Задачи со степенями и радикалами. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

На данном уроке мы рассмотрим более сложные задачи со степенями и радикалами, решение которых базируется на определении и свойствах степени с рациональным показателем.

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Для  выполняется равенство:

.

Например:

Напомним свойства степеней с рациональными показателями.

Здесь , , s и r – рациональные числа.

1. ;

2.

;

3. ;

4. ;

5. .

Пример 1 – вычислить:

.

Пример 2 – сократить дробь:

.

Чтобы сократить заданную дробь, нужно разложить знаменатель на множители:

.

В результате преобразований получили дробь:          

.

Данный ответ справедлив при условии, что , иначе дробь не имеет смысла.

Сделаем некоторые замечания:

• При  замена  допустима,
   (по определению степени с положительным рациональным показателем).

Пример 3 – сократить дробь:

.

ОДЗ:

.

В данном случае для разложения нужно применить другую формулу сокращенного умножения и разложить числитель:

.

В результате преобразования получили дробь:

.

Ответ справедлив в том случае, если m и n одновременно не равны нулю, данный факт часто записывают следующим образом:

.

Пример 4 – упростить выражение:

.

Несложно заметить, что произведение второй и третьей скобок можно свернуть по формуле разности квадратов:

В результате преобразования получили произведение двух скобок, которое также можно свернуть по формуле разности квадратов:

.

Отметим, что в данном случае значения а ограничены:

 (по определению степени с рациональным положительным показателем).

Пример 5 – решить уравнение:

.

Скобка – это конкретное число, не зависящее от х, имеем право на нее сократить и получить , но только в том случае, если выражение в скобках не равно нулю. Проверим:

.

В результате преобразований получили скобку:

.

Пример 6 – решить уравнение:

а) .

Возводим уравнение в куб:

.

б)

Ответ: .

в)

Ответ: .

Пример 7 – решить уравнение:

.

При решении данного уравнения следует не забыть про область определения и ввести замену переменных:

, .

После введения замены получили уравнение:

.

Решаем полученное квадратное уравнение любым удобным способом, например по теореме Виета:

.

Первый корень не входит в ОДЗ, остается корень , отсюда находим ответ:

.

Пример 8 – решить уравнение:

а)

Ответ: .

б)

.

Ответ: .

в)

.

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели различные типовые задачи со степенями и радикалами, на следующем уроке мы перейдем к изучению степенных функций.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 438, 439, 444.
2. Сократить дробь:
   
3. Упростить выражение:

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математика (Источник).
2. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
3. Интернет-портал Terver.ru (Источник).

interneturok.ru

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)

На этом уроке мы продолжим изучение умножения и деления степеней с одинаковыми показателями. В начале урока сделаем краткую сводку уже известных нам формул действий со степенями. Далее будем решать примеры на все действия со степенями.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)

Напоминание:

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

n — показатель степени,

— n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что  n > k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

Теорема 4.

Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Теорема 5.

Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

Пример 1: Возвести дробь в степень.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 5.

а)

б)

Для решения следующего примера вспомним формулы:

в)

д) 

Замечание: ,

е)

ж) 

Пример 2: Вычислите.

а)

б)

Пример 3: Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.

а)  

б)

б)

б)   или по-другому:  

Пример 4: Вычислить наиболее рациональным способом.

а)

б)

в)

г)

д)

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. 583, 584, 585 стр. 152. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Вычислить наиболее рациональным способом.

а)  б)   в) 

3. Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.

а)   б)   в)

interneturok.ru

Свойства степени с натуральным показателем. Примеры с решениями

Возведение произведения в степень

Выражение (ab)ⁿ является степенью произведения множителей a и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней aⁿbⁿ. Докажем это на примере.

По определению степени:

Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:

Группируем отдельно множители a и множители b и получаем:

Воспользовавшись определением степени, находим:

Следовательно:

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:

(3a²b)² = 9a⁴b²

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Возведение частного в степень

Для возведения в степень частного надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:

Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:

Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:

Возведение степени в степень

Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.

Например, нам нужно возвести 7² в третью степень:

(7²)³

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:

(7²)³ = 7² · 7² · 7² = 7²⁺²⁺² = 7^2·3 = 7⁶

Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Общая формула возведения степени в степень:

(a^x)^y = a^xy

Примеры на свойства степеней

Пример 1. Выполните действия:

а) (x⁵)³;      б) 2(n³)⁵;      в) -4(a⁴)²

Решение:

а) (x⁵)³ = x^{5 · 3} = x¹⁵         
б) 2(n³)⁵ = 2n^{3 · 5} = 2n¹⁵   
в) -4(a⁴)² = -4a^{4 · 2} = -4a⁸

Пример 2. Возведите в степень:

а) (-2mn)⁴;      б) (3bc)³;      в) (-6a⁴b)²

Решение:

а) (-2mn)⁴ = (-2)⁴ · m⁴ · n⁴ = 16m⁴n⁴                        
б) (3bc)³ = 3³ · b³ · c³ = 27b³c³                                 
в) (-6a⁴b)² = (-6)² · (a⁴)² · b² = 36 · a⁸ · b² = 36a⁸b²

Пример 3. Возведите дробь в степень:

а) (	2a	)2;      б) (-	xy	)5;      в) (	a2b	)3
	5		z		2c3

Решение:

а) (	2a	)2 =	(2a)2	=	4a2
	5		52		25

б) (-	xy	)5 = —	(xy)5	= —	x5y5
	z		z5		z5

в) (	a2b	)3 =	(a2b)3	=	(a2)3 · b3	=	a6b3
	2c3		(2c3)3		23 · (c3)3		8c9

naobumium.info

Калькулятор степеней онлайн: формула, примеры с решением

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 13⁴ — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 13⁴ на 13², то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 13⁶. Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

a^m × aⁿ = a^(m+n).

Если разделить 13⁴ на 13², то нам потребуется вычислить дробь вида:

(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 13². Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так:

a^m / aⁿ = a^(m – n).

Теперь давайте возведем 11⁴ в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так:

(a^m)ⁿ = a^(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 15⁰? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 15⁴ на 15⁴, что запишется как дробь:

15⁴ / 15⁴.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 15⁰. Следовательно:

15⁴ / 15⁴ = 15⁰ = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так:

a⁰ = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 8² на 8⁴ и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8^-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

a^-m = 1 / a^m

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

a^-1 = 1 / a.

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7^(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка. Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат. Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как:

a^(m/n) есть корень n-ной степени из a^m.

Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e^(kt),

где a – начальное значение, e – константа, равная 2,718; k – коэффициент роста; t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x^2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции. Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Заключение

Возведение в степень — арифметическая операция последовательного умножения. Степени имеют больше значение в прикладных науках, так как большинство реальных процессов описываются при помощи степенных функций. Используйте наш калькулятор для расчетов любых практических или школьных задач.

bbf.ru