Примеры решений неопределенных интегралов
- Попробуйте решить приведенные ниже неопределенные интегралы.
- Нажмите на изображение интеграла, и вы попадете на страницу с подробным решением.
Примеры на основные формулы и методы интегрирования
См раздел
Основные формулы и методы интегрирования > > >
Решение > > >
Решение > > >
Решение > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)
См раздел
Интегрирование рациональных функций (дробей) > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
Примеры интегрирования иррациональных функций (корней)
См раздел
Методы интегрирования иррациональных функций (корней) > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
Примеры интегрирования тригонометрических функций
См раздел
Методы интегрирования тригонометрических функций > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
Как решать интегралы для чайников, примеры решений
Как решать?
Процесс решения интегралов в науке под названием «математика» называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.
Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличительная черта написание определенного интеграла от неопределенного в том, что есть пределы интегрирования a и b. Сейчас узнаем для чего они нужны, и что всё-таки значит определенный интеграл. В геометрическом смысле такой интеграл равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), линиями a и b, и осью Ох.
Из рис.1 видно, что определенный интеграл — это и есть та самая площадь, что закрашена серым цветом. Давайте, проверим это на простейшем примере. Найдем площадь фигуры на изображении представленном ниже с помощью интегрирования, а затем вычислим её обычным способом умножения длины на ширину.
Из рис.2 видно, что $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Теперь подставим их в определение интеграла, получаем, что $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text{ед}^2 $$ Сделаем проверку обычным способом. В нашем случае длина = 3, ширина фигуры = 1. $$ S = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 3 \cdot 1 = 3 \text{ед}^2 $$ Как видим, всё отлично совпало.
Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов — это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ — первообразная $ f(x), C = const $.
Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.
Свойства интегралов
- Вынос константы из под знака интеграла: $$ $$ $$ \int Cg(x) dx = C\int g(x) dx $$
- Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
- Изменение направления интегрирования: $$ \int _a ^b f(x) = -\int _b ^a f(x) dx $$
- Разбиение отрезка интегрирования: $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ $$ c \in (a,b) $$
Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?
Алгоритм вычисления интегралов
- Узнаем определенный интеграл или нет.
- Если неопределенный, то нужно найти первообразную функцию $ F(x) $ от подынтегральной $ f(x) $ с помощью математических преобразований приводящих к табличному виду функцию $ f(x) $.
- Если определенный, то нужно выполнить шаг 2, а затем подставить пределы $ а $ и $ b $ в первообразную функцию $ F(x) $. По какой формуле это сделать узнаете в статье «Формула Ньютона Лейбница».
Примеры решений
| Пример 1 |
| $$ \int x dx $$ |
| Решение |
$$ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C, C=const $$ Данный интеграл содержит под своим знаком табличную функцию, а это значит, что можно сразу записать ответ взятый из таблицы. |
| Ответ |
| $$ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C $$ |
| Пример 2 |
| $$ \int 3xdx $$ |
| Решение |
$$ \int 3xdx = 3\int xdx = \frac{3x^2}{2}+C $$ Замечаем, что под знаком интеграла есть постоянная 3. По первому свойству можно ее вынести за значок интеграла. Далее, видим, что подынтегральная функция является табличной и получаем из нее первообразную для f(x)=x. |
| Ответ |
| $$ \int 3xdx = \frac{3x^2}{2}+C $$ |
| Пример 3 |
| $$ \int (x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}) dx $$ |
| Решение |
$$ \int (x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}) dx =$$ $$ = \int x^3 dx + \int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx =$$ $$ = \frac{x^4}{4}+\sqrt{x} + C, C=const $$ Проанализировав неопределенный интеграл заметили, что подынтегральные функции являются табличными. И дана их сумма. Можно воспользоваться свойством номер 2. Значит, производим операции над функцией $ f(x) $ и $ g(x) $ согласно указанным в табличке преобразованиям. Так как интеграл неопределенный, то получаем в ответе первообразную. |
| Ответ |
| $$ \int (x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}) dx = \frac{x^4}{4}+\sqrt{x} + C $$ |
Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.
xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai
Методы решения интегралов, формулы и примеры
1. Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование – метод интегрирования, при котором подынтегральная функция путем тождественных преобразований и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Подробнее про непосредственное интегрирование читайте по ссылке.
2. Метод подведения под знак дифференциала
Метод подведения под знак дифференциала. Этот метод является эквивалентным методу подстановки. Если , то
Подробнее про метод подведения под знак дифференциала читайте по ссылке.
3. Метод замены переменной или метод подстановки
Метод замены переменной или метод подстановки. Этот метод заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть делается подстановка). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или с помощью преобразований его можно свести к табличному.
Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку . Тогда и интеграл принимает вид:
Подробнее про метод замены переменной/подстановки читайте по ссылке.
4. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям. Этот метод основывается на следующей формуле:
или
При этом предполагается, что нахождение интеграла проще, чем исходного интеграла . В противном случае применение метода неоправданно.
Подробнее про метод интегрирования по частям читайте по ссылке.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com