13. Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке.

Определение: производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда приращение аргумента стремиться к нулю Δх→0

f^’(x) = lim_Δх→0Δу/Δх= lim_Δх→0f(x₀+Δx)-f(x₀)/Δx. Производная в т.х₀-это число. Если т.х₀ меняется, мы получаем функцию f^’(x), которая также называется производной функцией. Нахождение производной-дифференцирование. Производные обозначаются у’ или f^’(x), dy/dx.

Δу/Δх=tg угла наклона секущей к оси ОХ (т.е. её угловому коэффициенту).Если Δх→0, то секущая стремиться к касательной к графику в точке х, поэтому её угловой коэффиц.стремиться к угловом.коэффиц.касательной,т.е. получаем, что углов.коэффиц.касательной-производная. Значение производной в точке х

0 равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции.

Определение: нормалью к плоской кривой γ в т.М₀ называется перпендикуляр к касательной к кривой γ в этой точке. Угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых связаны соотношение к₂=-1/к₁. Отсюда получаем уравнение нормали к графику f(x) в точке х₀:

n:у-у₀=1/ f^’(x₀)(х-х₀)

14. Доказать, что дифференцируемая функция непрерывна.

Теорема: если существует() f^’(x₀), то фун-ия у= f(x) непрерывна в точке x₀.

Док-во: пусть существ. f^’(x₀)= lim_Δx→0Δy/Δx. Тогда Δy/Δx= f^’(x₀)+α, где α=α(х)-б.м. в точке x_{0 =>} Δy= f^’(x₀)Δх+α* Δх или lim_Δx

→0Δy=0, это значит, что у= f(x) непрерывна в точке x₀.

15.Производная суммы и произведения функций.

Пусть u=u(x) и v=v(x)- функции, определенные в некоторой окрестности точки х и имеют производные в этой точке. Обозначим Δ u=u(x+Δх)- u(x) и Δ v=v(x+Δх)- v(х) приращения этих функций, соответствующие приращению Δх. Эти формулы можно записать в виде u(x+Δх)=u+Δu и v(x+Δх)=v+Δv

Теорема: производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: (u+v)’= u’+ v’

Производная произведения (uv)’= u’v+ u v’, в частности, постоянную можно выносить за знак производной: (Сv)’= Сv’

Док-во: пусть у=u(x)+v(x),тогда приращение суммы равно сумме приращений, Δ у=(u(x+Δх)+v(x+Δх)-(u(x)+ v(х))= Δu+Δ v и => у’= lim_Δx→0Δy/Δx= lim_Δx→0 Δu+Δ v /Δх== lim_Δx→0 (Δu/Δх+Δ v /Δх)= lim_Δx→0 Δu/Δх+ lim

Δx_→0Δ v /Δх= u’+ v’

пусть у=u(x)*v(x),тогда приращение произведения равно Δ у=(u(x+Δх)*v(x+Δх)-u(x)*v(х)=(u+Δ u)(v+Δv)- uv=Δuv+uΔv+ΔuΔvи=>у’=lim_Δx→0Δy/Δx=lim_Δx→0Δuv+uΔv+ΔuΔv/Δх==lim_Δx→0(Δu/Δх*v+u*Δv/Δх+Δu/Δx*Δv)= u’v+uv’.

Пусть u(x)=const. применяя2 получаем (Сv)’= C’v+Сv’, т.к. С’=0

16.Производная частного. Производная функций у=tgx, y=ctgx.

Производная частного: (u/v)’= u’v-uv’/v²

Док-во: пусть у=: u(х)/v(х), тогда приращение частного равно Δу= u(х+Δх)/v(х+Δх)- u(х)/v(х)=u+Δu/v+Δv-u/v=(u+Δu)v-u(v+Δv)/(v+Δv)v=Δuv-uΔv/(v+Δv)v и следовательно, y’=lim_Δx→0 Δy/Δx= lim_Δx→0 Δuv-uΔv/Δx*1/(v+Δv)v== lim_Δx→0 Δu/Δx*v-u*Δv/Δx/(v+Δv)v=u’v-uv’/v²

у=tgx, y’=( tgx’)=(sinx/cosx)’= cosxcosx—sinx(-sinx)/cos²x=1/cos²x

y=ctgx, y’=( ctgx’)=(cosx/sinx)’=-sinxsinx— cosxcosx/ sin²x =-1/sin²x

studfile.net

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали

Определение производной. Ее физический смысл. Определение дифференцируемой функции. Сформулировать теорему о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Производная— основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции.

Производная — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.
Процесс вычисления производной называется дифференцированием

Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S= f(t), где t– время движения, то производная функции S– мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у= f(x) – скорость изменения функции в точке х.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция

у=f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х₀.

Следствие. Если х₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример. у=|х| , х₀=0.

Dх>0, ;

Dх<0, .

В точке х₀=0функция непрерывна, но производной не существует.

 

 

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где — угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

 

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ , f ( x₀) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x₀) имеет вид:

y = f ’( x₀) · x + b .

Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x₀) = f ’( x₀) · x₀ + b ,

отсюда, b = f ( x₀) – f ’( x₀) · x₀, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f ( x₀) + f ’( x₀) · ( x – x₀) .

Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x₀; y₀) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением

что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.

В случае бесконечной производной касательная в точке x

0 становится вертикальной и задается уравнением x = x₀, а нормаль – горизонтальной: y = y₀.

 

megaobuchalka.ru

Касательная к графику функции. Задача с параметром.

Задание 7 (№ 119973)  из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прямая  является касательной к графику функции  . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.

Для начала, как обычно,  вспомним теорию, и «вытащим» из условия задачи все факты, которые помогут ее решению.

1.  Так как прямая является касательной к графику функции , следовательно:

а) Производная функции  в точке касания равна коэффициенту наклона прямой  .

То есть y’=-5

Найдем производную функции :

y’=56x+b

Получаем: ,

Так как на значение абсциссы точки касания накладывается дополнительное условие (абсцисса точки касания больше 0), выразим переменную х через параметр 

.

б) Прямая является касательной к параболе, если имеет с ней одну общую точку.

Чтобы найти точку пересечения прямой  и параболы , нужно составить систему уравнений

В конечном итоге, нам нужно определить, при каком значении параметра   эта система имеет единственное решение.

Приравняем правые части уравнений системы:

Перенесем все слагаемые влево и сгруппируем:

Мы получили квадратное уравнение, которое имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю. Приравняем дискриминант к нулю:

Решим квадратное уравнение:

Отсюда ,  .

По условию задачи абсцисса точки касания больше 0.

Вспомним, как мы выразили абсциссу точки касания через параметр  :

Подставим значения параметра  в это равенство.

а)  ,    

б)  ,      

Нас устраивает случай б)

Ответ:  

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru