Правила вертикальных и смежных углов – Тест репетитора на смежные и вертикальные углы — Колпаков Александр Николаевич

Содержание

Смежные и вертикальные углы. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

На данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

                                

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными.

Теорема 1: Сумма смежных углов – 180

о.

                              

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180o. Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму – 180о.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых  в точке О.

    

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС = 180

о – β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD – ∠BОС = 180о – β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90о.

                             

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL – биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB =  , аналогично ∠ВОК =  . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK =  +    = 

. Сумма углов α + β равна 180о, поскольку данные углы – смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180о.

                  

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

KO – биссектриса ∠AOB, LO – биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL =  o. Сумма углов α + β равна 180о, так как данные углы – смежные.

Рассмотрим некоторые задачи:

Пример 1:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111о.

Решение:

Выполним чертеж к задаче:

                             

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Решение

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180о. То есть 111о + β = 180

о.

Значит, β = 69о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Пример 2:

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Решение:

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Пример 3:

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Решение:

Составим уравнение: α + β = 180о, но поскольку α = β, то β + β = 180о, значит, β = 90о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Пример 4:

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Решение:

                                                   

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180о – α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
  3. \Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

  1. Измерение отрезков (Источник).
  2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).
  3. Прямая линия, отрезок (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
  3. Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
  4. * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?

interneturok.ru

Смежные и вертикальные углы, их свойства.

по теме: Смежные и вертикальные углы, их свойства.

(3 занятия)

В результате изучения темы нужно:

УМЕТЬ:

- понятия: смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых

- различать понятия смежные и вертикальные углы

- теоремы смежных и вертикальных углов

-решать задачи с использованием свойств смежных и вертикальных углов

- свойства смежных и вертикальных углов

-строить смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые

ЛИТЕРАТУРА:

1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012

2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева , А.Т. Миразова. Алматы «Атамұра». 2012

3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы «Атамұра». 2012

4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы «Атамұра». 2012

5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы «Атамұра». 2012

Помни, что работать нужно по алгоритму!

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях,

заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому,

кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

ЗАДАНИЕ №1.

  1. Прочитай определение и выучи (2б):

Определение. Углы, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами, называются смежными.

hello_html_46b65313.png

2) Выучи и запиши в тетрадь теорему : (2б)

Сумма смежных углов равна 180.

Дано:

∠АОД и ∠ДОВ –данные смежные углы

ОД - общая сторона

Доказать:

∠АОД + ∠ДОВ = 180hello_html_m6809f9e.gif

Доказательство:

hello_html_m6da1d226.png

На основе аксиомы III4 :

∠АОД + ∠ДОВ = ∠АОВ.

∠АОВ - развернутый. Следовательно,

∠АОД + ∠ДОВ = 180hello_html_m6809f9e.gif

Теорема доказана.

3) Из теоремы следует: (2б)

1) Если два угла равны, то смежные с ними углы равны;

2) если смежные углы равны, то градусная мера каждого из них равна 90°.

Запомни!

Угол, равный 90°, называется прямым углом.

Угол, меньше 90°, называется острым углом.

Угол, больше 90° и меньше 180°, называется тупым углом.

hello_html_m777d072d.png

Прямой угол Острый угол Тупой угол

Так как сумма смежных углов равна 180°, то

1) угол, смежный с прямым углом, прямой;

2) угол, смежный с острым углом, тупой;

3) угол, смежный с тупым углом, острый.

4) Рассмотри образец решения задачи:

а) Дано: ∠h k и ∠kl - смежные; ∠h k больше ∠kl на 50° .

Найти: ∠h k и ∠kl.

hello_html_913572e.jpg

 

Решение: Пусть ∠kl = х, тогда ∠h k = х + 50°. По свойству о сумме смежных углов ∠kl + ∠h k = 180°.

х + х + 50° = 180°;

2х = 180° - 50°;

2х = 130°;

х = 65°.

∠kl = 65°; ∠h k = 65°+ 50° = 115°.

Ответ: 115° и 65°.

б)  Пусть ∠kl = х, тогда ∠h k = 3х

х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°; ∠kl = 45°; ∠hk = 135°.

Ответ: 135° и 45°.

5) Работа с определением смежных углов: (2 б)

hello_html_m1c50c1fe.gif

6) Найди ошибки в определениях: (2б)

hello_html_16f243b0.gif

Пройди проверку №1

Задание №2

1)Построй 2 смежных угла так, чтобы их общая сторона проходила через точку C и сторона одного из углов совпадала с лучом AB.(2б)

2). Практическая работа на открытие свойства смежных углов: (5б)

Ход работы

1. Построй угол hello_html_m50660ed3.gif смежный углу а, если а: острый, прямой, тупой.

2. Измерь величины углов.

3.Данные измерений занеси в таблицу.

4. Найди соотношение между величинами углов а и hello_html_m50660ed3.gif.

5. Сделай вывод о свойстве смежных углов.

Пройди проверку №2

Задание №3

  1. Начертите неразвернутый ∠АОВ и назовите лучи, являющиеся сторонами этого угла.

  2. Проведите луч О, являющийся продолжение луча ОА, и луч ОД, являющийся продолжение луча ОВ.

  3. Запишите в тетради: углы∠ АОВ и ∠СОД называются вертикальными. (3б)

  4. Выучи и запиши в тетрадь: (4б)

Определение: Углы, у которых стороны одного из них являются дополнительными лучами другого, называются вертикальными углами.

hello_html_4dcbd72f.png

<1 и <2, <3 и <4 вертикальные углы

Лучи OF и OA ,OC и OE являются попарно дополнительными лучами.

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство.

hello_html_3b2685df.png

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Пусть прямые а и b пересекаются в точке О. ∠ 1 и ∠2 –вертикальные углы.

∠АОС-развернутый, значит ∠АОС= 180°. Однако ∠ 1+ ∠ 2=∠АОС, т.е.

∠ 3+ ∠ 1=180°, отсюда имеем:

1= 180 - 3. (1)

Также имеем, что ∠ДОВ= 180°, отсюда ∠ 2+ ∠ 3=180°, или 2=180°- 3. (2)

Так как в равенствах (1) и (2) прямые части равны, то ∠ 1=∠ 2.

Теорема доказана.

5). Работа с определением вертикальных углов :(2б)

hello_html_m4dcf858c.gif

6) Найди ошибку в определении:(2б).

hello_html_4d1dd91f.gif

Пройди проверку №3

Задание №4

1)Практическая работа на открытие свойства вертикальных углов:(5б)

Ход работы:

1.Построй угол β вертикальный углу α, если α:

острый, прямой, тупой.

2.Измерь величины углов.

3.Данные измерений занеси в таблицу

4.Найди соотношение между величинами углов α и β.

5.Сделай вывод о свойстве вертикальных углов.

2)Доказательство свойств смежных и вертикальных углов . (3б)

2) Рассмотри образец решения задачи.

Задача. Прямые АВ и СД пересекаются в точке О так, что ∠AOД = 35°. Найдите углы АОС и ВОС.

 

hello_html_1cc1bc2e.jpg

 

Решение:

1) Углы АОД и АОС смежные, поэтому ∠BOC = 180° - 35° = 145°.

2) Углы АОС и ВОС также смежные, поэтому ∠BOC = 180° - 145° = 35°.

Значит, ∠BOC = ∠АОД = 35°, причем эти углы являются вертикальными. Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

3) Решение задач на готовых чертежах: (3б)

1. Найти углы АОВ, АОD, COD.

hello_html_m14297a1a.jpg

hello_html_344434b4.jpg

3) Найти углы BOC, FOA.: ( 3б)

 

hello_html_m3d8e72b2.gif

3. Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, 28? и 90?. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений (2б)

Пройди проверку №4

Задание №5

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №1

Задание №6

1) Самостоятельно докажи свойства вертикальных углов и запиши эти доказательства в тетрадь. (3б)

Учащиеся самостоятельно, используя свойства вертикальных и смежных углов, должны обосновать тот факт, что если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов прямой, то остальные углы также прямые.

2 ) Реши на выбор две задачи:

1.Градусные меры смежных углов относятся как 7:2. Найдите эти углы.(2б)

2.Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше другого .Найдите каждый из углов.(3б)

3.Найдите смежные углы ,если их разность и их сумма относятся как 2:9.(3б)

Задание №7

Молодец! Можешь приступать к проверочной работе №2.

Проверочная работа №1.

Реши на выбор любой из вариантов (10б)

Вариант 1

1.Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал соответствующие ответы. Проверьте, верны ли они, пометив в третьем столбике словом «ДА», «НЕТ», «НЕ ЗНАЮ». В случает «НЕТ» запишите там же верный ответ или добавьте недостающее.

<1 и <2,

<3 и <2,

г) <1 и <3. Какие это углы?

Смежные

д) Начертите ( на глаз) угол в 30° и <ABC, смежный с данным

hello_html_m32ec45c.png

е) Какие углы называются вертикальными?

Два угла называются вертикальными, если орни равны.

ж) Из точки А провести две прямые, перпендикулярные прямой а

Можно провести только одну прямую.

2. Назовите вертикальные углы на данном рисунке.

hello_html_m62bb966d.png

Вариант 2

1.Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал соответствующие ответы. Проверьте, верны ли они, пометив в третьем столбике словом «ДА», «НЕТ», «НЕ ЗНАЮ». В случает «НЕТ» запишите там же верный ответ или добавьте недостающее.

<1 и <4,

<2 и <4

Д) <1 и < 3 смежные ?

Нет. Они вертикальные

Е) Какие прямые называются перпендикулярными?

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом

Ж) Начертите вертикальные углы так, чтобы их стороны были перпендикулярными прямыми.

hello_html_55bcd9ef.png

2. Назовите вертикальные углы на данном рисунке.

hello_html_605b5ea8.png

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов .

Проверочная работа №2.

Реши на выбор любой вариант

Вариант I

  1. Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 2:9. (4б)

  2. Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 240°, меньше суммы двух других.(6б)

Вариант II

1) Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 5:8(4б)

2) Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 60°, больше суммы двух других.(6б)

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов .

РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ

по теме : «Смежные и вертикальные углы, их свойства »

Ф.И. __________________________________________, класс _____

1

2 б

2 б

2 б

2 б

2

3

3 б

4

5

6

7

Итого

72 б

ИТОГО: 76 баллов

«5» - 72 - 60 б;

«4» - 59 - 436;

«3» - 42 – 38 б.

«2» - 38 б. и менее

 

infourok.ru

Смежные и вертикальные углы

Начальные сведения об углах

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда

Определение 1

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 2

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 1).

Определим теперь, что такое величина угла.

Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.

Существуют 4 вида углов:

Определение 3

Угол называется острым, если он меньше $90^0$.

Определение 4

Угол называется тупым, если он больше $90^0$.

Определение 5

Угол называется развернутым, если он равен $180^0$.

Определение 6

Угол называется прямым, если он равен $90^0$.

Помимо таких видов углов, которые описаны выше, можно выделять виды углов по отношению их друг к другу, а именно вертикальные и смежные углы.

Смежные углы

Рассмотрим развернутый угол $COB$. Из его вершины проведем луч $OA$. Этот луч разделит первоначальный на два угла. Тогда

Определение 7

Два угла будем называть смежными, если одна пара их сторон является развернутым углом, а другая пара совпадает (рис. 2).

В данном случае углы $COA$ и $BOA$ являются смежными.

Теорема 1

Сумма смежных углов равняется $180^0$.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 2.

По определению 7, в нем угол $COB$ будет равняться $180^0$. Так как вторая пара сторон смежных углов совпадает, то луч $OA$ будет разделять развернутый угол на 2, следовательно

$∠COA+∠BOA=180^0$

Теорема доказана.

Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.

Пример 1

Найти угол $C$ из рисунка ниже

Решение.

По определению 7 получаем, что углы $BDA$ и $ADC$ являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

По теореме о сумме углов в треугольнике, будем иметь

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Ответ: $40^0$.

Вертикальные углы

Рассмотрим развернутые углы $AOB$ и $MOC$. Совместим их вершины между собой (то есть наложим точку $O'$ на точку $O$) так, чтобы никакие стороны этих углов не совпали. Тогда

Определение 8

Два угла будем называть вертикальными, если пары их сторон являются развернутыми углами, а их величины совпадают (рис. 3).

В данном случае углы $MOA$ и $BOC$ являются вертикальными и углы $MOB$ и $AOC$ также вертикальные.

Теорема 2

Вертикальные углы равняются между собой.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3. Докажем, к примеру, что угол $MOA$ равняется углу $BOC$.

По определению 7, видим, что углы $AOM$ и $MOB$, а также углы $COB$ и $MOB$ будет являться смежными. Обозначим угол $MOB$ через $β$. По теореме 1, получим

$∠AOM+β=180^0$

$∠AOM=180^0-β$

С другой стороны

$∠COB+β=180^0$

$∠COB=180^0-β$

Получаем, что

$∠AOM=∠COB$

Теорема доказана.

Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.

Пример 2

Найти угол $COB$ из рисунка ниже

Решение.

По определению 8 получаем, что углы $AOD$ и $COB$ являются вертикальными. Следовательно, по теореме 2, получим

$∠COB=∠AOD=54^0$

Ответ: $54^0$.

Пример смешанной задачи

Пример 3

Найти угол $COB$ из рисунка ниже

Решение. По определению 8 получаем, что углы $FAO$ и $COD$ являются вертикальными. Следовательно, по теореме 2, получим

$∠FAO=∠COD=25^0$

По определению 7 получаем, что углы $BOF$ и $BOC$ являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим

$∠BOF+∠BOC=180^0$

$∠BOC=180^0-∠BOF=180^0-55^0-25^0=100^0$

Ответ: $100^0$.

spravochnick.ru

Вертикальные углы - это... Что такое Вертикальные углы?

Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая — из C и D.

В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные.

Теорема о вертикальных углах

Если две прямые пересекаются в точке, образуются четыре угла. Несмежные углы называются вертикальными или противоположно вертикальными углами. Также, каждая пара прилегающих углов образует прямую, а эти углы называются смежными[1]. Поскольку каждая пара вертикальных углов является смежными к прилегающим, то градусные меры вертикальных углов — равны.

Алгебраическое решение вертикальных углов

Например, угол A на рисунке — неизвестен. Обозначим A = x. Если два прилегающих угла образуют прямую, то они — смежные. Тогда, градусная мера C = 180 − x. Аналогично, градусная мера D = 180 − x. Углы C и D имеют одинаковую меру, которая равна 180 — x и являются вертикальными. Поскольку, угол B является смежным для обоих углов C и D, для того, чтобы вычислить размер B можно использовать градусную меру любого из них. Используя меру угла C или угла D, найдём градусную меру угла B = 180 — (180 — x) = 180—180 + x = x. Отсюда, оба угла A и B имеют г

См. также

Литература

  1. Euclid The Elements. — c. 300 BC. Proposition I:13.

Ссылки

dic.academic.ru

Решение задач по теме "Смежные и вертикальные углы"

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок закрепления нового материала

Цели урока:

  • Образовательные: повторить и закрепить понятия о смежных и вертикальных углах;
  • Развивающие: развивать умение анализировать условие задачи;
  • Воспитательные: воспитание аккуратности (аккуратное выполнение чертежей на доске и в тетрадях, рациональное распределение записей).

Структура урока:

  • I этап. Организационный момент
  • II этап. Актуализация опорных знаний
  • III этап. Закрепление изученного материала
  • IV этап. Зарядка для глаз
  • V этап. Самостоятельная работа
  • VI этап. Домашнее задание
  • VII этап. Итог урока

Ход урока

I. Организационный момент

(Слайд 1-2)

Приветствие, сообщение темы, целей и задач. 
Учитель: Вам было задано домашнее задание: повторить п.14 и 15, ответить на вопросы 1, 2, 3, 6, 7. Сейчас проверим, как вы подготовились к уроку.

II. Актуализация опорных знаний

(Слайд 3)

Вопрос: Какие углы называются смежными? (Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными полупрямыми)

Вопрос. Из рисунка назвать смежные углы. (Ответ: ∠АОВ и ∠ВОС – смежные углы)

Вопрос. Какая сторона у них общая? (Ответ: ОВ – общая сторона.)

Вопрос. Назвать дополнительные полупрямые. (Ответ. ОС и ОА – дополнительные полупрямые.)

(Слайд 4) Вопрос. Какими свойствами обладают смежные углы?

Ответ.

  • Сумма смежных углов равна 180° (теорема)

∠1 + ∠2 = 180°

  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
  • Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.
  • Угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

(Слайд 5)

Вопросы. Могут ли два смежных угла быть равными:

а) 75° и 80°; Ответ: (нет, т.к.75° + 80°=155°)
б) 94° и 96°; Ответ: (нет, т.к. 94° + 96°= 190°)
в) 83° и 97°? Ответ: (да, т.к. 83° + 97°= 180°)

(Слайд 6)

Устно.

Дано:

∠АОВ

а ∩ АО

а ∩ ОВ

∠3 = ∠4

Доказательство.

1. ∠3 смежный с ∠1, ∠4 смежный с ∠2 .

2. Т.к. ∠3 = ∠4 (по условию), то ∠1 = ∠ 2,
как углы, смежные равным углам. (по свойству смежных углов).

Доказать

∠1 = ∠2

(Слайд 7)

Вопрос. Какие углы называются вертикальными?

(Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого).

∠ 1 и ∠ 3 – вертикальные углы

∠ 2 и ∠ 4вертикальные углы

(Слайд 8)

Вопрос. Каким свойством обладают смежные углы?

Ответ. Вертикальные углы равны. (теорема)

∠ 1 = ∠ 3

∠ 2 = ∠ 4

III этап. Закрепление изученного материала. Решение задач.

(Слайд 9)

№3 (учебник)

Дано:

∠1 и ∠2– смежные

∠1 больше ∠2 в 2 раза

Решение.

1. Пусть ∠2 = х, тогда ∠1=2х

2. Т.к. ∠1 + ∠2 = 180°(по теореме о смежных углах), то

х + 2х = 180°

3х = 180°, ⇒ х =180°: 3, х = 60°.

3. Следовательно: ∠2 = 60°, ∠1 = 2∙60°= 120°

Ответ: ∠1= 120°, ∠2= 60°,

Найти ∠1 и ∠2

(Слайд 10)

№6(2)

Дано:

∠1 и ∠2 – смежные

∠1 : ∠2 = 3 : 7

Решение.

1. Пусть х. – коэффициент пропорциональности.

Тогда ∠1 = 3х, ∠2 = 7х (по условию задачи)

2. Т.к ∠1 + ∠2 = 180°(по теореме о смежных углах), то

3х + 7х = 180°, 10х = 180°, х = 18°.

3. Следовательно: ∠1 =3 ∙ 18°=54°, ∠2 =7 ∙ 18°=126°

Ответ: 54°; 126°.

Найти ∠1 и ∠2

(Слайд 11)

Дано:

∠1 и ∠2 – смежные

∠2 составляет 0,2 от∠1

Решение

1. Пусть ∠1 = х, тогда ∠2 = 0,2х (по условию).

2. Т.к. ∠1 + ∠2 = 180° (по теореме о смежных углах),
то х + 0,2х =180°, 1,2х = 180°, х = 150°,

3. Следовательно: ∠1=150°, ∠2= 0,2∙ 150°= 30°.

Ответ: 150°, 30°

Найти ∠1 и ∠2

(Слайд 12)

Дано:

а ∩ b

∠2 меньше ∠1 в 4 раза

Решение

1. Пусть ∠2 = х , тогда ∠1 = 4х (по условию),

2. Т.к. ∠1+ ∠2 = 180° (по теореме о смежных углах),
то 4х + х = 180°, 5х = 180°, х = 36°.

3. Следовательно: ∠2 = 36°, ∠1 = 4∙36° = 144°

∠3= ∠1, ∠4= ∠2 (по теореме о вертикальных углах),
значит ∠3= 144°, ∠4=36°.

Ответ: 144°, 36°, 144°, 36°.

Найти ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4

(Слайд 13)

Дано:

AС ∩ ВD = O

∠ВОС = 23°

Решение

1. ∠АОD = ∠ВОС = 23° (по теореме о вертикальных углах)

2. ∠АОВ + ∠ВОС = 180° (по теореме о смежных углах).

Следовательно: ∠АОВ =180°– ∠ВОС,
т.е. ∠АОВ =180° – 23° = 157°

3. ∠СОD = ∠АОВ = 157° (по теореме о вертикальных углах).

Ответ: 157°, 157°, 23°.

Найти: ∠СОD,

∠АОВ, ∠АОD.

(Слайд 14)

Устно. Вопрос. Назовите смежные и вертикальные углы.

Ответ.

Смежные углы: АОМ и АОD, АОD и NОD, NОD и NОМ, NОМ и АОМ .

Вертикальные углы: АОМ и NОD, АОD и NОМ. 

IV этап. Зарядка для глаз

(Слайд 15)

V этап. Самостоятельная работа (на листочках).

Вариант 1 Вариант 2
№1. Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 87°. Найдите остальные углы. №1. Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 118°. Найдите остальные углы.
№2. Разность смежных углов равна 50°. Найдите меньший угол. №2. Один из смежных углов в 4 раза меньше другого. Найдите больший угол.

Ответы

Вариант 1 Вариант 2
№1. 93°, 87°, 93°. №1. 62°, 118°, 62°
№2. 75°. №2. 36°.

VI этап. Домашнее задание.

  1. §2. Пункты 14-15.
  2. Задачи на стр. 26. № 6(4), № 12.

VII этап. Итог урока.

  • Повторили понятия смежных и вертикальных углов
  • Научились решать задачи, используя знания о смежных и вертикальных углах.
  • Стали еще на одну ступеньку выше в изучении геометрии.

urok.1sept.ru

Смежные и вертикальные, центральные и вписанные углы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Ugly1На рисунке углы a и b являются смежными, смежные и углы b и c, и углы c и d, и углы a и d.

Сумма смежных углов равна 180˚. Исходя из этого, можно говорить о свойствах смежных углов:

  1. если два угла равны, то смежные с ними углы равны;
  2. угол, смежный с прямым углом, является прямым углом;
  3. угол, смежный с тупым, является острым, а смежный с ним острый – тупым.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми (лучами) сторон другого.

На рисунке углы α и d являются вертикальными. Вертикальными также являются и углы с и d.

Вертикальные углы равны. Исходя из этого, можно говорить о свойствах вертикальных углов:

Две пересекающиеся прямые образуют и смежные, и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180˚. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.

Вспомним, что биссектриса угла – это луч. Который делит угол на два равные угла. У вертикальных углов биссектрисы лежат на одной прямой. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Биссектриса угла обладает свойством: каждая её точка находится на одинаковом расстоянии сторон угла.

Понятия центрального и вписанного угла связаны с понятием окружность.

Окружность – это геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Ugly3Центральный угол в окружности – это плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Конспект урока по геометрии на тему: Смежные и вертикальные углы

УРОК № 7 (27.09.16)

Предмет: геометрия, 7 кл.

Тема урока: «Смежные и вертикальные углы»

Цели:

— ввести понятия смежных и вертикальных углов;

— рассмотреть их свойства;

— развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

— воспитывать потребность в доказательных рассуждениях;

— воспитывать аккуратность при выполнении рисунков,

— ответственное отношение к учебному труду.

Тип урока: урок изучения нового материала

Оборудование: учебник «геомтерия 7-9 кл», рабочая тетрадь, линейка, доска, раздаточный материал.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент. Приветствие, определение отсутствующих, подготовка к работе.

II. Актуализация знаний. Сегодня мы повторим виды углов, их свойства и добавим к знаниям об углах ещё два вида. Чтобы не забыть старых знакомых, выполним устно задания

  1. Назвать вид каждого угла и указать градусную меру.

hello_html_4c62a2a3.png hello_html_m72fa3d3a.png hello_html_m2344003e.png

2) Дано: hello_html_4c045b1f.pngАОD = 8hello_html_4c045b1f.pngDОВ. Найти: hello_html_4c045b1f.pngDОВ

hello_html_m30847d96.png

3) а) hello_html_4c045b1f.pngАОЕ=300hello_html_3a1db1f9.png

hello_html_4c045b1f.pngЕОС=20°

hello_html_4c045b1f.pngAOC=?

б) hello_html_4c045b1f.pngАОС=70°

hello_html_4c045b1f.pngАОЕ=50°

hello_html_4c045b1f.pngЕОС=?

II. Изучение нового материала. Решение задач.

Решая 1 и 2 задачу, мы встретились с углами, которые носят название смежные и вертикальные. Это и есть тема нашего урока. Сегодня мы рассмотрим их определения и свойства.

Введение понятия «смежные углы».

1. Практическая работа. Построим прямую АD и отметим точку С, лежащую между точками А и D. Проведём луч СВ. Получились два угла: АСВ и ВСD. Такие углы принято называть смежными.

Попробуем сформулировать определение смежных углов, но сначала ответим на вопросы:

а) назовите стороны каждого из углов;

б) как связаны между собой стороны смежных углов?;

в) выделить особенности смежных углов (одна сторона общая, две другие являются продолжениями одна другой).

Обратить внимание на слово «смежные» — находящиеся рядом («межа»).

Далее прочитать определение смежных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять смежные углы.

2. Усвоение понятия смежных углов.

Найдите пары смежных углов и объясните, почему они смежные.

hello_html_m49fa6175.png

hello_html_4133503b.pnghello_html_m30a167c2.png

hello_html_5cd3d8f9.png

3. Сформулировать свойство смежных углов. (Предложить это сделать самим учащимся, вспомнив 3 задачу).

4. Закрепление понятия и свойства смежных углов.

Решить из учебника задачи № 55 (на доске и в тетрадях), № 59,60 - устно. Разобрать задачу из раздаточного материала.

5. Введение понятия вертикальных углов.

Практическая работа:

1) проведите луч ОС, являющийся продолжением луча ОА и луч ОD, являющийся продолжением луча ОВ;

2) запишите в тетради: углы АОВ и СОD называются вертикальными.

Вопрос: Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?

Попробуем сформулировать определение вертикальных углов, ответив на вопросы:

1) назвать стороны каждого вертикального угла;

2) как связаны стороны вертикальных углов между собой?

3) выделить особенности вертикальных углов (1-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго, 2-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго).

Далее прочитать определение вертикальных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять вертикальные углы.

6. Усвоение понятия вертикальных углов.

Указать пары вертикальных углов на рисунке и объяснить, почему они вертикальные.

hello_html_m70da555d.png hello_html_m20581050.png

7. Обоснование того факта, что вертикальные углы равны, вначале можно провести на конкретном примере:

Задача. Прямые АВ и СD пересекаются в точке О так, что угол АОD равен 350.

Найдите углы АОС и ВОС,

Задачу решить по готовому чертежу.

Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

Далее учащиеся самостоятельно разбирают доказательство свойства вертикальных углов по рис. 41 в учебнике и записывают в тетрадях.

8. На закрепление свойств вертикальных и смежных углов решить
№65 (а) устно, №66 (б; в) - письменно.

III. Тест. Итог урока.

1. Являются ли смежными углы: а) hello_html_4c045b1f.pngDОС и hello_html_4c045b1f.pngDОЕ; б) hello_html_4c045b1f.pngDОС и hello_html_4c045b1f.pngСОВ; в) hello_html_4c045b1f.pngDОЕ и hello_html_4c045b1f.pngАОВ?

hello_html_10408cbe.png

2. Являются ли вертикальными углы: а) hello_html_4c045b1f.pngDОЕ и hello_html_4c045b1f.pngСОА; б) hello_html_4c045b1f.pngDОА и hello_html_4c045b1f.pngАОВ;

в) hello_html_4c045b1f.pngАОВ и hello_html_4c045b1f.pngDОЕ?

Обсудить с детьми вопросы: 1) что нового вы узнали сегодня на уроке? 2) что было самое трудное на уроке? 3) что помогло с этой трудностью справиться?

IV. Домашнее задание. П. 11 выучить определения, № 55,56,58,61.

Раздаточный материал

Смежные и вертикальные углы.

Правила. Смежными называются углы, у которых одна сторона общая, а две  
другие стороны расположены на одной прямой (являются дополняющими  
лучами).  
          Вертикальными называются углы, у которых стороны одного угла  
являются продолжением второго угла.    
hello_html_7fac4f2e.gif              Сумма смежных углов равна 180°,  

                                                  а 

вертикальные углы равны друг другу.    


         
Пример решения задачи на нахождение смежных углов:

Найдем смежные углы,   hello_html_4a741859.png α   и   hello_html_4a741859.png β,   если   hello_html_4a741859.png α   в два раза больше   hello_html_4a741859.png β.  
hello_html_m25372023.png  
Р е ш е н и е :  

hello_html_4a741859.png α   =   2 • hello_html_4a741859.png β     —   по условию задачи ;  

hello_html_4a741859.png α + hello_html_4a741859.png β   =   180 °     —   сумма смежных углов ;  

2 • hello_html_4a741859.png β + hello_html_4a741859.png β   =   180 °     —   замена   α   на   2β ;    

      3 • hello_html_4a741859.png β   =   180 ° ;                     

hello_html_4a741859.png β   =   180 ° : 3   =   60 °   ;  

      hello_html_4a741859.png α   =     2 • hello_html_4a741859.png β     =     2 • 60 °     =     120 ° .    

      О т в е т :     hello_html_4a741859.png α   =   120 ° ,     hello_html_4a741859.png β     =   60 ° .    

infourok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск