Правило произведения и суммы в комбинаторике: Комбинаторика. Правила суммы и произведения. Решение задач

Содержание

Комбинаторика. Правило суммы. Правило произведения

1. КОМБИНАТОРИКА

2. Оглавление

Что
такое комбинаторика?
Факториал
Перестановки. Размещения. Комбинации
Правила суммы, произведения
Примеры решения задач
Выбор формулы
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова
«combina», что в переводе на русский означает – «сочетать»,
«соединять».
Комбинаторика — раздел математики, посвящённый
решению задач выбора и расположения элементов в
соответствии с данными условиями.
Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных специальностей.
С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам,
лингвистам, криптографам и другим специалистам.
Читаем:
n!
n (эн) — факториал
Произведение всех последовательных натуральных
чисел от 1 до n обозначается n!
n! = 1 · 2 · 3 · … · n

5. Перестановки. Размещения. Комбинации

Определение
Перестановкой з n элементов называется любое
упорядоченное множество (порядок элементов
существенен), которое состоит из n элементов.

Рn=n! ,
где Рn — число перестановок из n элементов.
Пример
Сколькими способами можно расставить на полке 5
книжек?
P5=5!=1*2*3*4*5=120
Размещением из m элементов по n называется любое Сколькими способами можно выбрать старосту класса
упорядоченное подмножество из n элементов данного и его заместителя, если в классе учатся 20 человек?
множества, которое содержит m элементов (n≤m).
m!
Amn
(m n)!
20!
20! 18! 19 20
A202
19 20 380
n
A m-число размещений m элементов по n ячейкам
(20 2)! 18!
18!
Комбинацией из m элементов по n называется любое Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурный,
подмножество из n элементов (порядок элементов
если в классе учится 20 учеников?
несущественен) данного множества, которое
содержит m элементов (n≤m).
m!
20!
20! 18! 19 20
C mn
C 202
19 10 190
n!(m n)!
2!(20 2)! 2! 18!
2 18!
где Сnm- число комбинаций из m элементов по n
ячейкам

6.

Правило суммы. Правило произведения Определение
Пример
Правило суммы. Если элемент А можно
выбрать m способами, а элемент В – n
способами (при этом выбор элемента А
исключает выбор и элемента В), то А и В
можно выбрать (m+n) способами.
Если в тарелке лежат 5 груш и 4 яблока, то
выбрать один фрукт можно 9 способами
(4+5=9).
Правило произведения. Если элемент А
можно выбрать m способами, а после этого
элемент В – n способами, то А и В можно
выбрать (m*n) способами.
Если в канцелярском магазине продают ручки
5 видов и тетради 4 видов, то выбрать набор
из ручки и тетради (т.е. пару – ручку и
тетрадь) можно 5*4=20 способами,
поскольку для каждой из 5 ручек можно взять
любую из 4 тетрадей.
Задача 1
На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд,
пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком,
кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?
Переберем все возможные
варианты
Ответ:15.
Задача 2
Несколько стран в качестве символа своего
государства решили использовать флаг в виде трёх
горизонтальных полос одинаковых по ширине, но
разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько
стран могут использовать такую символику, при
условии, что у каждой страны свой отличный от
других стран флаг?
P3 3! 2 3 6
?
?
?
?
?
?
Ответ:6.
?
?
?
?
?
?
?
?
?

11. Задача 3

На соревнование по легкой
атлетике приехала команда из 12ти спортсменок. Сколькими
способами тренер может
определить, кто из них побежит в
эстафете 4 по 100 м на первом,
втором, третьем и четвертом
местах?

12. Поскольку тренеру важно, в каком порядке будут бежать спортсменки, то порядок при выборе элементов учитывается. Количество

способов
выбрать из 12 спортсменок 4 для участия в
эстафете равна количеству размещений из 12
элементов по 4 (без повторений), т. е.
A124
Ответ: 11 880.
12!
12!
12 11 10 9 11880.
(12 4)! 8!

13. Задача 4

Сколько четных двузначных чисел можно составить
из цифр 0,1,2,4,5,9?
І способ
Переберем все возможные
варианты
0
2
4
1
10
12
14
2
20
22
24
4
40
42
44
5
50
52
9
Ответ: 15 чисел.
90
92
54
94
ІI способ
Воспользуемся формулой
комбинаций без повторений
Поскольку нам необходимо составить двузначные числа, то они не
1
могут начинаться на 0. Выбрать первую цифру из 5-ти можно C5
способами.
Чтобы число было четным, оно должно заканчиваться на 0, 2 или 4, т.е.
четное число можно выбрать C31 способами .
Тогда по правилу произведения четные двузначные числа можно
составить C 1 C 1 .
5
3
Получаем
C51 C31
Ответ:15 чисел.
5!
3!
5! 3!
5 3 15
1!(5 1)! 3!(3 1)! 1! 4! 1! 2!

16.

В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора? Задача 5
В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных
способов освещения коридора?
І способ
Переберем все возможные
варианты
Ответ: 8 способов.
ІІ способ
Воспользуемся правилом
умножения
Для каждой лампочки возможны два исхода, а лампочек три,
значит:
2 2 2 8
Воспользуемся формулой
размещений с повторениями
ІІІ способ
Нам необходимо разместить 2 предмета по трем ячейкам,
причем они могут повторяться. Имеем:
~
A n k 23 8
Ответ:8.

19. Выберите правило

№1. Из города А а город В ведут 5 дорог, а из города В в
город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать
из города А в город С?
5*3=15
№2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 по
геометрии и 5 по литературе. Сколькими способами можно
взять с полки одну книгу по математике?
4+3=7
№3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 –
десерта. Сколько различных обедов можно из них
составить?
4*3*2=24
Выбор формулы
Учитывается ли
порядок элементов?
Да
Все ли элементы
входят в соединение?
Да
Нет
Перестановки
Нет
Комбинации
Размещения
Без повторений
Без повторений
Pm m!
Amn
С повторениями
С повторениями
~
Pm
m!
k1 k 2 …k n
, где
k1 k 2 … k n m
~
n
m
m!
(m n)!
A m
n
Без повторений
C mn
m!
n!(m n)!
С повторениями
~
n
m
C Cm n 1
n

Формулы комбинаторики Лекция 3 Комбинаторные задачи Задачи

Формулы комбинаторики Лекция 3

Комбинаторные задачи Задачи, в которых из элементов некоторого конечного множества нужно составить комбинации, обладающие теми или иными свойствами, и посчитать число таких комбинаций, называются комбинаторными. Раздел математики, в котором они рассматриваются, называется комбинаторикой.

Основные правила комбинаторики Правило суммы Правило произведения

Правило суммы Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор « a или b » можно выполнить m+n способами.

Пример На первой полке книжного шкафа расположено 40 книг, а на второй – 30. Все книги различны. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с этих 2 полок? Ответ: 40+30=70

Правило суммы Теорема 1 Если конечные множества и не пересекаются, то число элементов в их объединении равно сумме элементов этих множеств

Правило произведения Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, то число способов выбрать пару (a, b) равно mn.

Декартово произведение Пусть Декартовым произведением множеств и называется

Правило произведения Теорема 2 Для конечных множеств и

Доказательство Для множеств и элементы : … выпишем все

Доказательство Получили

Правила суммы и произведения могут быть обобщены на случай большего числа множеств и доказаны методом математической индукции.

Пример Сколько существует пятизначных чисел? Решение. Первая цифра любого пятизначного числа может быть любой, кроме нуля, то есть выбирается из множества

Решение Вторая, третья, четвертая и пятая цифры выбираются из множества всех цифр Каждое пятизначное число – упорядоченный набор 5 цифр числа, то есть число пятизначных чисел равно количеству элементов множества , то есть

Пример Сколько существует пятизначных чисел, кратных 5? Решение. Первая цифра любого пятизначного числа может быть любой, кроме нуля, то есть выбирается из множества

Вторая, третья и четвертая цифры выбираются из множества всех цифр Пятая цифра может быть либо 5, либо 0, то есть выбирается из множества Поэтому число пятизначных чисел равно

Замечание Приведенные решения демонстрируют, как используется правило произведения при решении задач. Обычно множества, из которых выбираются некоторые элементы, даже не вводятся, нужно просто знать число элементов этих множеств.

Существуют и другие решения рассмотренных задач. Число всех пятизначных чисел может быть найдено как разность между числом всех чисел от 1 до 99999 и числом чисел от 1 до 9999 (не являющимися пятизначными), то есть 99999 -9999=90000.

Число пятизначных чисел, кратных 5, равно так как на 5 делится каждое пятое число.

Выборки Пусть. Любой набор n элементов из множества A будем называть выборкой объема n. Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной, в противном случае – с повторениями.

Выборка называется упорядоченной, если в выборке важен порядок расположения элементов, в противном случае выборка называется неупорядоченной. Например, любое трехзначное число является упорядоченной выборкой объема 3 из множества.

Любое пятибуквенное слово, записанное на русском языке, является упорядоченной выборкой объема 5 из множества, содержащего все буквы русского алфавита. Если буквы в слове не повторяются – выборка бесповторная (например, слово «цифра» ), если же есть хотя бы 2 одинаковых буквы, то выборка с повторениями (например, слово «холод» ).

Сочетания и размещения Неупорядоченные выборки в комбинаторике называются сочетаниями, упорядоченные – размещениями.

Размещения Упорядоченные выборки объема n из множества, содержащего m элементов, называются размещениями из m элементов по n.

Число размещений из m элементов по n без повторений обозначается (А – первая буква французского слова arrangement – размещение, приведение в порядок). Число размещений из m элементов по n с повторениями обозначается.

Пример Составить размещения без повторений из элементов множества по 3 элемента. Решение

Теорема 3 Число размещений без повторений из m элементов по n определяется по формуле

Доказательство Число равно числу всех бесповторных упорядоченных выборок объема n из m элементов. В качестве первого элемента можно взять любой элемент множества, поэтому число способов выбрать первый элемент равно m.

Второй элемент из оставшихся элементов можно выбрать числом способов и т. д. ; n — й элемент можно выбрать из оставшихся элементов числом способов. По правилу произведения, получаем

После умножения и деления на формула приобретает вид Замечание. По определению

Пример Сколькими способами можно составить расписание из 6 различных уроков, если всего изучается 10 предметов? Расписание – упорядоченная бесповторная выборка объема 6 из 10 предметов, то есть размещение из 10 по 6.

Поэтому =151200

Теорема 4 Число размещений с повторениями из m элементов по n определяется по формуле

Доказательство Число способов выбрать каждый элемент выборки равно m. Поэтому в соответствии с правилом произведения

Пример На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно последовательно извлечь 3 звука? Ответ:

Перестановки без повторений Размещения без повторений из m элементов по m называются перестановками без повторений из m элементов. Число перестановок без повторений из m элементов обозначается (буква P – первая буква французского слова permutation – перестановка). По определению

Таким образом, число перестановок из m элементов

Пример Сколько перестановок без повторений можно получить из букв, составляющих слово «апельсин» ? Ответ: 8!=40320

Пример Собрание сочинений Джека Лондона состоит из 7 томов. Сколькими способами можно разместить эти 7 томов на книжной полке? Сколькими способами их можно расставить так, чтобы первый и второй тома стояли рядом?

Решение Ответ: 7!=5040; 2!6!=1440. Указание. «Склеиваем» первые два тома (это можно сделать 2! числом способов), расставляем 6 книг на полке.

Сочетания без повторений Неупорядоченные бесповторные выборки объема n , составленные из элементов множества, содержащего m элементов, называются сочетаниями без повторений из m элементов по n. Число сочетаний без повторений из m элементов по n обозначается (C – первая буква французского слова combination – сочетание).

Пример Составить сочетания без повторений из элементов множества по 3 элемента. Ответ:

Теорема 5 Число сочетаний без повторений из m элементов по n определяется по формуле

Доказательство Если составить все неупорядоченные выборки объема n из m элементов без повторений и совершить в каждой всевозможные перестановки, то получим все размещения из m элементов по n. Поэтому

Тогда По определению .

Пример Сколькими способами можно составить команду из четырех человек для участия в соревнованиях по бегу, если имеется 7 спортсменов? Ответ:

Свойства чисел 1. Свойство симметрии 2. Свойство Паскаля 3. Бином Ньютона.

Пример Определить число путей из А в В, если можно двигаться по отрезкам сети вправо и вверх?

Решение Обозначим один шаг вправо x, вверх – y. Тогда любой путь из А в В – последовательность из 11 букв, каждая из которых либо x, либо y. Тогда выделенным на рисунке путям соответствуют последовательности xxyxxxxyyxy; yyxxxyxyxxx. Число различных путей равно числу сочетаний из 11 по 4.

Правило суммы и произведения

Понятие комбинаторной задачи

Лекция № 13,14

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

 

В обыденной жизни нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

С теоретико–множественной точки зрения решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач по­стоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса не­редко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю на­чальных классов необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач.

 

В комбинаторике, которая возникла раньше теории множеств, пра­вило нахождения числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы и формулируют в таком виде:

Если объект а можно выбрать m способами, а объект b — k способами (не такими, как а), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+k способами.

Задача 1. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими спо­собами можно выбрать один плод?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью спо­собами, апельсин — четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, мож­но осуществить 5 + 4 = 9 способами.

Правило нахождения числа элементов декартова произведения двух множеств называют в комбинаторике правилом произ­ведения и формулируют в таком виде:

Если объект а можно выбрать т способами, а объект b – k спосо­бами, то пару (a, b) можно выбрать m . k способами.

Правило суммы и произведения, сформулированные для двух объ­ектов, можно обобщить и на случай t объектов.

Задача 2. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими спо­собами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью спо­собами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсин), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать 5. 4 = 20 способами.

 


Элементы комбинаторики правила суммы и произведения вывести формулы для числа сочетаний и размещений с повторением и без повтора

  1. Элементы комбинаторики, правила суммы и произведения. Вывести формулы для числа сочетаний и размещений с повторением и без повтора

1. Правило суммы. Если некоторое действие α можно выполнить т способами, а действие β выполнить и способами, причём любой способ выполнения действия α отличен от любого способа выполнения действия Д то сложное действие « или α, или β » можно выполнить т + п способами.

Это правило достаточно очевидно. Задачи, которые можно решить применением одного лишь правила суммы, чаще всего тривиальны. Обычно правило суммы ис­пользуют вместе с правилом произведения.

2. Правило умножения (произведения). Если некоторое действие α может быть выполнено т способами, а для каждого из этих способов некоторое другое действие β можно осуществить n способами, то сложное действие « и α, и β » можно осуществить т*п способами.

Пусть опыт состоит в выборе т элементов из и различных элементов множест­ва X без возвращения и с упорядочиванием их в последовательную цепочку. Раз­личными исходами данного опыта будут упорядоченные m — элементные подмно­жества множества X, отличающиеся друг от друга либо набором элементов, либо порядком их следования. Получаемые при этом комбинации элементов (элементар­ные исходы) называются размещениями без повторений из п элементов по т. Чис­ло всех таких размещений из n элементов по т обозначается символом Аmn.На первом месте в упорядоченной цепоч­ке может оказаться любой из и элементов множества X. После того, как заполнено первое место, на втором месте может оказаться любой из оставшихся n — 1 элемен­тов и т.д. Пользуясь правилом произведения, находим Аmn =п(п-1)(п-2)…(п-т+1)= n!/(п-т)! В частном случае т=п опыт фактически состоит в произвольном упорядочи­вании множества X и сводится к случайной перестановке элементов всего множе­ства (т. е. перестановка п элементов это размещение из n элементов по n). Число всех перестановок и элементов обозначается символом Рn, при этом Pn= Аmn= п(п-1)(п-2)…2*1= n!

Пусть опыт состоит в выборе т элементов из n различных элементов множест­ва X без возвращения и без упорядочивания. Различными исходами следует считать т — элементные подмножества множества X, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) называются сочетаниями без повторений из п элементов по т. Число всех таких сочетаний обозначается символом Сmn. Легко убедиться, что Сmn = Аmn /Pm=п(п-1)(п-2). ..(п-т+1)/m!= п! /(nm)!m!

Пусть опыт состоит в выборе т элементов из множества X = {x1, …, хn} с возвращением и с упорядочиванием их в последовательную цепочку. Различными исходами будут всевозможные т — элементные наборы (вообще говоря, с повторе­ниями), отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Например, при т = 4 множества ω1= {x1, x2, x1, x1}, ω2 = {x1, x1, x2,x1}, ω3 = {x1, x1, x1, x2} являются различными исходами данного опыта. Получаемые в результате комбинации называются размещениями из п элементов по т с повто­рениями, а их общее число определяется с помощью правила умножения формулой =nm.

Если опыт состоит в выборе с возращением т элементов множества X = {x1, …, хn}, но без последующего упорядочивания, то различными исхо­дами такого опыта будут всевозможные т — элементные наборы, отличающиеся хотя бы одним элементом. Например, при т= 4 наборы {x1, x2, x1, x1} и {x1, x1, x2,x1} совпадают, а набор {x1, x3, x1, x1} отличен от любого из предыдущих. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называются сочета­ниями с повторениями из п элементов по т, а их общее число определяется фор­мулой .

  1. Аксиоматическое определение вероятности, понятие сигмы-алгебры, сформулировать и доказать следствия из аксиом теории вероятности

Понятие σ-алгебры.

  1. Привести примеры вероятностных пространств, классическая схема, дискретное вероятностное пространство, геометрическая вероятность, решить задачу Буффона

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется: P= длина l/ длина L.

  1. Определение пространства элементарных событий случайного опыта. Понятие случайного события, операции над событиями, привести примеры.

  2. Понятие условной вероятности, свойства условных вероятностей, понятие независимости событий, свойства независимых событий с доказательствами

Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется число

Будем считать, что условная вероятность определена только в случае, когда .

Следующее свойство называется «теоремой умножения»: ,

если соответствующие условные вероятности определены (то есть если , ).

Теорема умножения для большего числа событий: , если соответствующие условные вероятности определены.

События и называются независимыми, если

Если события и несовместны, то они независимы если и только если или .

Если , то события и независимы .

Если , то события и независимы .

Лемма: Если события и независимы, то независимы и события и , и , и .

Доказательство.

Так как , и события и несовместны, то .Поэтому .

События называются независимыми в совокупности, если для любого набора

Если события независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события независимы.

  1. Вывести формулы полной вероятности и Байеса

Набор попарно несовместных событий таких, что для всех и , называется полной группой событий или разбиением пространства .

События , образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события могут быть сравнительно просто вычислены (вероятность событию произойти при выполнении «гипотезы» ) и собственно (вероятность выполнения «гипотезы»

формула полной вероятности.

Пусть  —  полная группа событий. Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле:

Доказательство. Заметим, что , и события попарно несовместны. Поэтому (используем в первом равенстве -аддитивность вероятностной меры, а во втором — теорему умножения)

формула Байеса:

Пусть  —  полная группа событий и  —  некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:

Доказательство.

По определению условной вероятности,

Последнее равенство следует из теоремы умножения и формулы полной вероятности.

  1. Последовательность независимых испытаний, вывести формулы Бернулли, полиномиальная схема испытаний.

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью , «неудача» — с вероятностью .

формула Бернулли.

Обозначим через число успехов в испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого

Доказательство.

Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов: . Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна .

Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна

  1. Предельная теорема в схеме Бернулли, вывести формулы Пуассона, сформулировать локальные и интегральные схема Лапласа

теорема Пуассона:

Пусть , так, что . Тогда для любого вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине

Доказательство.

Положим . при фиксированном и при . Тогда

В ф-ле мы использовали свойства и .

Докажем последнее свойство:

  1. Дать определение случайной величины, определение функции распределения, сформулировать и доказать свойства функции распределения

Функция называется случайной величиной, если для любого множество элементарных исходов является событием, то есть принадлежит -алгебре событий .

Функцией распределения случайной величины называется функция , при каждом равная

Функция распределения обладает следующими свойствами:

F1)  Функция распределения не убывает: ;

F2)  Существуют пределы и .

F3)  Функция распределения непрерывна слева: .

Доказательство свойства (F1).

Если , то . Поэтому .

Q.D.E.

Доказательство свойства (F2).

Замечание 12.

Если ряд, составленный из неотрицательных слагаемых , сходится, то есть существует , то «хвост» ряда стремится к нулю: .

Замечание 13.

Существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции . Так что остается доказать равенства

, и .

Замечание 14.

Если существует , то для произвольной последовательности такой, что , имеет место равенство .

 

По замечанию 14, для доказательства достаточно доказать, что при .

Представим событие (например) как счетное объединение событий:


Используя -аддитивность вероятности, и помня, что , получим:

и, по замечанию 12,

Но

и сходимость к нулю при доказана.

По замечанию 14, для доказательства достаточно доказать, что при , или что .

Представим событие (например :-)) как счетное объединение событий:

В силу -аддитивности вероятности,

и, по замечанию 12,

Но

и сходимость к единице при доказана.

Доказательство свойства (F3).

Согласно замечанию 14, достаточно доказать, что при . Или, что то же самое, доказать, что

Представим событие как счетное объединение событий:


В силу -аддитивности вероятности,

поэтому снова

Но , и эта вероятность, как мы только что видели, стремится к нулю с ростом . Тогда, по (12), при (непрерывность слева).

F4)   В любой точке   разница   равна  :

или, иначе,

F5)   Для любой случайной величины имеет место равенство . Если же функция распределения   непрерывна (для любого , или только в точках и ), то

Доказательство.

Доказывать нужно только равенство , поскольку все остальные равенства следуют из него с учетом следствия 4. Напомню, что этим равенством мы уже много раз пользовались, доказывая свойства (F2), (F3).

Заметим, что , и первые два события несовместны. Поэтому

или

,

что и требовалось доказать.

Свойство 6.

Случайная величина имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения  —  ступенчатая функция. При этом возможные значения  —  точки скачков , и  —  величины скачков

  1. Дискретная случайная величина, ряд распределения. Вывести законы распределения для геометрического и гипергеометрического распределений, биномиальное распределение и распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел такой, что:
а) для всех ;
б) .

То есть случайная величина имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Геометрическое распределение.
Говорят, что случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , где , и пишут , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха  .
Таблица распределения имеет вид

 

 1 

 2 

 … 

  

 … 

 . .. 

 … 

 

Распределение Пуассона.
Говорят, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , где , и пишут , если принимает значения с вероятностями .
Таблица распределения имеет вид

 

 0 

 1 

 … 

  

 … 

 … 

 . .. 

 

Гипергеометрическое распределение.
Говорят, что случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , и , где , , если принимает целые значения от до с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей белых шаров и не белых.

  1. Непрерывные случайные величины. Функция плотности и ее свойства с доказательствами (нормальное, показательное и равномерное распределения)

Случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция такая, что для любого функция распределения представима в виде

При этом функция называется плотностью распределения случайной величины .

Теорема 20.

Плотность распределения обладает свойствами:

(f1)   для любого ;

(f2)    .

Доказательство.

(f1) выполнено по определению плотности. Докажем (f2).

по свойству (F2) функций распределения.

Q.D.E.

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 3.

Если функция обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина на нем, для которой является плотностью распределения.

Доказательство.

Пусть есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции («подграфик» функции ). Площадь области равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область. Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого

 

то есть является плотностью распределения случайной величины .

Q.D.E.

Свойства плотностей

(f3)  Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.

Доказательство.
Этот факт следует из представления и непрерывности интеграла как функции верхнего предела.
Q.D.E.

Следствие 5.

Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то для любого .

(f4)  Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения дифференцируема почти всюду, и для почти всех .

Замечание 15.

Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл («площадь подграфика») от этого не изменится.

(f5)  Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то

Доказательство.
Действительно,

Остальные равенства вытекают из следствия 5.
Q.D.E.

Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:

Мы часто будем использовать обозначение   для функции распределения нормального распределения с параметрами    и  .

  1. Нормальный закон распределения, M(x), D(x)

  1. Показательное распределение, M(x), D(x)

  2. Равномерное распределение M(x), D(x)

  1. Понятие матожидания, его свойства с доказательством, матожидание для дискретной и непрерывной случайной величины

Определение 39.

Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с дискретным распределением, задаваемым таблицей , , называется число

Если же , то говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 40.

Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения называется число

Если же , то говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точки массу (для дискретного распределения), или «размазав» ее с плотностью (для абсолютно непрерывного распределения), то точка есть координата «центра тяжести» прямой.

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

E0.   Математическое ожидание случайной величины есть ЧИСЛО!

E1.   Для произвольной функции

Доказательство.

Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть принимает значения с вероятностями

.

Тогда

Q.D.E.

E2.    Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: .

E3.    Постоянную можно вынести за знак математического ожидания: .

Доказательство. Следует из свойства E1 при .     Q.D.E.

E4.   Математическое ожидание суммы любых случайных величин и равно сумме их математических ожиданий:

Доказательство.

Для величин с дискретным распределением: пусть и  –  значения и , соответственно. Для функции можно доказать свойство, аналогичное E1 (сделать это! ). Пользуясь этим свойством для , запишем:

Q.D.E.

E5.

1. Если п.н. ( «почти наверное», то есть с вероятностью  1:    ), то    ;

2. Если п.н., и при этом , то п.н., то есть .

Упражнение. Доказать для дискретного распределения!

Следствие 12.

1. Если п.н., то .

2. Если п.н., и при этом , то п.н.

E6.   Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

если и независимы, то .

Доказательство.

Q.D.E.

  1. Понятие дисперсии случайной величины, свойство дисперсии с доказательством, вывести формулу D(x)= M(x2) — (M(x))2

Число (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины .

Определение 42.

Если дисперсия величины конечна, то число называют среднеквадратическим отклонением случайной величины .

Чтобы прояснить связь моментов разных порядков, докажем несколько неравенств.

Теорема 26 (неравенство Йенсена).

Пусть функция выпукла (вниз :-)) ). Тогда для любой случайной величины с конечным первым моментом

Нам понадобится следующее свойство выпуклых функций, то есть таких, что для любых при всяком верно

 :

Лемма 8.

Пусть функция выпукла. Тогда для всякого найдется число такое, что при всех

Доказательство (предложено Дебеловым Алексеем, гр.871)

Положим

Тогда при . Докажем, что это неравенство верно и при , и заодно покажем, что конечно.

Пусть . Тогда принадлежит отрезку для любого , то есть существует такое, что

(15)

Но в силу выпуклости функции

(16)

Вспомним, что и подставим вместо и выражения, стоящие в правой части формул (16) и (15), соответственно:

Последнее выражение заведомо конечно, то есть . Более того, мы получили, что требуемое неравенство выполнено и для :

Q.D.E.

Доказательство теоремы 26.

Возьмем в условиях леммы , . Тогда . Вычислим математическое ожидание обеих частей неравенства. Так как , и неравенство между математическими ожиданиями сохраняется по следствию 12, то .

Q.D.E.

Следующее свойство показывает, что из существования моментов больших порядков следует существование моментов меньших порядков.

Следствие 13.

Если , то для любого

.

Доказательство.

Поскольку , то  —  выпуклая функция. По неравенству Йенсена для ,

Возведя обе части неравенства в степень , получим требуемое неравенство.

Q.D.E.

В частности, конечность второго момента (или дисперсии) влечет существование математического ожидания.

Следствие 14.

Если при некотором , то

.

Все свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.

D1.   .

Действительно,

Q.D.E.

D2.    .

Доказать!

D3.  

    1. ;

    2. если и только если п.н.

Доказательство.

Дисперсия есть всего-навсего математическое ожидание п.н. неотрицательной с.в.: , и неотрицательность дисперсии следует из свойства E5.

По тому же свойству, если и только если п.н., то есть E п.н.

Q.D.E.

D4.   Дисперсия не меняется от сдвига с.в. на постоянную: .

Доказать!

D5.    Если и независимы, то .

Действительно,

так как математическое ожидание произведения независимых с.в. равно произведению их математических ожиданий.

Q.D.E.

Замечание 20. См. замечание 19.

D6.    Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины от точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение от своего математического ожидания: .

Наименьший момент инерции стержня с распределенной на нем единичной массой получится, если точка вращения  —  центр тяжести стержня, а не любая другая точка.

Доказательство.

причем равенство достигается только для .

Q.D.E.

  1. Найти M(x), D(x) для распределений Бернулли, Пуассона, геометрического

Геометрическое распределение  

При

Равенство (*) появилось из-за нежелания дифференцировать сумму геометрической прогрессии, начинающейся не с 1, а с . Заметьте, что производная у добавленных слагаемых равна 0, так что производные от этих двух сумм равны.

Поэтому

Пример 36. Распределение Пуассона  

Доказать, что ,   так что    .

Пример 37. Равномерное распределение  

Пример 38. Стандартное нормальное распределение

поскольку под интегралом стоит нечетная функция, и сам интеграл абсолютно сходится (за счет быстро убывающей ).

Последнее равенство следует из того, что

,

а интеграл по всей прямой от плотности любого распределения равен 1. Поэтому

Пример 39. Нормальное распределение  

Мы знаем, что если , то , и  , . Поэтому

(17)

Какими свойствами математического ожидания и дисперсии мы воспользовались в формуле   (17)?

Пример 40. Показательное (экспоненциальное) распределение

Найдем для произвольного момент порядка .

В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:

Соответственно,

  1. Понятие ковариации, ее свойства, коэффициент корреляции, его свойства с доказательствами

Ковариацией случайных величин и называется число

Свойство 12.

 .

Упражнение 19. Доказать свойство 12, пользуясь свойствами математического ожидания.

Свойство 13.

a) ;

б) .

Свойство 14. 

Дисперсия суммы нескольких случайных величин вычисляется по любой из следующих формул:

Упражнение 20.

Доказать свойство 14, пользуясь равенствами и получив аналогичные равенства для квадрата суммы слагаемых.

Обсудим достоинства и недостатки ковариации, как величины, характеризующей зависимость двух с. в.

1. Если ковариация отлична от нуля, то величины и зависимы!

2. С гарантией о наличии зависимости мы можем судить, если знаем совместное распределение пары и , и можем проверить, равна ли (например) плотность совместного распределения произведению плотностей.

Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать математическое ожидание произведения и . Если нам повезет, и математическое ожидание произведения и не будет равняться произведению их мат. ожиданий, мы скажем, что и зависимы не находя их совместного распределения!

Пример 43.

Покажем, что с помощью ковариации можно судить о зависимости даже когда для вычисления совместного распределения недостаточно данных.

Пусть и  —  независимые случайные величины, и дисперсия отлична от нуля (то есть?). Докажем, что и зависимы.

(19)

Поэтому . Следовательно, и зависимы.

3. Жаль, что величина не является «безразмерной»: если — объем газа в сосуде, а — давление этого газа, то ковариация измеряется в кубометрах Паскали :). Иначе говоря, при умножении одной из величин , на какое-нибудь число ковариация тоже умножается на это число. Но умножение на число не сказывается на «степени зависимости» величин (они от этого «более зависимыми» не становятся), так что большое значение ковариации не означает более сильной зависимости.
Нужно как-то нормировать ковариацию, получив из нее «безразмерную» величину, абсолютное значение которой
    а) не менялось бы при умножении или сдвиге случайных величин на число;
    б) свидетельствовало бы о «силе зависимости» с. в.

Говоря о «силе» зависимости между с. в., мы имеем ввиду следующее. Самая сильная зависимость  —  функциональная, а из функциональных — линейная зависимость, когда п.  н. Бывают гораздо более слабые зависимости. Так, если по последовательности независимых случайных величин построить величины и , то эти величины зависимы, но очень «слабо зависимы»: через одно-единственное общее слагаемое . Сильно ли зависимы число гербов в первых 25 подбрасываниях монеты и число гербов в той же серии, но в испытаниях с 25-го по 90-е?

Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число

Замечание 21.

Чтобы разглядеть «устройство» коэффициента корреляции, распишем по определению числитель и знаменатель:

Здесь математикам уместно провести аналогии с «косинусом угла» между двумя элементами гильбертова пространства, образованного случайными величинами с конечным вторым моментом, снабженного скалярным произведением и «нормой», равной корню из дисперсии случайной величины, или корню из скалярного произведения .

Пример 44.

Рассмотрим продолжение примера 43, но пусть и будут не только независимыми, но и одинаково распределенными случайными величинами, и их дисперсия отлична от нуля. Найдем коэффициент корреляции величин и .

Согласно формуле (19),

Поэтому

Иначе говоря, коэффициент корреляции случайных величин и равен косинусу угла , образованного «векторами» и , где   «» и их «длина» одинакова.

Упражнение 21.

Чтобы аналогия не заходила слишком далеко, и у читателя не возникло искушения любые случайные величины рисовать стрелочками на плоскости и вместо подсчета математических ожиданий измерять углы, предлагаю убедиться, например, что коэффициент корреляции величин и равен:

а) нулю, если имеет нормальное распределение с нулевым средним;

б) , если имеет показательное распределение с любым параметром.

Определение 45.

Случайные величины и называют некоррелированными, если (или если  —  в том случае, когда коэффициент корреляции существует).

Замечание 22.

Если одна из величин и  —  постоянная, то эти величины независимы (проверить по определению!), и (проверить по определению!). Естественно в этом случае тоже полагать, что и «некоррелированы», хотя коэффициент корреляции не определен (дисперсия постоянной равна 0).

Всюду далее специально не оговаривается, но предполагается, что коэффициент корреляции существует.

Теорема 27.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами.

1. Если с. в. и независимы, то .

2. .

3. , если и только если с. в. и с вероятностью 1 линейно связаны, т.е. существуют числа и такие, что .

Доказательство.

1.   Свойство 1 мы уже много раз (сколько?) упоминали и один раз доказали.

2.  Для доказательства 2 нам понадобится одно преобразование, называемое «стандартизацией» случайной величины: с его помощью из с. в. с конечным вторым моментом (не постоянной) получают с. в. с нулевым математическим ожиданием («центрированную») и единичной дисперсией («нормированную»).

Определение 46.

Пусть конечна и отлична от нуля. Определим случайную величину так:

Преобразование называется стандартизацией случайной величины , а сама с. в. называется стандартизованной, или (слэнг!) центрированной и нормированной версией с. в. .

Упражнение 23.

Обяснить, будет ли распределение

а) нормальным, если распределена по нормальному закону;
б) равномерным, если имеет равномерное распределение;
в) биномиальным, если имеет биномиальное распределение;
г) показательным, если имеет показательное распределение;

(и т. д.)

Свойство 15.

Стандартизованная с. в. имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Доказательство.

Воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:

Не забудьте у каждого знака равенства написать, в силу какого свойства, утверждения или определения это равенство верно!

Q.D.E.

Возвращаясь к доказательству 2, заметим, что

где и  —  стандартизованные версии с. в. и .

Теперь воспользуемся неравенством , или . Подставим вместо , вместо и возьмем математические ожидания от обеих частей неравенства:

(20)

Пользуясь точно так же неравенством , или , получим

(21)

Таким образом, , что и требовалось доказать.

3. В одну сторону утверждение проверяется непосредственно:

Воспользоваться свойствами математического ожидания и дисперсии и доказать, что

Не забудьте, что , а не просто !

Докажем вторую часть: если , то существуют числа и такие, что .

Рассмотрим сначала случай . Это возможно только если единственное неравенство в формуле (20) превращается в равенство:

,

или

Но по свойству E5 математического ожидания равенство нулю мат. ожидания неотрицательной с. в. означает, что эта величина п.н. равна нулю:

В случае нужно рассмотреть единственное неравенство в формуле (21) и повторить рассуждения.

Тем самым теорема 27 доказана.

Q.D.E.

Полезно знать следующие часто употребляемые термины.

Определение 47.

Говорят, что величины и отрицательно коррелированы, если ; говорят, что величины и положительно коррелированы, если .

Смысл знака коэффициента корреляции особенно ясен в случае . Тогда знак равен знаку в равенстве п.н. То есть означает, что чем больше , тем больше и .Напротив, означает, что чем больше , тем меньше . Похожим образом можно трактовать знак коэффициента корреляции и в случае, когда , помня при этом, что зависимость величин и теперь уже не линейная и, возможно, даже не функциональная.

  1. Доказать неравенство Чебышева

Если , то для любого положительного

Доказательство.

Введем новую случайную величину , называемую «срезкой» с. в. на уровне :

Нам потребуется следующее понятие.

Определение 50.

Пусть  —  некоторое событие. Назовем индикатором события случайную величину , равную единице, если событие произошло, и нулю, если не произошло.

По определению, имеет распределение Бернулли с параметром , и ее математическое ожидание равно вероятности успеха .

Случайную величину можно представить в виде (проверьте!).

Тогда

(22)

Первое слагаемое мы отбросили, поскольку оно неотрицательно.

Вспомним, что , и оценим снизу согласно (22):

Итак, , что и требовалось доказать.

Q.D.E.

Следующее неравенство мы будем называть «обобщенным неравенством Чебышёва».

Следствие 15.

Пусть функция монотонно возрастает и неотрицательна на . Если , то для любого положительного

Доказательство.

Заметим, что ,поскольку функция монотонно возрастает, и оценим последнюю вероятность согласно неравенству Маркова:

Q.D.E.

В 1853 г. И. Бьенеме   (Irénée-Jules Bienaymé) и в 1866 г., независимо от него, Пафнутий Львович Чебышёв прямыми методами доказали неравенство, которое нам будет удобно получить в качестве следствия из неравенства Маркова.

Следствие 16 (неравенство Чебышёва-Бьенеме).

Если , то

Доказательство.

Воспользуемся следствием 15 с функцией .

Q.D.E.

В качестве следствия получим так называемое «правило трех сигм», которое формулируют, например, так: вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, мала. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, эта вероятность равна 0,0027  —  см. свойство 11. Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для «вероятности с. в. отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии».

Следствие 17.

Если , то   .

Доказательство. Согласно следствию 16,    .     Q.D.E.

  1. Доказать теорему Чебышева, сформулировать закон больших чисел в форме Бернулли и для среднего арифметического. Сформулировать центральную предельную теорему.

Определение 51.

Говорят, что последовательность с. в. с конечными первыми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ), если

(23)

Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность с. в. «удовлетворяет закону больших чисел».

Выясним сначала, что означает и когда выполнен ЗБЧ для последовательности независимых и одинаково распределенных с. в.

Заметим, что если с. в. одинаково распределены, то математические ожидания у них одинаковы (и равны, например, ), поэтому свойство (23) можно записать в виде   .

Итак, законы больших чисел.

Теорема 29 (ЗБЧ в форме Чебышёва).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая с. в. не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение остается верным, если требовать существования только первого момента.

Доказательство.

Обозначим через сумму первых с. в., а через  —  их среднее арифметическое. Тогда

Пусть . Воспользуемся неравенством Чебышёва (следствие 16):

(24)

при , поскольку , по условию, конечна.

Q.D.E.

Замечание 24.

Мы не только доказали сходимость, но и получили оценку для вероятности среднему арифметическому любого числа независимых и одинаково распределенных величин отличаться от более чем на заданное число:

(25)

Предлагаю, кроме того, читателям извлечь из неравенства (24) в доказательстве ЗБЧ Чебышёва доказательство следующего утверждения.

Следствие 18.

Последовательность с. в. с конечными вторыми моментами удовлетворяет ЗБЧ, то есть

при выполнении любого из следующих условий:

а)

если , то есть при ;

б)

если независимы и , то есть

в)

если независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (ЗБЧ Чебышёва).

Скоро мы докажем (иными методами, чем Александр Яковлевич Хинчин) следующее утверждение.

Теорема 30 (ЗБЧ в форме Хинчина).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным первым моментом имеет место сходимость:

Более того, в условиях теоремы 30 имеет место «почти наверное» сходимость к . Но этого мы уже доказывать не будем.

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли  —  утверждение только для схемы Бернулли.

Теорема 31 (ЗБЧ Бернулли).

Пусть    —  событие, которое может произойти в любом из   независимых испытаний с одной и той же вероятностью  . Пусть  —  число осуществлений события в испытаниях. Тогда

 .

При этом для любого

Доказательство.

Заметим, что есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха (индикаторов того, что в соответствующем испытании произошло ):

.

Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме Чебышёва и неравенством (25) из замечания 24.

Q.D.E.

  1. Задачи мат. статистики. Понятие генеральной и выборочной совокупности, группировка данных, полигон, гистограмма и эмпирическая функция распределения.

  2. Задачи оценивания неизвестных параметров генеральной совокупности, свойства оценок, понятие доверительного интервала.

  3. Выборочное среднее и его свойства с доказательством

  4. Выборочная дисперсия и ее свойства с доказательствами

  5. Задачи проверки статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода, мощность критерия.

  6. Понятие эмпирической линии регрессии, метод наименьших квадратов, нахождение теоретических линии регрессии, вывести систему нормальных уравнений для нахождения коэффициентов линейной регрессии

  7. Вывести формулу нахождения вероятности попадания в интервал нормально распределенной случайной величины, правило трех сигм

  8. Понятие n-мерного случайного вектора, многомерная функция распределения и ее свойства с доказательством для n=2

  9. Понятие независимости случайных величин.

Случайные величины независимы, если для любого набора множеств , …, (из борелевской -алгебры  —  для тех, кто прочитал, что это такое, или произвольных  –  для тех, кто не прочитал) имеет место равенство:

Это определение можно сформулировать в терминах функций распределения:

Определение 35.

Случайные величины независимы, если для любых имеет место равенство:

Для случайных величин с дискретным распределением эквивалентное определение независимости выглядит так:

Определение 36.

Случайные величины с дискретным распределением независимы, если для любых имеет место равенство:

Для случайных величин с абсолютно непрерывным совместным распределением определение независимости можно сформулировать так:

Определение 37.

Случайные величины с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы, если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин , то есть для любых имеет место равенство:

.

Доказательство.

Докажем эквивалентность определений 35 и 37. По теореме 22, если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение. Пусть случайные величины независимы в смысле определения 35, то есть для любых

Равенство двух синих интегралов при всех значениях влечет равенство подынтегральных выражений, то есть независимость в смысле определения 37. Для доказательства в обратную сторону можно использовать те же равенства, но в другом порядке.

86288 (Элементы комбинаторики) — документ, страница 2

Итак, давайте решим несколько задач.

Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?

Ответ: всего 8 чисел.

В четверг в первом классе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Ответ: всего можно составить 6 вариантов расписания.

Запишите все трехзначные числа, которые можно составить из цифр 0, 5, 9, используя при записи числа каждую цифру только один раз. Сколько всего таких чисел можно составить?

Ответ: всего 4 числа.

А теперь давайте сделаем так: мальчики решают задачу: Данила, Андрей и Коля собрались потренироваться в бросании мяча в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто за кем будет бросать мяч в корзину. Сколькими способами они могут занять очередь?

Девочки решают задачу: в костюмерной танцевального кружка имеются зелёные и жёлтые кофты, а также синие, красные и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов?

Домашнее задание

Откройте дневники и запишите домашнее задание. Решить задачи на карточках.

  1. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?

  2. В палатке имеется 3 сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо? Наташа и Данил решили купить по одной порции каждого сорта мороженого. Сколько существует вариантов такой покупки?

Итог урока

Урок 4. Правило суммы и правило произведения

Цели:

  • познакомить учащихся с правилами произведения и суммы в комбинаторике;

  • закрепить правила с помощью решения задач;

Оборудование:

Ход урока

  1. Сообщение темы и целей

  2. Домашнее задание на карточках

  1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «ЗДАНИЕ»? (в слове «здание» 3 согласных и 3 гласных буквы. По правилу произведения получаем 3*3=9 способами)

  2. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Решите эту же задачу, если нет ограничений на цвет квадратов; если надо выбрать два белых квадрата. (На шахматной доске 64 клетки: 32 белых квадрата, 32 черных квадрата. По правилу произведения получаем число выбора двух квадратов: одного черного и одного белого: 32*32=1024.

Если нет ограничений на цвет, то первый квадрат можно выбрать 64 способами, а второй – 63 способами (один квадрат уже выбран), следовательно, 64*63=4032

Если надо выбрать два белых квадрата, то первый квадрат можно выбрать 32 способами, а второй квадрат – 31 способом, поэтому, 32*31=992.

  1. Повторение

Решить задачу: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 5, 8?

Ответ: 18 чисел

  1. Работа по новой теме

Правило сложения: если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m+n способами.

Например: на тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можно осуществить 5+4=9 способами.

Задача 1: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение: составим дерево возможных вариантов.

Эту задачу можно решить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4∙3∙2, т.е. 24.

Сформулируем правило умножения: если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить m∙п способами.

Например, решите задачу с помощью правила умножения: сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?

По правилу умножения получаем: 4∙4∙4∙4=256 чисел.

Правило умножения можно также проиллюстрировать.

Задача 2: из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение: Пусть из города А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2∙3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2∙3∙2=12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Например: из пункта А в пункт В можно попасть десятью путями, а из пункта В в пункт С – девятью путями. Сколько имеется маршрутов из пункта А в пункт С через пункт В?

Решение: 10∙9=90 маршрутов

Задача 3: В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение: первое блюдо можно выбрать тремя способами, второе – пятью и третье – двумя, отсюда, по правилу умножения получаем 3∙5∙2=30 способами.

  1. Первичное закрепление знаний

  1. Сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 10 можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Каждую цифру можно использовать в записи только один раз.

  2. Сколько пятизначных чисел, делящихся на три, можно составить из цифр 3, 4, 6, 7, 9 если каждое число не содержит одинаковых цифр?

  3. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «567»?

  4. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «45»?

  5. Сколько чётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 5, 9, 6, 0, так, чтобы цифры в числе не повторялись?

  6. Сколько чётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4?

6. Итог урока

Урок 5. Самостоятельная работа по темам: «Поиск закономерностей», «Дерево возможных вариантов», «Правило произведения»

Цели:

  • проверить знания по темам: «Поиск закономерностей», «Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов», «Правило суммы и правило произведения».

Оборудование: карточки с самостоятельной работой

Ход урока

  1. Сообщение темы и целей

  2. Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

1. Сколько чисел, меньших ста, можно составить из цифр 0, 1, 2?

2. У рояля 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 4 звука?

3. Сколько различных танцевальных пар (юноша, девушка) можно составить из пяти юношей и восьми девушек?

4. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных двух цифр? Запишите их. Какова разность между самым большим и самым маленьким числом? Постройте дерево возможных вариантов.

5. Выявите закономерность и запишите число:

6. На тарелке лежат 10 яблок и 6 апельсинов. Сколькими способами можно выбрать один плод?

7. Из города А в город В ведут три дороги, а из В в С – две дороги. Сколькими способами можно пройти из А в С через В? Покажите чертеж.

8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Ответы и решения

1. 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22. Всего 9 чисел

2. 88∙88∙88∙88=59 969 536 способами

3. 5∙8=40 пар

4. 3∙3∙3=27

Самое большое число: 777

Самое маленькое число: 333

777 – 333 = 444 – разность

5. 24

6. 10+6=16 способами

7. 3∙2=6 способами

8. а) 60 чисел

б) 243 числа

  1. Итог урока

Урок 6. Размещения

Цели:

  • сформулировать определение размещений с повторениями, размещений без повторений

  • закрепить на решении задач число размещений с повторениями, без повторений;

  • рассмотреть понятие «кортеж», «факториал».

Оборудование: аншлаги с формулами

Ход урока

  1. Сообщение темы и целей

  2. Домашнее задание на карточках

  1. Сколько букв русского алфавита можно закодировать, используя лишь комбинации точек и тире, содержащие только три знака? ( )

  2. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать? ( )

  3. В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из них староста и казначей?

  4. В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

  1. Повторение

Решить задачу: сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А,В,С,D,E и F?(60)

4. Работа по теме.

— Вспомните, что такое кортеж? Кортеж – это множество, в котором порядок элементов строго определен.

— Мы также часто можем встретить задачи, в которых нужно сосчитать число размещений с повторениями

4.1. Понятие «размещений с повторениями»

Множества, из элементов которых составляются кортежи, могут иметь общие элементы. В частности, все они могут совпадать с одним и тем же множеством, состоящим из п-элементов.

Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, называют размещениями с повторениями из п элементов по k.

Число размещений с повторениями находится по формуле:

Вычислите: ;

Решение: = 53=125; =35=243.

Понятие «факториал»

Произведение всех чисел от 1 до n называется факториалом и обозначается n!. В комбинаторике 0!=1 и 1!=!

Задача. Вычислите: 4!; 6!.

4!=4*3*2*1=24

6!=6*5*4*3*2*1=720

— Запишем в тетрадь таблицу

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

n!

2

6

24

120

720

5 040

40 320

362 880

3 628 800

39 916 800

Правило суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются наиболее часто.

Понятие «размещений без повторений»

Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число размещений без повторений

Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, так что все элементы каждого кортежа должны быть различными, называют размещениями без повторений из п элементов по k, а их число обозначают .

При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений без повторений находится по формуле:

Задача. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,3,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз? Постройте дерево возможных вариантов.

Решение: по формуле получаем: способов

5.Закрепление

Задача 1. Для запирания автоматической камеры применяется секретный замок, который открывается лишь тогда, когда набрано «тайное слово». Это слово набирают с помощью пяти дисков, на каждом из которых изображено 12 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающего его наудачу?

Решение. Из условия задачи видно, что порядок выбираемых букв очень важен. Поэтому мы имеем дело с кортежем длиной 5 (пять дисков). Каждый элемент кортежа может быть выбран 12-ю способами (букв на каждом диске 12). Поэтому число комбинаций 125=248 831.

Задача 2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9, если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?

Решение. Порядок цифр важен, т.к. 2678 или 6278 – это разные числа. Поэтому имеем дело с кортежем длины 4 (четырехзначное число), каждый элемент которого можно выбрать пятью способами (цифр дано пять). Следовательно, число различных комбинаций равно 45=1024.

Задача 3. На референдуме предложены четыре вопроса, на которые надо ответить «да» или «нет». Сколько есть возможностей заполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?

Решение. Получаем кортеж длины 4 (столько вопросов в бюллетене), каждый элемент может быть выбран двумя способами («да» или «нет»). Поэтому число различных возможностей равно 24=16

Начальные сведения комбинаторики. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

Вход Вход Регистрация Начало Новости ТОПы Учебные заведения Предметы Проверочные работы Обновления Переменка Поиск по сайту Отправить отзыв
    Предметы
  • Алгебра
  • 11 класс
  1. Правило суммы

  2. Правило произведения

  3. Перестановки.

    Перестановки без повторений
  4. Размещения. Размещения с повторениями

  5. Сочетания и их свойства

  6. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Отправить отзыв Нашёл ошибку? Сообщи нам! Copyright © 2022 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение

Пракикум «решение задач по комбинаторике».

Методы решения комбинаторных задач

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *…*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая — из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =…n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*…*n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 1. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

Решение. В рукопожатии участвует «подмножество», состоящее из двух студентов (m=2), тогда как всё множество» студентов составляет 8 человек (n=8). Так как в процессе рукопожатия порядок не важен, выбираем формулу для числа сочетаний:

Задача. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Решение . Порядок важен, так как перестановка материи внутри трехцветного флга обозначает разные страны. Поэтому выбираем формулу числа размещений без повторений, где множество отрезков материи n = 5, а подмножество цветов m=3:

Задача 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

Решение . Множество включает 6 языков n=6. Поскольку перевод есть отношение между двумя языками, то m=2, причем порядок важен, так как, например, словари русско-английский и англо-русский имеют различное применение. Поэтому выбираем размещения без повторений:

Задача 3. Сколько имеется вариантов составления расписания на понедельник, если предметов у студентов 9, а в понедельник 4 пары занятий, и предметы не повторяются?

Решение . а) Для студентов порядок не важен, поэтому выбираем формулу числа сочетаний:

б) Для преподавателей порядок важен, поэтому выбираем формулу размещений без повторений:

Задача 4. Сколькими способами можно расставить на книжной полке девять книг, среди которых есть трехтомник А.С. Пушкина?

Решение .

Так как три тома, входящие в трехтомник, должны стоять рядом, причем по возрастанию номера славе направо, то рассматриваем их как один элемент данного множества, в котором имеется еще 6 элементов. Поэтому выбираем перестановки без повторений во множестве, содержащем семь элементов:

Р 7 = 7! = 5040

Задача 5. Сколькими способами можно назначить в группе из 30 человек трех дежурных?

Решение .

а) Если их роль в процессе дежурства одинакова, то порядок не важен, поэтому выбираем сочетания без повторений:

С 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

б) Если порядок важен, т.е. во время дежурства их функциональные обязанности различны, то по формуле размещения без повторений имеем:

А 3 30 = 30! / 27! = 24360

Задача 6. Сколько существует шестизначных телефонных номеров, у которых: а) возможны любые цифры; б) все цифры различные?

Решение.

а) 1. Так как в шестизначном наборе телефонного номера возможны любые цифры, то на каждом из шести мест может встретиться любая из 10-ти цифр от 0 до 9. Необходимо из всех возможных десяти цифр выбрать лишь те шесть, которые будут испльзованы для для шастизначных телефонных номеров. Поскольку в записи телефонных номеров порядок расположения цифр важен, по формуле размещений с повторениями имеем:

А 10 6 = 10 6 = 1000000

2. Как известно, не бывает шестизначных номеров, начинающихся с нуля, поэтому надо подсчитать их количество и вычесть его из общего числа комбинаций. Число номеров, первая цифра у которых 0, найдем по формуле размещений с повторениями, «зафиксировав» ноль т.е. на каждом из пяти остальных возможных мест может встретиться любая из десяти цифр от
0 до 9. Тогда число таких комбинаций:

А 10 5 = 10 5 = 100000

3. Общее число шестизначных телефонных номеров, у которых могут быть любые, в том числе и повторяющиеся, цифры, равно разности:

А 10 6 – А 10 5 = 10 6 – 10 5 = 1000000 – 100000 = 900000

б) 1. Пусть теперь в шестизначном наборе все цифры различные. Необходимо из всех возможных десяти цифр выбрать лишь те шесть, которые используются для шестизначных телефонных номеров, причем никакая цифра не повторяется. Тогда по формуле размещений без повторений имеем:

А 10 6 = 10! / (10 – 6)! = 5х6х7х8х9х10 = 151200

2. Поскольку шестизначных номеров, начинающихся с нуля, не бывает, надо посчитать их количество и вычесть его из общего числа комбинаций. Число номеров, первая цифра у которых 0, найдем по формуле размещений без повторений, «зафиксировав ноль», т.е. на каждом из пяти оставшихся возможных мест могут встретиться цифры от 0 до 9. Тогда число таких комбинаций найдем по формуле размещений без повторений. Имеем:

А 10 5 = 10! / (10-5)! = 6х7х8х9х10 = 30240

3. Общее число шестизначных телефонных номеров, у которых не может быть повторяющихся цифр, равно разности:

А 10 6 – А 10 5 = 10 6 – 10 5 = 151200 – 30240 = 120960

Задача 7. Сколькими способами можно выделить делегацию в составе трех человек, выбирая их среди четырех супружеских пар, если:

а) в состав делегации входят любые трое из данных восьми человек;

б) делегация должна состоять из двух женщин и одного мужчины;

в делегацию не входят члены одной семьи?

Решение.

а) Порядок не важен:

С 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

б) Выберем двух женщин из имеющихся 4-х С 4 2 способами и одного мужчину из 4-х С 4 1 способами. По правилу произведения (и мужчина, и две женщины) имеем С 4 2 х С 4 1 = 24.

в) Из четырех семей выбираем 3-х членов делегации четырьмя способами (т.к. С 4 3 = 4! / 3!1! = 4). Но в каждой семье имеется по два способа выбора члена делегации. По правилу произведения С 4 3 х2х2х2 = 4х8 =32.

Задача 8. В колледже учится 2000 студентов. Можно ли утверждать, что хотя бы двое из них имеют одинаковые инициалы и имени, и фамилии?

Решение.

В русском алфавите 33 буквы, из них ъ, ь, ы, й не могут быть использованы, поэтому n = 33-4 = 29. Каждая из 29 букв может быть инициалом и имени,и фамилии. По правилу произведения 29х29 = 841

В последние годы все больше внимания уделяется проблемам развивающего обучения. Небывалый рост объема информации требует от современного человека таких качеств, как инициативность, изобретательность, предприимчивость, способность быстро и безошибочно принимать решения. А это невозможно без умения работать творчески, самостоятельно. Если в недавнем прошлом основной задачей, стоящей перед учителем, была передача ученикам определенной суммы знаний, то в настоящее время на первый план выдвигается задача развития учащихся в процессе обучения. Обучение математике должно быть ориентировано не столько на собственно математическое образование, в узком смысле этого слова, сколько на образование с помощью математики.

Развитие математического мышления и творческих способностей осуществляется в ходе размышлений учащихся над задачами. Самостоятельная деятельность учащихся по решению задач занимает главное место в обучении математике. Умение решать задачи – критерий успешности в учебе. Очень важно показать, как обычную жизненную ситуацию можно описать математической моделью.

Материалы разработки могут быть использованы как в рамках урока (5 – 7 класс), так и на занятиях математического кружка или факультатива.

Целью разработки является повышение математической культуры учащихся, пробуждение и развитие устойчивого интереса к математике, расширение и углубление знаний.

Основные задачи, решаемые внедрением разработки – это знакомство на популярном уровне с комбинаторикой – разделом дискретной математики, который приобрел сегодня серьезное значение в связи с развитием теории вероятностей, математической логики, информационных технологий . Учащиеся должны получить представление о том, что такое комбинаторная задача, познакомиться с методами и правилами ее решения.

На этом богатом материале повышается уровень математического и логического мышления учащихся, развиваются навыки исследовательской деятельности .

Пояснительная записка

Занятия по программе «Развивающее обучение на уроках математики» проводятся мною систематически в рамках учебного времени. Такие уроки я провожу в начале и в конце четверти, чтобы активизировать деятельность учащихся, пробудить и развить интерес к математике. Кроме этого, одну – две нестандартные задачи стараюсь рассмотреть на каждом уроке, наряду с программным материалом, развивая тем самым в учениках «вкус» к познанию. При подготовке к подобным занятиям использую материалы пособия «Математика: дополнительные главы – 5 класс», а также задания из УМК и.

План урока

· Организационный момент

· Актуализация знаний учащихся

· Исторический экскурс (сообщение ученика)

· Теоретический материал

· Решение задач (с элементами самопроверки)

· Постановка домашнего задания, повторение теории

· Самостоятельная работа (взаимопроверка)

· Подведение итогов урока

(раздаточный материал ) ПРИЛОЖЕНИЕ 1

К а р т а у р о к а

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»,

«Учиться нелегко, но интересно». Ян Амос Коменский (),

чешский педагог, писатель

тема урока ________________________________

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам.

Правило суммы

(выбор одного элемента)

А – m способов

В – n способов

А В – (m+n) способов

Например: 5 яблок, 4 груши.

Выбор яблока или груши:

5 + 4 = 9 способов

https://pandia.ru/text/78/021/images/image003_105.jpg»>

Правило произведения

(выбор пары,

нескольких элементов)

А – m способов

В – n способов

А В – (m·n) способов

Например: 2 конверта, 3 открытки.

Выбор конверта с открыткой:

2 · 3 = 6 способов

https://pandia.ru/text/78/021/images/image006_71.jpg»>

0 «>

__________________

__________________________________

№ 5. 1, 2, 3, 4, 5

__________________

__________________________________

№ 6. 0, 1, 2, 3

__________________

__________________________________

__________________

___________________________________

№ 7. 1, 3, 5, 7, 9; меньше 400

__________________

__________________________________

№ 8. _______________________________________________________________________________________________________________

______________________________________

№ 9. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

(раздаточный материал )

Задачи к уроку «Знакомьтесь, комбинаторика!»

1.

2. У одного знаменитого мушкетера в гардеробе имеются 3 элегантных шляпы, 4 чудных плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить?

3.

4.

5.

6. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться?

7.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

9. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

10.

11.

12. Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

«Переменка»

Найдите закономерность построения

последовательности 111, 213, 141,

516, 171, 819, 202, 122…

Домашнее задание

1) В 5 «б» классе 26 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя? старосту, заместителя и ответственного за дежурство?

2) В магазине купили 9 красных, 10 зеленых и 7 желтых воздушных шаров . Сколькими способами можно взять один любой шар? зеленый и желтый шар? красный или желтый?

3 шара разного цвета?

2 шара разного цвета? (рассмотреть

все возможные варианты)

Актуализация знаний.

Повторение пройденного (решение задач методом перебора).

«Счет и внимание – основы порядка в голове»

· Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 5 и 0

(без повтора)? 1 число (50)

· Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 3 и 5

(повтор допускается)? 4 числа (33, 55, 53, 35)

· Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 3 и 5

(повтор допускается)? 8 чисел (333, 555, 355, 533, 335, 553, 353, 535)

· Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 3, 8, 7

(без повтора)? 6 чисел (387, 378, 837, 873, 738, 783)

Используя количество полученных в каждом задании чисел, составить название темы сегодняшнего урока и вписать ее в карту урока: «Знакомьтесь, ___________________ !»

1 число – «комби»

2 числа – «вичи»

3 числа – «рум»

4 числа – «нато»

5 чисел – «тема»

6 чисел – «ка»

7 чисел – «аза»

8 чисел – «ри»

9 чисел – «немо»

10 чисел – «хор»

Ответ: «комбинаторика»

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Решая подобные задачи, приходится перебирать различные варианты, переставлять заданные элементы, комбинировать их. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Исторический экскурс (сообщение учащегося)

С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умения планировать, рассчитывать свои действия, продумывать возможные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона (II век до н. э.). А позже появились нарды, шашки, шахматы.

Долгие века комбинаторика развивалась внутри арифметики, алгебры и геометрии. Так, древнегреческие ученые большое внимание уделяли и комбинаторике чисел – составление и изучение магических квадратов, и геометрической комбинаторике – разрезанию фигур.

Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII веке. Гражданин Франции Шевалье Де Марэ любил изобретать различные игры, играя в которые, получал очень интересные результаты. Например, однажды он придумал такую игру: бросает 4 кости, выигрывает тот, у кого на одной есть шестерка. Но с ним очень быстро перестали играть, так как он слишком часто выигрывал. В другой раз Шевалье придумал такую игру: бросает две кости несколько раз, выигрывает, если хотя бы раз выпало две шестерки. Однако вскоре он сам бросил играть, так как стал часто проигрывать. Такой исход дела очень удивил Шевалье де Марэ, и он обратился к двум крупнейшим математикам Франции того времени – Блезу Паскалю и Пьеру Ферма с вопросом, как можно объяснить эти удачи и проигрыши в игре, а также, как правильно делать ставки в таких и в аналогичных играх.

Решая эту задачу, Блез Паскаль и Пьер Ферма разработали начало двух ветвей математики: комбинаторики и теории вероятности. Впоследствии этими науками занимались многие великие математики тех времен: , Якоб Бернулли, Леонард Эйлер и др.

Использование комбинаторики в настоящее время очень разнообразно. Одно из них – кодирование и расшифровка текстов (шифр появился еще в средние века). В биологии комбинаторика служит для подсчета клеточных структур ДНК и РНК, в физике – для описания свойств кристаллов. Также комбинаторика широко используется и в химии.

Теоретический материал.

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам (см. карту урока).

Обычный вопрос в комбинаторных задачах – это «Сколькими способами …?» или

«Сколько вариантов …?»

Комбинаторные задачи можно решать несколькими способами: методом перебора, перестановок (с ним мы уже знакомы), использование определенных правил комбинаторики (с ними мы познакомимся сегодня на уроке) и с помощью построения так называемого «дерева вариантов» (о нем мы поговорим позже).

Итак, начнем знакомиться с правилами комбинаторики – это правила суммы и произведения.

Правило суммы:

если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать (m + n) способами. Например, если вам предлагают 5 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 5 + 4 = 9 способами (см. карту урока).

а) В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

(15 вариантов)

б) В магазине продаются 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы. Сколькими способами можно купить один цветок? (9 способов)

Еще раз обращаем внимание на то, что мы выбираем лишь один из предложенных элементов.

Правило произведения:

если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В можно выбрать n способами, то выбор «А и В» можно сделать (m · n) способами. Например, если вам предлагают 2 конверта и 3 открытки, то составить пару (конверт и открытка) можно 3 · 2 = 6 способами (см. карту урока).

Устно решите следующие задачи:

а) Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек? (48 пар)

б) В столовой имеются в продаже 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать? (28 вариантов)

Обращаем внимание на то, что мы выбираем пару элементов из предложенных множеств.

Решение задач

Учащиеся работают на бланках карты урока в соответствующем разделе, тексты задач на отдельных листах у каждого ученика. Список задач можно изменять, добавляя или убирая некоторые вопросы в зависимости от уровня подготовки класса. Можно разбить задачи по уровню сложности, некоторые оставить для самостоятельного решения. В некоторых задачах полезно подчеркнуть, что они уже ранее решались методом перебора, а сегодня – второй способ их решения. Осуществить на этом этапе дифференцированный подход. Ввести элементы самостоятельной работы с последующей самопроверкой.

1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «платок»? (Согласных букв в слове – 4, гласных букв – 2, значит, по правилу умножения, вариантов выбора пары — 4 · 2 = 8. )

2. У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются 3 элегантных шляпы,

4 чудных плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно со —

ставить? (Выбираем по одному элементу из трех множеств, то есть, составляем

«тройку», значит, по правилу умножения получаем 3 · 4 · 2 = 24 варианта костюма.)

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать? (Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11-ю способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару, капитана и его заместителя, можно выбрать 11 · 10 = 110 способами.)

4. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр? (Должно получиться двузначное число – всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 · 3 = 9 способами, т. е. получится 9 чисел.

Запись решения:

3 ∙ 3 = 9 чисел.

Такая запись решения используется во всех подобных задачах при работе на бланках карты урока.)

5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется? (Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция, с учетом исключения повторов цифр, — 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 · 4 · 3 = 60 чисел.)

6. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры:

а) могут повторяться; б) не могут повторяться? (а) Двузначное число, как и любое мно-

гозначное, не может начинаться с 0, поэтому на первую позицию можно поставить

лишь 3 из имеющихся 4-х цифр, 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом по-

втора, можно поставить любую из цифр – 4 варианта выбора. Поэтому получается

3 · 4 = 12 чисел; б) Первая позиция – 3 варианта, вторая позиция – 3 варианта, т. к.

повтор исключается. Получаем 3 · 3 = 9 чисел.)

7. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая цифра может быть использована только один раз? (Трехзначное число

8. Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра? (5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 вариантов.)

9. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено

6 приборов? (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.)

10. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные? (8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 вариантов.)

11. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9? (Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем 8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 номеров. )

12. Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр

8 и 9? (Однозначных чисел – 2, двузначных чисел — 2 · 2 = 4, трехзначных чисел –

2 · 2 · 2 = 8, четырехзначных чисел – 16, пятизначных чисел – 32, шестизначных

чисел – 64. А всего — 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126 чисел.)

«Переменка»

Найдите закономерность построения последовательности 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122… (В данной последовательности надо иначе расставить запятые, и получим 11, 12, 13, 14, 15…)

Постановка домашнего задания (см. приложение 2) , повторение теоретического материала (правила сложения и умножения, условия выбора элементов).

Самостоятельная работа (с последующей взаимопроверкой в парах)

· Выбор одного любого элемента из предложенных множеств выполняется по правилу ______________________. Выбор пары и более элементов из множеств происходит по правилу ______________________.

· В вазе стоят 5 красных, 3 белых и 3 желтых тюльпана. Один цветок из вазы можно выбрать _______ способами, три цветка разного цвета ________ способами.

· Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если их повтор допускается? ____________________________________________________________

· В четверг в первом классе должно быть 4 урока: письмо, чтение, математика, физкультура. Сколько различных вариантов расписания на этот день можно предложить?

_________________________________________________________________________________

Ответы: сложения, умножения, 11, 45, 2 · 2 · 2 =8, 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Взаимопроверка, выставление оценок, обсуждение результатов.

Подведение итогов урока

На этом этапе урока, помимо традиционной беседы о том, какие задачи ставились, насколько успешно с ними справились, следует вернуться к эпиграфу урока (см. бланк карты урока) и поразмышлять о словах.

Кроме того, ученикам предлагается ответить на 3 блиц — вопроса:

· На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)

· Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)

· Моя самооценка за урок …

Ответы на приведенные вопросы можно не подписывать, т. к. их основная функция помочь учителю проанализировать урок и его результаты.

П о с л е с л о в и е

На следующем уроке предполагается отработка пройденного материала на этапе устной работы, введения понятия «дерево возможных вариантов» как еще одного способа решения комбинаторных задач, систематизация изученных методов решения задач, практикум по решению задач различными способами, решение задач повышенного уровня, контроль знаний.

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения .

  • Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

  • Правило произведения

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 3 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

n! = 1 2 3 4 … n.

Например, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 2 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов .

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

Ответ: 15 вариантов.

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?

Ответ: 9 вариантов.

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Ответ: 15 путей.

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

Ответ: 8 способами.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

Ответ: 48 пар.

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

Ответ: 24 способа.

14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

Ответ: 120 способов.

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

Ответ: 336 способов.

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ

4 3 2 1 = 24

Ответ: 24 варианта.

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 7 6 5 4 = 6720

Ответ: 6720 вариантов.

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 4 3 2 1 = 120

Ответ: 120 вариантов.

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

6 5 4 3 2 1 = 720

Ответ: 720 способов.

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Ответ: 8.000.000 вариантов.

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394

10 10 10 10 = 10.000

Ответ: 10.000 абонентов.

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

Ответ: 30 способов.

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел?

5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 4 3 2 1 = 48

Ответ: 48 чётных чисел.

26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?

Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

1 4 3 2 = 24

Ответ: 24 числа.

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Ответ: 4500 чисел.

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Ответ: 125 чисел.

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 2 = 4
Трёхзначных – 2 2 2 = 8
Четырёхзначных – 2 2 2 2 =16
Пятизначных – 2 2 2 2 2 = 32
Шестизначных – 2 2 2 2 2 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Ответ: 126 чисел.

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

Ответ: 110 способов.

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

Ответ: 870 способов.

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

12 10 2 = 240

Ответ: 240 способов.

33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

При решении многих практических задач приходится использовать комбинации элементов, выбирать из данной совокупности те, которые имеют определенные свойства, и размещать их в определенном порядке. Такие задачи называются комбинаторными . Раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями, называется комбинаторикой. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina» , что в переводе на русский язык означает – «сочетать», «соединять».

Выбранные группы элементов называют соединениями. Если все элементы соединения разные, то получаем соединения без повторений, которые и рассмотрим ниже.

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения .

Задача 1.

В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение .

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).

Ответ: 24.

Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема.

Рассмотрим решение нескольких задач на разные виды соединений без повторений.

Задача 2.

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.

Решение.

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Ответ: 210.

Задача 3.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?

Решение.

На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:

A 10 7 – A 9 6 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Ответ: 544 320.

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

Решение.

Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р 8 . Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р 5 способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р 8 · Р 5 = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.

Ответ: 8! · 5!

Задача 5 .

В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?

Решение.

Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:

С 16 4 · С 12 3 = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Ответ: 400 400.

Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.

Остались вопросы? Не знаете, как решать комбинаторные задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Правило суммы и правило решения задач произведения

Этот раздел включает в себя основные примеры и задачи, которые помогут вам подготовиться к следующему разделу решения задач.

Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать из 333 автобусных маршрутов или 222 поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки.

На этот раз он должен купить проездной билет на автобус (что позволит ему ездить только на автобусах) или билет на поезд (что позволит ему ездить только на поезде).Если у него есть деньги только на 111 таких концессий, сколько у него есть способов добраться до Милуоки?


Если Кальвин покупает автобус, у него есть 3×2=6 3 х 2=63×2=6 способов добраться до Милуоки. (Правило произведения)
Если Кальвин покупает концессию на поезд, у него есть 2×3=6 2\×3=62×3=6 способов добраться до Милуоки. (Правило произведения)
Следовательно, всего у него есть 6+6=12 6+6=126+6=12 способов добраться до Милуоки. (Правило суммы) □_\квадрат□​

Шестеро друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят сесть в ряд в кинотеатре.Если доступно только шесть мест, сколькими способами мы можем посадить этих друзей?


На первое место у нас есть выбор любого из 6 друзей. После посадки первого человека на второе место у нас есть выбор любого из оставшихся 5 друзей. После посадки второго человека на третье место у нас есть выбор любого из оставшихся 4 друзей. После посадки третьего человека на четвертое место у нас есть выбор любого из оставшихся 3 друзей. После посадки четвертого человека на пятое место у нас есть выбор любого из оставшихся 2 друзей.После посадки пятого человека, на шестое место у нас есть выбор только из 1 оставшегося друга. b2a5b, где a aa и b bb — целые числа, удовлетворяющие условию 0≤a≤4,0≤b≤3 0 \leq a \leq 4, 0 \leq б \leq 30≤a≤4,0≤b≤3.Существует 5 возможностей для a aa и 4 возможности для b bb, следовательно, всего имеется 5×4=20 5 х 4 = 205×4=20 (правило произведения) положительных делителей числа 2000. □_\квадрат□​

Следующие задачи познакомят вас с двумя правилами, описанными выше.

Сколько параллелограммов образуется при пересечении набора из 5 параллельных прямых с набором из 4 параллельных прямых?

Детали и предположения

  • Все параллельные линии бесконечно удлиняются.

Отправьте свой ответ

Если вы подсчитаете способы подъема на 3 ступени, вы обнаружите, что существует 4 способа подъема на 3 ступени. Представьте себе, что ноги человека такие длинные, что они могут подняться на 11 ступенек за раз. Также человеку разрешено подниматься только вверх.

Тогда найдите количество способов, которыми вы можете подняться на 11 ступенек?

Бонус : Обобщите это для nnn шагов.

Отправьте свой ответ

Трое детей, каждый в сопровождении опекуна, хотят поступить в школу.Princi хочет опросить всех 6 человек одного за другим при одном условии, что ни один ребенок не будет опрошен в присутствии его опекуна. Сколькими способами это можно сделать?

Правило суммы, Правило произведения

[Этот пост предназначен для учащегося 1-го уровня. ]

Правило суммы (принцип сложения) и правило произведения (принцип умножения) — это два основных принципа подсчета, которые используются для построения теории перечислительной комбинаторики.Эти правила очень просты, и мы неосознанно пользуемся ими каждый день. Рассмотрим следующие примеры:

1. В одном городе кинотеатр CAL показывает 4 летних блокбастера. Через дорогу в другом кинотеатре показывают 3 (совершенно разных) независимых фильма. Сколько шоу доступно?

2. В кинотеатрах CAL идет показ 4 летних блокбастеров. Каждое шоу показывается 5 раз в день. Сколько сеансов проходит в кинотеатрах CAL в день?

Прежде чем обсуждать ответы, сформулируем правило суммы и правило произведения.

Правило суммы/принцип сложения Если есть способы сделать что-то и способы сделать что-то другое, оба из которых не могут быть выполнены одновременно, то есть способы выбрать одно из этих действий.

Правило произведения / принцип умножения Если есть способы сделать что-то, а после этого — еще что-то, то есть способы выполнить оба этих действия.

На первый вопрос отвечает правило суммы, так как в одном месте 4 шоу, а в другом 3 (разных) шоу.Таким образом, есть общее количество шоу, которые доступны. На второй вопрос отвечает правило продукта, так как есть 4 показа, каждый из которых показан 5 раз. Таким образом, в день проводится общее количество просмотров. Ниже мы рассмотрим несколько более сложных примеров.

Примеры работы

1. Кальвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать один из трех автобусных маршрутов или двух поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки.Сколько у него есть способов попасть в Милуоки?

Этот вопрос показывает, что мы не всегда просто складываем (или умножаем) все заданные числа. Порядок рассмотрения также важен, как продемонстрирует следующий вопрос.

2. Кальвин хочет поехать в Милуоки (см. предыдущий вопрос). На этот раз он должен купить концессию на автобус (что позволит ему ездить только на автобусах) или концессию на поезд (что позволит ему ездить только на поездах). Если у него есть деньги только на одну из этих концессий, сколько у него есть способов добраться до Милуоки?

3.6 друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят сесть в ряд в кинотеатре. Если доступно только 6 мест, сколькими способами мы можем посадить этих друзей?

В более общем смысле эта проблема известна как перестановка. Есть способы рассадить людей в ряд.

4. Сколько положительных делителей имеет?

Для обобщения рабочего примера 4 учащиеся должны прочитать Делители целого числа.

Проверь себя

1. Сколько существует четных трехзначных положительных целых чисел?

2.Шестеро друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят создать клуб. Они решают, что будет 1 президент, 1 казначей, 1 секретарь и 3 обычных члена. Сколькими способами они могут организовать этот клуб?

3. В классе из 15 учащихся сколькими способами учитель может распределить следующие призовые места: Первое по математике, Второе по математике, Третье по математике, Первое по физике, Первое по химии, Первое по биологии, Первое по английскому языку, Второе на английском? Студент не может выиграть 2 приза по предмету, но может выиграть призы по разным предметам.

4. (Live Challenge Combinatorics 1) Кальвин хочет поехать из Чикаго в Австралию на каникулы. Он заходит в интернет и обнаруживает, что есть рейсы из Чикаго в Гонконг, рейсы из Гонконга в Сингапур, рейсы из Сингапура в Австралию, рейсы из Чикаго в Сингапур и рейсы из Гонконга в Австралию. Сколькими способами Келвин может долететь из Чикаго в Австралию?

Примечание. Все рейсы выполняются в одном направлении в указанном направлении. В частности, нет доступных рейсов из Сингапура в Гонконг.

5. (*) Сколько существует упорядоченных наборов неотрицательных целых чисел, таких что ? Подсказка: решение задачи по комбинаторике

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

Принципы счета

Раздел 2.6 Принципы подсчета

Как в чистой, так и в прикладной математике часто полезно подсчитывать размеры конечных множеств. В этом разделе мы докажем некоторые основные теоремы такого рода. n \abs{ A_j }. \end{уравнение*}

Очевидно, но мы опускаем техническое доказательство до тех пор, пока у нас не будет надлежащего обсуждения определения числа элементов в наборе, что произойдет только в главе 5.

Теорема 2.6.2

Для конечных множеств \(A, B\text{,}\), которые не обязательно не пересекаются,

\begin{уравнение*} \abs{ A \cup B } = \abs{A} + \abs{B} — \abs{A \cap B}. \end{уравнение*}

Очевидно, если посмотреть на диаграмму Венна, но мы опускаем техническое доказательство по тем же причинам.j A_{n_k} } \right). \end{уравнение*}

В приведенной выше формуле сумма берется по всем поднаборам \(j\) различных множеств из числа \(A_1, \ldots, A_n\text{.}\) В частности, когда \(n = 3\text{, }\) вышеприведенное становится

\начать{выравнивать*} \abs{ A_1 \cup A_2 \cup A_3 } &= \quad \big( \abs{A_1} + \abs{A_2} + \abs{A_3} \big)\\ &\quad — \big( \abs{A_1 \cap A_2} + \abs{A_1 \cap A_3} + \abs{A_2 \cap A_3} \big)\\ &\quad + \abs{A_1 \cap A_2 \cap A_3} \конец{выравнивание*}

По индукции и с помощью теоремы 2. n \abs{ A_j }. \end{уравнение*}

Использование индукции и правила сумм.

Определение 2.6.5 Перестановка (комбинаторика)

перестановка конечного множества — это расположение элементов в определенном порядке.

Для следующей теоремы напомним, что факториал натурального числа \(n\) определяется индуктивно как

\начать{собирать*} 0! = 1\\ н! = п (п-1)! \end{собрать*}

Эквивалентно \(n! = n(n-1)(n-2)\cdots 1\text{.}\)

Теорема2.6,6

Число перестановок множества из \(n\) элементов равно \(n!\)

Индукцией по количеству элементов в множестве.

Теорема 2.6.7

Если \(n \in \mathbb{N}\) и \(r \in \mathbb{Z}\) с \(0 \le r \le n\text{,}\), то количество перестановок любые \(r\) отдельные объекты из набора \(n\) объектов равны

\begin{уравнение*} \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1). \end{уравнение*}

По индукции по \(r\) и теореме 2.6.6.

Определение 2.6.8 Комбинация

Для \(n \in \mathbb{N}\) и \(r \in \mathbb{Z}\) с \(0 \le r \le n\text{,}\) комбинация из \ (r\) элементов из набора размера \(n\) является просто подмножеством размера \(r\text{. }\)

Количество комбинаций называется биномиальным коэффициентом и обозначается \(\binom{n}{r}\text{.}\) Мы читаем этот символ как «\(n\) Choose \(r\text{ .}\)”

Теорема 2.6.9 Комбинированное правило

У нас есть следующая формула для биномиальных коэффициентов:

\begin{уравнение*} \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}.\end{уравнение*}

Обратите внимание, что количество перестановок любых \(r\) различных объектов из набора \(n\) объектов обязательно равно количеству подмножеств размера \(r\) (т.е. количеству комбинаций, биномиальный коэффициент ), умноженное на количество способов упорядочить эти \(r\) элементы (т. е. перестановки множества размера \(r\)). Следовательно, по теореме 2.6.6 и теореме 2.6.7 имеем

\begin{уравнение*} \binom{n}{r} г! = \frac{n!}{(n-r)!} \end{уравнение*}

тем самым подтверждая результат.

Примечание: приведенная выше теорема гарантирует \(\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\text{.{н-р}. \end{уравнение*}

По индукции и с учетом того, что при \(r \ge 1\text{,}\)

\begin{уравнение*} \binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1}, \end{уравнение*}

, что вы должны доказать. Это отображаемое уравнение по существу говорит о том, что треугольник Паскаля генерирует биномиальные коэффициенты.

2.4: Подведение итогов — Mathematics LibreTexts

Скорее всего, вы использовали правило сумм или правило произведения при подсчете простых вещей, даже не задумываясь о том, что вы делаете.Причина, по которой мы рассматриваем каждую из них очень медленно и тщательно, заключается в том, что когда мы начинаем рассматривать более сложные задачи, наше использование правил суммы и произведения становится более тонким. Если в очень простых ситуациях у нас нет очень четкого понимания того, что мы делаем и почему, мы полностью потеряемся, когда дойдем до более сложных примеров.

Опасно пытаться придумать простое руководство, когда следует использовать правило произведения, а когда — правило сумм, потому что такое руководство часто будет ошибочным в сложных ситуациях.Тем не менее, хороший вопрос, который следует задать себе, когда вы пытаетесь решить, какое правило использовать: «Как бы я описал это словом «и» или словом «или»?» Слово «и» обычно используется в ситуациях, когда уместно использовать правило произведения, в то время как «или» имеет тенденцию соответствовать правилу сумм.

Давайте посмотрим, как это применимо к каждому из примеров, которые мы рассмотрели в этой главе.

В примере 2.1.1 вам нужно было выбрать размер и сорт кофе. В примере 2.1.2, Кайл хотел выбрать пончик и кофе. В примере 2.1.3 Chlöe нужно было определить размер, цвет, изображение и слоган для каждой футболки. В примере 2.1.4 мы хотели узнать пол третьего и четвертого детей Питера и Мэри. Итак, в каждом из этих примеров мы использовали правило произведения.

В примере 2.2.1 вам нужно было выбрать рогалик или пончик. В примере 2.2.2 у Мэри и Питера может быть ноль, один, два или три ребенка. Итак, в каждом из этих примеров мы использовали правило сумм.

Вы определенно должны быть осторожны при применении этого руководства, так как проблемы могут быть сформулированы вводящим в заблуждение образом. Мы могли бы сказать, что в примере 2.2.1 мы хотим знать, сколько всего существует различных видов пончиков и рогаликов. Однако важно то, что вы не выбираете обе эти вещи; вы выбираете что-то одно, и это будет либо пончик, либо рогалик.

В примере 2.3.1 Грейс выбирала основное блюдо, гарнир и напиток, поэтому мы использовали правило продукта, чтобы объединить эти аспекты.Наличие дополнительных вариантов основного блюда зависело от того, выбирала ли она блины, вафли, овсянку, омлет или ничего, поэтому здесь применялось правило сумм. (Обратите внимание, что на самом деле мы не рассматривали каждую из этих четырех вещей по отдельности, поскольку они, естественно, подпадали под две категории. Однако мы пришли бы к тому же ответу, если бы рассмотрели каждую из них по отдельности.) дополнительные варианты, доступные для ее гарнира, зависели от того, выбрала она тост или нет, поэтому снова применялось правило сумм.

В примере 2.3.2 номера могут быть обычными (любым из двух способов), ветеранскими или мотоциклетными, поэтому использовалось правило сумм. В каждой из этих категорий мы должны были рассмотреть варианты для первого символа и второго символа (и так далее), поэтому применялось правило произведения.

Наконец, в примере 2.3.3 рубашка, которую выбирает Кэти, может быть как с короткими, так и с длинными рукавами, поэтому к этому различию применяется правило сумм. Поскольку она хочет выбрать рубашку и подарочную упаковку, к этой комбинации применяется правило продукта.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Для каждой из следующих задач нужно использовать правило сумм, правило произведения или и то, и другое?

  1. Подсчитайте все числа, имеющие ровно две цифры, и числа, имеющие ровно четыре цифры.
  2. Сколько возможных исходов может быть при броске красного и желтого кубиков?
  3. Сколько возможных исходов может быть при броске трех кубиков, если вы считаете только исходы, при которых не более чем один из кубиков выпадает как единица?

День 22 — Комбинаторика: искусство счета —

Давайте учиться считать! Вы, наверное, некоторое время считали, но мы хотим познакомить вас с различными математическими инструментами для тщательно думая о счете: счет предметов, счет способов делать вещи и многое другое.

Наше первое правило подсчета — это правило сумм : используйте сложение для представления самостоятельный выбор. Вот несколько примеров.

Пример 1: Побег из Клермонта

Предположим, вы пытаетесь спланировать свой маршрут в Лос-Анджелес на вечер современный танец в REDCAT.

Вы можете ехать, взяв 210/605/10, просто взяв 10 или взяв 10, а затем переключиться на 60. То есть есть три способа идти.

Но можно и на поезде! Вы можете взять CalTrain в Союз Станция, или вы можете доехать до Азузы на велосипеде и сесть на Золотую линию.Это, Есть два способа добраться на поезде.

Всего есть пять разных способов попасть в REDCAT.

Пример 2. Начало движения

Вы беспокойны и вам нужно немного потренироваться. Ты мог бы бежать, покататься на велосипеде или попробовать упражнения с собственным весом.

Если вы бегаете, вы можете бежать по обычному маршруту или бежать дольше.

Если вы ездите на велосипеде, вы можете ездить по улицам или использовать свой горный велосипед на каком-то синглтреке.

Если вы выполняете упражнения с собственным весом, вы можете выполнять упражнения для верхней части тела, кора или ноги.Или вы могли бы просто делать берпи в своей гостиной, чтобы мучить себя.

Есть два способа бегать, два способа ездить и четыре способа делать упражнения с собственным весом. В общем, у вас есть восемь возможных виды деятельности. (Не позволяйте нерешительности держать вас на диване! больше энергии, если вы немного подвигаете своим телом.)

Полное правило сумм

Принцип, который мы только что применили, называется правилом сумм :

.

Предположим, что есть $n$ способов что-то сделать, и есть еще $m$ способов сделать это по-другому, то есть $n + m$ способов сделать это.

Ключом к применению правила сумм является то, что параметры должны быть независимый : вы можете либо ехать, либо поездом, но вы не будете делать оба. (По крайней мере, не в нашем примере.) Вы будете делать только одну форму. упражнений.

Если вы собираетесь комбинировать вещи из разных категории, вам понадобится другое правило.

Наше второе правило подсчета — это правило произведения : используйте умножение для представлять комбинации. Вот несколько примеров.

Пример 1: О, пастообразные!

Допустим, вы открываете итальянский ресторан: «О, Pastabilities!», ориентированный на блюда из макарон: посетители выбирают форму пасты, начинка и соус.

Вы предлагаете пять форм макарон:

  • спагетти («кусочки шпагата»)
  • тальятелле («ассорти»)
  • феттучини («маленькие ломтики»)
  • фузилли («веретено»)
  • пенне («ручки»).

(А там целый мир форм с восхитительные имена!)

В то время как в итальянской пасте часто нет ничего, кроме соуса, ваш ресторан для американского рынка и будет включать начинки, ориентированные на белок:

  • ничего
  • овощи
  • фрикадельки
  • морепродукты.

Наконец, вы предлагаете всего три соуса:

  • aglio e olio (оливковое масло и чеснок — просто, но вкусно!)
  • маринара (томатный соус с зеленью, чесноком и луком)
  • альфредо (традиционно просто масло и пармаджано реджано, но часто с оттенком сливок).

Учитывая наше меню пасты, начинки и соусов, мы могли бы захотеть знать сколько разных блюд можно приготовить.

Сколько существует различных комбинаций начинки/соуса? Кому перечислите их вручную, это помогает быть методичным.Для каждого возможного начинка, подумайте, с какими соусами она может сочетаться:

  • без топпинга с аглио и олио
  • без топпинга с маринарой
  • без топпинга с альфредо

Итак, есть три варианта. Далее считаем овощи:

  • овощи с аглио и олио
  • овощи с маринарой
  • овощей с Альфредо

Аналогично можно составить списки для фрикаделек:

  • фрикадельки с альо и олио
  • фрикадельки с маринарой
  • фрикадельки с Альфредо

И для морепродуктов:

  • Морепродукты с альо и олио
  • морепродукты с маринарой
  • морепродукты с альфредо (не рекомендуется)

В сумме получается двенадцать вариантов. Вы могли заметить что есть 4 начинки и 3 соуса, а 12 долларов = 4 \cdot 3$. Это не случайно!

С нашими пятью формами макаронных изделий, сколько различных «пастостей» может быть там? Ну, есть 12 комбинаций соуса/начинки и пять макарон. фигуры, так что… $60 = 5\cdot 12$.

Пример 2. Отвезите меня в Tuple Town

Имея пару множеств $A$ и $B$, мы можем говорить о декартовых произведение этих множеств как $A \times B$. (В Coq мы написали A * B .) Используя нотацию построителя наборов (полностью мы познакомимся с ней в день 24), можно сказать, что $A \times B = \{ (x, y) \mid x \in A, y \in B \}$, т. е. множество $A \times B$ есть множество пар значений $(x,y)$, где $x$ происходит от $A$, а $y$ происходит от $B$. Мы хотим рассмотреть все возможные пары.

Итак: сколько таких кортежей? Если $n$ элементов $A$ и $m$ элементов из $B$, то $n \cdot m$ элементов из $A \раз В$. (Что, возможно, поможет вам понять выбор $\times$ и название «продукт»!)

Конкретно, сколько кортежей типа $\texttt{bool} \times \texttt{base}$ есть? Ну, есть два логических значения ( true и false ) и четыре основания ( A , C , G и T ). Итак: 8.

Полное правило продукта

Мы можем применить то, что называется правилом продукта :

Предположим, вы выполняете задачу, состоящую из двух частей. Если есть $n$ способов сделать первую часть и $m$ способов сделать вторую часть, есть $n \cdot m$ способов выполнить всю задачу.

Большая часть проблем в комбинаторике связана с решением, какие правила применять в каком порядке. Идиомы естественного языка для указания вещи—«не менее трех», «не более 1», «ровно 2»—перевести различными способами.Вот пример, где мы используем пятизначный номер телефона extensions, чтобы увидеть некоторые из этих идиом.

Каждый телефон в колледже Помоны имеет пятизначный добавочный номер база 909-60х. Например, мой полный рабочий номер телефона 909-607-4554, но мое расширение обычно записывается как x7-4554. (По состоянию на Осень 2020 года, это не принесет вам много пользы — я не был на моем офис в месяцах!)

Давайте проигнорируем x и дефис и просто сократим мое расширение на 74554. 2 = 10 \cdot 81 = 810$$

Сколько существует расширений, в которых ровно четыре шестерки их? Теперь наши перечисления стали проще.1 &+& 1 \\ &=& 59049 &+& 32805 &+& 7290 &+& 810 &+& 45 &+& 1 \\ &=& 100 000 \\ \конец{массив}\]

Все подтвердилось! Это не только хороший способ проверить наши рассуждения/перечисления, уравнение здесь является удобным способом ответить на ряд других вопросов.

Неточный подсчет

До сих пор мы насчитали ровно . Но нас часто интересуют неточные вопросы. Например, , сколько существует расширений, которые имеют хотя бы одна шестерка в них?

Вероятно, мы могли бы сделать что-то необычное с перечислениями, как показано выше, но это привередливо и подвержено ошибкам.5$ означает мы насчитываем 5 различных вещей, где каждая вещь имеет десять возможности) в дополнение к окончательному ответу ($100,000$). Оба это важно, но вы можете быть удивлены, узнав, что формула важнее, чем окончательный ответ . Формула говорит Читатель, как ты туда попал. Если вы просто их число, ну … почему они должны тебе верить?

Соответственно: пожалуйста всегда дайте формулу. Если это удобно (или мы вас просим), дайте и окончательный ответ.Но это гораздо больше важно, чтобы ваша формула была в форме, отражающей то, как ты посчитал!

В автосалоне продается пятнадцать автомобилей. Десять из них имеют солнечная крыша. Шесть из них — гибридные автомобили. Четыре и то, и другое. Сколько автомобили без люка и не гибриды?

Счет здесь сложный — даже формулировка сложная. Десять автомобилей иметь солнечную крышу; шесть — гибриды… но только у четырех есть и то, и другое. Быстрый счет может вас смутить: 10$ + 6 + 4 = 20$, но их всего пятнадцать машины? Как это возможно?

Что ж, английский язык усложняет тебе жизнь.Если есть десять автомобилей с солнечными крышами и шесть гибридов, и четыре, которые оба, что означает, что мы действительно смотрим на автомобили за 10 долларов + 6 — 4 = 12 долларов. Почему? Двойной подсчет!

  1. СР
  2. СР
  3. СР
  4. СР
  5. СР
  6. СР
  7. СР, ГИБРИД
  8. СР, ГИБРИД
  9. СР, ГИБРИД
  10. СР, ГИБРИД
  11. ГИБРИД
  12. ГИБРИД
  13. ни
  14. ни
  15. ни

Если мы просто посчитаем солнечные крыши, то найдем десять.Если считать гибриды, мы получим шесть. Но у четырех из этих автомобилей есть и то, и другое, т. е. они были посчитал дважды ! Чтобы получить точный результат, необходимо учитывать этот дополнительный подсчет.

Итак, есть 12 автомобилей с люками на крыше и/или гибридными двигателями, поэтому это означает, что 3 должны жить в темные века, буквально и образно.

В более общем смысле правило включения/исключения (иногда называемое правило вычитания):

Предположим, вы одновременно выполняете две задачи.Если есть $n$ способов выполнить первую задачу и $m$ способов выполнить вторую вторую задачу и $k$ способов выполнить обе, то существует $n + m — k$ способов выполнить всю задачу.

Предположим, у вас есть книги для чтения:

  • Волшебник Земноморья (AWE)
  • Над морем, под камнем (OSUS)
  • Ведьма Аката (AW)
  • Шикаста (S)

В скольких различных порядках вы могли бы прочитать эти книги? Ну ты есть четыре варианта для первой книги, затем три для второй, затем два, затем определяется последний.Итак: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Что, если бы вы также собирались прочитать пятую книгу, Одиннадцатая станция ? Тогда будет $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5 \cdot 24 = 120$ возможные заказы.

Мы только что подсчитали количество перестановок пяти элементов. Наш формула — это просто прямое применение правила произведения с некоторыми рассуждения о том, «что осталось сделать».

Общее правило определяется следующей функцией:

\[ \mathit{factorial}(n) = \begin{cases} 1 & n \le 1 \\ n \cdot \mathit{factorial}(n’) & n = S(n’) \\ \end{ случаи} \]

Обычно используется обозначение $n!$, где:

\[ п! = \mathit{factorial}(n) = \prod_{i=1}^n i = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 \]

Мы произносим $n!$ как «$n$ факториал». n f(i)$, обозначающее произведение $f(b) \cdot f(b+1) \cdot \dots f(n-1) \cdot f(n)$. Символ – столица Греции. буква пи.)

Полное правило перестановки

Теперь мы можем дать правило перестановки в его абстрактной форме:

Если вы собираетесь делать $n$ разных вещей в произвольном порядке, существует $n!$ возможных порядков.

Вы планируете факультативные занятия по подводному плаванию плетение корзин, и у вас есть несколько вариантов:

  • Ткачество в морской воде (SW)
  • Рид Жесткость (RR)
  • Расширенное вымачивание (AR)
  • Сравнительный анализ переплетения (CWA)
  • Смешанные ткани (MMW)

Сейчас, в связи с перебором в Департаменте подводного Плетение корзин, вы можете сдавать только одно в семестр из трех ваших оставшиеся семестры. Сколькими способами можно выбрать три из эти факультативы? Вы можете взять каждый только один раз, и вы берете только один в семестр.

Ну, мы можем использовать правило продукта, как указано выше: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$. У вас есть пять вариантов на первый семестр, четыре на следующий, и только три последних.

Через мгновение у нас будет другой способ подсчета.

Иногда то, что вы делаете, имеет некоторое понятие «симметрии», которое вам хотелось бы игнорировать — например, порядок может не иметь значения.

Пример 1. Заключите сделку, повернитесь лицом к рулю

Предположим, вы собираетесь сделать прялку, чтобы раздавать призы от дверей. на хакатоне 5С. Дверь варианты приза:

  • Футболка (T)
  • Книга (Б)
  • Ремешок (L)
  • Подарочная карта (G)

Идея в том, что приходящие люди будут крутить колесо и брать что угодно стрелка указывает на. Сколько существует различных колесных формул?

Вы могли бы сказать, что есть четыре элемента, поэтому мы должны просто использовать правило перестановки — есть 24 колеса.Но это было бы не совсем правильно. .. вы бы пересчитали в 4 раза! Почему?

Вот одно колесо:

\[ \begin{массив}{ccc} &Т&\\ Б&\bigcirc&L\\ & Г & \\ \конец{массив} \]

Вот еще одно колесо:

\[ \begin{массив}{ccc} & Б & \\ G&\bigcirc&T\\ & л & \\ \конец{массив} \]

Ха. Это те же колеса ! Второй просто повернут на 90° по часовой стрелке. Для любого заданного расположения колеса существует четыре возможные повороты.Чтобы избежать 4-кратного пересчета, мы должны разделить число перестановок на четыре для учета симметричных случаев.

Итак: возможных колес действительно всего 6. Вот они с каждым их оборотов:

  • ТЛГБ / ЛГБТ / ГБТЛ / БТЛГ
  • ТЛБГ / ЛБГТ / БГТЛ / ГТЛБ
  • ТБГЛ/БГЛТ/ГЛТБ/ЛТБГ
  • ТБЛГ/БЛГТ/ЛГТБ/ГТБЛ
  • ТГЛБ/ГЛБТ/ЛБТГ/БТГЛ
  • ТГБЛ/ГБЛТ/БЛТГ/ЛТГБ

Мы записали их с фиксированной буквой «Т» в качестве первого элемента.Делает поэтому выделяет еще один способ подсчета возможных колес: рассмотрим одно фиксированный элемент, а затем расположите остальные. Итак, если их четыре элементы, исправьте букву «Т», а затем найдите 3 доллара! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ возможные договоренности.

Пример 2: В сумке

Предположим, мы хотим выбрать два числа из списка [1; 2; 3; 4] . Это частичная перестановка, поэтому мы можем просто остановиться раньше. Там $4 \cdot 3 = 12$ возможностей

  • [1;2]

  • [1;3]

  • [1;4]

  • [2;1]

  • [2;3]

  • [2;4]

  • [3;1]

  • [3;2]

  • [3;4]

  • [4;1]

  • [4;2]

  • [4;3]

Однако, если мы не заботимся о порядке, то их действительно меньше: в чем разница между [1;2] и [2;1] ? За каждый «путь» выбирая два числа [n] и [m], есть два эквивалентных способа: [н;м] и [м;н] .Итак, если бы мы выбрали два таких числа, не заботясь о заказе , тогда возможно $\frac{12}{2} = 6$ заказов:

  • [1;2]

  • [1;3]

  • [1;4]

  • [2;3]

  • [2;4]

  • [3;4]

Как мы можем сказать, что мы не удалили ненадлежащим образом параметр или случайно пересчитал? Мы можем использовать порядок наших перечислений чтобы убедиться, что мы покрываем все наши базы — если каждый набор опций отсортированы, мы можем быть уверены, что появятся только нужные вещи.Это, мы используем отсортированные списки как каноническую форму .

Полное правило деления

Мы можем дать правило деления во всей его общности:

Если есть $n$ способов сделать что-то и для каждого способа сделать это существует $m$ эквивалентных способов, то существует $\frac{n}{m}$ способов сделай это.

Общие применения правила деления для игнорирования порядка (как мы делал выше) или другие «симметрии».

Зная, когда применять правило деления, и применяя его правильно, можно быть сложным.Трудно точно знать, на что делить! Это как правило, разумно иметь другой способ проверить свою работу, например перечисление вариантов в некоторой канонической форме.

Частичные перестановки

Мы сделали частичные перестановки, «остановившись раньше», но вы можете дать другую учетную запись, используя правило деления.

Выбрать три из пяти факультативы, мы можем подсчитайте, написав $5 \cdot 4 \cdot 3$. Но мы также можем думать о задачу по-другому: устроить все пять курсов, но потом отбросить последний два (которые вы не возьмете).То есть мы бы рассмотрели SW-CWA-RR-AR-MMW такие же, как SW-CWA-RR-MMW-AR такие же, потому что они отличаются только последние два курса… которые в любом случае не посещаются. То есть мы смог вычислить:

\[ \фракция{5!}{(5-3)!} = \фракция{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \]

Это описание частичных перестановок достаточно распространено, чтобы имя, функция $P : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, где $P(n, k)$ — $k$-перестановка из $n$ элементов, т.е.е., выбор $k$ вещей из $n$ вещей:

\[ P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Менее формально $P(n,k) = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n — k + 2) \cdot (n — k + 1)$. Люди иногда произносят $P(n, k)$ как «$n$ переставить $k$». По соглашению $P(n, k) = 0$, когда $k > n$; соответственно, $P(n, n) = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{1!} = n!$.

Чтобы выбрать два элемента из четырех, мы можно просто вычислить $P(4,2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.Уф: мы получили тот же ответ.

Подожди, ОТДЕЛЕНИЕ?!

Я знаю, я знаю: у нас не будет формального определения для разделение. Это не должно всплывать ни в одной работе, которую мы делаем, но если вам нужно использовать факт о делении в доказательстве, это должно быть хорошо—просто спроси сначала.

Предположим, вы просто хотите выбрать три из пяти подводных факультативы по плетению корзин, независимо от порядка. Сколько способов выбрать три из пяти факультативов есть, без оглядки на приказ?

Мы должны использовать как правила произведения, так и правила деления.Есть $P(5,3) = 5 \cdot 4 \cdot 3$ способов выбрать три курса. Есть 3 доллара! знак равно 3 \cdot 2 \cdot 1$ ​​способов заказать эти курсы, но нам все равно о порядке. Итак, мы имеем $\frac{P(5,3)}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{60}{6} = 10$ способов выбрать множество три факультатива.

Рассуждения, которые мы только что привели, достаточно распространены, чтобы иметь свою собственную определение, называемое «выбор» или «выбор». Есть много обозначений в общего пользования: $\newcommand{\C}[2]{\left(\begin{array}{@{}[email protected]{}} {#1} \\ {#2} \\ \end{массив} \right)}$ \[ n C k \equiv C(n, k) \equiv \C{n}{k} = \frac{P(n,k)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \]

Люди произносят это обозначение «$n$ выбирают $k$», и это то, как вы вычислить, выбрав наборов из $k$ вещей из $n$ вещей, т.е.д., выбирая $k$ вещей из $n$, не заботясь о порядке.

Несколько соглашений: мы используем только натуральные числа для $n$ и $k$. Если $k n$, мы говорим $\C{n}{k} = 0$: невозможно выбрать 5 вещей из 3 вещи.

Мне не нравится первое обозначение (хотя оно и совпадает с произношением Что ж). Вторая запись хороша, когда вы пишете программу, но третья запись лучше подходит для математики на бумаге. Я использую оба. На самом деле я дать вам макрос в домашнем задании на 22 день, который упрощает использование последнее обозначение:

  \newcommand{\C}[2]{\ensuremath{\left(\begin{array}{@{}[email protected]{}} {#1} \\ {#2} \end{массив} \right)} }

\[ \C{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \]
  

Большую часть 23-го дня мы посвятим разговорам о выборе.

Copyright © 2020 Майкл Гринберг

Дискретная математика

В этом разделе используются три основных правила счета, по одному для каждой из арифметических операций умножения, сложения и вычитания.

8.1. Правило продукта (

и )

Чтобы найти общее количество исходов для двух или более последовательных событий, в которых должны произойти оба события, умножьте количество исходов для каждого события вместе.Например, если вы хотите найти количество возможных исходов, когда вы бросаете кубик и подбрасываете монету, вы можете использовать правило произведения. Важно отметить, что события должны быть независимыми, то есть одно не влияет на другое.

Это называется правилом произведения для подсчета, потому что оно включает умножение, чтобы найти произведение. Правило произведения может быть расширено до более чем двух вариантов.

Подумайте о правиле продукта, когда вы видите И.

8.2. Правило суммы (

xor )

Подумайте о том, чтобы найти общее количество способов, которыми конкретное событие происходит, из множества различных вариантов. Например, если вы хотите найти количество способов выбрать специальность ITEC, чтобы выиграть приз, зная, что есть студенты из разных концентраций, вы можете использовать правило сумм. Важно отметить, что события должны быть взаимоисключающими, то есть не иметь ничего общего.

Это называется правилом суммы для подсчета, потому что оно включает в себя сложение, чтобы найти итог. Правило сумм также может быть расширено до более чем двух вариантов.

Думайте о правиле сумм, когда видите ИЛИ.

8.3. Правило вычитания (

или )

Если ваши события не являются взаимоисключающими, чтобы найти общее количество возможностей, используйте правило вычитания.

Правило вычитания также называют принципом включения-исключения.

8.4. Принцип сортировки

Удивительное количество проблем со счетом может быть решено с помощью так называемого принципа ячейки.

Десять голубей в девяти ячейках

8.5. Перестановки и комбинации

Рассмотрим первые четыре буквы алфавита \(A, B, C, D\). А перестановка из этих букв будет расположение их в разном порядке.

  • \(ABCD, BACD, ABDC\) — это перестановки букв, взятых по четыре за раз.

  • \(BDA, ABC, ABD\) — это перестановки букв, взятых по три за раз.

  • \(AB, AC, DB\) — это перестановки букв, взятых по две за раз

В общем, для набора \(n\) объектов упорядоченное расположение из \(r \le n\) из них называется \(r\)-перестановка или перестановка \(n\) объектов, взятых \(r\) одновременно .Мы будем обозначать это через \(P(n,r)\). (Обратите внимание, что \(_nP_r\) — обычно используемая запись, особенно в калькуляторах.)

Теперь рассмотрите буквы \(A, B, C, D\) и выберите по три за раз, где порядок не имеет значения. То есть выбор \(ABC\) совпадает с выбором \(BCA\). Этот выбор, в котором порядок не имеет значения, называется комбинация .Есть только четыре возможных способа выбрать три буквы без учета порядка:

*\(ABC, ABD, ACD,\) и \(BCD\).

В общем, для набора \(n\) объектов и неупорядоченный выбор из \(r\le n\) из них является \(r\)-сочетание или комбинация \(n\) объектов, взятых \(r\) одновременно .Мы будем обозначать это через \(C(n,r)\), читая как «\(n\) выбирают \(r\)». (Обратите внимание, что \(_nC_r\) обычно используется калькуляторами.)

8.6. Упражнения

В колледже 67 специальностей по математике и 124 специальности ITEC.

  1. Сколькими способами можно выбрать двух представителей, чтобы один был специалистом по математике, а другой — ITEC?

  2. Сколькими способами можно выбрать одного представителя, специализирующегося либо на математике, либо на ITEC?

    1. Тест с несколькими вариантами ответов содержит 20 вопросов, и каждый вопрос имеет четыре варианта ответа.

  3. Сколькими способами студент может ответить на все вопросы теста?

  4. Сколькими способами учащийся может ответить на все вопросы, если ему разрешено пропустить некоторые из них?

    1. Сколько разных трехбуквенных инициалов может быть у человека?

    2. Сколько различных трехбуквенных инициалов оканчивается на «Р»?

    3. Сколько существует битовых строк длины пять?

    4. Сколько существует битовых строк длины пять, начинающихся и заканчивающихся на 1?

    5. Сколько существует битовых строк длины меньше \(n\), где \(n\) — натуральное число, начинающихся и заканчивающихся на 1?

    6. Сколько номерных знаков можно составить, используя три цифры, за которыми следуют четыре заглавные английские буквы, если:

  5. Цифры и буквы могут повторяться?

  6. Цифры и буквы не могут повторяться?

    1. Если каждый студент, изучающий дискретную математику, имеет специализацию по математике, специализацию ITEC или двойную специализацию, а в классе 5 математических специальностей (включая двойную специализацию), 23 ITEC специальностей (включая двойные специальности) и 7 двойных специальностей, сколько студентов в классе?

    2. Предположим, компьютерная система требует пароль длиной не менее 7 и не более 10 символов, и каждый символ должен быть строчной английской буквой. буква, заглавная английская буква, цифра или один из шести специальных символов (*, >, <, !, +, =).{-9}\) секунд). Сколько времени потребуется хакеру проверять каждый потенциальный пароль?

      1. Докажите, что если в классе 29 учеников, по крайней мере у двоих фамилии начинаются на одну и ту же букву.

      2. Сколько учеников должно быть в классе, чтобы по крайней мере два ученика получили одинаковую оценку на экзамене, оцениваемом по шкале от 0 до 100 баллов?

      3. Докажите, что в любом наборе из 5 целых чисел есть по крайней мере два, которые дают одинаковый остаток при делении на 4.

      4. В мешке 8 красных и 7 синих шаров.

    3. Сколько шаров нужно выбрать, чтобы быть уверенным, что вы выберете 3 одного цвета?

    4. Сколько нужно выбрать, чтобы быть уверенным, что вы выберете 3 красных шара?

      1. Кто-то убирает на чердаке и находит коробку с 12 компакт-дисками в стиле рок и 12 компакт-дисками в стиле кантри.Какое минимальное количество компакт-дисков они могут взять, чтобы гарантировать не менее по одному каждого вида?

      2. Приведите аргумент, что в Атланте есть по крайней мере два человека с одинаковым количеством волос на голове.

      3. В колледже 67 специальностей по математике и 124 специальности ITEC.

    5. Сколькими способами можно выбрать двух представителей, чтобы один был специалистом по математике, а другой — ITEC?

    6. Сколькими способами можно выбрать одного представителя, специализирующегося либо на математике, либо на ITEC?

      1. Тест с несколькими вариантами ответов содержит 20 вопросов, и каждый вопрос имеет четыре варианта ответа.

    7. Сколькими способами студент может ответить на все вопросы теста?

    8. Сколькими способами учащийся может ответить на все вопросы, если ему разрешено пропустить некоторые из них?

      1. Сколько разных трехбуквенных инициалов может быть у человека?

      2. Сколько различных трехбуквенных инициалов оканчивается на «Р»?

      3. Сколько существует битовых строк длины пять?

      4. Сколько существует битовых строк длины семь, начинающихся и заканчивающихся на 0?

      5. Сколько существует битовых строк длины меньше \(n\), где \(n\) — натуральное число, начинающихся и заканчивающихся на 1?

      6. Сколько номерных знаков можно составить, используя четыре цифры, за которыми следуют три заглавные английские буквы, если:

    9. Цифры и буквы могут повторяться?

    10. Цифры и буквы не могут повторяться?

      1. Если каждый студент, изучающий дискретную математику, изучает математику, ITEC или двойную специальность, а в классе 18 математических специальностей (включая двойные специальности), 25 ITEC специальностей (включая двойные специальности) и 8 двойных специальностей, сколько студентов в классе?

      2. Предположим, компьютерная система требует пароль длиной не менее 8 и не более 11 символов, и каждый символ должен быть строчной английской буквой буква, заглавная английская буква, цифра или один из шести специальных символов (*, >, <, !, +, =).{-9}\) секунд). Сколько времени потребуется хакеру проверять каждый потенциальный пароль?

        1. Докажите, что если в классе 29 учеников, по крайней мере у двоих фамилии начинаются на одну и ту же букву.

        2. Сколько учеников должно быть в классе, чтобы было хотя бы два ученика получить одинаковую оценку за экзамен, оцениваемый по шкале от 0 до 50 баллов?

        3. Докажите, что в любом наборе из 8 целых чисел найдутся хотя бы два с одинаковыми остаток при делении на 7.

        4. В мешке 12 красных и 7 синих шаров.

      3. Сколько шаров нужно выбрать, чтобы быть уверенным, что вы выберете 4 одного цвета?

      4. Сколько нужно выбрать, чтобы быть уверенным, что вы выберете 4 красных шара?

        1. Кто-то убирает на чердаке и находит коробку с 12 компакт-дисками в стиле рок, 12 компакт-дисками в стиле хип-хоп и 12 компакт-дисками в стиле кантри.Какое минимальное количество компакт-дисков они могут взять, чтобы гарантировать не менее по одному каждого вида?

        2. Приведите аргумент, что в Атланте есть по крайней мере два человека с одинаковым количеством волос на голове.

        3. Перечислите все перестановки \(\{1, 2, 3\}\).

        4. Сколько существует перестановок множества \(\{1, a, 2, b, 3, c, 5\}\)?

        5. Пусть \(A=\{a, b, c, d\}\)

      5. Перечислите все 3-перестановки \(A\).

      6. Перечислите все 3-комбинации \(A\).

        1. Пусть \(A=\{a, b, c, d, e\}\)

      7. Перечислите все 2-перестановки \(A\).

      8. Перечислите все 2-комбинации \(A\).

        1. Найдите значение следующего

      9. \(Р(5,2)\)

      10. \(Р(10,8)\)

      11. \(Р(14,10)\)

      12. \(Р(12,8)\)

      13. \(С(5,2)\)

      14. \(С(10,8)\)

      15. \(С(14,10)\)

      16. \(С(12,8)\)

        1. Сколько битовых строк длины 10 содержат:

      17. Ровно пять единиц?

      18. Максимум пять единиц?

      19. Хотя бы четыре единицы?

      20. Одинаковое количество нулей и единиц?

        1. Сколько перестановок цифр \(12345678\) содержит:

      21. Строка 284?

      22. Строка 3581?

      23. Строка 21 и 57?

        1. Сколькими способами можно выбрать 9 карт из стандартной колоды из 52 карт?

        2. Сколькими способами можно получить пару в 5-карточной руке (2 карты одного достоинства и 3 карты разного достоинства)?

        3. Сколькими способами вы можете получить фулл-хаус в 5-карточной руке (2 карты одного достоинства и 3 карты одного достоинства)?

        4. Сколько номерных знаков состоят из 4 букв, за которыми следуют 3 цифры, если:

      24. Повторение разрешено?

      25. Повтор не допускается?

        1. Используя \(C(n,r) = \displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\), оцените члены этой треугольной таблицы.Вам понадобится формула, чтобы расширить таблицу до большего количества строк?

      \begin{массив}{ccccccccccccc} &&&&&&&C(0,0)&&&&&&\\ &&&&&& С(1,0) && С(1,1) &&&&&\\ &&&&& С(2,0) && С(2,1) && С(2,2) &&&&\\ &&&& С(3,0) && С(3,1) && С(3,2) && С(3,3) &&&\\ &&& С(4,0) && С(4,1) && С(4,2) && С(4,3) && С(4,4) &&\\ \конец{массив}

      01:640:454 Комбинаторика Осень 2011

      Неделя Даты лекций Секции темы
      1 1 сентября (Чт) 1, 2.1-2.3 Введение, правила произведения и суммы, перестановки
      2 9/6 (только вторник) 2,5 –2,7 r — перестановки и r — комбинации; Подмножества
      3 9/13, 15 (TTh) 2,8–2,11,
      2,13, 2,14
      Вероятность, различимая и неразличимая выборка
      4 9/20, 22 (ТТх) 2.16–2.19 Алгоритмы и комбинации; Принципы сортировки
      5 9/27, 29 (TTh) 3.1, 3.2, 3.3 Графы, связность, BFS, раскраски, планарные графы
      6 10/4, 6 (TTh) 3,4, 3,5 Хроматические многочлены, Деревья и циклы
      7 11/10, 13 (TTh) Главы 2–3 Обзор, Промежуточный экзамен
      8 10/18, 21 (ТТх) 5.1–5,4 Генерация функций и подсчет
      9 10/25, 27 (TTh) 5,5–5,7, 2,15 Производящие функции, перестановки, индексы мощности
      10 11/1, 11/3 (TTh) 6,1–6,3 Рекуррентные отношения
      11 11/8, 10 (TTh) 9.1, 9.2, 9.3 Латинские квадраты, Блочные конструкции, ортогональные блочные конструкции
      12 11/15, 17 (ТТх) 9.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.

      2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
      тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск