Примеры квадратного уравнения: Квадратное уравнение

Содержание

Решение квадратных уравнений

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

За этот урок мы решим 33 квадратных уравнения!

Всех видов, всеми способами.

Ты точно разберешься с этой темой!

И самое главное..

Зачем нужно уметь хорошо и быстро решать квадратные уравнения?

Решение многих других уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений!

Будет обидно на экзамене решить какое-нибудь сложное уравнение и запнуться на квадратном. 

Потому, давай начнем! 

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

 

Что такое квадратное уравнение?

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». 

Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате.

И при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Если говорить научным, математическим языком, то…

Квадратное уравнение, это уравнение вида

  ,

где   – неизвестное,

 ,  ,   – некоторые числа, причем  . 

  и   называют коэффициентами квадратного уравнения,

а   – свободным членом.

 

Сначала научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое

Пример 1

 

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на  

 

 

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

 

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2

 

Домножим левую и правую часть на  :

 

 

Это уравнение, хотя в нем изначально был  , не является квадратным!

Пример 3

 

Домножим все на  :

 

 

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену  , то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

 

Пример 4

 

Вроде бы есть  , но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

 

 

 

Видишь,   сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Проверь ответы

  1. квадратное;
  2. квадратное;
  3. не квадратное;
  4. не квадратное;
  5. не квадратное;
  6. квадратное;
  7. не квадратное;
  8. квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на   вида:

Два вида квадратных уравний — полные и неполные

Полные квадратные уравнения

Полные квадратные уравнения — это уравнения, в которых коэффициенты   и  , а также свободный член с не равны нулю (как в примере  ). 

Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент   (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения – это уравнения, в которых коэффициент   и или свободный член с равны нулю:


 
 
 

Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента.

Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно.

Такое деление обусловлено методами решения.

Рассмотрим каждый из них подробнее.

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Решение неполных квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения бывают   типов:

  1.  , в этом уравнении коэффициент   равен  .
  2.  , в этом уравнении свободный член   равен  .
  3.  , в этом уравнении коэффициент   и свободный член   равны  .

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

1.   и  .

Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

  .

Выражение   может быть как отрицательным, так и положительным.

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число.

Так что: если  , то уравнение не имеет решений.

А если  , то получаем два корня  . Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что   не может быть меньше  .

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5

Решите уравнение  

Выразим  

 

 

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

 

 

Ответ:  

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6

Решите уравнение  

 

 

 

 

Ответ:  

Пример 7

Решите уравнение  

 

 

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

  нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок –   (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:  

2.  .

Вынесем общим множитель   за скобки:

 .

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

 .

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.

Пример 8

Решите уравнение  

Вынесем общий множитель   за скобки:

 

Таким образом,

 

У этого уравнения два корня.

Ответ:  

3.  .

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

 .

Здесь обойдемся без примеров.

 

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида:

   где  

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта!

Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если  , то уравнение имеет 2 корня. Нужно особое внимание обратить на шаг 2.

Дискриминант D указывает нам на количество корней уравнения.

Алгоритм Пример: 

Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду:  

 

 Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно.

Главное правильно определить коэффициенты   и   и свободный член  .

 ,

здесь   

Шаг 2. Вычислить дискриминант.

Вот его формула:   

  

Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:

 

  
  • Если  , то формула на шаге   сократится до  . Таким образом, уравнение будет иметь всего   корень.
  • Если  , то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге  . Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней?

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения.

График функции   является параболой:

решение квадратных уравнений 1 (3)

В частном случае, которым является квадратное уравнение,  .

А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось  ).

Парабола может вообще не пересекать ось  , либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси  ) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент  . Если  , то ветви параболы направлены вверх, а если   – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

 

Ответ:  

Пример 10

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , а значит уравнение имеет один корень.

 

Ответ:  

Пример 11

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

1)

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

2)

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

3) .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.

4) Решим уравнение .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и  – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит,   или .

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Отсюда или
.

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Рассмотрим уравнение
.

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

Разложение квадратного трехчлена на множители

.

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Его корни
,
.

.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

Корни уравнения .

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

 

Смотри также: Квадратичная функция

Квадратные уравнения. Примеры решения

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный — ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение — то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Теория и практика квадратных уравнений

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты ab и c — произвольные числа, причем a ≠ 0, а x – неизвестное. Выражение {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ax2 + bx + c   называют квадратным трёхчленом.

а называют первым или старшим коэффициентом, {\displaystyle b}b   –  вторымсредним или коэффициентом, {\displaystyle c}c –  свободным членом.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля:

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  • Не имеют корней;

  • Имеют ровно один корень;

  • Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого нужен дискриминант.

D>0

D=0

D<0

Корни квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0

Два различных корня

Один корень (два равных)

Нет корней

Пример 1: Решите квадратные уравнения.

  1. x2 − 8x + 12 = 0;

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.

  1. 5x2 + 3x + 7 = 0;

a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет.

  1. x2 − 6x + 9 = 0.

a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один

Решение неполных квадратных уравнений

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член, либо сразу оба), равен нулю: ;

  1. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. hello_html_m3a6e99f1.png

Пример 2

x1=6 x2= -6 нет коней

  1. Пусть с =0, тогда получаем ax2 + bx = 0.

Вынесем общий множитель за скобку: hello_html_664fc4be.png

иди

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

  1. b = c = 0, уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x=0

приведенное квадратное уравнение. теорема Виета

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице:{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.} или

Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле.hello_html_m10933db8.png

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел{\displaystyle x_{1},x_{2}}, будучи решением системы уравнений , являются корнями уравнения  {\displaystyle x^{2}+px+q=0}:{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}}

Пример 3:

x1= — 9 x2=2

Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Формулы подходят для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0 , где

Пример 4:

Любой квадратный трехчлен можно разложить на множители по формуле: , где x1, x2 – его корни

Тогда

1.  Найдите корни уравнения hello_html_1e2be7b.png.

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

2.  Решите уравнение hello_html_643aa29b.png.

Если корней несколько, запишите в ответ больший

3.  Решите уравнение hello_html_m5a496979.png.

Если корней несколько, запишите в ответ меньший.

4.  Решите уравнение hello_html_27fec236.png.

Если корней несколько, запишите в ответ их сумму.

5.  Найдите корни уравнения  hello_html_67d7b421.png.

6.  Найдите корни уравнения  hello_html_m7f978cc.png.

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

7.  Найдите корни уравнения hello_html_1e2be7b.png

8.  Найдите корни уравнения hello_html_2bc1de2f.pnghello_html_m6b1b67e7.png

9.  Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C.

Ответ: -2

 

hello_html_732b937d.gif

10. На рисунке изображены графики функций hello_html_m740701c5.png и hello_html_1032fbbe.png Вычислите координаты точки B., в ответ запишите их сумму.

11.  Уравнение hello_html_50c6c0ba.png имеет корни −6; 4. Найдите hello_html_7fb00323.png

12.  Квадратный трёхчлен разложен на множители: hello_html_30ddeb77.png Найдите hello_html_d06c036.png

13Решите уравнение hello_html_m2b24f02a.png

14.  Решите уравнение hello_html_77664751.png

15.  Решите уравнение hello_html_m6df393c6.png

16.  Решите уравнение hello_html_m4084569b.png

17.  Уравнение hello_html_50c6c0ba.png имеет корни −5; 7. Найдите p

18. Решите уравнения: а)x2-13x+36=0; b) 4x2-4x-1=0; в) x2+8x-20=0; г) 3x2-18x+15=0

19..Найти корни уравнения:

А) x2+9x+8=0 Б) x2+5x-14=0 В) x2-7x-30=0 г) x2-15x+56=0

20. Решите уравнения: а)2x2-50=0; б)4x2+5x=0; в)-5x2=0; г)4x2+7=0 д)6x2-30=0 е)6x2-5x+10=3x2+x+10

21. Решите уравнения: а) 9x2+24x+16=0; б) 3x2-8x+7=0; в) 3x2+16x-12=0; г) (2x-1)(x+3)=3x2-5

примеров квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение второй степени, означающее, что оно содержит хотя бы один член в квадрате. Стандартная форма это ax² + bx + c = 0, где a, b и c являются константами или числовыми коэффициентами, а x является неизвестной переменной. Одно из абсолютных правил заключается в том, что первая константа «а» не может быть нулем.

Стандартные уравнения форм

Вот примеры квадратичных уравнений в стандартной форме (ax² + bx + c = 0):

  • 6x² + 11x — 35 = 0

  • 2x² — 4x — 2 = 0

  • -4x² — 7x +12 = 0

  • 20x² -15x — 10 = 0

  • x² -x — 3 = 0

  • 5x² — 2x — 9 = 0

  • 3x² + 4x + 2 = 0

  • -x² + 6x + 18 = 0

Вот примеры квадратных уравнений, в которых отсутствует линейный коэффициент или «bx»:

  • 2x² — 64 = 0

  • x² — 16 = 0

  • 9x² + 49 = 0

  • -2x² — 4 = 0

  • 4x² + 81 = 0

  • -x² — 9 = 0

  • 3x² — 36 = 0

  • 6x² + 144 = 0

Вот примеры квадратных уравнений без постоянный термин или «c»:

  • x² — 7x = 0

  • 2x² + 8x = 0

  • -x² — 9x = 0

  • x² + 2x = 0

  • -6000 — 3x = 0

  • -5x² + x = 0

  • -12x² + 13x = 0

  • 11x² — 27x = 0

Вот примеры квадратичного уравнения в факторизованной форме:

  • (x + 2) (x — 3) = 0 [при вычислении становится x² -1x — 6 = 0]

  • (x + 1) (x + 6) = 0 [при вычислении становится x² + 7x + 6 = 0]

  • (x — 6) (x + 1) = 0 [при вычислении становится x² — 5x — 6 = 0

  • -3 (x — 4) (2x + 3) = 0 [при вычисление становится -6x² + 15x + 36 = 0]

  • (x — 5) (x + 3) = 0 [при вычислении становится x² — 2x — 15 = 0]

  • (x — 5) (x + 2) = 0 [после вычисления становится x² — 3x — 10 = 0]

  • (x — 4) (x + 2) = 0 [при вычислении становится x² — 2x — 8 = 0]

  • (2x + 3) (3x — 2) = 0 [при вычислении становится 6x² + 5x — 6]

    Вот примеры других форм квадратных уравнений :

    • x (x — 2) = 4 [при умножении и перемещении 4 становится x² — 2x — 4 = 0]

    • x (2x + 3) = 12 [при умножении и перемещении 12 становится 2x² — 3x — 12 = 0]

    • 3x (x + 8) = -2 [при умножении и перемещении -2 становится 3x² + 24x + 2 = 0]

    • 5x² = 9 — x [перемещение 9 и -x на другую сторону становится 5x² + x — 9]

    • -6x² = -2 + x [перемещение -2 и x на другую сторону становится -6x² — x + 2]

    • x² = 27x-14 [перемещение -14 и 27x на другую сторону становится x² — 27x + 14]

    • x² + 2x = 1 [перемещение «1» на другую сторону становится x² + 2x — 1 = 0]

    • 4x² — 7x = 15 [перемещение 15 на другую сторону становится 4x² + 7x — 15 = 0]

    • -8x² + 3x = -100 [перемещение -100 на другую сторону становится -8x² + 3x + 100 = 0]

    • 25x + 6 = 99 x² [перемещение 99 x2 на другую сторону становится -99 x² + 25x + 6 = 0]

    Существует много различных типов квадратных уравнений, как показывают эти примеры.

    Квадратное уравнение на доске как примеры квадратного уравнения
.

квадратичных уравнений

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения создают хорошие кривые, как этот:

Имя

Название Quadratic происходит от квадрата, означающего квадрат, потому что переменная получает квадрат (например, x 2 ).

Это также называется «уравнение степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит следующим образом:


  • a , b и c являются известными значениями. a не может быть 0.
  • « x » — это переменная , или неизвестно (мы пока не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0 В этом a = 2 , b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0 Это немного сложнее:
  • Где ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x 2 »
  • b = −3
  • А где с ? Скважина c = 0 , поэтому не показана.
5x — 3 = 0 Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2
(другими словами a = 0 , что означает, что оно не может быть квадратичным)

поиграй с ним

Поиграйте в «Исследователь квадратичных уравнений», чтобы увидеть:

  • график, который он делает, и
  • решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, стандартная форма квадратного уравнения равна

Но иногда квадратное уравнение выглядит не так!

Например:

замаскированный В стандартной форме а, б и в
x 2 = 3x — 1 Переместить все термины в левую часть x 2 — 3x + 1 = 0 a = 1, b = −3, c = 1
2 (Вт 2 — 2 Вт) = 5 Расширить (отменить скобки),
и переместить 5 влево
2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0 a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3 Разверните и переместите 3 влево z 2 — z — 3 = 0 a = 1, b = −1, c = −3

Как их решить?

«Решения » для квадратного уравнения — это где равно нулю .

Их также называют « корни », или иногда « нули »

Обычно есть 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько способов найти решение:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто подключите значения a, b и c и выполните расчеты.

Мы рассмотрим этот метод более подробно сейчас.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, что выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b 2 — 4ac) 2a

x = −b — √ (b 2 — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но так не всегда получается!

  • Представьте, что кривая «просто касается» оси X.
  • Или представьте, что кривая настолько высока, что и даже не пересекают ось X!

Здесь «Дискриминант» помогает нам …

Дискриминант

Видите ли вы b 2 — 4ac в формуле выше? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» между возможными типами ответа:

  • , когда b 2 — 4ac положительно, мы получаем два реальных решения
  • , когда он равен нулю, мы получаем ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
  • , когда оно отрицательное, мы получаем пару комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как посмотрим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто поместите значения a, b и c в квадратную формулу и выполните вычисления.

Пример: Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: а = 5, б = 6, с = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac)

Положите в a, b и c: x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: х = −6 ± √ (36 — 20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

x = −0.2 или −1

Ответ: x = −0.2 или x = −1

И мы видим их на этом графике.

Чек -0,2 : 5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1
= 5 × (0,04) + 6 × (–0,2) + 1
= 0,2 — 1,2 + 1
= 0
Чек -1 : 5 × ( -1 ) 2 + 6 × ( -1 ) + 1
= 5 × (1) + 6 × (-1) + 1
= 5 — 6 + 1
= 0

Вспоминая Формулу

Добрая читательница предложила спеть ее для «Pop Goes the Weasel»:

«x равно минус b «Все вокруг куста шелковицы
плюс или минус квадратный корень Обезьяна преследовала ласку
б-квадрат минус четыре а с Обезьяна подумала, что все в порядке
ВСЕ более двух « Поп! идет ласка «

Попробуйте спеть его несколько раз, и он застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b 2 — 4ac)

«Отрицательный мальчик думал о да или нет о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке, с которой он разговаривал с квадратным парнем, но не с 4-мя удивительными цыпочками.
Все закончилось в 2 часа ночи.
«

Комплексные решения?

Когда дискриминант (значение b 2 — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару комплексных решений … что это значит?

Это означает, что наш ответ будет включать в себя мнимые числа. Вот Это Да!

Пример: Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

Коэффициенты : : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант является отрицательным: b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = -2 ± √ (−16) 10

√ (−16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: х = -2 ± 4 i 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 i

График не пересекает ось X. Вот почему мы получили комплексные числа.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставьте это как -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты : : a = 1, b = −4, c = 6.25

Обратите внимание, что дискриминант является отрицательным: b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось X.Вот почему мы получили комплексные числа.

, НО перевернутое зеркальное изображение нашего уравнения пересекает ось X при 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует и ).

Просто интересный факт для вас!

Резюме

  • Квадратичное уравнение в стандартной форме: топор 2 + bx + c = 0
  • Квадратичные уравнения могут быть учтены
  • Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac)
  • Когда дискриминант ( b 2 −4ac ) равен:
    • положительных, есть 2 реальных решения
    • ноль, есть одно реальное решение
    • минус, есть 2 комплексных решения

,

101 использование квадратного уравнения: Часть II

Май 2004

В 101 использовании квадратного уравнения: Часть I в выпуске 29 Plus мы взглянули на квадратные уравнения и увидели, как они естественным образом возникают в различных простых задачах. Во второй части мы продолжим наше путешествие. Скоро мы увидим, как скромный квадратик проявляется во многих различных важных приложениях.

Давайте начнем с того места, где мы остановились, с квадратичных кривых, известных как круг, эллипс, гипербола и парабола.Они были известны и изучались еще со времен древних греков, но кроме круга они, казалось, не имели никакого практического применения. Однако в 16 веке для них настало время изменить мир.

photomontage of planets

Изображение предоставлено NASA

С приходом Ренессанса глубокие мыслители начали смотреть на мир по-другому. Одним из них был Коперник, который вошел в историю, предположив, что Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот.Коперник считал, что орбита Земли — это круг, отчасти потому, что он очень близок к кругу, а также потому, что круг, будучи таким симметричным, считался самая совершенная из возможных кривых. Так продолжалось до тех пор, пока Кеплер, используя некоторые очень осторожные наблюдения Тихо Браге, не обнаружил некоторые расхождения между предсказаниями теорий Коперника и экспериментальными данными. Кеплер обнаружил, что планеты не вращались вокруг Солнца кругами, а вращались в эллипсах .Затем правила Кеплера соответствовали наблюдениям в совершенстве. Наконец, конические участки, которые мы видели в последней статье, вступили в свои права, спустя 1500 лет после их обнаружения. Политики и журналисты, пожалуйста, примите к сведению! На этом все не остановилось: было обнаружено, что другие небесные объекты, такие как определенные кометы, движутся по гиперболическим орбитам. Эти замечательные открытия Кеплера помогли вступить в современный мир.

Квадратичные уравнения не только описывают орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, но и дают возможность наблюдать их более близко.Ключом к дальнейшим достижениям в астрономии стало изобретение телескопа . С помощью телескопа Галилей смог наблюдать луны Юпитера и фазы Венеры, которые поддерживали теории Коперника. Позже отлично отражающие телескопы использовались, чтобы исследовать тайны Вселенной. В последние годы гигантские радиотелескопы использовались как для прослушивания инопланетян, так и для отправки сообщений, которые может подобрать потенциальный инопланетянин. В телескопе Галилея использовались линзы, форма которых была образована двумя пересекающимися гиперболами.Отражающий телескоп, изобретенный Ньютоном (см. Позже), имеет зеркало, для которого каждый крестик сечение принимает форму параболы! Та же параболическая форма подходит и для чаши гигантского радиотелескопа, зеркала для бритья и спутниковой антенны. Действительно, квадратные уравнения лежат в основе современных коммуникаций.

Галилео, почему квадратные уравнения могут спасти вашу жизнь и «эта» цель сброса

Подгонка между эллипсом, описываемым квадратным уравнением, и природой в то время казалась весьма примечательной.Как будто природа сказала: «Вот кривая, о которой знают люди, давайте использовать ее». Чтобы понять, почему это был правильный поворот, пришлось подождать до Галилея, а затем до Ньютона. Ответ, пожалуй, единственная самая важная причина, по которой квадратные уравнения так важны: является связующим звеном между квадратными уравнениями и ускорением . Именно Галилей впервые обнаружил эту связь в начале 17-го века.

fast car

Квадратные уравнения необходимы для понимания ускорения.Изображение freeimages.co.uk

Большинство людей слышали о Галилео, колоритном профессоре математики в Пизанском университете. Заключительная часть его карьеры была сосредоточена на эпической битве с испанской инквизицией за обоснованность представления Коперника о солнечной системе. Однако до этого он посвятил большую часть своей жизни изучению того, как все движется. Задолго до Галилея греческий ученый Аристотель заявил, что естественное состояние материи должно было быть в покое. Аристотель также сказал, что более тяжелые предметы падают быстрее, чем более легкие.Галилей бросил вызов обоим из этих кусочков принятой мудрости. В основе работы Галилея было понимание динамики, которая имеет огромное значение для таких жизненно важных видов деятельности, как знание того, когда (и как) остановить нашу машину, а также как достичь цели.

В основе этого лежит понимание идеи ускорения и той роли, которую играют в нем квадратные уравнения.

Если объект движется в одном направлении без воздействия на него силы, то он продолжает двигаться в этом направлении с постоянной скоростью.Мы можем назвать эту скорость $v$. Теперь, если частица начинается в точке $x=0$ и движется таким образом в течение времени $t$, то ее результирующее положение задается $x = vt.$. Обычно на частицу действует сила, такая как сила тяжести для мяча для регби или трение в тормозах. машины. Переносясь вперед к Ньютону, мы знаем, что эффект постоянной силы заключается в создании постоянного ускорения $a$. Если начальная скорость равна $u$, то скорость $v$ по истечении времени $t$ задается как $v = u + at$.Галилей понял, что вы можете перейти от этого выражения к определению положения частицы. В частности, если частица начинается в позиции $x=0$, то позиция $s$ во время $t$ задается как

\[ s = ut + \frac{1}{2} at^2.  \]

Это квадратное уравнение , связывающее $t$$s$ со многими важными последствиями для всех нас. Например, предположим, что мы знаем тормозное усилие, приложенное к автомобилю: тогда эта формула позволяет нам определить, как далеко мы путешествуем за время $t$, или, наоборот, решая за $t$, сколько времени требуется, чтобы пройти определенное расстояние.

Очень важное применение — найти тормозной путь автомобиля, движущегося с заданной скоростью $u$. Предположим, что автомобиль движется с такой скоростью, и вы нажимаете на тормоза, сколько времени потребуется, чтобы остановиться? Даже журналисты могут быть заинтересованы в этом вопросе, особенно если это означает предотвращение несчастного случая. В частности, если для замедления автомобиля с скорости $u$ до скорости 0 применяется постоянное замедление $-a$, то решение для $t$ и замена дает тормозной путь $s$:

\[ s = \frac{u^2}{2a}. \]

Причина, по которой этот результат так важен для всех нас, состоит в том, что он предсказывает, что удвоение вашей скорости в четыре раза, а не удвоение, вашего тормозного пути.В этом квадратичном выражении мы видим убедительные доказательства того, почему мы должны замедляться в городских районах, так как небольшое снижение скорости приводит к гораздо большему сокращению тормозного пути. Правильное решение квадратного уравнения здесь может, в буквальном смысле, спаси свою или чужую жизнь!

Простая квадратичная формула, связывающая время с расстоянием, также является основой науки баллистики, которая смотрит на то, как объекты движутся под действием силы тяжести. В этом случае объект падает в направлении $y$ с постоянным ускорением $g$.Напротив, он движется в направлении $x$ горизонтально с постоянной скоростью (при отсутствии сопротивления воздуха). Если он начинается в точке $x = y = 0$ со скоростью $u$ в направлении $x$ и скоростью $v$ вверх, то Galileo смог показать, что позиция в момент времени $t$ задана

\[ x = ut \quad \mbox{and} \quad y = vt - \frac{1}{2} g t^2. \]
Другими словами, у нас есть
\[ y = \left( \frac{v}{u} \right) x - \left( \frac{g}{2u^2}\right) x^2, \]
— еще одно квадратное уравнение, на этот раз связывающее $x$ с $y$.Что примечательно, так это то, что полученная форма траектории была, конечно, параболой . parabola

Предположим теперь, что вы находитесь на последней минуте матча по регби, и вам нужно ударить идеальный гол. Для этого вы должны ударить по мячу с правильным углом и скоростью, чтобы при прохождении расстояния x до цели он находился на правильной высоте y , чтобы пройти по стойкам ворот. Для этого необходимо решить квадратное уравнение. Конечно, в самый разгар у вас может не быть времени чтобы сделать это, где практика приходит! Более серьезно, параболическое уравнение для траектории частиц — с изменениями, учитывающими сопротивление воздуха, вращение снаряда, а также вращение Земли — служит основой для артиллерийских расчетов…. факт, который не пропал военным после открытия Галилея.

Мы покидаем Галилео с открытием маятника . Примерно в 1600 году Галилей посещал церковную службу в Пизе (он должен был). Скучающий по проповеди, он начал наблюдать качание люстры взад и вперед — и сделал замечательное открытие: время, необходимое для качания люстры, не зависело от ее амплитуды. Это открытие привело к изобретению маятника и различных такие часы, как напольные часы, но в то время Галилей не мог этого объяснить.Для этого нам нужно другое квадратное уравнение.

Ньютон, квадратные уравнения и пение в ливне

Ньютон родился в год, когда Галилей умер, и полностью изменил наше понимание науки и роль математики в научной предсказуемости. Ньютон был вдохновлен работой Галилея и Кеплера. Эти научные гиганты точно описали явления динамики и небесной механики, но ни один не сформулировал научных объяснений.это было уехал в Ньютон, чтобы предоставить математическое объяснение явлений, которые они наблюдали.

Во-первых, он сформулировал три закона движения, которые объяснили наблюдения Галилея. Во-вторых, он описал фундаментальный закон гравитации, который заключался в том, что две массы притягивались друг к другу силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Используя геометрические аргументы, он смог доказать, что такой закон силы подразумевает, что планеты должны двигаться вокруг солнца в коническом сечении.(Конечно, это был невероятный случай, когда закон обратных квадратов привел к появлению орбит, которые можно объяснить с помощью известных кривых!) Ньютон также работал в области оптики и признал, что телескопы, которые использовал Галилей (основаны на линзах) ) вызывал проблемы, преломляя свет разных цветов по-разному. Он преодолел это, разработав телескоп на основе зеркала. Лучшей формой для зеркала, чтобы сфокусировать все точки, была не что иное, как парабола, ведущая к отражающим телескопам, которые мы видели ранее.

Однако у Ньютона были еще тузы в рукаве. Хотя он использовал геометрические аргументы, чтобы объяснить вещи своим современникам, он также (параллельно с Лейбницем, но независимо от него) разработал исчисление. Это была математическая теория того, как все меняется, и она идеально подходила для описания объектов, действующих в соответствии с его законами движения. Основное устройство в Приложение исчисления к реальному миру — это дифференциальное уравнение , которое связывает изменение условий объекта с (например) силами, действующими на них.Дифференциальные уравнения лежат в основе почти всех современных приложений математики к природным явлениям, от понимания того, как тепло течет через планку, до того, как развиваются рисунки шерсти животных (см. Как леопард получил свои пятна, также в этом выпуске Plus ). Их применение практически не ограничено, и они играют жизненно важную роль во многих современных технологиях.

Когда Ньютон был жив, это было все еще в будущем! Но одной проблемой, которую он действительно рассматривал, было движение маятника, которое так интересовало Галилея.Это движение может быть описано в терминах дифференциального уравнения, и в случае небольших колебаний маятника это уравнение может быть решено, чтобы найти время колебания. Для ее решения необходимо найти решение квадратного уравнения!

Если $x$ — это угол поворота маятника, то Ньютон понял, что существуют числа $a,b$ и $c$, которые зависят от таких особенностей, как длина маятника, сопротивление воздуха и сила гравитационного усилия, так что дифференциальное уравнение, описывающее движение было

\[ a\frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + cx = 0. \]
Здесь $t$ — время, $\frac{d^2 x}{dt^2}$ — ускорение маятника, а $\frac{d x}{dt}$ — его скорость.

При помощи компьютера можно найти приблизительные решения таких уравнений, и этот подход обычно используется для очень сложных дифференциальных уравнений, встречающихся в современной технологии. Тем не менее, математик Леонард Эйлер изобрел способ решения этого конкретного уравнения, основанного на решении квадратного уравнения. Эйлер предположил существование решения вида

\[ x(t) = e^{wt}, \]
, где $e = 2.718281828... $ — это основание натуральных логарифмов.Важность этой функции заключается в том, что
\[  \frac{d\  e^{wt}}{dt} = we^{wt}. \]
Подстановка в дифференциальное уравнение и деление на $e^{wt}$ дает следующее уравнение для $w$:
\[ aw^2 + bw + c = 0. \]
Это очень знакомо! Все, что нам нужно сделать, чтобы решить исходное дифференциальное уравнение, это решить это квадратное уравнение и заменить обратно $w$.Делая это, мы можем точно предсказать поведение маятника.

Что также удивительно, так это то, что различные типы решений квадратного уравнения приводят к совершенно разным решениям дифференциального уравнения. Если b 2 > 4 ac , то квадратное уравнение имеет два действительных решений.

solution for pendulum under friction

У того же дифференциального уравнения есть решение, похожее на диаграмму справа. Физически это решение соответствует маятнику с большим трением (или маятнику, движущемуся в жидкости, такой как вода).

oscillating, familiar, solution for pendulum

Напротив, если b 2 <4 ac , то в этом же дифференциальном уравнении колеблющихся решений, которые выглядят как диаграмма слева. Это больше похоже на движения маятника, с которым мы знакомы.

Различие между этими двумя типами движения очень глубокое и возникает потому, что во втором случае решения квадратного уравнения являются сложными и включают квадратный корень из -1.Мы рассмотрим это более подробно в настоящее время.

shower

Новый караоке

Открытие того, что дифференциальные уравнения такого рода (их называют уравнениями с постоянными коэффициентами второго порядка) можно решить с помощью квадратных уравнений, имеет исключительную важность. Причиной является универсальность дифференциальных уравнений и тот факт, что решения получающегося квадратного уравнения говорят нам о том, могут ли решения расти, оставаться в одном размере или получить меньше.Это очень важно для инженеров, которые пытаются проектировать безопасные конструкции и машины. В этих структурах небольшие возмущения, которые растут, быстро приведут к разрушению конструкции (так называемая нестабильность) Очень похожие соображения применимы к электрическим цепям. На практике часто это происходит путем решения приведенного выше квадратного уравнения и определения, имеют ли корни w определенные свойства что безопасная машина может быть разработана. Иногда растущие решения могут быть полезны, особенно когда они связаны с явлением резонанса.Представьте, что вы вибрируете маятником вверх и вниз с частотой . Некоторые значения от до приводят к гораздо большим откликам, чем другие. Это резонанс. Вы встречаете резонанс каждый раз, когда настраиваете радио или поете в душе. Это резонансные ноты душа, которые звучат лучше (и громче), когда вы поете их. В случае качающегося маятника резонансная частота задается как

\[ f = \sqrt {c/a}. \]

Квадратные уравнения поднимают в воздух

Связь между квадратными уравнениями и дифференциальными уравнениями второго порядка не случайна: все это связано со связью между силой и ускорением, описанной во втором законе Ньютона.Когда Ньютон сформулировал этот закон, он думал главным образом о движении твердых тел. Однако вскоре стало понятно, что те же законы могут применяться к движению жидкостей, таких как вода и воздух. В В частности, можно использовать законы Ньютона, чтобы найти взаимосвязи между скоростью жидкости и ее давлением. Сложные версии этих законов (так называемые уравнения Навье-Стокса и связанные с ними уравнения в частных производных) решаются на больших компьютерах для прогнозирования погоды. Однако конкретное решение, действительное для многих типов потока жидкости, было одним из ключевых ингредиентов в открытии основные принципы полета.Последствия этого были неизмеримы и связаны (как всегда) с квадратным уравнением, называемым уравнением Бернулли.

Семья Бернулли состояла из множества математиков, которые как по отдельности, так и вместе добились огромных успехов в математике. Один из них, Джейкоб Бернулли, посмотрел на движение воздуха. Он обнаружил, что если вы посмотрите на постоянный поток воздуха со скоростью $u$ и давлением $P$, и воздушная частица движется на высоте $h$, то существует постоянная $E$ (энергия воздушной частицы), так что

\[ \frac{u^2}{2} + P = h. \]
Важно, что если $h$ является постоянным, то эта формула предсказывает, что если $u$ увеличивается, то $P$ уменьшается.Это называется эффектом Бернулли. Этот результат является прямым следствием законов движения Ньютона и применяется только к плавно движущимся жидкостям, которые не слишком липкие (вязкие). Однако это квадратное уравнение является достаточно точным, чтобы предсказать поведение потока воздуха над крылом самолета и понять, почему самолет летит.

Существует ряд простых экспериментов, которые могут продемонстрировать эффект Бернулли. Одним из самых простых является подвешивание двух шариков для пинг-понга на хлопковой нити на расстоянии нескольких сантиметров друг от друга.Затем осторожно подуйте между ними и посмотрите, что произойдет. Вместо того, чтобы разлетаться, они движутся вместе.

Это показывает, что давление, создаваемое жидкостью (воздухом), уменьшается с увеличением скорости жидкости. Можно ожидать, что движущаяся жидкость будет оказывать на больше давления , но здесь мы говорим о боковом давлении, а не о силе, создаваемой импульсом самой жидкости. Это сила, которую вы чувствуете, когда дует ветер.

Bernoulli effect

Более экстремальный эксперимент, который действительно работает, включает в себя еще один мяч для пинг-понга.Это выпущено от отдыха в перевернутой воронке с нисходящим потоком воздуха.

Если вы используете постоянный поток воздуха и достаточно большую воронку, вы сможете уравновесить шарик для пинг-понга. На практике обратный пылесос, мяч для пинг-понга и большая кухонная воронка действительно работают очень хорошо. Это выглядит очень странно, поскольку нисходящего потока воздуха , кажется, сосут мяч вверх. Тем не менее, это совершенно соответствует физическому принципу!


Почему сложное квадратное уравнение приводит к мобильному телефону

Давайте на секунду остановимся и подумаем о том, что происходит, когда мы возводим в квадрат число, то есть когда мы берем $x$ и вычисляем $x^2$.Одна вещь, которую мы замечаем, это то, что независимо от того, какое значение мы берем для $x$, $x^2$ всегда неотрицательно. Как следствие, $x^2=-1$ не может иметь решения. То, как математики справлялись с этой проблемой, заключалось в том, чтобы обманывать и просто определять решение для существования! Буква $i$ используется для обозначения решения

\[ x^2=-1, \]
т. $i^2=-1$. Таким образом, $i$ не может быть действительным числом и поэтому называется мнимым числом .Обратите внимание, что
\[  (-i)^2 = -1 \times i \times -1 \times i = i\times i = -1.  \]
Итак, $x=-i$ также является решением уравнения $x^2=-1$.

Исторически мнимые числа впервые обнаруживались при попытке решения кубических уравнений, а не квадратичных. Самое удивительное было то, что при использовании этих тонких и мнимых чисел можно было решать кубические уравнения. Фактически, случай, когда во время расчета требовались мнимые числа, имел реальные решения!

Это математическое исправление должно быть обосновано! В противном случае мы можем просто изобретать новые виды чисел каждый раз, когда сталкиваемся с проблемой, которую не можем решить.В конце концов у нас закончатся буквы, и в любом случае мы не поймем, как все эти новые виды чисел связаны друг с другом. Все это было бы безнадежно. Очень глубокий математический результат заключается в том, что на самом деле изобретать новые виды чисел оказывается совершенно ненужным. Использование комбинации действительных и мнимых чисел, известных как комплексных чисел , оказывается достаточным для решения практически всех математических задач! Первым человеком, который действительно использовал мнимые числа с уверенностью, был Леонард Эйлер, который жил с 1707 по 1783 год, и один из его других диких и смелых математических вычислений Один из нас (Крис Сангвин) в выпуске 19 из Plus объясняет бесконечную серию сюрпризов.

Мнимое число $i$ встречается в одной из самых красивых формул в математике, которая относится к $\pi $, $e$ (основание натуральных логарифмов) и $i$. Это

\[ e^{i\pi }=-1. \]

Это частный случай более общего результата, который связывает экспоненциальную функцию $e^ x$ с $\sin (x)$ и $\cos (x)$ через комплексные числа. Эйлер обнаружил, что

\[  e^{it}=\cos (t)+i\sin (t).  \]

И $\cos (t)$, и $\sin (t)$ являются колеблющимися терминами, то есть они периодически повторяются.Эта формула дает представление о том, как дифференциальное уравнение, моделирующее демпфированный маятник, имеющий решение вида $e^{wt}$, может иметь колебательные решения. Если $w$ является мнимым или сложным, формула Эйлера позволяет переписать экспоненциальный член в виде комбинации $\sin (t)$ и $\cos (t)$.

Другое очень значительное применение воображаемого числа $i$ к физическому миру исходит из квантовой теории. Эта теория имеет дело с явлениями на микроскопическом уровне, когда величины (такие как электроны или фотоны энергии) могут вести себя как частицы и колеблющиеся волны.Как мы уже видели, колебательное поведение можно описать с помощью $i$. Фундаментальное уравнение квантовой теории, которое используется для вычисления «волнового числа» величины (вероятности того, что она находится в определенном месте), является уравнением Шредингера. Это (частичное) дифференциальное уравнение с участием $i$, которое можно записать как

\[  i \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla ^2u +v(x)u=0. \]

Это уравнение имеет очень много практических применений.Используя его для прогнозирования движения электронов и дырок в полупроводниках, можно проектировать интегральные схемы с огромным количеством компонентов, которые могут выполнять удивительно сложные задачи. Такие схемы лежат в основе многих современных технологий, включая компьютеры, автомобили, DVD-плееры и мобильные телефоны. Действительно, мобильный телефон работает путем преобразования вашей речи в высокочастотные радиоволны, и поведение этих волн можно затем рассчитать, используя дополнительные формулы, включающие $i$.Таким образом, мы можем с полным основанием сказать, что без простого квадратного уравнения $x^2=-1$ мобильный телефон никогда бы не был изобретен.

Прикосновение квадратичного хаоса

bees

Представьте, что вы биолог или эколог, интересующийся тем, как популяция определенного вида насекомых меняется из года в год. Некоторые насекомые имеют только одно поколение в год, и простая модель предполагает, что популяция в следующем году будет зависеть только от популяции в текущем году.Итак, если x n является населением в году n , то x n + 1 будет некоторой функцией x n .

Одна очень простая модель предполагает, что пропорция, скажем, топоров n , успешно размножается и что bx n 2 умирает от перенаселенности. Чтобы упростить уравнения, мы можем изменить масштаб координат, чтобы получить следующее квадратное уравнение:

x n +1 = rx n (1- x n )

для некоторого фиксированного числа r > 0 и начального населения x 1 .Строго говоря, мы определили целое семейство квадратиков, обозначенных константой r . Каждый член этого семейства известен как логистическая карта .

Стоит провести несколько численных экспериментов, чтобы исследовать поведение этих популяций насекомых. Вы можете попробовать их самостоятельно, используя электронную таблицу, такую ​​как Excel. Для этого поместите начальную популяцию в ячейку A1, которая должна быть между 0 и 1. Затем введите формулу

= 4 * А1 * (1 — А1)

в клетку А2.Это делает А2 равным населению в год 2, учитывая значение r = 4. Теперь скопируйте содержимое ячейки A2 в A3, A4 и так далее. Отличительной особенностью Excel и других пакетов электронных таблиц является то, что он автоматически меняет ссылку на A1 в формуле на ячейку выше. Затем Excel автоматически рассчитает популяцию насекомых для Количество лет. Вы можете изменить начальную популяцию в ячейке A1. Вы также можете изменить значение на , которое в приведенном выше примере было установлено на 4.Если это будет сделано, вам придется снова скопировать новую формулу во все ячейки. Любители приключений могут также построить значения популяции насекомых на графике.

logistic map, with spider graph

На рисунке выше показана логистическая карта с x 1 = 0,2 и r = 3,7. Обратите внимание на очень сложное и непредсказуемое поведение системы. Слева графический график. Изображение справа известно как паутина, так как оно выглядит как паутина. Это графическая процедура, которая поможет вам визуализировать поведение популяций насекомых.

Чтобы нарисовать график паутины, сначала нужно выбрать значение r , а затем построить квадратик на диаграмме паутины. Затем начальная популяция, x 1 на оси x , а также линия y = x . Значение x 2 по определению равно rx 1 (1- x 1 ), что является просто значением x 1 на графике. Поэтому нарисуйте вертикальную линию от x 1 , пока она не достигнет графика.Затем нарисуйте горизонтальную линию от x 2 до линии y = x . Теперь у нас есть позиция x 2 на оси x и мы можем повторить процесс. Чтобы найти x 3 , мы можем просто нарисовать еще одну вертикальную линию на графике, а затем горизонтальную линию обратно на линию у = х . Эту графическую процедуру можно повторить, не ослепляя списками чисел. Вы можете получить отличное представление о том, что происходит с диаграммой паутины.

Интерактивный апплет, приведенный ниже, позволит вам поэкспериментировать с различными значениями или , потянув максимум квадрата вверх и вниз. Максимум оказывается r /4 на логистической карте, и поэтому апплет позволяет использовать r в диапазоне от 0 до 4. Вы также можете изменить начальную популяцию, потянув мышкой горизонтальную полосу.

Эти квадратичные логистические карты демонстрируют хаос , который является современной и интересной областью прикладной математики.Хаос используется для описания системы, которая ведет себя, по-видимому, случайным образом, даже если сама система не является случайной. Что самое удивительное, это то, что:

Очень простые системы ведут себя очень сложным образом.
Например, ниже мы покажем, что происходит, когда вы берете две исходные популяции, которые очень близки друг к другу. В частности, мы запускаем систему с x 1 = 0.2 и затем x 1 = 0.2001 , которые действительно очень близки. Спустя всего несколько поколений население делает совершенно разные вещи! Такое поведение было бы катастрофой, если бы вы хотели популяции, но пришлось оценить начальные популяции.small change in initial conditions under chaos

На самом деле, хаос говорит о многом. В самом деле, если вы допустите ошибку на всех в оценке начальных популяций насекомых, то очень скоро ваш прогноз будет безнадежно неверным. Вы должны попробовать некоторые эксперименты самостоятельно, используя компьютер и логистическую карту с r = 4, чтобы понять, как это работает. Как вы обнаружите, не все значения или приведут к хаосу. Так что вместо пытаясь предсказать популяцию насекомых, что может быть невозможно, ученые и математики пытаются понять, когда какая-то конкретная система хаотична.Знание этого позволяет нам знать, когда прогноз точен, а когда — безнадежен. Дополнительные примеры хаоса см. В статье «Поиск порядка в хаосе» Криса Бадда, выпуск 26 Plus .

Заключение

Мы показали, что квадратное уравнение имеет много применений и играет фундаментальную роль в истории человечества. Вот еще несколько приложений, в которых квадратное уравнение необходимо. Как вызов, вы можете сделать этот список до 101?

Падение цели, дедушкины часы, кролики, районы, пение, налог, архитектура, солнечные часы, остановка, электроника, микросхемы, холодильники, подсолнухи, ускорение, бумага, планеты, баллистика, стрельба, прыжки, астероиды, квантовая теория, хаос , окна, теннис, бадминтон, полёт, радио, маятник, погода, падение, душ, дифференциальные уравнения, телескоп, гольф.

scary quadratic equation

Я больше не боюсь тебя!

Послесловие

Эта статья была частично вдохновлена ​​замечательной дискуссией в Британской палате общин по вопросу о квадратичных уравнениях. Отчет об этом обсуждении можно найти в Hansard, Палате общин Соединенного Королевства, 26 июня 2003 года, колонки 1259-1269, 2003.


Об авторах

Крис Бадд — профессор прикладной математики на факультете математических наук в Университете Бата и кафедра математики в Королевском институте в Лондоне.

Крис Сангвин является сотрудником Школы математики и статистики в Бирмингемском университете. Он является научным сотрудником Центра поддержки математики, статистики и исследований в области обучения и поддержки.

Недавно они написали популярную книгу по математике Математика в изобилии! , опубликовано издательством Оксфордского университета.

Quadratics (квадратное уравнение) — определение, формула и решение
    • Классы
      • Класс 1 — 3
      • Класс 4 — 5
      • Класс 6 — 10
      • Класс 11 — 12
    • КОНКУРСЫ
      • BBS
      • 000000000000 Книги
        • NCERT Книги для 5 класса
        • NCERT Книги Класс 6
        • NCERT Книги для 7 класса
        • NCERT Книги для 8 класса
        • NCERT Книги для 9 класса 9
        • NCERT Книги для 10 класса
        • NCERT Книги для 11 класса
        • NCERT Книги для 12-го класса
      • NCERT Exemplar
        • NCERT Exemplar Class 8
        • NCERT Exemplar Class 9
        • NCERT Exemplar Class 10
        • NCERT Exemplar Class 11
        • NCERT Exemplar Class 12
        • 9000al Aggar Agard Agard Agard Agard Agulis Class 12
          • RS Решения Aggarwal класса 10
          • RS Решения Aggarwal класса 11
          • RS Решения Aggarwal класса 10
          • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • Решения RD Sharma
          • Решения класса RD Sharma
          • Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
          • Решения RD Sharma Class 9
          • Решения RD Sharma Class 10
          • Решения RD Sharma Class 11
          • Решения RD Sharma Class 12
        • ФИЗИКА
          • Механика
          • 000000 Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • МАТС
          • Теорема Пифагора
          • Отношения и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Делительные дроби
        • 000 ФОРМУЛЫ
          • Математические формулы
          • Алгебровые формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
        • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
          • Математические калькуляторы
          • S000
          • S0003
          • Pегипс Класс 6
          • Образцы документов CBSE для класса 7
          • Образцы документов CBSE для класса 8
          • Образцы документов CBSE для класса 9
          • Образцы документов CBSE для класса 10
          • Образцы документов CBSE для класса 11
          • Образец образца CBSE pers for Class 12
        • CBSE Предыдущий год Вопросник
          • CBSE Предыдущий год Вопросники Класс 10
          • CBSE Предыдущий год Вопросник класс 12
        • HC Verma Solutions
          • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
          • Решения HC Verma Class 12 Physics
        • Решения Lakhmir Singh
          • Решения Lakhmir Singh Class 9
          • Решения Lakhmir Singh Class 10
          • Решения Lakhmir Singh Class 8
        • Примечания
        • CBSE
        • Notes
            CBSE Класс 7 Примечания CBSE
          • Класс 8 Примечания CBSE
          • Класс 9 Примечания CBSE
          • Класс 10 Примечания CBSE
          • Класс 11 Примечания CBSE
          • Класс 12 Примечания CBSE
        • Примечания пересмотра
        • CBSE Редакция
        • CBSE
        • CBSE Class 10 Примечания к пересмотру
        • CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4
        • Замечания по пересмотру CBSE класса 12
      • Дополнительные вопросы CBSE
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 класса
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 по естественным наукам
        • CBSE 9 класса Дополнительные вопросы
        • CBSE 9 дополнительных вопросов по науке CBSE
        • 9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике
        • CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке
      • Класс CBSE
        • Класс 3
        • Класс 4
        • Класс 5
        • Класс 6
        • Класс 7
        • Класс 8
        • Класс 9
        • Класс 10
        • Класс 11
        • Класс 12
      • Решения для учебников
    • Решения NCERT
      • Решения NCERT для класса 11
          Решения NCERT для физики класса 11
        • Решения NCERT для класса 11 Химия
        • Решения для класса 11 Биология
        • NCERT Решения для класса 11 Математика
        • 9 0003 NCERT Solutions Class 11 Бухгалтерия
        • NCERT Solutions Class 11 Бизнес исследования
        • NCERT Solutions Class 11 Экономика
        • NCERT Solutions Class 11 Статистика
        • NCERT Solutions Class 11 Коммерция
      • NCERT Solutions для класса 12
        • NCERT Solutions для Класс 12 Физика
        • Решения NCERT для 12 класса Химия
        • Решения NCERT для 12 класса Биология
        • Решения NCERT для 12 класса Математика
        • Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения NCERT Класс 12 Бизнес исследования
        • Решения NCERT Класс 12 Экономика
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 1
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 2
        • NCERT Solutions Class 12 Микроэкономика
        • NCERT Solutions Class 12 Коммерция
        • NCERT Solutions Class 12 Макроэкономика
      • NCERT Solutions Для Класс 4
        • Решения NCERT для класса 4 Maths
        • Решения NCERT для класса 4 EVS
      • Решения NCERT для класса 5
        • Решения NCERT для класса 5
        • Решения NCERT для класса 5 EVS
      • Решения NCERT для класса 6
        • Решения NCERT для класса 6 Математика
        • Решения NCERT для класса 6 Наука
        • Решения NCERT для класса 6 Общественные науки
        • Решения NCERT для класса 6 Английский
      • Решения NCERT для класса 7
        • Решения NCERT для класса 7 Математика
        • Решения NCERT для 7 класса Science
        • Решения NCERT для 7 класса Общественные науки
        • Решения NCERT для 7 класса Английский
      • Решения NCERT для 8 класса Математические решения
        • для 8 класса Математика
        • Решения NCERT для класса 8 Science
        • Решения NCERT для класса 8 Общественные науки
        • NCERT Solutio ns для класса 8 Английский
      • Решения NCERT для класса 9
        • Решения NCERT для класса 9 Общественные науки
      • Решения NCERT для класса 9 Математика
        • Решения NCERT для класса 9 Математика Глава 1
        • Решения NCERT Для класса 9 Математика 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 3
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 4
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 5
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 6
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 7
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 8
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 9
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 10
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 11
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 12
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 13
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 9 класса
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 4
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 5
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 6
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 7
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 8
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 10
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 12
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 11
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 13
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 14
        • Решения NCERT для класса 9 Science Глава 15
      • Решения NCERT для класса 10
        • Решения NCERT для класса 10 Общественные науки
      • Решения NCERT для математики класса 10
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 3
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 4
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 5
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 6
        • решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 8
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 9
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 10
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 11
        • решения NCERT для математики класса 10, глава 12
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 13
        • соль NCERT Решения для математики класса 10 Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 10 класса
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 3
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 4
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 5
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 6
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 7
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 9
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 10
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 11
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 12
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 9
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 14
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16
      • Программа NCERT
      • NCERT
    • Коммерция
      • Класс 11 Коммерческая программа Syllabus
      • Учебный курс по бизнес-классу 11000
      • Учебная программа по экономическому классу
    • Учебная программа по коммерческому классу
      • Учебная программа по 12 классу
      • Учебная программа по 12 классам
      • Учебная записка по 12-му классу
          000000 000000
        • Образцы коммерческих документов класса 11
        • Образцы коммерческих документов класса 12
      • Решения TS Grewal
        • Решения TS Grewal Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения TS Grewal Класс 11 Бухгалтерский учет
      • Отчет о движении денежных средств
      • eurship
      • Защита потребителей
      • Что такое фиксированный актив
      • Что такое баланс
      • Формат баланса
      • Что такое акции
      • Разница между продажами и маркетингом
    • P000S Документы ICSE
    • ML Решения Aggarwal
      • ML Решения Aggarwal Class 10 Maths
      • ML Решения Aggarwal Class 9 Математика
      • ML Решения Aggarwal Class 8 Maths
      • ML Решения Aggarwal Class 7 Математические решения
      • ML 6 0004
      • ML 6
    • Selina Solutions
      • Selina Solution для 8 класса
      • Selina Solutions для 10 класса
      • Selina Solution для 9 класса 9
    • Frank Solutions
      • Frank Solutions для класса 10 Maths
      • Frank Solutions для класса 9 Maths
    • ICSE Class 9000 2
    • ICSE Class 6
    • ICSE Class 7
    • ICSE Class 8
    • ICSE Class 9
    • ICSE Class 10
    • ISC Class 11
    • ISC Class 12
  • IAS
  • Сервисный экзамен
  • UPSC Syllabus
  • Бесплатно IAS Prep
  • Текущая информация
  • Список статей IAS
  • IAS 2019 Mock Test
    • IAS 2019 Mock Test 1
    • IAS 2019 Mock Test 2
    • KPSC KAS экзамен
    • UPPSC PCS экзамен
    • MPSC экзамен
    • RPSC RAS ​​экзамен
    • TNPSC группа 1
    • APPSC группа 1
    • BPSC экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • WPSS
    • экзамен
    • WPSS
    • экзамен
    • JPS
    • экзамен
    • экзамен
    • PMS
    • экзамен
    • PMS
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • 9000
  • Вопросник UPSC 2019
    • Ключ ответа UPSC 2019
  • Коучинг IAS
    • IA S Коучинг Бангалор
    • IAS Коучинг Дели
    • IAS Коучинг Ченнаи
    • IAS Коучинг Хайдарабад
    • IAS Коучинг Мумбаи
  • JEE
    • Бумага
    • JEE JEE 9000
    • JEE
    • JEE-код
    • JEE-код
    • JEE J000
    • J0004 JEE
    • JEE Вопрос
    • Биномиальная теорема
    • JEE Статьи
    • Квадратичное уравнение
  • NEET
    • Программа Бьюя NEET
    • NEET 2020
    • NEET Приемлемость Критерии NEET 2020
    • S000
    • S000 образца
    • Поддержка
      • Жалоба Разрешение
      • Customer Care
      • Поддержка центр
  • Государственные платы
    • GSEB
      • GSEB Силабус
      • GSEB Вопрос бумаги
      • GSEB образец бумаги
      • GSEB Книги
      90 004
    • MSBSHSE
      • MSBSHSE Syllabus
      • MSBSHSE Учебники
      • MSBSHSE Образцы документов
      • MSBSHSE Вопросные записки
    • AP Board
      • -й год APSERT
      • -й год SBSUS
      • -й год
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS SUBSUS SUBSUS SUBSUS SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS SUBSUS
      • SUBSUS
      • Всеобщая справка
    • MP Board
      • MP Board Syllabus
      • MP Board Образцы документов
      • MP Board Учебники
    • Assam Board
      • Assam Board Syllabus
      • Assam Board Учебники
      • Sample Board Paperss Sample3 P0003 BSEB
        • Бихарская доска Syllabus
        • Бихарская доска Учебники
        • Бихарская доска Вопросные бумаги
        • Бихарская модель Бумажные макеты
      • БСЭ Одиша
        • доска
        • Sislabus
        • Совет 9408 S0008
        • Sisplus
        • S0008
        • Sample P000S
        • Sample
        • S000S PSEB Syllabus
        • Учебники PSEB
        • Документы PSEB
      • RBSE
        • Учебное пособие Раджастхана Syllabus
        • Учебники RBSE
        • Документы RBSE
      • PCB
      • HPE HPSBE
      • JKBOSE
        • JKBOSE Программа курса
        • JKBOSE Примеры Papers
        • JKBOSE экзамен Pattern
      • TN Board
        • TN Совет Силабус
        • TN Совет вопрос Papers
        • TN Board Примеры Papers
        • Samacheer Kalvi Книги
      • JAC
        • JAC Силабус
        • JAC учебники
        • JAC Вопрос Papers
      • Telangana Совет
        • Telangana Совет Силабус
        • Telangana совет учебники
        • Telangana Совет Вопрос Papers
        • KSEEB KSEEB Силабус
        • KSEEB Модель Вопрос Papers
      • KBPE
        • KBPE Силабус
        • KBPE Учебники
        • KBPE Вопрос Papers
      • UPMSP
        • UP Совет Силабус
        • UP Совет Книги
        • UP Совет Вопрос Papers
      • Западная Бенгалия Совет
        • Западная Бенгалия Совет Силабус
        • Западная Бенгалия Совет учебниками
        • West Bengal совет Вопрос документы
      • UBSE
      • TBSE
      • Goa Board
      • NbSe
      • CGBSE
      • MBSE
      • Meghalaya Совет
      • Manipur Совет
      • Харьяны Совет
    • Государственные экзамены
      • Банк экзаменов
        • SBI Exams
        • PIL, Exams
        • RBI Exams
        • PIL, РРБ экзамен
      • SSC Exams
        • SSC JE
        • SSC GD
        • SSC CPO 900 04
        • SSC CHSL
        • SSC CGL
      • RRB экзаменов
        • RRB JE
        • RRB NTPC
        • RRB ALP
      • L0003000000 L0003000000000000 UPSC CAPF
      • Список государственных экзаменов Статьи
    • Обучающие дети
      • Класс 1
      • Класс 2
      • Класс 3
    • Академические вопросы
      • Вопросы физики
      • Вопросы химии
      • Химические вопросы
      • Химические вопросы
      • Вопросы химии
      • Биология
      • Вопросы
      • Вопросы по науке
      • Вопросы ГК
    • Обучение онлайн
      • Обучение на дому
    • Полные формы
    • CAT
      • Программа CAT BYJU’S
      • CAT
      • CAT
      • CAT
      • CAT
      • CAT
      • CAT
      • CAT
      • CAT
      • FreeBS
      • 40004 CAT 2020 Exam Pattern
      • Обзор приложения Byju на CAT
  • КУПИТЬ КУРС
  • +919243500460
    • математика
      • алгебра
      • арифметическая
      • исчисление
      • Тригонометрия
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск