Иррациональные уравнения. Примеры решения

Примеры решения задач

 

Пример 1.   Решить уравнение  

 

                                       .                                    (1)

 

Решение.  Областью допустимых значений переменной в уравнении (1) являются  .

Приведем три метода решения иррационального уравнения (1).

Метод 1. Уравнение (1) равносильно уравнению

                                              .                                      (2)

Отсюда следует, что    или  . Возведем в квадрат обе части уравнения (2) и получим . Так как здесь  , то    и после возведения в квадрат обеих частей уравнения   имеем равносильное квадратное уравнение

,

подходящим корнем которого является  .

Метод 2.  Обозначим  . Тогда    и уравнение (1) принимает вид или . Отсюда следует, что  . Если возвести в квадрат обе части уравнения , то получим уравнение    и  .

Так как  , то    или  .

Метод 3.  Пусть  . Нетрудно убедиться в том, что функция    является непрерывной и возрастающей на всей своей области определения. В этой связи уравнение (1) может иметь не более одного корня. Этот возможный единственный корень  легко находится подбором.

Ответ:  .

Пример 2.  Решить уравнение

 

                                                   .                                         (3)

 

 

Решение.  Так как и , то областью допустимых значений переменной в уравнения (3) является объединение двух интервалов:   и  .

Обозначим   и получим систему уравнений  

                              

                                                                                              (4)

где  .  Если из первого уравнения системы (4) вычесть второе, то

  или  .

Рассмотрим два случая.

1. Если  , то    и . Отсюда следует, что  и  .

2. Если  , то    и  . В этом случае получаем квадратное уравнение  . Данное уравнение имеет единственный подходящий корень  .

Ответ:  ,  .

Пример 3.   Решить уравнение

 

                                          .                                        (5)

 

Решение. Приведем два метода решения уравнения (5).

Метод 1. Обозначим , и представим уравнение (5) посредством системы уравнений

                                                                             

           

где  . Если выражение   подставить во второе уравнение системы, то получим  . Подбором находим первый корень кубического уравнения  .

Так как   , то необходимо рассмотреть уравнение  . Отсюда получаем    и  .

Поскольку  , то рассмотрим два уравнения    и . Из первого уравнения следует, что  , а из второго уравнения получаем  .

Следует отметить, если    и  , то    и  . В этой связи значения    и    являются корнями уравнения (5).

Метод 2. Пусть  , тогда . В таком случае уравнение (5) можно представить как    или

                                             .                                           (6)

Возведем в квадрат обе части уравнения (6) и получим

.

Преобразуем кубическое уравнение следующим образом:

,

 или   .

Отсюда получаем и . Из уравнения (6) следует, что . Очевидно, что здесь значения   и  .

Так как  ,  и  , то    и  .

Ответ:  , .

Пример 4.  Решить уравнение

 

                                           .                                          (7)

 

Решение. Обозначим , тогда и уравнение (7) принимает вид    или  , где  .

Далее получаем равносильные уравнения

,  ,  или

                                             .                                          (8)

Так как  , то  .  В этой связи из уравнения (8) вытекает  ,  или  .

Ответ: .

Пример 5.  Решить уравнение

 

                                              .                               

        (9)

 

Решение. Предварительно определим область допустимых значений переменной в уравнении (9). Непосредственно из уравнения следует, что . Однако  и

Иррациональное уравнение — Википедия

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня √{\displaystyle \surd } или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу. Простейшим примером иррационального уравнения является уравнениеx=2{\displaystyle {\sqrt {x}}=2} или x3=−3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=-3}. Иногда корни могут обозначать в виде рациональных степеней неизвестной, то есть вместо xn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} пишут x1n{\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}.

Рассмотрим некоторые уравнения и попытаемся классифицировать их:

Короче сформулировать правило отнесения уравнений к той или иной категории можно так:

• если все степени неизвестной\ых в уравнении принадлежат множеству натуральных чисел N{\displaystyle \mathbb {N} }, то такое уравнение считается алгебраическим.
• если все степени неизвестной\ых в уравнении принадлежат множеству целых чисел Z{\displaystyle \mathbb {Z} }, то такое уравнение называется рациональным.
• если все степени неизвестной\ых в уравнении принадлежат множеству рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, то такое уравнение называется иррациональным.

Образцами более сложных иррациональных уравнений могут послужить такие примеры:

x+4+x+9=5{\displaystyle {\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x+9}}=5},

72×2+63−3×23=11{\displaystyle 7{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6}}-3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=11},

x2+x−1=10x+x−211+1{\displaystyle x^{2}+{\sqrt {x-1}}=10x+{\sqrt[{11}]{x-2}}+1}

Связь с алгебраическими уравнениями[править | править код]

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. Например, уравнение x2+x=2{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+x}}=2} возведением во вторую степень можно преобразовать к виду x2+x=4{\displaystyle x^{2}+x=4}, что уже не иррациональное уравнение, но алгебраическое.

При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Возведение в степень[править | править код]

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному уравнению.

При возведении уравнения в чётную степень получают уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

Заметим, что потеря корней при возведении уравнения в четную степень невозможна, но могут появиться посторонние корни. Рассмотрим пример:

Решим уравнение x2+4x−5=4x−8{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8}

Возведём обе части уравнения во вторую степень

(x2+4x−5)2=(4x−8)2{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}+4x-5}})^{2}=(4x-8)^{2}}

так как мы возводим в чётную степень, то возможно появление посторонних корней, ибо самим процессом возведения мы расширяем область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренных выражений.

Так, когда 4x−8{\displaystyle 4x-8} был приравнен к заведомо положительному числу (так как x2+4x−5⩾0{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0} в силу определения арифметического корня), переменная x{\displaystyle x} не могла принимать значения, которые бы обратили 4x−8{\displaystyle 4x-8} в отрицательные числа, значит 4x−8⩾0{\displaystyle 4x-8\geqslant 0} или x⩾2{\displaystyle x\geqslant 2}.

Другими словами в месте с постановкой задачи нам дали ещё и ограничения на значения переменной (ОДЗ) в виде x⩾2{\displaystyle x\geqslant 2}. Но, после возведения обеих частей в квадрат, мы получаем уравнение

x2+4x−5=16×2−64x+64{\displaystyle x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64},

уже в котором область допустимых значений (ОДЗ) переменой x{\displaystyle x} совершенна другая (теперь x{\displaystyle x} может принимать совершенно любые значения, то есть ОДЗ расширилось относительно первоначального уравнения).

Очевидно, что вероятность появления посторонних корней резко выросла просто по факту того, что теперь корнем может стать гораздо больше чисел, а не только те, что x⩾2{\displaystyle x\geqslant 2}.

Продолжая решать и упрощать x2+4x−5=16×2−64x+64{\displaystyle x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64} мы получим квадратное уравнение:

15×2−68x+69=0{\displaystyle 15x^{2}-68x+69=0}, корнями которого являются

x=3{\displaystyle x=3} и x=2315{\displaystyle x={\frac {23}{15}}}

Следует заметить, что x=3{\displaystyle x=3} и x=2315{\displaystyle x={\frac {23}{15}}} точно являются корнями уравнения 15×2−68x+69=0{\displaystyle 15x^{2}-68x+69=0}, но ещё не известно являются ли они корнями первоначального x2+4x−5=4x−8{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8} уравнения!!!

Так мы знаем, что корни первоначального уравнения не могут быть меньше 2, а меж тем корень x=2315≈1.533333…{\displaystyle x={\frac {23}{15}}\approx 1.533333…} меньше двух, значит он не может быть корнем первоначального уравнения.

Ответ: x∈{3}{\displaystyle x\in \{3\}}

Замена системой условий[править | править код]

Использование свойств корней[править | править код]

Введение новых переменных[править | править код]

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение корень (радикал). При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1^[1]: Решить уравнение 2×2+3x+2×2+3x+9=33,x∈R{\displaystyle 2x^{2}+3x+{\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=33,x\in \mathbb {R} }

Сделаем замену y=2×2+3x+9{\displaystyle y={\sqrt {2x^{2}+3x+9}}}, ясно что при этом мы наложили ограничения на новую переменную в виде y⩾0{\displaystyle y\geqslant {0}}, так как арифметический корень не может быть отрицательным числом.

После возведения y{\displaystyle y} во вторую степень мы избавимся от знака корня и получим выражение y2=2×2+3x+9{\displaystyle y^{2}=2x^{2}+3x+9}. Далее, после подстановки y{\displaystyle y} в исходное уравнение, мы получим такое уравнение:

y2+y−42=0{\displaystyle y^{2}+y-42=0},

корни которого y=6{\displaystyle y=6} и y=−7{\displaystyle y=-7}. Но y{\displaystyle y} не может быть отрицательным числом ввиду того как мы определили y{\displaystyle y} через нашу подстановку, поэтому корнем будем считать лишь y=6{\displaystyle y=6}. Далее, решая уравнение 2×2+3x+9=6{\displaystyle {\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=6}, мы получаем корни x=3{\displaystyle x=3}

Что такое иррациональные уравнения? Определения из учебников.

Прежде чем говорить про решение иррациональных уравнений, следует хорошо разобраться с вопросом, что такое иррациональные уравнения. Сейчас мы этим и займемся: познакомимся с определением иррационального уравнения и рассмотрим примеры уравнений этого вида.

Следует заметить, что определения немного отличаются от одной математической книги к другой. Поэтому давайте найдем и выпишем определения из учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации, а также из других источников, чтобы проанализировать их, и выбрать для себя лучшее.

Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике [1, с. 174] утверждается, что

Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x, значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – метод возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения. Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.

В учебниках Колмогорова А. Н. [3, с. 214] и Колягина Ю. М. [4, с. 193]

Определение

иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.

Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более обширную группу уравнений.

Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про корень степени n, и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.

Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. — здесь под знаком кубического корня расположена переменная x, поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: — здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .

Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.

Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги [5], а вот — из сборника [6]. В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.

Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.

В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс [2, с. 237]

Определение

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Здесь помимо уравнений с переменной под знаком корня иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: степень с дробным показателем определяется через корни, и на ОДЗ переменной x для данного уравнения (при условии x

2+2·x≥0) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений. Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.

Избежать подобных спорных моментов можно и через более строгое определение. Пример такого определения можно найти в справочнике советских времен [7, с. 64]:

Определение

Иррациональным называется уравнение, в котором некоторое рациональное или алгебраическое выражение от неизвестного находится под знаком радикала.

Согласно этому определению в иррациональном уравнении под знаком радикала может находиться только выражение, в котором над переменной не совершается иных действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень (натуральную) и извлечения корня. Это определение исключает нахождения переменной в иррациональном уравнении под знаками логарифмов, тригонометрических функций, в показателе степени и др.

Какое из приведенных выше определений предпочесть? Наверное, стоит называть иррациональными только такие уравнения, которые не противоречат ни одному из записанных определений, а остальные называть просто уравнениями без уточнения, что это за уравнение.

Пара слов о количестве переменных в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .

Но при этом обязательно нужно заметить, что в школе обычно рассматривается решение иррациональных уравнений только с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются не для решения, а в составе систем уравнений или при алгебраическом описании геометрических объектов. Например, можно встретить задание «решите систему уравнений », или увидеть описание полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, при помощи уравнения .

В школе также рассматриваются иррациональные уравнения с параметром. Приведем пример: , здесь x – переменная, a — параметр. Как понять, что это уравнение с параметром, а не уравнение с двумя переменными? Как правило, это указывается в задании.

В заключение скажем, что встречается термин «простейшие иррациональные уравнения». Так что рекомендуем ознакомиться, что понимают под простейшими иррациональными уравнениями.

Иррациональные уравнения — Викиучебник

Исходный текст статьи опубликован в журнале Потенциал № 1, 2005. Автор статьи — Колесникова Софья Ильинична.

Публикуемый материал является дополнением к заданию ЗФТШ № 1 для 10 класса. В нём рассматривается два типа иррациональных уравнений: f(x)=g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right)} и f(x)=g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}={\sqrt {g\left(x\right)}}}.

Уравнения типа f(x)=g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right)} рассматриваются для того, чтобы ещё раз обратить внимание на то, что ОДЗ этого уравнения находить не надо, а неотрицательность правой части для решений проверять обязательно. Кроме того, рассматриваются различные способы решения простейшего вида этих уравнений: ax+b=cx+d{\displaystyle {\sqrt {ax+b}}=cx+d}. Показывается аналитически и графически, откуда берутся посторонние («лишние») корни.

Для уравнений второго типа f(x)=g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}={\sqrt {g\left(x\right)}}} показывается, что при их решении нет необходимости решать систему неравенств (ОДЗ) {f(x)≥0g(x)≥0{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x)\geq {0}&\\g(x)\geq {0}&\end{matrix}}\right.}, а достаточно подставить найденные корни уравнения f(x)=g(x){\displaystyle f\left(x\right)=g\left(x\right)} в одно из них.

Приведенные маленькие замечания позволяют сократить время на решение таких стандартных задач, а потому дают возможность успешнее справляться с задачами на контрольных и выпускных экзаменах в школе, вступительных в вуз, при решении заданий ЕГЭ любого уровня.

Материал рекомендуется учащимся, начиная с 9 класса.

Уравнения вида f(x)=g(x).{\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right).}[править]

При решении уравнения этого вида очень многие школьники прежде всего находят ОДЗ: f(x)≥0,{\displaystyle f\left(x\right)\geq 0,} затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют, после нахождения решений, условие f(x)≥0{\displaystyle f\left(x\right)\geq 0} и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться «лишние» корни. Почему? Потому что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения: f(x)=g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right)} и f(x)=−g(x),{\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=-g\left(x\right),} но на разных промежутках числовой оси: f(x)=g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right)} — там, где g(x)≥0,{\displaystyle g\left(x\right)\geq 0,} и f(x)=−g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=-g\left(x\right)} — там, где g(x)≤0.{\displaystyle g\left(x\right)\leq 0.} «Лишние» корни — это корни второго уравнения, геометрически это — пересечение графика функции y=g(x){\displaystyle y=g\left(x\right)} с графиком функции y=−f(x).{\displaystyle y=-{\sqrt {f\left(x\right)}}.}

Как быть?

Дело в том, что обе части любого уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение f(x)=g2(x),{\displaystyle f\left(x\right)=g^{2}\left(x\right),} при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется автоматически, поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства f(x)≥0.{\displaystyle f\left(x\right)\geq 0.}

Заметим, что уравнение f(x)=g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right)} может иметь решение для g(x)≥0,{\displaystyle g\left(x\right)\geq 0,} но не имеет решений, если g(x)<0.{\displaystyle g\left(x\right)<0.}

Вспомним, что, если f(x)≥0,g(x)≥0{\displaystyle f(x)\geq 0,g(x)\geq 0}, то f(x)=g(x)⇔f2(x)=g2(x).{\displaystyle f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^{2}(x)=g^{2}(x).}

Так как уравнение f(x)=g(x){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right)} может иметь решение лишь при условии g(x)≥0{\displaystyle g\left(x\right)\geq 0} (т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то

f(x)=g(x)⇔{f(x)=g2(x),g(x)≥0.(1){\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right)\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}f\left(x\right)=g^{2}\left(x\right),\\g\left(x\right)\geq 0.\\\end{matrix}}\right.(1)}

Это очень важное условие равносильности. Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие f(x)≥0{\displaystyle f\left(x\right)\geq 0} неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.

Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия g(x)≥0{\displaystyle g\left(x\right)\geq 0} неотрицательности правой части — это условие «отсекает» посторонние корни — корни уравнения f(x)=g(x).{\displaystyle {\sqrt {f\left(x\right)}}=g\left(x\right).}

При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни «плохие») заранее решать не надо.

Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. В тригонометрических уравнениях даже проверку условия g(x)≥0{\displaystyle g\left(x\right)\geq 0} не всегда просто сделать.

Замечание. При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!

Пример 1.[править]

2×3+2×2−3x+3=x+1.{\displaystyle {\sqrt {2x^{3}+2x^{2}-3x+3}}=x+1.}

В этом примере особенно хорошо видно, что при решении важным является условие x+1≥0,{\displaystyle x+1\geq 0,} а ОДЗ корня искать не надо, да и найти трудно.

2×3+2×2−3x+3=x+1⇔{\displaystyle {\sqrt {2x^{3}+2x^{2}-3x+3}}=x+1\Leftrightarrow }

⇔{x+1≥02×3+2×2−3x+3=x2+2x+1⇔{\displaystyle \Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}x+1\geq {0}&\\2x^{3}+2x^{2}-3x+3=x^{2}+2x+1&\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow }

⇔{x+1≥02×3+x2−5x+2=0{\displaystyle \Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}x+1\geq {0}&\\2x^{3}+x^{2}-5x+2=0&\end{matrix}}\right.}

Посмотрим внимательно на уравнение 2×3+x2−5x+2=0{\displaystyle 2x^{3}+x^{2}-5x+2=0}

Сумма коэффициентов этого уравнения равна 0, значит, х=1 является корнем. Теперь можно выделить множитель (х-1) делением столбиком, при помощи схемы Горнера или группировкой, выделяя последовательно слагаемые, которые делятся на (х-1):

2×3+x2−5x+2=2(x3−1)+(x2−1)−5(x−1)=(x−1)(2(x2+x+1)+x+1−5)=(x−1)(2×2+3x−2)={\displaystyle 2x^{3}+x^{2}-5x+2=2(x^{3}-1)+(x^{2}-1)-5(x-1)=(x-1)(2(x^{2}+x+1)+x+1-5)=(x-1)(2x^{2}+3x-2)=}

=(x−1)(x+2)(x−12).{\displaystyle =(x-1)(x+2)(x-{\frac {1}{2}}).}

Значит, исходное уравнение эквивалентно системе

{x+1≥0(x−1)(x+2)(x−12)=0{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+1\geq 0&\\\left({x-1}\right)\left({x+2}\right)\left({x-{\frac {1}{2}}}\right)=0&\end{matrix}}\right.}

откуда x=1{\displaystyle x=1} или x=1/2{\displaystyle x=1/2}.

Любопытно, что x=−2{\displaystyle x=-2} принадлежит ОДЗ, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие x+1≥0.{\displaystyle x+1\geq 0.}

Ответ: 0,5; 1.

Пример 2.[править]

45x−x2−6=x−1.{\displaystyle 4{\sqrt {5x-x^{2}-6}}=x-1.}

45x−x2−6=x−1⇔{\displaystyle 4{\sqrt {5x-x^{2}-6}}=x-1\Leftrightarrow }

{16(5x−x2−6)=(x−1)2x−1≥0⇔{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}16\left({5x-x^{2}-6}\right)=\left({x-1}\right)^{2}\\x-1\geq 0\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow }

{17×2&

Иррациональные уравнения. Основные методы решения

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень.
Примеры иррациональных уравнений:

ОСНОВНЫМИ МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЯВЛЯЮТСЯ:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных. Иногда при¬меняют также различные искусственные приемы.
При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в четную степень могут появиться посторонние (лишние) корни. Эти корни могут появиться за счет того, что при возведении обеих частей исходного уравнения f(x) = φ(х) в четную степень получается уравнение, являющееся следствием не только уравнения f(x) = φ(x), но и уравнения f(x) = -φ(x), поскольку и (f(x))² =(ф(х))², И (f(x))² =(-ф(х))². Если уравнение f(x) = -φ(х) имеет корни, то именно они являются посторонними корнями исходного уравнения f(x) = φ(x).
Так, например, возьмем уравнение

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

<=> х² — 15х + 54 = 0. Корнями этого уравнения являются числа x₁ = 9, х₂ = 6. Однако x₁ = 9 является корнем уравнения

а х₂ = 6 является посторонним корнем (очевидно, что х₂ = 6 является корнем уравнения

то есть является корнем уравнения f(x) = -ф(х), если исходное уравнение есть f(x) = ф(x)).
Причиной появления посторонних корней, помимо возведения обеих частей уравнения в четную степень, может быть также какая-либо замена (неэквивалентное преобразование), выполняемая, например, в ходе решения уравнения, содержащего кубические радикалы.
Приступая к решению иррационального уравнения, содержащего четные степени радикалов, бывает полезным нахождение множества D допустимых значений переменной (ОДЗ — область допустимых значений), это может облегчить решение исходного уравнения. При этом найденные при решении уравнения значения неизвестных, которые не принадлежат множеству D, являются посторонними. Однако те найденные корни, которые принадлежат D, необходимо проверять, так как и они могут быть посторонними (это будет в том случае, если производились неэквивалентные преобразования в процессе решения уравнения).
Отсюда следует, что в подавляющем большинстве случаев найденные корни иррационального уравнения необходимо проверять. Исключения составляют только случаи, когда на всех этапах решения исходного уравнения производились только эквивалентные (равносильные) преобразования. Однако при этом приходится, как правило, решать неравенства, что иногда отнимает немало времени. Таким образом, нужно либо делать проверку найденных корней, подставляя их значения в исходное уравнение, либо в процессе решения исходного уравнения делать только эквивалентные преобразования, которые не могут привести ни к потере корней, ни к приобретению лишних корней.
Прежде чем приступать к рассмотрению основных методов решения иррациональных уравнений, рассмотрим некоторые несложные иррациональные уравнения, при решении которых основные методы не применяются.
Пример 1. Решить уравнение

Решение. Поскольку

где а — любое действительное число, если n — нечетное, m/n>0, то исходное уравнение равносильно такому: х+(х-1)=5 <=> 2х=6 <=> х=3.
Ответ: {3}.
Пример 2. Решить уравнение

Решение. Находим ОДЗ (область допустимых значений х, или, что то же самое, множество D).

Таким образом, в данном примере предварительное нахождение ОДЗ оказалось чрезвычайно полезным.
Ответ: ∅.
Пример 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку


так как неотрицательное число не может равняться отрицательному.
Ответ: ∅.
Пример 4. Решить уравнение

Решение. Т. к. для корней четной степени берется всегда арифметическое (неотрицательное) значение корня, то


Ответ: {-1}.
Пример 5. Решить уравнение

Решение. Поскольку х² + 2х + 1 = (х + 1)², х² — 4х + 4 =(х-2)²,

то исходное уравнение равносильно следующему: |х +1|+|х — 2| = 4.
Решая это уравнение методом интервалов, имеем совокупность трех смешанных систем:


Первая и третья системы имеют решения, а именно, -3/2, 5/2 а вторая — нет.
Ответ: {-3/2, 5/2}

Иррациональные уравнения примеры с решениями

Материал темы «иррациональные уравнения и их решение» содержит большое количество поясняющих примеров. Среди этих примеров есть полностью решенные иррациональные уравнения с очень подробно описанными решениями. Из них мы посчитали полезным выбрать самые типичные и представить здесь в одном месте. В результате набралось несколько десятков примеров с решениями и ответами. Представляем их Вашему вниманию.

Пример

Решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Пример

Решить иррациональное уравнение , пользуясь возведением обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Пример

Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень .

Смотреть решение

Пример

Решите уравнения методом освобождения от внешней функции: а) , б) .

Смотреть решение

Иррациональное уравнение Википедия

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня √{\displaystyle \surd } или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу. Простейшим примером иррационального уравнения является уравнениеx=2{\displaystyle {\sqrt {x}}=2} или x3=−3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=-3}. Иногда корни могут обозначать в виде рациональных степеней неизвестной, то есть вместо xn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} пишут x1n{\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}.

Рассмотрим некоторые уравнения и попытаемся классифицировать их:

Короче сформулировать правило отнесения уравнений к той или иной категории можно так:

• если все степени неизвестной\ых в уравнении принадлежат множеству натуральных чисел N{\displaystyle \mathbb {N} }, то такое уравнение считается алгебраическим.
• если все степени неизвестной\ых в уравнении принадлежат множеству целых чисел Z{\displaystyle \mathbb {Z} }, то такое уравнение называется рациональным.
• если все степени неизвестной\ых в уравнении принадлежат множеству рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, то такое уравнение называется иррациональным.

Образцами более сложных иррациональных уравнений могут послужить такие примеры:

x+4+x+9=5{\displaystyle {\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x+9}}=5},

72×2+63−3×23=11{\displaystyle 7{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6}}-3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=11},

x2+x−1=10x+x−211+1{\displaystyle x^{2}+{\sqrt {x-1}}=10x+{\sqrt[{11}]{x-2}}+1}

Связь с алгебраическими уравнениями

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. Например, уравнение x2+x=2{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+x}}=2} возведением во вторую степень можно преобразовать к виду x2+x=4{\displaystyle x^{2}+x=4}, что уже не иррациональное уравнение, но алгебраическое.

При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

Подходы к решению

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Возведение в степень

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному уравнению.

При возведении уравнения в чётную степень получают уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

Заметим, что потеря корней при возведении уравнения в четную степень невозможна, но могут появиться посторонние корни. Рассмотрим пример:

Решим уравнение x2+4x−5=4x−8{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8}

Возведём обе части уравнения во вторую степень

(x2+4x−5)2=(4x−8)2{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}+4x-5}})^{2}=(4x-8)^{2}}

так как мы возводим в чётную степень, то возможно появление посторонних корней, ибо самим процессом возведения мы расширяем область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренных выражений.

Так, когда 4x−8{\displaystyle 4x-8} был приравнен к заведомо положительному числу (так как x2+4x−5⩾0{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0} в силу определения арифметического корня), переменная x{\displaystyle x} не могла принимать значения, которые бы обратили 4x−8{\displaystyle 4x-8} в отрицательные числа, значит 4x−8⩾0{\displaystyle 4x-8\geqslant 0} или x⩾2{\displaystyle x\geqslant 2}.

Другими словами в месте с постановкой задачи нам дали ещё и ограничения на значения переменной (ОДЗ) в виде x⩾2{\displaystyle x\geqslant 2}. Но, после возведения обеих частей в квадрат, мы получаем уравнение

x2+4x−5=16×2−64x+64{\displaystyle x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64},

уже в котором область допустимых значений (ОДЗ) переменой x{\displaystyle x} совершенна другая (теперь x{\displaystyle x} может принимать совершенно любые значения, то есть ОДЗ расширилось относительно первоначального уравнения).

Очевидно, что вероятность появления посторонних корней резко выросла просто по факту того, что теперь корнем может стать гораздо больше чисел, а не только те, что x⩾2{\displaystyle x\geqslant 2}.

Продолжая решать и упрощать x2+4x−5=16×2−64x+64{\displaystyle x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64} мы получим квадратное уравнение:

15×2−68x+69=0{\displaystyle 15x^{2}-68x+69=0}, корнями которого являются

x=3{\displaystyle x=3} и x=2315{\displaystyle x={\frac {23}{15}}}

Следует заметить, что x=3{\displaystyle x=3} и x=2315{\displaystyle x={\frac {23}{15}}} точно являются корнями уравнения 15×2−68x+69=0{\displaystyle 15x^{2}-68x+69=0}, но ещё не известно являются ли они корнями первоначального x2+4x−5=4x−8{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8} уравнения!!!

Так мы знаем, что корни первоначального уравнения не могут быть меньше 2, а меж тем корень x=2315≈1.533333…{\displaystyle x={\frac {23}{15}}\approx 1.533333…} меньше двух, значит он не может быть корнем первоначального уравнения.

Ответ: x∈{3}{\displaystyle x\in \{3\}}

Замена системой условий

Использование свойств корней

Введение новых переменных

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение корень (радикал). При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1^[1]: Решить уравнение 2×2+3x+2×2+3x+9=33,x∈R{\displaystyle 2x^{2}+3x+{\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=33,x\in \mathbb {R} }

Сделаем замену y=2×2+3x+9{\displaystyle y={\sqrt {2x^{2}+3x+9}}}, ясно что при этом мы наложили ограничения на новую переменную в виде y⩾0{\displaystyle y\geqslant {0}}, так как арифметический корень не может быть отрицательным числом.

После возведения y{\displaystyle y} во вторую степень мы избавимся от знака корня и получим выражение y2=2×2+3x+9{\displaystyle y^{2}=2x^{2}+3x+9}. Далее, после подстановки y{\displaystyle y} в исходное уравнение, мы получим такое уравнение:

y2+y−42=0{\displaystyle y^{2}+y-42=0},

корни которого y=6{\displaystyle y=6} и y=−7{\displaystyle y=-7}. Но y{\displaystyle y} не может быть отрицательным числом ввиду того как мы определили y{\displaystyle y} через нашу подстановку, поэтому корнем будем считать лишь y=6{\displaystyle y=6}. Далее, решая уравнение 2×2+3x+9=6{\displaystyle {\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=6}, мы получаем корни x=3{\displaystyle x=3} и x=−4.5{\displaystyle x=-4.5}.

Ответ: x∈{3;−4.5}{\displaystyle x\in \{3;-4.5\}}

Пример 2^[2]: Решить уравнение x+283−x−93=1{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x+28}}-{\sqrt[{3}]{x-9}}=1}

Сделаем две замены: u=x+283{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{x+28}}} и v=x−93{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{x-9}}}, после их возведения в третью степень получим u3=x+28{\displaystyle u^{3}=x+28} и v3=x−9{\displaystyle v^{3}=x-9}. Далее, решив каждое новое уравнение относительно x{\displaystyle x}

x=u3−28{\displaystyle x=u^{3}-28} и x=v3+9{\displaystyle x=v^{3}+9}, и после уравнивания этих уравнений, мы получаем уравнение u3−28=v3+9{\displaystyle u^{3}-28=v^{3}+9}, но ввиду того, как мы вводили u{\displaystyle u} и v{\displaystyle v}, мы так же имеем уравнение u−v=1{\displaystyle u-v=1}, значит у нас появилась система из уравнений:

{u−v=1u3−v3=37{\displaystyle {\begin{cases}u-v=1\\u^{3}-v^{3}=37\end{cases}}}

Решив систему, мы получаем значения v1=3{\displaystyle v_{1}=3} и v2=−4{\displaystyle v_{2}=-4}, это значит нам надо решить ещё два уравнения:

x−93=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x-9}}=3} и x−93=−4{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x-9}}=-4}, решения которых x=36{\displaystyle x=36} и x=−55{\displaystyle x=-55}.

Ответ: x∈{36;−55}{\displaystyle x\in \{36;-55\}}

Использование области определения

Использование области значений

Тождественное преобразования

Использование производной

Использование мажоранты

Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» — объявлять большим.

Мажорантой данной функции f(x){\displaystyle f(x)} на заданном промежутке называется такое число A, что либо f(x)⩽A{\displaystyle f(x)\leqslant {A}} для всех x из данного промежутка, либо f(x)⩾A{\displaystyle f(x)\geqslant {A}} для всех x из данного промежутка. Основная идея метода состоит в использовании следующих теорем для решения иррациональных уравнений:

Теорема № 1.

Пусть f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)} — некоторые функции, определённые на множестве D{\displaystyle D}. Пусть f(x){\displaystyle f(x)} ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x){\displaystyle g(x)} ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу.

Тогда уравнение f(x)=g(x){\displaystyle f(x)=g(x)} равносильно системе:

{f(x)=Ag(x)=A{\displaystyle {\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=A\end{cases}}}

Теорема № 2.

Пусть f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)} — некоторые функции, определённые на множестве D{\displaystyle D}. Пусть f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)} ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)+g(x)=A+B{\displaystyle f(x)+g(x)=A+B} равносильно системе уравнений:

{f(x)=Ag(x)=B{\displaystyle {\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases}}}

Теорема № 3.

Пусть f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)} — некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D{\displaystyle D}. Пусть f(x){\displaystyle f(x)} ограничена сверху (или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)g(x)=AB{\displaystyle f(x)g(x)=AB} равносильно системе уравнений (при условии, что A>0{\displaystyle A>0} и B>0{\displaystyle B>0}):

{f(x)=Ag(x)=B{\displaystyle {\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases}}}

В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)}, а также условие положительности А и В.

Пример:

Решить уравнение (x−2y+1)2+1+(3x−y−2)2+25=6{\displaystyle {\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}+{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}=6}

Введём более короткие обозначения: f(x,y)=(x−2y+1)2+1{\displaystyle f(x,y)={\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}} и g(x,y)=(3x−y−2)2+25{\displaystyle g(x,y)={\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}}.

Значения f(x,y){\displaystyle f(x,y)} больше или равны 1, так как подкоренное выражение (x−2y+1)2+1{\displaystyle (x-2y+1)^{2}+1} очевидно ⩾1{\displaystyle \geqslant {1}}. Причём f(x,y)=1{\displaystyle f(x,y)=1}, только если (x−2y+1)2=0{\displaystyle (x-2y+1)^{2}=0}. Аналогично, значения g(x,y){\displaystyle g(x,y)} не меньше 5. Значит можно записать f(x,y)+g(x,y)=1+5{\displaystyle f(x,y)+g(x,y)=1+5}. Следовательно, используя Теорему № 2:

{f(x,y)=1g(x,y)=5{\displaystyle {\begin{cases}f(x,y)=1\\g(x,y)=5\end{cases}}} или {(x−2y+1)2+1=1(3x−y−2)2+25=5{\displaystyle {\begin{cases}{\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}=1\\{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}=5\end{cases}}}

Возведя оба уравнения в квадрат, получим

{(x−2y+1)2=0(3x−y−2)2=0{\displaystyle {\begin{cases}(x-2y+1)^{2}=0\\(3x-y-2)^{2}=0\end{cases}}}, упрощая далее {x−2y+1=03x−y−2=0{\displaystyle {\begin{cases}x-2y+1=0\\3x-y-2=0\end{cases}}}

Единственное решение этой системы (1;1){\displaystyle (1;1)}

Ответ: (1;1){\displaystyle (1;1)}

Функциональный подход

Графический подход

Примечания