N собственных значений. Далее, чтобы получить 2N неизвестных значений βn, 2N Eqs. (3.53), каждое из которых сдвинуто на момент времени Δ t , должны быть записаны, и последнее значение βn устанавливается равным единице, то есть β2N = 1. Таким образом, мы выводим следующую систему уравнений:

(3.54) [h0h2… h3N − 1h2h3… h3Nh3h4… h3N + 1 ⋮⋮ ⋱ ⋮ h3N − 1h3N… h5N − 2] [2N × 2N] {β0β1β2 ⋮ β2N − 1 } [2N × 1] = — {h3Nh3N + 1h3N + 2 ⋮ h5N − 1} [2N × 1]

или, сокращенно,

(3.55) hβ = h ′.

Коэффициент β2N установлен на 1, потому что полином (3.51) можно умножить на произвольную константу, не меняя решения.

Решением обратных величин βn определяются для n = 0,1,…, 2N − 1 и β2N = 1. Затем вычисленные значения подставляются в полином (3.51). Корни полинома указывают значения Vr. Собственные значения λr вычисляются из Vr по соотношению (3.46).

После определения значений Vr система уравнений, основанная на (3.47) может быть сформирован для экземпляров времени от h0 до h3N − 1:

(3.56) [11… 1V1V2… V2N ⋮⋮ ⋱ ⋮ V12N − 1V22N − 1… V2N2N − 1] {R1R2 ⋮ R2N} = {h0h2 ⋮ h3N − 1}.

Решение этой системы дает модальные константы Rr. Учитывая, что модальные константы также появляются в сопряженных парах, можно использовать только N экземпляров времени.

Поскольку метод основан на импульсной характеристике во временной области, он не будет проявлять эффектов оконного режима при прямом измерении импульсной характеристики, что происходит при использовании модального молотка для возбуждения.Если импульсный отклик не измеряется напрямую, мы можем получить его от рецептора, используя обратное преобразование Фурье.

Метод CE популярен, потому что он не требует каких-либо начальных условий и определяет модальные параметры в два этапа: сначала собственные значения, а затем модальные константы. Длина временного ряда U определяет количество режимов, которые необходимо идентифицировать. Для идентификации 2 собственных значений N требуется U = 4N экземпляров времени.

Диаграмма стабилизации Соответствующий порядок идентификации обычно не известен до процесса идентификации.Процесс идентификации обычно повторяется для переменных порядков N , и идентифицированные собственные значения выбираются вручную из диаграммы стабилизации . Диаграмма стабилизации показывает результат последовательных итераций идентификации; см. рис. 3.10. На рисунке следующий цветовой код используется для обозначения стабилизации демпфирования: зеленый для стабилизированного демпфирования, красный для нестабилизированного демпфирования и желтый для положительной действительной части (нестабильный полюс). Маркеры используются для стабилизации собственной частоты: крестик используется для стабилизации, а точка — для нестабилизированной собственной частоты.

Рисунок 3.10. Пример схемы стабилизации.

Выбранные собственные значения затем используются в последующем вычислении модальных констант. Этот тип процедуры очень эффективен и используется чаще всего.

Формула Эйлера для комплексных чисел

(есть еще одна «формула Эйлера» о геометрии ,
эта страница о формуле, используемой в комплексных числах)

Во-первых, вы, возможно, видели знаменитую «Личность Эйлера»:

e ^{i π} + 1 = 0

Кажется совершенно волшебным, что такое изящное уравнение объединяет:

И также имеет основные операции сложения, умножения и экспоненты!

Но если вы хотите совершить интересное путешествие по математике, вы узнаете, как это происходит.

Заинтересованы? Читать дальше!

Дискавери

Это было около 1740 года, и математики интересовались мнимыми числами.

Мнимое число, возведение в квадрат дает отрицательный результат

Обычно это невозможно (попробуйте возвести в квадрат некоторые числа, помня, что умножение отрицательных чисел дает положительный результат, и посмотрите, можно ли получить отрицательный результат), но просто представьте, что вы можете это сделать!

И у нас может быть этот специальный номер (называемый и для воображаемого):

i ² = -1

Леонард Эйлер однажды развлекался, играя с воображаемыми числами (по крайней мере, я так себе представляю!), И он взял эту хорошо известную серию Тейлора (читайте о них, они увлекательны):

e ^x = 1 + x + x ² 2! + x ³ 3! + x ⁴ 4! + x ⁵ 5! +…

И он положил в него и :

e ^ix = 1 + ix + (ix) ² 2! + (ix) ³ 3! + (ix) ⁴ 4! + (ix) ⁵ 5! + …

И поскольку i ² = −1 , это упрощается до:

e ^ix = 1 + ix — x ² 2! — ix ³ 3! + x ⁴ 4! + ix ⁵ 5! -…

Теперь сгруппируйте все термины i в конце:

e ^ix = (1 — x ² 2! + x ⁴ 4! — …) + i (x — x ³ 3 ! + x ⁵ 5! — …)

И вот чудо … две группы на самом деле являются серией Тейлора для cos и sin :

И так упрощается до:

Он, должно быть, был так счастлив, когда обнаружил это!

И теперь она называется Формула Эйлера .

Попробуем:

Пример: когда x = 1,1

e ^{i x} = cos x + i sin x

e ^1.1i = cos 1.1 + i sin 1.1

e ^1.1i = 0,45 + 0,89 i (до 2 десятичных знаков)

Примечание: мы используем радианы, а не градусы.

Ответ — комбинация действительного и мнимого числа, которая вместе называется комплексным числом.

Мы можем нанести такое число на комплексную плоскость (действительные числа идут влево-вправо, а мнимые числа идут вверх-вниз):

Здесь мы показываем число 0.45 + 0.89 i

То же, что и e ^1.1i

Давайте построим еще немного!

Круг!

Да, если поместить формулу Эйлера на этот график, получится круг:

e ^{i x} образует окружность радиуса 1

И когда мы включаем радиус r , мы можем превратить любую точку (например, 3 + 4i ) в форму re ^{i x} , найдя правильное значение x и r :

Пример: номер