Необходимо решить задачу № 8 Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью Погорелов ГДЗ 11 класс Геометрия

Решение задачи №8 :
Пусть К, М и N — данные точки.
Возможны три случая:
1)    Точки К, Μ, N расположены так, что
MN || DC и КМ || MN. Тогда плоскость, про-
ходящая через точки К, М и N параллельна плоскости грани ABCD, т.к. две пересекающие прямые КМ и MN
параллельны грани ABCD. Проведем прямую ON || AD. Тогда она
будет принадлежать плоскости сечения. Так как иначе она пересе-
кала бы и грань ABCD, то есть и AD, что неверно.
Тогда четырехугольник KMNO — искомое сечение.
 
2)    Точки К, Μ, N располагаются
так, что KM || ВС, но MN не парал-
лельно DC. Тогда через точки М и N
проведем прямую а, которая пересе-
кает прямую DC в некоторой точке S.
Тогда S принадлежит сечению. Че-
рез точку S проведем прямую b || КМ.
Тогда b принадлежит сечению и b|| ВС,
т.к. b || КМ и КМ || ВС. Тогда АВ пере-
секает прямую b в некоторой точке X.
Тогда X принадлежит сечению. А так-
же можно соединить точи К и Х отрезком, который пересечет А₁А в
некоторой точке О. Тогда точка О тоже принадлежит сечению. А
значит, четырехугольник OKMN—это искомое сечение.
 
Общий случай:
3)    Когда точки К, М, N распо-
лагаются так, что MN не парал-
лельно DC и КМ не параллельно
MN. Тогда прямая MN пересечет
прямую DC в некоторой точке F,
прямая МК пересечет прямую ВС в
некоторой точке X Точки X и F
принадлежат плоскости ABCD, а
также искомому сечению, значит, плоскость ABCD и сечение пере-
секаются по прямой XF. Тогда прямая АВ, или прямая AD, или обе
эти прямых пересекают прямую XF. Допустим АВ пересекает XF в
точке S. Тогда точка S принадлежит и плоскости АА₁В₁В, а также сечению. Проведем прямую SK. Она пересечет ребро АА₁ в точке О.
Так что MNOK — искомое сечение.

 
 

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1.

.. — Задание 14 ЕГЭ по математике (Стереометрическая задача)

Задание:

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребре CD взята точка К так, что СК = DK.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки А₁ и К параллельно диагонали BD.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если АА₁ = 3√3, АВ = 6√2.

Решение:

а) Так как призма правильная, то ABCD — квадрат, а боковые грани — равные прямоугольники.

Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A₁ и K параллельно диагонали BD.

В плоскости ABC через точку K проведём прямую PK параллельно диагонали BD. Лучи AD и AB пересекают прямую P K в точках N и M соответственно. Из точки A₁ в плоскости A₁AB и в плоскости A₁AD проведём лучи A₁M и A₁N.

Эти лучи пересекут рёбра B₁B и D1D в точках F и E соответственно. Многоугольник PFA₁EK — искомое сечение.

б) Найдём угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Плоскость сечения пересекает плоскость основания по прямой MN. MN || BD по построению, AC ⊥ BD как диагонали квадрата, MN пересекает AC в точке L, отсюда AL ⊥ MN, значит, AL ⊥ PK. Так как призма правильная, то боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, значит, AA₁ ⊥ ABC. AL — проекция наклонной A₁L на плоскость ABC, тогда по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, A₁L ⊥ P K. Следовательно, ∠ALA₁ — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. В прямоугольном треугольнике ALA₁ tg ∠ALA₁ = AA₁/AL. Найдём AL. AC = a√2, где a — сторона квадрата, AC = 6√2 * √2 = 12. Так как CK = KD по условию и KP || BD, то по теореме Фалеса CL = OL, отсюда AL = 3/4*AC = 3/4 * 12 = 9.

tg ∠ALA₁ = 3√3 / 9 = √3 / 3, ∠ALA₁ = 30◦.

Ответ: 30◦.

Примеры построения сечений многогранников

Как известно, любой экзамен по математике содержит в качестве основной части решение задач. Умение решать задачи – основной показатель уровня математического развития.

Достаточно часто на школьных экзаменах, а так же на экзаменах, проводимых в ВУЗах и техникумах,  встречаются случаи, когда ученики, показывающие хорошие результаты в области теории, знающие все необходимые определения и теоремы, запутываются при решении весьма простых задач.

За годы обучения в школе каждый ученик решает большое число задач, но при этом для всех учеников задачи предлагаются одни и те же. И если некоторые ученики усваивают общие правила и методы решения задач, то другие, встретившись с задачей незнакомого вида, даже не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин такого положения является то, что если одни ученики вникают в ход решения задачи и стараются осознать и понять общие приёмы и методы их решения, то другие не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить предложенные задачи.

Многие учащиеся не анализируют решаемые задачи, не выделяют для себя общие приёмы и способы решения. В таких случаях задачи решаются только ради получения нужного ответа.

Так, например, многие учащиеся даже не знают, в чём суть решения задач на построение. А ведь задачи на построение являются обязательными задачами в курсе стереометрии. Эти задачи не только красивы и оригинальны в методах своего решения, но и имеют большую практическую ценность.

Благодаря задачам на построение развивается способность мысленно представлять себе ту или иную геометрическую фигуру, развивается пространственное мышление, логическое мышление, а так же геометрическая интуиция. Задачи на построение развивают навыки решения проблем практического характера.

Задачи на построения не являются простыми, так как единого правила или алгоритма для их решения не существует. Каждая новая задача уникальна и требует индивидуального подхода к решению.

Процесс решения любой задачи на построение – это последовательность некоторых промежуточных построений, приводящих к цели.

Построение сечений многогранников базируется на следующих аксиомах:

1) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в данной плоскости;

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

Примеры построения сечений многогранников

Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Рассмотрим следующие примеры.

Метод следов

I. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости одного из оснований призмы и точку А.

Случай 1.

Точка А принадлежит другому основанию призмы (или грани, параллельной прямой g) – секущая плоскость пересекает это основание (грань) по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Точка А принадлежит боковой грани призмы:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой AD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую g в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

II. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости основания пирамиды и точку А.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Случай 1.

Если точка А принадлежит грани, параллельной прямой g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Если точка А, принадлежащая сечению, расположена на грани, не параллельной грани следу g, то:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой АD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из боковых ребер.

Задачи на построение сечений через точку на грани

1. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС соответственно.

Точки С и М лежат на грани АСD, значит, и прямая СМ лежит в плоскости этой грани (рис. 1).

Пусть Р – точка пересечения прямых СМ и АD.

Аналогично, точки С и N лежат в грани АСВ, значит прямая СN лежит в плоскости этой грани. Пусть Q – точка пересечения прямых СN и АВ. Точки Р и Q принадлежат и плоскости сечения, и грани АВD. Поэтому отрезок РQ – сторона сечения. Итак, треугольник СРQ – искомое сечение.

2. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью MPN, где точки M, N, P лежат соответственно на ребре АD, в грани ВСD и в грани АВС, причем MN не параллельно плоскости грани АВС (рис. 2).

 Остались вопросы? Не знаете, как построить сечение многогранника?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Обучение с МК

Пример: модели МК в электронном учебнике

Сечения многогранников

ТЕОРИЯ

В этом разделе мы рассмотрим методы построения сечений многогранников. Плоскость сечения, как правило, будет задаваться тремя точками – K, L, M. Сложность такой задачи во многом определяется расположением точек, задающих плоскость сечения.

Пример 1

Самый простой случай – когда точки лежат на трёх смежных рёбрах пирамиды – не нуждается в разборе.

Модель 1

Основной метод, который используется при построении сечений, называется методом следов.

Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника. Если такой след найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.

Пример 2

Пусть теперь точки K и M лежат на боковых рёбрах пирамиды, а точка L – на стороне основания.

Модель 2

1. Проведём в плоскости SAC прямую KL – след сечения в этой плоскости.
2. Отметим точку P пересечения KL с SC.
3. Проведём прямую PM – след сечения в плоскости SBC, – и отметим точку пересечения PM и BC.
4. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.

Пример 3

Несколько труднее случай, когда одна из точек лежит на ребре, а две другие — на гранях пирамиды.

Модель 3

Теперь сразу построить след плоскости сечения в какой-то из граней нельзя.

1. Рассмотрим вспомогательную плоскость SKM, которая пересекает рёбра AC и BC в точках E и F соответственно.
2. Построим в этой плоскости прямую KM – след плоскости сечения – и отметим точку P пересечения KM с EF.
3. Точка P лежит в плоскости сечения и в плоскости ABC. Но в этой же плоскости лежит и точка L. Проведём прямую PL – след сечения в плоскости ABC – и отметим точку пересечения PL с BC.
4. Строим след сечения в плоскости SBC и отмечаем точку его пересечения с SC.
5. Строим след сечения в плоскости SAC и отмечаем точку его пересечения с SA.
6. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.

Использованный на первом шаге построения приём часто называют методом вспомогательных плоскостей. Рассмотрим ещё один пример, где он используется.

Пример 4

Рассмотрим теперь самый общий случай, когда все три точки K, L и M лежат на гранях пирамиды.

Модель 4

1. Как и в предыдущем случае проведём вспомогательную плоскость CKM, которая пересекает рёбра SA и SB в точках E и F соответственно.
2. Построим в этой плоскости прямую KM — след плоскости сечения – и отметим точку P пересечения KM с EF.
3. Точка P, как и L, лежит в плоскости SAB, поэтому прямая PL будет следом сечения в плоскости SAB, а её точки пересечения с SA и SB – вершинами сечения.
4. Теперь можно построить следы сечения в плоскостях SAC и SBC и отметить их точки пересечения с рёбрами AC и BC.
5. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.

С помощью метода вспомогательных плоскостей можно строить сечения, «не выходя» за пределы многогранника. Вернёмся в связи с этим к примеру 2.

Пример 2’

Точки K и M лежат на боковых рёбрах пирамиды, а точка L – на стороне основания. Построим сечение, «не выходя» за пределы многогранника.

Модель 5

1. Проведём вспомогательную плоскость SLB и в ней отрезок LM, который принадлежит плоскости сечения.
2. Проведём ещё одну вспомогательную плоскость BCK и построим точку пересечения SL и CK – точку E. Эта точка принадлежит обеим вспомогательным плоскостям.
3. Отметим точку пересечения отрезков LM и EB – точку F. Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости BCK.
4. Проведём прямую KF и отметим точку пересечения этой прямой c BC – точку N. Эта точка будет недостающей четвёртой вершиной сечения.
5. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.

Можно использовать ту же самую идею иначе. Проведём в начале анализ построенного сечения – т.е. начнём с конца. Допустим, что по точкам K, L и M построено сечение KLMN.

Модель 6

Анализ

Обозначим через F точку пересечения диагоналей четырёхугольника KLMN. Проведём прямую CF и обозначим через F₁ точку её пересечения с гранью SAB. С другой стороны, точка F₁ совпадает с точкой пересечения прямых KB и MA, исходя из чего её и можно построить.

Построение

1. Проведём прямые KB и MA и отметим точку их пересечения F₁.
2. Проведём прямые CF₁ и LM и отметим точку их пересечения F.
3. Проведём прямую KF и отметим точку её пересечения с ребром CB – точку N. Эта точка будет недостающей четвёртой вершиной сечения.
4. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.

Использованный в этом решении приём называют методом внутреннего проектирования. Построим с его помощью сечение из примера 4, когда все три точки лежат на гранях пирамиды.

Пример 3’

Точки K, L и M лежат на гранях пирамиды. Построим сечение, «не выходя» за пределы многогранника.

Допустим, что сечение уже построено.

Модель 7

Анализ

Пусть плоскость сечения пересекает ребро CB в точке P. Обозначим через F точку пересечения KM и LP. Построим центральные проекции точек K, F и M из точки C на плоскость SAB и обозначим их K₁, F₁ и M₁. Точки K₁ и M₁ легко находятся, а точку F₁ можно получить как точку пересечения K₁M₁ и LB.

Построение

1. Построим центральные проекции точек K и M из точки C на плоскость SAB и обозначим их K₁ и M₁.
2. Проведём прямые K₁M₁ и LB и отметим точку их пересечения F₁.
3. Проведём прямые CF₁ и KM и отметим точку их пересечения F.
4. Проведём прямую LF и отметим точку её пересечения с ребром CB – точку P. Это первая вершина искомого сечения.
5. Проведём прямую PM и отметим точку её пересечения с ребром SB. Это вторая вершина сечения.
6. Из второй вершины проведём прямую через точку L и найдём третью вершину сечения.
7. Из третьей вершины проведём прямую через точку K и найдём четвёртую вершину сечения.
8. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.

УПРАЖНЕНИЯ

Более сложные упражнения помечены звёздочкой.

1. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L и M (см. модели).

2. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, L и M (см. модели).

3. На рёбрах пирамиды SABC отмечены точки K, L и M. Постройте:

4*. На рёбрах пирамиды SABC отмечены точки K, L, M, P, N и Q. Постройте:

5*. На ребре AB треугольной пирамиды SABC отмечена точка K. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной BC и SA.

Модель

6*. На рёбрах AB и CS треугольной пирамиды SABC отмечены точки K и M. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K и M и параллельной AS.

Модель

7*. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L и M, лежащих в плоскостях её боковых граней (но не на самих гранях!).

Модель

8*. На плоскости проведены три луча с общим началом – a, b и с – и отмечены три точки – A, B и C. Постройте треугольник, вершины которого лежат на этих лучах, а стороны проходят через точки A, B и C.

Модель

Сечения треугольной призмы: IIS 7.5 Detailed Error — 404.11 — ЭкоДом: Дом своими руками

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

Сечения призмы

     Определение 1.Сечением тела некоторой плоскостью α называют фигуру, состоящую из всех точек этого тела, лежащих в плоскости  α.

      В качестве примера рассмотрим сечение куба куба   ABCDA₁B₁C₁D₁   плоскостью, проходящей через точку   D  и середины ребер   A₁B₁   и   B₁C₁ . Рассмотрим процесс построения сечения подробно.

      Обозначим буквами   E   и   F середины ребер   A₁B₁   и   B₁C₁ (рис. 1).

Рис.1

      Поскольку точки   E   и   F   лежат на ребрах одной грани куба   A₁B₁C₁D₁ , то проведем прямую   EF   до пересечения с продолжениями двух других ребер этой грани. Обозначим буквой   G   точку пересечения прямой   EF   с продолжением отрезка   D₁C₁   за точку   C₁,   а буквой   Н   – точку пересечения прямой   EF   с продолжением отрезка   D₁A₁  за точку  A₁ . Эти точки пересечения существуют, поскольку все указанные прямые лежат в одной плоскости   A₁B₁C₁D₁   и не параллельны параллельны попарно (рис. 2).

Рис.2

      Точки   G   и   D   принадлежат плоскости сечения, а, значит, и вся прямая   DG   лежит в плоскости сечения. С другой стороны, эти точки лежат на ребрах (или их продолжениях) одной грани куба   DD₁C₁C.   Значит, точка пересечения   DG   с ребром куба   C₁C (точка   N ) будет принадлежать сечению. Таким образом, мы получаем еще два отрезка сечения:   FN  и   DN   (рис. 3).

Рис.3

      Теперь, действуя аналогичным образом, проводим прямую   HD,   обозначаем точку перечения этой прямой с ребром   AA₁ буквой   M   и проводим линии сечения   ME   и   MD   в плоскостях граней   AA₁B₁B   и   AA₁D₁D   (рис. 4).

Рис.4

      В результате, как и показано на рисунке 4, получаем, что искомое сечение – пятиугольник   DMEFN.

      Предлагаем посетителю нашего сайта решить в качестве полезного упражнения следующую задачу.

     Задача. Найти площадь сечения   DMEFN, если ребро куба равно 6.

     Указание к решению. Треугольники   HA₁E,   EB₁F и   FC₁G равны.

Перпендикулярные сечения призмы

      Определение 2. Перпендикулярным сечением призмы называют такое сечение, плоскость которого пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна к ним.

     На рисунке 5 построено перпендикулярное сечение наклонной треугольной призмы – треугольник   KLM.   Хотим обратить Ваше внимание на то, что призма на рисунке 5 изображена лежащей на одной из своих боковых граней. Такой способ представления призмы на чертеже часто очень удобен при решении задач.

Рис.5

      Замечание 1. Все перпендикулярные сечения призмы равны между собой.

     Замечание 2. С понятием призмы и различными видами призм можно ознакомиться в разделе «Призмы».

     Замечание 3. С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей боковой и полной поверхности призмы можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Построение сечений многогранника на примере призмы

Слайд 1

Построение сечений многогранников на примере пр измы ® Создатели : Антон Дмитриев, Киреев Александр. При содействии: Гудковой Ольги Викторовны

Слайд 2

План урока Алгоритмы построения сечений Самопроверка Демонстрационные задачи Задачи для закрепления материала

Слайд 3

Алгоритмы построения сечений следов параллельных прямых параллельного переноса секущей плоскости внутреннего проектирования комбинированный метод дополнения n -угольной призмы до треугольной призмы Построение сечения методом :

Слайд 4

Построение сечения методом следов Основные понятия и умения Построение следа прямой на плоскости Построение следа секущей плоскости Построение сечения

Слайд 5

Алгоритм построения сечения методом следов Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения). Построить след сечения на плоскости основания многогранника. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом). Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани. Выполнить п.1.

Слайд 6

Построение сечения призмы Двух точек принадлежащих одной грани нет. Точка R лежит в плоскости основания. Найдем след прямой KQ на плоскости основания: — KQ ∩K1Q1=T1, T1R- след сечения. 3. T1R ∩CD=E. 4. Проведем EQ. EQ∩DD1=N. 5. Проведем NK. NK ∩AA1=M. 6. Соединяем M и R . Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки K,Q,R; K є ADD1, Q є CDD1, R є AB.

Слайд 7

Метод параллельных прямых В основу метода положено свойство параллельных плоскостей: «Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Основные умения и понятия Построение плоскости параллельной данной Построение линии пересечения плоскостей Построение сечения

Слайд 8

Алгоритм построения сечения методом параллельных прямых. Строим проекции точек, определяющих сечение. Через две данные точки (например P и Q ) и их проекции проводим плоскость. Через третью точку (например R) строим параллельную ей плоскость α . Находим линии пересечения (например m и n) плоскости α с гранями многогранника содержащими точки P и Q . Через точку R проводим прямую а параллельную PQ . Находим точки пересечения прямой а с прямыми m и n. Находим точки пересечения с ребрами соответствующей грани.

Слайд 9

(ПРИЗМА) Строим проекции точек P и Q на плоскости верхнего и нижнего оснований. Проводим плоскость P1Q1Q2P2. Через ребро, содержащее точку R, проводим плоскость α параллельную P1Q1Q2. Находим линии пересечения плоскостей ABB1 и CDD1 с плоскость α . Через точку R проводим прямую a||PQ . a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR – искомое сечение. Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є ABB1, Q є CDD1, R є EE1.

Слайд 10

Метод параллельного переноса секущей плоскости Строим вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям: оно параллельно секущей плоскости; в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник. Соединяем проекцию вершины треугольника с вершинами той грани многогранника, которую пересекает вспомогательное сечение, и находим точки пересечения со стороной треугольника, лежащей в этой грани. Соединяем вершину треугольника с этими точками. Через точку искомого сечения проводим прямые параллельные построенным отрезкам в предыдущем пункте и находим точки пересечения с ребрами многогранника.

Слайд 11

ПРИЗМА R є AA1, P є EDD1, Q є CDD1. Построим вспомогательное сечение AMQ1 ||RPQ. Проведем AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1- проекция точек Р и М на АВС. Проведем Р1В и Р1С. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Через точку Р проведем прямые m и n соответственно параллельные МО1 и МО2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – искомое сечение Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є EDD1, Q є CDD1, R є AA1 .

Слайд 12

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения. Построить след сечения на ребре многогранника. Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Слайд 13

Построение вспомогательных сечений. ПРИЗМА Параллельное проектирование .

Слайд 14

Построение следа сечения на ребре

Слайд 15

Комбинированный метод. Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой р провести плоскость β . В плоскости β через точку W провести прямую q‘ параллельную q . Пересекающимися прямыми p и q‘ определяется плоскость α . Непосредственное построение сечения многогранника плоскостью α Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. Применяется для построения сечения многогранника с условием параллельности. 1. Построение сечения многогранника плоскостью α , проходящей через заданную прямую p параллельно другой заданной прямой q .

Слайд 16

ПРИЗМА Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через прямую PQ параллельно AE1; P є BE, Q є E1C1. 1. Проведем плоскость через прямую AE1 и точку P. 2. В плоскости AE1P через точку P проведем прямую q’ параллельную AE1. q’∩E1S’=K. 3. Пересекающимися прямыми PQ и PK определяется искомая плоскость α. 4. P1 и K1- проекции точек Р и К на А1В1С1. P1K1∩PK=S”. S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL-искомое сечение.

Слайд 17

Метод дополнения n -угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды). Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды) из тех граней на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды).

Слайд 18

Основные понятия и умения Построение вспомогатель- ных сечений Построение следа сечения на ребре Построение сечения Центральное проектирование Параллельное проектирование

Слайд 19

ПРИЗМА Q є BB1C1C, P є AA1, R є EDD1E1. Достраиваем призму до треугольной. Для этого продлим стороны нижнего основания: AE, BC, ED и верхнего основания: A 1 E 1 , B 1 C 1 , E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1∩B1C1=K1, E1D1∩B1C1=L1. Строим сечение полученной призмы KLEK1L1E1 плоскостью PQR , используя метод внутреннего проектирования. Это сечение является частью искомого. Строим искомое сечение.

Слайд 20

Правило для самоконтроля Если многогранник выпуклый, то сечение выпуклый многоугольник. Вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника. Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении. Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении. Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника. Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Слайд 21

Базовые задачи на построение сечений многогранников Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения этих плоскостей. M є AD, N є DCC1, D1 ; ABCDA1B1C1D1- куб M є ADD1, D1 є ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M є ABC, Q є ABC, MQ. II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб. MK||AD1, K є BC. M є DCC1, D1 є DCC1, MD1. A є ABC, K є ABC, AK.

Слайд 22

III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой линий их парного пересечения (ребер трехгранного угла). M є AB, N є AA1, K є A1D1; ABCDA1B1C1D1- куб. NK∩AD=F1 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1- призма. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Соединяем A1,P и C.

Слайд 23

V. Если прямая лежит в плоскости сечения, то точка ее пересечения с плоскостью грани многогранника является вершиной трехгранного угла, образованного сечением, гранью и вспомогательной плоскостью, содержащей данную прямую. M є A1B1C1, K є BCC1, N є ABC; ABCDA1B1C1- параллелепипед. 1 . Вспомогательная плоскость MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S- вершина трехгранного угла образованного плоскостями : α , ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Слайд 24

Задачи . На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC ? Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? Какие аксиомы и теоремы вы применяли? Сделайте вывод, как построить сечение в кубе? Давайте вспомним этапы построения сечений тетраэдра (параллелепипеда, куба). Какие многоугольники могут при этом получиться?

Постройте сечение правильной треугольной призмы abca1b1c1 плоскостью, проходящей через

1. Оцените историческое значение научного наследия Ш. Улиханова, используя цитату и информацию о диятельности Ш.Уалиханова. Приведите 3 примера в подт
…

верждение своей позиции.​

Тема «Простейшие задачи в координатах».1.Найдите координаты середины отрезка АВ, если А (-7;8), В(5;-9).2.Найдите длину отрезка ЕН, если Е (-5;2), Н (
…

1:-6).3.Найдите длину вектора с, равного a + в, если а{12; 0}, в{0;-9}.4. Найдите длину вектора а{-12;9}.5.Найти координаты вектора АВ, если А(-7;3),В(-8;1)6.Принадлежит ли точка А (-4; 5) графику функции y = — 0,5x+3?7.Функция задана уравнением х2 + у2 = 16. Какая линия служит графикомэтой функции?8. Написать уравнение окружности с центром в точке А(-1;7), радиусом ЕН, изномера 29.9. Вершины четырёхугольника АВСД имеют следующие координаты:А(-2; -3), В(1; 4), С(8; 7), Д(5; 0).Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Из вершины B ровностороннего триугольника abc до его площади проведено перпендикуляр bm. Найдите сторону триугольника, если расстояние точки m до стор
…

оны ac ровняется 4 см, а до вершины С-5см. 2
5)Даны вершины треугольника АВС А(4;6) В(-4;0) С(4;-4) Определите вид треугольника и найдите его периметр

помогите пжпжпжпжпжпж решить ​

Помогите плиз очень нужно

Помогите плиз очень нужно

Помогите плиз очень нужно

2. Расстояние от центра круга до линии a
расстояние 8 см, а расстояние до линии b
расстояние 11 см, диаметр круга 16 см.
Что общего у каждой линии кру
…

га (а, б)?
может быть точка?
2. Расстояние от центра круга до линии a
расстояние 8 см, а расстояние до линии b
расстояние 11 см, диаметр круга 16 см.
Что общего у каждой линии круга (а, б)?
может быть точка?

Помогите плиз очень нужно

Начертательная геометрия

12.5.2. Способ нормального сечения

Способ нормального сечения заключается в том, что цилиндр или призма пересекаются плоскостью, перпендикулярной образующим цилиндра или ребрам призмы.

Способ нормального сечения применяется в том случае, если основание призмы не является плоскостью уровня, а основание цилиндра – окружностью.

Строится сечение цилиндра или призмы этой плоскостью и определяется его натуральная величина. Затем сечение спрямляется, и перпендикулярно спрямленному нормальному сечению проводятся прямые, соответствующие образующим цилиндра или ребрам призмы, и на этих прямых откладываются натуральные величины образующих или ребер.

Соединив концы образующих или ребер плавной кривой или ломаной линией, получают развертку боковой поверхности цилиндра или призмы.

Рассмотрим применение этого способа для призматических поверхностей на примере треугольной призмы, ребра которой являются фронтальными линиями уровня (рис. 155).

Так как боковые ребра призмы являются фронтальными линиями уровня, они проецируются на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Тогда фронтально – проецирующая плоскость δ(δ₂), перпендикулярная к боковым ребрам, определит нормальное сечение I–II–III призмы. Способом плоскопараллельного движения определена его натуральная величина I’₁–II’₁–III’₁.

Для построения развертки призмы строится спрямленное нормальное сечение I₀–II₀–III₀. Для этого нужно отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормального сечения, а затем через точки I₀, II₀ и III₀ нужно провести прямые, перпендикулярные к этой прямой. На этих прямых откладываются натуральные величины ребер:

Затем точки A₀, B₀, C₀, A₀ и точки A’₀, B’₀, C’₀, A’₀ соединяются прямыми линиями. К полученной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются натуральные величины двух ее оснований:

Если боковые ребра данной призмы занимают произвольное расположение относительно плоскостей проекций, то нужно предварительно преобразовать их в линии уровня.

Рассмотрим построение разверток цилиндрических поверхностей на примере построения развертки боковой поверхности кругового цилиндра, ось i которого является фронтальной линией уровня (рис. 156).

Так же, как и в случае призмы, построено нормальное сечение цилиндра фронтально — проецирующей плоскостью α(α₂), перпендикулярной оси цилиндра и определена его натуральная величина – окружность радиусом r. Эта окружность разбита на шесть равных частей точками I, II, III, IV, V и VI. Далее строится спрямленное нормальное сечение I₀-II₀-III₀-IV₀-V₀-VI₀-I₀, длина которого равна 2πr. Через точки I₀,II₀,III₀,IV₀,V₀,VI₀ и I₀ проводятся прямые, перпендикулярные спрямленному нормальному сечению, и на них откладываются натуральные величины образующих цилиндра:

Точки A₀, B₀, C₀…и точки A’₀, B’₀, C’₀…соединяются плавными кривыми линиями, которые будут развертками верхнего и нижнего оснований цилиндра.

Если образующие цилиндра являются прямыми общего положения, то следует преобразовать их так, чтобы они стали линиями уровня.

Рис. 155. Построение развертки треугольной наклонной призмы способом нормального сечения

Рис. 156. Построение развертки боковой поверхности кругового цилиндра способом нормального сечения

Презентация «Сечения призмы»

Просмотр содержимого документа

«Презентация «Сечения призмы»»

ПРИЗМА.

Сечения призмы.

Автор: Кузнецова Е.В.

www.matematika-na5.narod.ru

Виды призм .

Прямая .

Наклонная .

Правильная .

Все призмы делятся на прямые и наклонные .

Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой ; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной . У прямой призмы боковые грани — прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

Свойства призмы.

1. Основания призмы являются равными многоугольниками. 2. Боковые грани призмы являются параллелограммами. 3о. Боковые ребра призмы равны.

Сечение призмы

• 1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.
• 2. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат.

Наиболее доступными и эффективными методами построения сечения призмы являются три метода:

1. Метод следов.

2. Метод вспомогательных сечений.

3. Комбинированный метод.

www.matematika-na5.narod.ru

Сечение правильной призмы.

1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат.

Задача.

Дано: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро — 6 см. Найдите Sсеч , проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение: Треугольник A 1 B 1 C 1 — равнобедренный(A 1 B=C 1 B как диагональ равных граней)

1)Рассмотрим треугольник BCC 1 – прямоуг ольный

BC 1 2 = BС 2+ CC 1 2

BC 1 = √ 64+36=10 см

2) Рассмотрим треугольник BMC 1 – прямоу гольный

BC 1 2 = BM 2+ MC 1 2

BM 2 = BC 1 2 — MC 1 2

BM 2 =100-16=84

BM = √ 84=2 √ 21 см

3) Sсеч= 1 2 A 1 C 1* BM= 1 2*2√ 21 см*8=8 √ 21

D 1

C 1

Дано: правильная призма, АВ=3см,

АА 1 = 5см

Найти:

Диагональ основания

3 √2см

Диагональ боковой грани

√ 34см

Диагональ призмы

√ 43см

Площадь основания

9см 2

Площадь диагонального сечения

15√2см 2

Площадь боковой поверхности

60см 2

Площадь поверхности призмы

78см 2

B 1

A 1

D

D

D

C

C

C

B

B

B

A

A

A

Применение призмы в архитектуре

Применение призмы в быту.

Сечение призмы плоскостью — Энциклопедия по машиностроению XXL

СЕЧЕНИЕ ПРИЗМЫ ПЛОСКОСТЬЮ  [c.95]

Так, на рис. 162 показаны необходимые построения для определения сечения призмы плоскостью efk, e fk. Определяем точки пересечения ребер призмы с плоскостью. Находим точку пересечения ребра aai, a ai плоскостью. Проводим через это ребро, вспомогательную проецирующую плоскость Nh и определяем линию п, r[t пересечения ее секущей плоскостью.  [c.114]

Как строят сечение призмы плоскостью, параллельной ее боковым ребрам  [c.86]

Решение. На рис. 269 изображены прямоугольный треугольник АВС — сечение призмы плоскостью V и Вз, В — сечения грузов топ же плоскостью. Применяем объединенный принцип Даламбера — Лагранжа. Система имеет три степени  [c.360]

Т) (6, — 7, )ПК, К,» = D, D С, = (D, — 5, )nG,»K,» С и (A B D ) — аксонометрическая проекция линии сечения призмы плоскостью р. Прямые (3 — 4) и (6 — 7) параллельны, поэтому одну из этих точек можно не указывать.  [c.126]

Призма правильная 1/ = Fh М = р1 S = M+2F р — периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к ребру 1 — длина ребра  [c.561]

Построение развертки наклонной призмы и нанесение линии сечения (рис. 237). Даны проекции треугольной наклонной призмы, боковые ребра которой параллельны плоскости V. Призма рассечена фронтально-проектирующей плоскостью (линия сечения призмы плоскостью обозначена А—А). Требуется построить полную развертку поверхности призмы и нанести линию сечения.  [c.169]

Форма фигуры сечения призмы плоскостью зависит от взаимного расположения секущей плоскости и призмы. При пересечении плоскостью Р, параллельной основанию, образуется многоугольник, конгруэнтный основанию призмы (рис. 139, а, б) при пересечении плоскостью Q, наклоненной к основанию, — многоугольник, не конгруэнтный основанию (рис. 139, а, в) при  [c. 135]

Пример 1. Сечение призмы плоскостью. В сечении призмы плоскостью могут получаться различные фигуры  [c.81]

Сечение призмы плоскостью. На рис. 247 показано построение проекций и истинного вида сечения прямой треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Р. Плоскость Р перпендикулярна плоскости V, поэтому фронтальная проекция сечения и плоскости совпадают. По фронтальной проекции можно заключить, что плоскость Р пересекается с верхним основанием призмы и ее боковыми гранями. Поскольку грани призмы перпендикулярны одной или двум плоскостям проекций, то для построения линии пересечения их с плоскостью Р достаточно воспользоваться линиями связи.  [c.137]

М = р1, где р — периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к ребру длина ребра.  [c.79]

V = РП Рп Рб + 2Р) Ро = р1, где г —ребро, р—периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к ребру.  [c.115]

Сечение призмы плоскостью  [c.149]

В заданиях 73—77 даны упражнения на пересечение тел плоскостями. В результате построения этих пересечений получается замкнутая ломаная или кривая линия. Причем для построения ломаной линии сечения призмы плоскостью необходимо определить точки пересечения ребер призмы секущей плоскостью.  [c.9]

Оптическая деталь с плоскими преломляющими поверхностями У и 2, образующими двугранный угол а, называется преломляющей призмой. Сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла, будет главным сечением призмы (рис. 32).  [c.72]

Грань AiB u принадлежащая плоскости Р, произвольным образом расположенной относительно плоскости Q основания AB , представляет собой сечение призмы. Такую призму называют усеченной.  [c.106]

Даны призма и отрезок А В на ее грани. Пересечь призму плоскостью, проходящей через прямую АВ, так, чтобы в сечении получился равнобедренный треугольник AB с основанием А В (рис. 305).  [c.250]

Сечение (АВС) призмы плоскостью у(у2), перпендикулярной боковым рёбрам, называют нормальным. Отсюда и название способа, суть которого в следующем.  [c.198]

По способу нормальных сечений призму пересекают плоскостью Д, перпендикулярной ее боковым ребрам определяют длины сторон ломаной линии — сечения эта ломаная развертывается в отрезок прямой, через точки, соответственные вершинам ломаной, проводят перпендикуляры к этой прямой, на которых откладывают натуральные длины соответствующих отрезков ребер концы ребер последовательно соединяют отрезками прямых пристраивают к построенной развертке боковой поверхности призмы натуральные фигуры оснований призмы.  [c.137]

Развертку построим способом нормальных сечений. Проведем плоскость Д, перпендикулярную боковым ребрам призмы. Фронтально проецирующая плоскость A(Aj) пересекает призму по треугольнику EFG. Способом прямоугольного треугольника определим натуральные длины сторон треугольника EFG (на рис. 169 определение длин отрезков EF, FG, GE не показано).  [c.137]

М). На однородную призму (рис. 109), лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма В поперечные сечения призм — прямоугольные треугольники, вес призмы А втрое больше веса призмы В. Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину I, на которую передвинется призма А, когда призма В, спускаясь по А, дойдет до горизонтальной плоскости.  [c.142]

Условие пластичности Сен-Венана (2.76) представляет собой правильную шестигранную призму, вписанную в цилиндр Мизеса. В сечении D-плоскостью окружность Мизеса оказывается описанной около правильного шестиугольника Сен-Венана (рис. 11.2, в).  [c. 252]

При выпуклом основании призма называется выпуклой. И сечения выпуклой призмы плоскостью будут выпуклыми многоугольниками.  [c.116]

Способ нормального сечения используют для развертки поверхности призм общего положения. В этом случае строится сечение призмы плоскостью а, перпендикулярной к ее боковым ребрам (черт. 338, а), и определяются длины сторон многоугольни  [c.116]

Построение развертки прямого кругового цилиндра и нанесение линии сечения (рис. 239). Даны проекции прямого кругового цилиндра, основание которого расположено на плоскости Я. Цилиндр пересечен фронтально-пройстирующей плоскостью (линия сечения призмы плоскостью обозначена А—А). Требуется построить полную развертку поверхности цилиндра и нанести линию сечения.  [c.171]

Если вместо пирамиды будет задана п-уголь-ная призма, то простейшая секушАя плоскость должна проходить через прямую ЕР параллельно боковым ребрам призмы (рис. 184). Такая плоскость любую п-угольную призму пересечет по параллелограмму. Положение простейшей секущей плоскости Q на рис. 184 определяют данная прямая ЕР и пересекающаяся с ней ЕМ , параллельная боковым ребрам призмы. Построив сечение призмы плоскостью Р, отмечают искомые точки К я I.  [c.101]

Грани призмы являются плоскостями уровня. Поэтому построение линии пересечения поверхностей многогранников выполним способом граней. Сначала строим сечение пирамиды плоскостью Г верхней грани призмы. Из полученного треугольного сечения выделяем ломаную 1234, раеполо-женную в пределах верхней грани призмы. Затем строим треу10льное  [c.117]

Допустим, что искомое направление луча построено. Найдя требуемое направление проецирующих лучей АА, BBi и i, построив сечение этих лучей нормальной по отношению к ним плоскостью, получим в сечении точки, соединив которые отрезками прямых, найдем искомый треугольник А В]Си подобный заданному AqBq o. Полученная в результате этих построений фигура будет по отношению к искомой секущей плоскости прямой трехгранной призмой, а треугольник AB будет сечением построенной призмы плоскостью, не параллельной основанию Л1В1С1,  [c.74]

Определяем далее взаимное положение между косым сечением призмы и любым из боковых ее ребер. Для этого ставим плоскость сечения призмы в положение фронтально проецирующей плоскости. Получаем фигуру азЬзСз, аз Ьз сз и отрезок Аз з, а кз произвольной длины ребра призмы, проходящего через вершину Яг, Сг треугольник ка (рис. 70 и 71).  [c.84]

Далее способом перемещения ставим косое сечение призмы в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций. Получаем треугольник a bi i, а/Ь/с/ и отрезок а кц, a/kt (рис. 72).  [c.84]

---

Самостоятельная работа с самопроверкой — Сечения многогранников и тел вращения

Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: A1; M ∈ B1C1; N ∈ AD. Задача 2. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки: M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC. Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ C1D1; B1 и N ∈ AD. Задача 4. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ BB1 и K ∈ AC. Задача 5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M ∈ B1C1 и N ∈ DD1 и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба. Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ B1C1 и K ∈ DD1. Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D1C1, N ∈ CC1 и K ∈ AA1. Задача 8. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A1B1C1D1; N ∈ DD1 и K ∈ AD. 3aдача 9. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC1; K ∈ BB1 . Задача 10. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1; N ∈ B1C1; K ∈ DC. (Точки М, N и К лежат на скрещивающихся ребрах). Задача 11. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1D1D; N ∈ A1B1C1D1; K ∈ DDC1C. Задача 12. В треугольной пирамиде SАВС провести сечение: а) через середину ребра АС параллельно грани SСВ; б) через середину ребра SС параллельно грани SАВ. Задача 13. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через данные точки: а) С1, К, D; б) С1, К, С, где точка К – середина А1В1. Определите, какая фигура образуется в сечении. Задача 14. Точка Х делит ребро АВ куба ABCDA1B1C1D1 в отношении АХ : ХВ = 2 : 3. Постройте сечение этого куба плоскостью, которая параллельна плоскости АА1С1 и проходит через точку X. Найдите периметр сечения, если АВ = а. Ответы Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: A1; M ∈ B1C1; N ∈ AD. Задача 2. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки: M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC. Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ C1D1; B1 и N ∈ AD. Задача 4. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ BB1 и K ∈ AC. Задача 5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M ∈ B1C1 и N ∈ DD1 и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.  1-я часть решения 2-я часть решения   Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ B1C1 и K ∈ DD1. Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D1C1, N ∈ CC1 и K ∈ AA1. Задача 8. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A1B1C1D1; N ∈ DD1 и K ∈ AD. Зaдача 9. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC1; K ∈ BB1.  Задача 10. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1; N ∈ B1C1; K ∈ DC. (Точки М, N и К лежат на скрещивающихся ребрах). Задача 11. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1D1D; N ∈ A1B1C1D1; K ∈ DDC1C. Задача 12. В треугольной пирамиде SАВС провести сечение: а) через середину ребра АС параллельно грани SСВ; б) через середину ребра SС параллельно грани SАВ. Задача 13. Ответ: а) равнобедренная трапеция; б) прямоугольник. Задача 14. Ответ: .

Призмы с примерами

Перейти к площади или объему поверхности.

Призма — это твердый объект с:

• одинаковые концы
• плоские поверхности
• и тот же сечение по всей длине!

Поперечное сечение — это форма, полученная прямым разрезом по объекту.

Поперечное сечение этого объекта — треугольник …

.. одинаковое поперечное сечение по всей длине …

… значит, это треугольная призма .

изображения / prism-grow.js

Попробуйте нарисовать фигуру на листе бумаги (используя прямые линии) А теперь представьте, что он выходит из листа бумаги … … это призма!

Без кривых!

Призма — это многогранник, а это значит, что все грани плоские!

Например, цилиндр не является призмой , потому что у него изогнутые стороны.

Базы

Концы призмы параллельны
, и каждый из них называется основанием.

Стороны

Боковые грани призмы — параллелограммы
(четырехсторонние формы с параллельными противоположными сторонами)

Это все призмы:

и более!

Пример: гексагональный кристалл льда.

Похоже на шестиугольник, но из-за некоторой толщины на самом деле это шестиугольная призма!

Фотография НАСА / Алексей Клятов.

Обычная и неправильная призмы

Все предыдущие примеры — это призмы Regular , потому что поперечное сечение является правильным (другими словами, это форма с равными длинами кромок и равными углами).

Вот пример неправильной призмы :

Неправильная пятиугольная призма:
		Поперечное сечение
Он «неправильный», потому что поперечное сечение не имеет «правильной» формы.

Правая и наклонная призма

Когда два конца идеально выровнены, это правая призма, в противном случае — наклонная призма:

Площадь призмы

Площадь поверхности = 2 × площадь основания
+ периметр основания × длина

Пример: какова площадь поверхности призмы, у которой площадь основания 25 м

² , периметр основания 24 м, а длина 12 м:

Площадь поверхности = 2 × Площадь основания + Периметр основания × Длина

= 2 × 25 м ² + 24 м × 12 м

= 50 м ² + 288 м ²

= 338 м ²

(Примечание: у нас есть инструмент для расчета площади)

Объем призмы

Объем призмы — это площадь одного конца, умноженная на длину призмы.

Объем = Базовая площадь × длина

Пример: каков объем призмы с площадью основания 25 м

² и длиной 12 м:

Объем = Площадь × Длина

= 25 м ² × 12 м

= 300 м ³

Поиграй с этим здесь. Формула также работает, когда она «наклоняется» ( наклон ), но помните, что высота находится под прямым углом к ​​основанию:

И вот почему:

Стек может наклоняться, но имеет тот же объем

Подробнее о боковых гранях

Боковые грани призмы — параллелограммы (четырехсторонняя форма с параллельными противоположными сторонами)

Призма может наклоняться в одну сторону, что делает ее наклонной призмой , но два конца по-прежнему параллельны, а боковые грани по-прежнему параллелограммы!

Но если два конца не параллельны , это не призма .

639 640 863, 1826, 1827 864, 3379, 3377, 3378, 7649

Треугольная призма

Треугольная призма — это призма с треугольным основанием. На рисунке ниже представлены три типа треугольных призм.

Свойства треугольной призмы

Треугольная призма — это многогранник, состоящий из двух параллельных и совпадающих треугольников, называемых основаниями. Боковые грани (стороны, не являющиеся основанием) представляют собой параллелограммы, прямоугольники или квадраты. У треугольной призмы три боковые грани.Ребро — это отрезок прямой, образованный пересечением двух смежных граней. Вершина — это точка пересечения трех ребер.

Треугольные призмы, подобные приведенной выше, имеют в общей сложности 5 граней, 2 основания и 3 боковые грани. У него также 9 ребер и 6 вершин.

Любое поперечное сечение треугольной призмы, параллельное основаниям, образует треугольник, соответствующий основаниям.

Два треугольных сечения треугольной призмы показаны выше зеленым цветом.Они соответствуют двум треугольным основаниям треугольной призмы, поскольку они образованы поперечными сечениями, расположенными в плоскостях, параллельных основаниям. Это верно для любого параллельного сечения треугольной призмы.

Классификация треугольных призм по их пересекающимся граням

Треугольные призмы можно классифицировать в зависимости от того, как их основания и боковые грани пересекаются или встречаются. Если основания перпендикулярны боковым граням, то есть встречаются под прямым углом, это прямоугольная призма.В противном случае это наклонная треугольная призма.

Прямоугольная призма	Косая треугольная призма

Треугольные призмы правильной и неправильной формы

Треугольные призмы также можно классифицировать по типу треугольника, образующего его основание. Правильная призма определяется призмой, основания которой являются правильными многоугольниками. Следовательно, если основания треугольной призмы представляют собой равносторонние треугольники, это правильная треугольная призма.В противном случае это нерегулярно. Часто под правильной треугольной призмой подразумевают прямоугольную призму.

Правильная треугольная призма	Неправильная треугольная призма

Объем треугольной призмы

Объем V треугольной призмы равен площади одного из ее оснований, умноженной на ее высоту:

S = B · ч

, где B — площадь треугольного основания, а h — высота (расстояние между двумя параллельными основаниями) треугольной призмы.

Калькулятор площади поверхности треугольной призмы

Наш калькулятор площади треугольной призмы предлагает 4 различных способа вычисления всех запросов , связанных с площадью поверхности призмы! Идите и попробуйте; наши образцы изображений и подробные инструкции сделают все проще, чем когда-либо было !

Следите за нашей короткой статьей на:

• Откройте для себя различных призм с треугольными гранями ;
• Узнайте о площади боковой поверхности треугольной призмы; …и наконец
• Узнайте, как определить площадь треугольной призмы .

Вы готовы? Поехали!

Как использовать вычислитель площади поверхности треугольной призмы?

Этот раздел представляет собой пошаговую инструкцию о том, как найти площадь поверхности треугольной призмы с помощью нашего удобного инструмента; взгляните на математическую задачу, которую хотите решить, и соберите следующую информацию:

1. Определите тип треугольной грани

💡 Треугольная грань является основанием нашей призмы .Каждая призма имеет две треугольные грани (обе имеют форму треугольника).

Найдите всю информацию о треугольной грани, которая присутствует в вашем запросе:

1. Если указаны только две стороны треугольника , это обычно означает, что ваше треугольное лицо является прямоугольным треугольником (треугольник, у которого есть прямой угол = 90 ° между двумя сторонами).

   • Вам необходимо выбрать вариант прямоугольного треугольника ◣ (этот параметр служит как площадь поверхности в калькуляторе прямоугольной призмы )
   • Вы можете ввести любые две заданные стороны треугольника — будьте осторожны и проверьте, какая из них касается прямого угла (a, b), а какая нет (c).

2. Если вам дали все три стороны треугольника — вам повезло!

   • Выберите вариант ▲ 3 стороны ; затем
   • Введите все три стороны, где хотите (a, b, c).

3. Если вам дадут две стороны и угол между ними

   • Выберите ▲ 2 стороны + угол между

4. Если у вас 2 угла и только одна сторона между ними

   • ** Выберите ▲ 2 угла + сторона между вариант **

2.Введите все данные, указанные в вашем запросе

Мы даем вам на выбор более 15 единиц! Помните, что для всегда выбирайте единицы, указанные в запросе и , не бойтесь смешивать их ; наш калькулятор позволяет и это!

💡 Длина — это высота всей треугольной призмы — часто это самое длинное из заданных значений.

3. Ваши результаты здесь 🎉

На этом этапе вы также можете выбрать из широкого диапазона единиц площади — выберите ту, которая лучше всего соответствует вашим потребностям.

Ого, вы уже все это прочитали! Пора сделать шаг вперед и попробовать что-то новенькое:

🔺 Треугольные инструменты:

♦ ️ Прямоугольные инструменты:

Как рассчитать площадь поверхности треугольной призмы?

Еще раз, мы должны спросить вас о данных, приведенных в вашем запросе — выберите правильный вариант расчетов на основе треугольного основания вашей призмы .

1. ◣ прямоугольный треугольник

   Вам, вероятно, дали только две стороны треугольного основания; К сожалению, площадь поверхности прямоугольной треугольной призмы требует от нас знания площади треугольной грани (основания) :

   Площадь основания = (a * b) / 2

   Вы должны помнить, что:

   • a, b — стороны, которые касаются прямого угла (также называемые ноги или катетами )
   • c — сторона, которая не касается прямого угла ( — гипотенуза ).

   💡Третью сторону прямоугольного треугольника можно вычислить с помощью теоремы Пифагора: a² + b² = c²

   После того, как мы вычислили площадь основания, мы можем перейти к реальной поверхности Расчет .

   Вот самая простая формула для поверхности треугольной призмы, которую мы можем использовать:

   Площадь = Длина * (a + b + c) + (2 * Площадь основания)

   или

   Площадь = длина * периметр основания + (2 * площадь основания)

   💡 Периметр основания — это сумма всех сторон основания призмы (a + b + c).

2. ▲ 3-х сторонний

   Как и в предыдущем примере, нам сначала нужно знать базовую область .

   Это можно рассчитать по формуле Герона:

   Площадь основания = 0,25 * √ [(a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)] ,

   где:

   • a, b, c — стороны треугольного основания

   Мы использовали те же уравнения, что и в предыдущем примере:

   Площадь = Длина * (a + b + c) + (2 * Площадь основания)

   или

   Площадь = длина * периметр основания + (2 * площадь основания)

3. ▲ 2 стороны + угол между

   Сейчас время усложняется.

   Площадь такого треугольника можно рассчитать по формуле тригонометрии:

   Площадь основания = 0,5 * a * b * sin (Угол γ)

   В данном конкретном случае наш калькулятор площади треугольной призмы использует следующую формулу в сочетании с законом косинусов :

   Площадь = Длина * (a + b + √ (b² + a² - (2 * b * a * cos (Угол γ)))) + a * b * sin (Угол γ)

4. ▲ 2 угла + сторона между

   Мы еще глубже погружаемся в секреты математики! 😱

   Вот формула для площади треугольника, которую нам нужно использовать:

   Площадь = = a² * sin (Угол β) * sin (Угол γ) / (2 * sin (Угол β + Угол γ))

   В данном конкретном случае мы используем закон синусов.

   А вот формула площади поверхности треугольной призмы, которая нам нужна:

   Площадь = (Длина * (a + a * (sin (Угол γ) / sin (Угол γ + Угол β)) + a * (sin (Угол β) / sin (Угол γ + Угол β)))) + a * ((a * sin (Угол γ)) / sin (Угол γ + Угол β)) * sin (Угол β)

   ❗ Обязательно используйте преобразование углов, если ваши углы указаны в единицах, отличных от градусов .

Как рассчитать боковую поверхность треугольной призмы?

Этот расчет чрезвычайно прост! Вы можете либо:

• Если вы знаете все стороны треугольного основания , умножьте их значения на длину призмы.

  Боковая поверхность треугольной призмы = Длина * (a + b + c)

• Если вам известна общая площадь поверхности , вычтите поверхность треугольных граней из общей площади поверхности призмы.

  Боковая поверхность = Общая поверхность треугольной призмы - (2 * Поверхность треугольного основания)

Числа — Объем — Треугольные призмы

Введение

Бывают ситуации, когда вам нужно будет рассчитать объем треугольной призмы .Это может быть треугольный разрез на бетонной плите или выемка грунта из наклонного блока.

Вы знаете, как рассчитать объем треугольных призм?

Расчетный объем

Помните, что формула для расчета объема:
V olume = A rea на h восемь
V = A X h .

Для треугольника площадь рассчитывается по формуле:
A rea = половина b ase на a ltitude
A = 0.5 X b X a .

Итак, чтобы рассчитать объем треугольной призмы , формула:
V = 0,5 X b X a X h .

Упражнение 1

Вычислите объем треугольной призмы.

Введите свой ответ и выберите «Отправить» для отзыва.

м ³

Представлять на рассмотрение

Упражнение 2

Вычислите объем треугольной призмы.

Введите свой ответ и выберите «Отправить» для отзыва.

м ³

Представлять на рассмотрение

Упражнение 3

Вычислите объем треугольной призмы.

Введите свой ответ и выберите «Отправить» для отзыва.

м ³

Представлять на рассмотрение

Упражнение 4

Вычислите объем треугольной призмы.

Введите свой ответ и выберите «Отправить» для отзыва.

м ³

Представлять на рассмотрение

Сводка

Это конец раздела о треугольных призмах.

Ключевые моменты, о которых следует помнить:

• формула объема:
  Объем = Площадь по высоте
• рассчитайте объем треугольной призмы по формуле:
  Объем = половина базы по высоте по высоте.

Вы можете просмотреть этот раздел или выбрать другой в левом меню.

Определение площади поверхности треугольной призмы

Определение площади поверхности треугольной призмы Обсуждение:

Наставник: Кто-нибудь может мне сказать, что
значит площадь поверхности?

Учащийся 1: Площадь поверхности — это количество квадратных единиц, необходимых для покрытия поверхности трехугольника.
габаритная фигура.

Учащийся 2: Площадь поверхности — это то, что вы видите в трехмерном объекте, а не то, что находится внутри.

Наставник: Хорошо, а как вы определяете площадь поверхности трехмерного объекта?

Студент 1: Ну, есть много трехмерных объектов, таких как конусы, прямоугольные призмы и
треугольные призмы. Формула для определения площади поверхности не может быть одинаковой для всех этих
цифры.

Наставник: Верно! Трехмерные фигуры имеют разные формулы площади поверхности в зависимости от
их форма.Рассмотрим именно площадь поверхности треугольной призмы.

Наставник: Поскольку мы находим площадь поверхности этой формы, сколько сторон нам нужно включить?

Учащийся 1: Это треугольная призма, поэтому у нее 5 сторон (две треугольные стороны и три прямоугольных).
стороны). Мы должны обязательно посчитать, сколько квадратных единиц находится на каждой из пяти сторон.
Это даст нам всю площадь, покрывающую форму.

Наставник: Отлично! Давайте сначала посмотрим на верхнюю поверхность этой фигуры. Сколько квадратных единиц покрывает это
треугольная поверхность?

Студент 2: Вы просите меня найти это место. Я помню, как узнал, что площадь треугольника равна 1/2
умножить базу на высоту.

Наставник: В этом упражнении мы будем называть основание треугольной призмы шириной основания и
мы будем называть высоту призмы глубиной основания.

Студент 1: Хорошо, тогда базовая ширина составляет 4 единицы, а базовая глубина — 6 единиц. Следовательно, площадь будет
быть:

1/2 x 4 x 6 = 12 квадратных единиц

Наставник: Верно. Теперь, есть ли на этой треугольной призме другие поверхности, которые могли бы быть
идентичный тому, с которым мы только что работали?

Учащийся 1: поверхность непосредственно под этим (другая треугольная сторона призмы) должна иметь такой же
количество кубических единиц.

Наставник: Верно, но почему?

Учащийся 2: Ну, ширина основания плоской треугольной формы будет такой же (4 единицы), что и ширина основания.
глубина формы будет такой же (6 единиц), то есть площадь должна быть такой же
также!

Наставник: Хорошо. Теперь у нас есть две покрытые поверхности (каждая по 12 квадратных единиц). Перейдем в сторону
фигуры, обращенной вправо. Сколько квадратных единиц на этой поверхности?

Студент 1: Ну, одна сторона выглядит так, как будто это ровно 3 единицы, но я не уверен, сколько единиц находится на
другая сторона формы.Он выглядит наклонным, и я не уверен.

Наставник: Хорошее наблюдение. Сторона, равная 3 единицам, измеряет высоту призмы. Другая длина, которая
Вы запутались, называется наклонной высотой. Может быть сложно определить высоту наклона на
треугольные призмы. В этом упражнении я собираюсь дать вам наклонную высоту:
6.32 шт.

Учащийся 2: Хорошо, если наклонная высота составляет 6,32 единицы, а высота призмы составляет 3 единицы, то площадь этой
сторона будет 6.32 умножить на 3, что равно 18,96 квадратных единиц.

Наставник: Хорошо. И есть ли на треугольной призме другая поверхность, идентичная этой?

Студент 2: Да, поверхность, противоположная этой, была бы идентична, поскольку на ней тоже была бы призма.
высота 3 единицы и наклонная высота 6,32 единицы.

Наставник: Отлично. Теперь у нас есть четыре покрытых поверхности. Два из них по 12 кв.
из них 18.96 квадратных единиц каждая. Давайте посмотрим на последнюю сторону, которую мы видим в этом
трехмерная фигура:

Студент 1: Эта поверхность легкая! С одной стороны 4 блока, с другой — 3.

Наставник: Верно. 4 единицы измеряют ширину основания, а 3 единицы — высоту призмы. Что будет
вы вообще, чтобы найти площадь этой формы?

Студент 1: Поскольку это прямоугольник, все, что мне нужно сделать, это умножить эти два числа.4 (ширина основания)
умноженное на 3 (высота призмы) дает мне площадь плоского прямоугольника: 12 квадратных единиц!

Студент 2: Да! А это значит, что мы нашли площадь пяти сторон. Только треугольная призма
имеет пять сторон, так что у нас есть все области, которые нам нужны сейчас.

Наставник: Верно! Итак, у нас есть:

• две поверхности по 12 квадратных единиц
• две поверхности 18.96 квадратных единиц
• одна поверхность, которая составляет 12 квадратных единиц.

Теперь, какова общая площадь треугольной призмы?

Студент 1: Чтобы найти общую площадь поверхности, мне нужно было бы добавить все отдельные области, которые я нашел.
все вместе. Это было бы:

• 12 + 12 +
• 18,96 + 18,96 +
• 12 = 73,92 квадратных единицы!

Наставник: Отличная работа! Вы только что нашли площадь треугольной призмы!

Объем треугольной призмы — объяснение и примеры

Предисловие

Узнайте об объеме правой треугольной призмы и объеме прямоугольной призмы в концепции объема треугольной призмы.Ознакомьтесь с интерактивным моделированием и калькулятором объема треугольной призмы, чтобы узнать больше об уроке и попробовать свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце страницы.

Станьте чемпионом по объему треугольной призмы всего за 7 минут!

Введение

Треугольные призмы повсюду вокруг нас. Туристическая палатка, клин, кусок торта и кусок сыра — все это треугольные призмы!

Некоторые реальные примеры треугольных призм

Попробуйте нарисовать фигуру на листе бумаги прямыми линиями.Затем представьте, как он вытягивается из листа бумаги. Сформированная таким образом трехмерная форма будет призмой!

Содержание

Математика представляет идеи, творческое мышление и решение проблем. Мы в Cuemath понимаем это и соединяем творческое мышление с числами. По своей сути математика проста. И мы умеем определять простоту.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-уроке Cuemath в LIVE вместе со своим ребенком.

Что такое призма?

Призма — это твердый объект, имеющий одинаковые концы, плоские грани и одинаковое поперечное сечение по всей длине.

Типы призм

Треугольная призма — это трехмерная форма, основание которой выполнено в виде треугольников.

Призма — это многогранник, что означает, что все ее грани плоские. У призмы нет кривых.

Например, цилиндр не является призмой, потому что у него изогнутые стороны.

Правая и наклонная призма

Два плоских конца идеально совмещены в правой призме. Косая призма наклонена, а два плоских конца не совмещены.

Обычная и неправильная призма

В зависимости от поперечного сечения призмы получают названия. Призмы бывают двух типов, а именно:

1. Обычная призма: В обычной призме основания призмы имеют форму правильного многоугольника.

2. Неправильная призма: В неправильной призме основания призмы имеют форму неправильного многоугольника.

---

Что такое треугольная призма?

Треугольная призма — это многогранник, состоящий из двух треугольных оснований и трех прямоугольных сторон.

По определению, два треугольных основания параллельны и конгруэнтны друг другу.

Треугольная призма — это пятигранник, в котором края и вершины оснований соединены друг с другом тремя прямоугольными сторонами.

Поперечное сечение — это форма, полученная прямым разрезом объекта.

Поперечное сечение треугольной призмы

Этот объект в поперечном сечении представляет собой треугольник.

Он имеет одинаковое поперечное сечение по всей длине, поэтому представляет собой треугольную призму.

---

Объем треугольной призмы

Объем прямоугольной призмы

Когда мы умножаем базовую площадь призмы по всей ее длине, мы получаем ее объем.

Итак,

\ (\ text {Объем призмы} = \ text {base area} \ times \ text {length} \)

\ (\ text {Base area} = \ dfrac 1 2 \ times \ text {base} \ times \ text {height} \) (так как у него треугольное основание)

Объем наклонной треугольной призмы

Формула также работает, когда призма наклоняется или «наклоняется», то есть для наклонной призмы. В этом случае высота (также иногда называемая длиной) всегда берется под прямым углом к ​​основанию.

Таким образом, формула объема треугольной призмы равна

\ begin {Equation} \ text {Объем = Площадь основания x Длина} \ end {Equation}

---

Определение объема треугольной призмы

Объем прямоугольной или наклонной треугольной призмы равен произведению площади основания треугольника и высоты призмы.

\ (\ begin {формула}
\ text {Объем} = \ text {площадь основания} \ times \ text {высота призмы. }
\ end {Equation} \)

\ (\ text {Объем треугольной призмы} = \ dfrac 1 2 \ times \ text b \ times \ text h \ times \ text l \)

Где \ (\ text {b} \) — длина основания, \ (\ text {h} \) — высота треугольника, а \ (\ text {l} \) — длина между основаниями треугольника.

Хотите понять «Почему» за «Что»? Исследуйте объем треугольной призмы с нашими экспертами по математике в LIVE, персонализированных и интерактивных онлайн-классах Cuemath.

Объем любой призмы можно рассчитать по общей формуле.

Общая формула объема призмы имеет вид:

\ (\ text {Объем призмы} = \ text {(базовая область} \ times \ text {высота)} \ text {кубические единицы} \)

\ (\ text {Объем призмы} = \ text {(базовая область} \ times \ text {height)} \ text {кубические единицы} \)

CLUEless в математике? Посмотрите, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку объем треугольной призмы, используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите живые, интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы ваш ребенок стал экспертом по математике. {2} \ end {уравнение} \) и высота = \ (\ begin {уравнение} 6 \, в \ end {уравнение} \)

Мы это знаем,

Объем \ (\ begin {формула} \, из \, a \: призма = (основание \, площадь × высота) \, кубический \, дюйм. \ End {формула} \)

Следовательно, \ (\ begin {уравнение} V = 30 × 6 = 180 \ end {уравнение} \)

Следовательно, объем треугольной призмы = \ (\ begin {equal} 180 \, cubic \, in. \ End {equal} \)

Важные примечания

• Призма имеет одинаковую площадь поперечного сечения по всей длине.
• Треугольная призма состоит из 5 граней, 9 граней и 6 углов. Он имеет 2 основания треугольной формы и 3 прямоугольные грани.
• Объем призмы — это не что иное, как площадь ее поперечного сечения, умноженная на ее длину.

Есть сомнения, которые вы хотите очистить? Проясните это с помощью простых решений по объему треугольной призмы от наших экспертов по математике в LIVE, персонализированных и интерактивных онлайн-классах Cuemath.

Сделайте своего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

---

Калькулятор объема треугольной призмы

Вот объем калькулятора с треугольной призмой.

Как пользоваться калькулятором?
Порядок использования вычислителя объема треугольной призмы следующий:

Шаг 1: Введите меры длины, основания и высоты в поля ввода.

Шаг 2: Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить результат.

Шаг 3: Объем треугольной призмы будет отображаться в поле вывода.

Сложные вопросы

• Обычная треугольная призма со стороной 6 см имеет такой же объем, как и квадратная призма. Какой была бы длина стороны квадратной призмы, если бы длина обеих призм была одинаковой?
• Найдите соотношение объемов двух треугольных призм длиной «a» и «b». Обе эти призмы имеют одинаковую площадь поперечного сечения.

Определите объем треугольной призмы с основанием \ (7 \, \ text {in} \), высотой \ (5 \, \ text {in} \) и длиной \ (10 ​​\, \ text {in} \). } \).

Решение

Шаг 1:

\ (\ begin {формула}
\ text {Объем треугольной призмы = Площади основного треугольника} \ times \ text {Высота призмы}
\ end {Equation} \)

Шаг 2:

Объем данной призмы

\ (\ begin {уравнение} \ begin {array} {l} \ text {V} = \ frac {1} {2} \ times \ mathbf {b} \ times \ mathbf {h } \ times l \\ \ text {V} = \ frac {1} {2} \ times 7 \ times 5 \ times 10 \\ \ text {V} = 175 \ text {кубический дюйм} \ end {array} \ конец {уравнение} \)

\ begin {Equation} \ поэтому \ text {Объем данной призмы} 175 \, \ mathrm {in} ^ {3} \ end {Equation}

Найдите объем правой треугольной призмы, указанной ниже. {3}
\ end {Equation}

Каков объем данной трапециевидной призмы? Все размеры указаны в дюймах. 3 \)

На схеме показана призма с поперечным сечением правильного шестиугольника.{3} \)

---

Вот несколько занятий, которые вы можете практиковать.

Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

---

Заключение

Мы надеемся, что вам понравилось узнать об объеме треугольной призмы с объемом калькулятора треугольной призмы, а также попрактиковаться в вопросах.Теперь вы легко сможете решать задачи по объему прямоугольной призмы и объему прямоугольной призмы .

Вы также можете упростить эту тему с помощью наших экспертов по математике в LIVE и интерактивных онлайн-классах Cuemath. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

---

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Как узнать высоту треугольной призмы с объемом?

Формула объема треугольной призмы:
\ (\ begin {уравнение} \ mathrm {V} = (\ text {base area} \ times \ text {height}) \ text {кубические единицы} \ end { уравнение} \)

2.Как построить треугольную призму?

Верх и низ, которые представляют собой треугольники, являются основаниями. Эти три прямоугольника называются боковыми гранями. Треугольная призма имеет пять граней, состоящих из двух треугольных оснований и трех прямоугольных боковых граней, а основание также является гранью.

3. Каков объем трапециевидной призмы?

Формула объема трапециевидной призмы. Если длина призмы равна \ (l \), ширина основания трапеции равна \ (b \), ширина вершины трапеции равна \ (a \), а высота трапеции равна \ (h \), то объем призмы определяется выражением формула:

\ (V = lh (a + b) / 2 \)

Другими словами, умножьте длину, высоту и среднее значение \ (a \) и \ (b \).

Треугольная пирамида | Найдите объем и площадь поверхности (формулы)

Треугольная пирамида

Треугольная пирамида представляет собой трехмерное тело — многогранник — с треугольным основанием и тремя треугольными гранями, пересекающимися в вершине пирамиды.

Основание пирамиды может быть любой двухмерной геометрической формы:

• Треугольник
• Прямоугольник
• Площадь
• Шестиугольник
• восьмиугольник

Есть много типов пирамид, и все пирамиды названы по форме их оснований.

Так же, как у вас может быть треугольная пирамида, у вас также может быть прямоугольная пирамида, пятиугольная пирамида и т. Д.

Великие пирамиды Египта в Гизе, например, представляют собой квадратную пирамиду, потому что ее основание (основание) — квадрат. Треугольная пирамида — это пирамида с треугольным основанием.

Грани, ребра и вершины треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде:

• Треугольное основание
• 3 треугольных грани
• 6 граней
• 4 вершины

Правильная треугольная пирамида

Пирамида с основанием равностороннего треугольника — это правильная треугольная пирамида . Если в основе лежит разносторонний или равнобедренный треугольник, то пирамида представляет собой неправильную треугольную пирамиду .

Ни одно правило не требует, чтобы основание треугольной пирамиды было равносторонним, хотя построить разносторонние или равнобедренные треугольные пирамиды намного сложнее, чем построить равностороннюю треугольную пирамиду.

[вставить точный чертеж на основе этой ссылки на схему сети треугольной пирамиды]

Содержание

1. Треугольная пирамида
2. Площадь поверхности треугольной пирамиды
3. Объем треугольной пирамиды

Площадь поверхности треугольной пирамиды

Для любого 3D-тела можно выполнить два различных измерения площади поверхности: площадь боковой поверхности и площадь поверхности .

Площадь боковой поверхности, LSA, не включает основание нашей пирамиды. Площадь поверхности пирамиды SA включает основание.

Площадь поверхности треугольной пирамиды с тремя конгруэнтными видимыми гранями — это площадь этих трех треугольных граней плюс площадь треугольного основания.

Формула для расчета площади поверхности включает площадь основания, периметр основания и высоту наклона любой стороны.

Площадь поверхности треугольной пирамиды, формула

SA = Базовая площадь + 12 (периметр × наклонная высота)

Эта формула работает, потому что вы добавляете базовую область к площади всех трех наклонных граней.Периметр дает вам сумму всех трех баз. Вы умножаете эту сумму на наклонную высоту треугольной пирамиды, как если бы у вас был один большой прямоугольник, а затем вы принимаете половину этой площади как площадь трех треугольников.

Как найти площадь поверхности треугольной пирамиды

Предположим, у вас есть треугольная пирамида:

Основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, так как все три его стороны составляют 10 локтей. Чтобы найти площадь основного треугольника, используйте эту формулу для площади равностороннего треугольника со сторонами a:

Для этой конкретной треугольной пирамиды формула имеет вид:

А = 34 102 ≈ 43.3 квадратных локтя (локтей2)

Мы нашли территорию базы. Мы уже знаем, что периметр основания составляет 30 локтей (каждая из трех сторон — 10 локтей), и нам дана наклонная высота — 14 локтей.

SA = площадь основания + 12 периметр × высота наклона

SA = 43,3 локтя2 + 12 30 локтей × 14 локтей

SA = 43,3 локтя2 + 12 420 локтей2

SA = 43,3 локтя2 + 210 локтей2

SA = 253,3 локтя2

Площадь всегда измеряется в квадратных единицах, будь то см2, м2, фут2 или кубиты2.

Как рассчитать площадь боковой поверхности треугольной пирамиды

Возможно, вам нужно было потратить время на то, чтобы разобраться со всем этим, найти область базы, найти периметр, добавить все.

Чтобы найти площадь только наклонных сторон — площадь боковой поверхности (LSA) — вам нужно сделать намного меньше работы:

LSA = 12 (периметр × наклонная высота)

Эти формулы работают только для обычных пирамид. Если у вас неправильная треугольная пирамида, вычислите площадь каждой из четырех граней отдельно (три наклонные грани и основание) и сложите их вместе.

Объем треугольной пирамиды

Объем — это объем пространства, занимаемого трехмерным телом, поэтому с помощью треугольной пирамиды мы определяем, сколько места в ней есть внутри. Он всегда измеряется в кубических единицах. Хотя пирамида быстро уменьшается до вершины, расчет не представляет трудностей.

Формула объема треугольной пирамиды

В формуле объема треугольной пирамиды A — это площадь основания, а h — высота от основания до вершины.

Для нашей пирамиды с основанием 10 локтей и высотой наклона 14 локтей высота h составляет 13.0767 локтей. Мы уже знаем площадь из наших предыдущих расчетов, поэтому мы можем подставить известные числа, чтобы получить объем в кубических локтях:

В = 13 Ач

V = 13 (43,3 локтя2 × 13,0767 локтя)

V = 13 (566,2211 локтей3)

V ≈ 188,75 локтей3

Обратите внимание, что с дробью как множителем при умножении у нас нет точного десятичного ответа, поэтому у нас есть приблизительное значение.

построить сечение пирамиды

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

 

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

 

 

 

 

 

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

 

Треугольник MNP — искомое сечение.

 

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

 

 

 

Треугольник BKL — искомое сечение.

 

 

 

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

 

 

 

 

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

 

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

 

 

 

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с  прямой AS. Назовем эту точку R.

 

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

 

 

 

 

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

 

 

 

 

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

 

 

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

 

 

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

 

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Задачи на построение сечений многогранников А Нет

Задачи на построение сечений многогранников

А Нет точек пересечения Одна точка пересечения В А А В Пересечением является отрезок С Пересечением является плоскость

Многоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью

Основные понятия Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника. Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости. Рис. 1 Рис. 2

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например (см. рис. 3), в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4 -угольник, 5 -угольник, 6 -угольник или 7 -угольник. Рис. 3

№ 1. Построить сечение, определенное точками K, L, M. Р 1. Прямая КМ K 2. Прямая МL L 3. Прямая КL В КМL –сечение ? А M (аксиома 1)

N 2. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА 1 и CC 1. В 1 С 1 А 1 1. Прямая А 1 С 1 2. Прямая АС D 1 АА 1 С 1 С — сечение В А С D ?

N 3. Построить сечение, определяемое пересекающимися прямыми АС 1 и А 1 С. В 1 А 1 С 1 D 1 2. Прямые АА 1 и СС 1 АА 1 С 1 С — сечение В А 1. Прямые А 1 С 1 и АС С D ? (следствие 2)

N 4. Построить сечение по прямой BC и точке М. Р 1. Прямая ВС 2. Прямая СМ М 3. Прямая ВМ В А С ВСМ — сечение ? (следствие 1)

N 5. Определите вид сечения куба АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 плоскостью, проходящей через ребро А 1 Д 1 и середину ребра ВВ 1. D 1 С 1 А 1 В 1 1. Прямая А 1 М 2. Прямая МК A 1 D 1 К 3. Прямая D 1 K A 1 D 1 KM — сечение D А С М В

N 6. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС. К В 1 А 1 М С 1 А С D 2. Прямая МК II AC 3. Прямая AK D 1 В 1. Прямая СМ AKМС — сечение

N 7. Построить сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и точку М середину ребра В 1 С 1. А 1 К С 1 М В 1 А С 1. Прямая ВМ 2. Прямая МК параллельно АВ 3. Прямая АК АКМВ — сечение В

N 8. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основания пирамиды. S 1. Прямая КМ II AD 2. Прямая КN II DC 3. Прямая МP II AB 4. Прямая PN II BC В P N M К С KMPN — сечение А D

Геометрия, 10 класс Тема: Построение сечений многогранников методом «следа» .

• Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости). • Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!? ). • Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости. Не забудьте, что прямая бесконечными в пространстве фигурами! ПРИМЕЧАНИЕ. и плоскость являются Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K.

Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости. K D 1 C 1 A 1 B 1 N D A M C B ПРИМЕР 1.

Теперь обращаем внимание, что ребро куба В 1 С 1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е. K D 1 E C 1 A 1 B 1 N D A M C B ПРИМЕР 1.

Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F D 1 C 1, EK. K D 1 F E C 1 A 1 B 1 N D A M C B ПРИМЕР 1.

Далее видим, что ребро куба А 1 В 1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G. G K D 1 F E C 1 A 1 B 1 N D A M C B ПРИМЕР 1.

Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след» ! Причем, GM∩АА 1=Н. G K D 1 F E C 1 A 1 H B 1 N D A M C B ПРИМЕР 1.

Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба. G K D 1 F E C 1 A 1 H B 1 N D A M C B ПРИМЕР 1. Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба.

ПРИМЕР 2. Построить сечение четырехугольной пирамиды, заданное точками M, N и K. Проследите за ходом построения сечения и запишите его. K M N

ПРИМЕР 3. Построить сечение пятиугольной призмы, заданное точками M, N и K. Проследите за ходом построения сечения и запишите его. N M K

Рассмотрим теперь более сложные примеры N K M ПРИМЕР 4.

Помним о том, что вершина пирамиды – общая точка для всех боковых граней! K N M ПРИМЕР 5.

K N M ПРИМЕР 6.

Плоскость сечения может задаваться: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой, не лежащей на ней; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми. Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.

Заключение Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа» . ПРИМЕЧАНИЕ. Если такой пары точек не найдется, то сечение строится методом параллельных проекций. Но это уже тема нового урока!

Что такое треугольная призма? — Определение, формула и примеры — Видео и стенограмма урока

Треугольная призма

Различные части треугольной призмы

Если вы разрежете свою треугольную призму и положите ее на стол, вы создадите сеть для своей треугольной призмы, как показано на рисунке ниже.

Сеть для треугольной призмы

Обратите внимание, как ваша трехмерная треугольная призма состоит из двухмерных фигур, таких как прямоугольники и треугольники. Есть три прямоугольника и два треугольника.

Двумерные формы, образующие трехмерную форму, называются гранями . Верх и низ, которые являются треугольниками, являются основаниями. Три прямоугольника называются боковыми гранями. Треугольная призма имеет пять граней, состоящих из двух треугольных оснований и трех прямоугольных боковых граней, причем основание также является гранью.

Части треугольной призмы

Когда две грани встречаются, они образуют отрезок, называемый ребром.Когда три ребра встречаются, они образуют точку, которая называется вершиной (множественное число от вершины — это вершины). Треугольная призма имеет 5 граней, 9 ребер и 6 вершин.

Треугольная призма с отмеченными вершинами

Говоря о частях призмы, используйте буквы, присвоенные каждой вершине. Одно из оснований — треугольник AFE, одно из ребер — отрезок BC, а одна из вершин — точка D.

Определение площади поверхности

Площадь поверхности — это количество пространства снаружи объекта. Например, если вы должны обернуть коробку оберточной бумагой, количество бумаги, которое вам понадобится, зависит от площади поверхности. Чтобы проиллюстрировать площадь поверхности треугольной призмы, вернемся к созданной ранее сети. Вы должны были заметить, что у нас в сети было два треугольника и три прямоугольника, и эти фигуры образовывали внешнюю сторону треугольной призмы.

Чтобы найти поверхность треугольной призмы, найдите площадь каждой из ее частей, а затем сложите их вместе.Площадь поверхности треугольной призмы равна площади первого, второго и третьего прямоугольников и площади первого и второго треугольников. Вы можете сделать это, используя формулы для площади прямоугольников и треугольников, или вы можете использовать этот ярлык:

Шаг первый: Найдите периметр основания треугольника, p .

Шаг второй: Найдите площадь основания треугольника, A .

Шаг третий: Определите высоту призмы. ч .

Шаг четвертый: p x h + 2 * A = площадь поверхности

Давайте рассмотрим пример:

Нахождение площади поверхности

Шаг первый: периметр = 5 + 8 + 5 дюймов = 18 дюймов

Шаг второй: площадь основания треугольника = (8 x 3)/2 = 12 квадратных дюймов

Шаг третий: высота = 10 дюймов.

Шаг четвертый: 18 x 10 + 2(12) = 180+24 = 204 квадратных дюйма

Нахождение объема

Объем — это трехмерное измерение, а площадь — двумерное измерение. Объем — это объем пространства внутри объекта. Например, если вы должны наполнить свой бассейн на заднем дворе водой в летний сезон, количество галлонов воды, которое вам потребуется для его заполнения, зависит от объема. Хотя у вас есть еще одно измерение, о котором нужно позаботиться, процедура нахождения объема треугольной призмы аналогична нахождению площади поверхности. Чтобы найти объем треугольной призмы, найдите площадь треугольного основания и умножьте на высоту тела, например:

Шаг первый: Найдите площадь треугольного основания, A .

Шаг второй: Найдите высоту призмы, h .

Шаг третий: A x h = объем

Рассмотрим пример:

нахождение объема

Шаг первый: Площадь = (6 x 8)/2 = 24 квадратных дюйма

Шаг второй: Высота = 12 дюймов.

Третий шаг: 24 x 12 = 288 кубических дюймов, объем

Краткий обзор урока

Треугольные призмы — это трехмерные тела, имеющие треугольники в основании и прямоугольники в качестве боковых граней. Отрезок линии, где сходятся две грани, является ребром. Точка, в которой сходятся три ребра, является вершиной. Площадь поверхности находится путем нахождения периметра основания треугольника, умножения его на высоту призмы и добавления произведения основания треугольника на высоту треугольника. Объем находится путем нахождения площади треугольника и умножения ее на высоту призмы.

Что такое призма? — Определение, факты и примеры

Что такое призма

• Призма представляет собой трехмерную фигуру с двумя одинаковыми фигурами, обращенными друг к другу. Эти одинаковые фигуры называются «базами».

• Основаниями могут быть треугольник, квадрат, прямоугольник или любой другой многоугольник.

• Другие грани призмы представляют собой параллелограммы или прямоугольники.

 

Сечение призм

Поперечное сечение геометрической формы или предмета – это форма, полученная в результате прямого разрезания. Его также называют пересечением плоскости с трехмерным объектом. Поперечное сечение призмы, параллельное основанию призмы, равно ее основанию.

 

 

Правильная и неправильная призма

Основанием призмы может быть правильный или неправильный многоугольник. В зависимости от формы основания призмы бывают правильными или неправильными.

 

 

Площадь поверхности и объем призмы

Площадь поверхности призмы равна сумме площадей всех ее граней.

Объем призмы — это объем пространства внутри призмы.

Давайте посмотрим, как найти площадь поверхности и объем треугольной призмы.

Площадь поверхности = Площадь основных треугольников + Площадь боковых параллелограммов

= 2 × ( 1 2  x b x h) + 2 × (l x s) + (l x b)

= чч + 2лс + фунт

 

Объем = Площадь основания треугольника × длина

= ( 1 2 b x h) × l

= 1 2 рубля

 

Пример:  Рассчитайте площадь поверхности и объем следующей призмы.

Длина (l) = 12 см, высота (h) = 4 см, основание (b) = 6 см, сторона (s) = 5 см

Площадь поверхности = bh+2ls+lb = 6 × 4 + 2 × 12 × 5 + 12 × 6 = 24 + 120 + 72  = 216 см

Объем = 1 2 шт.

 

Правая призма и наклонная призма

Если два основания призмы идеально выровнены, а ее грани представляют собой прямоугольники (перпендикулярные основаниям), то это прямая призма, в противном случае — косая.Они характеризуются следующим образом:

 

	Правая призма	Наклонная призма
Высота	Высота боковой грани.	Высота — это высота вне призмы.
Боковые грани	Боковые грани прямоугольные.	Боковые грани — параллелограммы.
Площадь поверхности	ш+2л+фунт	ш+2л+фунт
Том	1 2 шт.	1 2 шт.

 

Интересные факты

 

Рассеивание света призмами

В разделе «Свет и цвет» учебника «Физический класс» был представлен и обсужден спектр видимого света. Видимый свет, также известный как белый свет, состоит из набора цветовых компонентов. Эти цвета часто наблюдаются при прохождении света через треугольную призму. При прохождении через призму белый свет разделяется на составляющие его цвета — красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий и фиолетовый. Разделение видимого света на его различные цвета известно как дисперсия . В блоке «Свет и цвет» упоминалось, что каждый цвет характерен для определенной частоты волны; и разные частоты световых волн будут искривляться в разной степени при прохождении через призму.В этом разделе мы более подробно исследуем дисперсию света, размышляя о причинах того, почему разные частоты света изгибаются или преломляются по-разному при прохождении через призму.

Ранее в этом блоке было введено понятие оптической плотности. Различные материалы отличаются друг от друга различной оптической плотностью. Оптическая плотность — это просто мера тенденции материала замедлять свет, проходящий через него. Как упоминалось ранее, световая волна, проходящая через прозрачный материал, взаимодействует с атомами этого материала.Когда световая волна падает на атом материала, она поглощается этим атомом. Поглощенная энергия заставляет электроны в атоме колебаться. Если частота световой волны не совпадает с резонансной частотой колеблющихся электронов, то свет будет переизлучаться атомом с той же частотой, с которой он на него падал. Затем световая волна проходит через межатомный вакуум к следующему атому материала. Как только он сталкивается со следующим атомом, процесс поглощения и переизлучения повторяется.

Оптическая плотность материала является результатом тенденции атомов материала поддерживать поглощенную энергию световой волны в форме вибрирующих электронов перед ее повторным излучением в виде нового электромагнитного возмущения. Таким образом, в то время как световая волна распространяется в вакууме со скоростью 90 185 c 90 186 (3,00 x 10 90 237 8 90 238 м/с), она проходит через прозрачный материал со скоростью менее 90 185 c 90 186 . Показатель преломления ( n ) дает количественное выражение оптической плотности данной среды.Материалы с более высокими значениями показателя преломления имеют тенденцию удерживать поглощенную световую энергию в течение более длительного времени, прежде чем повторно излучать ее в межатомную пустоту. Чем точнее частота световой волны соответствует резонансной частоте электронов атомов материала, тем больше оптическая плотность и больше показатель преломления. Световая волна в большей степени замедлилась бы при прохождении через такой материал

Что не упоминалось ранее в этом разделе, так это то, что значения показателя преломления зависят от частоты света.Для видимого света значение n не сильно зависит от частоты, но, тем не менее, показывает изменение. Например, для некоторых типов стекла значение n для частот фиолетового света равно 1,53; а значение n для частот красного света равно 1,51. Процесс поглощения и переизлучения приводит к тому, что фиолетовый свет с более высокой частотой (с более низкой длиной волны) проходит через кроновое стекло медленнее, чем красный свет с более низкой частотой (с более высокой длиной волны). Именно эта разница в значении n для различных частот (и длин волн) вызывает рассеивание света треугольной призмой.Фиолетовый свет, будучи в большей степени замедлен процессом поглощения и переизлучения, преломляет больше, чем красный свет. При попадании белого света на первую границу треугольной призмы произойдет небольшое разделение белого света на составляющие цвета спектра. При выходе из треугольной призмы на второй границе разделение становится еще больше и ROYGBIV наблюдается во всем своем великолепии.

 

Угол отклонения

Величина общего преломления, вызванного прохождением луча света через призму, часто выражается в терминах угла отклонения ().Угол отклонения представляет собой угол между падающим лучом света, входящим в первую грань призмы, и преломленным лучом, выходящим из второй грани призмы. Из-за разных показателей преломления для разных длин волн видимого света угол отклонения зависит от длины волны. Цвета спектра видимого света с более короткими длинами волн (BIV) будут больше отклоняться от своего первоначального пути, чем цвета с более длинными волнами (ROY).Появление света разных цветов из треугольной призмы под разными углами приводит к тому, что наблюдатель видит отдельные цвета видимого света, отделенные друг от друга.

Конечно, при обсуждении рассеяния света треугольными призмами возникает следующий вопрос: почему квадратная или прямоугольная призма не вызывает рассеяния узкого луча белого света? Короткий ответ заключается в том, что это так. Подробный ответ представлен в следующем обсуждении и проиллюстрирован диаграммой ниже.

Предположим, что фонарик можно накрыть черной бумагой с прорезью поперек, чтобы создать пучок белого света. И предположим, что пучок белого света с неразделенными составляющими его цветами направлен под углом к ​​поверхности прямоугольной стеклянной призмы. Как и следовало ожидать, свет будет преломляться к нормали при входе в стекло и от нормали при выходе из стекла. Но поскольку фиолетовый свет имеет более короткую длину волны, он будет преломлять больше, чем красный свет с большей длиной волны.Преломление света на входе в прямоугольную стеклянную призму вызвало бы небольшое разделение белого света. Однако при выходе из стеклянной призмы преломление происходит в противоположном направлении. Свет преломляется в сторону от нормали, причем фиолетовый свет преломляется немного больше, чем красный свет. В отличие от прохождения через треугольную призму с непараллельными сторонами, для различных цветов белого света нет общего угла отклонения. И красная, и фиолетовая составляющие света распространяются в том же направлении, что и до входа в призму.Однако имеется тонкая красная полоса на одном конце луча и тонкая фиолетовая полоса на противоположной стороне луча. Эта полоса свидетельствует о дисперсии. Поскольку существует разный угол отклонения различных компонентов белого света после прохождения через первую границу, фиолетовый очень немного отделяется от красного. При переходе через вторую границу направление преломления меняется на противоположное; тем не менее, поскольку фиолетовый свет прошел дальше вниз при прохождении через прямоугольник, он является основным цветом, присутствующим на нижнем краю луча.То же самое можно сказать и о красном свете на верхнем краю луча.

 

Рассеивание света свидетельствует о существовании спектра длин волн, присутствующих в видимом свете. Это также является основой для понимания образования радуги. Формирование радуги — следующая тема для обсуждения в Уроке 4.

Объем квадратной пирамиды с учетом стороны основания и высоты Калькулятор

[1]  2020/05/19 20:26   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / — /

Назначение

Что — объем квадратной пирамиды, учитывая ребро основания и высоту наклона.Округлите ответ до десятых, не используя в ответах никаких единиц измерения.

[2]  2019/05/10 16:24   Младше 20 лет / Начальная школа/ Учащийся средней школы / Немного /

Комментарий/Запрос

сделать его более легким для чтения и понимания/не настолько устаревшим

[3]  21. 03.2019 23:11   До 20 лет / Начальная школа/ Учащийся младших классов средней школы / Немного /

Назначение

Домашнее задание

[4] /20 08:14   Младше 20 лет / Начальная школа/ Учащийся средней школы / Совсем нет /

Цель использования

домашнее задание

[5]  2018/03/01 13:46   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Полезное /

Назначение

основной класс

[6]  2017/03/07 04:39   Младше 20 лет / Начальная школа/ Младший школьник / — /

Назначение

Как решить пирамиду

[7 ]  2014/10/01 06:00   Младше 20 лет / Старшая школа/ Университет/ Аспирант / Совсем нет /

Цель использования

Моя проблема была связана с проблемой… V= 1/3 Ач; V=45 и h=5. Найдите A. [Объем пирамиды]

Комментарий/Запрос

Я понятия не имею, как найти этот ответ, и пока сдаюсь.

[8]  2014/06/06 01:45   Младше 20 лет / Начальная школа/ Ученик младших классов средней школы / Совсем нет /

/05/19 16:10   Младше 20 лет / Начальная школа/ Учащийся средней школы / Немного /

Назначение

предалгебра

[10]  06. 04.2014 15:33   20 лет уровень / средняя школа / университет / аспирант / немного /

комментарий / запрос

мне нужно быть яснее

параллельные плоскости — объяснение и примеры

Хотите узнать больше о параллельных плоскостях? Эта статья является отличным источником информации о параллельных плоскостях , их свойствах и применении.Начнем с того, что вспомним, что такое параллельные плоскости:

                                      Параллельные плоскости — это плоскости, которые никогда не пересекаются.

Нужно освежить в памяти? Вы можете проверить следующие ссылки:

Эти концепции были распространены на параллельные плоскости. В следующих разделах мы узнаем, как:

• определять параллельные прямые
• находить параллельные плоскости по фигуре
• проверять параллельность двух плоскостей (из уравнений)

 

Что такое параллельные плоскости?

Как упоминалось в первом разделе, когда две плоскости лежат в одном направлении, но не пересекаются, мы называем их параллельными плоскостями .

На рисунке выше показан пример двух параллельных плоскостей. Обратите внимание, как два простираются в одном направлении, но эти плоскости никогда не встретятся с .

Как мы называем пересекающиеся плоскости? Да, вы правильно угадали. Плоскости, которые не параллельны и пересекаются по прямой, называются пересекающимися плоскостями .

Какие есть реальные примеры параллельных плоскостей?

• Потолки и полы наших домов — прекрасные примеры параллельных плоскостей.Они простираются вместе с одним и тем же пространством (нашим домом), но эти два плана никогда не встретятся.
• Ступени нашей лестницы также являются примерами параллельных плоскостей. Каждый шаг проходит в том же направлении, что и другой, но эти шаги никогда не пересекаются друг с другом.
• Две книжные полки, обращенные друг к другу, — еще один отличный пример параллельных плоскостей.

Теперь мы узнали о параллельных плоскостях, поэтому пришло время попрактиковаться в поиске параллельных плоскостей в трехмерных фигурах.

Как определить, параллельны ли плоскости?

Чтобы идентифицировать параллельные плоскости, мы должны убедиться, что сравниваемые плоскости лежат вместе с одним и тем же пространством . Найдите опорную плоскость и найдите вторую плоскость, которая обращена напротив .

Показанная выше прямоугольная призма содержит несколько пар параллельных плоскостей. Чтобы найти одну пару, мы можем начать с плоскости $\boldsymbol{ABCD}$. Найдите поверхность, лежащую в том же направлении, но противоположную ей, и это будет Плоскость $\boldsymbol{HEFG}$.

Поскольку обе плоскости находятся внутри одной призмы, мы можем сказать, что они параллельны друг другу или Плоскость $\boldsymbol{ABCD ||}$ Плоскость $\boldsymbol{HEFG}$.

Как проверить, параллельны ли уравнения двух плоскостей?

• В координатной геометрии, когда графики уравнений вида $A_x + B_y + C_z = D$ параллельны, скалярное произведение двух уравнений равно нулю .
• Для двух уравнений $A_1x + B_1y + C_1z = D_1 $ и $A_2x + B_2y + C_2z = D_2$ две плоскости параллельны, когда отношений каждой пары коэффициентов равны .

$ \dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$

Мы даже можем определить расстояния между двумя параллельными плоскостями, но мы узнаем больше об этом, когда мы изучаем геометрию высших координат и векторы.

А пока давайте сосредоточимся на основных определениях параллельных плоскостей и потренируемся в определении параллельных плоскостей в трехмерных фигурах.

Резюме определения и свойств параллельных плоскостей

Прежде чем мы начнем проверять наши новые знания о параллельных плоскостях, давайте обобщим все, что мы знаем до сих пор:

• Параллельные плоскости лежат в одном и том же пространстве.
• Эти самолеты никогда не смогут встретиться.
• Мы можем применить свойство транзитивности к параллельным плоскостям.
• Уравнения, представляющие плоскости, параллельны, если отношения коэффициентов их членов равны.

Пример 1

Что из следующего неверно относительно параллельных плоскостей?

1. Они находятся в одном помещении.
2. Они лежат в одном направлении.
3. Их пересечение представляет собой линию.
4. Они никогда не встретятся.

Решение

Вернемся к определению параллельных плоскостей: они находятся в одном пространстве и никогда не пересекутся. Плоскости, которые встречаются, называются пересекающимися плоскостями. Когда они это делают, они пересекаются через линию. Это означает, что 90 185 параллельных плоскостей никогда не пересекутся на линии 90 186 .

Пример 2

Что из следующего является примером параллельных плоскостей?

1. Обложка блокнота и его страница.
2. Поверхности треугольной палатки.
3. Потолок и пол библиотеки.
4. Угол комнаты.

Решение

Давайте обсудим каждый показанный пример и посмотрим, удовлетворяют ли они условиям параллельных плоскостей:

• Обложка блокнота и страницы имеют общую сторону и склеены или скреплены там так, что они склеиваются. Это означает, что они не являются параллельными плоскостями.
• Треугольная палатка не имеет поверхностей, лежащих в одном направлении, и каждая пара плоскостей имеет общую сторону.
• Углы комнаты имеют общую сторону, поэтому они не представляют собой параллельные плоскости.

Однако потолок и пол библиотеки находятся в одном направлении и пространстве, но они никогда не пересекутся. Это означает, что третий вариант является правильным ответом .

 

Пример 3

Сделайте фрагмент или скриншот задачи и постройте вторую плоскость, чтобы теперь у вас была пара параллельных плоскостей.

Решение

Поскольку параллельные плоскости проходят в одном направлении, нарисуйте плоскость выше или ниже данной . Убедитесь, что две плоскости никогда не сойдутся, чтобы они удовлетворяли условиям параллельных плоскостей.

На рисунке выше приведен пример. Ваши ответы могут выглядеть иначе, но пока они соответствуют условиям, они являются правильными ответами.

Пример 4

Перечислите три пары параллельных плоскостей, которые вы можете найти на рисунке ниже.

Решение

Прямоугольные призмы имеют шесть поверхностей, поэтому имеет смысл наличие трех пар параллельных плоскостей.

Начнем с Плоскости $\boldsymbol{ABCD}$, противоположная ей поверхность есть Плоскость $\boldsymbol{HEFG}$ . Это означает, что эти две плоскости параллельны. Мы можем сделать то же самое для двух оставшихся пар.

Плоскость $\boldsymbol{HABG}$ и плоскость $\boldsymbol{ECDF}$ обращены друг к другу. Третья пара, Plane $\boldsymbol{ACEH}$ и Plane $\boldsymbol{BDFG}$   , также обращены друг к другу.Отсюда имеем следующие пары параллельных плоскостей:

• $Plane\ \boldsymbol{ABCD ||} Plane \ \boldsymbol{HEFG}$
• $Plane\ \boldsymbol{HABG || }Плоскость\ \boldsymbol{ECDF}$
• $Плоскость\ \boldsymbol{ACEH || }Плоскость\ \boldsymbol{BDFG}$

Пример 5

Какие из следующих пар плоскостей параллельны друг другу?

1. $\boldsymbol{PQWV}$ и $\boldsymbol{PQRS}$
2. $\boldsymbol{VWUT}$ и $\boldsymbol{RSUT}$
3. $\boldsymbol{VWUT}$ и $\boldsymbol{PQRS }$
4. $\boldsymbol{PVTR}$ и $\boldsymbol{RSUT}$

Решение

Напомним, что параллельные плоскости не пересекаются и не имеют одной стороны. Обратите внимание на три пары: $\boldsymbol{PQWV}$ и $\boldsymbol{PQRS}$, $\boldsymbol{VWUT}$ и $\boldsymbol{RSUT}$ , , а также $\boldsymbol{PVTR}$ и $\boldsymbol{RSUT}$ .

• $\boldsymbol{PQWV}$ и $\boldsymbol{PQRS}$ пересекаются по общей стороне, $\boldsymbol{PQ}$.
• $\boldsymbol{VWUT}$ и $\boldsymbol{RSUT}$ пересекаются друг с другом по общей стороне, $\boldsymbol{UT}$.
• $\boldsymbol{PVTR}$ и $\boldsymbol{RSUT}$ пересекаются друг с другом по общей стороне, $\boldsymbol{RT}$

Это означает, что единственная возможная пара параллельных прямых $\boldsymbol{ VWUT}$ и $\boldsymbol{PQRS}$ . Мы также можем видеть, что две грани расположены напротив друг друга, подтверждая, что они являются правильным вариантом.

Пример 6

Содержит ли приведенный ниже рисунок параллельные плоскости?

Назовите одну пару и опишите ее форму.

Решение

Основания лежат в одном направлении и никогда не пересекутся. Они также не имеют общей стороны. Это означает, что фигура содержит пару параллельных плоскостей .

Плоскости AGFJI и BHEDC содержат по пять сторон. Пятиугольники — это многоугольники с пятью сторонами, поэтому параллельные плоскости — это параллельных пятиугольников .

Пример 7

Определите, параллельны ли плоскости $4x – 5y + 2z = 5$ и $8x -10y + 4z = 12$ .

Решение

Напомним, что две плоскости параллельны, когда отношения их коэффициентов находятся в соотношении, показанном ниже.

$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$

Подставим коэффициенты и найдем их соответствующие отношения:

• $A_1 ​​= 4$, $A_2= 8$, $\dfrac{A_1}{A_2}=2$
• $B_1 = -5$, $B_2=10$, $\dfrac{B_1}{B_2}= 2$
• $C_1 = 2$, $C_2 =4$, $\dfrac{C_1}{C_2}=2$

Мы видим, что отношения равны, поэтому две плоскости параллельны.

Пример 8

Каким должно быть значение $a$, чтобы показанные ниже плоскости были параллельны?

$3x – 4y + z = 4$

$6x – (a + 2) y + 2z = 9$

Решение

Напомним, что две плоскости параллельны. поделитесь отношениями, показанными ниже.

$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$

Подставим коэффициенты и найдем их соответствующие отношения:

• $A_1 ​​= 3$, $A_2=6$,  $\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{1}{2}$
• $B_1=4$, $B_2=a + 2$,  $\dfrac{B_1}{B_2} =\dfrac{4}{a + 2}$
• $C_1 = 1$, $C_2=2$, $\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{1}{2}$

Для чтобы плоскости были параллельны, эти три отношения должны быть равны. Это означает, что $\dfrac{4}{a + 2}$ должно быть равно $\dfrac{1}{2}$.Приравняйте их и найдите $a$.

$\dfrac{4}{a + 2} = \dfrac{1}{2}$

Перемножьте и упростите выражения в обеих частях уравнения.

$ \begin{align}4(2)&=1(a+2)\\8 &= a + 2\\ a &= 8 – 2\\ a &= 6\end{align}$

Это означает, что $a$ должно быть равно $6$, чтобы две плоскости были параллельны.

 

6.2: Определение объемов путем разрезания

В предыдущем разделе мы использовали определенные интегралы для нахождения площади между двумя кривыми.В этом разделе мы используем определенные интегралы для нахождения объемов трехмерных тел. Мы рассматриваем три подхода — срезы, диски и шайбы — для нахождения этих объемов в зависимости от характеристик твердого тела.

Объем и метод нарезки

Точно так же, как площадь является числовой мерой двумерной области, объем является числовой мерой трехмерного твердого тела. Большинство из нас вычисляли объемы твердых тел, используя основные геометрические формулы. Объем прямоугольного тела, например, можно вычислить, умножив длину, ширину и высоту: \(V=lwh.2ч\]

\[V_{пирамида}=\dfrac{1}{3}Ах\]

также были представлены. Хотя некоторые из этих формул были получены только с помощью геометрии, все эти формулы можно получить с помощью интегрирования.

Мы также можем вычислить объем цилиндра. Хотя большинство из нас думает о цилиндре как о круглом основании, таком как банка для супа или металлический стержень, в математике слово «цилиндр» имеет более общее значение. Чтобы обсудить цилиндры в этом более общем контексте, нам сначала нужно определить некоторый словарь.

Мы определяем поперечное сечение твердого тела как пересечение плоскости с телом. Цилиндр определяется как любое твердое тело, которое может быть создано путем перемещения плоской области вдоль линии, перпендикулярной области, называемой осью цилиндра. Таким образом, все сечения, перпендикулярные оси цилиндра, одинаковы. Тело, показанное на рисунке \(\PageIndex{1}\), является примером цилиндра с некруглым основанием. Таким образом, чтобы вычислить объем цилиндра, мы просто умножаем площадь поперечного сечения на высоту цилиндра: \(V=A⋅h. 2ч.\)

Рисунок \(\PageIndex{1}\) : Каждое поперечное сечение конкретного цилиндра идентично другим.

Если твердое тело не имеет постоянного поперечного сечения (и оно не является одним из других основных тел), у нас может не быть формулы для его объема. В этом случае мы можем использовать определенный интеграл для вычисления объема твердого тела. Мы делаем это, разрезая твердое тело на части, оценивая объем каждого среза, а затем складывая эти оценочные объемы вместе. Все срезы должны быть параллельны друг другу, и когда мы сложим все срезы вместе, мы должны получить цельное тело.Рассмотрим, например, фигуру S, показанную на рисунке \(\PageIndex{2}\), проходящую вдоль оси \(x\) .

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Твердое тело с переменным поперечным сечением.

Мы хотим разделить \(S\) на срезы, перпендикулярные \(x\) -оси . Как мы увидим позже в этой главе, могут быть случаи, когда мы хотим разрезать твердое тело в каком-то другом направлении, например, срезами, перпендикулярными оси \(y\). Решение о том, каким образом разрезать твердое тело, очень важно.Если мы сделаем неправильный выбор, вычисления могут стать довольно запутанными. Далее в этой главе мы подробно рассмотрим некоторые из этих ситуаций и посмотрим, как решить, каким образом разрезать твердое тело. Однако для целей этого раздела мы используем срезы, перпендикулярные оси \(х\) .

Поскольку площадь поперечного сечения непостоянна, пусть \(A(x)\) представляет собой площадь поперечного сечения в точке x. Теперь пусть \(P={x_0,x_1…,X_n}\) будет обычным разделом \([a,b]\), а для \(i=1,2,…n\) пусть \(S_i \) представляют собой срез \(S\), простирающийся от \(x_{i−1}\) до \(x_i\).б А(х)\,дх.\]

Метод, который мы только что описали, называется методом нарезки. Чтобы применить его, мы используем следующую стратегию.

Стратегия решения проблем: поиск объемов методом срезов

1. Осмотрите твердое тело и определите форму поперечного сечения твердого тела. Часто бывает полезно нарисовать рисунок, если его нет.
2. Определите формулу площади поперечного сечения.
3. Проинтегрируйте формулу площади по соответствующему интервалу, чтобы получить объем.

Напомним, что в этом разделе мы предполагаем, что срезы перпендикулярны оси \(x\) . Следовательно, формула площади выражается через x, а пределы интегрирования лежат на оси \(x\) . Однако показанная здесь стратегия решения проблем действительна независимо от того, как мы решили разрезать твердое тело.

Пример \(\PageIndex{1}\): вывод формулы объема пирамиды

Из геометрии мы знаем, что формула объема пирамиды равна \(V=\dfrac{1}{3}Ah\).2h\), где а обозначает длину одной стороны основания. Мы собираемся использовать метод нарезки, чтобы вывести эту формулу.

Раствор

Мы хотим применить метод разрезания к пирамиде с квадратным основанием. Чтобы установить интеграл, рассмотрим пирамиду, показанную на рисунке \(\PageIndex{4}\), ориентированную вдоль оси \(x\) . 2\,dx=\слева.2h\] для объема круглого конуса.

Подсказка

Используйте подобные треугольники, как в примере \(\PageIndex{1}\).

Тела революции

Если область на плоскости вращается вокруг линии на этой плоскости, полученное тело называется телом вращения , как показано на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{5}\): (a) Это область, вращающаяся вокруг оси \(x\). (б) Когда область начинает вращаться вокруг оси, она выметает тело вращения.(c) Это твердое тело, которое получается после завершения вращения.

Тела вращения распространены в механических приложениях, таких как детали машин, изготовленные на токарном станке. Оставшуюся часть этого раздела мы посвятим рассмотрению твердых тел этого типа. В следующем примере используется метод срезов для вычисления объема тела вращения.

Пример \(\PageIndex{2}\): использование метода срезов для нахождения объема тела вращения

Используйте метод срезов, чтобы найти объем тела вращения, ограниченного графиками \(f(x)=x^2−4x+5,x=1\) и \(x=4,\) и вращается вокруг оси \(х\).

Раствор

Используя стратегию решения задач, мы сначала нарисуем график квадратичной функции на интервале \([1,4]\), как показано на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{6}\): Область, используемая для создания тела вращения.

Затем поверните область вокруг оси \(x\), как показано на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{7}\): два вида (a) и (b) тела вращения, полученного путем вращения области на рисунке \(\PageIndex{6}\) вокруг \(x\) -ось.3.\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Используйте метод срезов, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением области между графиком функции \(f(x)=1/x\) и \(x\) -осью по интервал \([1,2]\) вокруг \(x\) -оси. См. следующий рисунок.

Подсказка

Используйте стратегию решения проблем, представленную ранее, и следуйте примеру \(\PageIndex{2}\), чтобы помочь с шагом 2. 2+1\) и \(x\) -оси на интервале \([−1,3]\) вокруг \(x\) -оси . График функции и репрезентативный диск показаны на рисунке \(\PageIndex{8}\) (a) и (b). Область вращения и полученное твердое тело показаны на рисунке \(\PageIndex{8}\) (c) и (d).

Рисунок \(\PageIndex{8}\): (a) Тонкий прямоугольник для аппроксимации площади под кривой. (b) Репрезентативный диск, образованный вращением прямоугольника вокруг оси \(x\) .b A(x)\,dx.\номер\]

Единственная разница с дисковым методом заключается в том, что мы заранее знаем формулу площади поперечного сечения; это площадь круга. Это дает следующее правило.

Дисковый метод

. Пусть \(f(x)\) непрерывна и неотрицательна. Определим \(R\) как область, ограниченную сверху графиком \(f(x)\), снизу \(x\) -осью , слева линией \(x=a\) , а справа линией \(x=b\). Тогда объем тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг \(x\) -оси , равен

\[V=∫^b_aπ[f(x)]^2\,dx. 3. \end{выравнивание*}\]

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример \(\PageIndex{3}\): использование метода диска для нахождения объема тела вращения 1

Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением области между графиком \(f(x)=\sqrt{x}\) и \(x\) -осью по интервал \([1,4]\) вокруг \(x\) -оси.

Раствор

Графики функции и тела вращения показаны на следующем рисунке.3.\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением области между графиком \(f(x)=\sqrt{4−x}\) и \(x\) -осью на интервале \([0,4]\) вокруг оси \(x\) .

Подсказка

Используйте процедуру из примера \(\PageIndex{3}\).

Ответить

\(8π \,\text{единицы}^3\)

До сих пор в наших примерах все соответствующие области вращались вокруг \(x\) -оси , но мы можем создать тело вращения, вращая плоскую область вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии. В следующем примере мы рассмотрим тело вращения, созданное вращением области вокруг оси \(y\) . Механика дискового метода почти такая же, как когда \(x\) — ось является осью вращения, но мы выражаем функцию через \(y\) и интегрируем также по y . Это резюмируется в следующем правиле.

Правило: Дисковый метод для тел вращения вокруг оси \(y\)

. Пусть \(g(y)\) непрерывна и неотрицательна.2\,дд.\]

Следующий пример показывает, как это правило работает на практике.

Пример \(\PageIndex{4}\): Использование метода диска для нахождения объема тела вращения 2

Пусть \(R\) будет областью, ограниченной графиком \(g(y)=\sqrt{4−y}\) и \(y\) -осью над \(y\) -ось интервал \([0,4]\). Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг оси \(y\) .

Раствор

На рисунке \(\PageIndex{10}\) показаны функция и репрезентативный диск, которые можно использовать для оценки объема. Обратите внимание, что поскольку мы вращаем функцию вокруг оси \(y\) , диски расположены горизонтально, а не вертикально.

Рисунок \(\PageIndex{10}\): (a) Показан тонкий прямоугольник между кривой функции \(g(y)=\sqrt{4−y}\) и \(y\) — ось. (b) Прямоугольник образует репрезентативный диск после вращения вокруг оси \(y\) -.

Область вращения и полное тело вращения показаны на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{11}\): (a) Область слева от функции \(g(y)=\sqrt{4−y}\) на интервале оси \(y\) \( [0,4]\).3\).

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением области между графиком \(g(y)=y\) и \(y\) -осью на интервале \([ 1,4]\) вокруг оси \(y\) .

Подсказка

Используйте процедуру из примера \(\PageIndex{4}\).

Ответить

\(21π \,\текст{единицы}^3\)

Метод мойки

Некоторые тела вращения имеют в середине полости; они не сплошные на всем пути до оси вращения. Иногда это просто результат формы области вращения относительно оси вращения. В других случаях полости возникают, когда область вращения определяется как область между графиками двух функций. В третьем случае это может произойти, если выбрана ось вращения, отличная от \(x\) -оси или \(y\) -оси .

Когда тело вращения имеет полость посередине, срезы, используемые для аппроксимации объема, представляют собой не диски, а шайбы (диски с отверстиями в центре).Например, рассмотрим область, ограниченную сверху графиком функции \(f(x)=\sqrt{x}\), а снизу графиком функции \(g(x)=1\) на интервале \ ([1,4]\). При вращении этой области вокруг оси \(х\) -оси получается тело с полостью посередине, а срезы — шайбы. График функции и репрезентативная шайба показаны на рисунке \(\PageIndex{12}\) (a) и (b). Область вращения и полученное твердое тело показаны на рисунке \(\PageIndex{12}\) (c) и (d).

Рисунок \(\PageIndex{12}\): (a) Тонкий прямоугольник в области между двумя кривыми. 2\вправо]\,dx.\]

Пример \(\PageIndex{5}\): использование метода шайбы

Найдите объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху графиком \(f(x)=x\), а снизу графиком \(g(x)=1/x\) над интервал \([1,4]\) вокруг \(x\) -оси.

Раствор

Графики функций и тела вращения показаны на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{13}\): (a) Область между графиками функций \(f(x)=x\) и \(g(x)=1/x\) на интервале \( [1,4]\).3. \end{выравнивание*}\]

Рисунок \(\PageIndex{13}\): (c) Динамическая версия этого тела вращения, созданная с помощью CalcPlot3D.

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Найдите объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной графиками \(f(x)=\sqrt{x}\) и \(g(x)=1/x\) на интервале \ ([1,3]\) вокруг оси \(x\).

Подсказка

Нарисуйте графики функций, чтобы определить, какой график формирует верхнюю границу, а какой — нижнюю границу, затем используйте процедуру из примера \(\PageIndex{5}\). 3\)

Как и в случае с дисковым методом, мы также можем применить метод шайб к телам вращения, которые образуются в результате вращения области вокруг оси \(y\). В этом случае действует следующее правило.

Правило: метод шайбы для тел вращения вокруг оси \(y\)

Предположим, что \(u(y)\) и \(v(y)\) — непрерывные неотрицательные функции, такие что \(v(y)≤u(y)\) при \(y∈[c,d]\ ). Обозначим через \(Q\) область, ограниченную справа графиком \(u(y)\), слева графиком \(v(y)\), снизу линией \(y= c\), а выше строкой \(y=d\).2\право]\,дд.\]

Вместо того, чтобы рассматривать пример метода шайбы с осью \(y\) в качестве оси вращения, мы теперь рассмотрим пример, в котором ось вращения является линией, отличной от одной из двух координатных осей. . Применяется тот же общий метод, но вам, возможно, придется визуализировать, как описать площадь поперечного сечения объема.

Пример \(\PageIndex{6}\):

Найти объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху \(f(x)=4−x\) и снизу \(x\) -осью на интервале \([0, 4]\) вокруг линии \(y=−2. \)

Раствор

График области и тела вращения показаны на следующем рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{14}\): (a) Область между графиком функции \(f(x)=4−x\) и \(x\) -осью на интервале \([0,4]\). (b) Вращение области вокруг линии \(y=−2\) порождает тело вращения с цилиндрическим отверстием в его середине.

Мы не можем напрямую применить формулу объема к этой задаче, потому что ось вращения не является одной из осей координат.3.\конец{выравнивание*}\]

Рисунок \(\PageIndex{14}\): (c) Динамическая версия этого тела вращения, созданная с помощью CalcPlot3D.

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Найти объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху графиком \(f(x)=x+2\) и снизу \(x\) -осью на интервале \( [0,3]\) вокруг линии \(y=−1.\)

Подсказка

Используйте процедуру из примера \(\PageIndex{6}\).

Ответить

\(60π\) единиц ³

6.2 Связанные курсы

Предположим, у нас есть две переменные $x$ и $y$ (в большинстве задач буквы будут другими, но пока давайте использовать $x$ и $y$), которые оба меняются со временем. Проблема «связанных ставок» — это проблема в котором мы знаем одну из скоростей изменения в данный момент, скажем, $\ds ​​\dot x = dx/dt$ — и мы хотим найти другую скорость $\ds \dot y = dy/dt$ при этом мгновенное.(Использование $\ds\dot x$ означает, что $dx/dt$ восходит к Ньютону и до сих пор используется для этой цели, особенно физиками.)

Если $y$ записать через $x$, т. е. $y=f(x)$, то это легко сделать с помощью цепного правила: $$ \dot y = {dy\over dt}={dy\over dx}\cdot{dx\over dt}={dy\over dx}\dot x. $$ То есть найдите производную от $f(x)$, подставьте значение $x$ в рассматриваемый момент и умножить на заданное значение $\ds ​​\dot{x}=dx/dt$, чтобы получить $\ds \dot{y}=dy/dt$.

Пример 6.2$, что то есть движется по параболе. В определенное время, скажем, $t=5$, координата $x$ равна 6 и мы измеряем скорость, с которой координата $x$ объекта меняется и находит, что $dx/dt = 3$. При этом насколько быстро Координата $y$ меняется?

Используя цепное правило, $\ds dy/dt = 2x\cdot dx/dt$. При $t=5$ мы знаем, что $x=6$ и $dx/dt=3$, поэтому $dy/dt = 2\cdot 6\cdot 3 = 36$. $\квадрат$

Во многих случаях, особенно интересных, $x$ и $y$ будут связаны каким-то другим образом, например $x=f(y)$, или $F(x,y)=k$, или, возможно, $F(x,y)=G(x,y)$, где $F(x,y)$ и $G(x,y)$ — выражения, включающие обе переменные.Во всех случаях вы может решить проблему связанных ставок, взяв производную от обеих сторон, подставляя все известные значения (а именно, $x$, $y$ и $\ds \dot{x}$), и затем решение для $\ds \dot{y}$.

Подводя итог, вот шаги в решении проблемы связанных ставок:

1. Решите, что это за две переменные.

2. Найдите уравнение, связывающее их.

3. Возьмите $d/dt$ с обеих сторон.

4. Подставьте все известные значения на данный момент.

5. Найдите неизвестную скорость.

Пример 6.2.2 Самолет летит прямо от вас со скоростью 500 миль в час на высоте 3 мили. С какой скоростью увеличивается расстояние от вас до самолета в момент, когда самолет пролетает над точкой на земле 4 мили от тебя?

Чтобы увидеть, что происходит, мы сначала нарисуем схематическое изображение ситуация, как на рисунке 6.2.1.

Рисунок 6.2.1. Отступающий самолет.

Поскольку самолет находится в горизонтальном полете прямо от вас, скорость при которой изменяется $x$, есть скорость самолета, $dx/dt=500$.3$/сек. Конус направлен прямо вниз и имеет высоту 30 см и радиус основания 10 см; см. рисунок 6.2.2. С какой скоростью поднимается уровень воды при глубине воды 4 см (при самая глубокая точка)?

Вода образует коническую форму внутри большого конуса; это высота, радиус основания и объем увеличиваются как вода наливается в емкость. Это означает, что мы действительно имеем со временем меняются три вещи: уровень воды $h$ (высота конуса воды), радиус $r$ круглой верхней поверхности воды (основание радиус конуса воды) и объем воды $V$.2/27)(дх/дт)$. Таким образом, $dh/dt=90/(16\pi)$ см/сек. $\квадрат$

Пример 6.2.5 Качели состоят из доски на конце веревки длиной 10 футов. Подумайте о доске как точка $P$ на конце веревки, а $Q$ — точка крепление на другом конце. Предположим, что свинг находится прямо под $Q$ в момент времени $t=0$, и его толкает кто-то, кто идет в 6 футов/сек слева направо. Найдите: а) как быстро растет колебание после 1 сек; б) угловая скорость каната в град/с через 1 с.

Начнем с вопроса: что такое геометрическая величина, скорость изменения которой нам известна, и какова геометрическая величина о чьей скорости изменения нас спрашивают? Обратите внимание, что человек, толкающий качели движутся горизонтально с известной нам скоростью. Другими словами, горизонтальная координата $P$ увеличивается со скоростью 6 футов/сек. в $xy$-плоскость позволяет сделать удобный выбор, поместив начало координат в положение $P$ в момент времени $t=0$, т.е. на расстоянии 10 непосредственно под точкой привязанности.Тогда известная нам скорость равна $dx/dt$, и частично (a) желаемая скорость равна $dy/dt$ (скорость, с которой растет $P$). Частично (b) желаемая скорость равна $\ds \dot{\theta}=d\theta/dt$, где $\theta$ означает угол в радианах, на который качели отклонились от вертикали. (На самом деле, поскольку мы хотим получить ответ в град/сек, в конце мы должны преобразовать $d\theta/dt$ из рад/сек путем умножения на $180/\pi$.)

а) Из диаграммы видно, что у нас есть прямоугольный треугольник, катеты которого равны $x$ и $10-y$, а их гипотенуза равна 10.2=100$. Взяв производную от обеих частей, получим: $2x\dot{x}+2(10-y)(0-\dot{y})=0$. Теперь посмотрим на то, что мы знаем после 1 во-вторых, а именно $x=6$ (поскольку $x$ начинается с 0 и увеличивается в скорость 6 футов/сек за 1 секунду), $y=2$ (потому что мы получаем $10-y=8$ из теорема Пифагора применяется к треугольнику с гипотенузой 10 и ветвь 6) и $\ds \dot{x}=6$. Ввод этих значений дает нам $2\cdot 6\cdot 6-2\cdot 8\dot{y}=0$, откуда легко решить для $\ds \dot{y}$: $\ds \dot{y}=4.5$ фут/сек.

(b) Здесь у нас две переменные $x$ и $\theta$, поэтому мы хотим использовать тот же прямоугольный треугольник, что и в части (а), но на этот раз свяжите $\theta$ с $х$. Поскольку гипотенуза постоянна (равна 10), лучший способ сделать это, чтобы использовать синус: $\sin\theta=x/10$. Взяв производные, мы получить $\ds (\cos\theta)\dot{\theta}=0,1\dot{x}$. В данный момент в вопрос ($t=1$ сек), когда у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 6–8–10, $\ds \cos\theta=8/10$ и $\ds \dot{x}=6$. Таким образом $(8/10)\dot{\theta}=6/10$, т.е.т. е., $\ds \dot{\theta}=6/8=3/4$ рад/сек, или примерно $43$ град/сек. $\квадрат$

Мы видели, что иногда их явно больше двух. переменных, которые изменяются со временем, но на самом деле их всего две, т.к. остальные могут быть выражены только двумя. Но иногда там действительно есть несколько переменных, которые меняются со временем; до тех пор, как вы зная скорости изменения всех, кроме одного из них, вы можете найти скорость изменения оставшегося. Как в случае, когда есть только два переменных, возьмите производную от обеих частей уравнения, связывающего все переменные, а затем подставить все известные значения и решить для неизвестная ставка.

Пример 6.2.6 Дорога, идущая с севера на юг, пересекает дорогу, идущую с востока на запад. точка $P$. Автомобиль А едет на север по первой дороге, а автомобиль В еду на восток по второй дороге. В определенный момент автомобиль A стоит 10 долларов США. км к северу от $P$ и двигаясь со скоростью 80 км/ч, а автомобиль B находится в 15 км к востоку от $P$ и движется со скоростью 100 км/ч. Как быстро расстояние между двумя автомобилями меняется?

Рисунок 6.2.4. Машины разъезжаются.

Пусть $a(t)$ — расстояние автомобиля A к северу от $P$ в момент времени $t$, а $b(t)$ расстояние автомобиля B к востоку от $P$ в момент времени $t$, и пусть $c(t)$ — расстояние от автомобиля A до автомобиля B в момент времени $t$.2}}={460\over\sqrt{13}} \ приблизительно 127,6 \hbox{км/ч} $$ на момент интереса. $\квадрат$

Обратите внимание, чем эта задача отличается от примера 6.2.2. В обоих случаях мы начали с теоремы Пифагора и взял деривативы с обеих сторон. Однако в пример 6.2.2 одна из сторон была константой (высота самолета), и поэтому производная квадрата эта сторона треугольника была просто нулевой. В этом примере на С другой стороны, все три стороны прямоугольного треугольника являются переменными, даже хотя нас интересует конкретное значение каждой стороны треугольник (а именно, когда стороны имеют длины 10 и 15).3$/сек? (отвечать)

Пример 6.2.2 Цилиндрический резервуар, стоящий вертикально (с одним круглым основанием на земля) имеет радиус 1 метр. С какой скоростью поднимается уровень воды в падение бака при сливе воды со скоростью 3 литра в секунду? (отвечать)

Пример 6.2.3 Лестница длиной 13 м опирается на горизонтальную поверхность и наклоняется. у вертикальной стены. Ножка лестницы отодвинута от стены со скоростью 0,6 м/сек. Как быстро верх сползает вниз стены, когда основание лестницы находится на расстоянии 5 м от стены? (отвечать)

Пример 6.2.4 Лестница длиной 13 м опирается на горизонтальную поверхность и наклоняется. у вертикальной стены. Верх лестницы поднимается вверх стены со скоростью $0,1$ метра в секунду. С какой скоростью приближается подножие лестницы стены, когда основание лестницы находится на расстоянии 5 м от стены? (отвечать)

Пример 6.2.5 Вращающийся маяк расположен в 2 милях от воды. Пусть $A$ будет точку на берегу, ближайшую к маяку. Поскольку маяк вращается в 10 об/мин, луч света скользит по берегу каждый раз, когда он вращается.Предположим, что берег прямой. С какой скоростью движется точка, в которой луч ударяется о берег, двигаясь в тот момент, когда луч освещает точку 2 миль вдоль берега от точки $A$? (отвечать)

Пример 6.2.6 Бейсбольный ромб представляет собой квадрат со стороной 90 футов. Игрок бежит с первого базы ко второй базе со скоростью 15 футов/сек. С какой скоростью находится расстояние игрока от третьей базы уменьшается, когда она находится на полпути от первой ко второй базе? (отвечать)

Пример 6.2.3$/сек, формируя коническая свая, диаметр основания которой всегда равен ее высоте. Как быстро высота ворса увеличивается, когда ворс составляет 3 см высокий? (отвечать)

Пример 6.2.8 Лодка подтягивается к причалу с помощью веревки, один конец которой прикреплен к передней части. лодки, а другой конец проходит через кольцо, прикрепленное к причалу в точке на 5 футов выше передней части лодки. Веревка тянут через кольцо со скоростью 0,6 фут/сек. Как быстро лодка приближаться к пристани, когда 13 футов веревки натянуты? (отвечать)

Пример 6.2,9 Воздушный шар находится на высоте 50 метров и поднимается с постоянной скоростью. 5 м/сек. Под ним проезжает велосипедист, едущий по по прямой с постоянной скоростью 10 м/сек. Как быстро расстояние между велосипедистом и воздушным шаром, увеличивающимся через 2 секунды? (отвечать)

Пример 6. 3$/мин, как быстро уровень воды повышается при увеличении глубины воды (в самой глубокой точке) 4 м? Примечание: объем любой «конической» формы (включая пирамиды) составляет $(1/3)(\hbox{высота})(\hbox{площадь основания})$.(отвечать)

Пример 6.2.11 Солнце восходит со скоростью $1/4$ град/мин и, кажется, подняться в небо перпендикулярно горизонт, как показано на рисунке 6.2.5. С какой скоростью движется тень от 200-метрового здания сжимается в тот момент, когда длина тени составляет 500 метров? (отвечать)

Пример 6.2.12 Солнце садится со скоростью $1/4$ град/мин и кажется опускаться перпендикулярно горизонту, как показано на рис. рисунок 6.2.5. Как быстро тень 25 метровое удлинение стены в тот момент, когда длина тени составляет 50 метров? (отвечать)

Рис. 6.\circ$ в секунду? (отвечать)

Пример 6.2.14 Женщина ростом 5 футов идет со скоростью 3,5 фута в секунду от уличного фонаря. это 12 футов над землей. С какой скоростью кончик ее тени движущийся? С какой скоростью удлиняется ее тень? (отвечать)

Пример 6. 2.15 Человек ростом 1,8 метра ходит со скоростью 1 метр в секунду. второй к уличному фонарю, который находится на высоте 4 метров над землей. В с какой скоростью движется кончик его тени? С какой скоростью его тень сокращение? (отвечать)

Пример 6.2.16 Полицейский вертолет летит со скоростью 150 миль в час на постоянной высоте 0,5 мили. над прямой дорогой. Пилот использует радар, чтобы определить, что встречный машина находится на расстоянии ровно 1 мили от вертолета, и что это расстояние уменьшается со скоростью 190 миль в час. Найдите скорость автомобиля. (отвечать)

Пример 6.2.17 Полицейский вертолет летит со скоростью 200 километров в час в постоянной высоте 1 км над прямой дорогой. Пилот использует радар для определения того, что встречная машина находится на расстоянии ровно 2 километров от вертолета, и что это расстояние уменьшается на 250 км/чНайдите скорость автомобиля. (отвечать)

Пример 6.2.18 Свет падает с вершины столба высотой 20 м. \circ$ (что то есть дорога «север-юг» на самом деле идет несколько в северо-западном направлении. направление от $P$).2$ и через 6 секунд после машины А стартовавший автомобиль B прошел мимо $P$, двигаясь на восток с постоянной скоростью 60 м/с. (отвечать)

Пример 6.2.22 Снова ссылаясь на пример 6.2.6, предположим, что вместо автомобиля В летит самолет со скоростью $200$ км/ч к востоку от $P$ на высоте 2 км, как показано на рис. рисунок 6.2.8. Как быстро проходит расстояние между меняется машина и самолет? (отвечать)

Рисунок 6.2.8. Автомобиль и самолет.

Пример 6.2.23 Снова обратимся к примеру 6.2/2$. Как быстро тень объекта двигаться по земле на секунду позже? (отвечать)

Пример 6.2.25 Два лезвия ножниц закреплены в точке $A$ как показано на рисунке 6.2.9. Позволять $a$ обозначает расстояние от $A$ до кончика лезвия (точки $B$). Обозначим через $\beta$ угол при вершине лопасти, образованный линия $\ds \overline{AB}$ и нижняя кромка лезвия, линия $\ds ​​\overline{BC}$, и пусть $\theta$ обозначает угол между $\ds ​​\overline{AB}$ и горизонтали.