Пример со степенью – Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Задачи со степенями и радикалами. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

На данном уроке мы рассмотрим более сложные задачи со степенями и радикалами, решение которых базируется на определении и свойствах степени с рациональным показателем.

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Для  выполняется равенство:

.

Например:

Напомним свойства степеней с рациональными показателями.

Здесь , , s и r – рациональные числа.

1. ;

2.

;

3. ;

4. ;

5. .

Пример 1 – вычислить:

.

Пример 2 – сократить дробь:

.

Чтобы сократить заданную дробь, нужно разложить знаменатель на множители:

.

В результате преобразований получили дробь:          

.

Данный ответ справедлив при условии, что , иначе дробь не имеет смысла.

Сделаем некоторые замечания:

  • При  замена  допустима,
     (по определению степени с положительным рациональным показателем).

Пример 3 – сократить дробь:

.

ОДЗ:

.

В данном случае для разложения нужно применить другую формулу сокращенного умножения и разложить числитель:

.

В результате преобразования получили дробь:

.

Ответ справедлив в том случае, если m и n одновременно не равны нулю, данный факт часто записывают следующим образом:

.

Пример 4 – упростить выражение:

.

Несложно заметить, что произведение второй и третьей скобок можно свернуть по формуле разности квадратов:

В результате преобразования получили произведение двух скобок, которое также можно свернуть по формуле разности квадратов:

.

Отметим, что в данном случае значения а ограничены:

 (по определению степени с рациональным положительным показателем).

Пример 5 – решить уравнение:

.

Скобка – это конкретное число, не зависящее от х, имеем право на нее сократить и получить , но только в том случае, если выражение в скобках не равно нулю. Проверим:

.

В результате преобразований получили скобку:

.

Пример 6 – решить уравнение:

а) .

Возводим уравнение в куб:

.

б)

Ответ: .

в)

Ответ: .

Пример 7 – решить уравнение:

.

При решении данного уравнения следует не забыть про область определения и ввести замену переменных:

, .

После введения замены получили уравнение:

.

Решаем полученное квадратное уравнение любым удобным способом, например по теореме Виета:

.

Первый корень не входит в ОДЗ, остается корень , отсюда находим ответ:

.

Пример 8 – решить уравнение:

а)

Ответ: .

б)

.

Ответ: .

в)

.

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели различные типовые задачи со степенями и радикалами, на следующем уроке мы перейдем к изучению степенных функций.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

  1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 438, 439, 444.
  2. Сократить дробь:
  3. Упростить выражение:

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Математика (Источник).
  2. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Terver.ru (Источник).

interneturok.ru

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)

На этом уроке мы продолжим изучение умножения и деления степеней с одинаковыми показателями. В начале урока сделаем краткую сводку уже известных нам формул действий со степенями. Далее будем решать примеры на все действия со степенями.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)

Напоминание:

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

n — показатель степени,

— n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что  n k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

Теорема 4.

Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Теорема 5.

Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

Пример 1: Возвести дробь в степень.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 5.

а)

б)

Для решения следующего примера вспомним формулы:

в)

д) 

Замечание: ,

е)

ж) 

Пример 2: Вычислите.

а)

б)

Пример 3: Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.

а)  

б)

б)

б)   или по-другому:  

Пример 4: Вычислить наиболее рациональным способом.

а)

б)

в)

г)

д)

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. 583, 584, 585 стр. 152. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Вычислить наиболее рациональным способом.

а)  б)   в) 

3. Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.

а)   б)   в)

interneturok.ru

Свойства степени с натуральным показателем. Примеры с решениями

Возведение произведения в степень

Выражение (ab)n является степенью произведения множителей a и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней anbn. Докажем это на примере.

По определению степени:

произведение и частное степеней

Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:

свойства степеней с натуральным показателем

Группируем отдельно множители a и множители b и получаем:

свойства степени с натуральным показателем 7 класс

Воспользовавшись определением степени, находим:

тема свойства степени с натуральным показателем

Следовательно:

(ab)n = anbn

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:

(3a2b)2 = 9a4b2

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Возведение частного в степень

Для возведения в степень частного надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:

возведение частного в степень

Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:

Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:

возведение дроби в степень

Возведение степени в степень

Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.

Например, нам нужно возвести 72 в третью степень:

(72)3

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:

(72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76

Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Общая формула возведения степени в степень:

(ax)y = axy

Примеры на свойства степеней

Пример 1. Выполните действия:

а) (x5)3;      б) 2(n3)5;      в) -4(a4)2

Решение:

а) (x5)3 = x5 · 3 = x15         
б) 2(n3)5 = 2n3 · 5 = 2n15   
в) -4(a4)2 = -4a4 · 2 = -4a8

Пример 2. Возведите в степень:

а) (-2mn)4;      б) (3bc)3;      в) (-6a4b)2

Решение:

а) (-2mn)4 = (-2)4 · m4 · n4 = 16m4n4                        
б) (3bc)3 = 33 · b3 · c3 = 27b3c3                                 
в) (-6a4b)2 = (-6)2 · (a4)2 · b2 = 36 · a8 · b2 = 36a8b2

Пример 3. Возведите дробь в степень:

а) (2a )2;      б) (-xy )5;      в) (a2b)3
5z2c3

Решение:

а) (2a )2(2a)2 = 4a2
55225

б) (-xy)5 = —(xy)5 = —x5y5
zz5z5

в) (a2b)3(a2b)3 = (a2)3 · b3 = a6b3
2c3(2c3)323 · (c3)38c9

naobumium.info

Калькулятор степеней онлайн: формула, примеры с решением

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136. Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

am × an = a(m+n).

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так:

am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так:

(am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь:

154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150. Следовательно:

154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так:

a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

a-m = 1 / am

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

a-1 = 1 / a.

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка. Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат. Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как:

a(m/n) есть корень n-ной степени из am.

Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e(kt),

где a – начальное значение, e – константа, равная 2,718; k – коэффициент роста; t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции. Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Заключение

Возведение в степень — арифметическая операция последовательного умножения. Степени имеют больше значение в прикладных науках, так как большинство реальных процессов описываются при помощи степенных функций. Используйте наш калькулятор для расчетов любых практических или школьных задач.

bbf.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *