Примеры решения неравенств методом интервалов – Решение рациональных неравенств методом интервалов — урок. Алгебра, 9 класс.

Метод интервалов. Примеры

Продолжаем рассматривать метод интервалов. Примеры, в которых в ходе решения квадратного уравнения получаем дискриминант, равный нулю — следующие.

   

Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

   

Ищем дискриминант:

   

Поскольку дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень:

   

В точке x=3 на числовой прямой — «петля»:

Неравенство нестрогое, точка — закрашенная. Знак неравенства — больше либо равно, поэтому нам нужны промежутки с «+». Ответ:

   

   

От предыдущего неравенства это отличается только тем, что является строгим. Соответственно, точка x=3 — выколотая, и в ответ ее не включаем:

Ответ:

   

   

Поскольку знак неравенства — меньше либо равно, нам нужны промежутки с «-»  а их нет. Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в ответ. Здесь такая точка есть —  x=3 (напоминаю, знак в петле — «виртуальный», на самом деле при x=3 выражение, стоящее в правой части,  равно нулю, а нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом).

Ответ:

   

   

Здесь нет ни одной точки удовлетворяющей условию неравенства.

Ответ:

   

   

Приравниваем к нулю левую часть. Получаем:

   

Поскольку в ходе решения уравнения x²-10x+25=0 получили дискриминант, равный нулю, в соответствующей точке x=5  — «петля». Отмечаем полученные точки на числовой прямой:

Знак неравенства — меньше либо равно, поэтому выбираем промежутки со знаком «-«. Точка х=5 — закрашенная, поэтому ее включаем в ответ (то есть разрывать промежуток от -3 до 6 не нужно).

Ответ: х∈(-3;6).

   

От предыдущего примера данный отличается только тем, что неравенство — строгое. Соответственно, все точки выколотые и в ответ х=5 уже не входит (промежуток от -3 до 6 разбивается на два).

Ответ: х∈(-3;5)U(5;6).

   

Здесь выбираем промежутки с «+». Отдельно стоящую закрашенную точку также включаем в ответ:

Ответ:

   

   

Поскольку неравенство — строгое, ни одну из точек в ответ не включаем:

Ответ:

   

Следует заметить, что если бы мы решали квадратные уравнения, в которых дискриминант равен нулю, используя теорему Виета, то получили бы два одинаковых корня (то есть один и тот же корень встречается четное число раз). Если бы свернули квадратный трехчлен по формулам квадрата суммы или квадрата разности, то получили бы кратный корень четной степени. То есть, при любом подходе пришли бы к «петле».

Примеры решений неравенств методом интервалов

I. Примеры решения иррациональных неравенств

1. wpe44.jpg (987 bytes).

Решение. Введем функцию f(x) =wpe45.jpg (845 bytes) – 3. Необходимо определить промежутки, на которых f(x) 0. Очевидно, что D(f) = [0;). Нули f(x): x = 9.no39_1.gif (795 bytes)

f(16) >0,
f(4) < 0.

Ответ: [0; 9].

2. wpe40.jpg (1075 bytes)< 2 – x.

Решение. Традиционное решение этого неравенства приводит к системе неравенств

no39_22.gif (288 bytes)

Решение этого неравенства можно осуществить, положив wpe40.jpg (1075 bytes)y, где y  0. Получаем

y < 20 – y2,  y2 + y – 20 < 0,  (y + 5)(y – 4) < 0,

откуда y < 4, поскольку y0. Итак, wpe40.jpg (1075 bytes)< 4 и – 18 x  –2.

Интересен и такой вариант (графический) решения примера. Если заметить, что f(x) =wpe40.jpg (1075 bytes)

 – функция возрастающая на луче [– 18; + ), а g(x) = 2 – x – убывающая на R и x = 2 – абсцисса их точки пересечения и при этом f(– 14) < g(– 14), то ясен и

ответ: [– 18; – 2).

Обратимся к теме статьи. Пусть f(x) =wpe40.jpg (1075 bytes)+ x – 2. Надо решить неравенство f(x)< 0. Заметим, что D(f)=[– 18; +). Нули функции найдем, решив уравнение  wpe40.jpg (1075 bytes)= 2 – x, откуда x = – 2.

Применяем метод интервалов:no39_2.gif (889 bytes)

f(– 14) < 0,
f(7) > 0.

Ответ: [– 18; – 2).

3.  wpe43.jpg (1562 bytes)< 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств

.wpe45.jpg (1724 bytes)

      x

Для функции f(x) = wpe43.jpg (1562 bytes)– 20   D(f) = [4; +). Далее находим нули f(x):

wpe46.jpg (6438 bytes)

откуда x = 29 и x = 13 – посторонний корень.no39_3.gif (896 bytes)

f(30) =wpe47.jpg (1246 bytes) – 20 = 0,3 > 0,
f(5) =wpe48.jpg (950 bytes) – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

Примечание. Это неравенство можно решить, например, выполнив замену переменной wpe4B.jpg (982 bytes)

 = y, где y 0.

4.   wpe4C.jpg (1419 bytes)< 1.

Решение. Область определения функции f(x) =wpe4C.jpg (1419 bytes) – 1 найдем, решив систему неравенств

wpe4D.jpg (1576 bytes)

Легко видеть, что   wpe4E.jpg (2457 bytes) .

Находим нули функции f(x):

1 – 2x = wpe50.jpg (1070 bytes),  – 4x + 12x2 = 0, x = 0 – посторонний корень, x =wpe51.jpg (839 bytes)

 ;

no39_4.gif (1274 bytes)

f(– 0,1) =wpe52.jpg (1424 bytes) – 1 =wpe53.jpg (1408 bytes) – 1 < 0,
f(0,1) = wpe54.jpg (1396 bytes)– 1 =wpe55.jpg (1567 bytes) < 0,
f(0,34) =wpe56.jpg (1604 bytes) – 1 = wpe57.jpg (1843 bytes)> 0.

Ответ:wpe58.jpg (2048 bytes)

.

Примечание. Этот пример показывает, что для двух чисел, «близко» расположенных на координатной прямой, применение метода интервалов осуществимо.

5.  wpe59.jpg (1371 bytes)>x – 1.

Решение. Пусть f(x) = wpe59.jpg (1371 bytes)– x + 1. Найдем область определения этой функции, для чего решим неравенство x3 + x2 – 2x  0  методом интервалов:

no39_5.gif (867 bytes)

D(f) =wpe5A.jpg (1469 bytes).

Ищем нули функции f, решив уравнение

wpe59.jpg (1371 bytes)

x – 1, x3 = 1 и x = 1,

где x = 1 удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет исходному неравенству.

Далее применяем метод интервалов:no39_6.gif (994 bytes)

f(– 1) =wpe5B.jpg (843 bytes) + 2 > 0,
f(2) = wpe5C.jpg (840 bytes)– 1 > 0.

Ответ: wpe5A.jpg (1469 bytes).

Традиционное решение данного неравенства сводится к совокупности двух систем:

wpe5D.jpg (3300 bytes)

Примечание. Отметим, что не идет речь о преимуществах того или иного способа решения неравенств, а показывается применение метода интервалов на более широком классе неравенств.

Упражнения

Решите неравенства методом интервалов:

1.  wpe5E.jpg (1726 bytes).
2.  wpe5F.jpg (1715 bytes) .
3.  wpe60.jpg (2088 bytes) .
4.  wpe61.jpg (1898 bytes).

II. Примеры решения показательных неравенств

1. 4x < 2x+1 + 3.

Решение. Если f(x) = 4x – 2•2x – 3, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x) < 0. Найдем нули                 

f:  4x–2•2x – 3 = 0, откуда 2x = 3, x = log23.

Далее применяем метод интервалов:no39_7.gif (923 bytes)

f(0) < 0,  f(2) > 0.

Ответ: (– ; log23).

2. wpe62.jpg (1210 bytes) – 3  0.

Решение. Пусть f(x) =wpe62.jpg (1210 bytes)  – 3. Решаем неравенство f(x) 0. Заметим, что D(f) = (– ; 0)(0; + ). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение:

wpe62.jpg (1210 bytes) – 3 = 0.

Полагая wpe65.jpg (888 bytes)t, где t > 0, приходим к уравнению t2 – wpe64.jpg (854 bytes)t – 3 = 0 с положительным корнем t = 2. Следовательно,  wpe65.jpg (888 bytes) = 2 и x =wpe66.jpg (854 bytes) .

Применяем метод интервалов:no39_8.gif (772 bytes)

f(1) < 0,
f wpe67.jpg (1024 bytes)> 0,
f(– 1) < 0.

Ответ: (–  ; 0) wpe68.jpg (1353 bytes).

3. 4x wpe69.jpg (1259 bytes) .

Решение. Рассмотрим функцию

f(x) = 4x – (wpe69.jpg (1259 bytes)) .

Область определения функции f есть луч [0; + ). Найдем теперь нули функции f:

4x – (wpe69.jpg (1259 bytes)) = 0.

Разделив обе части последнего уравнения на wpe6A.jpg (869 bytes), получим

wpe6C.jpg (1609 bytes),    wpe6D.jpg (1645 bytes)

откуда   wpe6E.jpg (878 bytes)= 4, xwpe6F.jpg (845 bytes) = 2, а это уравнение имеет единственный корень x = 4.

no39_9.gif (874 bytes)

f(1) < 0, f(9) = 49 – 3•212 – 44 = 28(210 – 2•24 – 1) > 0.

Ответ: [0; 4].

4.   wpe70.jpg (1422 bytes)< 1.

Решение. Введем в рассмотрение функцию f(x) =wpe70.jpg (1422 bytes) – 1. Легко видеть, что D(f) =wpe71.jpg (1942 bytes) . Находим нули функции f(x): 4x – 2 – 22x +wpe72.jpg (843 bytes)= 0. Уравнение корней не имеет.no39_11.gif (782 bytes)

 

f(0) =wpe72.jpg (843 bytes)> 0,
f(1) = wpe73.jpg (2630 bytes) < 0.

Ответwpe74.jpg (1271 bytes).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

5. 9x < 3x + 2.
6. wpe75.jpg (1622 bytes) .
7. wpe76.jpg (1963 bytes) .
8. 3•4x – 7•10x + 2•25x > 0.
9.wpe79.jpg (1365 bytes).

III. Примеры решения логарифмических 
неравенств методов интервалов.

1. lg2 x – 2lg x – 8  0.

Решение. f(x) = lg2 x – 2lg x – 8, D(f) = (0; +). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение

lg2 x – 2lg x – 8 = 0,

откуда lg x = – 2, lg x = 4 и x =wpe7A.jpg (991 bytes) , x = 10000.no39_12.gif (1281 bytes)

f(105) = 25 – 10 – 8 = 7 > 0,
f(1) < 0,
f(10–3) = 9 + 6 – 8 = 7 > 0.

Ответwpe7B.jpg (1558 bytes) .

2. log0,3 (x2 – x – 20) – log0,3 (x + 4) > 0.

Решение. Найдем область определения функции f в левой части неравенства, решив систему неравенств

wpe7C.jpg (1900 bytes)   x > 5.

Решая уравнение log 0,3 (x2 – x – 20) – log0,3 (x + 4) = 0, находим нули функции f: x2 – x – 20 = x + 4, x2 – 2x – 24 = 0, x = – 4 – посторонний корень и x = 6.no39_13.gif (1281 bytes)

 

f(7) = log0,3 22 – log0,3 7 <0,
f(5,5) = log0,3 4,75 – log0,3 9,5>5.

Ответ: (5; 6).

3.  wpe82.jpg (2005 bytes).

Решение. Пусть f(x) = wpe83.jpg (1851 bytes)– 1. Необходимо решить неравенство f(x)  0.

Область определения функции f определяется системой неравенств

wpe84.jpg (3742 bytes)

Итак, D(f) = wpe85.jpg (2514 bytes) .

Найдем нули функции f:

log3 (5x + 1) = log3 (7x – 1)2,

откуда 49x2 – 19x = 0, x = 0 – посторонний корень, x =wpe86.jpg (995 bytes) – корень уравнения.

no39_14.gif (1281 bytes)

f(1) = wpe87.jpg (1730 bytes)< 0,
f(0,3) = wpe88.jpg (2011 bytes)> 0,
f(0,2) = wpe89.jpg (1381 bytes)– 1 < 0, так как log3 2 > 0, log3 0,4 < 0.
f(0,1) =wpe8A.jpg (2086 bytes) < 0,
f(– 0,1) =wpe8B.jpg (2101 bytes) < 0.

Ответwpe8C.jpg (3369 bytes) .

4. log3x+1wpe8D.jpg (1100 bytes)  0.

Решение. Для функции f(x) = log3x+1wpe8E.jpg (1100 bytes)   находим область определения. Решаем систему неравенств:

wpe8F.jpg (3778 bytes).

Найдем нули функции: log3x+1wpe8E.jpg (1100 bytes) = 0, wpe8E.jpg (1100 bytes)= 1, но последнее уравнение корней не имеет.

Применяем метод интервалов:

no39_15.gif (1144 bytes)

f(5) = log16 3 > 0,
f(1) = log4wpe90.jpg (839 bytes)< 0,
f(– 0,2) = log0,4wpe91.jpg (959 bytes) > 0.

Ответ: wpe92.jpg (1331 bytes)(4; + ).

5. logx2 wpe93.jpg (963 bytes)2.

Решение. Для функции f(x) = logx 2 – wpe93.jpg (963 bytes)2 имеем D(f) = (0; 1) (1; + ). Очевидно, что для нахождения нулей f необходимо решить уравнение x =wpe94.jpg (1027 bytes) , откуда x = 2.

Применяем метод интервалов:

no39_16.gif (1149 bytes)

f(4) = log4 2 – log2 2 < 0,

f(1,5) = wpe96.jpg (4850 bytes),

wpe97.jpg (1955 bytes).

Ответ: (0; 1)  [2; +).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

10. wpe9A.jpg (1714 bytes)
11.  log2 (x + 1) < 1 – 2log4 x.
12.  wpe98.jpg (1971 bytes).
13.  logxwpe99.jpg (1078 bytes) < 1.
14.  logx 3  log2x+3 9.
15.  logx (1 – 2x) < 1.
16.  log3 log27 log2 (x2 + x + 2)  –1.

IV. Примеры на применение метода интервалов 
к неравенствам, содержащим знак модуля.

1. x2 > | 5x + 6 |.

Решение. Функция f(x) = x2 – | 5x + 6 | определена при любом x. Найдем ее нули, решив уравнение 
x2=| 5x + 6 |, откуда x2 = 5x + 6 или x2 = – (5x + 6), т. е.

x2 – 5x – 6 = 0 или x2 + 5x + 6 = 0.

Корни этих уравнений – 1, 6, – 2, – 3.

Далее применяем метод интервалов:

no39_17.gif (826 bytes)

f(7) > 0, f(0) < 0, f(– 1,5) > 0, f(– 2,5) < 0, f(– 4) > 0.

Ответ: (–; – 3)  (– 2; – 1)  (6; + ).

Примечание. Неравенство можно также решить, заменив его на равносильное (x2 – 5x – 6)(x2 + 5x + 6) > 0.

2. y2 – 4| y | < 12.

Решение. Здесь положим f(y) = y2 – 4| y | – 12. Заметим, что D(y) = R и найдем нули функции fy2 – 4| y | – 12=0, откуда | y | = 6, | y | = – 2. Последнее уравнение корней не имеет.

Ответ: – 6 < y < 6.

3. wpe9B.jpg (1359 bytes) .

Решение. Заменим неравенство на равносильное wpe9C.jpg (1665 bytes) 0 и положим f(x) =wpe9C.jpg (1665 bytes) . Ясно, что D(f) = (– ; – 2)  (– 2; 2)  (2; + ). Находим нули функции f, решая уравнение | 3x | = | x2 – 4 |, которое распадается на два:

x2 – 3x – 4 = 0 и x2 + 3x – 4 = 0.

Корни этих уравнений соответственно равны – 1; 4 и 1; – 4.

Далее применяем метод интервалов:

no39_18.gif (1009 bytes)

Ответ: (– ; – 4]  [ – 1; 1]  [4; + ).

Замечание. Конечно, при решении этого неравенства можно было учесть, что |x2 – 4 | > 0 при x ±2.

4. x2 + 2| x – 1 | + 7  4| x – 2 |.

Решение. Если f(x) = x2 + 2| x – 1 | + 7 – 4| x – 2 |, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x)  0.

Находим нули f:

а) wpe9D.jpg (3626 bytes)

x = – 1 – нуль функции;

б) wpe9E.jpg (3423 bytes)

система решений не имеет;

в) wpe9F.jpg (3269 bytes)

система не имеет решений.

Применяем метод интервалов:

no39_20.gif (740 bytes)

f(0) > 0,
f(– 2) > 0.

Ответ: – 1.

5.wpeA0.jpg (1037 bytes) + 3 > | x – 1 |.

Решение. Для f(x) = wpeA0.jpg (1037 bytes)+ 3 – | x – 1 | находим D(f) =wpeA1.jpg (1772 bytes) .

Находим нули функции f(x).

Если xwpeA2.jpg (1249 bytes) , то

wpeA0.jpg (1037 bytes)+3 – x + 1 = 0,  wpeA0.jpg (1037 bytes)x – 4, 8x = 21,

x = 2wpeA3.jpg (877 bytes) – не корень.

Если xwpeA4.jpg (1256 bytes) , то

wpeA0.jpg (1037 bytes)+3+x–1 = 0,  wpeA0.jpg (1037 bytes)= – x – 2,  4x = – 9,

x = – 2,25 – корень.

Итак, функция f имеет один нуль x = –2,25.

Применяем метод интервалов:

no39_19.gif (837 bytes)

f(3) >0,

f(– 2,24) =wpeA5.jpg (1130 bytes) + 3 – 3,24 < 0,1 – 0,24 < 0,

f(– 3) > 0.

Ответ: (–  ; – 2,25)  [5; +  ).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

17. | x – 6 | > x2 – 5x + 9.
18. 16| x2 – 2(x + | x | + 1 | < 1.
19. | x2 – | x + 1 ||  2x – 3.

20. wpeA6.jpg (1721 bytes)

Ответы

1. (– ; – 6] 
2. wpeA7.jpg (1858 bytes) [0; 2).  
3. (– ; 0]  [5; 7)  (9; + ).  
4. [3; 4].  
5. (– ; log3 2).  
6. (– ; 2) wpeA8.jpg (1518 bytes) .  
7. [0; 16].  
8.wpeA9.jpg (1827 bytes)
9.wpeAA.jpg (1279 bytes) 
10.;1025]

11. (0;1)
12.[wpeAB.jpg (845 bytes);2]
13.(0;1)
14. (0;1) (3;+)  
15.wpeAC.jpg (1130 bytes)
16.[-3;-1)
17.(1;3)
18. wpeAD.jpg (2799 bytes)
19. wpeAE.jpg (1554 bytes)
20.wpeAF.jpg (1200 bytes)

А. Смоляков,
г. Нефтекумск

TopList

Применение метода интервалов для решения неравенств. 9-й класс

Цель урока: рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств различных типов.

Задачи урока:

1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для их применения в новой ситуации.

3. Развивать у учащихся математическое мышление (умение наблюдать, выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач.

Оборудование и материалы: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.

Ход урока

1. Сообщение темы и цели урока.

2. Повторение и закрепление пройденного материала.

1) Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор задач, вызвавших затруднения).

2) Повторение применения метода интервалов для решения неравенств (слайд 2).

3) Контроль усвоения материала (самостоятельная работа). (Слайд 3).

Вариант 1.

№1. Решите методом интервалов неравенства:

а) б)

№2. Найдите область определения функции:

Вариант 2.

№1. Решите методом интервалов неравенства:

а) б)

№2. Найдите область определения функции:

Самопроверка самостоятельной работы (слайды 4-5), с оцениванием (слайд 6).

3. Изучение нового материала.

Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.

Пример 1. Решим неравенство

Решение (слайд 7):

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .

Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности - одной чертой.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Из рисунка видно, что такими х являются .

Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? (предполагаемый ответ: в корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности - знак меняется).

Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении других неравенств.

Решите неравенство (слайд 8).

1 вариант:

2 вариант:

(Два ученика решают неравенства на откидной доске не видной классу, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).

Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам (слайд 9):

  • Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.
  • При четном k многочлен справа и слева от имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),
  • При нечетном k многочлен справа и слева от имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители).

Рассмотрим способы решения рациональных неравенств методом интервалов (слайд 10).

Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Умножим обе части такого неравенства на многочлен , который положителен при всех допустимых значениях х (т.к. ). Тогда знак исходного неравенства не меняется, и получаем неравенство , эквивалентное данному неравенству.

Итак,: эквивалентно системе неравенств которая далее решается методом интервалов.

Пример 2. (слайд 11) Решим неравенство

Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства:

откуда

Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому. Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение - квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется). Получаем: . Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем: . Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем корни на числовой оси с учетом области определения неравенства и определяем знаки на промежутках с учетом кратности корней.

Ответ: .

(слайд 12) Задание на уроке (первичное закрепление материала).

4. Фронтальная работа с классом №389 (а, в), № 390 (в, г), №393(а), №394(а).

№389. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) в)

№ 390. Решите неравенство:

в) г)

№393. Решите неравенство: а)

№394. Решите неравенство: а)

5. Задание на дом (слайд 13).

Повторить параграф 15 (глава II), №389 (б), № 390 (б), №393(б), №394(б).

Подумайте, как имея готовую диаграмму знаков построить эскиз графика функции.

6. Подведение итогов урока, рефлексия.

1. Что вы ожидали от работы на данном уроке? Сравните свои предварительные цели и реально достигнутые результаты.

2. Какие чувства и ощущения возникали у вас в ходе работы? Что оказалось для вас самым неожиданным?

3. Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно?

4. Перечислите в порядке убывания основные трудности, которые вы испытывали во время учебы. Как вы их преодолевали?

7. Задания (для тех, кто желает знать больше).

№1. Решите неравенство:

а)

б)

в)

№2. Постройте эскизы графиков функций:

а); б) .

Литература

1. Учебник: Алгебра-9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, 2009.

2. Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. - М.: ВАКО, 2010 - (В помощь школьному учителю).

3. Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru

4. Изображение кота http://s39.radikal.ru/i084/1008/34/683cd4886d3f.jpg

Приложение 1

Приложение 2

Обобщенный метод интервалов | Подготовка к ЕГЭ по математике

Продолжение

97ш

Ранее мы рассмотрели как работает метод интервалов при решении рациональных (часть 1) и дробно-рациональных неравенств (часть 2).

Будем рассматривать неравенства вида f(x)\vee 0, где \vee  - один из знаков >,\;\geq,\;<,\;\leq, а f(x) - логарифмическая, показательная, иррациональная или тригонометрическая функция. И вот здесь самое время применить обобщенный метод интервалов.

 


Наши действия будут такими:

1) Находим область определения f(x)

2) Находим нули f(x)

3) Определяем знаки f(x) на ОДЗ (которая разделена на промежутки нулями функции),  подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку.

4) Записываем ответ, указывая объединение промежутков (из ОДЗ), на которых f(x) имеет соответствующий знак.

Если же перед нами неравенство \frac{f(x)}{g(x)}\vee 0, где f(x),\;g(x) -  логарифмические, показательные, иррациональные или тригонометрические функции, то мы будем переходить к неравенству: f(x)\cdot g(x)\vee 0, при условии, что g(x)\neq 0


Пример 1. 

Решить неравенство \sqrt{x^2-3x}<5-x

Решение: + показать

Рассмотрим функцию f(x)=\sqrt{x^2-3x}-5+x.

Найдем ОДЗ данной функции:

x^2-3x\geq 0

x(x-3)\geq 0

tfok

x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty)

Найдем нули функции, решив уравнение: \sqrt{x^2-3x}=5-x

Из данного уравнения следует:

x^2-3x=25-10x+x^2

7x=25

x=3\frac{4}{7}

Рассмотрим знаки функции на образовавшихся промежутках (-\infty;0),\;(3;3\frac{4}{7}),\;(3\frac{4}{7};+\infty):

Находим знак на крайнем правом промежутке:

f(4)=\sqrt{4^2-3\cdot4}-5+4=1>0

Определяем знак на  (3;3\frac{4}{7}):

f(3,5)=\sqrt{3,5^2-3\cdot3,5}-5+3,5=\sqrt{\frac{49-42}{4}}-1,5=\frac{\sqrt7-3}{2}<0

Определяем знак на (-\infty;0):

f(-1)=\sqrt{1+3}-5+1<0

sdgfh

Ответ: (-\infty;0]\cup[3;3\frac{4}{7}] 

 

Пример 2. 

Решить неравенство \frac{x^2-4}{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)}<0

Решение: + показать

(Этот метод не выигрышно смотрится на данного примере! Проще применить метод рационализации).

Перейдем к  равносильному неравенству:

 (x^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1))<0

Рассмотрим функцию f(x)=(x^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)).

ОДЗ данной функции: x^2-1>0, то есть (x-1)(x+1)>0

3es

Нули функции:

(x^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1))=0.

Из равенства следует:

x^2-4=0,\;x^2-1=1

x=\pm 2,\;x=\pm\sqrt2

Образовались следующие промежутки:

(-\infty;-2),\;(-2;-\sqrt2),\;(-\sqrt2;-1),\;(1;\sqrt2),\;(\sqrt2;2),\;(2;+\infty).

Заметим, функция f(x) – четная, поэтому нам достаточно определить знаки лишь на правой, например, половине рассматриваемых промежутков.

Определяем знак на (2;+\infty):

f(5)=(5^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(5^2-1))=21(\log_{\frac{1}{2}}24)<0

Определяем знак на (\sqrt2;2):

f(1,9)=(1,9^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(1,9^2-1))=-0,39(\log_{\frac{1}{2}}2,61)>0

Определяем знак на (1;\sqrt2):

f(1,1)=(1,1^2-4)(\log_{\frac{1}{2}}(1,1^2-1))=-2,79(\log_{\frac{1}{2}}0,21)<0

edfg

Ответ: (-\infty;-2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup(2;+\infty) 


 

Надо сказать, что у обобщенного метода интервалов есть свои минусы. Потому что не всегда удобно определять знаки на промежутках, тем более когда они малы, когда на них нет целых значений.

Попробуйте, вот например, решить обобщенным методом интервалов следующее неравенство:

\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4

Вы столкнетесь с трудностями при определении знаков вот на таких промежутках:

(3;\frac{5+\sqrt7}{2}),\;(\frac{5+\sqrt7}{2};\;4),\;(4;4,5),\;(4,5;+\infty).

Не из приятных занятие, правда? Поэтому, конечно, метод интервалов здесь неоправдан. Советую решить данное неравенство методом рационализации.

Да и еще, надеюсь вы понимаете, что \log_{x-3}(x^2-4x)^2  не есть 2\log_{x-3}(x^2-4x)? В данном случае \log_{x-3}(x^2-4x)^2=2\log_{x-3}. Поэтому, подумайте, нужно ли понижать степень в подлогарифмном выражении…

Да, ответ такой: (3;\frac{5+\sqrt7}{2}]\cup(4;4,5] (лучше порешать самостоятельно, но если что, – смотрим решение здесь).

Урок 20. решение неравенств методом интервалов - Алгебра - 9 класс


Рассмотрим функцию.
Нулями этой функции будут следующие значения переменной икс: минус один, два и семь
Областью определения данной функции является множество всех чисел, а нули функции будут разбивать это множество на промежутки, показанные на рисунке.
Задача состоит в том, чтобы определить, какое значение функция принимает на каждом из этих промежутков, ведь очевидно, внутри промежутка знак меняться не будет.
Так как выражение, задающее нашу функцию, является произведением трёх множителей, знак всего выражения будет зависеть от знаков этих множителей.
Для того чтобы определить знаки множителей на каждом из промежутков, составим таблицу, у которой в левом столбце указаны множители выражения, а в верхней строке промежутки.
Чтобы определить знак выражения на некотором промежутке достаточно подставить любое число из этого промежутка на место переменной и выполнить действие.
Например, чтобы определить, какой знак у суммы икс плюс один на промежутке от минус бесконечности до минус одного, достаточно подставить любое число из этого промежутка, допустим, минус четыре, и посчитать, чему равна сумма. Получим число минус три, значит, на всём этом промежутке сумма будет принимать отрицательные значения. Пометим это знаком минус в таблице.
Аналогично заполним остальные строки таблицы.
Из полученной таблицы видно, что на промежутке от минус бесконечности до минус одного функция принимает отрицательные значения.
На промежутке от минус одного до двух функция принимает положительные значения.
На промежутке от двух до семи функция принимает отрицательные значения.
И на промежутке от семи до плюс бесконечности функция принимает положительные значения.
Итак, функция подобного вида на каждом из промежутков, на которые разбивают область определения нули функции, принимает либо положительное, либо отрицательное значение, причём знак меняется только при переходе через нуль.
Это свойство применяют для решения неравенств, в которых требуется сравнить с нулём выражение, представленное в виде произведения нескольких множителей. Этот метод называют методом интервалов.
Разберём пример. Решим неравенство.
Рассмотрим соответствующую функцию.
Найдём нули данной функции и изобразим их на координатной прямой. Нетрудно определить, что нулями функции будут являться числа минус десять, минус четыре и двенадцать.
Чтобы определить, как ведёт себя функция в каждом из получившихся промежутков, достаточно узнать знак функции в одном из промежутков, например, в промежутке от двенадцати до плюс бесконечности. Для этого выберем любое число из данного промежутка и подставим в выражение, задающее функцию. Подставим, например, число двадцать.
Функция на данном промежутке принимает положительное значение, значит, мы можем расставить знаки на остальных промежутках, помня, что при переходе через нуль функция меняет свой знак.
Из рисунка мы видим, что множеством решений нашего неравенства будут промежутки от минус бесконечности до минус десяти и от минус четырёх до двенадцати.
Запишем ответ.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *