17 вопрос

17

Сложение скоростей в СТО

Классический закон сложения скоростей не может быть справедлив, т.к. он противоречит утверждению о постоянстве скорости света в вакууме. Если поезд движется со скоростью v и в вагоне в направлении движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость относительна Земли все равно c, а не v + c.

Рассмотрим две системы отсчета.

В системе K₀ тело движется со скоростью v₁. Относительно же системы K оно движется со скоростью v₂. Согласно закону сложения скоростей в СТО: Если

v << c и v₁ << c, то слагаемым можно пренебречь, и тогда получим классический закон сложения скоростей: v₂ = v₁ + v.

При v₁ = c скорость v₂ равна c, как этого требует второй постулат теории относительности: При v₁ = c и при v = c скорость v₂ вновь равна скорости c.

Замечательным свойством закона сложения является то, что при любых скоростях v₁ и v (не больше c), результирующая скорость v₂ не превышает c. Скорость движения реальных тел больше, чем скорость света, невозможна. Допустим, что два тела движутся навстречу друг другу со скоростями 200 000 км/с, тогда по классической формуле сложения скоростей получим:

v₂ = 200 000 км/c + 200 000 км/c = 400 000 км/с, а по закону сложения скоростей в СТО v₂ = 277 000 км/с.

studfile.net

2.3. Классический закон сложения скоростей

Дифференцируя правую и левую части выражения (5.1) по времени t, получим или, (48)

где

– скорость м. т. М в системе S (абсолютная скорость),– cкорость м. т. М в системеS^* (относительная скорость), u – переносная скорость.

Формула (48) выражает классический закон сложения скоростей.

Абсолютная скорость м. т. М равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Дифференцируя правую и левую части выражения (48) по времени t, получим а = а^*, т. е. абсолютное ускорение равно относительному. Равенство показывает, что системаS^* также является инерциальной, как и система S, причём .

Вывод: Система отсчёта, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчёта, является инерциальной. В инерциальных системах отсчёта одновременно выполняются 1-й, 2-й и 3-й законы Ньютона, а сила инвариантна относительно преобразований Галилея.

2.4. Механический принцип относительности Галилея

Никакими механическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчёта, нельзя установить, находится она в покое или движется равномерно и прямолинейно (Принцип относительности Галилея).

Позднее Эйнштейн обобщил принцип относительности Галилея: Вообще никакими физическими опытами (механическими, тепловыми, электрическими, магнитными, оптическими и т. д.), производимыми в инерциальной системе отсчёта, нельзя установить факта её покоя или равномерного и прямолинейного движения. Согласно современной парадигме установлен всеобщий принцип относительности.

2.5. Неинерциальные системы отсчета

В предыдущих разделах пособия всякое движение описывалось относительно инерциальных систем отсчета, т. е. таких систем, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно. Если же система движется с ускорением относительно инерциальной, то она является

неинерциальной системой отсчета.

Неинерциальными системами отсчета называют системы отсчета, которые движутся относительно инерциальных систем отсчета, с ускорением.

В природе на Земле и в Космосе большинство объектов совершают в основном вращательные движения в глобальных масштабах. В частности, наша Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца и, следовательно, система отсчета, связанная с Землей, не будет инерциальной.

2.6. Кинематика поступательного движения

в неинерциальной системе отсчета

Пусть м. т. А движется относительно неинерциальной системы отсчета «НИ» (координаты – x^*, y^*, z^* ).

Сама система движется относительно инерциальной (неподвижной) системы отсчета (x, y, z) поступательно с ускорением а

0 (рис. 4.2).

Согласно рис. 4.2 имеем

, (48)

где – радиус-вектор, соединяющий начала ОО^* систем отсчета; – радиус-вектор, характеризующий положение т. А относительно подвижной системы отсчета;– радиус-вектор, характеризующий положение т. А относительно неподвижной системы отсчета.

Рассмотрим случай, когда неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной системы отсчета поступательно с ускорением а

0.

Всякое движение в пространстве осуществляется с течением времени, поэтому, дифференцируя по времени дважды выражение (48), получим

Рис. 26

. (49)

Согласно определению мгновенного ускорения, имеем

, (50)

где а₀ – переносное ускорение, вызванное поступательным движением подвижной «НИ» системой отсчета относительно инерциальной; а_отн – относительное ускорение, вызванное движением т. А относительно подвижной «НИ»; а – полное (абсолютное) ускорение т. А относительно инерциальной системы отсчета «И»:

Вывод: Вектор полного ускорения м. т. равен геометрической сумме векторов переносного и относительного ускорений.

studfile.net

Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть тело в системе отсчета K’ обладает скоростью v’, направленной по оси x’ (и x): . В системе отсчетаK скорость этого тела будет . Выясним каково соотношение между скоростямиv’ и

v. Рассмотрим производную как отношение дифференциалов dx и dt, которые найдем, используя преобразования Лоренца:

Разделим числитель и знаменатель правой части на dt’ и получим

т.е. в отличие от преобразований Галилея суммарная скорость не равна сумме скоростей, а в раз ниже. Пусть тело движется в ракете со скоростью светаv’_x= c, а ракета движется со скоростью света относительно неподвижной системы координат v₀ = c. С какой скоростью v_x движется тело относительно неподвижной системы координат ?

По преобразованию Галилея эта скорость v = v’_x + v₀ = 2c. По преобразованию Лоренца

Понятие о релятивистской динамике. Законы взаимосвязи массы и энергии. Полная и кинетическая энергия. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Движение не слишком малых тел с не очень высокими скоростями подчиняется законам классической механики. В конце XIX века экспериментально установлено, что масса тела m не является неизменной величиной, а зависит от скорости v его движения. Эта зависимость имеет вид

где m₀ – масса покоя.

Если v = 300 км/с, то v²/c² = 1∙ 10^-6 и m > m₀ на величину 5 ∙ 10^-7 m₀ .

Отказ от одного из основных положений (m= const) классической механики привел к необходимости критического анализа и ряда других его основ. Выражение импульса в релятивистской динамике имеет вид

Законы механики сохраняют свой вид и в релятивистской динамике. Изменение импульса d(mv )равно импульсу силы Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Отсюда dp/dt = F- есть выражение основного закона релятивистской динамики для материальной точки.

В обоих случаях входящая в эти выражения масса является переменной величиной (m ≠ const) и ее также необходимо дифференцировать по времени.

Установим связь между массой и энергией. Возрастание энергии, так же как и в классической механике, вызывается работой силы F. Следовательно, dE = Fds. Разделив левую и правую части на dt, получим

Подставляем сюда

.

Умножив левую и правую части полученного равенства на dt , получим

Из выражения для массы определим

.

Продифференцируем выражение v².

Подставим v² и d(v²) в выражение для dE

Интегрируя это выражение, получим E = mc².

Полная энергия системы Е равна произведению массы на квадрат скорости света в вакууме. Связь между энергией и импульсом для частиц не имеющих массы покоя в релятивистской динамике дается соотношением

E = pc,

которое легко получить математически: E=mc² ,p=mv. Возведем оба равенства в квадрат и обе части второго домножим на с²

E² = m² c⁴ , p² c² = m² v² c² .

Вычтем почленно из первого равенства второе

E² – p² c² = m² c⁴-m² v² c² = m² c⁴ (1-v² / c² ).

Учитывая, что получим

Так как масса покоя m₀и скорость света с величины, инвариантные к преобразованиям Лоренца, то соотношение (E² — p² c² ) также инвариантно к преобразованиям Лоренца. Из этого соотношения получим выражение для полной энергии

Таким образом, из этого уравнения можно сделать вывод:

энергией обладают и материальные частицы, не имеющие массы покоя (фотоны, нейтрино). Для этих частиц формула связи энергии и импульса имеет вид E = pc.

Из приведенных выше преобразований получили dE=c²dm. Интегрирование левой части в пределах от E₀ до Е, а правой от m₀ до m, дает

E – E₀ = c² (m – m₀ ) = mc² – m₀ c² ,

где E = mc²— полная энергия материальной точки,

E₀=m₀c²— энергия покоя материальной точки.

Разность Е – Е₀есть кинетическая энергия Т материальной точки.

При скоростях v « c , разложим в ряд:

=.

Учитывая, что v « c, ограничимся первыми двумя членами в ряду.

Тогда

т.е. при скоростях v много меньших скорости света в вакууме релятивистская формула кинетической энергии обращается в классическую формулу для кинетической энергии .

studfile.net

Релятивистский закон сложения скоростей — Релятивистская механика — МЕХАНИКА — ВСЕ УРОКИ ФИЗИКИ 10 класс — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков — разработки уроков по физике

2-й семестр

 

МЕХАНИКА

 

5. Релятивистская механика

Урок 2/69

Тема. Релятивистский закон сложения скоростей

 

Цель урока: ознакомить учащихся с релятивістським законом сложения скоростей

Тип урока: изучение нового материала

План урока

Демонстрации	5 мин.	Фрагмент видеофильма «Принцип относительности Галилея»
Изучение нового материала	30 мин.	1. Классический закон сложения скоростей. 2. Релятивистский закон сложения скоростей. 3. Относительность одновременности. 4. Относительность для двух событий понятий «раньше» и «позже»
Закрепление изученного материала	10 мин.	1. Тренируемся решать задачи. 2. Контрольные вопросы

 

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

1. Классический закон сложения скоростей

Движение любого тела является относительным: его положение, скорость, вид траектории зависят от того, относительно какой системы отсчета (тела отсчета) это движение рассматривается. Чтобы описать движение тела, удобно выбирать інерціальну систему отсчета, потому что в этой системе отсчета изменение скорости тела обусловлено только действием на него других тел.

Ø Инерциальными системами отсчета называются такие системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона. Впервые утверждение о равноправии всех инерциальных систем отсчета высказал Галилей, поэтому его называют принципом относительности Галилея (или принципом относительности классической физики).

Во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково.

Из этого принципа вытекает, что не существует никакой выделенной системы отсчета, которую можно было бы назвать «находится в состоянии покоя»: все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. А это означает, что скорость любого тела относительная: ее можно определить лишь относительно определенного тела.

Из принципа относительности Галилея следует, что законы Ньютона имеют ту же форму во всех ИСВ. При этом если тело движется относительно инерциальной системы со скоростью ‘, а сама система движется со скоростью v относительно неподвижной системы, то скорость и тела относительно неподвижной системы отсчета равна:

Это соотношение называется законом сложения скоростей Галилея (или классическим законом сложения скоростей).

2. Релятивистский закон сложения скоростей

Как согласовать утверждение о независимости скорости света от движения источника с алгебраическим добавлением обычных скоростей в механике? Эйнштейн показал, что обычная формула механики для сложения скоростей неверна и должна быть изменена. Релятивистский закон сложения скоростей имеет вид:

Если с, эта формула переходит в известную формулу преобразования Галилея для скорости. Действительно, если с, то и

Если одна из скоростей равна скорости света, например ≈ с, то

Этот результат демонстрирует тот факт, что движение системы отсчета не влияет на скорость распространения света в ней. Величина с играет роль предельно большой скорости для любых тел или материальных сигналов.

3. Относительность одновременности

К началу XX в. никто не сомневался в том, что время является абсолютным. Два события, одновременные для жителей Земли, являются одновременными для жителей любой космической цивилизации. Создание теории относительности показало, что это не так.

Обратимся к мысленному эксперименту. Пусть прямолинейным участком пути движется вагон длиной 6 600 000 км со скоростью 250 000 км/с. Предположим, что в некоторый момент в середине вагона загорелась лампочка. Наблюдатель, находящийся в вагоне, увидит, что свет дойдет до передней и задней его стенок одновременно. Время распространения света:

где s — половина длины вагона; с — скорость света:

Для наблюдателя, стоящего на платформе, скорость распространения света будет одинаковой во всех направлениях, но вагон относительно него движется. Свет, что распространялось в направлении движения вагона, догоняет его, поэтому свет пройдет до встречи с передней стенкой вагона путь l1 = s + t1, где t1 — время распространения света от источника к передней стенке вагона, а l1 = ct1. Отсюда:

Свет, который распространяется против направления движения вагона, пройдет до встречи с его задней стенкой путь l2 = s + t2, где t2 — время распространения света к задней стенке вагона. Отсюда:

Следовательно, с точки зрения наблюдателя, стоящего на платформе, свет дойдет до передней и задней стенок вагона не одновременно: к задней стенке он дойдет на 60 сек быстрее, чем к передней. Следовательно,

Ø два события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не являются одновременными в другой инерциальной системе отсчета.

Одновременность — не абсолютная характеристика явлений. Разные наблюдатели могут иметь разные представления об одновременности событий.

Эйнштейн показал, что для каждой системы отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно другой системы отсчета, существует свое собственное время.

Почему же относительность одновременности событий практически невозможно наблюдать в повседневной жизни? Представить себе это наглядно, «почувствовать», мы не можем из-за того, что скорость света намного больше за те скорости, с которыми движемся мы. Одновременность может проявиться лишь в процессе сравнения событий, рассмотренных в системах отсчета, которые движутся друг относительно друга со скоростью, которая сравнима со скоростью света.

4. Относительность для двух событий понятий «раньше» и «позже»

Если изменить описанный мысленный эксперимент, и в том же вагоне, который движется со скоростью 250 000 км/с, поместить лампочку не в середине вагона, а на расстоянии 2 200 000 км от передней стенки вагона, то можно показать, что, с точки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне, свет встретится с передней стенкой вагона раньше, чем с задней. С точки зрения наблюдателя, стоящего на платформе, свет встретится с задней стенкой вагона раньше, чем с передней.

Следовательно, понятие «раньше» и «позже» являются относительными.

Рассмотрим пример: в некоторой точке Галактики вспыхнула «новая» звезда. Через некоторое время свет от этой звезды дойдет до наблюдателя на Земле. Здесь попадание света в глаз наблюдателя является следствием рождения «новой» звезды, а рождение зари является причиной попадания света в глаз наблюдателя. Эти два события связаны причинно-следственной связью. Из какой бы системы отсчета не велось наблюдение, распространение света от звезды в коем случае не может предшествовать его рождению, то есть следствие никогда не может наступить раньше причины.

Следовательно, если события связаны причинно-следственной связью, то для них понятия «раньше» и «позже» являются абсолютными.

Если события не связаны причинно-следственной связью, как в примере с вагоном, то понятие «раньше» и «позже» являются относительными. В этом случае изменение порядка чередования событий во времени не противоречит закону причинности, т.е. следствие не наступает раньше причины.

 

Вопрос к ученикам во время изложения нового материала

1. Что вы понимаете под инерциальными системами отсчета? Приведите примеры.

2. Принцип относительности классической физики.

3. В чем заключаются различия в формулировке принципа относительности Галилея и принцип относительности Эйнштейна?

4. Сравните понятия одновременности в классической физике и в теории относительности.

5. В каком случае понятия «раньше» и «позже» являются относительными, а в каком — абсолютными?

6. Два события в некоторой инерциальной системе отсчета происходят в одной точке одновременно. Будут ли эти события одновременными в другой инерциальной системе отсчета?

7. Можно утверждать, что пространственно разделенные события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, одновременные и во всех других инерциальных системах отсчета?

 

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1). Тренируемся решать задачи

1. Космический корабль удаляется от Земли с относительной скоростью = 0,75 с. С него стартует ракета (в направлении от Земли) со скоростью u’= 0,75 с относительно корабля. Чему равна скорость ракеты относительно Земли?

2. Две частицы удаляются от наблюдателя со скоростью 0,7 с в противоположные стороны. Которой является скорость частиц относительно друг друга?

3. Две фотонные ракеты удаляются друг от друга со скоростью 0,65 с относительно земного наблюдателя. Чему равна относительная скорость ракет?

2). Контрольные вопросы

1. При каких скоростей движения релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический закон?

2. В чем заключается принципиальное отличие скорости света от скоростей движения всех тел?

3. Что означает выражение «события А и В являются одновременными»?

4. Докажите, что понятия «раньше» и «позже» являются относительными.

5. Какие события называются одновременными?

 

Что мы узнали на уроке

• Во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково.

• Классический закон сложения скоростей:

• Релятивистский закон сложения скоростей:

• Событие — это упрощенная модель такого явления, которое в заданной системе отсчета можно считать таким, что происходит в определенной точке пространства в определенный момент времени.

• События, одновременные в одной системе отсчета, оказываются неодновременным в другой системе отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно относительно первой, то есть одновременность — понятие относительное.

 

Домашнее задание

1. П.: § 48.

2. 36.:

г1) — 22.5; 22.6;

р2) — 22.7; 22.20; 22.21;

г3) — 22.33, 22.34; 22.39.

na-uroke.in.ua