Прологарифмировать выражение: Логарифмированием — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 03.10.197509.02.2022 by alexxlab

1/7 по основанию 3 (а>0 b>0)

Алгебра1 минута назадБез ответа 0Ответить

Задача 8. Первые 10 км лыжной трассы лыжник прошёл по лесу, а оставшиеся 8 км — по полю. По полю лыжник двигался на 3 км/ч быстрее, чем по лесу. Оп…

Без ответа 0ОтветитьАлгебра3 минуты назадЕсть ответ! 1Ответить

Решите номер 2) с подробным решением пожалуйста, как можно быстрее, даю 20 баллов!!

Есть ответ! 1ОтветитьАлгебра3 минуты назадЕсть ответ! 1Ответить

2. Упростите выражения и найдите их значения: а) 8b3 + 48b2 + 96b — 64, если b=12

Есть ответ! 1ОтветитьАлгебра4 минуты назадЕсть ответ! 2Ответить

Упрости выражение и найди его значение 4(3x-2) +3(x-5)при x = 2 Ответ: …..

Есть ответ! 2ОтветитьАлгебра5 минут назадБез ответа 0Ответить

Срочно помогите с алгеброй пожалуйста!!!

Без ответа 0ОтветитьАлгебра5 минут назадЕсть ответ! 1Ответить

Вычислить путь, пройденный точкой за 4 секунды от начала движения, если скорость точки v=8t+2 (в ответ запишите только цифру)

Есть ответ! 1ОтветитьАлгебра9 минут назадБез ответа 0Ответить

Вычислить: (Ответ в виде числа) коринь с 7 в квадрате умножить на в том же корене на два в 8 степени срочно

Без ответа 0ОтветитьАлгебра9 минут назадБез ответа 0Ответить

Побудуйте графік функції y=2x+1,та знайдіть по графіку 1)y,якщо x=2 2)x,якщо y=-1

Без ответа 0ОтветитьАлгебра11 минут назадБез ответа 0Ответить

Помогите пж срочно! Это алгебра Срочно помогите пж!!!

Без ответа 0ОтветитьАлгебра12 минут назадБез ответа 0Ответить

Выполните 3 задание буквы а и б Алгебра 8 класс

Без ответа 0Ответить

Содержание

Логарифмирование | Логарифмы

Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.

Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если

то

Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.

Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.

ОДЗ:

Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:

(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).

Показатель степени выносим за знак логарифма:

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).

Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.

Пусть

тогда

Обратная замена:

Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:

Ответ: 1; 27.

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:

Пусть

тогда

Возвращаемся к исходной переменной:

Ответ: 1/4; 8.

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:

Замена

Обратная замена

Ответ:

ОЗД: x>0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

Показатель степени вынесем за знак логарифма

Здесь сначала удобно раскрыть скобки

Замена

Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.

В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.

Показательное уравнение, которое нужно прологарифмировать | Trifler

Здравствуйте, дорогие читатели моего канала! Предлагаю Вам разобрать интересное показательное уравнение, которое решается при помощи логарифмирования. Ранее, я уже разбирала другие красивые и необычные показательные уравнения. Ссылки на них прикреплю в конце статьи.

Показательное уравнение, которое мы будем сегодня решать, представлено на картинке:

Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи, а также рассуждаю на некоторые околоматематические темы. Если Вы искренне увлечены математикой, но еще не подписаны на этот канал, то самое время это исправить! Подписаться

Я уверена, что большинство моих читателей могут самостоятельно решить этот пример. Поэтому, если Вы найдете более интересное решение, чем то, которое разобрала я — поделитесь им в комментариях. Буду рада почитать Ваши идеи!

Решение

Сразу заметим, что свести левую и правую часть к одинаковому основанию — задача непростая. Поэтому, как уже понятно из названия, мы пойдем другим путем и возьмем от обеих частей уравнения логарифм с основанием 3. Получим такое выражение:

Заметим, что дробь, стоящую под логарифмом в правой части, можно записать в виде степени с отрицательным показателем:

Теперь, можем воспользоваться свойством логарифма, которое я запишу ниже:

Используем это свойство для упрощения нашего примера. Получим такой результат:

Теперь перенесем все в левую часть и перед нами окажется обычное квадратное уравнение:

Найдем его корни при помощи формулы дискриминанта:

На самом деле, тут бы можно было записать ответ, т.к. в условии нет указания, какие именно корни мы должны искать. Поэтому, нас не очень волнует, что там творится под знаком корня — комплексные корни будут. Но, все же, если вдруг нужно удостовериться, что корни — действительные числа, то нужно исследовать подкоренное выражение. Поработав с ним, получим:

Получается, что подкоренное выражение — положительное. Следовательно уравнение имеет два различных действительных корня. Можем записывать ответ:

Ответ

На мой взгляд, уравнение довольно хорошее. Да, оно решается довольно стандартным способом. Однако, при его решении нужно вспоминать свойства логарифмов, преобразовывать выражения.

Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!

Ниже, привожу ссылки на другие статьи с показательными уравнениями:

Красивое показательное уравнение
Интересное показательное уравнение для 10-го класса

Определение логарифма, логарифм произведения, степени, частного. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА. ЛОГАРИФМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СТЕПЕНИ, ЧАСТНОГО.

Определение. Логарифмом положительного числа по основанию () называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

В записи число является основанием степени, — показателем, — степенью. Число - это показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Следовательно, - это логарифм числа по основанию :

Можно сказать, что формулы и равносильны, выражают одну и ту же связь между числами , и (при > 0, ¹ 1, > 0).

Число - произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.

Равенство

называется основным логарифмическим тождеством.

Представляя в равенстве выражение в виде степени, получим ещё одно тождество

Теорема. Для чисел > 0, > 0, > 0, ¹ 1 верны следующие тождества, выражающие свойства логарифмов:

1) , т. е. логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей;

2) , т. е. логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя;

3) , т. е. логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания.

Доказательство. 1) Пусть , . По основному логарифмическому тождеству , . Перемножим эти равенства: . По свойству степеней , т. е. . По определению логарифма

, т. е.

, что и требовалось доказать.

2) Пусть , . По основному логарифмическому тождеству: , . Тогда

По свойству степеней

, т. е.

По определению логарифма

, т. е.

, что и требовалось доказать.

3) Пусть . По основному логарифмическому тождеству . Тогда

По определению логарифма

, т. е. . Теорема доказана.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО ОСНОВАНИЯ К ДРУГОМУ.

Если в равенстве основание равно 10, то логарифм называется десятичным и обозначается . Если же в равенстве основание равно , где - бесконечная непериодическая десятичная дробь, то логарифм называется натуральным и обозначается . Свойства десятичных и натуральных логарифмов аналогичны свойствам обыкновенных логарифмов и они отличаются лишь формой записи.

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов:

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, т. е. .
Если логарифм некоторого числа равен нулю, то это число равно единице, т. е. когда , то .
Если число и основание логарифма равны между собой, то логарифм равен единице, т. е. . В частности , .
Если логарифм некоторого числа равен единице, то это число равно основанию логарифма, т. е. если , то .
Если два числа имеют один и тот же логарифм при данном основании, то эти числа равны между собой, т. е. из равенства следует .

Если число и основание логарифма одновременно больше или меньше единицы, то логарифм положителен, т. е. если (или ) то .
Если число и основание логарифма расположены по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен, т. е. если а или а , то .
. В частности , .
Если основание логарифма больше единицы, то большему из двух положительных чисел соответствует больший логарифм, т. е. если и , то .
Если основание логарифма меньше единицы, то большему из двух положительных чисел соответствует меньший логарифм, т. е. если и , то .

Между логарифмами некоторого положительного числа с двумя разными основаниями и существует зависимость, которую можно выразить формулой

Эту формулу называют формулой перехода от одного основания к другому. В частности из неё следует, что или , кроме того , .

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЛОГАРИФМЫ.

Используя свойства логарифмов, можно представить логарифм некоторого выражения, составленного из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, в виде суммы логарифмов входящих в него чисел.

Такое преобразование называют логарифмированием.

Пример 1. Прологарифмировать выражение по основанию ().

Решение. Применяя свойства логарифмов, получим

Во многих случаях приходится решать обратную задачу, т. е. находить выражение, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел. Такое преобразование называют

потенцированием.

Пример 2. Найти , если

Решение. Используя свойства логарифмов, получаем:

. Таким образом . Отсюда .

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.

Логарифм числа.

Логарифмом числа
b
по основанию
a
называется показатель степени, в которую надо возвести основание a
, чтобы получилось число b
.
Обозначение:
log_a b
.
Читаем: «логарифм от
b
по основанию
a
«.

Нахождение логарифма равносильно решению показательного уравнения:

Показательное уравнение:

a^x=b,

при условии a>0; a≠1; b>0, где

x — показатель степени,

a — основа степени,

b — степень числа a.

Логарифмическое уравнение:

log_a b=x,

при условииa>0; a≠1; b>0,где

x — логарифм числа b

по основанию a,

a — основа логарифма,

b — число, которое стоит

под знаком логарифма.

Примеры:

2⁵=32 ⇔ 5= log₂ 32;

3⁴=81 ⇔ 4= log₃ 81;

log_1/5 125=-3 ⇔

⇔ (1/5)^-3=125;

log₂ (1/16)=-4 ⇔

⇔ 2^-4=1/16;

Основное логарифмическое тождество:

a ^log_a b= b,

при условии a>0; a≠1; b>0.

3^log₃ 7= 7,

3 ^-log₃ 7= 1/3 ^log₃ 7=1/7,

4 ^log₂ 7= 2 ^2log₂ 7=(2 ^log₂ 7)²=7²,

2 ^1+log₂ 7=2·2 ^log₂ 7= 2·7=14,

Десятичным логарифмом числа b называется логарифм числа b по основанию 10 .
Обозначение: lg b =log₁₀ b .
Свойство: 10^{lg b} =b .
Примеры:
lg 10 =log₁₀ 10=1;
lg 100 =log₁₀ 100= log₁₀ 10²=2 log₁₀ 10=2·1=2;
lg 1000 =log₁₀ 1000= log₁₀ 10³=3 log₁₀ 10=3·1=3;
lg 0,1 =log₁₀ 0,1= log₁₀ 10^-1=-1 log₁₀ 10=-1;
lg 0,01 =log₁₀ 0,01= log₁₀ 10^-2=-2 log₁₀ 10=-2·1=-2;
lg 0,001 =log₁₀ 0,001= log₁₀ 10^-3=-3 log₁₀ 10=-3·1=-3.

**Свойства логарифмов**
log_b *b =1* , *b>0,* *b≠1,* *поскольку* *b¹=b. Логарифм числа по том же положительном (* *b>0* *) отличным от нуля основании (* *b≠1* *) равен единицы 1.* Примеры: log₁₀ *10 =1;* log_1/3 *1/3 =1;* log₇ *x=1, отсюда x=7;*
log_a *1 =0 ,* *a>0,* *a≠1,* *поскольку* *a⁰=1. Логарифм единицы 1 по любому положительному (* *a>0* *) отличныму* *от нуля* ( *a≠1* ) *основанию равен нулю 0.* Примеры: log₁₉ *1 =0;* log₆ *x =0, отсюда* *x=1;*
log_a(bc)= log_a *b +* log_a *c ,* *b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм произведения.* *Логарифм произведения равен сумме логарифмов.* Примеры: lg *18 =lg (6·3)= lg 6 +* lg 3; lg *50 +* lg *2 =lg (50·2) =lg 100=2;*
log_a(b/c)= log_a *b —* log_a *c ,* *b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм дроби (частного).* *Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя.* Примеры: log₄ *4/7 =log₄ 4 –* log₄ *7 =* =1 – log₄ 7; log₃ *5 –* log₃ *5/27 =* =log₃ *(5: 5/27) =* log₃ *27 = 3;*
log_abⁿ= n· log_a b, *b>0,a>0,a≠1, — логарифм степени,* log_ab^1/ⁿ= 1/n· log_a b, *b>0,a>0,a≠1.* *Логарифм степени равен произвидению показателя и логарифма основания.* Примеры: log₄*64 =* log₄ *4³ = 3·* log₄ *4 = 3·1* *= 3 ;* lg *16 =* lg *2⁴ = 4·* lg 2 ; lg √*343 =* lg √*7³ =* lg *7^3/2* *= 3/2·* lg 7 ; 11· lg *x =* lg *x¹¹*;
log_a^mb =1/m · log_a b, *b>0,a>0,a≠1,* log_a^mbⁿ=n/m · log_a b, *b>0,a>0,a≠1,* Примеры: log₂₅2= log_5²*2= 1/2·* log ₅ 2; log_√77= log_7^1/27= 1/(1/2)· log₇ 7= 2· log₇ 7= 2·1=2; log_3^1/23^3/2= (3/2)/(1/2)· log₃ 3= 3· log₃ 3= 3·1=3;
log_a *b =1/* log_b a; log_a *b =* log_c *b /* log_c a; — переход к новому основанию Примеры: log₆*11 ·* log₁₁6= log₆*11 · 1/* log₆*11=* 1; log₇*3 ·* log₃5= log₇3· (log₇5/ log₇3)= log₇5; — переход к новому основанию

Логарифмированием называется нахождение логарифмов заданных чисел или выражений

**Логарифмирование**
*Прологарифмировать выражения по произвольному основанию a .*
Используем правило: *логарифм произведения.*	*1) x= 3abc;* log_ax= log_a3+ log_aa+ log_ab+ log_ac.
Используем правила: *логарифм произведения, логарифм частного (дроби).*	*2) x= ab/4;* log_ax= log_aa+ log_ab- log_ac.
Используем правила: *логарифм произведения, логарифм степени.*	*3) x= 2m⁸n⁶;* log_ax= log_a2+ 8log_am+ 6log_an.

Потенцированием называется нахождение чисел (выражения) по заданому логарифму числа (выражения).

**Потенцирование**
*Пропотенцировать выражение и найти х .*
Сумму логарифмов заменим: *логарифмом произведения:*	1) lgx= lg2+ logm+ lgn; lgx= lg2mn; *x= 2mn.*
Запишем правило, обратное *логарифму степени и частного:*	2) lgx= 5 lga- 7 lgb; lgx= lga⁵— lgb⁷; *x= a⁵/b⁷.*

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

OKTRES (Методы и отчеты по лабам РЭС) — PDF, страница 12

Для одно- и двукратновыборочных планов по известным параметрам n1, c1, c2, n2, c3 можно построить оперативную характеристику, рассматривая ее как вероятностьпринятия партии с долей брака р.Проверяемые характеристики для контроля партии изделий по методу двукратной выборки могут быть определены следующим образом:1) объем первой выборки n1 должен составлять две трети от объемаэквивалентной однократной выборки, т. е. n1=2/3n0;2) объем второй выборки должен в два раза превышать объем первойвыборки, т. е.

n2=2n1.Метод последовательного анализа. Объем испытаний заранее неустанавливается, а количество изделий в выборке постепенно увеличивается, т. е. из проверяемой партии последовательно (но случайным образом)берутся изделия по одному (или по несколько) и определяются их характеристики. По этим характеристикам принимается одно из трех решений:1) принять партию;2) забраковать партию;3) продолжать контроль.Контроль заканчивается в случае, когда принимается первое иливторое решение.При использовании данного метода сравнивают величину γ , называемую отношением правдоподобия, с величинами β/(1-α) и (1- β )/α, причем, еслиγ ≥ (1- β )/α — партия бракуется;(5.1)γ ≤ β/(1-α) — партия принимается;(5.2)β/(1-α) <γ <(1- β )/α — контроль продолжается.(5.3)В случае распределения дефектных изделий по закону Пуассона (чтоимеет место при p=(m/n)<0,1) отношение правдоподобия будет выражаться через плотности распределения числа дефектных изделий в выборкеf(m,λ), т.

е.721(n ⋅ pβ )m ⋅ e−(n⋅ p β )f (m, λ2 ) m!,=γ =f (m, λ1 ) 1 (n ⋅ p )m ⋅ e − (n⋅ pα )αm!(5.4)где λ1=m рα и λ21=m рβ — математические ожидания числа дефектныхизделий в выборке n с учетом вероятностных ошибок α и β соответственно.При контроле каждого последующего изделия в выборке границыдля соотношения правдоподобия не меняются, меняются лишь само соотношение. Это позволяет свести метод последовательного анализа к элементарно простым алгоритмам.Прологарифмировать выражение (5.4) и, разрешив полученное уравнение относительно m, получим выражения для определения границ зоныприемки и зоны браковки партии изделий:где⎛p⎞A + n ⋅ pα ⎜⎜ β − 1⎟⎟⎝ pα⎠,mн =pβlnpα(5.5)⎛p⎞B + n ⋅ pα ⎜⎜ β − 1⎟⎟⎝ pα⎠,mв =pβlnpα(6.6)A = lnβ1− β, B = ln1−αα.В соответствии с уравнениями (5.5) и (5.6) построим в системе координат {m, n} прямые для mн и mв (рис.

5.5). Эти прямые параллельны, поскольку их угловые коэффициенты равны и разделяют плоскость системыкоординат на три зоны: приемки, браковки и продолжения контроля.Если опытная точка (координаты которой определяются по нарастающему итогу величин m и n) попадает в зону браковки, то проверку прекращают, а партию изделий бракуют.73Порядок выполнения работы1.Получить вариант задания (табл. 5.1), проанализировать исходныеданные и рассчитать недостающие характеристики, пользуясь номограммой(рис.5.3).

В дальнейшем пп. 2-6 выполнять на ЭВМ в соответствии с инструкцией к «Программе» работы на ЭВМ.Таблица 5.1αβ№вариантаpα10.010.060.050.1122-2.252.891.820.030.070.150.2122-1.451.670.8530.0060.010.10.2011-1.52.083.040.020.040.020.1011-2.283.80.750.10.20.020.06233-2.973.860.760.0010.060.050.1122-2.252.893.9pβс1с2c3=c2ABlnpβpα2. По заданному варианту построить оперативную характеристику почетырем характерным точкам.3.

Проконтролировать n резисторов по методу однократной выборки.Сделать вывод по результатам контроля.4. Проконтролировать n1 резисторов первой выборки по методу двукратной выборки. По результатам контроля принять решение.5. Проконтролировать n2 резисторов второй выборки (если принятосоответствующее решение по п. 4) и сделать выводы.6.

Проконтролировать исследуемую партию резисторов методом последовательного анализа:6.1. Рассчитать значения границ зоны приемки mн и зоны браковки mвпо формулам (5.5) и (5.6).6.2. Построить предельную диаграмму в соответствии с рис. 5.5 ирассчитанными значениями границ mн и mв. 746.3. Поочередно контролируя резисторы, фиксировать и заносить награфик рис. 5.5 количество дефектных резисторов m. По расположению точек (m, n) принимать решение о принятии или браковке партии резисторовили продолжении контроля.7. Полученные в п. 6 результаты сравнить с результатами контроляэтой же партии резисторов двумя предыдущими методами.

Сделать выводы по всем трем методам статистического контроля качества партии резисторов.8. Повторить пп. 4 – 7 для нового допуска на резисторы (по заданиюпреподавателя).9. Оформить отчет о выполненной работе.Работа может выполняться на ЭВМ. При этом все изучаемые процессы имитируются на ЭВМ (построение графиков, выдача справочной и контрольной информации). При использовании в работе ЭВМ необходимо руководствоваться специально разработанным руководством пользователя.Содержание отчета1.2.3.4.Краткое описание работы (цель, основные методы и задание).Оперативная характеристика для метода однократной выборки.Диаграммы методов однократной и двукратной выборок. Предельная диаграмма метода последовательного анализа.755.

Результаты контроля по всем трем методам статического контроля качества резисторов.6. Выводы о проделанной работе.Контрольные вопросы1. Дайте сравнительную характеристику основных путей реализациивыборочного контроля качества продукции.2. Назовите основные методы приемочного статистического контроля качества изделий и дайте их краткую характеристику.3.

Поясните принцип метода однократной выборки; метода двукратной выборки; метода последовательного анализа.4. Что представляет собой идеальная оперативная характеристика?5. Как построить оперативную характеристику выборочного контроля по характерным точкам?6. Как рассчитывается объем выборки для контроля по методу однократной выборки? По методу двукратной выборки?7. Нарисуйте схему приемочного контроля по методу последовательного анализа и поясните методику принятия решения по результатам контроля.8.

Как рассчитать и построить границы зон приемки и браковки дляконтроля по методу последовательного анализа?Библиографический список1. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества.

– М.:Мир,1970.2. Коуден Д. И. Статистические методы контроля качества. – М.:Физматиздат, 1961.76СОДЕРЖАНИЕПредисловие3Работа 1. Разработка топологии гибридной тонкопленочной микросборкиРабота 2. Разработка конструкции блока вычислительного РЭС на стадии эскизного проектирования с использованием персонального компьютераРабота 3. Исследование теплового режима блока цифрового радиоэлектронного средства на бескорпусных микросборкахРабота 4. Отработка функциональных показателей микросборок экспериментальными методамиРабота 5.

Изучение статистических методовприемочного контроля микроэлектронных устройств77429445768.

Логарифмирование — Мрия-Урок

Оказывается логарифмы — не только увлекательное времяпровождение на уроках алгебры. Они реально используются в жизни. Например в астрономии, или химии, или даже в музыке.
Урок алгебры в 11 классе.
Больше уроков на сайте https://mriya-urok. com/

Логарифмирование и потенцирование

Если некоторое числовое выражение A составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить log_a A через логарифмы входящих в выражение A чисел. Такое преобразование называется логарифмирование.

№1.Прологарифмировать выражение по основанию 2.

Решение

log₂ = — = 3 – ( + )=

= 3 — — =3 -2 — 3 .

Для любознательных. Кроме десятичных, натуральных логарифмов, существуют и двоичные логарифмы. Это логарифмы с основанием 2. ₌lbx. Они применяются в теории информации и информатике.

№2.Прологарифмировать выражение A= по основанию 10.√

логарифмирование по основанию 10. По теореме о логарифме дроби

lgA =lg (13² ) — lg

Теорема о логарифме произведения дает:

lg(13² ) = lg 13² + lg ,

lg = lg + lg

Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем:

lg 13² = 2 lg13, lg = lg67,

lg = lg140=(lg14 + lg10) = lg14 + lg10 = lg14 +

lg = lg98.

Такимобразом,

lgA = 2lg13 + lg14 + — lg67 — lg 98.

Лирическое отступление

Децибе́л(дБ)— логарифмическая единица уровней, затуханий и усилений, применяемая в электронике и радиотехнике. В децибелах выражают уровень и мощность электрических и звуковых сигналов, выдаваемых усилителями и динамиками.

Приставка «деци» применяется для обозначения единиц, равных 1/10 от исходной. Соответственно, децибел — это 1/10 Бела (единица измерения, названная в честь Александра Белла).

Бел определяется, как десятичный логарифм отношения электрических, акустических или других мощностей:

Бел = lg(P₁/P₀)

дБ = 10lg(P₁/P₀),где P₁/P₀ — отношение значений двух мощностей: измеряемой P₁ к так называемой опорной P₀, то есть базовой, взятой за нулевой уровень(имеется ввиду нулевой уровень в единицах дБ).

Примеры:

Усилитель мощности усиливает сигнал в 2 раза.

P₀ = 1Вт, P₁ = 2Вт

10 lg(P₁/P₀) = 10 lg(2/1) 10 0,301 =3.01дБ

Таким образом, это значит, что он усиливает на 3дБ

Стократное уменьшение мощности соответствует -20дБ.

P₀ = 1Вт, P₁ = 0.01Вт

10 lg (P₁/P₀) = 10lg(0.01/1) = 10 lg = -2· 10 = — 20 (дБ).

Применение логарифмов в реальной жизни

Физика — интенсивность звука (децибелы).

Астрономия — шкала яркости звёзд.

Химия — активность водородных ионов (pH).

Сейсмология — шкала Рихтера.

Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

Логарифмами пользуемся во всех сферах жизни, где требуются точные расчёты — станкостроение, ракетостроение, строительство мостов, зданий, космических кораблей, да везде, кроме домашнего хозяйства, но и дома мы пользуемся приборам, сделанными по расчётам при помощи логарифмов!

5.

x\), где \(x\) представляет количество недель, в течение которых Прошло.Икс . \номер\]

Хотя мы настроили экспоненциальные модели и использовали их для прогнозирования, вы, возможно, заметили, что решение экспоненциальных уравнений еще не упоминалось. Причина проста: ни один из обсуждавшихся до сих пор алгебраических инструментов недостаточен для решения экспоненциальных уравнений. Рассмотрим уравнение 2 ^x = 10 выше. Мы знаем, что 2 ³ = 8 и 2 ⁴ = 16, поэтому ясно, что x должно быть некоторым значением между 3 и 4, поскольку g ( x ) = 2 ^x равно . увеличение.Мы могли бы использовать технологию для создания таблицы значений или графика, чтобы лучше оценить решение, но мы хотели бы найти алгебраический способ решения уравнения.

Нам нужна операция, обратная возведению в степень, чтобы найти переменную, если переменная находится в показателе степени. Как мы узнали на уроке алгебры (необходимое условие для этого конечного курса математики), обратная функция для экспоненциальной функции является логарифмической функцией.

Мы также узнали, что экспоненциальная функция имеет обратную функцию, потому что каждое выходное значение (y) соответствует только одному входному значению (x).Имя, данное этому свойству, было «один к одному».

Источник: материалы в этом разделе учебника получены от Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, книжного магазина Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Chapter 4: Exponential and Logarithmic Functions», под лицензией Creative Commons CC BY-SA 3.0. лицензия. Материал здесь основан на материале, содержащемся в этом учебнике, но был изменен Робертой Блум, как разрешено этой лицензией.

Логарифм

Функция логарифма (по основанию b ), записанный log _b ( x ), является обратной экспоненциальной функции (по основанию b ), b ^{x 9.{\ log_ {b} (x)} = x \ не число \]}

Поскольку log — это функция, правильнее всего записать его как log _b ( c ), используя круглые скобки для обозначения вычисления функции, как и в случае f(c) . {-3} = \frac{1}{1000}\)

Раствор

а.{2}=9\)
Установив взаимосвязь между экспоненциальной и логарифмической функциями, теперь мы можем решать основные логарифмические и экспоненциальные уравнения путем перезаписи.
Пример \(\PageIndex{3}\)
Журнал решения ₄ ( x ) = 2 для x .
Раствор
Переписывая это выражение в виде экспоненты, 4 ² = x , поэтому x = 16
Пример \(\PageIndex{4}\)
Решить 2 ^x = 10 для x .
Раствор
Переписав это выражение в виде логарифма, мы получим x = log ₂ (10)
Хотя это и определяет решение, вы можете найти его несколько неудовлетворительным, поскольку трудно сравнить это выражение с десятичной оценкой, которую мы сделали ранее. Кроме того, давать точное выражение для решения не всегда полезно — часто нам действительно нужна десятичная аппроксимация решения. К счастью, с этой задачей хорошо справляются калькуляторы и компьютеры.К несчастью для нас, большинство калькуляторов и компьютеров вычисляют логарифмы только по двум основаниям: по основанию 10 и по основанию e . К счастью, в конечном итоге это не проблема, так как мы скоро увидим, что можем использовать формулу «изменения основания» для вычисления логарифмов для других оснований.
Обыкновенные и натуральные логарифмы
Общий журнал представляет собой логарифм с основанием 10 и обычно записывается как \(\log (x)\), а иногда и как \(\log_{10} (x)\). Если основание не указано в логарифмической функции, то используемое основание b равно \(b=10\).
Натуральный логарифм представляет собой логарифм по основанию \(e\) и обычно записывается как \(\ln (x)\).
Обратите внимание, что для любого другого основания b, отличного от 10, основание должно быть указано в обозначении \(\log_b (x)\).
Пример \(\PageIndex{5}\)
Вычислите \(\log(1000)\), используя определение общего журнала.
Раствор
В таблице приведены значения общего журнала
номер
число экспоненциальное
журнал (номер )
1000
10 ³
3
100
10 ²
2
10
10 ¹
1
1
10 ⁰
0
0. 1
10 ^-1
-1
0,01
10 ^-2
-2
0,001
10 ^-3
-3
Чтобы оценить log(1000), мы можем сказать
\[ х = \лог(1000)\номер\]
Затем перепишите уравнение в экспоненциальной форме, используя общее логарифмическое основание 10
\[10^x = 1000 \номер\]
Из этого мы можем узнать, что 1000 — это куб числа 10, поэтому
\[х=3 \не число\]
В качестве альтернативы, мы можем использовать обратное свойство журналов для записи
\[\log_{10}(10^3) = 3 \не число\]
Пример \(\PageIndex{6}\)
Вычислить \(\log\left(\dfrac{1}{1,000,000}\right)\)
Раствор
Чтобы оценить log(1/1 000 000), мы можем сказать
\[x=\log (1 / 1 000 000)=\log \left(1/10^{6}\right)=\log \left(10^{-6}\right) \nonnumber\]
Затем перепишите уравнение в экспоненциальной форме: \(10^{x}=10^{-6}\)
Следовательно \(х = -6\)
В качестве альтернативы, мы можем использовать обратное свойство журналов, чтобы найти ответ:
\[ \log _{10}\left(10^{-6}\right)=-6 \nonnumber\]
Пример \(\PageIndex{7}\)
Оценить
\(\ln e^5\)
\(\ln \sqrt{e}\)
Раствор
а. {1 / 2}\справа)=1 / 2 \номер\]
Пример \(\PageIndex{8}\)
Оцените с помощью калькулятора или компьютера следующее:
\(\лог 500\)
\(\ln 500\)
Раствор
а. Используя клавишу LOG на калькуляторе для вычисления логарифмов по основанию 10, мы вычисляем LOG(500)
.
Ответ: \(\log 500 \примерно 2,69897\)
б. Используя клавишу LN на калькуляторе для вычисления натуральных логарифмов , , мы вычисляем LN(500)
Ответ: \(\ln 500 \примерно 6.{x}=\log _{c} A\).
Теперь используется свойство экспоненты для журналов с левой стороны,
\[x \log _{c} b=\log _{c} A \nonumber\]
Разделив, мы получим \(x=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)}\), что является изменением базовой формулы.
Вычисление логарифмов
С изменением формулы основания \(\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)}\) для любых оснований \ (b\), \(c >0\), мы наконец можем найти десятичное приближение к нашему вопросу из начала раздела. х = 10\) для \(х\).
Раствор
Переписать экспоненциальное уравнение 2 ^x = 10 как логарифмическое уравнение
\[x=\log _{2}(10) \номер\]
Используя формулу замены основания, мы можем переписать логарифм по основанию 2 как логарифм по любому другому основанию. Поскольку наши калькуляторы могут оценивать натуральный логарифм, мы можем использовать натуральный логарифм, который является основанием логарифма e :
.
Используя наши калькуляторы, чтобы оценить это, \(\frac{\ln (10)}{\ln (2)}=\mathrm{LN}(10) / \mathrm{LN}(2) \приблизительно 3.3219\)
Это, наконец, позволяет нам ответить на наш первоначальный вопрос, поставленный в начале этого раздела:
Для популяции из 50 мух, которая удваивается каждую неделю, потребуется приблизительно 3,32 недели, чтобы вырасти до 500 мух.
Пример \(\PageIndex{10}\)
Вычислите \(\log_{5}(100)\), используя формулу изменения базы.
Раствор
Мы можем переписать это выражение, используя любую другую базу.
Метод 1: мы можем использовать основание натурального логарифма e с изменением формулы основания
\[\log _{5}(100)=\frac{\ln (100)}{\ln (5)}=\mathrm{LN}(100) / \mathrm{LN}(5) \приблизительно 2 .861 \номер\]
Метод 2: мы можем использовать десятичный логарифм с основанием 10 с изменением формулы основания,
\[\ log _ {5} (100) = \ frac {\ log (100)} {\ log (5)} = \ operatorname {LOG} (100) / \ mathrm {LOG} (5) \ приблизительно 2,861 \номер\]
Суммируем взаимосвязь экспоненциальной и логарифмической функций
Логарифмы
Функция логарифма (по основанию b ), записанный log _b ( x ), является обратной экспоненциальной функции (по основанию b ), b ^{x 9.032{q}\right)=q \log _{b}(A) \nonumber\)}
Свойства журналов: Изменение базы: \(\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)} \text { для любого основания } b, c>0 \nonnumber\)
Обратное, экспоненциальное и изменение основных свойств, указанные выше, позволят нам решить уравнения, возникающие в задачах, с которыми мы сталкиваемся в этом учебнике. Для полноты сформулируем еще несколько свойств логарифмов
Сумма журналов Свойство: \(\log _{b}(A)+\log _{b}(C)=\log _{b}(A C)\)
Разница журналов Свойство: \(\log _{b}(A)-\log _{b}(C)=\log _{b}\left(\frac{A}{C}\ справа)\)
Журналы обратных величин: \(\log _{b}\left(\frac{1}{C}\right)=-\log _{b}(C)\)
Обратные основания: \(\log _{1 / b} C=-\log _{b}(C)\)
Источник: материалы в этом разделе учебника получены от Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции», под лицензией Creative Commons CC BY-SA 3 .0 лицензия. Материал здесь основан на материале, содержащемся в этом учебнике, но был изменен Робертой Блум, как разрешено этой лицензией.
4.6: Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Использование как базы для решения экспоненциальных уравнений
переписывающих уравнений, поэтому все силы имеют одинаковую базу
, решающие экспоненциальные уравнения
, используя уравнения Logarithms
, содержащие \ (E \)
посторонние решения
с использованием определения Логарифм для решения логарифмических уравнений
Использование свойства взаимно однозначности логарифмов для решения логарифмических уравнений
Решение прикладных задач с использованием экспоненциальных и логарифмических уравнений
Ключевые уравнения
Ключевые концепции
Участники
Навыки для развития
Используйте одинаковые основания для решения экспоненциальных уравнений.
Используйте логарифмы для решения экспоненциальных уравнений.
Используйте определение логарифма для решения логарифмических уравнений.
Используйте свойство логарифмов «один к одному» для решения логарифмических уравнений.
Решение прикладных задач на экспоненциальные и логарифмические уравнения.
В 1859 году австралийский землевладелец по имени Томас Остин выпустил \(24\) кроликов в дикую природу для охоты. Поскольку в Австралии было мало хищников и достаточно еды, популяция кроликов резко возросла.Менее чем за десять лет популяция кроликов исчислялась миллионами.
Рисунок \(\PageIndex{1}\): Дикие кролики в Австралии. Популяция кроликов в Австралии росла так быстро, что это событие стало известно как «кроличья чума». (кредит: Ричард Тейлор, Flickr)
Неконтролируемый рост популяции, как у диких кроликов в Австралии, можно смоделировать с помощью экспоненциальных функций. {x+1}=−2\).
Раствор
Это уравнение не имеет решения. Не существует действительного значения \(x\), которое сделало бы уравнение верным утверждением, потому что любая степень положительного числа положительна.
Анализ
На рисунке \(\PageIndex{2}\) показано, что два графика не пересекаются, поэтому левая сторона никогда не равна правой стороне. Таким образом, уравнение не имеет решения.
Рисунок \(\PageIndex{2}\)
Иногда члены экспоненциального уравнения не могут быть переписаны с общим основанием.В этих случаях мы решаем, логарифмируя каждую сторону.
Для заданного показательного уравнения, в котором нельзя найти общее основание, найдите неизвестное
Примените логарифмическую функцию к обеим частям уравнения.
Если один из членов уравнения имеет основание 10, используйте десятичный логарифм.
Если ни один из членов уравнения не имеет основание 10, используйте натуральный логарифм.
Используйте правила логарифмирования, чтобы найти неизвестное.x \qquad \text{Взять ln с обеих сторон}\\
(x+2)\ln5&= x\ln4 \qquad \text{Использовать законы логарифма}\\
x\ln5+2\ln5&= x\ln4 \qquad \text{Используем распределительный закон}\\
x\ln5-x\ln4&= -2\ln5 \qquad \text{Получить термы, содержащие x с одной стороны, термы без x с другой}\\
x( \ln5-\ln4)&= -2\ln5 \qquad \text{В левой части вынесите x}\\
x\ln \left (\dfrac{5}{4} \right )&= \ln \left (\dfrac{1}{25} \right ) \qquad \text{Используйте законы журналов}\\
x&=\dfrac{\ln \left (\dfrac{1}{25} \right )}{\ln \left (\dfrac{5}{4} \right )} \qquad \text{Деление на коэффициент при x}
\end{align*}\]
Анализ
Если нам нужно десятичное приближение этого значения, мы можем немного отступить и вычислить \(\dfrac{-2\ln 5}{\ln\left(\frac{5}{4}\right)} \ примерно -14.{2т}\).
Ответить
\(t=\ln \left (\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right )=-\dfrac{1}{2}\ln(2) \приблизительно -0,347\)
Иногда методы, используемые для решения уравнения, вводят постороннее решение , которое является решением, правильным алгебраически, но не удовлетворяющим условиям исходного уравнения. c=S \end{align}\]
Пример \(\PageIndex{9}\): использование алгебры для решения логарифмического уравнения
Решите \(2\ln x+3=7\).3,3)\), что примерно равно \((20,0855, 3)\).
Как и в случае экспоненциальных уравнений, мы можем использовать свойство «один к одному» для решения логарифмических уравнений. Свойство взаимно однозначности логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел \(x>0\), \(S>0\), \(T>0\) и любого положительного действительного числа \(b\ ), где \(b≠1\),
Если \({\log}_bS={\log}_bT\), то \(S=T\).
Например,
Если \({\log}_2(x−1)={\log}_2(8)\), то \(x−1=8\).
Итак, если \(x−1=8\), то мы можем найти \(x\), и мы получим \(x=9\).Чтобы проверить, мы можем подставить \(x=9\) в исходное уравнение: \({\log}_2(9−1)={\log}_2(8)=3\). Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равны. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Поэтому, когда у нас есть уравнение с логарифмами одинакового основания на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать каждую сторону как один логарифм. Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции являются взаимно однозначными, чтобы установить аргументы равными друг другу и найти неизвестное.
Например, рассмотрим уравнение \(\log(3x−2)−\log(2)=\log(x+4)\). Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую часть как одиночный логарифм, а затем применить свойство «один к одному» для решения для \(x\):
\[\begin{align*} \log(3x-2)-\log(2)&= \log(x+4)\\ \log \left (\dfrac{3x-2}{2} \right )&= \log(x+4) \qquad \text{Применить правило отношения логарифмов}\\ \dfrac{3x-2}{2}&= x+4 \qquad \text{Применить свойство «один к одному» логарифма}\\ 3x-2&= 2x+8 \qquad \text{Умножить обе части уравнения на 2}\\ x&= 10 \qquad \text{Вычесть 2x и прибавить 2} \end{align*}\ ]
Чтобы проверить результат, подставьте \(x=10\) в \(\log(3x−2)-\log(2)=\log(x+4)\).
\[\begin{align*} \log(3(10)-2)-\log(2)&= \log((10)+4) \\ \log(28)-\log(2)& = \log(14)\\ \log\left (\dfrac{28}{2} \right )&= \log(14) \qquad \text{Проверка решения} \end{align*}\]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВА ОДИН К ОДНОМУ ЛОГАРИФМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИТМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для любых алгебраических выражений \(S\) и \(T\) и любого положительного действительного числа \(b\), где \(b≠1\),
\[\mbox{Если {\log}_bS={\log}_bT \mbox{тогда } S=T\]
Примечание: при решении уравнения с логарифмами всегда проверяйте, правильный ли ответ или это постороннее решение.
Дано уравнение, содержащее логарифмы, решить его, используя свойство однозначности
При необходимости используйте правила логарифмирования, чтобы скомбинировать одинаковые члены, чтобы результирующее уравнение имело вид \({\log}_bS={\log}_bT\).
Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные аргументы.
Решите полученное уравнение \(S=T\) относительно неизвестного. 2)=\ln(2x+3)\).2-2x-3&= 0 \qquad \text{Получить ноль с одной стороны перед разложением на множители}\\ (x-3)(x+1)&= 0 \qquad \text{Разложить на множители с использованием фольги}\\ x-3&= 0 \qquad \text{или} x+1=0\; \text{ Если произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю}\\ x=3 \qquad \text{or} \\ x&= -1 \qquad \text{Найти x} \end{align*} \]
Анализ
Есть два решения: \(3\) или \(−1\). Решение \(−1\) отрицательно, но оно проверяется при подстановке в исходное уравнение, потому что аргумент логарифмических функций по-прежнему положителен.2)=\ln1\).
Ответить
\(х=1\) или \(х=−1\)
В предыдущих разделах мы изучили свойства и правила как для экспоненциальной, так и для логарифмической функции. Мы видели, что любую экспоненциальную функцию можно записать в виде логарифмической функции и наоборот. Мы использовали показатели степени для решения логарифмических уравнений и логарифмы для решения показательных уравнений. Теперь мы готовы объединить наши навыки для решения уравнений, моделирующих реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в показателе степени или в аргументе логарифма.
Одним из таких приложений является наука, вычисляющая время, необходимое для распада половины нестабильного материала в образце радиоактивного вещества, называемое его периодом полураспада . В таблице \(\PageIndex{1}\) указаны периоды полураспада некоторых наиболее распространенных радиоактивных веществ.
Carbon-14 is used for archeological dating and has a half-life of 5,715 years. Uranium-235 is used for atomic power and has a half-life of 703,800,000 years.»>
Таблица \(\PageIndex{1}\)
Вещество Применение Период полураспада
галлий-67 ядерная медицина 80 часов
кобальт-60 производство 5.3 года
технеций-99м ядерная медицина 6 часов
америций-241 строительство 432 года
углерод-14 археологические датировки 5715 лет
уран-235 атомная энергия 703 800 000 или \(7. {\tfrac{\ln(0.M)=M\\ t&= 703 800 000\times \dfrac{\ln(0,9)}{\ln(0,5)} \qquad \text{Решить для t}\\ t&\ приблизительно 106 979 777 \qquad \text{лет} \ конец {выравнивание*} \]
Анализ
Десять процентов от \(1000\) граммов составляют \(100\) граммов. Если распадается \(100\) граммов, то количество оставшегося урана-235 составляет \(900\) граммов.
\(\PageIndex{11}\)
Сколько времени пройдет, прежде чем двадцать процентов нашей 1000-граммовой пробы урана-235 распадутся?
Ответить
\(t=703 800 000×\dfrac{\ln(0.с=S\).
Свойство один к одному для логарифмических функций Для любых алгебраических выражений \(S\) и \(T\) и любого положительного действительного числа \(b\), где \(b≠1\), если
\({\log}_bS={\log} _bT\), затем \(S=T\).
Мы можем решить многие экспоненциальные уравнения, используя правила экспонент, чтобы представить каждую часть как степень с одним и тем же основанием. Затем мы используем тот факт, что экспоненциальные функции являются взаимно однозначными, чтобы установить показатели степени равными друг другу и найти неизвестное.
Когда нам дано экспоненциальное уравнение, в котором основания явно показаны равными, приравняем показатели степени и найдем неизвестное. См. пример \(\PageIndex{1}\).
Когда нам дано экспоненциальное уравнение, в котором основания равны , а не , явным образом показанные как равные, перепишем каждую часть уравнения как степени одного и того же основания, затем приравняем показатели степени и найдем неизвестное. См. Пример \(\PageIndex{2}\), Пример \(\PageIndex{3}\) и Пример \(\PageIndex{4}\).
Если экспоненциальное уравнение не может быть переписано с общим основанием, решите его путем логарифмирования каждой стороны. См. пример \(\PageIndex{5}\).
Мы можем решать экспоненциальные уравнения с основанием \(e\), применяя натуральный логарифм обеих частей, потому что экспоненциальные и логарифмические функции обратны друг другу. См. Пример \(\PageIndex{6}\) и Пример \(\PageIndex{7}\).
После решения экспоненциального уравнения проверьте каждое решение в исходном уравнении, чтобы найти и исключить любые посторонние решения.c=S\) и найти неизвестное. См. Пример \(\PageIndex{9}\) и Пример \(\PageIndex{10}\).
Мы также можем использовать графики для решения уравнений вида \({\log}_b(S)=c\). Мы изобразим оба уравнения \(y={\log}_b(S)\) и \(y=c\) на одной и той же координатной плоскости и идентифицируем решение как x- значение точки пересечения. См. пример \(\PageIndex{11}\).
Когда задано уравнение формы \({\log}_bS={\log}_bT\), где \(S\) и \(T\) — алгебраические выражения, мы можем использовать свойство однозначности логарифмов для решения уравнения \(S=T\) относительно неизвестного.См. пример \(\PageIndex{12}\).
Объединяя навыки, полученные в этом и предыдущем разделах, мы можем решать уравнения, моделирующие реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в показателе степени или в аргументе логарифма. См. пример \(\PageIndex{13}\).
Линн Маречек (колледж Санта-Ана) и МэриЭнн Энтони-Смит (ранее работала в колледже Санта-Ана). Этот контент создан OpenStax и распространяется по лицензии Creative Commons Attribution License 4.0.
Что такое логарифм?
МАТЕМАТИКА ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ КАЖДОГО
СЕКЦИЯ 4.3. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?
вернуться к Логарифмы, Стр. 2
Логарифмический Правила
Просто поскольку экспоненты имеют некоторые основные правила, которые облегчают манипулирование ими (см. Раздел 3: Экспоненты), так же как и логарифмы.Эти правила применяются ко всем логарифмам, включая логарифмы по основанию 10 и натуральные логарифмы. Для простоты в большинстве из них используются десятичные логарифмы. правила:
1.   б ^г = a эквивалентно log _b a=r (Это это определение логарифма.)
2.   журнал 0 это неопределенный.
3.   журнал 1 = 0
4.   журнал (P*Q) = журнал P + журнал Q
5.   журнал (P/Q) = журнал P — журнал Q
6.   журнал (P ^t ) = t * log P
7.   10 ^(лог.
а) = а (в случае натуральных логарифмов е ^{(ln а)} = а)
8.бревно (10 ^r ) = r (в случае натуральных логарифмов ln e ^r = р)
9.   журнал (1/а) = -log а
Рассмотрим подробнее каждый из этих правил:
1. б ^р = это эквивалент log _b a=r .мы уже посмотрели как это работает, но вот еще один пример:
журнал 14 ≈ 1,146
эквивалентен
10 ^1,146 ≈ 14
2. журнал 0 не определено.Это ненастоящее число, потому что вы никогда не получите ноль, подняв что-либо в силу чего-либо еще. Вы никогда не сможете достичь нуля, вы можете приблизиться к нему, только используя бесконечно большое и отрицательное сила.
3. журнал 1 = 0 означает, что логарифм 1 всегда равен нулю, независимо от основания логарифм есть. Это потому, что любое число, увеличенное до 0, равно 1. Следовательно, ln 1 = 0 также.
Все остальные логарифмические правила полезны для решения сложных уравнений или уравнений с неизвестные.
в Логарифмы, Страница 4
Для больше информации об этом сайте свяжитесь с Дистанцией Координатор по образованию.
Copyright © 2004 регентами Миннесотского университета, равные возможности работодатель и педагог.
Использование логарифмического преобразования в регрессии и прогнозировании
Концепции данных

Принципы и риски прогнозирования (pdf)
Известные предсказания цитаты
Как перемещать данные вокруг
Узнай свои данные
Поправка на инфляцию (дефляция)
Поправка на сезонность
Стационарность и разность
Логарифм трансформация

логарифмическое преобразование
Введение в логарифмы : Логарифмы являются одним из самых важные математические инструменты в наборе инструментов статистического моделирования, так что вы должны быть хорошо знакомы с их свойствами и использованием. А логарифмическая функция определяется по «основанию», т.е. положительное число: , если b обозначает базовое число, то Логарифм по основанию b числа X по определению представляет собой число Y такое, что b ^Y = Х . Например, основание-2 логарифм 8 равен 3, потому что 2 ³ = 8, а по основанию-10 логарифм 100 равен 2, потому что 10 ² = 100.   Существует три вида логарифмов. в стандартном использовании: логарифм по основанию 2 (преимущественно используется в информатике и теория музыки), логарифм по основанию 10 (преимущественно используется в технике), и натуральный логарифм (преимущественно используемый в математике и по физике и по экономике и бизнесу ).В натуральной логарифмической функции основание число трансцендентное число « e» десятичное расширение которого равно 2,718282…, поэтому натуральная логарифмическая функция и экспоненциальная функция ( e ^x) являются инверсиями друг друга. То только различия между этими тремя логарифмическими функциями являются мультипликативными коэффициенты масштабирования, поэтому логически они эквивалентны для целей моделирования, но выбор базы важен из соображений удобства и условности, согласно настройке.
В стандартной математической записи, а также в Excel и большинстве других аналитических программ, выражение LN(X) является натуральным логарифмом X, и EXP(X) — экспоненциальная функция X, поэтому EXP(LN(X)) = X и LN(EXP(X)) = X.   Это означает, что функцию EXP можно использовать для преобразования естественные прогнозы (и их соответствующие нижняя и верхняя достоверность пределы) обратно в реальные единицы. Вы не можете использовать функцию EXP, чтобы напрямую удалить из журнала статистику ошибок модели, приспособленной к естественно-логарифмические данные.Тебе надо сначала конвертируйте прогнозы обратно в реальные единицы, а затем пересчитайте ошибки и статистика ошибок в реальных единицах, если важно иметь те числа. Однако ошибка статистику модели, приспособленной к данным естественного каротажа, часто можно интерпретировать как приблизительные меры процентов ошибка, как описано ниже, и в ситуациях, когда ведение журнала уместно в Во-первых, часто бывает интересно измерить и сравнить ошибки в процентное соотношение.

В общем, выражение LOG _b (.) используется для обозначения функции логарифмирования по основанию b, и LN используется для особого случая естественного журнала, в то время как LOG часто используется для особого случая журнала базы 10. В частности, LOG означает вход в систему с основанием 10. Эксель. В Statgraphics, увы, функция, которая называется LOG — это натуральный журнал , в то время как функция логарифма по основанию 10 — LOG10. В оставшейся части этого раздела (и в другом месте на сайте), как LOG, так и LN будут использоваться для ссылки на естественную функцию журнала для совместимости с Статграфическое обозначение. Также, символ «≈» означает примерно равных, с аппроксимация более точна в относительном выражении для меньшего абсолютного значения, как показано в таблице ниже.

Изменение в натуральный логарифм ≈ изменение в процентах : натуральный логарифм и его основание e обладают некоторыми магическими свойствами, которые вы может вспомнить из исчисления (и который вы, возможно, надеялись, что никогда не встретите снова).Например, функция e ^X является собственной производной, а производная LN(X) равна 1/X. Но в целях бизнес-анализа, его большим преимуществом является то, что небольших изменения в естественном log переменной напрямую интерпретируются как процентные изменения, в очень близком приближении . Причина этого в том, что график Y = LN(X) проходит через точку (1, 0) и имеет там наклон 1, поэтому он касается прямая линия, уравнение которой Y = X-1 (пунктирная линия на графике ниже):

Это свойство натуральной логарифмической функции означает, что

LN(1+r) ≈ r

когда r намного меньше 1 по величине. Почему это важно? Предположим, что X увеличивается на небольшую процент, например 5%. Это означает что он меняется с X на X(1+r), где г = 0,05. Теперь обратите внимание:

LN(X (1+r)) = LN(X) + LN(1+r) ≈ LN(X) + г

Таким образом, при увеличении X на 5%, т. е. умножении на коэффициент 1,05, натуральный log изменения X с LN(X) на LN(X) + 0.05, очень близко приближение. Увеличение X на 5% поэтому (почти) эквивалентно добавлению 0,05 к LN(X).

От теперь я буду называть изменения натуральных логарифмов «diff-журналы». (В Statgraphics, логарифмическое преобразование X буквально выглядит как DIFF(LOG(X)).) В следующей таблице показано точное соответствие для процентов в диапазоне от -50% до +100%:

Как видите, процентное изменение и diff-логи почти точно такие же в пределах +/- 5%, и они остаются очень близко к +/- 20%. Для больших при процентном изменении они начинают расходиться асимметричным образом. Обратите внимание, что журнал различий, соответствующий к уменьшению на 50% составляет -0,693, в то время как логарифм дифференциала увеличения на 100% составляет +0,693, ровно противоположное число. Это отражает тот факт, что за 50-процентным снижением следует 100-процентное увеличение. (или наоборот) возвращает вас в то же место.

процентное изменение Y в период t определяется как (Y _t -Y _t-1 )/Y _t-1 , что всего лишь приблизительно равно LN(Y _t ) — LN(Y _t-1 ), но приближение почти точное , если процентное изменение невелико, как показано в таблице выше.В Статграфические термины означают, что DIFF(Y)/LAG(Y,1) практически идентичен РАЗН(ЛОГ(Г)). Если вы не верите я, вот график процентного изменения продаж автомобилей по сравнению с первым разность его логарифма с увеличением за последние 5 лет. Синий и красные линии практически неразличимы, за исключением самых высоких и самых низких точки. (Опять же, LOG означает LN в Statgraphics.)
Если ситуация это тот, в котором процентные изменения потенциально достаточно велики для этого приближение будет неточным, лучше использовать логарифмические единицы, а не процентные единицы, потому что это учитывает начисление сложных процентов в систематическом образом, и он симметричен с точки зрения последовательностей прибылей и убытков . Журнал различий -0,5, за которым следует журнал различий +0,5, возвращает вас к вашей исходной позиции, тогда как 50%-й убыток сменяется 50%-м приростом (или наоборот). наоборот) оставляет вас в худшем положении.
(Вернуться к началу страницы.)
Линеаризация экспоненциального роста и инфляции: T Логарифм произведения равен сумма логарифмов, т. е. LOG(XY) = LOG(X) + LOG(Y), независимо от основание логарифма. Таким образом, ведение журнала преобразует мультипликативных отношений. в аддитивных отношений, и тем самым он преобразует экспоненциальную (составной рост) трендов до линейных трендов .Логарифмируя переменные, которые мультипликативно связаны и/или экспоненциально растут со временем, мы можем часто объясняют их поведение линейными моделями. Например, вот график LOG(АВТОПРОДАЖА). Обратите внимание, что Преобразование журнала преобразует экспоненциальный рост до линейного модели роста, и он одновременно преобразует мультипликативную (пропорциональную дисперсию) сезонную модель в аддитивную (постоянную дисперсию) сезонную модель. шаблон. (Сравните это с исходным графиком AUTOSALE.) Эти преобразования делают преобразованные данные гораздо более подходящими для линейные/аддитивные модели.

Запись ряда часто имеет эффект, очень похожий на сдувание: он выпрямляет экспоненциальные модели роста и уменьшает гетероскедастичность (т.е. стабилизирует дисперсия). Следовательно, ведение журнала — это «плохой мужской дефлятор» , который не требует никаких внешних данных (или каких-либо ломать голову над тем, какой индекс цен использовать). Логирование не точно то же самое, что и дефлятирование — оно не устраняет восходящего тренда в данные, но он может выпрямить тренд, чтобы его можно было лучше подогнать линейная модель. Дефляция сама по себе не выпрямит кривую экспоненциального роста, если рост частично реальным и лишь частично обусловленным инфляцией.
Если вы собираемся регистрировать данные, а затем подгонять модель, которая явно или неявно использует разность (т.е.г., случайное блуждание, экспоненциальное сглаживание или модель ARIMA), то обычно излишне дефлировать с помощью индекса цен, если уровень инфляции изменяется очень медленно: процентное изменение, измеренное в номинальных долларах, будет почти так же, как процентное изменение постоянных долларов. В Статграфике обозначения, это означает, что DIFF(LOG(Y/CPI)) почти идентичен DIFF(LOG(Y)): единственная разница между ними — очень слабый шум из-за колебаний в уровне инфляции.Чтобы продемонстрировать это, вот график первого разница зарегистрированных продаж автомобилей с дефляцией и без нее:
Путем регистрации , а не , а не сдувание, вы избегаете необходимости включать явный прогноз будущей инфляции в модель: вы просто складываете инфляцию в одну кучу с любыми другими источниками устойчивого составного роста в исходных данных. логирование данные до подбора модели случайного блуждания дают так называемое геометрическое случайное блуждание, т.е.е., случайное блуждание с геометрическим, а не линейным ростом. Геометрическое случайное блуждание — это модель прогнозирования по умолчанию, которая обычно используется для данных о ценах на акции. (Вернуться к началу страницы.)
Тренд измеряется в натуральных логарифмических единицах ≈ рост в процентах:   Поскольку изменения натурального логарифма (почти) равны на процентов изменений в исходном ряду, отсюда следует, что наклон линии тренда, подогнанной к зарегистрированным данным, равно среднему проценту рост в исходной серии.Например, на графике LOG(AUTOSALE), показанном выше, если вы «на глазок» линии тренда, вы увидите, что величина зарегистрированных продаж автомобилей увеличивается на около 2,5 (с 1,5 до 4,0) за 25 лет, что в среднем составляет около 0,1 в год, т. е. 10% в год. Гораздо проще оценить эту тенденцию по зарегистрированному графику, чем по исходному незарегистрированному один! Полученная здесь 10-процентная цифра составляет номинального роста , в том числе инфляция. Если бы вместо этого мы увидели линию тренда на графике зарегистрированных дефлятированных продажи, т.е., LOG(AUTOSALE/CPI), его наклон будет равен среднему реальному процентам. рост.
Обычно тенденция оценивается более точно путем подгонки статистической модели который явно включает локальный или глобальный параметр тренда, такой как линейный модель тренда или случайного блуждания с дрейфом или модель линейного экспоненциального сглаживания. Когда модель такого типа подгоняется в сочетании с логарифмическим преобразованием, его трендовый параметр можно интерпретировать как процентный темп роста.

(Вернуться к началу страница.)
Ошибки измеряется в натуральных логарифмических единицах ≈ ошибки в процентах: Еще одно интересное свойство логарифма заключается в том, что ошибки в предсказании регистрируемого ряда можно интерпретировать как приблизительные процентные ошибки в предсказании исходного ряда, хотя проценты относительно прогнозируемых значений, а не фактических значений. (обычно один интерпретирует «процентную ошибку» как ошибку, выраженную как процент от фактического значения, а не прогнозируемого значения, хотя статистические свойства процентных ошибок обычно очень похожи независимо от от того, рассчитываются ли проценты относительно фактических значений или прогнозы.)
Таким образом, если вы используете оценку методом наименьших квадратов, чтобы подогнать модель линейного прогнозирования к зарегистрированным данных, вы неявно минимизируете среднеквадратичную процентную ошибку , а не среднеквадратичная ошибка в исходных единицах, что, вероятно, хорошо вещь, если преобразование журнала было уместным в первую очередь. И если вы посмотрите статистику ошибок в зарегистрированных единицах, вы можете интерпретировать их как проценты, если они не слишком велики, например, если их стандартное отклонение равно 0.1 или менее. В пределах этого диапазона стандартное отклонение ошибок в прогнозировании зарегистрированного ряда составляет приблизительно стандартное отклонение процентных ошибок при предсказании исходного серии, а средняя абсолютная ошибка (MAE) в прогнозировании зарегистрированной серии равна примерно средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE) в прогнозировании оригинальный сериал. (я использую эталон 0,1 здесь, потому что в этот момент вариация стандартного отклонения 2, критическое значение для 95% доверительного интервала будет равно 0.2, и соответствие между дифф-логами и процентами начинает изрядно отваливаться быстро превышает это значение, как показано в таблице выше. Если стандартное отклонение ошибки в зарегистрированных единиц больше 0,1, вам следует рассчитать доверительные интервалы в зарегистрированных единиц, а затем отдельно отменить регистрацию их нижних и верхних значений с помощью функция EXP.)
(Вернуться к началу страница.)
Коэффициенты в логарифмических регрессиях ≈ пропорциональные процентные изменения : Во многих экономических ситуациях (особенно отношения цены и спроса), предельное влияние одной переменной на ожидаемое значение другого является линейным с точки зрения процентов изменений, а не абсолютных изменения.В таких случаях применение преобразование натурального логарифма или diff-log как в зависимый, так и в независимый переменные могут подойти. Этот этот вопрос будет обсуждаться более подробно в главе о регрессии этих Примечания. В частности, часть 3 продажи пива Пример регрессии иллюстрирует применение преобразования журнала в моделирование влияния цены на спрос, в том числе как использовать EXP (экспоненциальная) функция для «нерегистрации» прогнозов и доверительных интервалов преобразовать их обратно в единицы исходных данных.
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и найдите переменную.
Задача 5: Найдите x в уравнении
Ответ: — это точный ответ, а x -0,7639320225 — приблизительный ответ.
Решение:

Шаг 1: Как мы уже знаем, мы можем логарифмировать только положительное число.Следовательно, нам нужно сделать ограничение на домен (значения x), чтобы задача была действительной (имела ответ).
Термин действителен, когда x + 5 > 0 или x > -5; термин действителен, когда x + 2 > 0 или x > -2; и термин действителен, когда x + 6 > 0 или x > -6. Если мы потребуем, чтобы домен был ограничен набором всех действительных чисел, таких что x > -2, все термины будут действительными.

Шаг 2: Упростите левую часть исходного уравнения, используя логарифмическое правило 1:

Шаг 3: Теперь у нас есть уравнение вида, из которого следует, что выражение a должно равняться выражению b или:

Шаг 4: Вы также можете возвести основание 2 в степень, равную левой части уравнения на шаге 2, и вы можете возвести основание 2 в степень, равную правой части уравнения в шаге 2:
Когда основание совпадает с основанием логарифма, приведенное выше уравнение можно упростить до

Шаг 5: Упростите левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 6: Вычтите x и вычтите 6 из обеих частей приведенного выше уравнения:

Шаг 7: Используйте квадратичную формулу для определения x:
Есть два точных ответа: и и есть два приблизительных ответа:
Однако верен только один из ответов.
Один из ответов ( ) находится вне заданной нами области множества всех действительных чисел, таких что (x > -2).
Следовательно, точные и приблизительные ответы:
Проверить: Подставим значение в исходное уравнение и определим, соответствует ли левая часть уравнения равно правой части уравнения после подстановки. Другими словами, делает ли
или
или
или
или
Ответ проверяет.Мы также можем проверить наше решение с приблизительным ответом. Делает
или делает
Другими словами,
Так как значение левой части исходного уравнения равно правой сторону исходного уравнения, когда мы подставляем точное и приблизительное значение x, Мы доказали ответ.
Давайте проиллюстрируем, почему нам пришлось отбросить один из ответов. Давайте проверим посмотрите, работает ли приближенное решение (то, которое мы отбросили):
На этом мы должны остановиться, потому что мы не можем взять логарифм отрицательного числа. Мы просто не можем вычислить значение, если какой-либо из терминов не определен.
[Вернуться к Правилам логарифмов] [Назад к экспоненциальным функциям] [Алгебра] [Алгебра] [Тригонометрия] [Сложный Variables]Домашняя страница S.O.S MATHematics
Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус
Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Связаться с нами
Математика Медикс, ООО. — П.O. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас, 79913 — США
пользователь онлайн за последний час
Что такое логарифм?
Что такое логарифм?
Понимание математики от Питер Альфельд, кафедра математики, Университет Юты
Что такое логарифм?
Интересно, после того, как я это руководство какое-то время, это оказался вопрос, который мне задавали чаще всего, обычно в терминах, содержащих такие фразы, как «Греческий мне», «бьет меня», или, как указано выше, «что на земле». ..
Чтобы понять, что такое логарифм, сначала нужно понять, что сила является. Сначала перейдите по этой ссылке, если вы этого не сделаете!
Хорошо, вы знаете, что такое сила. Так что это имеет смысл для вас написать что-то вроде
б ^х = у. (*)
В предыдущем уравнении x должно выглядеть как верхний индекс b .Если это не так, у вас есть маломощный браузер.
После этих предварительных действий мы можем перейти к сути дела. причина. Уравнение (*) является ключом к все. Число b является основанием , число x показатель степени и выражение что равно y есть степень . Если мы подумаем о x в качестве независимой переменной и y в качестве зависимая переменная, затем (*) определяет экспоненциальная функция .
Теперь в уравнении (*) мы можем представить, что два из даны переменные, и решить для третьего. Если основание и показатель степени даны, мы вычисляем степень , если заданы показатель степени и степень, мы вычисляем корень (или радикал ), и, если питание и базы даны, мы вычисляем логарифм .
Другими словами, Логарифм числа y по основанию b — показатель степени, до которого мы должны поднять b , чтобы получить y.
Мы можем записать это определение как
х = логарифм _б у б ^х = у
и мы говорим, что x это логарифм y с основанием b тогда и только тогда, когда b в степени x равно y .
Проиллюстрируем это определение несколькими примерами.Если у вас есть трудности с какой-либо из этих способностей, вернитесь к моему страница на силы.
10 ² = 100 log ₁₀ 100 = 2
10 ^-2 = 0,01 log ₁₀ 0,01 = -2
10 ⁰ = 1 журнал ₁₀ 1 = 0
2 ³ = 8 log ₂ 8 = 3
3 ² = 9 log ₃ 9 = 2
25 ^1/2 = 5 лог. ₂₅ 5 = 1/2
8 ^-2/3 = 1/4 журнала ₈ 1/4 = -2/3
2 ^1/2 = 1. 4142135623... журнал ₂ 1,414.. = 1/2
Специальные базы
Логарифмы по основанию b=10 называются десятичных логарифмов и логарифмов относительно база е=2,71828… называются натуральных логарифмов.
Дополнительная информация
Вы можете найти обширную информацию о логарифмах в любом учебник по алгебре колледжа.Чтобы проверить ваше понимание и направлять свое дальнейшее изучение выяснить ответы на следующие вопросы:
Калькулятор логарифма
Нажмите на этот апплет
Однако ваш браузер не поддерживает Ява. Если бы это было так, вы бы не увидели это сообщение! Получить Java совместимый браузер, например Нетскейп, достаточно продвинутой версии.
вызвать калькулятор логарифмов , который позволяет выберите два числа из (*) и вычислите третий. Это довольно просто в использовании, но вот документация.
Мелкий шрифт, ваши комментарии, больше ссылок, Питер Альфельд, PA1UM
[27 июня 1997 г.]
Деловой расчет
Логарифмы обратны экспоненциальным функциям — они позволяют нам отменить экспоненциальные функции и найти показатель степени.х=10 \) для \(х\).
Переписав это выражение в виде логарифма, мы получим \( x=\log_2(10) \).
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5
Хотя это и определяет решение, причем точное решение, оно может показаться вам несколько неудовлетворительным, поскольку трудно сравнить это выражение с десятичной оценкой, которую мы сделали ранее. Кроме того, давать точное выражение для решения не всегда полезно — часто нам действительно требуется десятичная аппроксимация решения.К счастью, с этой задачей хорошо справляются калькуляторы и компьютеры. К несчастью для нас, большинство калькуляторов и компьютеров вычисляют только логарифмы по двум основаниям. К счастью, в конечном итоге это не проблема, как мы вскоре увидим.
Двойные и натуральные логарифмы
Общий журнал представляет собой логарифм с основанием 10 и обычно записывается \( \log(x) \).
Натуральный логарифм представляет собой логарифм по основанию \(e\) и обычно записывается \(\ln(x) \).г\вправо)=г\,\log_b(A) \)
Решение показательных уравнений:
По возможности изолируйте экспоненциальные выражения.
Возьмем логарифм обеих частей.
Используйте свойство экспоненты для логарифмов, чтобы извлечь переменную из экспоненты.
Используйте алгебру для определения переменной.
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5
Пример 5
В последнем разделе мы предсказали численность населения (в миллиардах) Индии через \(t\) лет после 2008 года, используя функцию \( f(t)=1.т\справа)\) Возьмем логарифм обеих частей уравнения. \(\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)=t\,\ln(1.0134)\) Примените свойство экспоненты справа. \( t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)}{\ln(1.0134)}\) Разделить обе части на \(\ln(1.0134)\) \( т\около 42,23 \текст{ лет} \)
Если этот темп роста сохранится, модель предсказывает, что население Индии достигнет 2 миллиардов примерно через 42 года после 2008 года, или примерно в 2050 году.{-0.3t}\right)=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\) Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. \(-0.3t=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\) Использование обратного свойства для журналов. \( t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)}{-0,3}\) Теперь делим на -0,3. \( т\около 3,054 \)
Помимо решения показательных уравнений, логарифмические выражения распространены во многих физических ситуациях.{-7}=0,0000001\text{моль на литр}.\]
Хотя нам нечасто приходится рисовать график логарифма, полезно понимать его основную форму.
Графические особенности логарифма
Графически, учитывая функцию \(g(x)=\log_b(x) \).
На графике есть горизонтальная точка пересечения (1, 0).
График имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 0\).
График увеличивается и вогнут вниз.
Область определения функции: \( x \gt 0\) или \( (0, \infty) \) в интервальной записи.
Диапазон функции — все действительные числа или \( (-\infty, \infty) \) в интервальной записи.
При построении общего логарифма с основанием \(b\) полезно помнить, что график будет проходить через точки \(\left(\frac{1}{b}, -1\right)\), \((1, 0)\) и \((b, 1)\).
Чтобы понять, как основание влияет на форму графика, изучите приведенные ниже графики:
Еще одно важное наблюдение касается области логарифмирования: \(x \gt 0\).Подобно функциям обратного и квадратного корня, логарифм имеет ограниченную область определения, которую необходимо учитывать при нахождении области определения композиции, включающей бревно.
Пример 8
Найдите область определения функции \( f(x)=\log(5-2x) \).
Логарифм определяется только при положительном входе, поэтому эта функция будет определена только при \( 5-2x \gt 0 \). Решая это неравенство, \( -2x \gt -5 \), поэтому \( x\lt \frac{5}{2} \).
Область определения этой функции: \( x\lt \frac{5}{2} \), или, в интервальной записи, \( \left(-\infty, \frac{5}{2} \right) \ ).
.