Примеры дробные уравнения – Как решать дробные уравнения? | Александр Будников — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 17.07.201721.12.2019 by alexxlab

Содержание

Как решать дробные уравнения? | Александр Будников

Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений – дробными уравнениями.

Иногда их называют более научно и солидно — дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

Дробные уравнения – незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно – в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

2. Тождественные преобразования уравнений.

3. Решение линейных и квадратных уравнений.

Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем – настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

Итак, вперёд!

Что такое дробное уравнение? Примеры.

Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, — это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

Например, вот такое уравнение:

Или такое:

Или вот такое:

И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

Например:

Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей – четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

Или такое уравнение:

Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка – не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

В общем, вы поняли.

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

Первым делом надо избавиться от дробей!

Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

Первое, что приходит на ум – перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае – при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой – на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные – не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно – только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

Итак, для ликвидации

всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

Умножаем:

Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача – дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

2∙3 = х+3

А его (надеюсь) уже решит каждый:

х = 3

Решаем следующий примерчик:

И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на «х».

Вперёд!

А вот теперь – снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 – х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть

целиком, а не отдельные её кусочки!

Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

(9 – х)∙х = 20

Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

9х – х² = 20

Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса – нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

х₁ = 4

х₂ = 5

И все дела.)

Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь – квадратным.

А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3. Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми – всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми – всё сократится и останется бред…

Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее –

особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) – они ко всем видам уравнений относятся. И дробные – не исключение.)

Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

Раскладываем на множители!

Решаем третье уравнение по списку:

А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

x(x²+2x)(x+2)

и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

Что ж, вскрою тайну: да,

всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х²+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

х²+2х = х(х+2)

Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя – на х(х+2).

Вот на х(х+2) и умножаем:

И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там

сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем – вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х – 3) в числителе первой дроби – думаю, уже не стоит объяснять?)

С удовольствием сокращаем все дроби:

(x-3)(x+2) + 3 = x

Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

x² + 2x – 3x – 6 + 3 – х = 0

x² – 2x – 3 = 0

И снова получили квадратное уравнение.) Решаем и получаем два корня:

x₁ = -1

x₂ = 3

Вот и всё. Это и есть ответ.)

Из этого примера можно сделать важный вывод:

Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители – обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

Ну что, порешаем?)

Решить уравнения:

Ответы (как обычно, вразброс):

x = 3

x₁ = 0,5; x₂ = 3

x = 2

х = 6

x = 2,6

x₁ = 2; x₂ = 5

Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути – избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

Но об этом – дальше.)

abudnikov.ru

Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений

На этом уроке мы потренируемся решать квадратные и дробно-рациональные уравнения, отработаем различные методы их решения.

Математической моделью практических задач могут быть разные уравнения. В школе мы чаще всего будем сталкиваться с линейными и квадратными уравнениями, которые уже умеем решать. Но иногда могут встречаться и более сложные уравнения. Существуют компьютерные алгоритмы, которые позволяют приближенно найти решение практически любого уравнения, а вот точное решение найти удастся не всегда. На этом уроке мы рассмотрим некоторые приемы, которые позволяют эквивалентными преобразованиями свести более сложные уравнения к тем, которые мы уже умеем решать, – линейным и квадратным.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

Воспользуемся свойством степеней и перепишем уравнение в виде:

Обратим внимание, что неизвестная величина присутствует в уравнении только в составе «конструкции» . В таком случае применяют метод замены переменной.

Суть его состоит в том, что эту повторяющуюся конструкцию мы заменяем новой переменной:

Заменяя на , получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение. С его решением вы можете ознакомиться ниже.

Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Имеем следующее квадратное уравнение:

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты из общего вида квадратного уравнения:

Тогда:

Найдем корни квадратного уравнения:

Ответ: .

Далее решения линейных и квадратных уравнений не будут разбираться подробно. Внимание будет сконцентрировано на том, как свести более сложное уравнение к линейному или квадратному. Если же у вас возникают проблемы при решении линейных или квадратных уравнений, пересмотрите соответствующие уроки:

«Линейное уравнение с одной переменной (Г.Г. Гаицгори)»;
«Квадратные уравнения».

Решаем уравнение, получаем корни:

Мы нашли значения . Но в исходном уравнении фигурировала переменная , и решить уравнение – значит, найти значения . Вернемся к замене:

Тогда:

Получили два квадратных уравнения. Первое уравнение имеет два решения:

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: .

В процессе решения нам пришлось дважды решать квадратные уравнения: сначала для переменной , затем для переменной . Поэтому такие уравнения, в которых присутствуют только -я и -я степень неизвестной, а также свободный член, называются биквадратными уравнениями, т. е. «дважды квадратными»:

Теперь перейдем к решению дробно-рациональных уравнений. По названию понятно – это те уравнения, которые содержат в себе дробно-рациональные выражения. Если вы забыли, что это за выражения и как с ними работать, рекомендуем пересмотреть соответствующий видеоурок: «Дробно-рациональные выражения».

При решении дробно-рациональных уравнений важно:

в самом начале найти ОДЗ выражений, которые встречаются в уравнении;
после нахождения корней нужно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Рассмотрим несколько примеров простейших дробно-рациональных уравнений.

Задание 2.Решить уравнение:

Решение.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, т. е. ОДЗ:

Поскольку , можем умножить обе части уравнения на , чтобы избавиться от дроби, тогда:

Получили линейное уравнение, решением которого является . Это решение входит в ОДЗ, ведь .

Ответ: .

Задание 3.Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на . Мы это можем сделать, поскольку , тогда:

Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в одну сторону, приведем подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение:

Найдем корни этого уравнения:

Первый корень не входит в ОДЗ. Поэтому не является решением уравнения.

Ответ: .

Решим более сложные дробно-рациональные уравнения.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим каждое из этих неравенств:

Можем объединить эти неравенства в одно:

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Выполним сложение дробей – для этого разложим знаменатели на множители:

Приведем все дроби к общему знаменателю :

Тогда:

Дробь равна , если ее числитель равен :

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения:

Корень не входит в ОДЗ.

Ответ:

Отметим, что для решения дробно-рациональных уравнений можно использовать разные способы. Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно-рациональными выражениями. Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.

Задание 5. Решить уравнение

interneturok.ru

Решение целых и дробно рациональных уравнений

Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

Рациональное уравнение: определение и примеры

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Определение 1

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Определение 2

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P=Q и P−Q=0 будут равносильными выражениями.

А теперь обратимся к примерам.

Пример 1

Рациональные уравнения:

x=1, 2·x−12·x2·y·z3=0, xx2+3·x-1=2+27·x-a·(x+2), 12+34-12x-1=3.

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Определение 3

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Определение 4

zaochnik.com

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения

Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение .

Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
решить получившееся целое уравнение,
исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:

Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

При решении квадратного уравнения получаем его корни:

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.

Пример 2. Решить дробное уравнение:

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель —

Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

Если x = -3, то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

то же самое, если x = 3.

Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

Общий знаменатель — выражение

Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 — корни данного уравнения.

Пример 4. Решить дробное уравнение:

Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y:

Корни этого уравнения:

Значит

или .

Из уравнения находим, что

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

, .

Другие темы в блоке «Школьная математика»

function-x.ru

Дробно рациональные уравнения. Решения

Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.
Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

Примеры дробно рациональных уравнений

Пример 1. Найти корни уравнения

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета

Второе раскладываем на множители

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

Ответ: х=-7.

————————————

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Получили три нуля числителя .
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.

————————————

Пример 3. Найти корни уравнения

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства

и сводим к общему знаменателю

Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению

Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Корни первого вычисляем через дискриминант

Нули второго находим без проблем

Исключаем из решений числителя значение и получим.

Ответ: х=3.

————————————

Задачи на движение

Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

Решение:
Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.
Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась

Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

Корни числителя найдем после упрощений

С физических соображений первое решение отвергаем.

Ответ: скорость ветра 15 км/час.

————————————

Задачи о совместной работе

Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для в

yukhym.com

Решение дробных рациональных уравнений

Сегодня мы разберемся, как решать дробные рациональные уравнения.

Посмотрим: из уравнений

(1) 2х + 5 = 3(8 – х),

(2) ,

(3)

(4)

дробными рациональными уравнениями являются только (2) и (4), а (1) и (3) это целые уравнения.

Предлагаю решить уравнение (4), а затем сформулировать правило.

Поскольку уравнение дробное, то надо найти общий знаменатель. В этом уравнении это выражение 6(х – 12)(х – 6). Затем мы умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

После сокращения получаем целое уравнение:

6(х – 6)²– 6(х – 12)² = 5(х – 12)(х – 6).

Решив это уравнение надо обязательно проверить не обращают ли полученные корни в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении.

Раскрываем скобки:
6х²– 72х + 216 – 6х² + 144х – 864 = 5х²– 90х + 360, упрощаем уравнение: 5х²– 162х + 1008 = 0.

Находим корни уравнения
D = 6084, √D = 78,
х₁= (162 – 78)/10= 84/10 = 8,4 и х₂= (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

При х = 8,4 и 24 общий знаменатель 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, значит эти числа являются корнями уравнения (4).

Ответ: 8,4; 24.

Решив предложенное уравнение, приходим к следующим положениям:

1) Находим общий знаменатель.

2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель.

3) Решаем полученное целое уравнение.

4) Проверяем, какие из корней обращают общий знаменатель в нуль и исключаем их из решения.

Посмотрим теперь на примере, как работают полученные положения.

Решить уравнение:

1) Общий знаменатель: х²– 1

2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем целое уравнение: 6 – 2(х + 1) = 2(х²– 1) – (х + 4)(х – 1)

3) Решаем уравнение: 6 – 2х – 2 = 2х²– 2 – х²– 4х + х + 4

х²– х – 2 = 0

х₁= — 1 и х₂= 2

4) При х = -1, общий знаменатель х²– 1 = 0. Число -1 корнем не является.

При х = 2, общий знаменатель х²– 1 ≠ 0. Число 2 – корень уравнения.

Ответ: 2.

Как видите, наши положения работают. Не бойтесь, у вас все получится! Самое главное правильно найдите общий знаменатель и аккуратно выполните преобразования. Надеемся, что при решение дробных рациональных уравнений у вас всегда будут получаться правильные ответы. Если у вас остались вопросы или вы хотите попрактиковаться в решении подобных уравнений, записывайтесь на уроки к автору этой статьи, репетитору Валентине Галиневской.

Также рекомендуем посмотреть новый видеоурок по данной теме от нашего репетитора Ольги Лукашонок.

blog.tutoronline.ru

5. Дробно рациональные уравнения

Дробно рациональные уравнения. Решения

Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением. Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста. Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Примеры дробно рациональных уравнений

Пример 1. Найти корни уравнения

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета

Второе раскладываем на множители

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

Ответ: х=-7.

————————————

Пример 2. Решить уравнение

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Получили три нуля числителя . Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.

————————————

Пример 3. Найти корни уравнения

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства и сводим к общему знаменателю

Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению

Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Корни первого вычисляем через дискриминант

Нули второго находим без проблем

Исключаем из решений числителя значение и получим.

Ответ: х=3.

————————————

Задачи на движение

Решение: Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу. Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась

Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

Корни числителя найдем после упрощений

С физических соображений первое решение отвергаем.

Ответ: скорость ветра 15 км/час.

————————————

Задачи о совместной работе

Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?

Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней. Это означает что за один день первый выполнит , а второй — часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы. Составляем и решаем уравнение

Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба х+6=6+6=12 (дней)

Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.

————————————

Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.

Следует приобрести навык в решении дробно-рациональных уравнений путём выполнения ряда тренировочных упражнений. Тренировочные упражнения предлагаются трёх уровней сложности: А – обязательный минимум знаний по этой теме, В – упражнения среднего уровня сложности, С – упражнения повышенной степени сложности.