Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.
Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.
Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.
Формула Ньютона-Лейбница
Определение 1Когда функция y=y(x) является непрерывной из отрезка [a; b] ,а F(x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда
Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.
Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.
Когда функция y=f(x) непрерывна из отрезка [a; b], тогда значение аргумента x∈a; b, а интеграл имеет вид ∫axf(t)dt и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫axf(t)dt=Φ(x), она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫axf(t)dt’=Φ'(x)=f(x).
Зафиксируем, что приращении функции Φ(x) соответствует приращению аргумента ∆x, необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим
Φ(x+∆x)-Φx=∫ax+∆xf(t)dt-∫axf(t)dt==∫ax+∆xf(t)dt=f(c)·x+∆x-x=f(c)·∆x
где значение c∈x; x+∆x.
Зафиксируем равенство в виде Φ(x+∆x)-Φ(x)∆x=f(c). По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆x→0, тогда получаем формулу вида Φ'(x)=f(x). Получаем, что Φ(x) является одной из первообразных для функции вида y=f(x), расположенной на [a; b]. Иначе выражение можно записать
F(x)=Φ(x)+C=∫axf(t)dt+C, где значение C является постоянной.
Произведем вычисление F(a) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что
F(a)=Φ(a)+C=∫aaf(t)dt+C=0+C=C, отсюда получаем, что C=F(a). Результат применим при вычислении F(b) и получим:
F(b)=Φ(b)+C=∫abf(t)dt+C=∫abf(t)dt+F(a), иначе говоря, F(b)=∫abf(t)dt+F(a). Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫abf(x)dx+F(b)-F(a).
Приращение функции принимаем как Fxab=F(b)-F(a). С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫abf(x)dx=Fxab=F(b)-F(a).
Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) из отрезка [a; b] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Произвести вычисление определенного интеграла ∫13x2dx по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение
Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y=x2 является непрерывной из отрезка [1;3], тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y=x2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x, значит, x∈1; 3 запишется как F(x)=∫x2dx=x33+C. Необходимо взять первообразную с С=0, тогда получаем, что F(x)=x33.
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫13x2dx=x3313=333-133=263.
Ответ: ∫13x2dx=263
Пример 2Произвести вычисление определенного интеграла ∫-12x·ex2+1dx по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение
Заданная функция непрерывна из отрезка [-1;2], значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫x·ex2+1dx при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем ∫x·ex2+1dx=12∫ex2+1d(x2+1)=12ex2+1+C.
Отсюда имеем множество первообразных функции y=x·ex2+1, которые действительны для всех x, x∈-1; 2.
Необходимо взять первообразную при С=0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида
∫-12x·ex2+1dx=12ex2+1-12==12e22+1-12e(-1)2+1=12e(-1)2+1=12e2(e3-1)
Ответ: ∫-12x·ex2+1dx=12e2(e3-1)
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание Пример 3Произвести вычисление интегралов ∫-4-124×3+2x2dx и ∫-114×3+2x2dx.
Отрезок -4; -12 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y=4×3+2×2. Получаем, что
∫4×3+2x2dx=4∫xdx+2∫x-2dx=2×2-2x+C
Необходимо взять первообразную F(x)=2×2-2x, тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:
∫-4-124×3+2x2dx=2×2-2x-4-12=2-122-2-12-2-42-2-4=12+4-32-12=-28
Производим переход к вычислению второго интеграла.
Из отрезка [-1;1] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как limx→04×3+2×2=+∞, тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F(x)=2×2-2x не является первообразной для y=4×3+2×2из отрезка [-1;1], так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y=4×3+2×2 из отрезка [-1;1].
Ответ: ∫-4-124×3+2x2dx=-28,
имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y=4×3+2×2 из отрезка [-1;1].Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле
Когда функция y=f(x) является определенной и непрерывной из отрезка [a;b], тогда имеющееся множество [a;b] считается областью значений функции x=g(z), определенной на отрезке α; β с имеющейся непрерывной производной, где g(α)=a и gβ=b, отсюда получаем, что ∫abf(x)dx=∫αβf(g(z))·g'(z)dz.
Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫abf(x)dx, где неопределенный интеграл имеет вид ∫f(x)dx, вычисляем при помощи метода подстановки.
Пример 4Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫9181x2x-9dx.
Решение
Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2x-9=z⇒x=g(z)=z2+92. Значение х=9, значит, что z=2·9-9=9=3, а при х=18 получаем, что z=2·18-9=27=33, тогда gα=g(3)=9, gβ=g33=18. При подстановке полученных значений в формулу ∫abf(x)dx=∫αβf(g(z))·g'(z)dz получаем, что
∫9181x2x-9dx=∫3331z2+92·z·z2+92’dz==∫3331z2+92·z·zdz=∫3332z2+9dz
По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2z2+9 принимает значение 23arctgz3. Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что
∫3332z2+9dz=23arctgz3333=23arctg333-23arctg33=23arctg3-arctg 1=23π3-π4=π18
Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫abf(x)dx=∫αβf(g(z))·g'(z)dz.
Если при методе замены использовать интеграл вида ∫1x2x-9dx, то можно прийти к результату ∫1x2x-9dx=23arctg2x-93+C.
Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что
∫9182z2+9dz=23arctgz3918==23arctg2·18-93-arctg2·9-93==23arctg3-arctg 1=23π3-π4=π18
Результаты совпали.
Ответ: ∫9182x2x-9dx=π18
Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла
Если на отрезке [a;b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x), тогда их производные первого порядка v'(x)·u(x) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u'(x)·v(x) равенство ∫abv'(x)·u(x)dx=(u(x)·v(x))ab-∫abu'(x)·v(x)dx справедливо.
Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫abf(x)dx, причем ∫f(x)dx необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.
Пример 5Произвести вычисление определенного интеграла ∫-π23π2x·sinx3+π6dx.
Решение
Функция x·sinx3+π6 интегрируема на отрезке -π2; 3π2, значит она непрерывна.
Пусть u(x)=х, тогда d(v(x))=v'(x)dx=sinx3+π6dx, причем d(u(x))=u'(x)dx=dx, а v(x)=-3cosπ3+π6. Из формулы ∫abv'(x)·u(x)dx=(u(x)·v(x))ab-∫abu'(x)·v(x)dx получим, что
∫-π23π2x·sinx3+π6dx=-3x·cosx3+π6-π23π2-∫-π23π2-3cosx3+π6dx==-3·3π2·cosπ2+π6—3·-π2·cos-π6+π6+9sinx3+π6-π23π2=9π4-3π2+9sinπ2+π6-sin-π6+π6=9π4-3π2+932=3π4+932
Решение примера можно выполнить другим образом.
Найти множество первообразных функции x·sinx3+π6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:
∫x·sinxx3+π6dx=u=x, dv=sinx3+π6dx⇒du=dx, v=-3cosx3+π6==-3cosx3+π6+3∫cosx3+π6dx==-3xcosx3+π6+9sinx3+π6+C⇒∫-π23π2x·sinx3+π6dx=-3cosx3+π6+9sincosx3+π6—3·-π2·cos-π6+π6+9sin-π6+π6==9π4+932-3π2-0=3π4+932
Ответ: ∫x·sinxx3+π6dx=3π4+932
как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Изучаем понятие «интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x).
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
«Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a, b и с:
Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.