Задачи и уравнения с радикалами. Видеоурок. Алгебра 11 Класс
На данном уроке мы продолжим решать типовые задачи и преобразовывать различные выражения, содержащие радикалы.
Ключом к решению всех типов задач, рассматриваемых в данной теме, является определение арифметического корня и его свойства.
Еще раз напомним основное определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например: 
, т. к. 
; 
,Рассмотрим более сложные примеры.
Пример 1 – упростить выражение:
Обоснование:
Вспомним основные свойства арифметических корней:
, при 
(теорема 1)
(теорема 2)
, при 
(теорема 3)
, при 
(теорема 4)
(теорема 5)
Пример 2 – вычислить:
Чтобы выполнить вычисление, нужно преобразовать числитель, для этого во второй скобке представим составные числа в виде простых:
Получаем:
Разложим скобку на множители способом группировки:
После преобразований получаем дробь:
Имеем право сократить:
interneturok.ru
Задачи и уравнения с радикалами. Рабочие материалы
На данном уроке мы продолжим решать типовые задачи и преобразовывать различные выражения, содержащие радикалы.
1. Повторение теоретических фактов
Ключом к решению всех типов задач, рассматриваемых в данной теме, является определение арифметического корня и его свойства.
Еще раз напомним основное определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например: , т. к. ; , т. к. ,
2. Решение примеров на упрощение и вычисление
Рассмотрим более сложные примеры.
Пример 1 – упростить выражение:
Обоснование:
Вспомним основные свойства арифметических корней:
, при (теорема 1)
, при (теорема 2)
, при (теорема 3)
, при (теорема 4)
при (теорема 5)
Пример 2 – вычислить:
Чтобы выполнить вычисление, нужно преобразовать числитель, для этого во второй скобке представим составные числа в виде простых:
Получаем:
Разложим скобку на множители способом группировки:
После преобразований получаем дробь:
Имеем право сократить:
Несложно заметить в полученном выражении формулу разности квадратов, свернем ее:
Пример 3 – вычислить:
Сначала вычислим внутренний корень:
После преобразования получили выражение:
Пример 4 – упростить выражение:
Важно заметить в подкоренном выражении полный квадрат:
Получаем:
Комментарий: для выделения полного квадрата имеем право представить а как , т. к. в заданном выражении присутствует , значит, а принимает неотрицательные значения.
Пример 5 – упростить выражение:
Выделяем полный квадрат:
Получаем:
Комментарий: число отрицательное, имеем право раскрыть модуль.
3. Уравнения с радикалами, типы, примеры решения
Чтобы не потерять при решении корни и не приобрести новых корней, следует наложить некоторые ограничения. В первую очередь ОДЗ: . Далее:
Заметим, что при выполнении второго условия ОДЗ соблюдается автоматически, поэтому его отдельно можно не указывать.
Мы получили смешанную систему, в ней присутствуют уравнение и неравенство. Отметим, что неравенство решать не обязательно, достаточно решить уравнение и полученные корни подставить в неравенство – выполнить проверку, т. к. очень часто неравенство очень сложно или невозможно решить.
Второй тип уравнений:
Укажем область определения. ОДЗ:
Чтобы решить заданное уравнение, нужно возвести его в квадрат, получим:
Чтобы упростить нахождение области определения, можно оставить только одно из двух неравенств, т. к. два числа равны друг другу и если одно из них больше нуля, то и второе тоже. Получаем системы для решения уравнения:
или
Аналогично первому типу получена смешанная система, можем решить уравнение и выполнить проверку, не решая полностью неравенство.
Рассмотрим конкретные примеры уравнений.
Пример 6:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Решаем полученную систему:
Ответ:
Данный пример можно решать другим способом. Рассмотрим две функции – выражения стоящие в правой и левой части заданного уравнения:
Первая функция монотонно убывает (т. к. под корнем стоит линейная убывающая функция, ее угловой коэффициент меньше нуля), вторая монотонно возрастает.
Проиллюстрируем сказанное:
Рис. 1. Графики функций и
Поскольку одна из функций монотонно убывает, а вторая монотонно возрастает, то уравнение имеет единственное решение, если решение вообще существует. Таким образом, если мы найдем один корень заданного уравнения, это будет обоснованный ответ к задаче.
Корень существует, по рисунку мы видим, что это , чтобы убедиться в этом, подставим найденный корень в исходное уравнение. Получаем верное числовое равенство.
Пример 7:
Имеем эквивалентную систему:
Решаем полученную систему:
Ответ:
Пример 8:
В данном случае удобно выполнить замену переменных.
Обозначим , возведем в квадрат, получаем:
Получаем уравнение:
Не теряем при этом ограничение:
Решаем полученное квадратное уравнение любым способом, находим корни:
или
Лишний корень отбрасываем, остается
Таким образом,
Итак, мы рассмотрели решение задач и уравнений, содержащих радикалы. В следующем уроке мы обобщим понятие о показателе степени.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Yaklass. ru . Nado5.ru . School. xvatit. com .
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 418–421;
2. Упростите выражение:
3. Решите уравнение:
dp-adilet.kz
Урок по теме»Приведение подобных радикалов и применение формул сокращённого умножения «
Урок
Тема: Приведение подобных радикалов и применение формул сокращённого умножения
Цель: создать условия для формирования навыка выделять и приводить подобные радикалы, преобразовывать выражения, содержащие корни, с использованием формул сокращённого умножения. Способствовать развитию вычислительных навыков , логического мышления
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) 
; б) 
; в) 
.
2. Внесите множитель под знак корня:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Сравните значения выражений:
а) 
и 
; б) 
и 
.
В а р и а н т 2
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) 
; б) 
; в) 
.
2. Внесите множитель под знак корня:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Сравните значения выражений:
а) 
и ; б) 
и 
.
III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили все свойства квадратных корней и все виды преобразований выражений с корнями, которые они уже умеют выполнять.
Затем рассмотреть несколько примеров, отражающих другие виды преобразований: приведение подобных радикалов и применение формул сокращённого умножения.
П р и м е р 1 (пример из учебника).
П р и м е р 2. Преобразуйте выражение:
а) 
= 20 – 9 = 11;
б) 
= 7.
Остальные виды преобразований целесообразно рассмотреть на следующем уроке.
IV. Формирование умений и навыков.
Учащимся уже известно понятие «подобные слагаемые».
На этом уроке вводится понятие «подобные радикалы» и формируется умение упрощать соответствующие выражения.
З а д а н и я, которые должны быть выполнены на этом уроке, можно разбить на д в е г р у п п ы:
1) Выделение и приведение подобных радикалов.
2) Преобразование выражений, содержащих корни, с использованием формул сокращенного умножения.
1-я г р у п п а.
1. Приведите подобные слагаемые.
а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
2. № 421, № 422 (а, в).
2-я г р у п п а.
1. № 423, № 426.
2. № 425.
Р е ш е н и е
а) 
= 8 + 6 = 14.
б) 
= 8.
Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить задания по карточкам.
К а р т о ч к а № 1
1. Упростите выражение:
а) 
; б) 
;
в) 
.
2. Докажите, что 
= 2.
3. Выберите выражение, равное 
: А. 
– 3; Б. 
; В. 3 – .
К а р т о ч к а № 2
1. Упростите выражение:
а) 
; б) 
;
в) 
.
2. Докажите, что 
= 33.
3. Выберите выражение, равное 
:А. 
– 2; Б. 
; В. 
.
Р е ш е н и е з а д а н и й карточки № 1
1. а) 
;
б) 
;
в) 
.
2. 
=
3. Выражение А является отрицательным, поэтому его можно не проверять. Возведём выражения Б и В в квадрат.
; 
.
О т в е т: В.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие существуют виды преобразований квадратных корней?
– Как привести подобные радикалы?
– Рациональным или иррациональным является выражение вида 
?
Домашнее задание: № 422 (б, г, д, е), № 424.
infourok.ru
Уплотненный радикал — Nested radical
В алгебре , А вложенная радикал представляет собой радикал , выражение (один , содержащий корень квадратного знак, кубический корень знак, и т.д.) , который содержит (гнезда) другой радикал выражение. Примеры включают в себя
- 5-25 ,{\ Displaystyle {\ SQRT {5-2 {\ SQRT {5}} \}}}
которая возникает при обсуждении правильного пятиугольника , и более сложные , таких как
- 2+3+43 3,{\ Displaystyle {\ SQRT [{3}] {2 + {\ SQRT {3}} + {\ SQRT [{3}] {4}} \}}.}
Denesting вложенных радикалов
Некоторые вложенные радикал можно переписать в виде, не гнездились. Например,
- 3+22знак равно1+2,{\ Displaystyle {\ SQRT {3 + 2 {\ SQRT {2}}}} = 1 + {\ SQRT {2}} \ ,,}
- 5+26знак равно2+3,{\ Displaystyle {\ SQRT {5 + 2 {\ SQRT {6}}}} = {\ SQRT {2}} + {\ SQRT {3}}}
- 23-13знак равно1-23+4393,{\ Displaystyle {\ SQRT [{3}] {{\ SQRT [{3}] {2}} — 1}} = {\ гидроразрыва {1 — {\ SQRT [{3}] {2}} + {\ SQRT [{3}] {4}}} {\ SQRT [{3}] {9}}} \ ,.}
Переписывание вложенного радикала, таким образом , называется denesting . Этот процесс , как правило , считается трудной задачей, хотя специальный класс вложенной радикал может быть denested, если предположить , что denests в виде суммы двух surds :
- a±бс знак равноd±е,{\ Displaystyle {\ SQRT {а \ ч Ь {\ SQRT {C}} \}} = {\ SQRT {d}} \ ч {\ SQRT {е}}.}
Возводя обе части этого уравнения дает:
- a±бсзнак равноd+е±2dе,{\ Displaystyle а \ ч Ь {\ SQRT {C}} = d + е \ 2 ч {\ SQRT {де}}.}
Это может быть решена путем нахождения двух чисел д и е такое , что их сумма равна и их произведение Ь 2 с / 4 , или путем приравнивания коэффициентов при одинаковых условиях установления рациональных и иррациональных частей на обеих сторонах уравнения , равной друг с другом. Растворы для е и г может быть получено сначала путем приравнивания рациональных частей:
- aзнак равноd+е,{\ Displaystyle а = d + е,}
который дает
- dзнак равноa-е,{\ Displaystyle д = ая,}
- езнак равноa-d,{\ Displaystyle е = объявление.}
Для иррациональных частей заметим, что
- бсзнак равно2dе,{\ Displaystyle Ь {\ SQRT {C}} = 2 {\ SQRT {де}}}
и возведения в квадрат обеих сторон дает
- б2сзнак равно4dе,{\ Displaystyle Ь ^ {2} с = 4de.}
При подключении в виде — г для е получаем
- б2сзнак равно4(a-d)dзнак равно4ad-4d2,{\ Displaystyle Ь ^ {2} с = 4 (объявление) d = 4ad-4d ^ {2}.}
Преобразуя условия даст квадратное уравнение , которое можно решить для д с использованием квадратичной формулы :
- 4d2-4ad+б2сзнак равно0,{\ Displaystyle 4d ^ {2} -4ad + Ь ^ {2} с = 0,}
- dзнак равноa±a2-б2с2,{\ Displaystyle д = {\ гидроразрыва {а \ ч {\ SQRT {а ^ {2} -b ^ {2} с}}} {2}}.}
Так как в = D + E , раствор е представляет собой алгебраическую конъюгат д . Если мы устанавливаем
- dзнак равноa+a2-б2с2,{\ Displaystyle д = {\ гидроразрыва {а + {\ SQRT {а ^ {2} -b ^ {2} с}}} {2}}}
затем
- езнак равноa-a2-б2с2,{\ Displaystyle е = {\ гидроразрыва {а — {\ SQRT {а ^ {2} -b ^ {2} с}}} {2}}.}
Тем не менее, этот подход работает для вложенных радикалов вида тогда и только тогда , когда это рациональное число , причем в этом случае вложенного радикал может быть denested в сумму surds . a±бс {\ Displaystyle {\ SQRT {а \ м Ь {\ SQRT {с}} \}}}a2-б2с{\ Displaystyle {\ SQRT {а ^ {2} -b ^ {2} с}}}
В некоторых случаях более высокой мощность радикалы могут быть необходимы, чтобы denest вложенного радикала.
Некоторые тождества Рамануджана
Сриниваса Рамануйян продемонстрировал ряд любопытных тождеств, denesting радикалов. Среди них следующие:
- 3+2543-2544знак равно54+154-1знак равно12(3+54+5+1254),{\ Displaystyle {\ SQRT [{4}] {\ гидроразрыва {3 + 2 {\ SQRT [{4}] {5}}} {{3-2 \ SQRT [{4}] {5}}}}} = {\ гидроразрыва {{\ SQRT [{4}] {5}} + 1} {{\ SQRT [{4}] {5}} — 1}} = {\ tfrac {1} {2}} \ слева (3 + {\ SQRT [{4}] {5}} + {\ SQRT {5}} + {\ SQRT [{4}] {125}} \ справа),}
- 283-273знак равно13(983-283-1),{\ Displaystyle {\ SQRT {{\ SQRT [{3}] {28}} — {\ SQRT [{3}] {27}}}} = {\ tfrac {1} {3}} \ влево ({\ SQRT [{3}] {98}} — {\ SQRT [{3}] {28}} — 1 \ справа),}
- 3255-27553знак равно1255+3255-9255,{\ Displaystyle {\ SQRT [{3}] {{\ SQRT [{5}] {\ гидроразрыва {32} {5}}} — {\ SQRT [{5}] {\ гидроразрыва {27} {5}} }}} = {\ SQRT [{5}] {\ гидроразрыва {1} {25}}} + {\ SQRT [{5}] {\ гидроразрыва {3} {25}}} — {\ SQRT [{5 }] {\ гидроразрыва {9} {25}}}}
- 23 -13знак равно193-293+493,{\ Displaystyle {\ SQRT [{3}] {\ {\ SQRT [{3}] {2}} \ -1}} = {\ SQRT [{3}] {\ гидроразрыва {1} {9}}} — {\ SQRT [{3}] {\ гидроразрыва {2} {9}}} + {\ SQRT [{3}] {\ гидроразрыва {4} {9}}}}.
Другие странные выглядящие радикалы, вдохновленные Рамануджане включают:
- 49+2064+49-2064знак равно23,{\ Displaystyle {\ SQRT [{4}] {49 + 20 {\ SQRT {6}}}} + {\ SQRT [{4}] {49-20 {\ SQRT {6}}}} = 2 {\ SQRT {3}}}
- (2+3)(5-6)+3(23+32)3знак равно10-13-565+6,{\ Displaystyle {\ SQRT [{3}] {\ влево ({\ SQRT {2}} + {\ SQRT {3}} \ справа) \ влево (5 — {\ SQRT {6}} \ справа) +3 \ влево (2 {\ SQRT {3}} + {3 \ SQRT {2}} \ справа)}} = {\ SQRT {10 — {\ гидроразрыва {13-5 {\ SQRT {6}}} {5+ {\ SQRT {6}}}}}}.}
Алгоритм Ландау
В 1989 году Сьюзан Ландау представил первый алгоритм для решения вопроса, который вложен радикалы могут быть denested. Ранее алгоритмы работали в некоторых случаях , но не другие.
В тригонометрии
В тригонометрии , в синусах и косинусы многих углов могут быть выражены в терминах вложенных радикалов. Например,
- грехπ60знак равногрех3∘знак равно116[2(1-3)5+5+2(5-1)(3+1)]{\ Displaystyle \ грех {\ гидроразрыва {\ Pi} {60}} = \ грех 3 ^ {\ CIRC} = {\ tfrac {1} {16}} \ влево [2 (1 — {\ SQRT {3}} ) {\ SQRT {5 + {\ SQRT {5}}}} + {\ SQRT {2}} ({\ SQRT {5}} — 1) ({\ SQRT {3}} + 1) \ право]}
а также
- грехπ24знак равногрех7,5∘знак равно122-2+3знак равно122-1+32,{\ Displaystyle \ грех {\ гидроразрыва {\ Pi} {24}} = \ грех 7,5 ^ {\ CIRC} = {\ tfrac {1} {2}} {\ SQRT {2 — {\ SQRT {2 + {\ SQRT {3}}}}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ SQRT {2 — {\ tfrac {1 + {\ SQRT {3}}} {\ SQRT {2}}}}} .}
При решении кубического уравнения
Вложенные радикалы появляются в алгебраическом решении этого кубического уравнения . Любое кубическое уравнение можно записать в упрощенной форме без квадратичного члена, так как
- Икс3+пИкс+Qзнак равно0,{\ Displaystyle х ^ {3} + рх + д = 0,}
общее решение которого для одного из корней
- Иксзнак равно-Q2+Q24+п3273+-Q2-Q24+п3273,{\ Displaystyle х = {\ SQRT [{3}] {- {д \ более 2} + {\ SQRT {{д ^ {2} \ над 4} + {р ^ {3} \ более 27}}}} } + {\ SQRT [{3}] {- {д \ над 2} — {\ SQRT {{д ^ {2} \ над 4} + {р ^ {3} \ над 27}}}}.}}
В случае , в котором кубические имеют только один действительный корень, действительный корень даются выражение этого с подкоренными корнями кубы быть реальными и корни куба быть корни реального куба. В случае трех вещественных корней, выражение квадратного корня мнимого число; здесь любой действительный корень выражается путем определения первого кубического корня , чтобы быть любой специфический комплекс кубический корень из комплексного подкоренного, и путем определения второго корня куба , чтобы быть комплексно сопряженное из первого. Вложенные радикалы в этом растворе не может вообще быть упрощено , если кубическое уравнение не имеет , по меньшей мере , одно рациональное решение. Действительно, если кубик имеет три иррациональные , но реальные решений, у нас есть казус irreducibilis , в котором все три реальных решениях , написанных в терминах кубических корней из комплексных чисел. С другой стороны, рассмотрим уравнение
- Икс3-7Икс+6знак равно0,{\ Displaystyle х ^ {3} -7x + 6 = 0,}
который имеет рациональные решения 1, 2 и -3. Формула Общее решения дает приведенную выше решение
- Иксзнак равно-3+103я93+-3-103я93,{\ Displaystyle х = {\ SQRT [{3}] {- 3 + {\ гидроразрыва {10 {\ SQRT {3}}} {я 9}}}} + {\ SQRT [{3}] {- 3- {\ гидроразрыва {10 {\ SQRT {3}}} {я 9}}}}.}
Для любого данного выбора корня куба и его конъюгата, это содержит вложенные радикалы с участием комплексных чисел, но она сводится (хотя и не очевидно, так) к одному из растворов 1, 2 или -3.
Бесконечно вложенные радикалы
Квадратные корни
При определенных условиях бесконечно вложенные квадратные корни, такие как
- Иксзнак равно2+2+2+2+⋯{\ Displaystyle х = {\ SQRT {2 + {\ SQRT {2 + {\ SQRT {2 + {\ SQRT {2+ \ cdots}}}}}}}}}
представляют собой рациональные числа. Это рациональное число можно найти, понимая , что х также оказывается под знаком радикала, который дает уравнение
- Иксзнак равно2+Икс,{\ Displaystyle х = {\ SQRT {2 + х}}.}
Если мы решим это уравнение, находим , что х = 2 (второе решение х = -1 не применяется, в соответствии с Конвенцией о том , что положительный квадратный корень подразумевается). Этот подход также может быть использован , чтобы показать , что , как правило, если п > 0, то
- N+N+N+N+⋯знак равно12(1+1+4N){\ Displaystyle {\ SQRT {п + {\ SQRT {п + {\ SQRT {п + {\ SQRT {п + \ cdots}}}}}}}} = {\ tfrac {1} {2}} \ влево (1+ { \ SQRT {1 + 4n}} \ справа)}
и является положительным корнем уравнения х 2 — х — п = 0. При п = 1, этот корень является золотым отношение φ, приблизительно равен 1,618. Та же процедура также работает , чтобы получить, если п > 1,
- N-N-N-N-⋯знак равно12(-1+1+4N),{\ Displaystyle {\ SQRT {п — {\ SQRT {п — {\ SQRT {п — {\ SQRT {п- \ cdots}}}}}}}} = {\ tfrac {1} {2}} \ слева (-1 + {\ SQRT {1 + 4n}} \ справа),}
который является положительным корнем уравнения х 2 + х — п = 0.
бесконечные радикалы Рамануйяна
Ramanujan поставил следующую задачу в журнале Индийского математического общества :
- ?знак равно1+21+31+⋯,{\ Displaystyle? = {\ SQRT {1 + 2 {\ SQRT {1 + 3 {\ SQRT {1+ \ cdots}}}}}}.}
Эту проблему можно решить, отметив более общую формулировку:
- ?знак равноaИкс+(N+a)2+Иксa(Икс+N)+(N+a)2+(Икс+N)⋯,{\ Displaystyle? = {\ SQRT {ах + (п + а) ^ {2} + х {\ SQRT {а (х + п) + (п + а) ^ {2} + (х + п) {\ SQRT {\ mathrm {\ cdots}}}}}}}.}
Установка этого F ( х ) и возведения в квадрат обеих сторон дает нам
- F(Икс)2знак равноaИкс+(N+a)2+Иксa(Икс+N)+(N+a)2+(Икс+N)⋯,{\ Displaystyle Р (х) ^ {2} = ах + (п + а) ^ {2} + х {\ SQRT {а (х + п) + (п + а) ^ {2} + (х + п) {\ SQRT {\ mathrm {\ cdots}}}}}}
который может быть упрощена
- F(Икс)2знак равноaИкс+(N+a)2+ИксF(Икс+N),{\ Displaystyle Р (х) ^ {2} = ах + (п + а) ^ {2} + Xf (х + п).}
Тогда можно показать, что
- F(Икс)знак равноИкс+N+a,{\ Displaystyle Р (х) = {х + п + а}.}
Таким образом, установка а = 0, п = 1, х = 2, мы имеем
- 3знак равно1+21+31+⋯,{\ Displaystyle 3 = {\ SQRT {1 + 2 {\ SQRT {1 + 3 {\ SQRT {1+ \ cdots}}}}}}.}
Ramanujan заявил следующую бесконечную радикальную denesting в своем потерянном ноутбуке :
- 5+5+5-5+5+5-5+⋯знак равно2+5+15-652,{\ Displaystyle {\ SQRT {5 + {\ SQRT {5 + {\ SQRT {5 — {\ SQRT {5 + {\ SQRT {5 + {\ SQRT {5 — {\ SQRT {5+ \ cdots}}} }}}}}}}}}}} = {\ гидроразрыва {2 + {\ SQRT {5}} + {\ SQRT {15-6 {\ SQRT {5}}}}} {2}}.}
Повторяющийся узор из знаков (+,+,-,+),{\ Displaystyle (+, +, -, +).}
Выражение Виета для П
Формула Виета для П , отношение длины окружности к ее диаметру, является
- 2πзнак равно22⋅2+22⋅2+2+22⋯,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {2} {\ Pi}} = {\ гидроразрыва {\ SQRT {2}} {2}} \ CDOT {\ гидроразрыва {\ SQRT {2 + {\ SQRT {2}}}} { 2}} \ CDOT {\ гидроразрыва {\ SQRT {2 + {\ SQRT {2 + {\ SQRT {2}}}}}} {2}} \ cdots.}
корни кубические
В некоторых случаях, бесконечно вложенные кубические корни, такие как
- Иксзнак равно6+6+6+6+⋯3333{\ Displaystyle х = {\ SQRT [{3}] {6 + {\ SQRT [{3}] {6 + {\ SQRT [{3}] {6 + {\ SQRT [{3}] {6+ \ cdots}}}}}}}}}
может представлять рациональные числа, а также. Опять же, по понимая, что все выражение появляется внутри себя, мы остались с уравнением
- Иксзнак равно6+Икс3,{\ Displaystyle х = {\ SQRT [{3}] {6 + х}}.}
Если мы решим это уравнение, находим , что х = 2. В целом, мы находим , что
- N+N+N+N+⋯3333{\ Displaystyle {\ SQRT [{3}] {п + {\ SQRT [{3}] {п + {\ SQRT [{3}] {п + {\ SQRT [{3}] {п + \ cdots}}}}} }}}}
это положительный действительный корень уравнения х 3 — х — п = 0 для всех п > 0. При п = 1, этот корень является число пластиковых ρ , приблизительно равна 1.3247.
Та же процедура также работает, чтобы получить
- N-N-N-N-⋯3333{\ Displaystyle {\ SQRT [{3}] {п — {\ SQRT [{3}] {п — {\ SQRT [{3}] {п — {\ SQRT [{3}] {п- \ cdots} }}}}}}}}
как реальный корень уравнения х 3 + х — п = 0 для всех п > 1.
Смотрите также
Рекомендации
дальнейшее чтение
ru.qwertyu.wiki
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
funer.ru
Радикальные решения это как ??
эо когда чтобы не было спама и прочей лабуды интернет тупо отрубается и дальше мы варимся в собственном соку
без понятия вообще)
решительно, окончательно, в полном смысле слова, в корне, сполна, кардинально, совсем, совершенно, чисто, целиком, во всей полноте, полностью, во всем, всесторонне, во всех отношениях, весь, со всей полнотой, сплошь, действенно, в полном объеме, коренным образом, радикальным образом, до основания, начисто, целиком и полностью, до конца, в полной мере, во всем объеме, от начала до конца, абсолютно, вполне, всецело
VIVA LA REVA!! так вот)
это такие решения которые круто меняют твою жизнь, на 180 градусов.
А Вы знаете, что такое радикал? Я, к сожалению, не помню. Наверное радикальное — от него. Может кто-то знает…
Это когда результатом твоего решения …меняется твоя жизнь кардинально….
либо будет вот так, либо-никак
это из всех решений самое решительное бесповоротное, однозначное ставящие точку
touch.otvet.mail.ru
Методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему: Преобразование двойных радикалов
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОЙНЫХ РАДИКАЛОВ.
Выражение вида где — некоторые числа, называется двойным или сложным радикалом.
При преобразовании выражений, содержащих двойные радикалы, часто бывает удобно освободиться в двойном радикале от внешнего радикала.
Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то освободиться от внешнего радикала можно с помощью тождества
Пример1.
Освободиться от внешнего радикала в выражении:
Решение.
а).Представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы.
Слагаемое рассмотрим как удвоенное произведение чисел и 1 или чисел и 2.
Тогда число 7 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором можно найти, что это условие выполняется для чисел 2 и , т.е.
Значит,
б).Попробуем подобрать такие числа и , что
Если такие числа существуют, то выполняются следующие условия:
т.к.
Ответ:
В некоторых случаях удается освободиться от внешнего радикала с помощью формулы двойного радикала: где некоторые числа, причем
Докажем это равенство.
При указанных условиях правая часть равенства представляет собой выражение, которое имеет смысл и принимает неотрицательное значение.
Докажем, что квадрат этого выражения равен
Пример2. Упростить выражение:
Решение.
1способ. Воспользуемся формулой двойного радикала
В данном случае
2способ. Представим подкоренное выражение в виде квадрата двучлена.
Значит, т.к.
Ответ:
Пример3.
Доказать, что при значение выражения не зависит от
Решение.
Освободимся от внешнего радикала в каждом из двойных радикалов.
Если то Значит,
Получаем:
Пример4. Упростить выражение
Решение.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата двучлена.
Ответ:
Практические задания для самостоятельного решения.
1.Упростить выражение:
Ответ: указание: умножить и разделить подкоренное выражение на 2.
2..Докажите, что значение выражения является целым числом: Ответ: 1).-1; 2).1; 3).-1; 4).-2; 5).2.
3.Выяснить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом:
Ответ: 1).3; 2).
4.Упростите выражение:
Ответ:
5.Найдите значение выражения:
Ответ: 1).12; 2).0; 3).1;
6.Упростите выражение:
Ответ:
Самостоятельная работа по теме «Преобразование выражений, содержащих двойные радикалы».
1в. 2в.
1).Найдите значение выражения:
2).Упростите выражение:
nsportal.ru