Делимость чисел. Признак делимости

Определение 1. Пусть число a ¹) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.

¹) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b, b-кратное c, то a кратное c.

Действительно. Так как

a=bm, b=nc,

где m и n какие то числа, то

a=(nc)m=(nm)c.

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b

— кратные числа c, то их сумма и разность также кратные числа c.

Действительно. Так как

a=mc, b=nc,

тогда

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r₁, 10&middotr₁ на m будет r₂, и т.д. Тогда можно записать:

(1)

Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1,…,m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).

Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде

(2)

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

(3)

на m.

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A’

Покажем, что 10ⁱ−r_i делиться на m при всех i=1,2,…m−1.

10−r_i=mk₁ делится на m (т.к. mk₁ кратно m),

Каждый член правой части (5) делится на

m следовательно левая часть уравнения также делится на m. Рассуждая аналогично, получим — правая часть (6) делится на m, следовательно левая часть (6) также делится на m, правая часть (7) делится на m, следовательно левая часть (7) также делится на m. Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m. Следовательно A и A’ имеют одинаковый остаток при делении на m. В этом случае говорят, что A и A’ равноостаточные или сравнимыми по модулю m.

Таким образом, если A’ делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A’.

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2, получим:

10=2·5+0, 10·0=2&middot5+0, и т.д.

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).

Признак делимости на 3.

Следуя процедуре (1) для m=3, получим:

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4.

Следуя процедуре (1) для m=4, получим:

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 5.

Следуя процедуре (1) для m=5, получим:

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6.

Следуя процедуре (1) для m=6, получим:

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7, получим:

Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем

(8)

Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.

Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.

Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.

Признак делимости на 8.

Следуя процедуре (1) для m=8, получим:

Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем

(9)

Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.

Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Следуя процедуре (1) для m=9, получим:

Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10.

Следуя процедуре (1) для m=10, получим:

Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).

matworld.ru

Признаки делимости

При решении задач ЕГЭ базового и профильного уровня необходимо знать признаки делимости. Многие признаки делимости чисел нацело вы знаете из начального курса математики. Поэтому такая простая информация могла легко забыться. Сегодня мы с вами повторим основные признаки делимости и решим некоторые задачи.

Признаки делимости

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

Если числа делится на b, то пишут .

Пример.

так как

Свойства делимости чисел

Простые числа и составные числа.

Простые и составные числа

Число p называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.

Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Пример.

Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.

Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признаки делимости

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа есть число, которое делится на 2 (последняя цифра – образует четное число).

Например, число 124 делится на 2, так как 4 — четное число.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа дают число, которое делится на 4.

Пример: 132 делится на 4, потому что последние две цифры «3» и «2» образуют число 32, которое делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.

Пример, число 2192 делится на 8, поскольку последние три цифры «1», «9» и «2» образуют число 192, которое делится на 8. При рассмотрении задач надо иметь в виду, что число делящееся на 8, в свою очередь должно делится и на 4 и на 2 одновременно.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 3.

Пример: число 153 делится на 3, так как сумма чисел 1+3+5=9 делится на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 9.

Пример: число 198 делится на 9, поскольку сумма чисел 1+9+8=18 делится на 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа образует число, которое делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

Пример, число 165 делится на 5, так как заканчивается на 5.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры в записи числа, образуют число, которое делится на 25.

Пример: число 125 делится на 25, так как последние две цифра «2» и «5» образуют число 25, которое делится на 25.

Следует помнить, что цифры не могут суммироваться, делиться и т.д. Цифры это такие значки, которыми записываются числа. И веса у них самих по себе не более чем у любого другого значка, как у смайлика. Но, если мы цифрой запишем число, то с числом мы уже можем проводить любые операции. Числа могут быть однозначные и двузначные, их бесконечное количество, но цифр для их записи всего 10. Не путайте понятия числа и цифры, не портите отношения с проверяющими ваши работы математиками.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах в записи числа, и суммы чисел, стоящих на четных местах в записи числа, делится на 11. А также если сумма чисел стоящих на четных местах, делится на сумму чисел, стоящих на нечетных местах.

Пример 1.

123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.

Пример 2.

1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11. Или 1+5=4+2.

Деление с остатком

Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:

От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.

Пример 1.

19 : 7 = 2 (ост. 5)

19 = 7 ∙ 2 + 5

Пример 2.

22 : (-3) = -7 (ост. 1).

22 = -3 ∙ (-7) + 1

Пример 3.

-22 : 3 = -8 (ост. 2)

-22 = 3 ∙ (-8) + 2

Теоремы

1) Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.

2) Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.

Теперь рассмотрим конкретные задания из ЕГЭ на делимость

Задание №1

Найдите четырёхзначное число, которое делится на 33 и состоит только из цифр 1 и 2. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число делится на 33 то оно делиться на 11 и 3. Число делится на 11, если сумма цифр стоящих на четных позициях будет равна сумме цифр на нечетных позициях. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.

Значит стоит чередовать 1 и 2 по 2 раза, причем если сложим 2 двойки и 2 единицы получим 6, значит, число будет делиться на 3. Получим число 1122.

Ответ: 1122

Задание №2

Найдите трёхзначное число, состоящее только из чётных цифр и кратное 9. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число должно делиться на 9, то и сумма цифр должна делиться на 9, наименьшее 9, но его нельзя представить как сумму 3 чётных цифр, рассмотрим 18, первой цифрой поставим 2 ( минимальное четное число), тогда на остальные 2 остается только 8 и 8, получим число 288.

Ответ: 288

Задание №3

Найдите трёхзначное число, которое при делении на 5 и 7 даёт равные ненулевые остатки, а вторая цифра этого числа равна сумме первой и третьей цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число не должно оканчиваться на 0 или 5, так как в этом случае остаток от деления на 5 равен 0. Пусть вторая цифра в числе будет 4, тогда первая и третья цифры могут быть 1 и 3, получаем число 143. Проверяем:

1) 143:5=28 (Остаток 3)

2) 143:7=20 (Остаток 3)

Остатки равны, соответственно условие выполнено.

Аналогичными рассуждениями можно найти и другие числа: 176; 352; 561.

Ответ: 176

Задание №4

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 7, если известно, что число содержит цифру 1, и квадрат этого числа делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Если квадрат числа делится на 25, то само число должно делиться на 5. Признак делимости на 5: число делиться на 5, если его последняя цифра 0 или 5. У нас трехзначное число, пусть последняя цифра будет 5, а первая 1, вторая цифра должна быть такой, чтобы сумма цифр была равна 7. Сумма цифр уже 6, то есть вторая цифра должна быть равна 1. Получим число 115.

Аналогичными рассуждениями можно получить числа 160 и 610.

Ответ: 115

Задание №5

Найдите четырёхзначное число, кратное 9, но не кратное 6, произведение цифр которого равно 1960. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, но не делилось на 6, оно должно быть нечетным.

Разложим 1960 на простые множители: 1960=2*2*2*5*7*7=8*5*7*7

Эти цифры обозначают числа, которые в сумме дают 27, значит число будет делиться на 9. Составим из этих цифр нечетное число, например: 7785.

Аналогичными рассуждениями (простой перестановкой цифр) можно получить другие числа.

Ответ: 7785

Задание №6

Сумма четырёх последовательных трёхзначных чисел равна 458. Найдите третье число.

Решение:

Все 4 числа приблизительно равны между собой, поэтому разделив 458 на 4 получаем 114 с остатком 2. Начинаем подбирать числа от 114.

114+115+116+117=462, это больше 458, начинаем считать от 113.

113+114+115+116=458, получили необходимую сумму. Третье число в данной последовательности равно 115.

Можно было решить альтернативно.

Пусть первое число равно n. Тогда следующие числа n+1, n+2, n+3.

Составим и решим уравнение:

n+n+1+n+2+n+3=458

4n=452

n=113

Тогда третье число 115.

Ответ: 115

Задание №7

Найдите трёхзначное число, у которого сумма цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 5, а само число кратно 9. В ответе запишите наименьшее такое число.

Решение:

Так как число должно быть наименьшим, то будет подбирать цифры так, чтобы оно начиналось с минимальной цифры (1 и далее), и аналогично будем подбирать для всех разрядов.

Нечетные места это 1 и 3, чтобы сумма цифр на нечетных местах была кратна 5, она должна быть равна, 5, 10 или 15. Пусть она будет равна 5, в сумме 5 составляют числа 1 и 4. Тогда чтобы число делилось на 9 сумма цифр должна делиться на 9, то есть в нашем случае сумма цифр должна равняться 9. То есть, на 2 месте должна стоять цифра 4. Получим число 144.

Ответ: 144

Задание №8

Найдите трёхзначное число, делящееся на 9, если известно, что его цифры являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, необходимо чтобы сумма его цифр делилась на 9. А, учитывая, что его цифры должны являться членами возрастающей арифметической прогрессии, каждая цифра должна отличаться от предыдущей на одно и то же число.

Если разность прогрессии равна 1, получаем a, a+1, a+2. Сумма равна 3a+3.

3a+3=9,тогда a=2, а число 234

3a+3=18,тогда a=5, а число 567

Если разность прогрессии равна 2, получаем a, a+2, a+4. Сумма равна 3a+6.

3a+6=9,тогда a=1, а число 135

3a+6=18,тогда a=4, а число 468

3a+6=27, тогда а=7, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 3, получаем a, a+3, a+6. Сумма равна 3a+9.

3a+9=9,тогда a=0, не подходит

3a+9=18,тогда a=3, а число 369

3a+9=27,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 4, получаем a, a+4, a+8. Сумма равна 3a+12.

3a+12=18,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Ответ: 234 или 567, или 135, или 468, или 369.

Задание №9

Найдите четырёхзначное число, которое состоит только из цифр 0 и 2 и делится на 12.

Решение:

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и 4. На 3 число делится, если сумма цифр делится на 3. А на 4 делится, если 2 последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.

Чтобы число делилось на 3, в нем должно быть три двойки (чтобы в сумме давали 6). Значит 0 только один, последние 2 цифры должны быть 20, чтобы полученное число делилось на 4. То есть получаем число 2220.

Ответ: 2220

Итак, мы подробно рассмотрели делимость чисел, признаки делимости чисел и поучились применять полученные знания в задании №19 базового уровня егэ по математике.

Читайте еще наши статьи: таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100.

 

 

 

novstudent.ru

Урок математики «Признаки делимости чисел»

Приложение 1

Слайд 2.

Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q, что b • q = a, то говорят, что число a делится на число b, или число а кратно числу b.

Слайд 3.

Признак делимости это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Слайд 4.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Слайд 5.

Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Слайд 6.

Признак делимости на 2.
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является четной.

Слайд 7. Пример:

1) 28
    8 – четное число, значит, 28 делится на 2 без остатка.

2) 1346
    6 – четное число, значит, 1346 делится на 2 без остатка.

Слайд 8.

Признак делимости на 3.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Слайд 9.

Пример:

1) 723

7 + 2 + 3 = 12
12 делится на 3 без остатка,
Значит, 723 делится на 3.

2) 2364

2 + 3 + 6 + 4 = 15
15 делиться на 3 без остатка, значит, 2364 делится на 3.

Слайд 10.

Признак делимости на 4.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Слайд 11.

Пример:

1) 716
    16 делится на 4, значит, число 716 делится на 4 без остатка.

2) 35636
    36 делится на 4, значит, число 35636 делится на 4 без остатка.

Слайд 12.

Признаки делимости на 4.
Чтобы узнать делится ли двухзначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам, если сумма делится на 2, значит, число делится на 4.

Слайд 13.

Пример:

1) 92
    9 + 1 = 10 – четное число, значит, 92 делится на 4 без остатка

2) 68
    6 + 4 = 10 – четно число, значит, 68 делится на 4 без остатка.

Слайд 14.

Признак делимости на 5.
Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 5 или 0.

Слайд 15.

Пример:

1) 1380
    Число 1380 оканчивается нулем, значит, число 1380 делится на 5 без остатка.

2) 24715
    Число 24715 оканчивается пятеркой, значит, число 24715 делится на 5 без остатка.

Слайд 16.

Признак делимости на 6.
Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Слайд 17.

Пример:

948
Число 948 является чётным и сума его цифр, 9 + 4 + 8 = 21 делится на 3, значит, число 948 делится на 6 без остатка.

Слайд 18.

Признаки делимости на 7.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Слайд 19.

Пример:

364
36 – (4 • 2) = 28
28 : 7 = 4
Значит, число 364 делится на 7 без остатка.

Слайд 20.

Признак делимости на 8.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Слайд 21.

Пример:

24816
816 : 8 = 102.
Значит, число 24816 делится на 8 без остатка.

Слайд 22.

Признак делимости на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8.

Слайд 23.

Пример:

952
95 + 1 = 96
9 + 3 = 12
12 : 2 = 6(делится на 2).
Значит, 952 делится на 8.

Слайд 24.

Признак делимости на 9.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Слайд 25.

Пример:

27891
2 + 7 + 8 + 9 + 1 = 27
27 : 9 = 3
Сумма делится на 9, значит, число 27891 делится на 9 без остатка.

Слайд 26.

Признак делимости на 10.
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Слайд 27.

Пример:

1) 17310
Число 17310 оканчивается на ноль, значит, число 17310 делится на десять без остатка.

2) 236810
Число 236810 оканчивается на ноль, значит, число 236810 делится на десять без остатка.

Слайд 28.

Признак делимости на 11.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

Слайд 29.

Пример:

1) 103785
    1 + 3 + 8 = 12
    0 + 7 + 5 = 12
    Значит, 103785 делится на 11 без остатка.

2) 9163627
    9 + 6 + 6 + 7 = 28
    1 + 3 + 2 = 6
    28 – 6 = 22
    22 : 11 = 2
    Значит, 9163627 делится на 11 без остатка.

Слайд 30.

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13.

Слайд 31.

Пример:

845
84 + (4 • 5) = 104 : 13
10 + (4 • 4) = 26 : 13 = 2
Число 845 делится на 13 без остатка.

Слайд 32.

Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратко 17.

Слайд 33. Пример:

29053
2905 + 36 = 2941
294 + 12 = 306
30 + 72 = 102
10 + 24 = 34
Так как 34 : 17 = 2, то 29053 делится на 17 без остатка.

Слайд 34.

Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Слайд 35.

Пример:

646
Так как 64 + (6 • 2) = 64 + 12 = 76
7 + (6 • 2) = 7 + 12 = 19
19 делится на 19, значит, 646 делится на 19 без остатка.

Слайд 36.

Признак делимости на 20.
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

Слайд 37.

Пример:

2740.
Число делится на 20, так как оканчивается на 0 и 4 – четное число.

Слайд 38.

Признак делимости на 23.
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.

Слайд 39.

Пример:

28842
Число делится на 23, так как
288 + (3 • 42) = 414
4 + (3 • 14) = 46
46 делится на 23.

Слайд 40.

Признак делимости на 99.
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двухзначными числами. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.

Слайд 41.

Пример:

122166
12 + 21 + 66 = 99
Число 99 делится на 99, значит, 122166 делится на 99 без остатка.

Слайд 42.

Признак делимости на 101.
Разобьем числа на группы по 2 цифры справа налево ( в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем алгебраическую сумму этих групп, с переменными знаками, считая их двухзначными числами.
Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.

Слайд 43.

Пример:

590547
59 – 05 + 47 = 101
101 делится на 101, значит, 590547 делится на 101.

urok.1sept.ru

Признаки делимости на 11 | umath.ru

Всего существует три важных признака делимости на 11.

1-й признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Этот признак является наиболее простым и удобным. К тому же его проще всего запомнить.

Пример: проверить, делятся ли на 11 числа а) 1234321 б) 10101.

Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.

б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.

Для формулировки оставшихся двух признаков делимости на 11 введём такое определение:

Определение. Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

2-й признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма его двузначных граней делится на 11.

3-й признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 11.

Пример: проверить, делится ли на 11 число 1002001.

Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.

б) применим 3-й признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани: 1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11. Поэтому 1002001 делится на 11.

Ответ: делится.

Доказательство этих признаков строится на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство приведено в этой статье.

umath.ru

Признаки делимости чисел | Социальная сеть работников образования

li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-1,lower-latin) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_3-2>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-3}#doc5735234 .lst-kix_list_8-6>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-6,decimal) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-2>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-2,lower-roman) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-5>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-5,lower-roman) «. «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-7 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-6 0}#doc5735234 .lst-kix_list_8-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-2}#doc5735234 .lst-kix_list_6-3>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_6-7>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-7 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-2 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-1 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-4 0}#doc5735234 .lst-kix_list_2-3>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_6-2>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-4>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-4,lower-latin) «. «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-5 0}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-2{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-3{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-4{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-7>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-5>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-5,lower-roman) «. «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-6{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-7{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-8{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-8{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-7{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-5}#doc5735234 .lst-kix_list_4-3>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-4{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-3{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_2-7>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-8>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-8,lower-roman) «. «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-6}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-2{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-1{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-4}#doc5735234 .lst-kix_list_3-3>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-0}#doc5735234 .lst-kix_list_3-6>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-3 0}#doc5735234 .lst-kix_list_5-2>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-3}#doc5735234 .lst-kix_list_6-4>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-5 0}#doc5735234 .lst-kix_list_6-1>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_6-8>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_7-2>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-7{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_4-7>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-8{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-7{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-8{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-4>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-4,lower-latin) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-6>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-6,decimal) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_6-5>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_2-6>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-0{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-2{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-3{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-4{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_2-2>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-8 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-2{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-4 0}#doc5735234 .lst-kix_list_7-7>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 .lst-kix_list_2-1>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-1{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_7-1>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 .lst-kix_list_4-8>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-5>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-5{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-4{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-3{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-7}#doc5735234 .lst-kix_list_2-8>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-1}#doc5735234 .lst-kix_list_3-7>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_2-0>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-2 0}#doc5735234 .lst-kix_list_6-6>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-0 11}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-3 0}#doc5735234 .lst-kix_list_1-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-8}#doc5735234 .lst-kix_list_7-0>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-7}#doc5735234 .lst-kix_list_2-4>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_3-5>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-8}#doc5735234 .lst-kix_list_4-2>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-0>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-0,decimal) «. «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-3{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-1 0}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-2{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_4-6>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-4{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-7{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-3>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_4-1>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_4-5>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-8{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-0 0}#doc5735234 .lst-kix_list_3-0>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_7-6>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 .lst-kix_list_2-5>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-0>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-0,decimal) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_5-8>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-8 0}#doc5735234 .lst-kix_list_5-4>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-6}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-6 0}#doc5735234 .lst-kix_list_4-4>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_3-4>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-3>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-3,decimal) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-3>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-3,decimal) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-5}#doc5735234 .lst-kix_list_7-4>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-1>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-1,lower-latin) «. «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-0>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-8{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-2{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-7{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-3{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_6-0>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-6{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-4{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-5{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-6{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-7{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-2}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-8{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-1{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_7-5>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-0{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-4{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_3-8>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_4-0>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-3{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-2{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-1}#doc5735234 .lst-kix_list_7-8>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 .lst-kix_list_5-6>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_1-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-4}#doc5735234 .lst-kix_list_3-1>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 .lst-kix_list_8-7>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-7,lower-latin) «. «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-4{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-2>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-2,lower-roman) «. «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-7>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_1-7,lower-latin) «. «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-7{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-0{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-2{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-8>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_8-8,lower-roman) «. «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-3{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-1>li:before{content:»\002022 «}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-8{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_7-3>li:before{content:»\0025a1 «}#doc5735234 ol{margin:0;padding:0}#doc5735234 .c22{line-height:1.5;padding-top:14pt;widows:2;orphans:2;text-indent:35.4pt;text-align:justify;direction:ltr;padding-bottom:14pt}#doc5735234 .c0{line-height:1.0;padding-top:0pt;widows:2;orphans:2;text-indent:35.4pt;direction:ltr;padding-bottom:0pt}#doc5735234 .c27{line-height:1.0;padding-top:5pt;widows:2;orphans:2;direction:ltr;padding-bottom:5pt}#doc5735234 .c1{line-height:1.0;padding-top:0pt;widows:2;orphans:2;direction:ltr;padding-bottom:0pt}#doc5735234 .c14{vertical-align:baseline;color:#1e1e1e;font-size:14pt;font-family:»Verdana»}#doc5735234 .c11{vertical-align:baseline;font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»}#doc5735234 .c4{vertical-align:baseline;font-size:14pt;font-family:»Times New Roman»}#doc5735234 .c12{vertical-align:baseline;font-size:22pt;font-family:»Times New Roman»}#doc5735234 .c25{max-width:467.7pt;background-color:#ffffff;padding:56.7pt 42.5pt 56.7pt 85pt}#doc5735234 .c2{height:11pt;text-align:center}#doc5735234 .c5{font-style:italic;font-weight:bold}#doc5735234 .c8{text-indent:-36pt;margin-left:36pt}#doc5735234 .c13{list-style-position:inside;margin-left:0pt}#doc5735234 .c3{margin:0;padding:0}#doc5735234 .c20{text-indent:9pt}#doc5735234 .c24{text-indent:18pt}#doc5735234 .c7{font-weight:bold}#doc5735234 .c17{text-decoration:underline}#doc5735234 .c6{color:#000000}#doc5735234 .c10{height:11pt}#doc5735234 .c23{font-weight:normal}#doc5735234 .c26{margin-left:36pt}#doc5735234 .c21{text-indent:36pt}#doc5735234 .c15{text-align:right}#doc5735234 .c9{font-style:italic}#doc5735234 .c16{color:#1e1e1e}#doc5735234 .c18{text-align:center}#doc5735234 .c19{text-indent:27pt}#doc5735234 .title{widows:2;padding-top:24pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:36pt;font-family:»Arial»;font-weight:bold;padding-bottom:6pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 .subtitle{widows:2;padding-top:18pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#666666;font-style:italic;font-size:24pt;font-family:»Georgia»;padding-bottom:4pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 li{color:#000000;font-size:11pt;font-family:»Arial»}#doc5735234 p{color:#000000;font-size:11pt;margin:0;font-family:»Arial»}#doc5735234 h2{widows:2;padding-top:24pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:24pt;font-family:»Arial»;font-weight:bold;padding-bottom:6pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h3{widows:2;padding-top:18pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:18pt;font-family:»Arial»;font-weight:bold;padding-bottom:4pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h4{widows:2;padding-top:14pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:14pt;font-family:»Arial»;font-weight:bold;padding-bottom:4pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h5{widows:2;padding-top:12pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:12pt;font-family:»Arial»;font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h5{widows:2;padding-top:11pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:11pt;font-family:»Arial»;font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h6{widows:2;padding-top:10pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:10pt;font-family:»Arial»;font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 ]]>

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №18»

ЭМР Саратовской области

Исследовательский проект

на тему:

«Признаки делимости чисел».

Автор работы: ученики 6 а класса

Руководитель: Пастухова Наталья Алексеевна,

учитель математики

Г. Энгельс 2014 г.

Автор проекта

Учащиеся 6а класса

Предмет исследования

Признаки делимости чисел.

Краткая аннотация проекта

Данный проект предназначен для  обобщения, расширения и систематизации знаний по теме «Признаки делимости» в курсе математики 6 класса, учебник Н.Я. Виленкина. Время проведения проекта 1 – 4 четверть.

Основополагающий вопрос проекта

Как узнать, не выполняя деления, делится ли число на 4, 25, 11?

Задачи проекта

1. Изучить историю математики  о делимости чисел.

2. Узнать признаки делимости на натуральные чисел от 2 до 25.

3. Изучить свойства делимости чисел.

4. Исследовать применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

Гипотеза: признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Введение.

Мы заинтересовался историей делимости чисел.

Кто из древних учёных занимался делимостью чисел?  Кто такой Эратосфен? Что такое  решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?

На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2,3,5, 9 и на 10. Но оказывается,  признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 8,11,13,7 и другие числа.  Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

— О, мудрец!- сказал старший брат. — Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

— Нет ничего проще, — ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:

— О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

— Это не лишний, — сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

1. Из истории математики о делимости чисел

Делимость – это  способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости  были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.

                                 

     

  ЭРАТОСФЕН (около 275–194 до н.э.), один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами — ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач.

Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое  «решето», с помощью которого находятся простые числа.

Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.   Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Наименьшим простым числом является 2, это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа следует искать среди нечётных чисел, но, разумеется, далеко не всякое нечётное число является простым. Так, например, нечётные числа 3, 5, 7, 11, 13 простые, а такие нечётные числа как 9, 15, 21 —  составные, 9 имеет 3 делителя, число 15 – 4 делителя и т.д. Любое составное число можно разлагать на сомножители до тех пор, пока оно не распадётся на одни только простые числа. Простые числа являются как бы первичными элементами, из которых составляются все числа.

В математике Эратосфена интересовал как раз вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до N.  Эратосфен считал 1 простым числом. Математики считают 1 числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам. Эратосфен придумал для этого следующий способ. Сначала вычеркивают все числа, делящиеся на 2 (исключая само число 2). Потом берут первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число — простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом будет 5. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 5, и т.д. Числа, которые уцелеют после всех вычеркиваний, и являются простыми. Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а «выкалывали» цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название «решето Эратосфена».

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции.

Признак делимости Паскаля. 

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число. Например: число 2814 делится на 7, так как 2*6 + 8*2 + 1*3 + 4 = 35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

2. Признаки делимости

  Признак делимости на  2.

Число делится на 2 в том и, только в том случае, если его последняя цифра чётная.          

Пример: 124, 200, 152, 68, 406.

Признак делимости на 3.

Число делится на 2 в том и, только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

Пример: 144 на 3, т.к. 1+4+4 =9 делится на 3.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.        

Пример: 724 делится на 4, т.к. 24 делится на 4.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.

Пример: 720,  655 делятся на 5.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное и делится на 3.

Пример: 720 делится и на 2 и на 3. 

Признак делимости на 7.
     Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7.

Пример: 259 делится на 7, т. к. 25 — (2 * 9) = 7 делится на 7.

  Признак делимости на 8.

Число делится на 8 в  том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

 Пример: 6136 делится на 8, т.к. 136 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Пример: 6102 делится на 9, т.к. 6+1+0+2 = 9 делится на 9.

Признак делимости  на  10.

Число делится на 10 в том  и только в том случае, если оно оканчивается  на 0.

Пример: 720 делится на 10.

Признак делимости  на  11.  

Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Пример: 100397 делится на 11, т.к. .

1+0+9=10; 0+3+7=10; =0 (нумерация идет слева направо).

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример:15235 делится на 11, т.к. разбивая на группы и складывая их: 1+52+35=88 делится на 11.

 Признак делимости на 12.  

Число  делится на 12 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 4.

Пример: 720 делится на 12, т.к. число делится и на 3, и на 4.

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда:

— когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Пример: 845 делится на 13, так как на 13 делятся   84+ 5*4 = 104 и 10+4*4=26.

— когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

 Пример: 845 делится на 13, так как на 13 делятся 84-9*5=39.

Признак делимости на 14.

Число  делится на 14 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 7.

Пример: 420 делится на 14, т.к. число делится и на 2, и на 7.

Признак делимости на 15.

Число  делится на 15 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 5.

Пример: 420 делится на 15, т.к. число делится и на 2, и на 5.

Признак делимости на 17.

Число делится на 17 тогда:

— когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Пример: 221 делится на 17, так как делится на 17.

— когда модуль суммы числа десятков и двенадцатикратного числа единиц делится на 17.

Пример:  221 делится на 17, так как делится на 17.

Признак делимости на 18.

Число  делится на 18 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 9.

Пример: 432 делится на 18, т.к. число делится и на 2, и на 9.

Признак делимости на 19.

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Пример: 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Признак делимости на 20.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Пример: 640 делится на 20, т.к. 40 делится на 20.

Признак делимости на 21.

Число  делится на 21 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 7.

Пример: 231 делится на 21, т.к. число делится и на 3, и на 7.

Признак делимости на 22.

Число  делится на 22 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 11.

Пример: 352 делится на 22, т.к. число делится и на 2, и на 11.

Признак делимости на 23.

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Пример: 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и
        Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.    

         Пример: 391 делится на 23, так как  делится на 23.
        Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

 Пример: 391 делится на 23, так как  делится на 23.

Признак делимости на 24.

Число  делится на 24 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 8.

Пример:  8136 делится на 24, т.к. число делится и на 3, и на 8.

Признак делимости на 25.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Пример: 175делится на 25, т.к. 75 делится на 25.

3. Свойства делимости чисел.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением натуральных чисел

• Одно из п последовательных натуральных  чисел делится на п;

Пример: 3; 4; 5; 6; 7   – 5 последовательных натуральных чисел, 5 делится на 5.

• Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;

Пример: 10; 12   — 2 последовательных четных числа,    12 делится на 4.

• Произведение трех последовательных натуральных  чисел делится на 6;

Пример:   5*6*7=210          210 делится на 6, т.к. 210 делится на 2 и на 3.

• Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

Пример: 4*6=24        24 делится на 8.

• Свойство 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

Пример: 66 + 121= 187 делится на 11, т.к. 66 и 121 делятся на 11.

•  Свойство 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Пример:  1125 – 75 =1050 делится на 25, т.к. 1125  и 75 делятся на 25

• Свойства 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.

Пример: 21*5*9 = 945делится на 7, т.к. 21 делится на 7.

• Свойство 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.

Пример: 171 делится на 57, а 57 делится на 19, значит 171 делится на 19.

4. Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» — две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Решение.

3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.

Задача № 2

Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй — каждый второй вечер, третий — каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?

Решение.

 Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 3

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.

Решение.

Используем  признак делимости на 11.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 4

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Решение

Только на 7.

Ответ 167, 257, 347, 527.

Задача № 5

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

Задача № 6.

Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.

Ответ: опровергающий пример 9999999918.

Задача № 7.

Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?

Решение.

Число 135 делится на 5, 3, 9, значит число состоит из этих цифр, сумма этих цифр равна 17.

Ответ: 17.

Задача №8

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

Решение

Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, — это 498.

Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.

Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов, у него останется на счету 404 доллара. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300, в результате он снимет 2доллара, и у него останется 498 долларов.

Заключение

В результате выполнения данной работы у нас расширились знания по математике. Мы узнали, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняли, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, мы считаем, что полученные знания сможем использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий интеллектуальных конкурсов, математического конкурса -игры «Кенгуру». В современном мире тоже  используют признаки делимости! Например, в банковском деле, при денежных расчетах в магазине.

Библиографический список

1. И. Я. Депман, «История арифметики», Москва, 1965, «Просвещение»

2. Г. И. Глейзер, «История математики в школе 7 – 8 классы», Москва, 1982, «Просвещение»

3. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний», Москва, 2004, «Мир книги»

4. Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989

5. Я.И. Перельман, «Живая математика», Москва, 1978, «Наука»

6. Б.А. Кордемский, «Математическая смекалка», Москва, 1994, «Юнисам»

7. http://www.doronchenko.ru/2009/01/13/vse_pro_chislo_13.html

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/3

9. htpp: // www.krugosvet.ru/articles/07/1000723/1000723a1.htm  

nsportal.ru

Свойства делимости чисел

Признак делимости на 2

Чётное число – это число, которое делится на 2.

Нечётное число – не делится на 2.

Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.

Число 52 738 делится на 2, так как у него последняя цифра 8 которая является чётной.

Число 7691 не делится на 2, так как цифра 1 находящаяся в конце нечетная.

Число 1250 делится на 2, так как цифра, которая находится в конце нуль.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.

Число 31 800 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.

Число 325 734 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 34, которое не делится на 4.

Число 15 608 делится на 4, так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8, которое делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или формируют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.

Число 225 000 делится на 8, так как оканчивается тремя нулями.

Число 180 004 не делится на 8, так как три крайние цифры дают число 4, которое не делится на 8.

Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120, которое делится на 8.

Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16, 32, 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.

Признаки делимости на 3 и на 9

На число 3 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 3.

На число 9 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 9.

Число 17 835 делится на 3 и не может быть разделено на 9, так как сумма его цифровых значений 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 может быть разделено на 3 и не делится на 9.

Число 106 499 не может быть разделено ни на 3, ни на 9, так как составляющие его цифры в сумме даёт число 29 которое не делится как на 3, так и на 9.

Число 52 632 может быть разделено на 9, так как сумма цифр входящих его состав 18 которое делится на 9.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.

Число 126 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.

Признак делимости на 5

На 5 делятся те числа, у которых последняя цифра 0 или 5. Другие – не делятся.

Число 240 может быть разделено на 5, так как последняя цифра 0.

Число 554 не делится на 5, так как последняя цифра 4.

Признак делимости на 25

На 25 можно разделит только те числа, у которых две крайние цифры нули либо формируют число, которое может быть разделено на 25, например числа оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75. Другие — не делятся.

Число 7150 можно разделить на 25, так как оканчивается на 50.

Число 4855 не получится разделить на 25.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000

Числа делятся на 10, когда последняя цифра является нулём.

Числа делятся на 100, если две последние цифры этих чисел нули.

Числа делятся на 1000, если три конечные цифры у них нули.

8200 можно разделить на 10 и на 100.

542 000 можно разделить на 10, 100 и 1000.

Признак делимости на 11

На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11.

103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12

9 163 627 можно разделить на 11, так как при вычитании из 28 числа 6 получается 22, которое делится на 11. ( 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ) ( 1 + 3 + 2 = 6 )

461 025 не может разделено на 11, в виду того что числа 7 и 11 взаимно не ровны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 11 – 7 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11).

Существуют признаки делимости так же и на другие числа, но эти признаки гораздо сложнее.

simple-math.ru

Татьяна Мельничук | Делимость чисел

Признак делимости на 2	Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3	Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 4	Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4.
Признак делимости на 5	Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.
Признак делимости на 6	Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.
Признак делимости на 7	Признак 1. число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Признак 2. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.
Признак делимости на 8	Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Признак делимости на 9	Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10	Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.
Признаки делимости на 11	Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 13	Число делится на 13 если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Признак делимости на 17	Число делится на 17 если модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Признак делимости на 19	Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Признак делимости на 20	Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
Признаки делимости на 23	Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.
Признак делимости на 25	Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 27	Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 29	Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Признак делимости на 30	Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 31	Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.
Признак делимости на 37	Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37. Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь. Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.
Признак делимости на 41	Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41. Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.
Признак делимости на 50	Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.
Признак делимости на 59	Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.
Признак делимости на 79	Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.
Признак делимости на 99	Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 101	Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.

tmel.ru