Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

1)

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

2)

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

3) .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.

4) Решим уравнение .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и  – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит,   или .

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Отсюда или
.

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Рассмотрим уравнение
.

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

Разложение квадратного трехчлена на множители

.

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Его корни
,
.

.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

Корни уравнения .

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

 

Смотри также: Квадратичная функция

Квадратные уравнения. Примеры решения

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный — ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение — то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Теория и практика квадратных уравнений

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0, а x – неизвестное. Выражение {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ax² + bx + c   называют квадратным трёхчленом.

а называют первым или старшим коэффициентом, {\displaystyle b}b   –  вторым, средним или коэффициентом, {\displaystyle c}c –  свободным членом.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля:

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

• Не имеют корней;

• Имеют ровно один корень;

• Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого нужен дискриминант.

D>0

D=0

D<0

Корни квадратного уравнения:

ax²+bx+c=0

Два различных корня

Один корень (два равных)

Нет корней

Пример 1: Решите квадратные уравнения.

1. x² − 8x + 12 = 0;

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.

2. 5x² + 3x + 7 = 0;

a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет.

3. x² − 6x + 9 = 0.

a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один

Решение неполных квадратных уравнений

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член, либо сразу оба), равен нулю: ;

1. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0.

Пример 2

x₁=6 x₂= -6 нет коней

2. Пусть с =0, тогда получаем ax² + bx = 0.

Вынесем общий множитель за скобку:

иди

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. b = c = 0, уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x=0

приведенное квадратное уравнение. теорема Виета

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице:{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.} или

Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле.

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел{\displaystyle x_{1},x_{2}}, будучи решением системы уравнений , являются корнями уравнения  {\displaystyle x^{2}+px+q=0}:{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}}

Пример 3:

x₁= — 9 x₂=2

Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Формулы подходят для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0 , где

Пример 4:

Любой квадратный трехчлен можно разложить на множители по формуле: , где x₁, x₂ – его корни

Тогда

1.  Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

2.  Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите в ответ больший

3.  Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите в ответ меньший.

4.  Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите в ответ их сумму.

5.  Найдите корни уравнения  .

6.  Найдите корни уравнения  .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

7.  Найдите корни уравнения 

8.  Найдите корни уравнения 

9.  Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C.

Ответ: -2

 

10. На рисунке изображены графики функций  и  Вычислите координаты точки B., в ответ запишите их сумму.

11.  Уравнение  имеет корни −6; 4. Найдите 

12.  Квадратный трёхчлен разложен на множители:  Найдите 

13Решите уравнение 

14.  Решите уравнение 

15.  Решите уравнение 

16.  Решите уравнение 

17.  Уравнение  имеет корни −5; 7. Найдите p

18. Решите уравнения: а)x²-13x+36=0; b) 4x²-4x-1=0; в) x²+8x-20=0; г) 3x²-18x+15=0

19..Найти корни уравнения:

А) x²+9x+8=0 Б) x²+5x-14=0 В) x²-7x-30=0 г) x²-15x+56=0

20. Решите уравнения: а)2x²-50=0; б)4x²+5x=0; в)-5x²=0; г)4x²+7=0 д)6x²-30=0 е)6x²-5x+10=3x²+x+10

21. Решите уравнения: а) 9x²+24x+16=0; б) 3x²-8x+7=0; в) 3x²+16x-12=0; г) (2x-1)(x+3)=3x²-5

примеров квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение второй степени, означающее, что оно содержит хотя бы один член в квадрате. Стандартная форма это ax² + bx + c = 0, где a, b и c являются константами или числовыми коэффициентами, а x является неизвестной переменной. Одно из абсолютных правил заключается в том, что первая константа «а» не может быть нулем.

Стандартные уравнения форм

Вот примеры квадратичных уравнений в стандартной форме (ax² + bx + c = 0):

• 6x² + 11x — 35 = 0

• 2x² — 4x — 2 = 0

• -4x² — 7x +12 = 0

• 20x² -15x — 10 = 0

• x² -x — 3 = 0

• 5x² — 2x — 9 = 0

• 3x² + 4x + 2 = 0

• -x² + 6x + 18 = 0

Вот примеры квадратных уравнений, в которых отсутствует линейный коэффициент или «bx»:

• 2x² — 64 = 0

• x² — 16 = 0

• 9x² + 49 = 0

• -2x² — 4 = 0

• 4x² + 81 = 0

• -x² — 9 = 0

• 3x² — 36 = 0

• 6x² + 144 = 0

Вот примеры квадратных уравнений без постоянный термин или «c»:

• x² — 7x = 0

• 2x² + 8x = 0

• -x² — 9x = 0

• x² + 2x = 0

• -6000 — 3x = 0

• -5x² + x = 0

• -12x² + 13x = 0

• 11x² — 27x = 0

Вот примеры квадратичного уравнения в факторизованной форме:

• (x + 2) (x — 3) = 0 [при вычислении становится x² -1x — 6 = 0]

• (x + 1) (x + 6) = 0 [при вычислении становится x² + 7x + 6 = 0]

• (x — 6) (x + 1) = 0 [при вычислении становится x² — 5x — 6 = 0

• -3 (x — 4) (2x + 3) = 0 [при вычисление становится -6x² + 15x + 36 = 0]

• (x — 5) (x + 3) = 0 [при вычислении становится x² — 2x — 15 = 0]

• (x — 5) (x + 2) = 0 [после вычисления становится x² — 3x — 10 = 0]

• (x — 4) (x + 2) = 0 [при вычислении становится x² — 2x — 8 = 0]

• (2x + 3) (3x — 2) = 0 [при вычислении становится 6x² + 5x — 6]

  Вот примеры других форм квадратных уравнений :

  • x (x — 2) = 4 [при умножении и перемещении 4 становится x² — 2x — 4 = 0]

  • x (2x + 3) = 12 [при умножении и перемещении 12 становится 2x² — 3x — 12 = 0]

  • 3x (x + 8) = -2 [при умножении и перемещении -2 становится 3x² + 24x + 2 = 0]

  • 5x² = 9 — x [перемещение 9 и -x на другую сторону становится 5x² + x — 9]

  • -6x² = -2 + x [перемещение -2 и x на другую сторону становится -6x² — x + 2]

  • x² = 27x-14 [перемещение -14 и 27x на другую сторону становится x² — 27x + 14]

  • x² + 2x = 1 [перемещение «1» на другую сторону становится x² + 2x — 1 = 0]

  • 4x² — 7x = 15 [перемещение 15 на другую сторону становится 4x² + 7x — 15 = 0]

  • -8x² + 3x = -100 [перемещение -100 на другую сторону становится -8x² + 3x + 100 = 0]

  • 25x + 6 = 99 x² [перемещение 99 x2 на другую сторону становится -99 x² + 25x + 6 = 0]

  Существует много различных типов квадратных уравнений, как показывают эти примеры.

  Квадратное уравнение на доске как примеры квадратного уравнения

.

квадратичных уравнений

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения создают хорошие кривые, как этот:

Имя

Название Quadratic происходит от квадрата, означающего квадрат, потому что переменная получает квадрат (например, x ² ).

Это также называется «уравнение степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит следующим образом:

• a , b и c являются известными значениями. a не может быть 0.

• « x » — это переменная , или неизвестно (мы пока не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0		В этом a = 2 , b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0		Это немного сложнее: Где ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x 2 » b = −3 А где с ? Скважина c = 0 , поэтому не показана.
5x — 3 = 0		Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2 (другими словами a = 0 , что означает, что оно не может быть квадратичным)

поиграй с ним

Поиграйте в «Исследователь квадратичных уравнений», чтобы увидеть:

• график, который он делает, и
• решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, стандартная форма квадратного уравнения равна

Но иногда квадратное уравнение выглядит не так!

Например:

замаскированный		В стандартной форме	а, б и в
x 2 = 3x — 1	Переместить все термины в левую часть	x 2 — 3x + 1 = 0	a = 1, b = −3, c = 1
2 (Вт 2 — 2 Вт) = 5	Расширить (отменить скобки), и переместить 5 влево	2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0	a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3	Разверните и переместите 3 влево	z 2 — z — 3 = 0	a = 1, b = −1, c = −3

Как их решить?

«Решения » для квадратного уравнения — это где равно нулю .

Их также называют « корни », или иногда « нули »

Обычно есть 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько способов найти решение:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто подключите значения a, b и c и выполните расчеты.

Мы рассмотрим этот метод более подробно сейчас.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, что выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b ² — 4ac) 2a

x = −b — √ (b ² — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но так не всегда получается!

• Представьте, что кривая «просто касается» оси X.
• Или представьте, что кривая настолько высока, что и даже не пересекают ось X!

Здесь «Дискриминант» помогает нам …

Дискриминант

Видите ли вы b ² — 4ac в формуле выше? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» между возможными типами ответа:

• , когда b ² — 4ac положительно, мы получаем два реальных решения
• , когда он равен нулю, мы получаем ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
• , когда оно отрицательное, мы получаем пару комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как посмотрим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто поместите значения a, b и c в квадратную формулу и выполните вычисления.

Пример: Решить 5x ² + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: а = 5, б = 6, с = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2а

Положите в a, b и c: x = −6 ± √ (6 ² — 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: х = −6 ± √ (36 — 20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

x = −0.2 или −1

Ответ: x = −0.2 или x = −1

И мы видим их на этом графике.

Чек -0,2 :		5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1 = 5 × (0,04) + 6 × (–0,2) + 1 = 0,2 — 1,2 + 1 = 0
Чек -1 :		5 × ( -1 ) 2 + 6 × ( -1 ) + 1 = 5 × (1) + 6 × (-1) + 1 = 5 — 6 + 1 = 0

Вспоминая Формулу

Добрая читательница предложила спеть ее для «Pop Goes the Weasel»:

♫	«x равно минус b		♫	«Все вокруг куста шелковицы
	плюс или минус квадратный корень			Обезьяна преследовала ласку
	б-квадрат минус четыре а с			Обезьяна подумала, что все в порядке
	ВСЕ более двух «			Поп! идет ласка «

Попробуйте спеть его несколько раз, и он застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b ² — 4ac) 2а

«Отрицательный мальчик думал о да или нет о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке, с которой он разговаривал с квадратным парнем, но не с 4-мя удивительными цыпочками.
Все закончилось в 2 часа ночи. «

Комплексные решения?

Когда дискриминант (значение b ² — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару комплексных решений … что это значит?

Это означает, что наш ответ будет включать в себя мнимые числа. Вот Это Да!

Пример: Решить 5x ² + 2x + 1 = 0

Коэффициенты : : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант является отрицательным: b ² — 4ac = 2 ² — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = -2 ± √ (−16) 10

√ (−16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: х = -2 ± 4 i 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 i

График не пересекает ось X. Вот почему мы получили комплексные числа.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставьте это как -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x ² — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты : : a = 1, b = −4, c = 6.25

Обратите внимание, что дискриминант является отрицательным: b ² — 4ac = (−4) ² — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось X.Вот почему мы получили комплексные числа.

, НО перевернутое зеркальное изображение нашего уравнения пересекает ось X при 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует и ).

Просто интересный факт для вас!

Резюме

• Квадратичное уравнение в стандартной форме: топор ² + bx + c = 0
• Квадратичные уравнения могут быть учтены
• Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2а
• Когда дискриминант ( b ² −4ac ) равен:
  • положительных, есть 2 реальных решения
  • ноль, есть одно реальное решение
  • минус, есть 2 комплексных решения

,

101 использование квадратного уравнения: Часть II

Май 2004

В 101 использовании квадратного уравнения: Часть I в выпуске 29 Plus мы взглянули на квадратные уравнения и увидели, как они естественным образом возникают в различных простых задачах. Во второй части мы продолжим наше путешествие. Скоро мы увидим, как скромный квадратик проявляется во многих различных важных приложениях.

Давайте начнем с того места, где мы остановились, с квадратичных кривых, известных как круг, эллипс, гипербола и парабола.Они были известны и изучались еще со времен древних греков, но кроме круга они, казалось, не имели никакого практического применения. Однако в 16 веке для них настало время изменить мир.

Изображение предоставлено NASA

С приходом Ренессанса глубокие мыслители начали смотреть на мир по-другому. Одним из них был Коперник, который вошел в историю, предположив, что Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот.Коперник считал, что орбита Земли — это круг, отчасти потому, что он очень близок к кругу, а также потому, что круг, будучи таким симметричным, считался самая совершенная из возможных кривых. Так продолжалось до тех пор, пока Кеплер, используя некоторые очень осторожные наблюдения Тихо Браге, не обнаружил некоторые расхождения между предсказаниями теорий Коперника и экспериментальными данными. Кеплер обнаружил, что планеты не вращались вокруг Солнца кругами, а вращались в эллипсах .Затем правила Кеплера соответствовали наблюдениям в совершенстве. Наконец, конические участки, которые мы видели в последней статье, вступили в свои права, спустя 1500 лет после их обнаружения. Политики и журналисты, пожалуйста, примите к сведению! На этом все не остановилось: было обнаружено, что другие небесные объекты, такие как определенные кометы, движутся по гиперболическим орбитам. Эти замечательные открытия Кеплера помогли вступить в современный мир.

Квадратичные уравнения не только описывают орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, но и дают возможность наблюдать их более близко.Ключом к дальнейшим достижениям в астрономии стало изобретение телескопа . С помощью телескопа Галилей смог наблюдать луны Юпитера и фазы Венеры, которые поддерживали теории Коперника. Позже отлично отражающие телескопы использовались, чтобы исследовать тайны Вселенной. В последние годы гигантские радиотелескопы использовались как для прослушивания инопланетян, так и для отправки сообщений, которые может подобрать потенциальный инопланетянин. В телескопе Галилея использовались линзы, форма которых была образована двумя пересекающимися гиперболами.Отражающий телескоп, изобретенный Ньютоном (см. Позже), имеет зеркало, для которого каждый крестик сечение принимает форму параболы! Та же параболическая форма подходит и для чаши гигантского радиотелескопа, зеркала для бритья и спутниковой антенны. Действительно, квадратные уравнения лежат в основе современных коммуникаций.

Галилео, почему квадратные уравнения могут спасти вашу жизнь и «эта» цель сброса

Подгонка между эллипсом, описываемым квадратным уравнением, и природой в то время казалась весьма примечательной.Как будто природа сказала: «Вот кривая, о которой знают люди, давайте использовать ее». Чтобы понять, почему это был правильный поворот, пришлось подождать до Галилея, а затем до Ньютона. Ответ, пожалуй, единственная самая важная причина, по которой квадратные уравнения так важны: является связующим звеном между квадратными уравнениями и ускорением . Именно Галилей впервые обнаружил эту связь в начале 17-го века.

Квадратные уравнения необходимы для понимания ускорения.Изображение freeimages.co.uk

Большинство людей слышали о Галилео, колоритном профессоре математики в Пизанском университете. Заключительная часть его карьеры была сосредоточена на эпической битве с испанской инквизицией за обоснованность представления Коперника о солнечной системе. Однако до этого он посвятил большую часть своей жизни изучению того, как все движется. Задолго до Галилея греческий ученый Аристотель заявил, что естественное состояние материи должно было быть в покое. Аристотель также сказал, что более тяжелые предметы падают быстрее, чем более легкие.Галилей бросил вызов обоим из этих кусочков принятой мудрости. В основе работы Галилея было понимание динамики, которая имеет огромное значение для таких жизненно важных видов деятельности, как знание того, когда (и как) остановить нашу машину, а также как достичь цели.

В основе этого лежит понимание идеи ускорения и той роли, которую играют в нем квадратные уравнения.

Если объект движется в одном направлении без воздействия на него силы, то он продолжает двигаться в этом направлении с постоянной скоростью.Мы можем назвать эту скорость . Теперь, если частица начинается в точке и движется таким образом в течение времени , то ее результирующее положение задается . Обычно на частицу действует сила, такая как сила тяжести для мяча для регби или трение в тормозах. машины. Переносясь вперед к Ньютону, мы знаем, что эффект постоянной силы заключается в создании постоянного ускорения . Если начальная скорость равна , то скорость по истечении времени задается как .Галилей понял, что вы можете перейти от этого выражения к определению положения частицы. В частности, если частица начинается в позиции , то позиция во время задается как

Это квадратное уравнение , связывающее — со многими важными последствиями для всех нас. Например, предположим, что мы знаем тормозное усилие, приложенное к автомобилю: тогда эта формула позволяет нам определить, как далеко мы путешествуем за время , или, наоборот, решая за , сколько времени требуется, чтобы пройти определенное расстояние.

Очень важное применение — найти тормозной путь автомобиля, движущегося с заданной скоростью . Предположим, что автомобиль движется с такой скоростью, и вы нажимаете на тормоза, сколько времени потребуется, чтобы остановиться? Даже журналисты могут быть заинтересованы в этом вопросе, особенно если это означает предотвращение несчастного случая. В частности, если для замедления автомобиля с скорости до скорости 0 применяется постоянное замедление , то решение для и замена дает тормозной путь :

Причина, по которой этот результат так важен для всех нас, состоит в том, что он предсказывает, что удвоение вашей скорости в четыре раза, а не удвоение, вашего тормозного пути.В этом квадратичном выражении мы видим убедительные доказательства того, почему мы должны замедляться в городских районах, так как небольшое снижение скорости приводит к гораздо большему сокращению тормозного пути. Правильное решение квадратного уравнения здесь может, в буквальном смысле, спаси свою или чужую жизнь!

Простая квадратичная формула, связывающая время с расстоянием, также является основой науки баллистики, которая смотрит на то, как объекты движутся под действием силы тяжести. В этом случае объект падает в направлении с постоянным ускорением .Напротив, он движется в направлении горизонтально с постоянной скоростью (при отсутствии сопротивления воздуха). Если он начинается в точке со скоростью в направлении и скоростью вверх, то Galileo смог показать, что позиция в момент времени задана

Другими словами, у нас есть — еще одно квадратное уравнение, на этот раз связывающее с .Что примечательно, так это то, что полученная форма траектории была, конечно, параболой .

Предположим теперь, что вы находитесь на последней минуте матча по регби, и вам нужно ударить идеальный гол. Для этого вы должны ударить по мячу с правильным углом и скоростью, чтобы при прохождении расстояния x до цели он находился на правильной высоте y , чтобы пройти по стойкам ворот. Для этого необходимо решить квадратное уравнение. Конечно, в самый разгар у вас может не быть времени чтобы сделать это, где практика приходит! Более серьезно, параболическое уравнение для траектории частиц — с изменениями, учитывающими сопротивление воздуха, вращение снаряда, а также вращение Земли — служит основой для артиллерийских расчетов…. факт, который не пропал военным после открытия Галилея.

Мы покидаем Галилео с открытием маятника . Примерно в 1600 году Галилей посещал церковную службу в Пизе (он должен был). Скучающий по проповеди, он начал наблюдать качание люстры взад и вперед — и сделал замечательное открытие: время, необходимое для качания люстры, не зависело от ее амплитуды. Это открытие привело к изобретению маятника и различных такие часы, как напольные часы, но в то время Галилей не мог этого объяснить.Для этого нам нужно другое квадратное уравнение.

Ньютон, квадратные уравнения и пение в ливне

Ньютон родился в год, когда Галилей умер, и полностью изменил наше понимание науки и роль математики в научной предсказуемости. Ньютон был вдохновлен работой Галилея и Кеплера. Эти научные гиганты точно описали явления динамики и небесной механики, но ни один не сформулировал научных объяснений.это было уехал в Ньютон, чтобы предоставить математическое объяснение явлений, которые они наблюдали.

Во-первых, он сформулировал три закона движения, которые объяснили наблюдения Галилея. Во-вторых, он описал фундаментальный закон гравитации, который заключался в том, что две массы притягивались друг к другу силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Используя геометрические аргументы, он смог доказать, что такой закон силы подразумевает, что планеты должны двигаться вокруг солнца в коническом сечении.(Конечно, это был невероятный случай, когда закон обратных квадратов привел к появлению орбит, которые можно объяснить с помощью известных кривых!) Ньютон также работал в области оптики и признал, что телескопы, которые использовал Галилей (основаны на линзах) ) вызывал проблемы, преломляя свет разных цветов по-разному. Он преодолел это, разработав телескоп на основе зеркала. Лучшей формой для зеркала, чтобы сфокусировать все точки, была не что иное, как парабола, ведущая к отражающим телескопам, которые мы видели ранее.

Однако у Ньютона были еще тузы в рукаве. Хотя он использовал геометрические аргументы, чтобы объяснить вещи своим современникам, он также (параллельно с Лейбницем, но независимо от него) разработал исчисление. Это была математическая теория того, как все меняется, и она идеально подходила для описания объектов, действующих в соответствии с его законами движения. Основное устройство в Приложение исчисления к реальному миру — это дифференциальное уравнение , которое связывает изменение условий объекта с (например) силами, действующими на них.Дифференциальные уравнения лежат в основе почти всех современных приложений математики к природным явлениям, от понимания того, как тепло течет через планку, до того, как развиваются рисунки шерсти животных (см. Как леопард получил свои пятна, также в этом выпуске Plus ). Их применение практически не ограничено, и они играют жизненно важную роль во многих современных технологиях.

Когда Ньютон был жив, это было все еще в будущем! Но одной проблемой, которую он действительно рассматривал, было движение маятника, которое так интересовало Галилея.Это движение может быть описано в терминах дифференциального уравнения, и в случае небольших колебаний маятника это уравнение может быть решено, чтобы найти время колебания. Для ее решения необходимо найти решение квадратного уравнения!

Если — это угол поворота маятника, то Ньютон понял, что существуют числа и , которые зависят от таких особенностей, как длина маятника, сопротивление воздуха и сила гравитационного усилия, так что дифференциальное уравнение, описывающее движение было

Здесь — время, — ускорение маятника, а — его скорость.

При помощи компьютера можно найти приблизительные решения таких уравнений, и этот подход обычно используется для очень сложных дифференциальных уравнений, встречающихся в современной технологии. Тем не менее, математик Леонард Эйлер изобрел способ решения этого конкретного уравнения, основанного на решении квадратного уравнения. Эйлер предположил существование решения вида

, где — это основание натуральных логарифмов.Важность этой функции заключается в том, что Подстановка в дифференциальное уравнение и деление на дает следующее уравнение для : Это очень знакомо! Все, что нам нужно сделать, чтобы решить исходное дифференциальное уравнение, это решить это квадратное уравнение и заменить обратно .Делая это, мы можем точно предсказать поведение маятника.

Что также удивительно, так это то, что различные типы решений квадратного уравнения приводят к совершенно разным решениям дифференциального уравнения. Если b ² > 4 ac , то квадратное уравнение имеет два действительных решений.

У того же дифференциального уравнения есть решение, похожее на диаграмму справа. Физически это решение соответствует маятнику с большим трением (или маятнику, движущемуся в жидкости, такой как вода).

Напротив, если b ² <4 ac , то в этом же дифференциальном уравнении колеблющихся решений, которые выглядят как диаграмма слева. Это больше похоже на движения маятника, с которым мы знакомы.

Различие между этими двумя типами движения очень глубокое и возникает потому, что во втором случае решения квадратного уравнения являются сложными и включают квадратный корень из -1.Мы рассмотрим это более подробно в настоящее время.

Новый караоке

Открытие того, что дифференциальные уравнения такого рода (их называют уравнениями с постоянными коэффициентами второго порядка) можно решить с помощью квадратных уравнений, имеет исключительную важность. Причиной является универсальность дифференциальных уравнений и тот факт, что решения получающегося квадратного уравнения говорят нам о том, могут ли решения расти, оставаться в одном размере или получить меньше.Это очень важно для инженеров, которые пытаются проектировать безопасные конструкции и машины. В этих структурах небольшие возмущения, которые растут, быстро приведут к разрушению конструкции (так называемая нестабильность) Очень похожие соображения применимы к электрическим цепям. На практике часто это происходит путем решения приведенного выше квадратного уравнения и определения, имеют ли корни w определенные свойства что безопасная машина может быть разработана. Иногда растущие решения могут быть полезны, особенно когда они связаны с явлением резонанса.Представьте, что вы вибрируете маятником вверх и вниз с частотой — . Некоторые значения от до приводят к гораздо большим откликам, чем другие. Это резонанс. Вы встречаете резонанс каждый раз, когда настраиваете радио или поете в душе. Это резонансные ноты душа, которые звучат лучше (и громче), когда вы поете их. В случае качающегося маятника резонансная частота задается как

Квадратные уравнения поднимают в воздух

Связь между квадратными уравнениями и дифференциальными уравнениями второго порядка не случайна: все это связано со связью между силой и ускорением, описанной во втором законе Ньютона.Когда Ньютон сформулировал этот закон, он думал главным образом о движении твердых тел. Однако вскоре стало понятно, что те же законы могут применяться к движению жидкостей, таких как вода и воздух. В В частности, можно использовать законы Ньютона, чтобы найти взаимосвязи между скоростью жидкости и ее давлением. Сложные версии этих законов (так называемые уравнения Навье-Стокса и связанные с ними уравнения в частных производных) решаются на больших компьютерах для прогнозирования погоды. Однако конкретное решение, действительное для многих типов потока жидкости, было одним из ключевых ингредиентов в открытии основные принципы полета.Последствия этого были неизмеримы и связаны (как всегда) с квадратным уравнением, называемым уравнением Бернулли.

Семья Бернулли состояла из множества математиков, которые как по отдельности, так и вместе добились огромных успехов в математике. Один из них, Джейкоб Бернулли, посмотрел на движение воздуха. Он обнаружил, что если вы посмотрите на постоянный поток воздуха со скоростью и давлением , и воздушная частица движется на высоте , то существует постоянная (энергия воздушной частицы), так что

Важно, что если является постоянным, то эта формула предсказывает, что если увеличивается, то уменьшается.Это называется эффектом Бернулли. Этот результат является прямым следствием законов движения Ньютона и применяется только к плавно движущимся жидкостям, которые не слишком липкие (вязкие). Однако это квадратное уравнение является достаточно точным, чтобы предсказать поведение потока воздуха над крылом самолета и понять, почему самолет летит.

Существует ряд простых экспериментов, которые могут продемонстрировать эффект Бернулли. Одним из самых простых является подвешивание двух шариков для пинг-понга на хлопковой нити на расстоянии нескольких сантиметров друг от друга.Затем осторожно подуйте между ними и посмотрите, что произойдет. Вместо того, чтобы разлетаться, они движутся вместе.

Это показывает, что давление, создаваемое жидкостью (воздухом), уменьшается с увеличением скорости жидкости. Можно ожидать, что движущаяся жидкость будет оказывать на больше давления , но здесь мы говорим о боковом давлении, а не о силе, создаваемой импульсом самой жидкости. Это сила, которую вы чувствуете, когда дует ветер.

Более экстремальный эксперимент, который действительно работает, включает в себя еще один мяч для пинг-понга.Это выпущено от отдыха в перевернутой воронке с нисходящим потоком воздуха.

Если вы используете постоянный поток воздуха и достаточно большую воронку, вы сможете уравновесить шарик для пинг-понга. На практике обратный пылесос, мяч для пинг-понга и большая кухонная воронка действительно работают очень хорошо. Это выглядит очень странно, поскольку нисходящего потока воздуха , кажется, сосут мяч вверх. Тем не менее, это совершенно соответствует физическому принципу!

Почему сложное квадратное уравнение приводит к мобильному телефону

Давайте на секунду остановимся и подумаем о том, что происходит, когда мы возводим в квадрат число, то есть когда мы берем и вычисляем .Одна вещь, которую мы замечаем, это то, что независимо от того, какое значение мы берем для , всегда неотрицательно. Как следствие, не может иметь решения. То, как математики справлялись с этой проблемой, заключалось в том, чтобы обманывать и просто определять решение для существования! Буква используется для обозначения решения

т. . Таким образом, не может быть действительным числом и поэтому называется мнимым числом .Обратите внимание, что Итак, также является решением уравнения .

Исторически мнимые числа впервые обнаруживались при попытке решения кубических уравнений, а не квадратичных. Самое удивительное было то, что при использовании этих тонких и мнимых чисел можно было решать кубические уравнения. Фактически, случай, когда во время расчета требовались мнимые числа, имел реальные решения!

Это математическое исправление должно быть обосновано! В противном случае мы можем просто изобретать новые виды чисел каждый раз, когда сталкиваемся с проблемой, которую не можем решить.В конце концов у нас закончатся буквы, и в любом случае мы не поймем, как все эти новые виды чисел связаны друг с другом. Все это было бы безнадежно. Очень глубокий математический результат заключается в том, что на самом деле изобретать новые виды чисел оказывается совершенно ненужным. Использование комбинации действительных и мнимых чисел, известных как комплексных чисел , оказывается достаточным для решения практически всех математических задач! Первым человеком, который действительно использовал мнимые числа с уверенностью, был Леонард Эйлер, который жил с 1707 по 1783 год, и один из его других диких и смелых математических вычислений Один из нас (Крис Сангвин) в выпуске 19 из Plus объясняет бесконечную серию сюрпризов.

Мнимое число встречается в одной из самых красивых формул в математике, которая относится к , (основание натуральных логарифмов) и . Это

Это частный случай более общего результата, который связывает экспоненциальную функцию с и через комплексные числа. Эйлер обнаружил, что

И , и являются колеблющимися терминами, то есть они периодически повторяются.Эта формула дает представление о том, как дифференциальное уравнение, моделирующее демпфированный маятник, имеющий решение вида , может иметь колебательные решения. Если является мнимым или сложным, формула Эйлера позволяет переписать экспоненциальный член в виде комбинации и .

Другое очень значительное применение воображаемого числа к физическому миру исходит из квантовой теории. Эта теория имеет дело с явлениями на микроскопическом уровне, когда величины (такие как электроны или фотоны энергии) могут вести себя как частицы и колеблющиеся волны.Как мы уже видели, колебательное поведение можно описать с помощью . Фундаментальное уравнение квантовой теории, которое используется для вычисления «волнового числа» величины (вероятности того, что она находится в определенном месте), является уравнением Шредингера. Это (частичное) дифференциальное уравнение с участием , которое можно записать как

Это уравнение имеет очень много практических применений.Используя его для прогнозирования движения электронов и дырок в полупроводниках, можно проектировать интегральные схемы с огромным количеством компонентов, которые могут выполнять удивительно сложные задачи. Такие схемы лежат в основе многих современных технологий, включая компьютеры, автомобили, DVD-плееры и мобильные телефоны. Действительно, мобильный телефон работает путем преобразования вашей речи в высокочастотные радиоволны, и поведение этих волн можно затем рассчитать, используя дополнительные формулы, включающие .Таким образом, мы можем с полным основанием сказать, что без простого квадратного уравнения мобильный телефон никогда бы не был изобретен.

Прикосновение квадратичного хаоса

Представьте, что вы биолог или эколог, интересующийся тем, как популяция определенного вида насекомых меняется из года в год. Некоторые насекомые имеют только одно поколение в год, и простая модель предполагает, что популяция в следующем году будет зависеть только от популяции в текущем году.Итак, если x _n является населением в году n , то x _{n + 1} будет некоторой функцией x _n .

Одна очень простая модель предполагает, что пропорция, скажем, топоров _n , успешно размножается и что bx _n ² умирает от перенаселенности. Чтобы упростить уравнения, мы можем изменить масштаб координат, чтобы получить следующее квадратное уравнение:

x _{n +1} = rx _n (1- x _n )

для некоторого фиксированного числа r > 0 и начального населения x ₁ .Строго говоря, мы определили целое семейство квадратиков, обозначенных константой r . Каждый член этого семейства известен как логистическая карта .

Стоит провести несколько численных экспериментов, чтобы исследовать поведение этих популяций насекомых. Вы можете попробовать их самостоятельно, используя электронную таблицу, такую ​​как Excel. Для этого поместите начальную популяцию в ячейку A1, которая должна быть между 0 и 1. Затем введите формулу

= 4 * А1 * (1 — А1)

в клетку А2.Это делает А2 равным населению в год 2, учитывая значение r = 4. Теперь скопируйте содержимое ячейки A2 в A3, A4 и так далее. Отличительной особенностью Excel и других пакетов электронных таблиц является то, что он автоматически меняет ссылку на A1 в формуле на ячейку выше. Затем Excel автоматически рассчитает популяцию насекомых для Количество лет. Вы можете изменить начальную популяцию в ячейке A1. Вы также можете изменить значение на , которое в приведенном выше примере было установлено на 4.Если это будет сделано, вам придется снова скопировать новую формулу во все ячейки. Любители приключений могут также построить значения популяции насекомых на графике.

На рисунке выше показана логистическая карта с x ₁ = 0,2 и r = 3,7. Обратите внимание на очень сложное и непредсказуемое поведение системы. Слева графический график. Изображение справа известно как паутина, так как оно выглядит как паутина. Это графическая процедура, которая поможет вам визуализировать поведение популяций насекомых.

Чтобы нарисовать график паутины, сначала нужно выбрать значение r , а затем построить квадратик на диаграмме паутины. Затем начальная популяция, x ₁ на оси x , а также линия y = x . Значение x ₂ по определению равно rx ₁ (1- x ₁ ), что является просто значением x ₁ на графике. Поэтому нарисуйте вертикальную линию от x ₁ , пока она не достигнет графика.Затем нарисуйте горизонтальную линию от x ₂ до линии y = x . Теперь у нас есть позиция x ₂ на оси x и мы можем повторить процесс. Чтобы найти x ₃ , мы можем просто нарисовать еще одну вертикальную линию на графике, а затем горизонтальную линию обратно на линию у = х . Эту графическую процедуру можно повторить, не ослепляя списками чисел. Вы можете получить отличное представление о том, что происходит с диаграммой паутины.

Интерактивный апплет, приведенный ниже, позволит вам поэкспериментировать с различными значениями или , потянув максимум квадрата вверх и вниз. Максимум оказывается r /4 на логистической карте, и поэтому апплет позволяет использовать r в диапазоне от 0 до 4. Вы также можете изменить начальную популяцию, потянув мышкой горизонтальную полосу.

Эти квадратичные логистические карты демонстрируют хаос , который является современной и интересной областью прикладной математики.Хаос используется для описания системы, которая ведет себя, по-видимому, случайным образом, даже если сама система не является случайной. Что самое удивительное, это то, что:

Очень простые системы ведут себя очень сложным образом.

Например, ниже мы покажем, что происходит, когда вы берете две исходные популяции, которые очень близки друг к другу. В частности, мы запускаем систему с x ₁ = 0.2 и затем x ₁ = 0.2001 , которые действительно очень близки. Спустя всего несколько поколений население делает совершенно разные вещи! Такое поведение было бы катастрофой, если бы вы хотели популяции, но пришлось оценить начальные популяции.

На самом деле, хаос говорит о многом. В самом деле, если вы допустите ошибку на всех в оценке начальных популяций насекомых, то очень скоро ваш прогноз будет безнадежно неверным. Вы должны попробовать некоторые эксперименты самостоятельно, используя компьютер и логистическую карту с r = 4, чтобы понять, как это работает. Как вы обнаружите, не все значения или приведут к хаосу. Так что вместо пытаясь предсказать популяцию насекомых, что может быть невозможно, ученые и математики пытаются понять, когда какая-то конкретная система хаотична.Знание этого позволяет нам знать, когда прогноз точен, а когда — безнадежен. Дополнительные примеры хаоса см. В статье «Поиск порядка в хаосе» Криса Бадда, выпуск 26 Plus .

Заключение

Мы показали, что квадратное уравнение имеет много применений и играет фундаментальную роль в истории человечества. Вот еще несколько приложений, в которых квадратное уравнение необходимо. Как вызов, вы можете сделать этот список до 101?

Падение цели, дедушкины часы, кролики, районы, пение, налог, архитектура, солнечные часы, остановка, электроника, микросхемы, холодильники, подсолнухи, ускорение, бумага, планеты, баллистика, стрельба, прыжки, астероиды, квантовая теория, хаос , окна, теннис, бадминтон, полёт, радио, маятник, погода, падение, душ, дифференциальные уравнения, телескоп, гольф.

Я больше не боюсь тебя!

Послесловие

Эта статья была частично вдохновлена ​​замечательной дискуссией в Британской палате общин по вопросу о квадратичных уравнениях. Отчет об этом обсуждении можно найти в Hansard, Палате общин Соединенного Королевства, 26 июня 2003 года, колонки 1259-1269, 2003.

---

Об авторах

Крис Бадд — профессор прикладной математики на факультете математических наук в Университете Бата и кафедра математики в Королевском институте в Лондоне.

Крис Сангвин является сотрудником Школы математики и статистики в Бирмингемском университете. Он является научным сотрудником Центра поддержки математики, статистики и исследований в области обучения и поддержки.

Недавно они написали популярную книгу по математике Математика в изобилии! , опубликовано издательством Оксфордского университета.