Принцип Дирихле | Методическая разработка (5 класс) на тему:

Принцип Дирихле

Цели занятия:

1. Образовательная цель: познакомить учащихся с принципом Дирихле и типами задач, решаемых этим методом
2. Развивающая цель: через решение задач с помощью метода Дирихле развивать умение анализировать, синтезировать, обобщать
3. Воспитательная цель: посредством организации занятия воспитывать усидчивость, настойчивость в достижении цели, интерес к математике.

План занятия:

1. Вступительная беседа
2. Объяснение нового материала
3. Закрепление
4. Итог занятия
5. Малая олимпиада
6. Домашнее задание

Вступительная беседа.

Что отличает урок математики от других уроков? Книгу по математике от книг по какому-то другому предмету? Большое количество вычислений? Формул? Но они есть и в других учебниках: в естествознании, физике, химии, астрономмии. Наличие доказательств – вот что прежде всего отличает математику от других областей знания. Конечно, доказательства встречаются и в других сферах человеческой деятельности, например, в юриспруденции. Однако математические доказательства убедительнее тех, которые можно слышать в суде. Математичекие доказательства признаются эталоном бесспорности.

Что же такое доказательство в математике? Доказательство – это такое рассуждение, которое убеждает нас настолько, что мы готовы убеждать других, используя то же рассуждение. В математике большое значение имеют так называемые доказательства существования. Самый простой способ доказатьсуществование объекта с заданными свойствами – это указать его и, разумеется, убедиться, что он обладает нужными свойствами. Например, чтобы убедиться, что уравнение имеет решение, достаточно привести какое-либо его решение. Такие доказательства называются прямыми. Но бывают и косвенные доказательства, когда обоснование того, что объект существует, происходит без прямого указания на сам объект.

Объяснение нового материала.

Рассмотрим пример. В классе 34 ученика. Докажите, что среди них обязательно найдутся по крайней мере два ученика, у которых фамиля начинается с одной буквы.

Доказательство простое. В русском языке алфавит содержит 33 буквы. Предположим, что нет таких учеников, у которых бы фамилия начиналась с одной буквы. Тогда учеников должно быть не более 33, а их 34.

Логический прием, который был использован прирешении этой задачи, называется принципом Дирихле. Дирихле Петер Август Лежен (1805-1859) – немецкий математик, иностранный член Петербургской  Академии наук, член многих академий. Дирихле –автор многих достижений в области математики, одна из его заслуг – принцип доказательства, названный его именем.

Существует несколько формулировок этого принципа. Самая популярная следующая: «Если в п клетках сидят т зайцев, причем т>п, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца»

Например, если 4 кролика разместить в 3 клетках, то найдется хотя бы одна клетка, в которой будет не менее 2 кроликов (сделать рисунок).  Предположим, что не существует клетки, где сидят два кролика. Тогда в трех клетках окажется не более 3 кроликов (сделать рисунок), а их 4 – противоречие.

Запишем принцип Дирихле: если по N разложить предметы,число которых  M больше N, то найдется ящик, в котором будет находится больше одного предмета.

На первый взгляд непонятно, почему это совершенно очевидное предложение, тем не менее, является мощным математическим методом решения задач, причем, самых разнообразных. Дело в том, что в каждой конкретной задаче нелегко понять, что же здесь выступает в роли «предметов», а что – в роли «ящиков».

Вернемся к первой задаче. Что в ней предметы? (ученики, M=34). Что в ней ящики? (количество букв в алфавите, N =33). M>N, то по принципу Дирихле хотя бы на одну букву будет приходится две фамилии.

Вернемся ко второй задаче. Что в ней предметы? (кролики, M= 4). Что в ней ящики? (клетки, N=3).M>N, то по принципу Дирихле хотя бы в одной клетке окажется два кролика.

Закрепление

1тип  «Сколько нужно взять?. .»

1.В мешке лежат шарики двух разных цветов.Какое наименьшее число шариков нужновынуть из мешка, чтобы среди ни обязательно оказались два шарика одного цвета?

Решение:

Здесь роль предметов играют шарики (М=?), роль ящиков — цвета (N=2).Чтобы  M>N, т.е. в одном  ящике  оказалось два предмета, их должно быть больше двух, т.е. М=3

2.В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее 2 красных и не менее 3 синих?

Решение: Если предположить, что сначала будут попадаться только красные карандаши, то для того, чтобы было 3 синих, нужно взять 7(красные)+3(N)=10. Это «худший» варианнт развития событий, т.к. красных карандашей больше.

3.В мешке лежат 10 черных и 10 белых шаров. Они тщательно перемешены и неразлечимы на ощупь. Какое наименьшеее количество шаров нужно вынуть из мешка, чтобы среди них наверняка оказались два шара 1) одного цвета, 2)разного цвета, 3) белого цвета.

Решение:1)Если предположить, что предметы – шарики, которые нужно взять (М=?), а количество ящиков — цвета  N=2, то по принципу Дирихле М=3

2)если предположить, что сначала будут попадаться шары только одного цвета, то  N=10,следовательно, М=11

3)если предположить, что все время будут попадаться шары черного  цвета, то М=12.

 

2тип «Докажите, что найдутся двое…»

4.При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадают?

Решение: Дней в году N=365 или 366,то принципу Дирихле М= 366 или 367.

5.В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся хотя бы две елки с одинаковым числом иголок.

Решение: Если предположить, что у всех елок разное количество иголок, то таких елок 600 000 (это ящики, N= 600 000), а по условию елок 1000 000=М, то М>N,по принципу Дирихле найдутся хотя бы две елки «в одном ящике», т. те с одинаковым количеством иголок.

6.В городе Санкт-Петербурге живет более 4млн. человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое количество волос на голове, если известно, что у любого человека на голове  не более миллиона волос.

Решение: Если предположить, что у всех людей разное количество волос, то таких людей N=1000 000 (ящики),  а по условию людей М=4 000 000. М>N, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы два человека в одинаковым количеством волос.

3 тип. Обобщенный принцип Дирихле: если по N ящикам разложить предметы, число которых М больше, чем N (где к – натуральное число), то найдется ящик, в котором находятся более к предметов.

7.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Решение. 25:3=8 (ост.1). 25=8*3+1. к=3, N=8, M>N, то принципу Дирихле найдутся хотя бы один ящик, в котором находятся более, чем к=3 предметов, т. е. 4 предмета.

8.На площадке 20 собак восьми разных пород. Докажите, что среди них есть не менее трех собак одной породы.

Решение: 20:8=2(ост. 4), 20=8*2+4. к=2,N=8, М>N, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы три собаки одной породы.

9.В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса?

Решение: В году 12 месяцев. 27:12=2(ост.3), 27=12*2+3. к=2,N=12,M>N, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы три ученика, у которых дни рождения в одном месяце.

Итог урока.

Таким образом, применяя данный метод,необходимо:

1)Определить, что удобно взадаче принять за «предметы», а что за «ящики».

2)получит «ящики».Чаще всего, их должнобыть больше,чем предметов.

3)выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.

Малая олимпиада.

1. В ящике лежат носки четырех цветов. Какое  наименьшеее количество носков надо вытащить, чтобы из них можно было составить хотя бы одну пару?

Решение: N=4 (это количество цветов), То М=5.

2.В темной кладовой лежат ботинки одного размера: 10 пар черных и 10 пар коричневых. Найдите наименьшее число ботинок, которое нужно взять из кладовой,чтобы  среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый) одного цвета. В темноте нельзя определить не только цвет ботинок, но и левой от правого.

Решение: Если предположить (худший вариант), что подряд попадаются ботинки на одну ногу (20), а затем ботинок на другую ногу, то20+1=21, среди них будут ботинки на одну ногу.

3.В школе учится 1200 учеников. Найдется ли день, в который отмечают свои дни рождения не меньше, чем 4 ученика данной школы?

Решение:  1200:366 =3(ост. 102),к = 3, N=366-количество дней в високосном году, M>N, то по обощенному принципу Дирихле найдутся хотя бы 4>к ученика, у которых дни рождения в один день.

4.В классе 26 учеников, из них более половины мальчики. Докажите, что какие-то 2 мальчика сидят за одним столом (в классе 13 столов).

Решение: Мальчиков более половины, т. е. более 13, М>13, то М :13=1(остатка есть), М=13*1+ ост, к=1, N=13 – количество столов , то по обощенному принципу Дирихле хотя бы 2 мальчика сидят за одним столом.

Домашнее задание.

1.На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, пришли 36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришел ни один гость.

Решение. Обозначив комнаты как предметы (М), а гостей как ящики (N), получим М>N, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы две комнаты, в которые должен был прийти один и тот же гость, т.е.пустые комнаты.

2.В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающие свой день рождения в одном месяце.

Решение: 37:12=3(ост. 1),37=12*3+1. к=3, N=12-количество месяцев в году. M>N, то по обощенному принципу Дирихле найдется болеек, т.е.более  3,значит,4 ученика с днем рождения в одном месяце.

3. В доме живут 5 кошек. У них 16 котят. Докажите, что хотя бы у одной кошки не менее четырех котят.

Решение. 16:5=3(ост.1), 16=5*3+1. к=3, N=5. M>N, то по обощенному принципу Дирихле найдется хотя бы две кошки, у которых более 3, т.е. не менее 4 котят.

4.В ящике 25 белых шаров, 25 черных, 20 синих и 10 красных. На ощупь шары неотличимы друг от друга. Шары вынимают из ящика в темноте. Какое наименьшее количество шаров нужно вынуть, чтобы среди них обязательно оказалось: 1)10 шаров одного цвета;   2) 10 белых шаров?

Решение: 1)в худшем случае это будут 9 белых шаров+9 черных шаров+9 синих+9 красных=36 шаров. В любом случае, следующий шар будет иметь цвет, который станет 10. М=37.

2)В худшем случае это будут 25 черных + 20 синих + 10 красных + 10 белых шаров =65 шаров.

Задания для решения на занятии

1.В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужновынуть из мешка, чтобы среди ни обязательно оказались два шарика одного цвета?

2.В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее 2 красных и не менее 3 синих?

3. В мешке лежат 10 черных и 10 белых шаров. Они тщательно перемешены и неразлечимы на ощупь. Какое наименьшеее количество шаров нужно вынуть из мешка, чтобы среди них наверняка оказались два шара 1) одного цвета, 2)разного цвета, 3) белого цвета.

4.При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадают?

5.В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся хотя бы две елки с одинаковым числом иголок.

6.В городе Санкт-Петербурге живет более 4млн. человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое количество волос на голове, если известно, что у любого человека на голове  не более миллиона волос.

7.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

8.На площадке 20 собак восьми разных пород. Докажите, что среди них есть не менее трех собак одной породы.

9.В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса?

Малая олимпиада.

1. В ящике лежат носки четырех цветов. Какое  наименьшеее количество носков надо вытащить, чтобы из них можно было составить хотя бы одну пару?

2.В темной кладовой лежат ботинки одного размера: 10 пар черных и 10 пар коричневых. Найдите наименьшее число ботинок, которое нужно взять из кладовой,чтобы  среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый) одного цвета. В темноте нельзя определить не только цвет ботинок, но и левой от правого.

3.В школе учится 1200 учеников. Найдется ли день, в который отмечают свои дни рождения не меньше, чем 4 ученика данной школы?

4.В классе 26 учеников, из них более половины мальчики. Докажите, что какие-то 2 мальчика сидят за одним столом (в классе 13 столов).

Эксперты ДГУ о результатах этапа Всероссийской олимпиады по математике

Нестандартные логические задачи, теорема Птолемея и вневписанная площадь треугольника – Даггосуниверситет подвел итоги регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике.

В олимпиаде участвовало 156 школьников из различных общеобразовательных учреждений республики: ученики городских и районных школ соревновались в умении решать задачи и верно применять математические формулы.

«Приятно, что в этом году в число победителей вошли школьники, обучающиеся не только в известных, хорошо зарекомендовавших себя лицеях и гимназиях, но и ученики сельских общеобразовательных школ – Дахадаевского и Сулейман-Стальского районов», – говорит Амучи Якубов, декан факультета математики и компьютерных наук ДГУ.

Эксперты  ДГУ отмечают рост числа школьников, способных выполнять олимпиадные задания. По сравнению с прошлыми годами изменились и задания: теперь школьнику не просто нужно хорошо знать школьную программу, но и суметь за 4 часа логически структурировать задание и провести поисковые пути решения.

Например, в задании про Ослика Иа-Иа про палочки и треугольники, ребята должны были определить, возможно ли составить из шести палочек два треугольника, если ослик раскрасил палочки: самые короткие в желтый, а остальные в зеленый?*

Участие в республиканском этапе уже является большим достижением для учащихся, так как они прошли два этапа отбора, считает Якубов.

«В последние годы несколько увеличилось количество школьников, которым удаётся набрать неплохие баллы на олимпиаде. Это заслуга, в первую очередь, учителей-энтузиастов и работающих в Дагестане образовательных центров, таких как «Надежда», «Сириус», которые проводят регулярные летние/зимние школы, в том числе и с выездом из республики – в Москву, в Сочи и другие города России», – отмечает декан.

Центр «Надежда» готовит будущих олимпиадников.Особенность обучения заключается в решении нестандартных олимпиадных задач, ученики изучают темы, которых нет в школьном курсе математики.

«Принцип Дирихле, вневписанная окружность треугольника, теорема Птолемея, теорема Чевы – все это не проходят на уроках математики. Использование таких формул помогает с  легкостью справляться с олимпиадными заданиями, – считает преподаватель центра Гюльмира  Юсуфова. – Каждый год мы выезжаем в летние школы от нашего центра, в них дети ведут усиленную подготовку. В период пандемии занятия кружка велись дистанционно, дети вполне успешно выходили на связь через ZOOM».

Ученики центра нацелены на вузы, дающие высокие математические знания. Некоторые из кружковцев намерены стать в будущем экономистами. «Хорошее экономическое образование, знания в этой сфере можно получить в ДГУ»,

– говорит преподаватель.

Всероссийская олимпиада по математике для 7-8 классов или олимпиада (Олимпиада Леонарда Эйлера) продемонстрировала неплохой уровень подготовки школьников. Ребята сумели выполнить все задания, проводили разумные поисковые ходы решения.

Победители:

Баширова Умукусум – г.Каспийск, МБОУ СОШ им.Омарова, 42 балла

Сашнин Николай – г. Махачкала, Лицей №39, 41 балл

Тагиров Шамиль – С-Стальский р-н, Новопоселковая СОШ, 39 балла

10 класс – 50 участников

Победители:

Азаева Алина — г.Дербент МБОУ СОШ №19, 33 балла

Курбанов Магомед — МКОУ Уркарахский многопрофильный лицей, 27 баллов

11 класс – 46 участников

Победитель:

Алюшев Рустам – г. Махачкала, РМЛИ ДОД, 41 балл,

8 класс – 18 участников (Олимпиада Леонарда Эйлера)

Юсупов Амин – г. Махачкала, 20 баллов – призер.

*Ответ. Если, например, у Иа-Иа были два равных треугольника со сторонами 1, 2, 2, то в первой кучке окажутся палочки с длинами 1, 1, 2, из которых треугольник составить нельзя.

Амина Магомаева

Принцип Дирихле

Школа-лицей  № 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема:

«Принцип Дирихле»

 

Выполнила:

Ученица 7 «А» класса

Жуйкова Екатерина  Андреевна

Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

Кунгур, 2013г.

 

 

 

 

Содержание

 

	страница
Введение	3
Формулировка  принципа Дирихле	4
Экспериментальное доказательство принципа Дирихле	5
	15
	18
Заключение	21
Список литературы	22

 

 

Введение.

 

Целью данной НОУ (??) является ознакомление с принципом  Дирихле. Проведение эксперимента, подтверждающего  данный принцип. Примеры использования  его в практических целях.

Принцип назван в честь  немецкого математика Иогана Петера Лежёна-Дирихле (1805-1859 годы жизни), считается, что принцип был впервые сформулирован им. Дирихле успешно применял его к доказательству математических утверждений.

Принцип Дирихле относится  к методам решения задач «от противного». То есть к таким методам, где доказательства осуществляются на начальном предположении противоположном предполагаемому утверждению.

В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»

В более классическом виде принцип Дирихле утверждает, что если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента.

По традиции принцип Дирихле  объясняют на примере «зайцев и клеток». Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней — «клетки», а что — «зайцы». Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.

Теперь дадим основные формулировки принципа Дирихле и  его доказательство.

 

Формулировка  принципа Дирихле.

 

Самая популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:

«Если в n клетках сидит n+1 или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца».

Доказательство  принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку  похожие рассуждения «от противного»  часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке сидит по одному зайцу. Тогда всего зайцев сидящих в клетках n, а фактически по условиям задачи их n+1. Противоречие!

Заметим, что в роли зайцев могут выступать различные  предметы и математические объекты — числа, отрезки, места в таблице и т. д.

Принцип Дирихле можно сформулировать на языке множеств и отображений:

«При любом отображении множества P, содержащего n+1 элементов, в множество Q, содержащее n элементов, найдутся два элемента множества P, имеющие один и тот же образ».

Заметим, что принцип весьма прост и является едва ли не самым популярным по упоминанию в среде школьников. Некоторые математики шутят, что следовало бы ввести какой-нибудь принцип ещё более очевидный, чтобы превзойти принцип Дирихле по популярности, сажем: «Никакое чётное число не равно никакому нечётному».

Природа «зайцев» и «клеток» могут сильно отличаться. Что будет продемонстрировано на примерах в дальнейшем.

А теперь проведём небольшую  исследовательскую работу, в ходе которой экспериментально докажем истинность принципа.

 

Экспериментальное доказательство принципа Дирихле.

 

 

 

«В идеальном мире любой кассир понимает принцип Дирихле»

03.2020″>20.03.2020 Событие Интервью

В ходе интервью с Суховым Кириллом Андреевичем, главным тренером Сборной России на Международной олимпиаде школьников по математике, нам удалось выяснить не только тонкости организационных моментов, но и личное отношение к математике.

— Чем отличается Кавказская математическая олимпиада от других подобных мероприятий?

— Вы знаете, я приезжаю на эту олимпиаду уже второй раз и… здесь особая атмосфера. И IMO, и Romanian Masters – это олимпиады – соревнования. Участники приезжают, решают задачи, и уезжают обратно. Нет, здесь соревновательный элемент тоже есть. Но главное, что дети испытывают радость, они счастливы, и воспринимают всё происходящее вокруг как праздник.

— Вы – наставник национальной сборной. Расскажите подробнее о вашей системе подготовки.

— Наша система подготовки достаточно сильно изменилась. Одна из ее основных характеристик – длительность. Мы занимаемся с ребятами с июня по июль, а в некоторых случаях и дольше. Плюс, каждый школьник, серьезно занимающийся математикой, не должен страдать от отсутствия контроля, новых идей и общения с ребятами его уровня. Для моих подопечных это означает сборы шесть раз в год, дополнительные задания, и да, постоянный контроль. Для того, чтобы попасть в национальную сборную, недостаточно просто выиграть крупное соревнование – нужно подтверждать заявленный уровень в течение всего года.

— Резкое повышение количества побед нашей команды в последние годы связано именно с этим?

— Я бы не назвал это повышение резким. Мы начинали с шестого места и двух золотых медалей. Поэтому было принято решение пересмотреть систему подготовки, увеличить количество заданий в два раза. Отбор начинается с сорока лучших математиков, с каждым сбором их количество уменьшается. До тридцати, пятнадцати, и, наконец, до шести. Каждый участник сборов понимает, что чем больше ты работаешь, тем лучше результат.

— Что может мотивировать современных подростков на победу в международной олимпиаде?

— Победа на международном турнире и должна быть мотивацией. Победителю это обеспечит славу, почёт, уважение и деньги. Ему (или ей) дадут медаль. Каждый участник должен знать, за что он сражается, и понимать, что ему это даст.

— Исходя из этого, согласны ли Вы, что математика — это модно, даже круто?

— Конечно, это круто. Математика прежде всего учит человека думать. В наше время работникам почти любой профессии приходится думать много и хорошо. Чем лучше вы умеете это делать, тем выше шанс, что вы сможете выбрать себе работу по душе. А в этом вам как раз поможет математика.

— Есть мнение, что математическое образование должно быть базовым для всех. Что Вы об этом думаете?

— В моем идеальном мире все люди – от кассира до президента – понимают «принцип Дирихле». Вы помните: «Если кролики рассажены в клетки, причем число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика». Вместо клеток может быть количество пакетов в супермаркете, или пассажиров в такси – тут важно другое. Базовое понимание математики необходимо абсолютно всем. Я имею в виду не простое заучивание формул, принципов и понятий, а попытку разобраться в них, понять, что к чему.

Принцип Дирихле — Большому кораблю

Вы думаете это я поругался? Ничего подобного.
Столько лет живу и сколько всего нового узнаю с Тимуром!!

Вчера был ничем не привлекательный вечер. Игры, конструкторы, музыка… и вот мы вспомнили, что должны появиться новые задачки по математике. Открыли, начали решать.
По совету ЖЖ-друзей делаю фотки решений Тимура.

1. У отца и матери три дочери; у каждой дочери есть один брат. Сколько всего детей в этой семье?

Первая задача решилась без особых проблем. Хотя ответ 6 вначале манил Тима своей очевидностью.

2. У МатеМаши есть головоломка из семи частей круга. На круге нарисована божья коровка. Крылья божьей коровки красные с круглыми чёрными пятнышками. Расцветка крыльев одинаковая, то есть пятнышки на разных крыльях расположены друг напротив друга. МатеМаша выложила четыре части головоломки на свои места, и собирается положить еще три. Но уже сейчас можно узнать, сколько всего пятнышек на крыльях божьей коровки. Сколько же их?

МатеМаша со своей божьей коровкой пошла веселее. Симметрия любого заинтересует!

3. В доме 20 комнат. 15 из них нравятся взрослым, 10 — нравятся детям, а 3 не нравятся ни детям, ни взрослым. Сколько комнат в доме нравятся всем: и детям, и взрослым?

Комнаты были отрисованы так. Любопытно пошла мысль:)

А вот следующая задачка побудила нас на целое расследование.

4. В чемодане лежит 5 одинаковых пар белых перчаток и 15 одинаковых пар чёрных. Какое наименьшее число перчаток нужно вынуть не глядя, чтобы среди них наверняка оказались левая и правая перчатки одного цвета?

Вначале Тим попытался решить с помощью наглядного метода как с сороконожкой и туфлями. Но запутался, конечно.

Я догадался чисто логически. Однако, чуть чуть порывшись мы поняли что за этим решением стоит простой принцип. И как оказалось давно сформулированный.

Эти задачи очень популярны на разных математических олимпиадах. Причем не только в лоб, но и с небольшими усложнениями, уходом в геометрию.

Как мы прочитали у одного репетитора.

Составители вступительных экзаменов в сильные математические школы очень любят включать в свои варианты олимпиадные задачи на принцип Дирихле. Однако их содержание не отличаются особым разнообразием, ибо сюжет задач должен точь в точь повторить условие принципа. Репетитор по математике обычно тратит на задачи данной тематики более одного олимпиадного урока из за достаточно сложной логики доказательств.

При́нцип Дирихле́ — утверждение, названное в честь автора немецкого математика, который жил в 19 веке. Данное утверждение устанавливает связь между объектами при выполнении определённых условий. Данный метод автор успешно применял его к доказательству арифметических утверждений. Принцип Дирихле применяется в разных разделах математики: в арифметике, в комбинаторике, в геометрии.

По традиции принцип Дирихле объясняют на примере «кроликов и клеток». Самая популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:

«Если в n клетках сидит n+1 или больше кроликов, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два кролика».

Более общая формулировка принципа: «Если k кроликов сидят в n клетках (k>n), то найдётся клетка, в которой не менее k/n кроликов»

Заметим, что в роли кроликов могут выступать различные предметы и математические объекты — числа, отрезки, места в таблице и т. д. Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней — «клетки», а что — «кролики». Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.

А дальше для понимания мы просто поиграли с Тимуром в вопрос-ответ, чтобы он уловил идею и принцип.

Задача: Шесть школьников съели семь конфет. Докажите, что один из них съел не менее двух конфет.
Он конечно, шустро уловил, что школьников меньше, чем конфет. А значит «лишняя» конфетка кому-то досталась.

Задача: Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели

Тут уже сложнее, потому что надо сообразить, что игроков на поле 11, в дней недели 7. Но справились.

А вот уж и наши перчатки-шарики пошли

Задача В мешке лежат шарики 2-х разных цветов (много белых и много черных). Какое наименьшее количество шариков надо на ощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета.

После этой задачки и теории подойти к решению нашей задачи про перчатки оказалось довольно просто.

И это мы лишь немного затронули тему комбинаторики и принципа Дирихле. Порылись – нашли кучу интересных задач. Будем думать, кто в каждой из них кролик, а кто клетка. Очень жаль что в кружке нет теоретической части. Ведь очевидно, что решение этой задачки без теории невозможно с полным пониманием.

5. Нитку сложили вдвое, ещё раз вдвое и ещё раз вдвое. Получившуюся толстую нитку разрезали на две части и разобрали на тонкие нитки. Оказалось, что три из этих ниточек имеют длины 4 см, 8 см и 10 см. Какова длина исходной нитки?

Последняя задачка про нитки решилась визуальным способом – путем реального сложения – разрезания нити. Ответ оказался неожиданным для меня.

Получили огромное удовольствие от задач этой недели. И вот такой интересный принцип узнали!!!!
Век живи — век учись!

Принцип Дирихле

Давайте представим, что у нас есть 4 зайца, которые не дружат друг с другом и постоянно дерутся. Мы хотим посадить их в клетки, чтобы, наконец, они успокоились и им не с кем было бы драться. Удастся ли это сделать, если у нас есть только 3 клетки?

Конечно, нет, так как в одну из клеток нужно будет посадить не меньше 2 зайцев – и драки не избежать.

Так получилось, потому что клеток меньше, чем зайцев.

Также мы не сможем посадить 7 зайцев в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 зайцев. В одну из клеток придётся посадить 3 зайца.

Такие подсчёты с зайцами и клетками связаны с математическим утверждением – принципом Дирихле.

Сформулируем этот принцип так: если зайцы рассажены в клетки, причём количество зайцев больше количества клеток, то хотя бы в одной из клеток находится больше одного зайца.

Задачи, в которых используется принцип Дирихле, называют задачами на принцип Дирихле. При решении таких задач важно понять, что является «зайцем», а что служит «клеткой».

Давайте решим несколько задач.

Задача первая. В спортивном лагере 22 человека. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы 2, имена которых начинаются с одной и той же буквы?

Решение.

А можно ли утверждать, что среди 35 учеников класса обязательно найдутся 2 ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы?

Можно, ведь в алфавите только 33 буквы. Причём есть буквы, на которые фамилия начинаться не может.

Задача вторая. В школе 400 учеников. Почему среди учащихся этой школы обязательно найдутся 2 ученика, родившиеся в один день?

Решение.

Задача третья. В школе 735 учащихся. Можно ли утверждать, что по крайней мере 3 ученика должны отмечать день своего рождения в один и тот же день?

Решение.

Задача четвёртая. Работая в школьном саду на уборке урожая фруктов, школьники собрали 22 ящика, в одних из которых – яблоки, в других – груши, в третьих – сливы. Можно ли утверждать, что имеется по крайней мере 8 ящиков, содержимое которых составляет один из указанных видов фруктов?

Решение.

Решим следующую задачу. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдётся ли в этой школе класс, в котором не менее 35 учащихся?

Решение.

И решим ещё одну задачу. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 37 лет, а самому младшему 22 года. Можно ли утверждать, что среди туристов есть одногодки?

Решение.

В результате изучения дополнительной образовательной программы

Ожидаемые знания:

· Принцип Дирихле

· Решение нестандартных уравнений,

· Решение уравнений с параметрами

· Алгоритм Евклида

· Решение геометрических задач

· Методы решение задач, использующих идею четности.

· Делимость и остатки. Алгоритм Евклида. Решение задач.

· Решение уравнения в целых числах и методы их решения.

· Логические задачи. Методы их решения.

· Игровые задачи. Методы их решения.

· Графы и применение их для решения задач.

· Неравенство треугольника. Решение алгебраических и геометрических задач, использующих неравенство треугольника.

· Неравенство Коши и его следствия. Применение неравенства Коши для доказательства неравенств и решения уравнений и неравенств.

· Дробная и целая части числа. Свойства дробной и целой части.

· Задачи с параметрами. Методы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

· Применение свойств арифметической и геометрической прогрессий для решения уравнений неравенств.

· Некоторые методы решения планиметрических задач.

· Решение задач смешанного типа.

Ожидаемые умения:

· Решать задачи с использованием принципа Дирихле

· Решение уравнений содержащих модуль

· Умение решать уравнения с параметром

· Решение примеров методом инвариант

· Умение решать уравнения в целых числах

· Умение решать логические задачи

· Умение решать задачи по комбинаторике

· Умение в решении задач использовать идею четности.

· Делимость и остатки. Алгоритм Евклида. Решение задач.

· Решение уравнения в целых числах.

· Решать логические задачи.

· Игровые задачи. Методы решения игровых задач.

· Графы и применение их для решения задач.

· Неравенство треугольника. Умение решать алгебраические и геометрические задачи, использующие неравенство треугольника.

· Применение неравенства Коши для доказательства неравенств и решения уравнений и неравенств.

· Решение задач, использующих свойства целой и дробной части.

· Задачи с параметрами. Методы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

· Применение свойств арифметической и геометрической прогрессий для решения уравнений неравенств.

· Некоторые методы решения планиметрических задач.

· Некоторые методы решения планиметрических задач.

«Принцип Дирихле» Бернхарда Римана В своем революционном эссе 1857 г., Теория абелевых функций, Бернхард Риман выявил более глубокое эпистемологическое значение сложной области посредством нового и смелого применения принципа физического действия, который он назвал «Принципом Дирихле». Этот подход в сочетании с тем, что он изложил в своей докторской диссертации 1854 года, не только возвестил революцию в научном мышлении: он вызвал столь же ожесточенную контрреакцию, как и та, которая была запущена по тем же причинам против Николая Кузы, Кеплера, Ферма, и Лейбница — контролируемой Венецией и Великобританией эмпирической школой Галилея, Ньютона, Эйлера и Лагранжа, контрреакция, которая продолжает бушевать и по сей день, с последствиями, выходящими далеко за рамки конкретных условий работы Римана 1857 года.Несмотря на то, что на эту тему были написаны тома со времен Римана до наших дней, честное изучение истории вопроса показывает, что точно так же, как Гаусс продемонстрировал обман Эйлера, Лагранжа и Д’Аламбера в своем доказательстве 1799 г. Риман был прав в фундаментальной теореме алгебры, а его критики, как и нынешние штраусовские контролеры Буша и Чейни, были злобными мошенниками. Мы не можем знать наверняка, когда Риман назвал этот метод применением «принципа Дирихле», он ожидал, что вызовет полученную реакцию, или же он просто констатировал то, что было бы очевидно для любого в расширенной сети Ученики Абрахама Кестнера.Тем не менее, нам повезло, что он использовал это имя, поскольку оно позволяет нам довольно точно реконструировать не только научные истоки мысли Римана, но и историко-политический процесс, из которого она возникла. Enter Lejeune Dirichlet Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле был ключевой фигурой в науке начала девятнадцатого века. Родился в 1805 году в семье бельгийского происхождения, жившей недалеко от Аахена, его раннее образование прошло в Бонне.В возрасте 16 лет, с копией Disquisitiones Arithmeticae Гаусса под мышкой, он отправился в Париж, чтобы проводить аудит лекций в College de France и Faculté des Sciences. Через год Дирихле стал наставником генерала Максимилиана Себастьяна Фоя, члена палаты депутатов от республиканской партии, который познакомил его с Александром фон Гумбольдтом. После смерти Фоя в 1825 году фон Гумбольдт нанял Дирихле, чтобы тот вернулся в Германию, организовал для него получение ученой степени (хотя Дирихле отказывался говорить по-латыни) и в конце концов добился для него профессуры в Берлинском университете.Там, помимо встречи и женитьбы на внучке Мозеса Мендельсона Ребекке (сестре композитора Феликса Мендельсона), Дирихле наладил плодотворное сотрудничество с Карлом Якоби и Якобом Штайнером, в том числе совершил поездку по Италии в 1843 году под покровительством Александра фон Гумбольдта. В 1847 году Риман прибыл в Берлин, чтобы учиться у Дирихле, Якоби и Штайнера, проведя предыдущие два года, обучаясь у Гаусса. В 1849 году он вернулся в Геттинген, чтобы завершить учебу, а в 1851 году под руководством Гаусса опубликовал докторскую диссертацию «Основы общей теории функций комплексной переменной величины», в которой он впервые применил свой принцип. , без упоминания Дирихле.Когда Гаусс умер в 1855 году, Дирихле был назначен его преемником, вернувшись в контакт с Риманом, который получил разрешение преподавать всего семь месяцев назад после того, как прочитал свою абилитационную лекцию «О гипотезах, лежащих в основе геометрии». В 1857 году Риман опубликовал «Теорию абелевых функций », , в которой он впервые определил как «принцип Дирихле» принцип, на котором основывались его новые теории. Дирихле умер два года спустя, и Риман, которому сейчас 33 года, был назначен на кресло Дирихле, которое он занимал до своей преждевременной смерти всего семь лет спустя. Потенциал То, что Риман называл «принципом Дирихле», возникло в результате применения Гауссом сложной области к его исследованиям в области геодезии и земного магнетизма, первые из которых были организованы в сотрудничестве с Генрихом Шумахером, начиная с 1818 года, а вторые были инициированы Александром фон Гумбольдтом в 1832 году. Оба проекта принесли огромную практическую пользу. Каждый из них подготовил подробные карты соответствующих физических эффектов, которые были жизненно важны для развития инфраструктуры, и в рамках проекта Гумбольдта впервые была организована международная совместная сеть ученых, которая оказала влияние на развитие физической экономики от Америки до Евразии. для поколений.Но Гаусс признал, что оба проекта ставят перед наукой более глубокие эпистемологические вопросы. В своей статье General Theory of Earthmagnetism в 1839 году Гаусс сказал, что полная и точная карта наблюдений сама по себе не является подходящей целью для науки, поскольку «у человека есть только краеугольный камень, а не здание, пока никто не подчинил видимости основополагающему принципу ». Ссылаясь на случай астрономии, в качестве примера, Гаусс сказал, что нанесение на карту наблюдений видимых движений небесных тел на небесной сфере было только началом: только однажды лежащий в основе принцип гравитации, можно было определить фактические орбиты планет. Гаусс признал, что первым шагом как в геодезии, так и в геомагнетизме было измерение изменений в эффектах, которые оба явления оказали на измерительные приборы. В случае геодезии это означало изменения направления отвеса или плоского уровня, поскольку эти изменения были нанесены на карту небесной сферы. Случай геомагнетизма более сложен. Здесь измерялись изменения направления стрелки компаса относительно трех направлений и времени. Общий вопрос заключался в следующем: какова характерная природа принципа гравитации или геомагнетизма, вызывающего эти очевидные эффекты? Конкретная задача заключалась в следующем: как по этим бесконечно малым, измеренным изменениям в видимых эффектах можно определить эту общую характеристику? Это второй вопрос, который приближает нас к тому, что Риман называл «принципом Дирихле».Однако задача понимания «принципа Дирихле» будет намного проще, если мы сначала посмотрим на элементарный, но совпадающий случай цепной связи. В центре внимания этой дискуссии находится сокрушительный упрек, который Лейбниц и Бернулли высказали Галилею и Ньютону по поводу цепной связи. Галилей настаивал на том, что все, что нужно или могло быть известно о контактной сети, — это описание ее видимой формы. С другой стороны, Лейбниц и Бернулли настаивали на том, что форма цепной линии была просто видимым эффектом лежащего в основе физического принципа и что правильная форма не могла быть определена, пока не был известен основной принцип.Как было развито в предыдущих педагогических упражнениях, 1 Лейбниц и Бернулли определили характерную природу этого принципа, сначала определив изменяющийся физический эффект этого принципа в бесконечно малом, а затем, путем инверсии, общую характеристику принципа. . Результатом стало открытие Лейбница, что форма висячей цепи отражает эффект наименьшего действия принципа всемирного тяготения, и что этот эффект может быть геометрически выражен как среднее арифметическое между двумя противоположными экспоненциальными функциями. 2 Чрезвычайно важно подчеркнуть, что мы говорим здесь о физической подвесной цепи, а не о формальном математическом выражении. В формальном математическом выражении экспоненциальные кривые не имеют границ. Но физическая цепочка для подвешивания — положение точек подвешивания; следовательно, конкретная форма цепи определяется положением точек подвешивания относительно веса и длины цепи. Если положения точек подвешивания изменяются, положение каждого звена в цепи также изменяется, хотя всегда в соответствии с отношениями, указанными выше.Другими словами, по мере изменения граничных условий физической цепи изменяется и конкретный путь цепи, , но общая форма этого пути, требуемая принципом наименьшего действия, всегда является цепной. Она никогда не станет параболой или какой-либо другой кривой [ Рис. 1 ]. Этот пример иллюстрирует аспект метода, который Лейбниц первоначально называл «анализ места» — или то, что Гаусс и Карно позже назвали «геометрией положения», — который имеет отношение к пониманию «принципа Дирихле» Римана.Положение отдельных звеньев в цепи является функцией отношения граничных условий (положения точек подвешивания по отношению к длине цепи) к характерной кривизне принципа гравитации, а не от парных условий. мудрые отношения между самими ссылками. Другими словами, положение любого отдельного звена определяется не расстоянием вправо или влево, а расстоянием вверх или вниз от его соседей, как настаивают картезианцы и ньютонианцы.Скорее, положение каждого звена является функцией характеристики изменения физического действия в целом. Любое изменение граничных условий изменяет положение каждого звена, в целом, в соответствии с принципом наименьшего действия контактной сети. Таким образом, действие невидимого физического принципа в видимой области выражается характеристикой изменения, требуемой принципом наименьшего действия. Это то, что определяет конкретные позиции ссылок. Другими словами, позиция является функцией изменения . Гаусс признал, что принципы, лежащие в основе геодезии и геомагнетизма, можно понять, расширив метод Лейбница. Он отверг общепринятый, но доказуемо ложный метод Ньютона, который пытался объяснить эти явления как результат парного взаимодействия материальных тел в соответствии с алгебраической формулой обратного квадрата. 3 Вместо этого Гаусс настаивал на том, что эти явления, как и в случае контактной сети, должны пониматься как единый процесс, в котором локальные вариации положения отвеса или стрелки компаса являются функцией характеристики вертикальной оси. принцип, регулирующий явление в целом.Все это Гаусс назвал «потенциалом», что является латинским эквивалентом греческого « Dynamis, » или « kraft » Лейбница (или латинского « vis viva »). Гаусс изобрел идею «потенциальной функции», чтобы выразить эффект наименьшего действия физического принципа над площадью или объемом аналогичным, но расширенным способом, который использовал Лейбниц для выражения эффекта гравитации при создании кривизны подвесной цепи. Для этого Гаусс распространил идею функции Лейбница на комплексную область. Это преобразовало функции Лейбница — которые характеризовали единственный минимальный путь — в «потенциальную функцию» Гаусса, которая характеризует целый класс минимальных путей: фактически, функцию функций. Другими словами, если цепная связь Лейбница понимается как минимальный путь, определяемый одним набором из двух функций, потенциальная функция Гаусса делает следующий шаг к функции, которая объединяет два (или более) набора функций. Позже Риман показал, что эти наборы минимальных путей неявно определяют минимальные поверхности, как, например, катеноид, образованный мыльной пленкой, подвешенной между двумя круговыми кольцами [ Рис. 2 .] Эти наборы функций не произвольны. Они связаны особым типом отношений, называемым описательными названиями «сферическими» или «гармоническими» функциями. Сферическая или гармоническая функция — это набор ортогональных функций, все кривизны которых изменяются с одинаковой скоростью. С педагогической точки зрения это проще всего проиллюстрировать на некоторых геометрических примерах. Набор концентрических окружностей и радиальных линий составляет гармоническую функцию, потому что и окружности, и радиальные линии пересекаются ортогонально, и обе имеют постоянную кривизну [ Рис. 3 ]. Более наглядным примером является набор ортогональных эллипсов и гипербол [ Рис. 4 ]. Чтобы получить интуитивное представление об их гармонических отношениях, подумайте о следующем.Каждому эллипсу соответствует конфокальная ортогональная гипербола. Начиная с точки, где обе кривые пересекаются с осью, создайте в уме связанное действие, которое перемещается одновременно по обеим кривым [ Рис. 5, ]. Обратите внимание, что по мере того, как кривизна гиперболы становится менее искривленной, уменьшается и кривизна соответствующего эллипса, причем с той же скоростью. Таким образом, гармонические функции связывают два набора различных кривых, так что скорость изменения их соответствующих кривизны всегда одинакова. (Мы могли бы точно рассчитать это соотношение, используя исчисление Лейбница, но для настоящих целей достаточно интуитивного понимания.) Кроме того, набор гармонических функций не обязательно должен состоять из знакомых кривых, таких как круги, линии, эллипсы или гиперболы. Фактически, очень сложные наборы функций могут быть гармоническими [ Рис. 6, ]. Напротив, набор окружностей и гипербол не является гармоническим, потому что кривизна окружности постоянна, а кривизна гиперболы изменяется. Следовательно, два набора этих кривых не ортогональны [ Рис. 7 .] Гаусс признал, что принцип наименьшего действия Лейбница по отношению к поверхностям и объемам, встречающимся в таких явлениях, как земная гравитация и магнетизм, может быть выражен с помощью гармонических функций.Один набор кривых гармонической функции выражает пути минимального изменения потенциала действия, а другой набор ортогональных кривых выражает пути максимального изменения потенциала действия. Например, если бы Земля была идеально сферической, ее минимум и максимум потенциального действия можно было бы выразить серией концентрических сферических оболочек и ортогональных плоскостей. Поперечное сечение такой конфигурации было бы гармонично связанными окружностями и радиальными линиями. Если бы Земля была идеально эллипсоидальной, ее потенциал был бы выражен набором трех ортогональных эллипсоидов и гиперболоидов, поперечное сечение которых было бы гармонически связанным набором эллипсов и гипербол, показанных на рисунке 4. Но, как подчеркивал Гаусс, форма Земли намного сложнее, чем сфера или эллипсоид, в отношении как гравитации, так и магнетизма, а пути минимального и максимального потенциала действия не такие простые и хорошо известные кривые. в виде кругов, линий, эллипсов или гипербол. Таким образом, необходимо найти более сложную гармоническую функцию, чтобы выразить эти принципы. Такая функция не могла быть определена a priori, , а могла быть определена только на основе измеренных изменений влияния гравитации или магнетизма Земли. Перед Гауссом стоял вопрос: как определить истинную физическую форму Земли или характеристику земного магнетизма по измеренным бесконечно малым изменениям ее потенциала, полученным с помощью его геодезических и магнитных измерений? Это приближает нас к первому приближению того, что Риман называл «принципом Дирихле». Сделать точное определение поверхности Земли или магнитного эффекта, как это сделал Гаусс, довольно сложно, но принцип, на котором основан его метод, находится в рамках данной Педагогики.Если кто-то осознает, как это сделал Гаусс, что изменения в направлении отвеса измеряют изменения в направлении потенциальной функции, тогда физическая форма Земли имеет такое же отношение к этому потенциалу, как точки подвешивания к контактной сети. . Другими словами, поверхность Земли следует понимать просто как границу потенциала, или, как выразился Гаусс, «физическая поверхность Земли в геометрическом смысле представляет собой поверхность, которая повсюду перпендикулярна силе притяжения. гравитации.” Ссылка на древнюю пифагорейскую проблему удвоения линии, квадрата или куба может пролить свет на эту идею. Линия ограничена точками, квадрат — линиями, а куб — квадратами. Размер и положение этих границ определяется длиной, площадью или объемом, который они включают. Например, именно квадрат определяет размер и положение его сторон, даже если вы видите последнюю, а не первую. Стороны квадрата являются линиями, но они производятся другой мощностью (потенциалом), чем линии, полученные от других линий.Точно так же размер и положение квадратов, которые образуют границы куба, производятся другой мощностью (потенциалом), чем квадраты, образованные диагональю другого квадрата. Таким образом, даже если силу нельзя увидеть, ее можно измерить по ее уникальному, характерному влиянию на границы ее действия. Теперь примените тот же метод мышления к физическим принципам, рассмотренным выше. Контактная линия — это кривая, границы которой являются точками. Катеноид — это поверхность, границы которой являются кривыми.Поверхность Земли — это граница гравитационного объема. Магнитный эффект Земли еще более сложен и будет рассмотрен более подробно в будущих Педагогических материалах. Это взаимосвязанное отношение между граничными условиями физического процесса и выражение принципа наименьшего действия по отношению к этому физическому процессу — это отношение, которое имеет в виду Риман, когда говорит о «принципе Дирихле». От Гаусса до Дирихле и до Римана После Гаусса в 1855 году Дирихле начал читать лекции по теории потенциала Гаусса в Геттингене, в то время как Риман готовил свою Теорию абелевых функций. Гаусс, Дирихле и Риман признали, что сложные функции, как расширение концепции цепной связи и натуральных логарифмов Лейбница, однозначно подходят для выражения путей наименьшего действия потенциальных функций. Гаусс уже продемонстрировал это в своем доказательстве фундаментальной теоремы алгебры 1799 года, где он показал, что комплексное алгебраическое выражение порождает две поверхности, кривизны которых гармонически связаны. Риман приписал Дирихле принцип, согласно которому при определенном граничном условии функция, минимизирующая действие внутри него, является сложной гармонической функцией. Разогрейте эту идею на знакомой территории контактной сети. Граничными условиями здесь являются положения точек подвеса. «Внутренностью» этой границы является сама кривая. Внутри кривой есть особая точка — самая низкая точка. Если граничные условия изменяются за счет изменения положения точек подвешивания, изменяется и положение самой нижней точки. Чтобы сформулировать принцип Дирихле в этом упрощенном контексте, контактная сеть — это путь наименьшего действия висячей цепи с этими заданными граничными условиями и сингулярностью.При изменении граничных условий форма кривой соответственно изменяется в соответствии с сохранением принципа наименьшего действия. Риман перевернул принцип Дирихле: Поскольку физический принцип наименьшего действия является первичным, положение точек подвешивания и самая низкая точка полностью определяют форму цепи! Теперь проведем то же исследование относительно катеноида, образованного мыльной пленкой между двумя круглыми кольцами.Этот катеноид представляет собой минимальную физическую поверхность или минимальную поверхность. В эту поверхность вложен ортогональный набор кривых минимального и максимального действия. (Позже Риман показал, что эти кривые связаны гармонически.) Экспериментируйте, изменяя форму этих границ с кругов на эллипсы, на неправильные гладкие формы и на многоугольники. Когда вы меняете положение или форму границ этой поверхности, форма поверхности и вложенные кривые изменяются соответствующим образом, но принцип наименьшего действия сохраняется. Теперь обобщите эту идею с помощью некоторых других педагогических примеров, проиллюстрированных на следующих рисунках, полученных из компьютерной анимации. На рис. 8 мы видим набор гармонически связанных окружностей и радиальных линий, пересекающихся в центре окружностей, которые трансформируются с сохранением их гармонического соотношения.Если положение этой точки пересечения изменяется, радиальные линии должны быть преобразованы в дуги окружности, а их конечные точки перемещаются вдоль границы, чтобы сохранить их гармоническое соотношение. В анимации этот эффект показан, когда точка пересечения перемещается сначала от центра, а затем по круговой траектории вокруг центра. Это движение заставляет все позиции внутри границы изменять в целом. Что не меняется, так это гармонические отношения, то есть отношения наименьшего действия. Это также можно рассматривать в обратном направлении: изменения положения пересечения радиальных линий на границе приводят к тому, что их точки пересечения перемещаются по дуге окружности, а их форма меняется с прямых на дуги окружности. Или бесконечно малые изменения кривизны путей определяются условиями на границе относительно положения сингулярности. Сравните это действие с изменением положения самой нижней точки контактной сети при изменении положения точек подвешивания, как показано на анимационном рисунке 1. Там изменение граничных точек привело к изменению одной кривой. Здесь изменение граничной кривой приводит к изменению набора гармонически связанных кривых на поверхности. Сравните это с проблемой, с которой столкнулся Гаусс, например, при определении местоположения магнитных полюсов Земли по бесконечно малым изменениям магнитного эффекта Земли. Гаусс понимал, что эти небольшие изменения были связаны с положением сингулярностей, т.е.е., магнитные полюса, магнитного эффекта Земли. Однако точное местоположение или даже количество этих полюсов во времена Гаусса все еще были неизвестны. На основе измерений, полученных с помощью сети фон Гумбольдта, Гаусс определил, где должны быть расположены эти полюса. Знаменитая американская экспедиция Уилкса 1837 года была запущена, отчасти, чтобы подтвердить открытия Гаусса, что она и сделала. На рис. 9 этот же эффект проиллюстрирован перемещением точки пересечения радиальных линий вдоль . путь лемнискаты.Еще раз обратите внимание, как это изменение положения сингулярности меняет условия на границе, так что все результирующие отношения остаются гармоничными. На рисунке 10 анимирован тот же процесс, но форма границы была изменена на эллипс, который соответственно изменяет форму ортогональных кривых на гиперболы, а точку пересечения — на два фокуса.Конечно, можно также сказать, что радиальные линии превращаются в гиперболы, что превращает круги в эллипсы, а точку пересечения — на два фокуса. Или, что точка пересечения превращается в два фокуса, что превращает границу в эллипс, а радиальные линии в гиперболы. Вкратце: Физический процесс наименьшего действия — это связанное действие. Изменяя любой аспект процесса, соответствующим образом изменяет все остальное в процессе, чтобы сохранить характеристику наименьшего действия процесса.Первичен физический принцип наименьшего действия. Гениальность Римана заключалась в том, что благодаря этому применению «принципа Дирихле» принцип наименьшего действия физического процесса мог быть полностью понят через взаимосвязь между граничными условиями и сингулярностями, и что эта взаимосвязь могла быть выражена однозначно геометрической концепцией комплексных функций Римана. Более того, Риман показал, что характеристика наименьшего действия физического процесса может быть изменена фундаментальным образом только путем добавления нового принципа.Это принципиальное изменение выражается в сложной функции в виде соответствующего увеличения числа сингулярностей. В своей «Теории Абелевых функций», Риман продемонстрировал это, применив «принцип Дирихле» к высшим трансцендентным функциям Абеля. На более глубокое значение этого открытия можно только намекнуть в этом выпуске, и мы рассмотрим его более подробно позже, но это можно проиллюстрировать анимацией, показанной на рис. 11 , который выражает принцип наименьшее действие по отношению к эллиптической функции.Риман продемонстрировал, что все эллиптические функции, будучи функциями, образованными взаимодействием двух связанных принципов, выражаются в сложной области как поверхности с двумя границами ( эти границы отмечены зеленым цветом ). Каждая граница меняется по-разному, но ,, соединены с другим, вызывая соответствующие изменения в минимальных путях, постоянно поддерживая общую гармоническую взаимосвязь функции.Другими словами, характерная кривизна этих путей наименьшего действия определяется, в данном случае, взаимосвязанным взаимодействием двух различных принципов. Сравнение этого с предыдущими примерами показывает, что подчеркивал Риман: единственный способ коренным образом изменить характеристики действия физического процесса — это добавить действие нового принципа. Этот более сложный вопрос будет исследован более подробно в будущих «Педагогиках». Убедительный пример из экономики может помочь проиллюстрировать этот принцип.Какова взаимосвязь между всеми физико-экономическими отношениями и граничными экономическими условиями физической инфраструктуры и культурного развития? Какая связь между этими граничными условиями и особенностями, представленными внедрением новых технологий? Какое влияние на все экономические отношения оказывает изменение, положительное или отрицательное, в этих физико-экономических граничных условиях? Через четыре года после смерти Римана Карл Вейерштрасс раскритиковал применение Риманом «принципа Дирихле» на формальных математических основаниях.Вейерштрасс утверждал, что математически неуместно говорить о наименьшем действии, если не может быть представлено формальное математическое доказательство, доказывающее, что математический минимум или максимум существует. Хотя можно создать формальный математический пример, не имеющий минимума, все физические процессы характеризуются ограниченным наименьшим действием. Например, как показал Николай Кузанский, не существует многоугольника с абсолютным максимумом или абсолютным минимумом, потому что многоугольник ограничен максимально кругом (который не является многоугольником) и минимально линией (которая также не является многоугольником).Или, в то время как математическая цепочка может быть расширена до бесконечности, физическая всегда ограничена точками подвешивания. Для Римана, как и для Гаусса и Дирихле, требование Вейерштрасса о формальном математическом доказательстве минимума было менее чем ненужным: это была софистика. Универсального физического принципа наименьшего действия было достаточно для доказательства. Критика Вейерштрасса была подхвачена формалистами, которые отчаянно пытались отбросить достижения Кестнера, Гаусса, Дирихле, Якоби, Абеля, Римана, и др., и вернет науку в рабские времена Эйлера, Лагранжа и Даламбера. Следовательно, хотя форма открытий Римана широко обсуждалась, суть его мышления в целом подавлялась, пока не обрела новую жизнь в более продвинутых открытиях Линдона Ларуша. — Брюс Директор 1. См., Например, Брюс Директор, «Долгая жизнь контактной сети: от Брунеллески до Ларуша», Fidelio, Spring 2003 (Vol. XII, No.1). 2. См. G.W. Лейбниц, «Две статьи о цепной кривой и логарифмической кривой ( Acta Eruditorum, 1691)», пер. Автор: Пьер Бодри, Fidelio, Spring 2001 (Vol. X, No. 1). 3. См. Брюс Директор, Riemann for Anti-Dummies, Part 53: «Look to the Potential», 21 декабря 2003 г. (не опубликовано). начало страницы начало страницы

кв.2 $$

, то легко увидеть для u_1 $, u_2 $ находится в наборе перронов

$$ E (\ sup (u_1, u_2)) \ geq \ max \ {E (u_1), E (u_2) \} $$

Таким образом, мы можем начать с последовательности максимизации, чтобы построить последовательность Коши путем подъема перрона и привлечения барьерной функции, чтобы сделать решение совместимым с граничным условием, а затем прийти к доказательству.

Но когда я был первокурсником в бакалавриате и не знал метода перрон-лифтинга, я попробовал то, что назвал — дискретно-непрерывный подход , чтобы попытаться решить эту проблему.{\ infty} $ оценка; т.е. $ \ forall \ delta> 0 $, $ \ exists \ epsilon> 0, \ forall 0 <\ epsilon_1, \ epsilon_2 <\ epsilon $ у нас есть $ \ forall x \ in \ Omega $, $ | f _ {\ epsilon_1} ( x) -f _ {\ epsilon_2} (x) | <\ delta $. и по теореме Альбано-Асколи построить $ f $. Затем нам нужно доказать, что $ f $ - это гармоническая функция, которую мы находим, чтобы проверить эту информацию, мы используем свойство среднего значения. Итак, нам нужно доказать, что $ f $ удовлетворяет свойству среднего значения для каждого шара в $ \ Omega $.

Вот мой первый вопрос, который сосредоточен на точном приведенном выше эскизе.{\ infty} $ оценка получена путем реномелазации, которая, кажется, может сработать, но раздражает то, что для доказательства того, что свойство среднего значения будет охватывать реальное значение, я пытаюсь использовать какой-то результат случайного блуждания, но похоже, что это не работает ..

Мой второй вопрос:

Вопрос 2: Является ли такой подход универсальным явлением? По крайней мере, можем ли мы использовать этот подход, чтобы установить существование решения для линейного эллиптического и параболического уравнения?

Третий вопрос:

Вопрос 3: Если мы рассмотрим некоторую обратную задачу, то есть сформируем MVP вместо PDE для получения решения, всегда ли это возможно? Например, если мы изменим свойство среднего значения для гармонической функции с среднего значения шара на куб, треугольник, эллипс или что-то еще, что произойдет? Всегда ли есть решение, удовлетворяющее новостному MVP по пунктам? Если нет, то есть ли контрпример? с другой стороны, если да, то откуда они?

Контрпример к принципу Дирихле для уравнения Лапласа

Пусть Ω — открытое множество в некотором евклидовом пространстве и v — вещественнозначная функция на Ω.

Принцип Дирихле

Интеграл Дирихле для v , также называемый энергией Дирихле для v , равен

Среди функций с заданными значениями на границе Ω принцип Дирихле гласит, что минимизация интеграла Дирихле эквивалентна решению уравнения Лапласа.

Немного подробнее, пусть g — непрерывная функция на границе ∂Ω области Ω. Функция u имеет минимальную энергию Дирихле при условии, что u = g на ∂Ω, тогда и только тогда, когда u решает уравнение Лапласа

с тем же граничным условием.

Принцип Дирихле требует некоторых гипотез, не изложенных здесь, как показывает приведенный ниже пример Адамара.

Пример Адамара

Пусть g (θ) — функция [1]

Функция g является непрерывной, поэтому существует единственное решение уравнения Лапласа на единичном круге с граничными значениями, заданными как g , но энергия Дирихле решения расходится.

Решение в полярных координатах:

Оператор Лапласа в полярных координатах —

, и вы можете дифференцировать и почленно, чтобы показать, что оно удовлетворяет уравнению Лапласа.

Интеграл Дирихле в полярных координатах равен

.

Построчное интегрирование, n -й член в ряду для энергии Дирихле в примере Адамара равен

, и поэтому серия быстро расходится.

Принцип Дирихле требует, чтобы существовала по крайней мере одна функция, удовлетворяющая указанным граничным условиям и имеющая конечную энергию Дирихле. В приведенном выше примере решение уравнения Лапласа с граничным условием g имеет бесконечную энергию Дирихле.Оказывается, то же самое верно для любой функции, удовлетворяющей одному и тому же граничному условию, независимо от того, удовлетворяет ли она уравнению Лапласа или нет.

Похожие сообщения

[1] Что мотивирует эту функцию? Функция задается лакунарным рядом , — рядом Фурье с увеличивающимися промежутками между частотными составляющими. Соответствующий ряд для и не может быть расширен до аналитической функции вне замкнутого единичного круга. Если бы его можно было так расширить, принцип Дирихле применился бы, и пример не работал бы.

Принцип голубятни | Блестящая вики по математике и науке

Во многих ситуациях «наивная» форма принципа ячейки может быть применена напрямую. В большинстве задач «объекты» и «коробки» довольно очевидны.

В коробке три пары носков красного, синего и зеленого цветов соответственно. Если носки выбрать не глядя, сколько носков нужно вытянуть, чтобы гарантировать хотя бы одну подходящую пару?

---

Любой набор из трех или менее носков может состоять только из отдельных носков.При выборе трех носков вероятность того, что у вас будет один красный, один синий и один зеленый, будет меньше. Однако, если выбраны четыре носка , принцип «голубятни» гарантирует, что два носка должны быть одинаковыми. Каждый из цветов носков представляет собой «коробку», причем каждый нарисованный носок представляет собой «объект», который нужно отсортировать в коробке. С тремя коробками необходимо нарисовать более трех предметов, чтобы получилось два совпадающих предмета. □ _ \ квадрат □

Обратите внимание, что, строго говоря, всегда нужно проверять, не помещается ли n n n (или меньше) объектов в n n n ящиков.Принцип «ящика» гарантирует, что столкновение произойдет, если на больше, чем на , чем n n n объектов, помещенных в n n n ящиков; однако он не указывает, может ли на nnn или на объектов меньше поместиться в поля nnn, что, конечно, может быть неверным в зависимости от ограничений, указанных в задаче (представьте, что некоторые голуби не любят друг друга или, возможно, что некоторые из почтовые ящики содержат засоры).

В школе n n n учеников. Какое наименьшее n n n такое, чтобы по крайней мере двое из учеников имели совпадающие первый и последний инициалы?

---

Существует 26⋅26 = 676 26 \ cdot 26 = 676 26⋅26 = 676 различных комбинаций первых и последних инициалов.С 676 676 676 студентами, безусловно, можно назначить каждому студенту отдельный набор первых и последних инициалов. Однако, согласно принципу «голубятни», наличие n = 677 n = 677 n = 677 студентов гарантирует, что по крайней мере два студента должны иметь совпадающие инициалы. □ _ \ квадрат □

Отправьте свой ответ

У Кальвина в шкафу разбросано 13 пар обуви.Свет погас, и он не может определить, какая обувь какая. Какое минимальное количество обуви он должен выбрать, чтобы гарантировать, что среди них найдется подходящая пара?

Детали и предположения:

• Каждый ботинок, который он снимает, является левым или правым ботинком одной из 13 пар.

Покажите, что для данного набора из n n n натуральных чисел существует непустое подмножество, сумма которого делится на n n n.

---

Обозначим целые числа n n n как a1,…, an a_1, \ ldots, a_n a1,…, an. Сформировать n n n сумм

S1 = a1S2 = a1 + a2 ⋮ Sn = a1 + ⋯ + an. \ Begin {align} S_1 & = a_1 \\ S_2 & = а_1 + а_2 \\ & \ \, \ vdots \\ S_n & = a_1 + \ cdots + a_n. \ end {align} S1 S2 Sn = a1 = a1 + a2 ⋮ = a1 + ⋯ + an.

Если одна из этих сумм делится на n n n, то все готово. В противном случае, в соответствии с принципом ячейки, по крайней мере, две суммы должны иметь одинаковый остаток при делении на n n n (((поскольку возможны только n − 1 n — 1 n − 1 различных остатков).).). Выберите две такие суммы Si S_i Si и Sj S_j Sj, где j> i j> i j> i. Тогда следует, что

Sj − Si = ai + 1 + ⋯ + aj S_j — S_i = a_ {i + 1} + \ cdots + a_j Sj −Si = ai + 1 + ⋯ + aj

должно делиться на n n n. □ _ \ квадрат □

Примечание: Если aaa и bbb имеют одинаковый остаток при делении на n, n, n, тогда a-ba-ba-b делится на n.n.n.

Группа профессоров статистики проводит встречу за обедом. Новые гости не входят на ужин после того, как он начался, и никто не уходит до его окончания.Покажите, что по крайней мере два профессора пожали руки одному и тому же количеству разных людей. ( Подсказка: Профессор не может пожать руку.)

---

Если есть n n n профессоров, то каждый человек мог бы пожать руку не более чем n − 1 n — 1 n − 1 другим людям. Более того, если существует индивид, который пожимал руку n − 1 n — 1 n − 1 другим людям, то не существует индивида, который пожимал руку ни одному другому человеку, и наоборот. Другими словами, каждого из n n n профессоров можно рассматривать как объект, который нужно отсортировать в одну из n − 1 n — 1 n − 1 ящиков по количеству рукопожатий отдельных людей.По принципу «голубятни» существует по крайней мере одно целое число от 1 1 1 до n − 1 n — 1 n − 1 или от 0 0 0 до n − 2 n — 2 n − 2, которое равно количеству рук разных людей, пожимающих руки. не менее двух профессоров. □ _ \ квадрат □

Отправьте свой ответ

Предположим, вы случайным образом выбрали k k k из первых 2016 натуральных чисел.Какое наименьшее k k k гарантирует, что сумма хотя бы одной пары выбранных целых чисел будет равна 2017?

Отправьте свой ответ

Мисси и Мусси — очень грязные сестры.Их ящик комода состоит из 43 белых носков, 2 черных носков, 23 синих носков и 8 красных носков. Какое минимальное количество носков они должны вынуть из ящика, чтобы убедиться, что они вынули четыре носка одного цвета?

Принцип голубятни — Виш Равиндран

Хотя это кажется настолько очевидным, что кажется тривиальным, Принцип голубятни дает некоторые противоречивые результаты. Он пытается ответить на такие вопросы, как «сколько носков нужно вынуть из ящика красных, желтых и синих носков, чтобы у вас была пара?», «Сколько подмножеств людей требуется, если каждый член надмножества ненавидит Еще 3 человека? » и что любой алгоритм сжатия без потерь сделает некоторые входные данные меньше, но также и больше.В той или иной форме он появился еще в 1600-х годах. Однако Иоганн Петер Густав Дирихле формализовал теорию как schubfachprinzip («принцип полки»).

Принцип ящика Дирихле, также известный как принцип ящика Дирихле или ящик Дирихле, представляет собой фундаментальную теорию счета и комбинаторики, которая дает неинтуитивные результаты.

Принцип голубятни подразумевается во многих решениях и приводит к комбинаторике, а в сочетании с вероятностью часто применим в реальном мире.Как упоминалось выше, это важно для цифрового сжатия и обмена данными, а также для кибербезопасности, основанной на комбинаторике.

Требования:

Существуют две основные формы решения проблем с использованием принципа «ящика»:

• Вам дается ряд элементов и количество случаев, в которые они должны входить; Принцип голубя определяет, сколько, как минимум, предметов будет в случае с большинством предметов.

• Вам дается количество дел и минимальное количество предметов, которые могут поместиться в любой из этих дел; Принцип голубя определит количество элементов, необходимых для гарантии этого результата.

Не требуется, чтобы элементы распределялись равномерно в каждом случае, и поэтому количество элементов, идентифицированных в «наихудшем случае», всегда минимально.

Механика:

Представьте себе стаю голубей, которую запихивают в несколько ящиков. Пока количество голубей превышает количество ящиков, по крайней мере, один ящик будет содержать двух голубей. Обратите внимание, что даже в самом равном случае, когда по одному голубю идет в каждый ящик, у вас все равно останутся голуби в конце, которые должны будут поместиться в один из уже заполненных ящиков, выполняя Принцип.Если голуби были распределены вероятностно, конечно, вероятно, что в некоторых ящиках будет больше двух голубей.

В общем виде, если n объектов поместить в m контейнеров , то:

• Если n

• Если n> m, некоторые блоки будут содержать как минимум два объекта (известное как коллизия ).

n = (r — 1) m + 1

Или переставлено:

r = [(n — 1) / m] + 1 = ROUNDUP (n / m)

где:

• n = количество объектов или рисунков; любой Реальный номер; «голуби».

• м = количество контейнеров; любой Реальный номер; коробки».

• r = количество объектов требуется в любом произвольном контейнере; любой Реальный номер; «Наибольшее количество голубей, набитых в любой ящик». Это можно рассматривать как «наихудший сценарий».

Следствия:

• Обратите внимание, что принцип голубятни не полагается на верхнюю границу. Ориентирован на минимумы.

• Случаи должны быть исчерпывающими, что позволяет Принципу работать.Если элемент не подходит к одному контейнеру, он должен попасть в другой, добавляя к общему максимуму любого контейнера в серии.

Расширения:

Принцип может быть расширен для рассмотрения бесконечных множеств. Если бы несчетное количество голубей было помещено в счетное количество ящиков, по крайней мере в одном ящике было бы несчетное количество голубей, исходя из принципа, что одни бесконечности больше других.

Принцип может также применяться к непрерывным пространствам, где элементы являются точками, а контейнеры — разделами пространства, например.грамм. точки на линии или многоугольнике.

Пример:

• На каждые 27 слов по крайней мере два слова начинаются с одной и той же буквы.

• Если предположить, что в Сиднее 5 миллионов человек и на голове человека около миллиона волос, то по крайней мере у пяти человек будет такое же количество волос.

• Для удержания 5 карт одной масти из колоды карт требуется не более 17 розыгрышей.

Пределы:

Если числа предполагаются, а не известны, то точность результата связана с риском.В Принципе также не указывается, какой из файлов. Наконец, Принцип бесполезен во многих случаях, поскольку можно предположить, что минимальное число во всех контейнерах будет равно единице для любого ненулевого набора элементов. Точно так же, когда в игру вступает вероятностное распределение, оно часто бывает более полезным при анализе распределения предметов по контейнерам.

Источники:

Шахте Р. (2014) «Принцип голубятни — дискретная математика и комбинаторная логика», https: // www.youtube.com/watch?v=ezt53botNIE

Искусство решения проблем в Интернете, «Принципы голубятни», https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Pigeonhole_Principle

Квантовое нарушение принципа голубятни и природы квантовые корреляции

Значение

Мы показываем, что квантовая механика нарушает один из фундаментальных принципов природы: если вы поместите три частицы в два ящика, две частицы обязательно окажутся в одном ящике. Мы находим случаи, когда три квантовые частицы помещаются в два ящика, но никакие две частицы не находятся в одном ящике, что кажется невозможным и абсурдным.Это только один из множества связанных квантовых эффектов, которые мы обнаружили и которые указывают на очень интересную структуру квантовой механики, которая до сих пор оставалась незамеченной и имеет большое значение для нашего понимания природы. Это требует от нас пересмотреть некоторые из самых основных понятий квантовой физики — понятия отделимости, корреляций и взаимодействий.

Abstract

Принцип ячейки: «Если вы поместите трех голубей в две ячейки, как минимум два голубя окажутся в одной ячейке», — очевидный, но фундаментальный принцип природы, поскольку он отражает саму суть счета.Однако здесь мы показываем, что в квантовой механике это не так! Мы находим случаи, когда три квантовые частицы помещаются в два ящика, но никакие две частицы не находятся в одном ящике. Кроме того, мы показываем, что вышеупомянутый «принцип квантовой ячейки» является лишь одним из множества связанных квантовых эффектов и указывает на очень интересную структуру квантовой механики, которая до сих пор оставалась незамеченной. Наши результаты проливают новый свет на сами понятия разделимости и корреляции в квантовой механике и на природу взаимодействий.Это также представляет новую роль запутанности, дополняющую обычную. Наконец, предлагаются интерферометрические эксперименты, иллюстрирующие наши эффекты.

Принцип квантовой голубиной норы

Возможно, самый важный урок квантовой механики состоит в том, что нам необходимо критически пересмотреть наши самые основные предположения о природе. Все началось с оспаривания идеи о том, что частицы могут иметь одновременно и четко определенное положение, и четко определенный импульс, и продолжалось до аналогичных парадоксальных фактов.Но, похоже, гораздо меньше шансов оспорить принцип «ящика», о котором идет речь в нашей статье. В самом деле, хотя, с одной стороны, он относится к физическим свойствам объектов — он имеет дело, скажем, с настоящими голубями и ящиками для яиц — он также инкапсулирует абстрактные математические понятия, которые лежат в основе того, что такое числа и счет, поэтому он лежит в основе, неявно или косвенно. в явном виде практически вся математика. [В явном виде этот принцип был впервые сформулирован Дирихле в 1834 г. (1), и даже в простейшей форме его применение в математике является многочисленным и весьма нетривиальным (2).] Таким образом, это, вне всякого сомнения, кажется абстрактной и неизменной истиной. Однако, как мы показываем здесь, для квантовых частиц принцип не выполняется.

Рассмотрим три частицы и два прямоугольника, обозначенные L (слева) и R (справа). Чтобы начать наш эксперимент, мы подготавливаем каждую частицу в суперпозиции из двух ящиков, | +〉 = 12 (| L〉 + | R〉). [1] Таким образом, общее состояние трех частиц | Ψ〉 = | +〉 1 | +〉 2 | +〉 3. [2] Теперь очевидно, что в этом состоянии любые две частицы имеют ненулевую вероятность оказаться в одном ящике.Однако мы хотим показать, что есть примеры, в которых мы можем гарантировать, что никакие две частицы не находятся вместе; мы не можем сделать так, чтобы это происходило во всех случаях, но, что очень важно, такие случаи бывают. Чтобы найти такие случаи, мы подвергаем каждую частицу второму измерению: мы измеряем, находится ли каждая частица в состоянии | + i〉 = (1/2) (| L〉 + i | R〉) или | −i〉 = (1 / 2) (| L〉 −i | R〉) (это два ортогональных состояния, поэтому существует эрмитов оператор, собственными состояниями которого они являются — мы измеряем этот оператор).Нас интересуют случаи, когда все частицы находятся в | + i〉, т. Е. В конечном состоянии | Φ〉 = | + i〉 1 | + i〉 2 | + i〉 3. [3] Важно отметить, что ни начальное состояние, ни окончательно выбранное состояние не содержат никаких корреляций между положением частиц. Кроме того, как подготовка, так и последующий отбор выполняются независимо, воздействуя на каждую частицу отдельно.

Давайте теперь проверим, находятся ли две частицы в одном ящике. Поскольку состояние симметрично, мы могли бы сосредоточиться на частицах 1 и 2 без потери общности; любой результат, полученный для этой пары, применим ко всем остальным парам.

Частицы 1 и 2, находящиеся в одном ящике, означают, что состояние находится в подпространстве, образованном | L〉 1 | L〉 2 и | R〉 1 | R〉 2; нахождение в разных ячейках соответствует дополнительному подпространству, натянутому на | L〉 1 | R〉 2 и | R〉 1 | L〉 2. Проекторы, соответствующие этим подпространствам, равны 1,2same = Π1,2LL + ,21,2RR,21,2diff = Π1,2LR + Π1,2RL, [4] где 1,2LL = | L〉 1 | L〉 2 1 〈L | 2 〈L |, Π1,2RR = | R〉 1 | R〉 2 1 〈R | 2 〈R |, Π1,2LR = | L〉 1 | R〉 2 1 〈R | 2 〈L |, Π1,2RL = | R〉 1 | L〉 2 1 〈L | 2 〈R |. [5] В одном только начальном состоянии вероятность найти частицы 1 и 2 в одном и том же и в разных ящиках составляет 50%.С другой стороны, учитывая результаты окончательных измерений, мы всегда находим частицы 1 и 2 в разных ящиках. В самом деле, предположим, что в промежуточный момент мы находим частицы в одном ящике. Затем волновая функция коллапсирует (с точностью до нормализации) до | Ψ ′〉 = Π1,2same | Ψ〉 = 12 (| L〉 1 | L〉 2+ | R〉 1 | R〉 2) | +〉 3, [6] которое ортогонально поствыбранному состоянию (3), т.е. 〈Φ | Π1,2same | Ψ〉 = 0. [7] Следовательно, в этом случае окончательные измерения не могут найти частицы в состоянии | Φ〉. Следовательно, единственные случаи, в которых окончательное измерение может найти частицы в состоянии | Φ〉, — это те, в которых промежуточное измерение обнаружило, что частицы 1 и 2 находятся в разных ящиках.

Важно отметить, что, как отмечалось ранее, состояние симметрично относительно перестановки, следовательно, то, что верно для частиц 1 и 2, верно для всех пар. Другими словами, учитывая вышеупомянутый предварительный и последующий выбор, у нас есть три частицы в двух ящиках, но никакие две частицы не могут быть найдены в одном ящике — наш квантовый принцип ящика.

Связанный эффект для каждого конечного результата

В предыдущем разделе мы сосредоточились на том, что происходит, когда при окончательном измерении все частицы находятся в состоянии | + i〉.Именно в этом случае промежуточные измерения демонстрируют квантовый эффект ящика. Однако это только один из восьми возможных результатов окончательного измерения; действительно, каждую частицу можно найти либо в | + i〉, либо в | −i〉. Важно отметить, что в каждом из этих случаев возникает интересный эффект: в случае, когда конечным состоянием является | −i〉 1 | −i〉 2 | −i〉 3, промежуточные измерения снова демонстрируют квантовый эффект ящичков, т.е. в одном ящике нельзя найти две частицы.Для конечного состояния | −i〉 1 | + i〉 2 | + i〉 3 промежуточные измерения показывают, что частица 2 находится в том же ящике, что и 1, частица 3 находится в том же ящике, что и 1, но частицы 2 и 3 не являются в той же коробке (см. вспомогательную информацию ). Подобные закономерности встречаются и во всех остальных случаях.

Обобщение квантового принципа «голубятни»

Вышеупомянутый эффект — лишь один из множества подобных эффектов. Например, в случае N частиц в M ).

Природа квантовых корреляций

Прежде чем анализировать наш парадокс более подробно, мы хотели бы подробнее прокомментировать природу квантовых корреляций.

Первое, на что следует обратить внимание, это то, что ни предварительно выбранное состояние, ни пост-выбранное состояние не коррелированы (они оба являются прямыми продуктами, и каждая частица подготавливается и пост-выборка индивидуально), однако частицы коррелированы.

Второе, на что следует обратить внимание, это то, что если мы измеряем положение каждой частицы по отдельности, они окажутся совершенно некоррелированными.В самом деле, предположим, что мы измеряем отдельно расположение частиц 1 и 2. Есть четыре возможных результата этого измерения: LL, LR, RL, RR, и, как легко показать, все они происходят с равной вероятностью. Только когда мы спрашиваем исключительно о корреляции и никакой другой информации (т.е. находятся ли две частицы в одном ящике или нет, не спрашивая, в каком ящике они находятся), мы находим их коррелированными.

Вышеупомянутое показывает фундаментальное различие в способе работы вероятностей в стандартном эксперименте «только предварительно выбранный» и в эксперименте «предварительно и после выбора» (т. Е.е., когда мы рассматриваем только те случаи, когда окончательное измерение дало конкретный ответ).

Действительно, сначала рассмотрим стандартную ситуацию, то есть считаем, что частицы подготовлены в состоянии | Ψ〉, и мы не выполняем окончательное измерение и выборку в соответствии с его результатом. Предположим сначала, что мы отдельно измеряем местоположение каждой частицы. Вероятности найти LL и RR задаются, соответственно, как P (LL) = 〈Ψ | Π1,2LL | Ψ〉 P (RR) = 〈Ψ | Π1,2RR | Ψ〉. [10] Следовательно, вероятность найти частицы в одном ящике с использованием этого измерения: P (LL или RR) = P (LL) + P (RR) = 〈Ψ | Π1,2LL | Ψ〉 + 〈Ψ | Π1,2RR | Ψ〉 = 〈Ψ | Π1,2LL + Π1,2RR | Ψ〉.[11] Однако предположим, что мы измеряем оператор, который только сообщает нам, находятся ли частицы в одном и том же блоке, без указания, в каком они блоке. Этот оператор имеет только два собственных значения, соответствующих «одинаковым» и «разным», а также соответствующим проекторам Π1,2same и Π1,2diff. Вероятность найти две частицы в одном ящике с помощью этого измерения равна P (same) = 〈Ψ | Π1,2same | Ψ〉 = 〈Ψ | Π1,2LL + Π1,2LL | Ψ〉, [12] что идентично к вероятности нахождения частиц в одном ящике, когда мы измеряем их положение по отдельности.Следовательно, для стандартной ситуации с предварительно выбранным только предварительным выбором грубое измерение, которое запрашивает только корреляции, но никакой другой информации, дает те же вероятности, что и более подробное измерение.

С другой стороны, предположим, что мы сравниваем два вышеупомянутых метода измерения, но в случае предварительно и пост-выбранных ансамблей. В полной общности, когда кто-то измеряет произвольный оператор A на предварительно и пост-выбранном ансамбле, вероятность получить собственное значение ai определяется выражением P (ai) = | 〈Φ | Πi | Ψ〉 | 2∑j | 〈Φ | Πj | Ψ〉 | 2, [13] где Πi — соответствующие проекторы (4).

Используя этот результат, в случае отдельных измерений на каждой частице находим P (LL) = 1N | 〈Φ | Π1,2LL | Ψ〉 | 2, P (RR) = 1N | 〈Φ | Π1,2RR | Ψ 〉 | 2, [14] с N = ∑kl = L, R | 〈Φ | Π1,2kl | Ψ〉 | 2. [15] Очевидно, что P (LL или RR) = P (LL) + P (RR) теперь отличается от P (same) = | 〈Φ | Π1,2same | Ψ〉 | 2 | 〈Φ | Π1,2same | Ψ〉 | 2+ | 〈Φ | Π1,2diff | Ψ〉 | 2. [16] Что выше Обсуждение показывает, что существует значительная разница между корреляциями, которые можно наблюдать, когда мы измеряем частицы по отдельности, и когда мы измеряем их совместно. Это различие можно наблюдать только при рассмотрении ансамблей до и после отбора, но оно всегда присутствует как неотъемлемая часть квантовой механики.В самом деле, кто-то может быть не знаком с идеей предварительного и последующего отбора, но на самом деле это то, с чем мы сталкиваемся регулярно: каждый раз, когда у нас есть последовательность измерений, мы можем разделить исходный ансамбль на ряд различных предварительно и пост-выбранных подансамблей согласно результату окончательного измерения, и в каждом таком подансамбле мы можем наблюдать аналогичный эффект.

Третье, на что следует обратить внимание, это то, что глобальное измерение, которое запрашивает только корреляции, но никакой другой подробной информации, в некотором смысле лучше, чем подробное измерение, поскольку оно предоставляет информацию о корреляциях, минимизируя помехи, которые оно создает для состояния. .Действительно, предположим, что две частицы находятся в произвольной суперпозиции α | L〉 1 | R〉 2 + β | R〉 1 | L〉 2. Глобальное измерение скажет нам, что частицы находятся в разных ящиках, и никак не повлияет на состояние, потому что это собственное состояние измеряемого оператора. С другой стороны, если мы измеряем каждую частицу по отдельности, мы возмущаем состояние, коллапсируя его либо на | L〉 1 | R〉 2, либо на | R〉 1 | L〉 2. В случае предварительно выбранного ансамбля, то, что происходит с состоянием после измерения, не имеет значения, но если мы заинтересованы в том, чтобы проследить это измерение с последующим измерением и посмотреть на различные предварительно выбранные и поствыбранные ансамбли, насколько промежуточные время измерения нарушено состояние существенно.Это причина того, почему поствыбор важен для того, чтобы увидеть эффект.

Наконец, и это наиболее важно, отметим, что глобальное измерение — это измерение оператора с запутанными собственными состояниями, и для его выполнения требуется либо ввести частицы во взаимодействие, либо потреблять некоторые ресурсы запутывания. Таким образом, квантовый эффект ячеек является примером нового аспекта запутанности: запутанность в измерениях необходима для выявления корреляций, существующих в прямом состоянии продукта.

Природа квантовых взаимодействий: первый эксперимент

Эффект квантовой ячейки имеет большое значение для понимания самой природы квантовых взаимодействий. Снова рассмотрим три частицы и два ящика. Пусть частицы взаимодействуют друг с другом посредством двусторонних короткодействующих взаимодействий, то есть любые две частицы взаимодействуют, когда они находятся в одном ящике, и не взаимодействуют в противном случае. Тогда, поскольку есть три частицы и только два ящика, мы ожидаем, что всегда должны взаимодействовать по крайней мере две частицы.Но из-за нашего эффекта «голубятни» это не так, как показано в следующих экспериментах.

Рассмотрим интерферометр Маха – Зендера для электронов, как показано на рис. 1. Он состоит из двух светоделителей BS ₁ и BS ₂ , фазовращателя (PS), который вводит фазовый сдвиг на π, и два детектора, D1 и D2. Детекторы имеют пространственное разрешение, поэтому они могут точно сказать, где приземлилась каждая частица. Когда электрон инжектируется с левой стороны, первый светоделитель генерирует состояние | +〉 = (1/2) (| L〉 + | R〉).Фактически, PS, конечный светоделитель и детекторы реализуют измерение с собственными состояниями | ± i〉 = (1/2) (| L〉 ± i | R〉). В самом деле, если состояние перед PS равно | + i〉, электрон с уверенностью заканчивается в D1, тогда как если это | −i〉, он заканчивается с определенностью в D2.

Рис. 1.

Интерферометр Маха – Зендера для электронов. BS1 и BS2 — это светоделители, PS — π PS, а D1 и D2 — детекторы с пространственным разрешением. Одновременно инжектируются три электрона по параллельным траекториям. Поперечный разрез показывает пространственное расположение балок.Изображение на детекторе получается путем совмещения результатов многих прогонов, но с сохранением только тех прогонов, в которых все три электрона достигли точки D1.

Теперь предположим, что мы одновременно инжектируем три электрона в интерферометр с левой стороны, так что они движутся параллельными лучами. Лучи расположены в форме равностороннего треугольника, как видно из увеличенного сечения луча на рис. 1.

Когда два электрона проходят через одно и то же плечо интерферометра, они отталкиваются друг от друга и их траектории отклоняются.Действительно, сила, которую один электрон оказывает на другой, вызывает изменение импульса, а это, в свою очередь, приводит к отклонению лучей на величину, зависящую от исходного расстояния между лучами, длины интерферометра и скорости движения. электроны. Когда электроны проходят через разные плечи, они фактически не взаимодействуют (потому что плечи разделены большим расстоянием). Поскольку у нас есть три электрона и только два плеча, мы ожидаем, что всегда будут взаимодействия, независимо от того, в каких детекторах электроны окажутся после прохождения интерферометра.

Нас интересует, что происходит в случаях, когда все три электрона попадают в D1 и когда взаимодействие между электронами не слишком сильное. Завершение на D1 — это наш желаемый поствыбор. Требование, чтобы взаимодействие не было слишком сильным (которое может быть выполнено, например, за счет большего расстояния между параллельными пучками или уменьшения длины плеч), является более тонким. Дело в следующем. Мы знаем, что при рассмотрении трех невзаимодействующих частиц в двух коробках при соответствующем предварительном и последующем выборе никакие две частицы не находятся в одной коробке.Мы подтвердили это, показав, что какую бы пару частиц мы ни измеряли, мы всегда находим их в разных коробках. Но если бы мы попытались измерить две или все пары в одном эксперименте, измерения мешали бы друг другу, и мы не увидели бы эффекта. В самом деле, предположим, что мы сначала измеряем, находятся ли частицы 1 и 2 в одном ящике, затем частицы 1 и 3, а затем делаем поствыбор. Теперь фактически можно найти 1 и 2, или 1 и 3, или и 1 и 2, и 1 и 3 в одном и том же поле.Действительно, например, начиная с начального состояния, уравнение. 2 , мы можем найти частицы 1 и 2 в одном ящике. В этом случае состояние коллапсирует до | Ψ ′〉 = Π1,2same | Ψ〉. Это состояние ортогонально поствыбранному состоянию, уравнение. 3 , поэтому, если бы мы сделали поствыбор сейчас, он даже не был бы выбран; это было нашим главным доказательством квантового эффекта ящика. Однако предположим, что вместо того, чтобы делать поствыбор на этом этапе, мы теперь измеряем пару 1, 3. Мы также можем найти 1 и 3 в том же поле.Состояние теперь коллапсирует до | Ψ ″〉 = Π1,3sameΠ1,2same | Ψ〉. Но теперь, что очень важно, | Ψ ″〉 не ортогонален поствыбранному состоянию, уравнение. 3 , следовательно, эти события не исключаются из ансамбля, выбранного после завершения. Чтобы увидеть эффект, нам нужно ограничить взаимное нарушение измерений.

В нашем случае интерферометра взаимодействие между электронами приводит к отклонению лучей, когда два электрона находятся в одном плече. Таким образом, отклонение лучей эффективно похоже на измерение того, находятся ли два электрона в одном плече.Чтобы ограничить возмущение, вызванное одновременным существованием взаимодействия между всеми тремя парами, нам просто нужно уменьшить силу эффекта взаимодействия. Технически мы хотим убедиться, что изменение импульса электрона из-за силы, создаваемой другими электронами, меньше разброса его импульса. Из-за этого отклонение луча — если оно происходит — меньше, чем его пространственный разброс, поэтому, видя, где один электрон приземлился на D1, мы не можем сказать, отклонилась его траектория или нет.Однако, собрав результаты нескольких запусков, мы можем легко определить, были ли электроны отклонены или нет (рис. 2).

Рис. 2.

( A ) Наблюдаемое распределение не показывает смещения балок, тогда как наивно мы ожидали бы, что балка будет перемещаться и деформироваться из-за комбинации различных случаев, изображенных в B , которые зависят от того, какой частицы находятся в одной руке и отталкиваются друг от друга.

Наивно, можно было бы ожидать, что три луча отклонятся наружу и деформируются; каждый электрон должен двигаться радиально наружу, когда все три находятся в одном плече, и в сторону, когда присутствуют только два электрона.Мы ожидаем, что отклонение будет меньше поперечного сечения, но тем не менее на заметную величину. Вместо этого (см. Вспомогательную информацию ) мы обнаруживаем, что лучи полностью не отклонены и не возмущены (вплоть до возмущений второго порядка), что указывает на то, что действительно не было никакого взаимодействия между электронами.

Второй эксперимент

Во втором эксперименте используется интерферометр, аналогичный описанному в первом эксперименте, но вместо электронов мы теперь вводим атомы.Пусть все атомы начнут в возбужденном состоянии и устроят обстановку таким образом, чтобы у атомов была очень значительная вероятность самопроизвольного испускания фотонов при прохождении через интерферометр. Мы окружаем интерферометр детекторами фотонов, которые могут регистрировать испускаемые фотоны. Важно отметить, что мы выбрали такое энергетическое разделение между основным и возбужденным состояниями, чтобы длина волны испускаемых фотонов была намного больше, чем расстояние между плечами, так что, обнаружив фотон, мы не можем сказать, прошел ли атом, излучающий его, через левую сторону. или правая рука.Опять же, мы вводим все три атома слева и интересуемся только случаями, когда все три попадают в детектор D1.

Когда два атома находятся близко друг к другу (находясь в одном плече), они взаимодействуют друг с другом (например, посредством диполь-дипольных взаимодействий), и уровни энергии смещаются. Наблюдая длину волны испускаемых фотонов, мы можем сказать, были ли атомы в одном плече или нет. Следуя тем же рассуждениям, которые использовались в предыдущем эксперименте, мы также делаем так, чтобы сдвиг частоты был меньше, чем разброс спектральной линии, так что три парных взаимодействия не должны мешать друг другу.Опять же, из-за этого наблюдение одного одиночного фотона не может сказать нам, была ли частота сдвинута или нет, но, накапливая статистику, мы можем обнаружить сдвиг.

Поскольку есть три атома, но только два плеча, как и в предыдущем эксперименте, мы ожидаем, что в каждом прогоне эксперимента по крайней мере два атома будут в одном плече, поэтому фотоны, которые они излучают, будут сдвинуты по частоте, неважно. В какой детектор попадают атомы. Однако, согласно нашему квантовому эффекту ящика, когда мы смотрим на случаи, когда все три атома заканчиваются на D1, мы видим, что спектральные линии не смещены.

Выводы

В заключение мы представили новый квантовый эффект, который требует от нас пересмотреть некоторые из самых основных понятий квантовой физики — понятия отделимости, корреляций и взаимодействий. Еще очень рано говорить о последствиях этого пересмотра, но мы чувствуем, что следует ожидать, что они будут серьезными, потому что мы имеем дело с такими фундаментальными концепциями.

Обобщение эффекта «голубятни»

Рассмотрим N частиц в ячейках M N частиц находятся в M

Интерферометрический эксперимент

Для описания нашего интерферометрического эксперимента полезно разделить степени свободы на степень свободы «какое плечо» и относительные положения rij электронов, когда они находятся в одном плече.Используя это разложение, начальная волновая функция внутри интерферометра равна | Ψ〉 | φ〉, где | Ψ〉 = | +〉 1 | +〉 2 | +〉 3 — начальное состояние, а | φ〉 описывает относительные степени свободы. Гамильтониан взаимодействия между электронами можно аппроксимировать следующим образом: Hint = ∑i, j = 13Πi, jsameV (ri, j), [S7], где V — потенциал взаимодействия. Проектор Πi, jsame описывает тот факт, что электроны взаимодействуют только тогда, когда они находятся в одном плече. Кроме того, степень свободы какой-либо руки является константой движения (т.е., электроны не переходят из одного плеча в другое). Временная эволюция состояния в картине взаимодействия определяется выражением e − iHintT | Ψ〉 | φ〉, [S8], где T — полное время взаимодействия (время, необходимое электронам, чтобы пройти через интерферометр). и где для простоты положим ℏ = 1. Нас интересуют относительные степени свободы (подробное положение лучей) с учетом поствыбора, т. Е. В 〈Φ | e − iHintT | Ψ〉 | φ〉, [S9], где | Φ〉 = | + i〉 1 | + i〉 2 | + i〉 3 — состояние после выбора.Учитывая, что мы считаем взаимодействие относительно слабым, мы могли бы аппроксимировать его возмущением первого порядка 〈Φ | (1 − iHintT) | Ψ〉 | φ〉 = 〈Φ | Ψ〉 | φ〉 −iT 〈Φ | Hint | Ψ〉 | φ〉. [S10] Но, 〈Φ | Hint | Ψ〉 = 〈Φ | ∑i, j = 13Πi, jsameV (ri, j) | Ψ〉 = ∑i, j = 13 〈Φ | Πi , jsame | Ψ〉 V (ri, j) = 0, [S11] где последнее равенство следует из того, что 〈Φ | Πi, jsame | Ψ〉 = 0, что лежит в основе эффекта «голубятни». Следовательно, в первом порядке приближения, при успешном последующем отборе, взаимодействие между электронами фактически отсутствует.

Благодарности

Ю.А. выражает признательность за поддержку (частично) Израильского научного фонда, грант 1311/14, израильских центров передового опыта в области научных исследований «Круг света» Deutsch-Israelische Projektkooperation, Германо-израильского проекта сотрудничества и Европейского исследовательского совета (ERC) Advanced Предоставление нелокальности в пространстве и времени (NSLT). Y.A., D.C.S., J.T. выражаем признательность за поддержку (частичную) со стороны Фонда Фетцера Франклина Мемориального фонда Джона Э. Фетцера. S.P. выражает признательность ERC Advanced Grant NSLT.

Сноски

• Вклад авторов: Y.A., F.C., S.P., I.S., D.C.S. и J.T. проведенное исследование; и С.П. и Дж.Т. написал газету.

• Рецензенты: C.H.B., IBM Thomas J. Watson Research Center; и L.H., Институт периметра.

• Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

• Эта статья содержит вспомогательную информацию на сайте www.pnas.org/lookup/suppl/doi:10.1073/pnas.1522411112/-/DCSupplemental.

Доступно бесплатно в Интернете через опцию открытого доступа PNAS.

Проблемы определенности и принцип голубятни

21 апреля Проблемы определенности и принцип голубятни

Принцип «ящика» — одна из тех простых, но красивых, широко используемых теорем с множеством приложений. Любой ученик старшей школы может понять, что хочет сказать теорема, но ее красота сбивает с толку и вызывает волнение даже у самого опытного математика.Кто-то сказал, что математика раскрывает закономерности природы, и принцип ячеек является проявлением этого факта.

Иногда его также называют принципом Дирихле (предполагается, что Лежен Дирихле первым сформулировал этот принцип), или принципом ящика, или принципом ящика Дирихле.

Заявление

: —

1. Простая форма:
   Для блоков $$ n $$ и объектов $$ m> n $$ по крайней мере одно поле должно содержать более одного объекта.
2. Обобщенная форма:
   Если объекты $$ n $$ помещены в блоки $$ k $$, то существует по крайней мере один блок, содержащий по крайней мере объекты $$ \ lceil \ frac {n} {k} \ rceil $$, где — функция потолка (функция потолка возвращает наибольшее целое число, большее или равное параметру).

(Заявления со страницы mathworld.wolfram)

Иллюстрация на примерах: —

1. По крайней мере два человека в группе из $ 13 $$ человек имеют свои дни рождения в одном месяце.Точно так же в группе из $ 367 $$ люди отмечают дни рождения в один и тот же день года.
2. Если шары $$ qs + 1 $$ нужно положить в коробки $$ q $$, то по крайней мере одна коробка должна содержать $$ s + 1 $$ или более мячей.
3. Десятичное разложение $$ \ frac {a} {b} $$, где $$ a $$ и $$ b $$ с взаимно простыми $$ a, b $$, имеет не более $$ b-1 $$ период, т.е. числа повторяются не более чем после $$ b-1 $$ разрядов.
4. Среди любой группы из шести человек на Facebook мы можем найти группу из трех человек, в которой все либо друзья, либо незнакомцы.2 $$ различных чисел содержат подпоследовательность длины $$ n $$, которая является монотонной (т.е. либо всегда увеличивается, либо всегда уменьшается)

   ИЛИ

   Пусть $$ p $$ и $$ q $$ — натуральные числа. Покажите, что внутри любой последовательности $$ pq + 1 $$ различных действительных чисел существует либо возрастающая подпоследовательность из $$ p + 1 $$ элементов, либо убывающая подпоследовательность из $$ q + 1 $$ элементов.

5. (Пол Эрдош.) Пусть A — набор из $$ n + 1 $$ целых чисел из $$ {1,2,3, \ ldots, 2n} $$. Докажите, что один элемент из $$ A $$ делит другой.
6. Пусть $$ a_1, a_2, \ ldots, a_n $$ будут натуральными числами. Докажите, что мы можем выбрать некоторые из этих чисел, чтобы получить сумму, кратную $$ n $$.
7. (китайская теорема об остатках) Пусть $$ m $$ и $$ n $$ — взаимно простые положительные целые числа. Тогда система:

   $$ x = a \ pmod {m} $$

   $$ x = b \ pmod {n} $$

   У

   есть решение.

8. Даны два диска, один меньше другого. Каждый диск разделен на $ 200 $$ конгруэнтных секторов. На большом диске $$ 100 $$ секторы выбраны произвольно и окрашены в красный цвет; остальные секторы $$ 100 $$ окрашены в синий цвет.На меньшем диске каждый сектор окрашен в красный или синий цвет без указания количества красных и синих секторов. Диск меньшего размера помещается на диск большего размера так, чтобы центры и секторы совпадали. Покажите, что можно выровнять два диска так, чтобы количество секторов меньшего диска, цвет которых совпадает с соответствующим сектором большего диска, было не менее $$ 100 $$.
9. Покажите, что для любого набора $$ A $$ из $$ 13 $$ различных действительных чисел существуют такие $$ x, y \ в A $$, что

   $$ 0 <\ dfrac {x-y} {1 + xy} <2- \ sqrt {3} $$

Обычно задачи, которые появляются на олимпиадах, в которых мы должны установить существование или определенно говорить о чем-то, используют принцип «ящика».Ниже приведены проблемы, появившиеся в отчетах RMO и INMO за предыдущие годы, касающиеся принципа «ячеек».

Проблемы RMO: —

1. В двух коробках между ними находятся шарики $$ 65 $$ разных размеров. Каждый шар белый, черный, красный или желтый. Если вы возьмете любые шары одного цвета на $$ 5 $$, по крайней мере, два из них всегда будут одного размера (радиуса). Докажите, что в одном ящике лежит не менее $$ 3 $$ шаров одного цвета и одинакового размера (радиуса).

   (1990)

2. Пусть A будет набором из 16 натуральных чисел со свойством, что произведение любых двух различных чисел A не будет превышать 1994. Покажите, что есть два числа a и b в A, которые не являются взаимно простыми.

   (1994)

3. Если A — подмножество из пятидесяти элементов множества $$ {1, 2, 3, \ ldots, 100} $$, такое, что никакие два числа из A в сумме не дают 100. Покажите, что A содержит квадрат.

   (1996)

4. Найдите минимально возможное наименьшее общее кратное двадцати натуральных чисел, сумма которых равна 801.5 | a_i-b_i | = 25 $$.

   (2002)

Квадрат делится на 9 прямоугольников линиями, параллельными его сторонам, так что все эти прямоугольники имеют целые стороны. Докажите, что всегда есть два равных прямоугольника.

(2006)

Компьютерная программа произвольно сгенерировала натуральные числа $$ 175 $$, ни одно из которых не имело простого делителя больше, чем $$ 10 $$. Докажите, что среди них есть три числа, произведение которых является кубом целого числа.

(2012)

Проблемы INMO: —

1. Предположим, что произвольно выбраны пять из девяти вершин правильного девятиугольного многоугольника.Покажите, что из этих пяти можно выбрать четыре такие, что они являются вершинами трапеции.

   (2011)

2. Все точки на плоскости раскрашены в три цвета. Докажите, что существует треугольник с вершинами одного цвета, такой, что либо он равнобедренный, либо его углы находятся в геометрической прогрессии.

   (2009)

3. Любые девять целых чисел показывают, что можно выбрать среди них четыре целых числа $$ a, b, c, d $$ такие, что $$ a + b-c-d $$ делится на $$ 20 $$.Далее покажем, что такой выбор невозможен, если мы начнем с восьми целых чисел вместо девяти.

   (2001)

4. Некоторые клетки в $$ 46 $$ случайным образом выбираются из шахматной доски $$ 9 \ times 9 $$ и окрашиваются в красный цвет. Докажите, что существует блок $$ 2 \ times 2 $$ из $$ 4 $$ квадратов, из которых как минимум три окрашены в красный цвет.

   (2006)

5. Докажите, что в любом наборе квадратных целых чисел $$ 181 $$ всегда можно найти подмножество чисел $$ 19 $$, сумма элементов которых делится на $$ 19 $$.

   (1994)

Дополнительная информация: —

1. Многие называют принцип голубятни PHP.
2. Очень красивое приложение PHP — это лемма Туэ, которая полезна при доказательстве теоремы Ферма о двух квадратах.
3. Его используют в информатике, анализе, теории вероятностей и т. Д.
4. Теорема Рамсея, являющаяся приложением PHP, дает начало очень глубокой математической теории, называемой теорией Рамсея.
5. Некоторые другие методы доказательства, которые могут использоваться при решении проблем определенности, — это сокращение до абсурда, проверка парности, построение примера с помощью грубой силы, создание биекций, экстремальный принцип, преобразование теоремы в графы или простая геометрическая интерпретация и использование раскраски. доказательства по ним и др.

Каталожные номера : —

1. www.mathlinks.ro
2. http://olympiads.hbcse.tifr.res.in/subjects/mat Mathematics/previous-question-papers-and-solutions
3. Википедия
4. Артур Энгель, Стратегии решения проблем, Springer
5. М.Р. Модак, С.А.Катре, В.В. Ачарья, В. Шолапуркар, Экскурсия по математике, Бхаскарачарья Пратиштхана,
6. Дэвид М. Бертон, Элементарная теория чисел, McGraw Hill

Загрузите этот пост в формате PDF (без изображений и математических символов).

.