ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ – ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΠΈ прСзСнтация ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹» (11 класс)

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

УсСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° β€” ВикипСдия

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΈΠ· Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ β€” свободной энциклопСдии

УсСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

УсСчённая пирами́да — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ отсСчённой ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΅Ρ‘ основанию.

  • ОснованиС ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΅ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ основаниями усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
    • ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ.
ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ усСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°
  • Если ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‘ усСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ называСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.
    • Высота Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ называСтся Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ.
  • Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.
  • ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ V=13β‹…h(S1+S1β‹…S2+S2){\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}\cdot h(S_{1}+{\sqrt {S_{1}\cdot S_{2}}}+S_{2})}, Π³Π΄Π΅ S1,S2{\displaystyle S_{1},S_{2}}Β  β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ оснований, h{\displaystyle h}Β β€” высота усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ усСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

  • Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈ основаниСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.
  • Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ трапСциями, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой.
  • Π Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΈ основаниСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  • ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ суммы ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π΅Ρ‘ оснований ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡ‹ (высоты Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ): Sb=12(p1+p2)β‹…l{\displaystyle S_{b}={\frac {1}{2}}(p_{1}+p_{2})\cdot l}, Π³Π΄Π΅ p1{\displaystyle p_{1}}Β β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ основания, p2{\displaystyle p_{2}}Β β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, Π° l{\displaystyle l}Β β€” Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°.
  • ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ€Π°Π²Π½Π° Sb=|S1βˆ’S2|cos⁑φ{\displaystyle S_{b}={\frac {|S_{1}-S_{2}|}{\cos \varphi }}}, Π³Π΄Π΅ S1,S2{\displaystyle S_{1},S_{2}}Β β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ оснований, Π° Ο†{\displaystyle \varphi }Β β€” Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΠžΠ’Π•Π Π₯НОБВЬ ΠŸΠ˜Π ΠΠœΠ˜Π”Π« И Π£Π‘Π•Π§Π•ΠΠΠžΠ™ ΠŸΠ˜Π ΠΠœΠ˜Π”Π«

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ (усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹) называСтся сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ всСх Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ (усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹) называСтся сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π΅Ρ‘ основания Π½Π° Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ.

Π”Π°Π½ΠΎ:

SABC – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°; ;

; – Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°;

.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ полусуммы ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π΅Ρ‘ оснований Π½Π° Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ.

Β 
Β 

Π”Π°Π½ΠΎ:

– ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ усСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°;

; ;

; ;

– Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°;

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π’ основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ основанию ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60Β°. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π”Π°Π½ΠΎ:

— ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°;

; ; ;

;

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ:

РСшСниС:

; ; ; ;

; ; .

ΠΏΠΎ сторонС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ:

1) SO — общая сторона;

2) , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , , ;

3) .

Из равСнства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ .

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½Π° являСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π΅ΡΡ‚ΡŒ сСрСдина Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О — сСрСдина Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

.

; .

; ; ; ; .

; , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, .

— равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, .

; .

ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ сторонам, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, .

;

; ;

;

.

.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: .

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΡƒΡΠ΅Ρ‡Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ вычисляСтся ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, каксумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

УпраТнСния:



  1. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, основаниСм ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ слуТит Ρ€ΠΎΠΌΠ± с диагоналями 12 см ΠΈ 16 см, Π° высота ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 6,4 см.
  2. ОснованиСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ SABC являСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ с Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ АВ = 25 см ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π’C = 7 см. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ SA пСрпСндикулярно основанию ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 18 см. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  3. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, высота ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 Π΄ΠΌ, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 16 Π΄ΠΌ.
  4. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, стороны оснований ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 18 см ΠΈ 8 см, Π° высота Ρ€Π°Π²Π½Π° 12 см.
  5. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ мСньшС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Π΅Ρ‘ оснований Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 12 Π΄ΠΌ ΠΈ 6 Π΄ΠΌ. Найти высоту усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  6. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 Π΄ΠΌ. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΎ ΠΊ плоскости основания ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60Β°. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли Π΅Ρ‘ высота Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 Π΄ΠΌ.
  7. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 108 см2. Π”Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  8. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, стороны оснований ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8 Π΄ΠΌ ΠΈ 6 Π΄ΠΌ ΠΈ боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Π° ΠΊ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ основанию ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60Β°.

ΠžΠ‘ΠͺЁМ ΠŸΠ˜Π ΠΠœΠ˜Π”Π«

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈ произвСдСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π° Π΅Ρ‘ высоту.

Π”Π°Π½ΠΎ:

SABC — ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°;

S(ABC)= Sосн.

SО ^ АВБ; SО = h.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

9. ΠžΠ‘ΠͺЁМ Π£Π‘Π•Π§Π•ΠΠΠžΠ™ ΠŸΠ˜Π ΠΠœΠ˜Π”Π«

Π”Π°Π½ΠΎ:

ABCDA1B1C1D1 — усСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°;

S(ABCD) = SΠ½.ΠΎ.; S (A1B1C1D1) = SΠ².ΠΎ.

h — высота усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹;

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ: Vус.ΠΏΠΈΡ€.— ?

.

УпраТнСния:

  1. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см, высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 15 см. Найти Π΅Ρ‘ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ.
  2. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 14 Π΄ΠΌ, сторона Π΅Ρ‘ основания Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 Π΄ΠΌ. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  3. ОснованиСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ являСтся Ρ€ΠΎΠΌΠ± со стороной 15 см. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ плоскости основания ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 45Β°. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ диагональ основания Ρ€Π°Π²Π½Π° 24 см. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  4. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΅Ρ‘ оснований Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 98 см2 ΠΈ 32 см2, Π° высота ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 14 см.
  5. Π’ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдину высоты ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΅Ρ‘ основанию. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли высота Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 18 см, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Ρ‘ основания Ρ€Π°Π²Π½Π° 400 см2.
  6. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ пСрпСндикулярны ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 10 см, 15 см, 9 см.
  7. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ высота Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см, стороны Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ основания Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 27 ΠΌ, 29 ΠΌ, 52 ΠΌ, Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 72 ΠΌ. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  8. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ оснований ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 40 см ΠΈ 10 см. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности Ρ€Π°Π²Π½Π° 3400 см2. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π¦Π˜Π›Π˜ΠΠ”Π . ΠŸΠžΠ’Π•Π Π₯НОБВЬ И ΠžΠ‘ΠͺΠ•Πœ Π¦Π˜Π›Π˜ΠΠ”Π Π.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ГСомСтричСскоС Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ сторон, называСтся прямым ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠΌ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ называСтся прямым, Ссли Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пСрпСндикулярны плоскостям оснований.

AB – ось симмСтрии, высота Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°;AB = H;

AD– радиус основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°;AD = R.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями оснований являСтся высотой прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

Радиусом Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° называСтся радиус Π΅Π³ΠΎ основания. Осью Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° называСтся прямая, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρ‹ оснований. Она ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ.

Π”Π²Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ основаниями прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ окруТностСй оснований ΠΈ пСрпСндикулярный плоскостям оснований, называСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ΄Π½Π° сторона ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ окруТности основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Π° другая – Π΅Π³ΠΎ высотС, называСтся Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° состоит ΠΈΠ· оснований ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности. Боковая ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ составлСна ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ….

Π’ дальнСйшСм ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ прямой Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€, называя Π΅Π³ΠΎ для краткости просто Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠΌ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ называСтся равносторонним, Ссли Π΅Π³ΠΎ высота Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ основания.

Β 

БСчСния Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

Π‘Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΅Π³ΠΎ оси, прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π”Π²Π΅ Π΅Π³ΠΎ стороны βˆ’ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Π° Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ βˆ’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹ оснований.

Π’ частности, ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ являСтся осСвоС сСчСниС. ОсСвоС сСчСниС — сСчСниС Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ ось.

Π‘Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ основанию βˆ’ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.

Π‘Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ основанию ΠΈ Π΅Π³ΠΎ оси – ΠΎΠ²Π°Π».

Β 

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ окруТности Π΅Π³ΠΎ основания Π½Π° высоту (SΠ±ΠΎΠΊ. = 2Ο€RH, Π³Π΄Π΅ R βˆ’ радиус основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Н βˆ’ высота Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° называСтся сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… оснований.

Sосн. = Ο€R2 SΠ±ΠΎΠΊ. = 2Ο€RH SΠΏΠΎΠ»Π½.= 2Ο€RH + 2Ο€R2.

Β 

Рассмотрим ΠΏ-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡƒ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏβ†’βˆž ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π² основании ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ окруТности основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π² основании ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ основаниСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°. ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏ-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡƒ прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° называСтся вписанной Π² Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€, Ссли Π΅Ρ‘ основания вписаны Π² основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ называСтся вписанным Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡƒ, Ссли Π΅Π³ΠΎ основания вписаны Π² основания ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.

УпраТнСния:

1. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ осСвого сСчСния Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 48 см. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этой диагональю ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°. Найти: высоту, радиус основания, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

2. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ осСвого сСчСния Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см2, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания — 5 см2. Найти высоту Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

3. Радиус основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 см, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Π³ΠΎ осСвого сСчСния Ρ€Π°Π²Π½Π° 72 см2. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.


НС нашли Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ искали? Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ поиском Π³ΡƒΠ³Π» Π½Π° сайтС:

ΠŸΠžΠ’Π•Π Π₯НОБВЬ ΠŸΠ˜Π ΠΠœΠ˜Π”Π« И Π£Π‘Π•Π§Π•ΠΠΠžΠ™ ΠŸΠ˜Π ΠΠœΠ˜Π”Π« β€” БтудопСдия.НСт

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ (усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹) называСтся сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ всСх Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ (усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹) называСтся сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π΅Ρ‘ основания Π½Π° Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ.

Π”Π°Π½ΠΎ:

SABC – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°; ;

;  – Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°;

.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: Β  .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ полусуммы ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π΅Ρ‘ оснований Π½Π° Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ.

Π”Π°Π½ΠΎ:

 – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ усСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°;

; ;

; ;

 – Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°;

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π’ основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ основанию ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60 Β°. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π”Π°Π½ΠΎ:

Β  — ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ;

; ;

;

;

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ:

РСшСниС:

; ; ; ;

;

; .

Β ΠΏΠΎ сторонС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ:

1) SO — общая сторона;

2) , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , , ;

3) .

Из равСнства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β Β ΠΈ .

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½Π° являСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π΅ΡΡ‚ΡŒ сСрСдина Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹. Β Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О Β  — сСрСдина Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

.

; .

; ; ; ; .

; , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, .

Β  — равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, .

; .

ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ сторонам, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, .

;

; ;

;

.

.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: .

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΡƒΡΠ΅Ρ‡Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ вычисляСтся ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, каксумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

УпраТнСния:

  1. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, основаниСм ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ слуТит Ρ€ΠΎΠΌΠ± с диагоналями 12 см ΠΈ 16 см, Π° высота ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 6,4 см.
  2. ОснованиСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Β  SABC являСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ с Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ АВ = 25 см ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π’ C = 7 см. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ SA пСрпСндикулярно основанию ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 18 см. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  3. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, высота ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 Π΄ΠΌ, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 16 Π΄ΠΌ.
  4. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, стороны оснований ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 18 см ΠΈ 8 см, Π° высота Ρ€Π°Π²Π½Π° 12 см.
  5. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ мСньшС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Π΅Ρ‘ оснований Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 12 Π΄ΠΌ ΠΈ 6 Π΄ΠΌ. Найти высоту усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  6. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 Π΄ΠΌ. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΎ ΠΊ плоскости основания ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60 Β°. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли Π΅Ρ‘ высота Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 Π΄ΠΌ.
  7. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 108 см2. Π”Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60 Β°. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  8. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, стороны оснований ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8 Π΄ΠΌ ΠΈ 6 Π΄ΠΌ ΠΈ боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Π° ΠΊ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ основанию ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60 Β°.

ΠžΠ‘ΠͺЁМ ΠŸΠ˜Π ΠΠœΠ˜Π”Π«

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈ произвСдСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π° Π΅Ρ‘ высоту.

Π”Π°Π½ΠΎ:

SABC — ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ;

S( ABC)= Sосн.

SО ^ АВБ; Β  SО = h.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

ΠžΠ‘ΠͺЁМ Π£Π‘Π•Π§Π•ΠΠΠžΠ™ ΠŸΠ˜Π ΠΠœΠ˜Π”Π«

Π”Π°Π½ΠΎ:

ABCDA1 B1 C1 D1 — усСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°;

S(ABCD) = SΠ½.ΠΎ. ;Β Β  S (A1B1C1D1) = SΠ².ΠΎ.

h — высота усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹;

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ: Β Β Β Β  Vус.ΠΏΠΈΡ€. — ?

.

УпраТнСния:

  1. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см, высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 15 см. Найти Π΅Ρ‘ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ.
  2. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 14 Π΄ΠΌ, сторона Π΅Ρ‘ основания Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 Π΄ΠΌ. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  3. ОснованиСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ являСтся Ρ€ΠΎΠΌΠ± со стороной 15 см. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ плоскости основания ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 45 Β°. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ диагональ основания Ρ€Π°Π²Π½Π° 24 см. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  4. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΅Ρ‘ оснований Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 98 см2 ΠΈ 32 см2, Π° высота ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 14 см.
  5. Π’ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдину высоты ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΅Ρ‘ основанию. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли высота Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 18 см, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Ρ‘ основания Ρ€Π°Π²Π½Π° 400 см2.
  6. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ пСрпСндикулярны ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 10 см, 15 см, 9 см.
  7. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ высота Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см, стороны Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ основания Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 27 ΠΌ, 29 ΠΌ, 52 ΠΌ, Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 72 ΠΌ. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
  8. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ оснований ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 40 см ΠΈ 10 см. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности Ρ€Π°Π²Π½Π° 3400 см2. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ усСчённой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π¦Π˜Π›Π˜ΠΠ”Π . ΠŸΠžΠ’Π•Π Π₯НОБВЬ И ΠžΠ‘ΠͺΠ•Πœ Π¦Π˜Π›Π˜ΠΠ”Π Π.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ГСомСтричСскоС Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ сторон, называСтся прямым ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠΌ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ называСтся прямым, Ссли Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пСрпСндикулярны плоскостям оснований.

AB – ось симмСтрии, высота Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°;AB = H;

AD– радиус основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°;AD = R.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями оснований являСтся высотой прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

Радиусом Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° называСтся радиус Π΅Π³ΠΎ основания. Осью Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° называСтся прямая, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρ‹ оснований. Она ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ.

Π”Π²Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ основаниями прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ окруТностСй оснований ΠΈ пСрпСндикулярный плоскостям оснований, называСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ΄Π½Π° сторона ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ окруТности основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Π° другая – Π΅Π³ΠΎ высотС, называСтся Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° состоит ΠΈΠ· оснований ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности. Боковая ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ составлСна ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ….

Π’ дальнСйшСм ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ прямой Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€, называя Π΅Π³ΠΎ для краткости просто Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠΌ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ называСтся равносторонним, Ссли Π΅Π³ΠΎ высота Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ основания.

Β 

БСчСния Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° .

Π‘Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΅Π³ΠΎ оси, прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π”Π²Π΅ Π΅Π³ΠΎ стороны βˆ’ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Π° Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ βˆ’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹ оснований.

Π’ частности, ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ являСтся осСвоС сСчСниС. ОсСвоС сСчСниС — сСчСниС Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ ось.

Π‘Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ основанию βˆ’ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.

Π‘Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ основанию ΠΈ Π΅Π³ΠΎ оси – ΠΎΠ²Π°Π».

Β 

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: Β ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ окруТности Π΅Π³ΠΎ основания Π½Π° высоту (SΠ±ΠΎΠΊ. = 2Ο€RH, Π³Π΄Π΅ R βˆ’ радиус основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Н βˆ’ высота Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° называСтся сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… оснований.

Sосн. = Ο€R2Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  SΠ±ΠΎΠΊ. = 2Ο€RHΒ Β Β Β Β Β Β Β Β  SΠΏΠΎΠ»Π½.= 2Ο€RH + 2Ο€R2.

Β 

Рассмотрим ΠΏ-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡƒ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏβ†’βˆž ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π² основании ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ окруТности основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π² основании ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ основаниСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°. ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏ-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡƒ прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° называСтся вписанной Π² Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€, Ссли Π΅Ρ‘ основания вписаны Π² основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ называСтся вписанным Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡƒ, Ссли Π΅Π³ΠΎ основания вписаны Π² основания ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.

УпраТнСния:

1. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ осСвого сСчСния Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 48 см. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этой диагональю ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60 Β°. Найти: высоту, радиус основания, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

2. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ осСвого сСчСния Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см2, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания — 5 см2. Найти высоту Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

3. Радиус основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 см, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Π³ΠΎ осСвого сСчСния Ρ€Π°Π²Π½Π° 72 см2. Найти ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

Π‘Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π±ΠΎΠ»Π²Π°Π½ΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ со стороной основания 0,40 ΠΌ ΠΈ высотой 1,00 ΠΌ. Бколько ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· этой Π±ΠΎΠ»Π²Π°Π½ΠΊΠΈ вытягиваниСм?

Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° «ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. УсСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°»

Π’Π΅ΠΌΠ°: Β«ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. УсСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹Β»

ЦСль: ΠŸΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒ с понятиями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, усСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ:

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅:

  • ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² — ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ;

  • Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, связанныС с ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈ с усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ.

Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

  • Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ интСрСс Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Π²ΠΎΡ€Ρ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ;

  • Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ матСматичСского ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, логичСской Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ², Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ·ΠΎΡ€ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ;

Π’ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅:

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ИКВ

Π’ΠΈΠΏ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° провСдСния:групповая, ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ обучСния:словСсный,наглядно-ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ; частично- поисковый; ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ контроля ΠΈ самоконтроля.

ΠœΠ΅ΠΆΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ связи: история, Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°.

БрСдства обучСния: интСрактивная доска (ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ„Π»ΠΈΠΏΡ‡Π°Ρ€Ρ‚), ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с заданиями, оцСночная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°.

Π₯ΠΎΠ΄ занятия

1. ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚:

    1. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° готовности ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

    2. Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹, Ρ†Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ занятия.

2. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρƒ:

    1. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° – Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тСста (послС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ листочками с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ высвСчиваСтся Π½Π° доскС)

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 1

  1. КакиС ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°ΠΌΠΈ?

1) Π°, Π±, Π² 2) Π±, Π², Π³ 3) Π°, Π², Π³ 4) Π°, Π±, Π³

  1. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ:

1) Π°, Π², с, Π΄ … 2) А, Π’, Π‘, Π” …

3) Π°Π², сд, ас, Π°Π΄ … 4) АВ, Π‘Π’, АД, Π‘Π” …

  1. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ называСтся:

1) диагональю 2) Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ

3) Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ 4) осью

  1. Если Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ пСрпСндикулярны основанию, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° являСтся:

1) Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ 2) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

3) прямой 4) Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ

  1. Если Π² основании ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° являСтся:

1) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΉ 2) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΎΠΌ

3) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ 4) ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ

  1. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° являСтся Π΅Π³ΠΎ:

1) Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ 2) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ

3) Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ симмСтрии 4) Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ сСчСния

  1. Боковая ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°:

1) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹

2) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π½Π° основаниС

3) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π½Π° высоту

4) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° основания Π½Π° высоту ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 2

  1. КакиС ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°ΠΌΠΈ?

1) Π°, Π± 2) Π±, Π², Π³ 3) Π°, Π³ 4) Π°, Π±, Π³
  1. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8, 10, 4. НайдитС диагональ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°.

1) 14 2) 18+4 3) 58 4) 320

  1. К ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ относятся:

1) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ 2) ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°

3) ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° 4) всС ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹

  1. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ называСтся:

1) диагональю 2) Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ

3) Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ 4) осью

  1. Если Π² основании ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° являСтся:

1) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΉ 2) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΎΠΌ

3) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ 4) ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ

  1. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π°

1) сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

2) сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€

3) сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ

4) сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ оснований

  1. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° являСтся Π΅Π³ΠΎ:

1) Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ сСчСния 2) Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ

3) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ 4) Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ симмСтрии

hello_html_9b00da.pnghello_html_m454ddae.png

  1. ИзлоТСниС Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°:

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ с Π’Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Β«ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈΒ».

Вспомним с Π’Π°ΠΌΠΈ, КакиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ стСрСомСтрии ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ? (ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄, ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°).

— Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ· прСдставлСнных Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ извСстныС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Π½Π°Π·ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ….

— КакиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π½Π° столС? (тСтраэдр ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹). Как ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ? На Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ?

БСгодня Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ познакомимся с понятиСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈ Π΅Π΅ элСмСнтами, научимся ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ Π² Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈ ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ срСди Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Π΅Π». Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π² тСтрадях число ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ занятия (Ρ‚Π΅ΠΌΠ° записана Π½Π° доскС)

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

  2. Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄.

  3. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

  4. Бвойства Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Ρ‘Π±Π΅Ρ€ ΠΈ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

  5. УсСчённая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°.

  6. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, усСчСнной

ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

3.7 Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ справка (прСзСнтация, подготовлСнная ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ)Β»

3. Π€ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ²:

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡:

  1. Β«Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ запись» (Π½Π° доскС Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ запись).

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°:

ОснованиС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ – Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 40 см, 25 см ΠΈ 25 см. Π•Π΅ высота ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ сторонС 40 см, ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 8 см. НайдитС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

4.2Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°ΠΌ:(ПослС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ свою Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π½Π° доскС)

β„–1 Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 10, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 13. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

(ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 240)

β„–2 ОснованиС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ – ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 6см ΠΈ 8 см. Высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 12 см ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ основания. НайдитС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. (ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 13см.)

β„–3 ОснованиС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со стороной 10см, ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ пСрпСндикулярно плоскости основания ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 5см. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. (ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 100см2)

4. Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅:

    1. ΠΏΠΏ. 176-179

    2. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ: стр.316 — β„–49, β„–62, β„–71, β„–77.

5. ПодвСдСниС ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ² занятия:

    1. Анализ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ.

    2. ВыставлСниС ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ.

      1. РСфлСксия: «ЛСстница успСха».

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

УсСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° – это ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ образуСтся основаниСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π΅ΠΌΡƒ сСчСниСм. МоТно ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ усСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° – это ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ со срСзанной Π²Π΅Ρ€Ρ…ΡƒΡˆΠΊΠΎΠΉ. Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ мноТСством ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… свойств:УсСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

  • Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ трапСциями;
  • Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ основанию ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ;
  • Основания ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ;
  • Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Π°. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ основанию ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ прСдставляСт собой сумму ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π΅ сторон:{S_b}=sum{i=1}{n}{S_i}

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ стороны усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ для расчСта ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² придСтся Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. Для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ всС Π΅Π΅ стороны, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ, ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ основания ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ вывСсти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании.

Если ΠΏΠΎ условиям Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° (высота Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны) ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон основания, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ произвСсти расчСт ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² оснований ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡ‹:

S={1/2}(P_1 + P_2) l Иконка ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠ° 24x24Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Π”Π°Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. АпофСма l = 5 см, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Π² большом основании Ρ€Π°Π²Π½Π° a = 6 см, Π° Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ Π² мСньшСм основании b = 4 см. РассчитайтС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ оснований. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Π° ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основания ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² основаниях Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° с ΠΏΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами. НайдСм ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ большСго основания:
P_1 = 5*a = 5*6=30 cm
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ мСньшСго основания:
P_2 = 5*b = 5*4=20 cm
Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:
S_{6ok}={1/2}*(30+20)*5=25*5=125 cm^2
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ рассчитали ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ способ расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρƒ основания ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этих самых оснований.

S_{6ok}={S_{1 OCH}-S_{2 OCH}}/{cos{beta}} Иконка ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠ° 24x24Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ расчСта. Помним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ данная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° примСняСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. Π“Ρ€Π°Π½ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ основания a = 6 см, Π° Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ b = 4 см. Π”Π²ΡƒΡ…Π³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании Ξ² = 60Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° рассчитаСм ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ оснований. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ, всС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ оснований Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой. Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² основании Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°. Она прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ эти значСния ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. НайдСм ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ большСго основания:
S_{1OCH}=6^2=36 cm^2
S_{2OCH}=4^2=16 cm^2
Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния для расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности.
S_{6ok}= {36-16}/0.5 = 40 cm^2

Зная нСсколько нСслоТных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», ΠΌΡ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ рассчитали ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния.

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. УсСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° β€” ΠœΠ΅Π³Π°ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΊΠ°

Β 

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ называСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ (основаниС), Π° всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ – Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ (Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ) (рис. 15). ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° называСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ссли Π΅Π΅ основаниСм являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ проСктируСтся Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ основания (рис. 16). Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ всС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, называСтся тСтраэдром.

Β 

Рис. 15

Β 

Β 

Β 

Рис. 16

Β 

Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ называСтся сторона Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ, Π½Π΅ принадлСТащая основанию Высотой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ называСтся расстояниС ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎ плоскости основания. ВсС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой, всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ – Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Высота Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, провСдСнная ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, называСтся Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ сСчСниСм называСтся сСчСниС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ называСтся сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ всСх Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности называСтся сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ всСх Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΈ основания.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹

1. Если Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ плоскости основания, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ проСктируСтся Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ основания.

2. Если Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ проСктируСтся Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ основания.

3. Если Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ всС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ плоскости основания, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ проСктируСтся Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности вписанной Π² основаниС.

Для вычислСния объСма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

Π³Π΄Π΅ V – объСм;

Sосн – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания;

H – высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Β 

Для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

Β 

Β 

Π³Π΄Π΅ p – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания;

hΠ° – Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°;

H – высота;

SΠΏΠΎΠ»Π½ – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности;

SΠ±ΠΎΠΊ – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности;

Sосн – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания;

V – объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Β 

УсСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ называСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ основаниСм ΠΈ сСкущСй ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ основанию ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ (рис. 17). ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ называСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ основаниСм ΠΈ сСкущСй ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ основанию ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.



Основания усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ – ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ – Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. Высотой усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ называСтся расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΅Π΅ основаниями. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΡŽ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ называСтся ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ сСчСниСм называСтся сСчСниС усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ.

Β 

Β 

Β 

Рис. 17

Β 

Для усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ справСдливы Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

Β 

(4)

Π³Π΄Π΅ S1, S2 – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ оснований;

SΠΏΠΎΠ»Π½ – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности;

SΠ±ΠΎΠΊ – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности;

H – высота;

V – объСм усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

Π³Π΄Π΅ p1 , p2 – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ оснований;

hΠ° – Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60ΒΊ. Найти тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΊ плоскости основания.

РСшСниС. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ рисунок (рис. 18).

Β 
Β 

Β 

Рис. 18

Β 

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π² основании равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Π”Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании – это ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΊ плоскости основания. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» a ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя пСрпСндикулярами: ΠΈ Ρ‚.Π΅. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ проСктируСтся Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ описанной окруТности ΠΈ вписанной окруТности Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ). Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ SB) – это ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ самим Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ основания. Для Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° SB этим ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» SBD. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ тангСнс Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ SO ΠΈ OB. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° BD Ρ€Π°Π²Π½Π° 3Π°. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ О ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ BD дСлится Π½Π° части: ΠΈ Из Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ SO: Из Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Найти объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Π΅Π΅ оснований Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ см ΠΈ см, Π° высота 4 см.

РСшСниС. Для нахоТдСния объСма усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (4). Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ оснований Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²-оснований, зная ΠΈΡ… Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ оснований Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно 2 см ΠΈ 8 см. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ оснований ΠΈ ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² всС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, вычислим объСм усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 112 см3.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, стороны оснований ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 10 см ΠΈ 4 см, Π° высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ 2 см.

РСшСниС. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ рисунок (рис. 19).

Β 
Β 

Β 

Рис. 19

Β 

Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ являСтся равнобокая трапСция. Для вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ основания ΠΈ высоту. Основания Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ, остаСтся нСизвСстной Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ высота. Π•Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π³Π΄Π΅ А1Π• пСрпСндикуляр ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1 Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ основания, A1D – пСрпСндикуляр ΠΈΠ· А1 Π½Π° АБ. А1Π• = 2 см, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. Для нахоТдСния DE сдСлаСм Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ рисунок, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Π²ΠΈΠ΄ свСрху (рис. 20). Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О – проСкция Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ оснований. Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (см. рис. 20) ΠΈ Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны ОК – радиус вписанной Π² окруТности ΠΈ ОМ – радиус вписанной Π² окруТности:

MK = DE.

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ·

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ:

Β 

Β 

Рис. 20

Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π’ основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ равнобокая трапСция, основания ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π° ΠΈ b (a > b). КаТдая боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ j. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

РСшСниС. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ рисунок (рис. 21). ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ SABCD Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ABCD.

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли всС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ плоскости основания, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° проСктируСтся Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ вписанной Π² основаниС окруТности. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О – проСкция Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ S Π½Π° основаниС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ SOD являСтся ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° CSD Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ основания. По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Β 

Β 

Β 

Рис. 21

Β 

Аналогично ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° свСлась ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ АВБD. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ABCD ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (рис.22). Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О – Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ вписанной Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ окруТности.

Β 

Β 

Β 

Рис. 22

Β 

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Из ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ:

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚,

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.ОснованиС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ – равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со стороной Π°. Одна ΠΈΠ· Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ – Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ пСрпСндикулярна плоскости основания. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

РСшСниС. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ рисунок (рис. 23).

Β 

Рис. 23

Β 

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ SABC состоит ΠΈΠ· суммы ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ – Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ( ), Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… – Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Рассмотрим – ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ. Вычислим Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ: Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Рассмотрим SE Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ НайдСм DE. Для этого рассмотрим равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ основания (рис. 24). Π’ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ DE являСтся срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Находим SE:

Β 

Β 

Рис. 24

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΠΈ прСзСнтация ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹» (11 класс)

ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚

ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² 11 классС

ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹Β»

ЦСль: Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°:

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ – Π€ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ устойчивых ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ² вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ – Π Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ матСматичСского ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ логичСской Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈ учащихся, умСния Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹, Π²Ρ‹ΡΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ свои мысли ΠΈ чувства, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ·ΠΎΡ€ учащихся.

Π’ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ – ВоспитаниС интСрСса ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρƒ, ΡƒΠ²Π°ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ одноклассникам; Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ»ΡŽΠ±ΠΈΡ, прилСТания, активности, внимания.

Π’ΠΈΠΏ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: Π£Ρ€ΠΎΠΊ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

РСсурсныС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹: Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ доска, Ρ€Π°Π·Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π».

ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ успСха:

Π― знаю – Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π― понимаю – ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π― ΡƒΠΌΠ΅ΡŽ – Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠžΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹:

1: опрСдСлят Ρ†Π΅Π»ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°, ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ знания ΠΎ элСмСнтах ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡƒΡ‚ участиС Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅;

2: Π½Π°ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ свои знания для вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹;

3: опрСдСлят Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ для сСбя, проявят лидСрскиС качСства, ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ.

Ρ„Π°Π·Π°

Π­Ρ‚Π°ΠΏΡ‹ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

Π”Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ учитСля

Π”Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ, стратСгия

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° оцСнивания

РСсурсы

Π’


Ρ‹

Π·

ΠΎ

Π²

Π°

1.ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚.

2 ΠΌΠΈΠ½.

ЦСль: ΠžΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ благоприятного ΠΊΠ»ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π° для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΈ психологичСская ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° учащихся ΠΊ прСдстоящСму Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅. ЗдравствуйтС, рСбята. Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ настал наш ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. Π― ТСлаю Π½Π°ΠΌ сСгодня Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π³ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.

НСмного истории.

Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ элСктронного ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ критичСского ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Β«ΠšΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΉΒ» вмСстС с учащимися Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽ Ρ†Π΅Π»ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.

ΠŸΡΠΈΡ…ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ настрой Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊ

ВыступлСниС ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°

БтратСгия Β«ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅Β»

Β«ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΉΒ» ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ КМ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅

Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ устноС ΠΏΠΎΠΎΡ‰Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ учитСля

ΠŸΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡ

Π­Π»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π».

Π’Π΅ΠΌΠ° ΠΈ Ρ†Π΅Π»ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Π½Π° слайдС.

2. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ основных понятий:

элСмСнты ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

ЦСль: ΠΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ содСрТаниС, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ достаточноС для восприятия Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ повторСния основных понятий ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈ усСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°Β» устная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° тСст Β«ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒ сСбя».

ВСст проводится для повторСния ΠΈ создания ситуации успСха.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° вопросы ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ послС ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°.

Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ устно Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ тСст.

Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ устноС ΠΏΠΎΠΎΡ‰Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ учитСля

самопровСрка

ΠŸΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡ

3. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ срСды.

ЦСль: Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ условий, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° Π² процСсс обучСния

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹:

Для создания атмосфСры сотрудничСства.

Учащимся Ρ€Π°Π·Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ гСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.

Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ дСлятся Π½Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹.

Π’ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ распрСдСлСниС Ρ€ΠΎΠ»Π΅ΠΉ.

Π¦Π²Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ гСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.

О

с

ΠΌ

Ρ‹

с

Π»

Π΅

Π½

ΠΈ

я

4.Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ….

ЦСль: Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ситуации успСха для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ учащСгося

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°ΠΌ:

1 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°.

Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 10, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 13.
НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности этой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

2 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°

Π”Π°Π½ΠΎ:

ΠœΠΠ’Π‘ – ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

АВ=12, АБ=Π’Π‘=10,

АМ=Π’Πœ=БМ=12

Найти: SΠ±ΠΎΠΊ.

3 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Π”Π°Π½ΠΎ:

ΠœΠΠ’Π‘ – ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

АБ=15, Π’Π‘=14, АВ=13.

ВсС Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹

ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°Ρ… основания Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 600

Найти: SΠΏ.ΠΏ.

4 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°

Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ оснований ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 4 см ΠΈ 2 см, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 см.

НайдитС:

1. Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹;

2. ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности.

5 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°

ОснованиСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ являСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, диагональ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° 8 см. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ пСрпСндикулярны ΠΊ плоскости основания, Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ с основаниСм ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 30⁰ ΠΈ 45⁰. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

6 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°

Π”Π°Π½ΠΎ:

SАВБ – ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

АВ=АБ=Π’Π‘=1,

AD- высота ΔАВБ

SA пСрпСндикуляр ΔАВБ

<SDA = 60⁰

Найти: SΠ±ΠΎΠΊ.

Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ основноС свойство Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.

По часовой стрСлкС Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°..

Групповая Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.

Π Π°Π·Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π».

5. Π—Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρƒ доски

ЦСль: Π£ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ ΠΎΡ‚ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρƒ доски Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ учащимся Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ вопросы, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ свои Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π°ΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρƒ доски ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… учащихся.

Π˜Π½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.

прСзСнтация

Π 

Π΅

Ρ„

Π»

Π΅

ΠΊ

с

ΠΈ

я

6.РСфлСксия

ЦСль: ЀиксированиС Π΄ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ошибок. ВыставлСниС ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ

ПодвСдСниС ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π°

Лист рСфлСксии
ЀИ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°_________

БСгодня я ΡƒΠ·Π½Π°Π» Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅…

На ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΠ½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ знания…

Для мСня Π±Ρ‹Π»ΠΎ слоТно…

На ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ…

Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ просит ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Ρ„Π»Π΅ΠΊΡΠΈΡŽ (ΠΏΠΎ ТСланию.

Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ листы рСфлСксии.

Один ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ ΠΎΠ·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Ρ„Π»Π΅ΠΊΡΠΈΡŽ (ΠΏΠΎ ТСланию)

Листы рСфлСксии

7. Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅.

Π’Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ ЕНВ (стр.341)

β„–28, 35, 43, 48 (ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ Π’)

β„–2,19 (ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ А)

Π›ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *