Простое число и составное: Простое число — Википедия – Составное число — Википедия

определение, таблица до 1000, взаимно простые числа

Простое число – это положительное натуральное число, которое имеет только два положительных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Противоположностью простых чисел являются составные числа. Составное число – это положительное натуральное число, которое имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от одного или самого себя.

Взаимно простые числа – числа A и B, не имеющие никаких общих делителей, за исключением единицы.

Примеры простых, составных и взаимно простых чисел

  1. Число 2 является простым числом, т.к. имеет всего два делителя – 1 и 2:
  2. Число 15 не является простым числом, потому имеет делители – 1, 3, 5, 15:
    • 15/1 = 15
    • 15/3 = 5
    • 15/5 = 3
    • 15/15 = 1
  3. Число 13 является простым числом, т.к. имеет только два делителя – 1 и 13:
  4. Числа 2 и 5 являются взаимно простыми, т.к. имеют только один общий делитель – число 1:
    1. 2/1 = 2
    2. 2/2 = 1
    3. 5/1 = 5
    4. 5/5 = 1

Таблица простых чисел

Ниже представлена таблица простых чисел от 2 до 997, которую можно распечатать, чтобы всегда иметь под рукой в случае необходимости.

2
3 5 7 11 13 17 19 23
29
31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
97 101
103
107 109 113 127 131 137 139 149
151
157 163 167 173 179 181 191 193
197
199 211 223
227 229 233 239
241
251 257 263 269 271 277 281
283
293
307 311 313 317 331 337 347 349
353
359
367 373 379 383 389 397 401
409
419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

microexcel.ru

Таблица простых чисел до 1000

Вопросы – ответы:

  1. Является ли число 1 простым?
    Число 1 не является простым по определению – оно имеет только один делитель.
  2. Является ли число 0 простым?
    Число 0 не является простым – оно не является положительным числом и имеет бесконечное количество делителей.

«Теория простых чисел? Расскажите какие простые числа?» – Яндекс.Кью

Разум цепляется за привычное. Например, мы привыкли, что все тела падают вниз. Привыкли настолько, что в Англии, на родине Ньютона, еще в девятнадцатом веке огромной общественной популярностью пользовалась книга, в которой «доказывалось», что Земля — плоская, ведь иначе мы бы с нее упали. Раз она плоская, у нее должен быть край. Однако, путешествие Магеллана показало — если плыть все время на запад, то снова приплывешь в Европу, только уже с востока. Итак, Земля — шар, а с тем, что люди на другой стороне ходят «вверх ногами», придется смириться, хоть это и противоречит «здравому смыслу».

Ну, «здравый смысл» с тех пор кое-как примирился с законом всемирного тяготения, но теперь есть новая задача — понять, как Вселенная может быть ограниченной в объеме и при этом не иметь «краев» и чего-то «вне». Что ж, лучшая аналогия — это старые игры, где, выходя за конец экрана, какой-нибудь пэкмен, или диггер, или змейка, или Марио оказывались с противоположного. Для них, таким образом, края экрана не существовало.

Ограниченная по объему трехмерная вселенная — это нечто подобное. Представьте себе: вы находитесь в комнате, у которой как будто две двери в противоположных стенах. Вы открываете дверь и видите такую же комнату и себя со спины, открывающего дверь в следующей стене, за которой видна еще одна комната и еще один вы, и так далее. И за спиной у вас скрипнула дверь — на самом деле та же самая, потому что дверь — одна. И происходит это не потому, что существует бесконечное число вас, а потому что вселенная зациклена сама на себя — просто свет делает несколько кругов по этой вселенной прежде чем достичь ваших глаз. Если в этой нашей вселенной сделать скорость света, к примеру, один метр в секунду, то вы будете видеть себя в другой комнате уже с задержкой в несколько секунд. Теперь добавим еще двери, точнее, одну дверь двум другим стенам комнаты. А теперь — люк в полу и потолке с теми же эффектами.

А теперь — уберем стены, пол и потолок! И увидим многократные копии себя же через равные промежутки пространства. Хотя на самом деле эти копии настолько же реальны, насколько ваше отражение в зеркале — то, что мы видим в зеркале отраженную комнату, отнюдь не значит, что есть еще одна комната.

Поздравляю! Вот вы и очутились во вселенной с ограниченным объемом, но без краев и чего-то «вне». Это лишь один из вариантов, тороидальный. В сферической вселенной вы бы видели р

Урок по теме "Простые и составные числа"

Конспект открытого урока в 6 классе.

Тема урока: «Простые и составные числа»

Цель урока: способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету.

Задачи:

обучающая: познакомить с определениями простого и составного числа, учить применять их при решении задач;

познакомить с таблицей простых чисел, учить использовать её при выполнении заданий.

развивающая: расширить представление о натуральных числах, способствовать развитию логического мышления, исторического кругозора, математической интуиции, умению анализировать;

воспитательная: воспитывать у учащихся коммуникативные компетенции - культуру общения, навыки выступления, элементы ораторского искусства.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Форма: Групповая, индивидуальная

Методы: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Ожидаемые результаты:

  • Знать понятие простого и составного числа;

  • Уметь их применять при решении задач.

  • Уметь пользоваться таблицей простых чисел.

При подготовке к уроку использовались:

Учебник, ресурсы Интернет, исторический справочник по математике.

Подготовительная работа: Ребята готовили сообщения по темам:

  • Решето Эратосфена;

  • Свойство Чебышева;

  • Совершенные числа.

Структура урока

  1. Сообщение цели и задач урока.

  2. Подготовка к изучению нового материала (актуализация опорных знаний).

  3. Изучение нового материала.

  4. Первичное осмысление и закрепление материала.

  5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

  6. Домашнее задание.

План-конспект урока.

  1. Сообщение цели и задач урока (слайд №2)

  1. Подготовка к изучению нового материала (актуализация опорных знаний).

1. Какие числа называются натуральными?

2. Назовите первые десять натуральных чисел (я пишу на доске в столбик)

1- 1

2-1,2

3-1,3

4-1,2,4

5-1,5

6-1,2,3,6

7-1,7

8-1,2,4,8

9-1,3,9

10-1,2,5,10

3. Найдем делители этих чисел (дети выходят по очереди к доске)

  1. Запишем в таблицу (слайд №3)

Один делитель

Два делителя

Более двух делителей

1

2,3,5,7

4,6,8,10

Ни простое, ни составное

Простые

составные

  1. Попробуйте сформулировать определения простого и составного числа.(слайд № 4 )

  1. А число 1 как назовем?

  1. Примеры: число 11 простое или составное? А 12? А 15?

8. Таблица простых чисел есть у вас на форзаце учебника (повесить таблицу большую)

  1. Древнегреческий ученый Эратосфен (276г.до н.э. – 194г. до н.э.) предложил свой способ для составления таблицы простых чисел

О нем нам расскажет Галия. (слайды № 5, №6, №7)

  1. Назовите наименьшее простое число. А как вы думаете, существует ли самое большое простое число? (слайд №8 )

ФИЗМИНУТКА

˅.Рассмотрите в таблице числа выделенные синим цветом, какую закономерность вы заметили?

Простые числа, между которыми в натуральном ряду чисел находится только одно число, называют числами-близнецами. (слайд №9)

˅ı.Многие ученые занимались изучением свойств простых чисел. Про одно из них расскажет Оля.

Изучением свойств простых чисел занимался русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Он доказал, что между любым натуральным числом, большим 1 и числом,вдвое больше данного, всегда имеется не менее одного простого числа. ( слайд №10)

Про другое расскажет Костя.

˅ıı.Пифагор (Vl в.до н.э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Есть такие числа, которые равны сумме всех его делителей (без самого числа). Их назвали совершенными числа.Например 6=1+2+3,28=1+2+4+7+14.

Следующие совершенные числа 496, 8128, 33550336. Пифагорейцы знали только первые три совершенные числа. Четвертое – 8128-стало известно в I в.н.э. Пятое – 33550336- было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число..( слайд № 11)

Рефлексия.

1. Какие натуральные числа называют простыми?

2. Какие натуральные числа называют составными?

3. Почему число 1 не является ни простым, ни составным?

  1. Верно ли, что все четные числа являются составными?

Домашнее задание.

Стр. 191 выучить определения, № 886, 887

Дополнительные задачи

Задача 1.

Эратосфен родился примерно в 276г. до н.э. и умер примерно в 194г. до н.э.

Какие года, выраженные простыми числами, приходятся на период жизни Эратосфена?

Задача 2.

Посмотрев внимательно таблицу простых чисел, можно увидеть симметричные пары «ПЕРЕВЕРТЫШИ». Например:

13-31; 107-701. Найдите остальные пары.

Задача 3.

В таблице имеются стайки «жар-птиц»-простых чисел с «пером» 13 в хвостике (оканчивающихся на 13): 13,113,313... стайки простых чисел с «пером» 31 в хвостике. Какие еще можно найти стайки?

Простые и составные числа

Представим себе такую историю…

– Саша, давай с тобой сыграем в одну игру, – предложил другу Паша.

– Что за игра? – решил уточнить Саша.

– В общем, смотри: перед тобой таблица, в которой записан ряд натуральных чисел начиная с 2 и заканчивая 100, – начал Паша. – Тебе нужно взять число, а потом вычёркивать все числа, которые на него делятся. Вот, например, возьмём число 2, обведём его в кружочек, чтобы не потерять, и вычеркнем из этой таблицы все числа кратные двум.

– Понятно – прошептал Саша. – Значит, вычёркиваю все чётные числа.

– Хорошо! – продолжил Паша. — Следующее незачёркнутое число – 3. Обведём его в кружок. А теперь из оставшихся чисел тебе нужно вычеркнуть все числа кратные 3.

– Так… – начал размышлять Саша. — Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

И Саша принялся вычёркивать числа.

– Молодец! – поддержал друга Паша. – Следующее незачёркнутое число – 5. Значит, из оставшихся чисел тебе нужно вычеркнуть все числа кратные 5.

– Ага! Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5 – сказал Саша. И занялся вычёркиванием чисел.

– Отлично! – сказал Паша. – Перейдём к следующему незачёркнутому числу. И это 7. То есть теперь ты должен вычеркнуть из оставшихся чисел все числа кратные 7.

– Ну, признака делимости на 7 мы ещё не знаем, – задумался Саша, – значит, буду просто вычёркивать все числа, которые делятся на 7.

И Саша принялся вычёркивать числа.

– Ну вот и всё! – сказал Паша. – Наша игра окончена. Посмотри, в таблице у тебя остались только числа, которые делятся на 1 и сами на себя.

– И точно! – заметил Саша.

– То, что мы сейчас с тобой делали, называют «решето Эратосфена», – продолжил Паша.

– А почему решето? – спросил Саша. – Разве эта таблица с дырочками?

– Название «решето» метод получил потому, что, согласно легенде, Эратосфен (это древнегреческий математик) писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны числа, имеющие больше двух делителей. Поэтому дощечка являлась неким подобием решета, через которое «просеивались» все числа, имеющие больше двух делителей, а оставались только простые числа. Эратосфен дал таблицу простых чисел до 1000.

– А что это за простые числа? – спросил Саша.

– Давай спросим у Мудряша, – предложил Паша. – Он точно сможет нам помочь.

– Ребята, прежде чем я вас познакомлю с простыми числами, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

 – Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. — Как вы уже знаете, все натуральные числа имеют делители. И вы, кстати, уже научились их находить с помощью свойств и признаков делимости. Меньше всего делителей у числа 1. Единственным его делителем является само это число. А вот любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя – 1 и само число а.

– А ведь действительно, – сказали мальчишки, – если число а разделить на 1, то получится а, а если число а разделить на а, то получится 1.

– Некоторые натуральные числа имеют ровно два делителя, – продолжил Мудряш. – Например, число 13 делится только на 1 и на 13. Другие же числа могут иметь больше двух делителей. Например, числа 6 и 18. Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. А вот число 18 – шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Запомните! – сказал Мудряш. – Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух натуральных делителей.

– Может, вы сможете привести примеры простых и составных чисел? – спросил Мудряш у ребят.

– Простыми числами являются, – начали мальчишки, – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее. А составными числами будут: 8, 12, 16 и так далее.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. — Обратите внимание: число 2 – это наименьшее простое число. Кстати, это единственное чётное простое число. Потому что любое другое чётное число имеет по крайней мере три делителя: число 1, число 2 и само число. Простых чисел бесконечно много. Наибольшего простого числа не существует.

– Таким образом, – продолжил Мудряш, – все натуральные числа, в зависимости от количества делителей, можно разбить на три группы: 1 (один делитель), простые числа (два делителя) и составные числа (три и более делителей).

– А как узнать, глядя на число, простое оно или составное? – спросили мальчишки.

– Хороший вопрос! – обрадовался Мудряш. – Если число небольшое, то можно перебрать одно за другим все числа, которые могут быть его делителями. Например, возьмём число 11. Его делители могут встретиться лишь среди чисел от 1 до 11. Понятно, что 1 и 11 – делители числа 11. А перебирая одно за другим числа от 2 до 10, мы убедимся, что ни на одно из них число 11 не делится. Так что у числа 1 только два делителя. Значит, оно простое.

– А если число большое? – решили уточнить мальчишки.

– Если число большое, то понятно, что перебирать числа в поисках его делителей придётся слишком долго, – начал Мудряш.  – А чтобы не тратить время на эту однообразную работу, пользуются таблицей простых чисел. На экране вы как раз и видите её.

– А как пользоваться этой таблицей? – спросили ребята.

– Здесь нет ничего сложного, – ответил Мудряш. — Вы должны просто посмотреть, есть в таблице интересующее вас число или нет. Если его в таблице нет – значит, оно составное. Конечно, учить эту таблицу наизусть не стоит. Но если вы запомните хотя бы все однозначные и двузначные простые числа, то это значительно упростит вычисления по многим темам школьной программы.

– Интересно, что последовательность простых чисел имеет много необычных свойств и тайн. Так, например, учёные Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких, разность которых равна двум, например: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и так далее. Подобные пары чисел называют простыми числами близнецами.

– А для чего вообще нужны простые числа? – спросили ребята.

– Простые числа помогают в поиске делителей, – начал Мудряш. — Так, например, возьмём число 510. Понятно, что оно составное, то есть имеет более двух делителей. Если мы представим это число в виде суммы разрядных слагаемых, то заметим, что оно не делится на 7. А значит, уже не нужно проверять его делимость ни на 14, ни на 21, ни на 28 и так далее.

Запомните! – сказал Мудряш. – Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

– А как это делают? – спросили ребята.

– Число 110 можно разложить в произведение чисел не равных единице. Например, 110 равно произведению 10 и 11. В свою очередь, число 10 тоже составное число. Значит, его тоже можно разложить в произведение, то есть . А тогда число 110 можно представить в виде произведения 2, 5 и 11. Обратите внимание: в правой части равенства все множители – простые числа. То есть мы с вами сейчас записали число 110 в виде произведения простых чисел. Говорят, что число 110 разложили на простые множители.

Запомните! Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых множителей.

– При разложении числа на простые множители удобно пользоваться схемой, – продолжил Мудряш. — Давайте я вам покажу эту схему на примере разложения числа 2940.

– Итак, 2940 — чётное число, значит, оно делится на 2. При делении получим 1470. Число 1470 также чётное. Значит, можем поделить его на 2. Получим 735. Заметим, что сумма цифр числа 735 равна 15. Значит, это число делится на 3. Разделим его. Получим 245. Число 245 оканчивается цифрой 5. Значит, оно делится на 5. Разделим. Получим 49. В свою очередь, число 49 делится на 7. Число 7 также делится на 7. И в результате получим 1.

– Обратите внимание: числа, расположенные друг под другом слева от вертикальной черты, получаются при последовательном делении на простые числа, записанные справа от черты.

– Теперь можем записать число 2940 в виде произведения простых множителей. . Заметим, что в разложении числа присутствуют одинаковые множители — это две 2 и две 7. Как правило, одинаковые множители заменяют их степенями. Тогда .

– А все составные числа можно разложить на простые множители или есть исключения? – спросили мальчишки.

– Любое составное число можно разложить на простые множители, – ответил Мудряш. – При этом каждое число имеет своё, единственное разложение на простые множители, если не учитывать, в каком порядке они записаны. Утверждение о единственности разложения на простые множители называют основной теоремой арифметики.

А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним задание.

Итак, заполните таблицу. Если значение выражения — простое число, то во втором столбце таблицы поставьте знак «галочка», если составное – то в третьем столбце.

Решение: первое числовое выражение — сумма двух частных: 14 и 2, и 32 и 8. Первое частное равно 7, второе – 4. Тогда сумма равна 11. Число 11 – это простое число.

Следующее выражение: разность числа 25 и суммы частного чисел 6 и 2, и произведения 2 и 5. Частное равно 3, произведение – 10. Тогда сумма равна 13. Осталось вычислить разность. 25 минус 13 равно 12. Число 12 составное.

И последнее выражение: произведение суммы чисел 45 и 28, и разности числа 22 и произведения 3 и 7. Сумма равна 73. Произведение 3 и 7 равно 21. А разность 22 и 21 равна 1. Тогда произведение 73 и 1 равно 73. Число 73 простое.

Что такое простые и составные числа?

Просто́е число́ — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы Составно́е число́ — натуральное число, бо́льшее 1, не являющееся простым. Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел, бо́льших 1. Последовательность составных чисел начинается так: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, … (последовательность A002808 в OEIS) Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число может быть единственным способом разложено в произведение простых множителей с точностью до порядка их следования.

Число 7 имеет только два делителя: 1, 7. У числа 9 есть три делителя: 1, 3 и 9. Такие числа, как 9 и 18, наз. составными, а такие, как 7, простыми числами.

Простое число- это натуральное число, которое имеет только 2 делителя: один и само число. Например: делители числа 11: 1 и 11 Составное число- это натуральное число, которое имеет более 2-х делителей. Например: делители числа 12: 1,2,3,4,6,12. Цифра 1 не относится ни к простым, ни к составным, так как у нее только 1 делитель (1) Примечание: делитель и ответ должен быть только натуральным числом!!! Например: делители 10= правильно: 1,2,5,10 не правильно: 1;2;5;10;4;2,5;... Надеюсь, что вам поможет эта информация) Автор: Колодкина Дарья, 6 класс 🙂

Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а. Действительно, а: 1 = а, а :а = 1. Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число. Для комфорта была сформирована таблица простых чисел. Число два - минимальное простое число. Заметим, что это единственное чётное простое число. Фактически, все другие чётные числа имеют минимально три делителя: число 1, число 2 и само число. Простых чисел бесчисленное множество. Максимального простого числа не бывает. У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей. Натуральное число принято называть составным, если у него бывает больше двух натуральных делителей. Поскольку единица имеет только один делитель, то ее не относят ни к простым, ни к составным числам. Составное число 105 можно различными методами отобразить в виде произведения его делителей

Простое число- это натуральное число, которое имеет только 2 делителя: один и само число.

Просто́е число́ — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы Составно́е число́ — натуральное число, бо́льшее 1, не являющееся простым. Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел, бо́льших 1. Последовательность составных чисел начинается так: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, … (последовательность A002808 в OEIS) Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число может быть единственным способом разложено в произведение простых множителей с точностью до порядка их следования.

§ 1. Простые и составные числа. Приглашение в теорию чисел

§ 1. Простые и составные числа

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,

6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 30 = 2 • 15 = 3 • 10,

в то время как другие, например,

3, 7, 13, 37,

не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число

c = a b (2.1.1)

является произведением двух чисел a и b, то мы называем а и b множителями или делителями числа с. Каждое число имеет тривиальное разложение на множители

с = 1 • с = с • 1. (2.1.2)

Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с.

Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным. Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (2.1.2), то оно называется простым. Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:

Теорема 2.1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.

Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р. Тогда р — простое число, так как если бы р — было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.

Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какой-либо его нетривиальный делитель?

Первое, что может прийти в голову, — это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие ?с. Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (2.1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c, так как в противном случае мы получили бы

ab > ?с • ?с,

что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие — ?с.

Пример 1. Если с = 91, то ?с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.

Пример 2. Если с =1973, то находим, что ?с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с, то это число является простым.

Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до ?с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с.

Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000. Наша таблица 1 содержит все простые числа до 1000.

Таблица 1

Простые числа среди первой тысячи чисел

Некоторые энтузиасты-вычислители уже подготовили таблицы простых чисел, превосходящих 10 000 000. Но, по-видимому, не имеет большого смысла идти на значительные затраты и усилия, чтобы опубликовать эти таблицы. Лишь в очень редких случаях математику, даже специалисту в теории чисел, приходится решать вопрос о том, является ли какое-то большое число простым. Кроме того, большие числа, о которых математик хочет узнать, являются они составными или простыми, не берутся им произвольно. Числа, которые он хочет исследовать, обычно появляются в специальных математических задачах, и, таким образом, эти числа имеют очень специфическую форму.

Система задач 2.1.

1. Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.

2. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973.

3. Заметим, что числа от 90 до 96 включительно являются семью последовательными составными числами; найдите девять последовательных составных чисел.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Обсуждение:Составное число — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Как насчет сделать из этого редирект на Простое число? Это же не словарь. Grigory Grin 10:51, 17 Ноя 2004 (UTC)

Я бы это делать не стал. «Составное число» — это самостоятельный термин, который может сам по себе упоминаться в других статьях Википедии. У составных чисел могут быть свои свойства. Поэтому энциклопедическая статья, посвящённая непосредственно составным числам имеет право на существование. В английской и немецкой Википедиях аналогичные статьи есть.
dmismir 10:11, 21 Ноя 2004 (UTC)

Ошибка в определении (имхо)[править код]

Следует заменить "Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел больших 1", на "Каждое составное число является произведением двух или более натуральных чисел больших 1". См. Основную теорему арифметики или англоязычную версию настоящей статьи. --87.249.9.110 12:38, 30 сентября 2008 (UTC)

Нет ошибки. Если можно представить в виде "двух и более", то можно представить и в виде произведения ровно двух множителей. Maxal 20:45, 30 сентября 2008 (UTC)
Боюсь, что вы не правы. Во-первых, "двух или более, во-вторых, в соответствии с Основной теоремой арфиметики (ОТА) такое разложение единственно. То есть если составное число может быть представлено в виде, допустим, трёх простых сомножителей, то оно уже не может быть представлено в виде двух, ибо это противречит второй части ОТА о единственности разложения. В качестве примера, 6936 может быть представлено так и только так: 23×3×172,{\displaystyle 2^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!} А это уже 6 сомножителей. Пример взят из английской версии ОТА -- 87.249.9.110 07:11, 1 октября 2008 (UTC)
Так здесь о единственности речи не идет, и ОТА здесь не нужна. Maxal 17:45, 2 октября 2008 (UTC)
И вообще, определение, на мой сугуболичный взгяд, совсем неправильное. Правильным было бы сказать, "Составным, называют натуральное число большее единицы, которое имеет положительный делитель, не равный единице или ему самому. В соответствии с ОТА любое составное число может быть представлено произведением простых чисел. Такое представление является единственным, с точностью до порядка следования множителей." Такое определение не вызывает двойных толкований и не вводит в заблуждение. -- Crox 07:30, 1 октября 2008 (UTC)
Это не определение, а свойство. Определением является первое предложение: "Составно́е число́ — натуральное число большее 1, не являющееся простым." За деталями (в том числе приложениями ОТА) оно отсылает к статье простое число. А повторять в этой статье все, что написано про простые числа, смысла нет. Maxal 17:45, 2 октября 2008 (UTC)

Может, написать про то, что числа могут стать составными в других полях. Например, 3 - составное в гауссовом поле (5=(2−1)(2+1){\displaystyle 5=({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)}. infovarius 21:45, 19 декабря 2009 (UTC)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *