Презентация к уроку по информатике и икт (8 класс) на тему: Эйлеровы круги (круги Эйлера).

Слайд 1

Эйлеровы круги (круги Эйлера).

Слайд 2

Цель урока : Познакомить обучающихся с решением простейших логических задач методом кругов Задачи урока Образовательная : дать обучающимся представление о методе кругов Эйлера; Развивающая : развитие логического и аналитического мышления; Воспитательная : воспитание умения выслушивать мнение других обучающихся и отстаивать свою точку зрения.

Слайд 3

Эйлеровы круги (круги Эйлера) — принятый в логике способ моделирования, наглядного изображения отношений между объемами понятий с помощью кругов, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером (1707–1783). Обозначение отношений между объемами понятий посредством кругов было применено еще представителем афинской неоплатоновской школы — Филопоном (VI в.), написавшим комментарии на «Первую Аналитику» Аристотеля.

Слайд 4

1.Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь понятия. Объем же понятия отображает совокупность предметов того или иного класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов можно изобразить посредством точки, помещенной внутри круга:

Слайд 5

2. Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга. Такое именно отношение существует между объемами понятий «небесное тело» (А) и «комета» (B). Объему понятия «небесное тело» соответствует больший круг, а объему понятия «комета» — меньший круг. Это означает, что все кометы являются небесными телами. Весь объем понятия «комета» входит в объем понятия «небесное тело».

Слайд 6

3 . Когда же ни один предмет, отображенный в объеме понятия A, не может одновременно отображаться в объеме понятия B, то в таком случае отношение между объемами понятий изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Ни одна точка, лежащая на поверхности одного круга, не может оказаться на поверхности другого круга. Такое именно отношение существует, например, между понятиями «тупоугольный треугольник» и «остроугольный треугольник». В объеме понятия «тупоугольный треугольник» не отображается ни один остроугольный треугольник, а в объеме понятия «остроугольный треугольник» не отображается ни один тупоугольный треугольник.

Слайд 7

4 . Иначе выглядит схема отношения между объемами субъекта и предиката в общеутвердительном суждении, не являющемся определением понятия. В таком суждении объем предиката больше объема субъекта, объем субъекта целиком входит в объем предиката. Поэтому отношение между ними изображается посредством большого и малого кругов, как показано на рисунке:

Слайд 8

5.Отношения между равнозначащими понятиями, объемы которых совпадают, отображаются наглядно посредством одного круга, на поверхности которого написаны две буквы, обозначающие два понятия, имеющие один и тот же объем: Такое отношение существует, например, между понятиями «родоначальник английского материализма» и «автор „Нового Органона“». Объемы этих понятий одинаковы, в них отобразилось одно и то же историческое лицо — английский философ Ф. Бэкон.

Слайд 9

6 . Нередко бывает и так: одному понятию (родовому) подчиняется сразу несколько видовых понятий, которые в таком случае называются соподчиненными. Отношение между такими понятиями изображается наглядно посредством одного большого круга и нескольких кругов меньшего размера, которые нарисованы на поверхности большего круга: Такое именно отношение существует между понятиями «скрипка», «флейта», «пианино», «рояль», «барабан». Эти понятия в равной мере подчинены одному общему родовому понятию «музыкальные инструменты».

Слайд 10

7. В тех случаях, когда между понятиями имеется отношение противоположности, отношение между объемами таких понятий отображается посредством одного круга, обозначающего общее для обоих противоположных понятий родовое понятие, а отношение между противоположными понятиями обозначается так: А — родовое понятие, B и C — противоположные понятия. Противоположные понятия исключают друг друга, но входят в один и тот же род, что можно выразить такой схемой: При этом видно, что между противоположными понятиями возможно третье, среднее, так как они не исчерпывают полностью объема родового понятия. Такое именно отношение существует между понятиями «легкий» и «тяжелый». Они исключают друг друга. Нельзя об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении, сказать, что он и легкий, и тяжелый. Но между данными понятиями есть среднее, третье: предметы бывают не только легкого и тяжелого веса, но также и среднего веса.

Слайд 11

8.Когда же между понятиями существует противоречащее отношение, тогда отношение между объемами понятий изображается иначе: круг делится на две части так: А — родовое понятие, B и не-B (обозначается как B) — противоречащие понятия. Противоречащие понятия, исключают друг друга и входят в один и тот же род, что можно выразить такой схем ой: При этом видно, что между противоречащими понятиями третье, среднее, невозможно, так как они полностью исчерпывают объем родового понятия. Такое отношение существует, например, между понятиями «белый» и «небелый». Они исключают друг друга. Нельзя об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении, сказать, что он и белый и небе лый.

Слайд 12

9.Посредством Эйлеровых кругов изображаются также отношения между объемами субъекта и предиката в суждениях. Так, в общеутвердительном суждении, выражающем определение какого-либо понятия, объемы субъекта и предиката, как известно, равны. Наглядно такое отношение между объемами субъекта и предиката изображается посредством одного круга, подобно изображению отношений между объемами равнозначащих понятий. Разница только в том, что в данном случае всегда на поверхности круга надписываются две определенные буквы: S (субъект) и P (предикат), как это показано на рисунке:

Слайд 13

Задача 1. Домашние любимцы. У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро — собак. И только у двоих есть и те и другте . Угадайте, сколько у меня подруг? Решение: Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев. В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом — собак. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих. В оставшейся части «кошачьего» круга ставим цифру 4 (6 — 2 = 4). В свободной части «собачьего» круга ставим цифру 3 (5 — 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Слайд 14

Ответ. 9 подруг.

Слайд 15

Задача 2. Библиотеки . В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки? Решение: Пусть круг Ш изображает читателей только школьной библиотеки, круг Р — только районной. Тогда ШР — изображение читателей и районной, и школьной библиотек одновременно. Из рисунка следует, что число учеников, не являющихся читателями школьной библиотеки, равно: (не Ш) = Р — ШР. Всего 30 учеников, Ш = 20 человек, Р = 15 человек. Тогда значение ШР может быть найдено так (см. рисунок): ШР = (Ш + Р) — 30 = (20 + 15) — 30 = = 5, т.е. 5 учеников являются читателями школьной и районной библиотек одновременно. Тогда (не Ш) = = Р — ШР= 15 — 5= 10.

Слайд 16

Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.

Слайд 17

Задача 3. Любимые мультфильмы . Среди школьников пятого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», » Винни Пух», «Микки Маус». Всего в классе 28 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 16 учеников, среди которых трое назвали еще «Микки Маус», шестеро — » Винни Пух», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Микки Маус» назвали 9 ребят, среди которых пятеро выбрали по два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм » Винни Пух»? Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только «Белоснежку» выбрали 16-6-3-1=6 человек. Только «Микки-Маус» выбрали 9-3-2-1=3 человека. Только » Винни-Пух » выбрали 28-(6+3+3+2+6+1)=7 человек. Тогда, учитывая, что некоторые выбрали по несколько мультфильмов, получаем, что » Винни-Пух » выбрали 7+6+1+2=16 человек.

Слайд 18

Задача 7. Спорт для всех. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 — в хоккей, 18 — в футбол. Увлекаются двумя видами спорта — баскетболом и хоккеем — четверо, баскетболом и футболом — трое, футболом и хоккеем — пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта? Решение. Воспользуемся кругами Эйлера. Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта — баскетболом занимаются 16 — (4 + z + 3) = 9 — z ; одним лишь хоккеем 17 — (4 + z + 5) = 8 — z ; одним лишь футболом

Слайд 19

18 — (3 + z + 5) = 10 — z . Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам: 3 + (9 — z ) + (8 — z ) + (10 — z ) + 4 + 3 + 5 + z = 38,z = 2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта. Складывая числа 9 — z , 8 — z и 10 — z , где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек. Ответ: Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека. Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек .

Слайд 20

Задача Спортивный класс. В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 — в волейбол, 12 — в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 — в футбол и баскетбол, а 5 — в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно? Домашнее задание

Презентация к уроку по алгебре (6 класс) на тему: Презентация для кружковой работы «Круги Эйлера.Применение к решению задач»

Слайд 1

Круги Эйлера Пименение к решению задач

Слайд 2

Леонард Эйлер ИДЕАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК XVIII ВЕКА

Слайд 3

Это один из величайших математиков. Родился он в Швейцарии, много лет жил и работал в Петербурге, поэтому его можно считать русским ученым. За свою жизнь он написал более 800 работ по математике, физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки.

Слайд 4

Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д ., носящих имя Эйлера.

Слайд 5

Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера».

Слайд 6

Типы кругов Эйлера

Слайд 7

Задача: Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком? Решение: Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и третьим кругом – тех, кто знают немецкий. французский немецкий английский

Слайд 8

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. 3 Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10-3=7 человек. немецкий французский английский В общую часть английского и французского кругов вписываем цифру 7 . 7 Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8-3=5 человек. В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5. 5

Слайд 9

немецкий французский английский 3 7 5 Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек. Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек. Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек. Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека. В общую часть немецкого и французского кругов вписываем цифру 2. 2 20 13 30 По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком. Ответ: 20 человек.

Слайд 10

Спортивная задача В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 — в хоккей, 18 — в футбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем — четверо, баскетболом и футболом — трое, футболом и хоккеем — пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Слайд 11

РЕШЕНИЕ Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z , общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта – баскетболом занимаются 16 — (4 + z + 3) = 9 — z ; одним лишь хоккеем 17 — (4 + z + 5) = 8 — z; одним лишь футболом 18 — (3 + z + 5) = 10 — z .

Слайд 12

Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочками: 3 + (9 — z ) + (8 — z ) + (10 — z ) + 4 + 3 + 5 + z = 38, z = 2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта. Складывая числа 9 — z , 8 — z и 10 — z , где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек. Ответ. Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека. Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Слайд 13

Спортивная задача В футбольной команде «Спартак» 30 игроков: 18 нападающих. 11 полузащитников, 1 7 защитников Вратари 3 могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Слайд 14

Решение 18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит вратарей будет 30-28=2. Ответ: 2 вратаря .

Слайд 15

Решите самостоятельно 1. В большой дружной семье много детей. Семеро из них любят яблоки, пятеро – груши, шестеро – персики, четверо – яблоки и персики, трое — яблоки и груши, двое – персики и груши, а один – и яблоки, и груши, и персики. Сколько детей было в этой семье?

Слайд 16

Выводы Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными .

Презентация «Множества на кругах «Эйлера-Венна»

МНОЖЕСТВА

на кругах

Эйлера-Венна

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

«Елабужский колледж культуры и искусств»

преподаватель математики и информатики

Лопанова Любовь Александровна

2016 год

Понятие множества является одним из наиболее Общих и наиболее важных математических понятий.

Оно было введено в математику немецким ученым

Георгом кантором (1845-1918).

Следуя кантору множество можно определить так:

Множество – совокупность объектов,

обладающих определенным свойством,

объединенных в единое целое.

МНОЖЕСТВО

ГРУППА ПРЕДМЕТОВ, ОБЪЕДИНЕННЫХ

ОБЩИМ СВОЙСТВОМ

2, 4, 6, 8

Множество

четных однозначных чисел

Множество

геометрических фигур

ПРЕДМЕТ, ВХОДЯЩИЙ ВО МНОЖЕСТВО НАЗЫВАЕТСЯ ЭЛЕМЕНТОМ МНОЖЕСТВА

— элемент множества геометрических фигур

4

— элемент множества четных однозначных чисел

Если каждый элемент множества В является элементом множества А , то множество В называют подмножеством множества А

знак  называется включением (можно сравнить со знаком  )

A  B

A

A

B

Два способа записи множеств:

Первый способ: перечислительный

A={1; 2; 3; 4; 5}

Второй способ: описательный – множество выделяется из всевозможных других тем или иным свойством

A={Х/ — первые пять натуральных чисел}

А

В

Операции над множествами:

1. Объединение A  B =  х / х  А или х  В 

множества

пересекаются

множества не пересекаются

одно множество является подмножеством другого множества A  B

A

A

A

B

B

B

А  В

А  В

А  В=А

Диаграммы Эйлера–Венна

А

В

Операции над множествами:

2. Пересечение A  B = 

х / х  А и х  В 

множества

пересекаются

множества не пересекаются

одно множество является подмножеством другого множества A  B

А

В

А

В

В

А  В= 

А  В

А  В=В

Диаграммы Эйлера–Венна

А

В

Операции над множествами:

3. Разность A \ B =  х / х  А и х  В 

множества

пересекаются

множества не пересекаются

одно множество является подмножеством другого множества A  B

А

А

А

В

В

В

А \ В

А \ В=А

А \ В

Диаграммы Эйлера–Венна

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор во всех странах изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер.

Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук.

Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

Леонард Эйлер

(1707 — 1783)

Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн — британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки.

Джон Венн (1834 — 1923)

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».

Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Очевидное и невероятное

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов:

N-множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество вех действительных чисел.

5/6

-36

5

N

Z

R

Q

1

0

9

-0,25

-7

Круги ЭЙЛЕРА — геометрические схемы, с помощью которых можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

 

А В-?

Натуральные числа

А

Четные числа

Простые числа

2

В

А В-?

 

C

D

Система наук

на кругах Эйлера-венна

естественные

социальные

технические

гуманитарные

философия

Примеры кругов Эйлера-Венна

Игрушка

Пистолет

Заводная

игрушка

Кукла

Заводной

автомобиль

Перерисуй и раскрась

графические задачи:

Задача на числовые множества

Даны множества A={1; 3; 6; 8}, В={2; 4; 6; 8}.

 

Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В: AB, AB, AB, B ∖ A — ?

Решение:

Очевидно, что объединение двух данных множеств AB={1; 2; 3; 4; 6; 8}, их пересечение AB={6; 8}, а разности AB={1; 3} и ВА={2; 4}

 

Так эти множества можно представить на кругах.

А

В

2

6

3

1

8

4

Задача «Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Решение:

Изобразим эти множества

на кругах Эйлера .

11

20

35

диски

диски Земфиры

Максим

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

не купили диски

5

6

10

диски

диски Земфиры

Максим

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры

Задача «Занятия в кружках»

В классе 27 учеников. Из них 10 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 8 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение:

По рисунку (М) помещены все математики, а в (Б) – все биологи, те ребята, которые не ходят на кружки и помещены они в самый большой круг. Теперь посчитаем:

Внутри большого круга 27 ребят.

Внутри 2-х меньших 27-8=19 ребят.

Внутри М находятся 10 ребят.

Внутри Б находятся 19-10=9 биологов (не посещающих математический кружок)

Внутри МБ находятся 11-9=2 биологов увлекающиеся математикой.

М

МБ

Б

Ответ: 2 биологов посещают математический кружок

Задача «Шашки и шахматы»

В группе колледжа 19 студент. 11 человек умеют играть в шашки, 10 – в шахматы. 7 студентов умеют играть и в шахматы и в шашки. Дайте цифровые ответы

Играют только в шашки — ?

Играют только в шахматы — ?

Играют и в шашки, и шахматы – 7 чел.

Ни играют ни в шашки, ни в шахматы — ?

7

Проверь ответы:

Играют только в шашки – 4 чел.

Играют только в шахматы – 3 чел.

Играют и в шашки, и шахматы – 7 чел.

Не играют ни в шашки, ни в шахматы – 5 чел.

7

Задача «Знание языков»

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.

Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и третьим кругом – тех, кто знают немецкий.

французский

немецкий

английский

французский

Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека.

немецкий

20

2

30

3

7

5

13

В общую часть немецкого и французского кругов вписываем цифру 2 .

английский

Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек.

Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек.

Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком.

Ответ: 20 человек

Задача «Студенты на занятиях»

В группе 11 студентов слушают преподавателя, 13 – играют на гаджетах и 7 студентов – спят на паре. Четверо слушают преподавателя и играют в гаджет, 3 – слушают и временами спят, 6 – играют в гаджет и иногда спят, а двое и слушают преподавателя и играют и спят. Сколько студентов в этой группе?

Решение:

манная

перловая

0

11

6

3

1

7

2

4

2

6

4

5

13

Ответ:

6+1+2+2+0+4+5=20 студентов

гречневая

Задача «Многодетная семья»

В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

Решение:

капуста

морковь

1

4

7

3

6

1

1

3

2

2

1

1

5

горох

Ответ: 10 человек

Задача «Студенты и музыка»

В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

Решение:

классическая музыка

джаз

7

1

6

15

14

4

5

9

4

2

7

14

3

народная музыка

Ответ:

29-7-2-1-5-3-4-4=3 (человека)

– не любят никакую музыку

Задача «Домашние любимцы»

У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро — собак. И только у двоих есть и те и другие.

Угадайте, сколько у меня подруг? : Изобразим два круга, так как у нас два вида питом цев.

В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом — собак.

Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть.

В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих.

В оставшейся части «кошачьего» круга ставим цифру 4 (6 — 2 = 4).

В свободной части «собачьего» круга ставим цифру 3 (5 — 2 = 3).

А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Решение:

Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев.

В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом — собак.

Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть.

В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих.

В оставшейся части «кошачьего» круга ставим цифру 4 (6 — 2 = 4).

В свободной части «собачьего» круга ставим цифру 3 (5 — 2 = 3).

А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

С

К

2

3

4

Ответ: 9 подруг

Задача «Хобби»

Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу — 8 человек, спортивную школу — 12 человек, музыкальную и художественную школу — 3, художественную и спортивную школу — 2, музыкальную и спортивную школу — 2, все три школы посещает 1 человек.

Сколько учеников посещают только одну школу?

Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

Решение:

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только музыкальную школу посещают 10-3-2-1=4 учащихся. Только художественную школу посещают 8-3-2-1=2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12-2-2-1=7 учащихся.

Только одну школу посещают 4+2+7=13 учеников.

Ни в чем себя не развивают 24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 учащихся.

Ответ: 13 учеников посещают только одну школу, 3 учащихся себя не развивают

Задача «Школьники на экскурсии»

Учащиеся 5 и 6 классов отправились на экскурсию. Мальчиков было 16, учащихся 6 класса – 24, пятиклассниц столько, сколько мальчиков из 6 класса. Сколько всего детей побывали на экскурсии?

Решение:

мальчики

5 класс

16

мальчики

девочки

6 класс

5 класс

девочки

6 класс

24

Ответ: 40 человек

Задача «Ковровое покрытие»

На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь одного из них -10 м², другого – 8 м², третьего – 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1 м². Найдите площадь участка пола:

а)покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим ковром;

б)покрытого только первым ковром;

в)не покрытого коврами.

Решение:

2

1

5

10

Ответ:

2

3

а) 10м²;

б) 5 м²;

в) 24-10-5-1=8 м²

3

8

1

3

2

3

2

6

1

3

Задача «Туристы»

Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?

Решение:

немецкий

французский

75

83

х

Получим уравнение: 75+83-х=90

158-х=90

х=68

100-10=90

Ответ: 68 человек знали оба языка

Задача для самостоятельного решения:

1. Из 40 опрошенных человек 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько человек не любят ни молоко, ни лимонад?

Ответ: 2 человека

30

Задача для самостоятельного решения:

2. В воскресенье 19 учеников класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – в музее. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и музей – трое, в цирке и музее был один человек. Сколько учеников в классе, если никто не успел посетить все три места, а трое вообще никуда не ходили?

Ответ: 29 человек

Задача для самостоятельного решения:

3. В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты спортом?

Ответ: 17 ребят, 11 спортсменов

Задача для самостоятельного решения:

4. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Ответ: 7 сотрудников

Придумайте задачи по картинкам

Использованные Интернет-ресурсы:

• http :// mat .1 september . ru   Газета «Математика» Издательского дома «Первое сентября»
• http :// www . math . ru Math.ru: Математика и образование
• http://festival.1september.ru/articles/635933 /
• https://znanija.com/task/3231925
• https:// yandex.ru/images/search?textstype=image&lr=43&noreask=1&parent-reqid=1483952074037160-1110803268472871449321762-sas1-3418&source=wiz

Презентация по математике «Круги Эйлера»

Презентация на тему: Круги Эйлера

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда: № слайда 2 Описание слайда:

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

№ слайда 3 Описание слайда:

С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения». Понятно, что слово «круг» здесь весьма условно, множества могут изображаться на плоскости в виде произвольных фигур. С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения». Понятно, что слово «круг» здесь весьма условно, множества могут изображаться на плоскости в виде произвольных фигур.

№ слайда 4 Описание слайда:

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

№ слайда 5 Описание слайда:

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N-множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел.

№ слайда 6 Описание слайда:

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.  Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. 

№ слайда 7 Описание слайда:

Круги ЭЙЛЕРА — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.  Круги ЭЙЛЕРА — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. 

№ слайда 8 Описание слайда: № слайда 9 Описание слайда:

"Обитаемый остров" и "Стиляги" "Обитаемый остров" и "Стиляги" Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»? 

№ слайда 10 Описание слайда:

Решение Решение Чертим два множества таким образом:

№ слайда 11 Описание слайда: № слайда 12 Описание слайда:

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры: Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

№ слайда 13 Описание слайда:

Рассмотрение простейших случаев кругов Эйлера – Венна Рассмотрение простейших случаев кругов Эйлера – Венна а) Пусть дано некоторое множество и указано свойство А. Очевидно, элементы данного множества могут обладать или не обладать данным свойством. Поэтому данное множество распадается на две части, которые можно обозначить через А и А*. На рисунке можно это изобразить двумя способами.

№ слайда 14 Описание слайда:

б) Пусть дано некоторое множество и указаны два свойства: А, В. Так как элементы данного множества могут обладать или не обладать каждым из этих свойств, то возможны четыре случая: АВ, АВ*, А*В, А*В*. Следовательно, данное множество распадается на 4 подмножества. Это можно изобразить также двумя способами: в виде кругов или диаграмм. б) Пусть дано некоторое множество и указаны два свойства: А, В. Так как элементы данного множества могут обладать или не обладать каждым из этих свойств, то возможны четыре случая: АВ, АВ*, А*В, А*В*. Следовательно, данное множество распадается на 4 подмножества. Это можно изобразить также двумя способами: в виде кругов или диаграмм.

№ слайда 15 Описание слайда:

в) Пусть дано некоторое множество и указаны три свойства: А, В, С. В этом случае данное множество распадается на восемь частей. Это можно изобразить двумя способами. в) Пусть дано некоторое множество и указаны три свойства: А, В, С. В этом случае данное множество распадается на восемь частей. Это можно изобразить двумя способами.

№ слайда 16 Описание слайда:

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера Задача №1. Сколько натуральных чисел из первого десятка не делится ни на 2, ни на 3? Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться кругами Эйлера. В нашем случае три круга: большой круг – это множество чисел от 1 до 10, внутри большого – два меньших круга, пресекающихся друг с другом. Пусть множество чисел, кратных 2– это множество А, а множество чисел, кратных 3 – множество В. Рассуждаем. На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На 3 делится 3 числа (10:3). На 2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Такое число только одно. Поэтому множество А состоит из 5-1=4 чисел, множество В – 3-1=2 чисел. Отсюда следует, что в первом десятке содержится 10-(4+1+2)=3 числа.

№ слайда 17 Описание слайда:

Задача № 2. Задача, решаемая с помощью диаграммы Эйлера – Венна. Задача № 2. Задача, решаемая с помощью диаграммы Эйлера – Венна. Ребятам поручили изготовить кубики. Несколько кубиков сделали из картона, а остальные из дерева. Кубики были двух размеров: большие и маленькие. Часть из них покрасили в зеленый цвет, другую – в красный. Получилось 16 зеленых кубиков. Зеленых кубиков большого размера было 6. Больших зеленых из картона было 4. Красных кубиков из картона было 8,красных кубиков из дерева – 9. Больших деревянных кубиков было 7, а маленьких деревянных кубиков было 11. Сколько же всего получилось кубиков? Решение. Выполняем рисунок.

№ слайда 18 Описание слайда:

Составление задач, имеющих практическое значение. Составление задач, имеющих практическое значение. Задача 1. В классе 35 учеников. В математическом кружке из них 12 занимаются, в биологическом — 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой. Решение: Мы видим, что кружки посещают 19 ребят, так как 35 — 16=19, из них 10 человек посещают только математический кружок (19-9=10) и 2 биолога (12-10=2) увлекаются математикой. Ответ: 2 биолога. С помощью кругов Эйлера легко увидеть и другой способ решения задачи. Количество учеников изобразим с помощью большого круга, а внутри поместим круги поменьше.

№ слайда 19 Описание слайда:

Заполняем диаграмму. Заполняем диаграмму. 1) Надо начинать с того подмножества, для которого указаны три свойства. Это большие зеленый кубики из картона – таких кубиков 4. 2) Далее ищем подмножества, для которого указаны два свойства из перечисленных трех. Это большие зеленые кубики – 6. Но это подмножество состоит из картонных и деревянных. Картонных было 4. Значит, деревянных 6-4=2. 3) Больших деревянных кубиков 7. Из них зеленых – 2. Значит, красных будет 7-2=5. 4) Красных деревянных кубиков 9., из них 5 – большие. Значит, маленьких красных кубиков из дерева будет 9-5=4. 5) Маленьких деревянных кубиков 11. Из них красных – 4. Значит, маленьких зеленых кубиков из дерева 11-4=7. 6) Всего зеленых кубиков 16. Зеленые кубики помещены в кольцеобразную часть, состоящую из четырех частей. Значит, маленьких зеленых кубиков из картона 16-(4+2+7)=3. 7) Осталось последнее условии: красных кубиков из картона было 8. Нам и не надо узнать, сколько из них маленьких, сколько больших. 8) Считаем: 2+5+8+4+4+7+3=33. Ответ: всего было изготовлено 33 кубика.

№ слайда 20 Описание слайда: № слайда 21 Описание слайда:

В результате работы над данной темой я пришла к следующим выводам: В результате работы над данной темой я пришла к следующим выводам: 1. Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество полностью; 2. Любое натуральное число является элементом любого следующего множества. 3. Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.

№ слайда 22 Описание слайда: