Простые множители числа онлайн: Онлайн калькулятор. Разложение числа на множители.

Содержание

Разложение на простые множители 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Разложение на простые множители.

Составное число можно разложить на множители. Иногда эти множители – простые числа, например 6 = 2*3. А иногда множители – новые составные числа, которые в свою очередь можно разложить на множители. Рассмотрим несколько примеров:

125 = 5*25 = 5*5*5

315 = 3*105 = 3*3*35 = 3*3*5*7

112 = 2*56 = 2*2*28 = 2*2*2*14 = 2*2*2*2*7

Такое действие называется разложением на простые множители.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается такое же разложение, может различаться порядок записи множителей.

При разложении чисел на множители используют признаки делимости.

Последовательность действий при разложении на простые множители:

  1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.
  2. Если число не является простым, то нужно подбирать, применяя признаки деления, делитель из простых чисел, начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).
  3. Повторять данное действие нужно до тех пор, пока частное не окажется простым числом.

Пример 1. Разложим на простые множители число 27:

 

 

27 не является простым.

27 на 2 не делится.

27 делится на 3, получаем 27 : 3 = 9.

9 на 2 не делится.

9 делится на 3, получаем 9 : 3 = 3.

3простое число.

Результат: 27 = 3 * 3 * 3.

Пример 2. Разложим на простые множители число378:

 

 

378 не является простым.

378 делится на 2,так как оканчивается на четное число(8), получаем 378 : 2 = 189.

189 делится на 3, потому что сумма его цифр делится на 3, получаем, что число

189 : 3 = 63

число 63 также делится на 3, получаем 63 : 3 = 21.

21 также делится на 3, получаем 21 : 3 = 7.

7 простое число.

Результат: 378 = 2 * 3 * 3 * 3 * 7.

Пример 3. Разложим на простые множители число 2310:

 

 

2310 не является простым.

2310 делится на 2, так как оканчивается на число 0, получаем 2310 : 2 = 1155.

1155 делится на 3, потому что сумма его цифр делится на 3, получаем 1155 : 3 = 385.

385 делится на 5, получаем 385 : 5 = 77.

77 делится на 7, получаем 77 : 7 = 11.

11 простое число.

Результат: 2310 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11.

Тест: Простые и составные числа. Разложение на простые множители.

Простые и составные числа. Разложение на простые множители.

Тест состоит из 12 вопросов. К каждому вопросу предлагается три варианта ответа, один из которых верный.

Математика 6 класс | Автор: Бурякова Вера Николаевна | ID: 845 | Дата: 6.1.2014

";} else {document.getElementById("torf1").innerHTML="";}; if (answ. charAt(1)=="1") {document.getElementById("torf2").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf2").innerHTML="";}; if (answ.charAt(2)=="1") {document.getElementById("torf3").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf3").innerHTML="";}; if (answ.charAt(3)=="1") {document.getElementById("torf4").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf4").innerHTML="";}; if (answ.charAt(4)=="1") {document.getElementById("torf5").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf5").innerHTML="";}; if (answ.charAt(5)=="1") {document.getElementById("torf6").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf6").innerHTML="";}; if (answ.charAt(6)=="1") {document.getElementById("torf7").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf7").innerHTML="";}; if (answ.charAt(7)=="1") {document.getElementById("torf8").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf8").innerHTML="";}; if (answ.charAt(8)=="1") {document.getElementById("torf9").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf9").
innerHTML="";}; if (answ.charAt(9)=="1") {document.getElementById("torf10").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf10").innerHTML="";}; if (answ.charAt(10)=="1") {document.getElementById("torf11").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf11").innerHTML="";}; if (answ.charAt(11)=="1") {document.getElementById("torf12").innerHTML="";} else {document.getElementById("torf12").innerHTML="";}; } }

Получение сертификата
о прохождении теста

Разложить на простые множители - онлайн калькулятор CALC.WS

В теории чисел, простые множители (простые делители) положительного целого числа — это простые числа, которые делят это число нацело (без остатка). Выделить простые множители положительного целого числа означает перечислить эти простые множители вместе с их кратностями. Процесс определения простых множителей называется факторизацией целых чисел. Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число можно представить в виде единственного (с точностью до порядка следования) произведения простых множителей

Результат

Простые множители числа :

Число - простое

Кратко (со степенями):

X

Популярные числа:

Что-то не работает?

В отличие от задачи распознавания простоты числа, факторизация предположительно является вычислительно сложной задачей.

В настоящее время неизвестно, существует ли эффективный не квантовый алгоритм факторизации целых чисел. Однако доказательства того, что не существует решения этой задачи за полиномиальное время, также нет.

Предположение о том, что для больших чисел задача факторизации является вычислительно сложной, лежит в основе широко используемых алгоритмов (например, RSA). Множество областей математики и информатики находят применение в решении этой задачи. Среди них: эллиптические кривые, алгебраическая теория чисел и квантовые вычисления.

Видео

Подробно про разложение на простые множители можно узнать из видео:

Примеры

  • Задание: Разложить на простые множители число 16:

    Решение: Каждый из делителей данного числа делится на два: 2 * 2 * 2 * 2 или 24 (два в четвертой степени)

  • Задание: Разложить на простые множители число 18:

    Решение: Получается 2 * 3 * 3 или 2 * 32

  • Задание: Разложить на простые множители число 210:

    Решение: Получается 2 * 3 * 5 * 7

Разложение на простые множители - презентация онлайн

Разложение на простые
множители
Натуральные
числа
Составные
числа
Простые
числа
2, 3, 5, 7, 11…
Число 1
4, 6, 8, 9, 10…
60 число
Составное
Составное
число
6
2
Составное
число
10
3
2
Простые числа
5
60 = 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 5
Разложение на простые множители
60 = 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 5 = 22 ∙ 3 ∙ 5.
60
3
20
2
Простые
числа
10
2
5
60 = 6 ∙ 10 = 2 ∙ 3 :∙ 2 ∙ 5
60 = 3 ∙ 20 = 3 ∙ 10 ∙ 2 = 3 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 2
Любое составное число можно
единственным образом представить в
виде произведения простых множителей.
390
39
13
10
3
2
5
390 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 13
Разложить на простые множители
число
простое?
114 : 2 = 57
114 --2составное
Сумма цифр
5 + 7 = 12
57
19
1
3
19
57 : 3 = 19
19 : 19 = 1
114 = 2 ∙ 3 ∙ 19
Число делится лишь на те простые числа,
которые входят в состав его разложения на
простые множители.
600 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 не делится на 7, 11.
Число делится лишь на те составные
числа, разложения которых на простые
множители полностью в нем содержится.
600 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 делится на 40 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5.
600 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 не делится на 63 = 3 ∙ 3 ∙ 7.
?
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число,
состоящее
из пяти простых чисел, записанных в
Все эти чиста – простые делители числа 1950.
порядке убывания.
Все эти чиста – простые множители числа 1950.
1950 2 10
5
195 5
39 3
13 13
1
1950 = 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 13
13 5 5 3 2 – шифр
Ответ: 135532.
Удобный способ нахождения произведения
чисел с помощью разложения их на простые
множители
28 ∙ 75 = 2 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 7 =
210010 10 21
28∙28
= 10
10∙∙75
2175== 2100
28 = 2 ∙ 2 ∙ 7
75 = 3 ∙ 5 ∙ 5
Разложить число на простые множители —
значит записать число в виде произведения
простых чисел.
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 3 ∙ 5 ∙ 2
Любое составное натуральное число можно
представить единственным образом в виде
произведения простых чисел, если не
учитывать порядка записи множителей.

Разложение на множители больших чисел. Разложение числа на простые множители онлайн

Что значит разложить на множители? Это значит найти числа, произведение которых равно исходному числу.

Чтобы понять, что значит разложить на множители, рассмотрим пример.

Пример разложения числа на множители

Разложить на множители число 8.

Число 8 можно представить в виде произведения 2 на 4:

Представление 8 в виде произведения 2 * 4 и значит разложение на множители.

Обратите внимание, что это не единственное разложение 8 на множители.

Ведь 4 разлагается на множители так:

Отсюда 8 можно представить:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Проверяем наш ответ. Найдем, чему равно разложение на множители:

То есть получили исходное число, ответ верный.

Разложите на простые множители число 24

Как разложить на простые множители число 24?

Простым называют число, если оно нацело делится только на единицу и на себя.

Число 8 можно представить в виде произведения 3 на 8:

Здесь число 24 разложено на множители. Но в задании сказано "разложить на простые множители число 24", т.е. нужны именно простые множители. А в нашем разложении 3 является простым множителем, а 8 не является простым множителем.

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители . Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Навигация по странице.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово «множители», то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом . Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2 , 7 , 7 и 23 .

А что же значит разложить число на простые множители?

Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2 , 3 и 5 , оно равно 30 , таким образом, разложение числа 30 на простые множители имеет вид 2·3·5 . Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5 . Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3 . А вот представление вида 45=3·15 не является разложением на простые множители, так как число 15 – составное.

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди , больших единицы. Учитывая этот факт и , можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1 .

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b , то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b , что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики . Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число a , которое больше 1 , можно разложить на произведение простых множителей p 1 , p 2 , …, p n , при этом разложение имеет вид a=p 1 ·p 2 ·…·p n , причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей

Каноническое разложение числа на простые множители

В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя . Пусть в разложении числа a простой множитель p 1 встречается s 1 раз, простой множитель p 2 – s 2 раз, и так далее, p n – s n раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n . Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители .

Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Пусть нам известно разложение 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11 , его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2 4 ·3 2 ·5·7·11 2 .

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа .

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа .

Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из доказательства основной теоремы арифметики . Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p 1 , p 2 , …,p n чисел a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , что позволяет получить ряд равенств a=p 1 ·a 1 , где a 1 =a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , где a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , где a n =a n-1:p n . Когда получается a n =1 , то равенство a=p 1 ·p 2 ·…·p n даст нам искомое разложение числа a на простые множители. Здесь же следует заметить, что p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n .

Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел . Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z .

Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2 , 3 , 5 , 7 , 11 и так далее) и делим на них данное число z . Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z . Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где - из z . Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z , то можно делать вывод о том, что z – простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное).

Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87 . Берем число 2 . Делим 87 на 2 , получаем 87:2=43 (ост. 1) (если необходимо, смотрите статью ). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1 , поэтому 2 – не является делителем числа 87 . Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3 . Делим 87 на 3 , получаем 87:3=29 . Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители . Алгоритм разложения числа a таков:

  • Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p 1 числа a , после чего вычисляем a 1 =a:p 1 . Если a 1 =1 , то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a 1 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·a 1 и переходим к следующему шагу.
  • Находим наименьший простой делитель p 2 числа a 1 , для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p 1 , после чего вычисляем a 2 =a 1:p 2 . Если a 2 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 . Если же a 2 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·a 2 и переходим к следующему шагу.
  • Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 , находим наименьший простой делитель p 3 числа a 2 , после чего вычисляем a 3 =a 2:p 3 . Если a 3 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Если же a 3 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 и переходим к следующему шагу.
  • Находим наименьший простой делитель p n числа a n-1 , перебирая простые числа, начиная с p n-1 , а также a n =a n-1:p n , причем a n получается равно 1 . Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a 1 , a 2 , …, a n , а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p 1 , p 2 , …, p n .

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители . При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Пример.

Разложите число 78 на простые множители.

Решение.

Начинаем поиск первого наименьшего простого делителя p 1 числа a=78 . Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2 и делим на него 78 , получаем 78:2=39 . Число 78 разделилось на 2 без остатка, поэтому p 1 =2 – первый найденный простой делитель числа 78 . В этом случае a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Так мы приходим к равенству a=p 1 ·a 1 имеющему вид 78=2·39 . Очевидно, что a 1 =39 отлично от 1 , поэтому переходим ко второму шагу алгоритма.

Теперь ищем наименьший простой делитель p 2 числа a 1 =39 . Начинаем перебор чисел из таблицы простых чисел, начиная с p 1 =2 . Делим 39 на 2 , получаем 39:2=19 (ост. 1) . Так как 39 не делится нацело на 2 , то 2 не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел (число 3 ) и делим на него 39 , получаем 39:3=13 . Следовательно, p 2 =3 – наименьший простой делитель числа 39 , при этом a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 . Имеем равенство a=p 1 ·p 2 ·a 2 в виде 78=2·3·13 . Так как a 2 =13 отлично от 1 , то переходим к следующему шагу алгоритма.

Здесь нам нужно отыскать наименьший простой делитель числа a 2 =13 . В поисках наименьшего простого делителя p 3 числа 13 будем последовательно перебирать числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 =3 . Число 13 не делится на 3 , так как 13:3=4 (ост. 1) , также 13 не делится на 5 , 7 и на 11 , так как 13:5=2 (ост. 3) , 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2) . Следующим простым числом является 13 , и на него 13 делится без остатка, следовательно, наименьший простой делитель p 3 числа 13 есть само число 13 , и a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Так как a 3 =1 , то этот шаг алгоритма является последним, а искомое разложение числа 78 на простые множители имеет вид 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Ответ:

78=2·3·13 .

Пример.

Представьте число 83 006 в виде произведения простых множителей.

Решение.

На первом шаге алгоритма разложения числа на простые множители находим p 1 =2 и a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , откуда 83 006=2·41 503 .

На втором шаге выясняем, что 2 , 3 и 5 не являются простыми делителями числа a 1 =41 503 , а число 7 – является, так как 41 503:7=5 929 . Имеем p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Таким образом, 83 006=2·7·5 929 .

Наименьшим простым делителем числа a 2 =5 929 является число 7 , так как 5 929:7=847 . Таким образом, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , откуда 83 006=2·7·7·847 .

Дальше находим, что наименьший простой делитель p 4 числа a 3 =847 равен 7 . Тогда a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , поэтому 83 006=2·7·7·7·121 .

Теперь находим наименьший простой делитель числа a 4 =121 , им является число p 5 =11 (так как 121 делится на 11 и не делится на 7 ). Тогда a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , и 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Наконец, наименьший простой делитель числа a 5 =11 – это число p 6 =11 . Тогда a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Так как a 6 =1 , то этот шаг алгоритма разложения числа на простые множители является последним, и искомое разложение имеет вид 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Полученный результат можно записать как каноническое разложение числа на простые множители 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Ответ:

83 006=2·7·7·7·11·11=2·7 3 ·11 2 991 – простое число. Действительно, оно не имеет ни одного простого делителя, не превосходящего ( можно грубо оценить как , так как очевидно, что 991

Ответ:

897 924 289=937·967·991 .

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

В простых случаях разложить число на простые множители можно без использования алгоритма разложения из первого пункта данной статьи. Если числа не большие, то для их разложения на простые множители часто достаточно знать и признаки делимости . Приведем примеры для пояснения.

Например, нам требуется разложить на простые множители число 10 . Из таблицы умножения мы знаем, что 2·5=10 , а числа 2 и 5 очевидно простые, поэтому разложение на простые множители числа 10 имеет вид 10=2·5 .

Еще пример. При помощи таблицы умножения разложим на простые множители число 48 . Мы знаем, что шестью восемь – сорок восемь, то есть, 48=6·8 . Однако, ни 6 , ни 8 не являются простыми числами. Но мы знаем, что дважды три – шесть, и дважды четыре – восемь, то есть, 6=2·3 и 8=2·4 . Тогда 48=6·8=2·3·2·4 . Осталось вспомнить, что дважды два – четыре, тогда получим искомое разложение на простые множители 48=2·3·2·2·2 . Запишем это разложение в канонической форме: 48=2 4 ·3 .

А вот при разложении на простые множители числа 3 400 можно воспользоваться признаками делимости. Признаки делимости на 10, 100 позволяют утверждать, что 3 400 делится на 100 , при этом 3 400=34·100 , а 100 делится на 10 , при этом 100=10·10 , следовательно, 3 400=34·10·10 . А на основании признака делимости на 2 можно утверждать, что каждый из множителей 34 , 10 и 10 делится на 2 , получаем 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5 . Все множители в полученном разложении являются простыми, поэтому это разложение является искомым. Осталось лишь переставить множители, чтобы они шли в порядке возрастания: 3 400=2·2·2·5·5·17 . Запишем также каноническое разложение данного числа на простые множители: 3 400=2 3 ·5 2 ·17 .

При разложении данного числа на простые множители можно использовать по очереди и признаки делимости и таблицу умножения. Представим число 75 в виде произведения простых множителей. Признак делимости на 5 позволяет нам утверждать, что 75 делится на 5 , при этом получаем, что 75=5·15 . А из таблицы умножения мы знаем, что 15=3·5 , поэтому, 75=5·3·5 . Это и есть искомое разложение числа 75 на простые множители.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

Чем отличаются простые и составные числа

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

  • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

Разложение числа на простые множители

Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.

При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.

  • Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

Разложим число 378 на простые множители

Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.

Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме - прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования - это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова "умножить" сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык...) И всё.

Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:

Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.

А можно разложить 12 по-другому? Легко!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Вариантов разложения - бесконечное количество.

Разложение чисел на множители - штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она - необходимая! Чисто для примера:

Упростить:

Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет - упрощает и получает:

Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:

Решить уравнение:

х 5 - x 4 = 0

Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .

Или, то же самое, но для старшеньких):

Решить уравнение:

На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:

Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.

Если перед нами уравнение, где справа - ноль, а слева - не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).

Основные способы разложения на множители.

Вот они, самые популярные способы:

4. Разложение квадратного трёхчлена.

Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться... Вот по порядочку и начнём.)

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.

Все знают (я верю!)) правило:

a(b+c) = ab+ac

Или, в более общем виде:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.

В левой части а - общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.

Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.

Разложить на множители:

ах+9х

Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:

ах+9х=х(

А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:

Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:

Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.

Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак "+"! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!

Как так!? - слышу возмущённый глас народа - А в скобках!?)

Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.

Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть - получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)

х(а+9)=ах+9х

Получилось.)

В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками... Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:

При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.

Разложить на множители:

3ах+9х

Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:

3ах+3·3х

Здесь сразу видно, что общий множителем будет . Вот его и выносим:

3ах+3·3х=3х(а+3)

Разложили.

А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:

3ах+9х=х(3а+9)

Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:

3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)

То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:

При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.

Продолжаем развлечение?)

Разложить на множители выражение:

3ах+9х-8а-24

Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е... Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету... Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же... Знакомьтесь:

2. Группировка.

Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:

3ах+9х-8а-24

Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но... Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых - нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.

Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )

Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.

Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )

это будет ошибкой. Справа - уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да...)

Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:

(3ах+9х)=3х(а+3)

Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:

(8а+24)=8(а+3)

Всё наше выражение получится:

(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)

Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но... В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком - это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)

Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :

3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)

Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Повторим кратенько суть группировки.

Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.

Добавлю, что группировка - процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь - не падать духом!)

Примеры.

Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких...

Упростить:

В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.

Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель... Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Пишем результат разложения в числитель дроби:

По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:

Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения - просто нет.

Пример с уравнением:

Решить уравнение:

х 5 - x 4 = 0

Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:

х 4 (x-1)=0

Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:

При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое... Стало быть:

С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):

Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.

Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно - решать будем точно так же. По кусочкам. Например:

(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0

Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа - ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)

Ну и, последний пример, для старшеньких):

Решить уравнение:

Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.

Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:

lg 4 x=0

Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.

Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .

Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)

В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Задание разложить число 3 и 2. Разложение числа на простые множители онлайн

Разложить на множители большое число – нелегкая задача. Большинство людей затрудняются раскладывать четырех- или пятизначные числа. Для упрощения процесса запишите число над двумя колонками.

  • Разложим на множители число 6552.
  • Разделите данное число на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления. Как отмечалось выше, четные числа легко раскладывать на множители, так как их наименьшим простым множителем всегда будет число 2 (у нечетных чисел наименьшие простые множители различны).

    • В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой - 3276.
  • Далее разделите число в правой колонке на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления (продолжите этот процесс до тех пор, пока в правой колонке не останется 1).

    • В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой - 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой - 819.
  • Вы получили нечетное число; для таких чисел найти наименьший простой делитель сложнее. Если вы получили нечетное число, попробуйте разделить его на наименьшие простые нечетные числа: 3, 5, 7, 11.

    • В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой - 273.
    • При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.
  • Продолжите процесс деления чисел на простые делители до тех пор, пока в правой колонке не останется 1 (если в правой колонке вы получили простое число, разделите его само на себя, чтобы получить 1).

    • Продолжим вычисления в нашем примере:
      • Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой - 91.
      • Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой - 13.
      • Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой - 1. Ваши вычисления закончены.
  • В левой колонке представлены простые множители исходного числа. Другими словами, при перемножении всех чисел из левой колонки вы получите число, записанное над колонками. Если один множитель появляется в списке множителей несколько раз, используйте показатели степени для его обозначения. В нашем примере в списке множителей 2 появляется 4 раза; запишите эти множители как 2 4 , а не как 2*2*2*2.

    • В нашем примере 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).
  • Что значит разложить на множители? Это значит найти числа, произведение которых равно исходному числу.

    Чтобы понять, что значит разложить на множители, рассмотрим пример.

    Пример разложения числа на множители

    Разложить на множители число 8.

    Число 8 можно представить в виде произведения 2 на 4:

    Представление 8 в виде произведения 2 * 4 и значит разложение на множители.

    Обратите внимание, что это не единственное разложение 8 на множители.

    Ведь 4 разлагается на множители так:

    Отсюда 8 можно представить:

    8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

    Проверяем наш ответ. Найдем, чему равно разложение на множители:

    То есть получили исходное число, ответ верный.

    Разложите на простые множители число 24

    Как разложить на простые множители число 24?

    Простым называют число, если оно нацело делится только на единицу и на себя.

    Число 8 можно представить в виде произведения 3 на 8:

    Здесь число 24 разложено на множители. Но в задании сказано "разложить на простые множители число 24", т.е. нужны именно простые множители. А в нашем разложении 3 является простым множителем, а 8 не является простым множителем.

    (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами . Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными ) числами . Простых чисел - бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

    47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

    103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

    157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

    Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых.

    Например , запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5. Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа — множителями или сомножителями . Первый множитель иногда называется «множимое ».

    Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

    Разложение числа на множители (Факторизация).

    Разложение на множители (факторизация) - перебор делителей — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

    Т.е., простым языком, факторизация - это название процесса разложения чисел на множители, выраженное научным языком.

    Последовательность действий при разложении на простые множители:

    1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.

    2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).

    3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом.

    Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.

    Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.

    Примеры. 1) Разложить число 1400 на простые множители.

    1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.

    Это же число можно разложить на простые множители иначе:

    1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.

    Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.

    Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.

    2) Разложить число 1620 на простые множители.

    Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.

    Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

    Чем отличаются простые и составные числа

    Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

    Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

    • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

    Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

    Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

    Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

    Разложение числа на простые множители

    Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.

    При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

    Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.

    • Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

    Разложим число 378 на простые множители

    Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

    Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.

    378|2
    189|3
    63|3
    21|3

    Нахождение наибольшего общего делителя (НОД): онлайн калькулятор

    Делитель — это целое число, на которое другое целое число делится без остатка. Для нескольких чисел можно найти общие делители, среди которых будет наибольший. Именно наибольший общий делитель обладает рядом полезных свойств.

    Наибольший общий делитель

    Делитель целого числа A – это целое число B, на которое A делится без остатка. К примеру, делители числа 24 — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Каждое число делится на себя и на единицу, поэтому эти делители мы можем не учитывать. Числа, которые делятся только на себя и единицу, считаются простыми и обладают рядом уникальных свойств. Однако к большинству чисел мы можем подобрать делители, некоторые из которых будут общими. К примеру, для числа 36 такими делителями будут 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18. Большинство из них совпадает с делителями числа 24, приведенными выше, но наибольшим из них является 12. Это и есть НОД пары 24 и 36. Понятие наименьшего общего делителя не имеет смысла, так как это всегда единица.

    Нахождение НОД

    Для вычисления НОД используется три способа. Первый, самый простой для понимания, но при этом наиболее трудоемкий — это простой перебор всех делителей пары и выбор из них наибольшего. Например, для 12 и 16 НОД находится следующим образом:

    • выписываем делители для 12 — 2, 3, 4 и 6;
    • выписываем делители для 16 — 2, 4 и 8;
    • определяем общие делители чисел — 2, 4;
    • выбираем наибольший из них — 4.

    Второй способ сложнее для понимания, но более эффективен в плане вычислений. В этом случае НОД находится путем разложения чисел на простые множители. Для разложения на простые множители необходимо последовательно делить число без остатка на числа из ряда простых 2, 3, 5, 7, 11, 13…

    Для тех же чисел НОД вычисляется по такой схеме:

    • раскладываем 12 на простые множители и получаем 2 × 2 × 3;
    • раскладываем 16 — 2 × 2 × 2× 2;
    • отсеиваем несовпадающие множители и получаем 2 × 2;
    • перемножаем множители и определяем НОД = 4.

    Третий способ лучше всего подходит для определения НОД пар любых, сколь угодно больших чисел. Алгоритм Евклида — это метод поиска наибольшего общего делителя для пары целых чисел A и B, при условии A>B.

    Согласно алгоритму мы должны разделить A на B, в результате которого получится:

    A1 и C,

    где A1 – целое число, C – остаток от деления.

    После этого разделим B на остаток C и обозначим результат как B1. Теперь у нас есть новая пара чисел A1 и B1.

    Повторим действия. Разделим A1 на B1, получим в результате A2 и C1. После этого разделим B1 на C1 и получим B2. Алгоритм повторяется до тех пор, пока остаток Cn не будет равен нулю.

    Рассмотрим его подробно на числах 1729 и 1001. Порядок действий следующий. У нас есть пара (1001, 1729). Для использования алгоритма Евклида первое число в паре должно быть больше. Выполним преобразование для корректной работы алгоритма — меньшее число оставим на месте, а большее заменим на их разницу, так как если оба числа делятся на НОД, то их разность также делится. Получим (1001, 728). Выполним расчеты:

    • (1001, 728) = (728, 273) = (273, 182) — вместо того, чтобы много раз искать разность, можно написать остаток от деления 728 на 273.
    • (273, 182) = (91, 182) = (91, 0) = 91.

    Таким образом, НОД пары 1001 и 1729 равен 91.

    Использование НОД

    На практике наибольший общий делитель применяется при решении диофантовых уравнений вида ax + by = d. Если НОД (a, b) не делит d без остатка, то уравнение не разрешимо в целых числах. Таким образом, диофантово уравнение имеет целые корни только в случае, если отношение d / НОД (a, b) есть целое число.

    Наш онлайн-калькулятор позволяет быстро отыскать наибольший общий делитель как для пары, так и для любого произвольного количества чисел.

    Примеры из реальной жизни

    Школьная задача

    В задаче по арифметике требуется найти НОД четырех чисел: 21, 49, 56, 343. Для решения при помощи калькулятора нам потребуется только указать количество чисел и ввести их в соответствующие ячейки. После этого мы получим ответ, что НОД (21, 49, 56, 343) = 7.

    Диофантово уравнение

    Пусть у нас есть диофантово уравнение вида 1001 х + 1729 у = 104650. Нам необходимо проверить его на разрешимость в целых чисел. Мы уже считали НОД для этой пары при помощи алгоритма Евклида. Давайте проверим правильность выкладок и пересчитаем НОД на калькуляторе. Действительно, НОД (1001, 1729) = 91. Проверяем возможность целочисленного решения по условию d / НОД (a, b) = 104650/91 = 1150. Следовательно, данное уравнение имеет целые корни.

    Заключение

    Наибольший общий делитель мы проходим еще в школе, но не всегда понимаем, для чего он нужен в будущем. Однако НОД — важный термин в теории чисел и применяется во многих областях математики. Используйте наш калькулятор для поиска НОД любого количества чисел.

    Калькулятор простой факторизации

    Укажите целое число, чтобы найти его простые множители, а также дерево множителей.


    Калькулятор Связанного Фактора | Калькулятор общего множителя

    Что такое простое число?

    Простые числа - это натуральные числа (положительные целые числа, которые иногда включают 0 в некоторых определениях), которые больше 1, которые не могут быть образованы путем умножения двух меньших чисел. Примером простого числа является 7, поскольку оно может быть образовано только путем умножения чисел 1 и 7.Другие примеры включают 2, 3, 5, 11 и т. Д.

    Числа, которые могут быть образованы двумя другими натуральными числами, превышающими 1, называются составными числами. Примеры включают такие числа, как, 4, 6, 9 и т. Д.

    Простые числа широко используются в теории чисел благодаря основной теореме арифметики. Эта теорема утверждает, что натуральные числа больше 1 либо простые, либо могут быть разложены как произведение простых чисел. Например, число 60 можно разложить на произведение простых чисел следующим образом:

    60 = 5 × 3 × 2 × 2

    Как видно из приведенного выше примера, в факторизации нет составных чисел.

    Что такое факторизация на простые множители?

    Факторизация на простые числа - это разложение составного числа на произведение простых чисел. Существует множество алгоритмов факторинга, некоторые из которых сложнее других.

    Испытательный отдел:

    Одним из методов нахождения простых множителей составного числа является пробное деление. Пробное разделение - один из самых основных алгоритмов, хотя и очень утомительный. Он включает в себя проверку каждого целого числа путем деления рассматриваемого составного числа на целое число и определения того, может ли целое число делить число поровну и сколько раз.В качестве простого примера ниже приведено разложение 820 на простые множители с использованием пробного деления:

    820 ÷ 2 = 410

    410 ÷ 2 = 205

    Поскольку 205 больше не делится на 2, проверьте следующие целые числа. 205 нельзя делить на 3 без остатка. 4 - непростое число. Однако его можно разделить на 5:

    .

    205 ÷ 5 = 41

    Так как 41 - простое число, на этом пробное деление завершено. Таким образом:

    820 = 41 × 5 × 2 × 2

    Продукт также можно записывать как:

    820 = 41 × 5 × 2 2

    По сути, это метод «грубой силы» для определения простых множителей числа, и хотя 820 является простым примером, он может стать намного более утомительным очень быстро.

    Разложение на простые числа:

    Другой распространенный способ проведения разложения на простые множители называется разложением на простые множители и может включать использование факторного дерева. Создание факторного дерева включает в себя разбиение составного числа на множители составного числа, пока все числа не станут простыми. В приведенном ниже примере простые множители находятся путем деления 820 на простой множитель 2 и последующего деления результата до тех пор, пока все множители не станут простыми. Пример ниже демонстрирует два способа создания факторного дерева с использованием числа 820:

    .

    Таким образом, можно увидеть, что факторизация числа 820 на простые множители в любом случае снова равна:

    820 = 41 × 5 × 2 × 2

    Хотя эти методы работают для меньших чисел (и существует множество других алгоритмов), не существует известного алгоритма для гораздо больших чисел, и даже машинам может потребоваться много времени для вычисления простых разложений больших чисел; В 2009 году ученые завершили проект с использованием сотен машин для разложения 232-значного числа RSA-768, и на это потребовалось два года.

    Разложение на простые числа общих чисел

    Ниже приведены факторизации некоторых общих чисел на простые множители.

    Разложение на простые множители 2: простое число

    Разложение на простые множители 3: простое число

    Разложение на простые множители 4: 2 2

    Разложение на простые множители 5: простое число

    Разложение на простые множители 6: 2 × 3

    Разложение на простые множители 7: простое число

    Факторизация на простые числа 8: 2 3

    Разложение на простые множители 9: 3 2

    Разложение на простые множители 10: 2 × 5

    Разложение на простые множители 11: простое число

    Разложение на простые множители 12: 2 2 × 3

    Разложение на простые множители 13: простое число

    Разложение на простые множители 14: 2 × 7

    Разложение на простые множители 15: 3 × 5

    Разложение на простые множители 16: 2 4

    Разложение на простые множители 17: простое число

    Разложение на простые множители 18: 2 × 3 2

    Разложение на простые множители 19: простое число

    Разложение на простые множители 20: 2 2 × 5

    Разложение на простые множители 21: 3 × 7

    Разложение на простые множители 22: 2 × 11

    Разложение на простые множители 23: простое число

    Разложение на простые множители 24: 2 3 × 3

    Разложение на простые множители 25: 5 2

    Разложение на простые множители 26: 2 × 13

    Разложение на простые множители 27: 3 3

    Разложение на простые множители 28: 2 2 × 7

    Разложение на простые множители 29: простое число

    Разложение на простые множители 30: 2 × 3 × 5

    Разложение на простые множители 31: простое число

    Разложение на простые множители 32: 2 5

    Разложение на простые множители 33: 3 × 11

    Разложение на простые множители 34: 2 × 17

    Разложение на простые множители 35: 5 × 7

    Разложение на простые множители 36: 2 2 × 3 2

    Разложение на простые множители 37: простое число

    Разложение на простые множители 38: 2 × 19

    Разложение на простые множители 39: 3 × 13

    Разложение на простые множители 40: 2 3 × 5

    Разложение на простые множители 41: простое число

    Разложение на простые множители 42: 2 × 3 × 7

    Разложение на простые множители 43: простое число

    Разложение на простые множители 44: 2 2 × 11

    Разложение на простые множители 45: 3 2 × 5

    Разложение на простые множители 46: 2 × 23

    Разложение на простые множители 47: простое число

    Разложение на простые множители 48: 2 4 × 3

    Разложение на простые множители 49: 7 2

    Разложение на простые множители 50: 2 × 5 2

    Разложение на простые множители 51: 3 × 17

    Разложение на простые множители 52: 2 2 × 13

    Разложение на простые множители 53: простое число

    Разложение на простые множители 54: 2 × 3 3

    Разложение на простые множители 55: 5 × 11

    Разложение на простые множители 56: 2 3 × 7

    Разложение на простые множители 57: 3 × 19

    Разложение на простые множители 58: 2 × 29

    Разложение на простые множители 59: простое число

    Разложение на простые множители 60: 2 2 × 3 × 5

    Разложение на простые множители 61: простое число

    Разложение на простые множители 62: 2 × 31

    Разложение на простые множители 63: 3 2 × 7

    Разложение на простые множители 64: 2 6

    Разложение на простые множители 65: 5 × 13

    Разложение на простые множители 66: 2 × 3 × 11

    Разложение на простые множители 67: простое число

    Разложение на простые множители 68: 2 2 × 17

    Разложение на простые множители 69: 3 × 23

    Разложение на простые множители 70: 2 × 5 × 7

    Разложение на простые множители 71: простое число

    Разложение на простые множители 72: 2 3 × 3 2

    Разложение на простые множители 73: простое число

    Разложение на простые множители 74: 2 × 37

    Разложение на простые множители 75: 3 × 5 2

    Разложение на простые множители 76: 2 2 × 19

    Разложение на простые множители 77: 7 × 11

    Разложение на простые множители 78: 2 × 3 × 13

    Разложение на простые множители 79: простое число

    Разложение на простые множители 80: 2 4 × 5

    Разложение на простые множители 81: 3 4

    Разложение на простые множители 82: 2 × 41

    Разложение на простые множители 83: простое число

    Разложение на простые множители 84: 2 2 × 3 × 7

    Разложение на простые множители 85: 5 × 17

    Разложение на простые множители 86: 2 × 43

    Разложение на простые множители 87: 3 × 29

    Разложение на простые множители 88: 2 3 × 11

    Разложение на простые множители 89: простое число

    Разложение на простые множители 90: 2 × 3 2 × 5

    Разложение на простые множители 91: 7 × 13

    Разложение на простые множители 92: 2 2 × 23

    Разложение на простые множители 93: 3 × 31

    Разложение на простые множители 94: 2 × 47

    Разложение на простые множители 95: 5 × 19

    Разложение на простые множители 96: 2 5 × 3

    Разложение на простые множители 97: простое число

    Разложение на простые множители 98: 2 × 7 2

    Разложение на простые множители 99: 3 2 × 11

    Разложение на простые множители 100: 2 2 × 5 2

    Разложение на простые множители 101: простое число

    Разложение на простые множители 102: 2 × 3 × 17

    Разложение на простые множители 103: простое число

    Разложение на простые множители 104: 2 3 × 13

    Разложение на простые множители 105: 3 × 5 × 7

    Разложение на простые множители 106: 2 × 53

    Разложение на простые множители 107: простое число

    Разложение на простые множители 108: 2 2 × 3 3

    Разложение на простые множители 109: простое число

    Разложение на простые множители 110: 2 × 5 × 11

    Разложение на простые множители 111: 3 × 37

    Разложение на простые множители 112: 2 4 × 7

    Разложение на простые множители 113: простое число

    Разложение на простые множители 114: 2 × 3 × 19

    Разложение на простые множители 115: 5 × 23

    Разложение на простые множители 116: 2 2 × 29

    Разложение на простые множители 117: 3 2 × 13

    Разложение на простые множители 118: 2 × 59

    Разложение на простые множители 119: 7 × 17

    Разложение на простые множители 120: 2 3 × 3 × 5

    Разложение на простые множители 121: 11 2

    Разложение на простые множители 122: 2 × 61

    Разложение на простые множители 123: 3 × 41

    Разложение на простые множители 124: 2 2 × 31

    Разложение на простые множители 125: 5 3

    Разложение на простые множители 126: 2 × 3 2 × 7

    Разложение на простые множители 127: простое число

    Разложение на простые множители 128: 2 7

    Разложение на простые множители 129: 3 × 43

    Разложение на простые множители 130: 2 × 5 × 13

    Разложение на простые множители 131: простое число

    Разложение на простые множители 132: 2 2 × 3 × 11

    Разложение на простые множители 133: 7 × 19

    Разложение на простые множители 134: 2 × 67

    Разложение на простые множители 135: 3 3 × 5

    Разложение на простые множители 136: 2 3 × 17

    Разложение на простые множители 137: простое число

    Разложение на простые множители 138: 2 × 3 × 23

    Разложение на простые множители 139: простое число

    Разложение на простые множители 140: 2 2 × 5 × 7

    Разложение на простые множители 141: 3 × 47

    Разложение на простые множители 142: 2 × 71

    Разложение на простые множители 143: 11 × 13

    Разложение на простые множители 144: 2 4 × 3 2

    Разложение на простые множители 145: 5 × 29

    Разложение на простые множители 146: 2 × 73

    Разложение на простые множители 147: 3 × 7 2

    Разложение на простые множители 148: 2 2 × 37

    Разложение на простые множители 149: простое число

    Разложение на простые множители 150: 2 × 3 × 5 2

    Разложение на простые множители 200: 2 3 × 5 2

    Разложение на простые множители 300: 2 2 × 3 × 5 2

    Разложение на простые множители 400: 2 4 × 5 2

    Разложение на простые множители 500: 2 2 × 5 3

    Разложение на простые множители 600: 2 3 × 3 × 5 2

    Разложение на простые множители 700: 2 2 × 5 2 × 7

    Разложение на простые множители 800: 2 5 × 5 2

    Разложение на простые множители 900: 2 2 × 3 2 × 5 2

    Разложение на простые множители 1000: 2 3 × 5 3

    Калькулятор простой факторизации

    Использование калькулятора простой факторизации

    Этот калькулятор факторизации простых чисел позволяет вводить составное число и выдает список простых чисел, которые при умножении дают исходное составное число.Используйте этот калькулятор факторизации, чтобы построить дерево факторов или просто определить список простых чисел, которые делят данное целое число.

    Факторное дерево, созданное калькулятором факторизации простых чисел, показывает простые значения в виде выделенных узлов. Каждому простому множителю назначается уникальный цвет, и вхождения каждого простого множителя соответствуют показателю степени на одном и том же простом множителе в факторизации простых чисел в канонической факторизации, показанной ниже факторного дерева.

    Есть много потенциальных способов произвести разложение на простые множители, но некоторые из них, особенно те, которые начинаются с малых простых чисел, дают очень повторяющиеся деревья факторов.Алгоритм, используемый этим калькулятором разложения на простые множители, начинает поиск множителей с квадратного корня входных данных, а затем проверяет множители все меньшего размера. Это приведет к более частому повторному использованию факторизации внутренних составных чисел на простые множители и получению факторных деревьев, которые будут несколько более компактными (и элегантными), чем более наивные подходы.

    Используйте кнопку «Zoom», чтобы выделить только калькулятор на этой странице. Это делает использование этого калькулятора простого факторизации на интеллектуальных досках или проекторах в классе менее отвлекающим.

    Чтобы понять, для чего нужна разложение на простые множители, полезно начать с самой природы чисел и того, как их простые множители используются для их создания.

    Что такое простое число?

    Простое число - это целое число, которое может делиться поровну только на число 1 и само себя. Это причудливый способ сказать, что не существует другого выражения умножения, использующего только натуральные числа, которое имеет в качестве своего произведения простое число.

    Достаточно легко определить, является ли маленькое число простым или нет, просто используя правила делимости и пробного деления или просто вставив число в этот калькулятор разложения на простые множители !.Однако особенно сложно определить, является ли большое число простым. Факторинг очень больших чисел, включающих очень большие простые числа, очень сложно даже с компьютером и много лет времени, и это основная причина того, почему современная криптография работает.

    Что такое составное число?

    Составные числа в некотором смысле противоположны простым числам. Хотя простые числа не могут быть разделены ни на одно другое число, кроме самого себя, составное число ДОЛЖНО делиться хотя бы на одно другое число.Другими словами, составное число всегда является произведением двух (или более) простых чисел. Следовательно, составное число состоит из простых чисел.

    Этот калькулятор факторизации простых чисел принимает составное целое число и производит факторизацию этого целого числа на простые множители, перечисляя уникальный набор простых чисел, составляющих данный продукт.

    Если разложение на простые множители содержит только одно простое число с показателем, равным единице, это еще один способ сказать, что целое число является простым.Этот калькулятор разложения на простые множители сразу же определит такие значения и сообщит вам, являются ли они простыми.

    0 - простое число?

    Ноль - это не простое число, просто вставьте его в калькулятор, и он вам скажет! Ноль можно разделить на любое целое число и получить в результате ноль, поэтому он не является простым. Он также не является составным, потому что нет двух целых чисел, которые можно умножить вместе, чтобы получить ноль в качестве их произведения.

    Это может вас удивить, но некоторые вещи, например, является ли ноль простым или нет, иногда могут вызывать споры в математических кругах.Здесь вы можете увидеть некоторые дискуссии на тему, где 0 - простое число ...

    0 - простое число?

    1 - простое ли число?

    Единица - не простое число. Единица также не является составным числом. Поскольку простое число должно делиться ровно на два множителя, в том числе на один, число один не проходит проверку на простоту, потому что оно имеет только один множитель. Из-за этой небольшой сложности в определении простого числа явно указано, что простое число должно быть больше единицы, поэтому само по определению не является простым, вероятно, чтобы предотвратить безумное вращение голов учеников четвертого класса в классе.

    Единица также не является составным числом. Помните, что составное число должно быть произведением двух простых чисел. Поскольку мы уже знаем, что одно само по себе не является простым, и для числа один не существует четной пары множителей (не говоря уже о более глубоком разложении на простые множители).

    Что такое первичная факторизация?

    Любое число может быть однозначно представлено в виде списка простых чисел, произведение которых является рассматриваемым значением. Это представление называется факторизацией на простые множители или иногда каноническим представлением.Факторизация на простые множители уникальна для данного значения. Для любого положительного целого числа существует ровно одно разложение на простые множители, и это положительное целое число имеет только одно разложение на простые множители.

    Вы можете увидеть несколько примеров, введя значения в верхнее поле этого калькулятора факторизации простых чисел. Калькулятор покажет одно возможное факторное дерево плюс каноническую форму факторизации на простые множители в качестве своего вывода.

    Как найти простую факторизацию

    Самый простой способ определения факторизации простых чисел - начать со списка известных простых чисел, а затем многократно разделить их на частные.Например, чтобы найти разложение на простые множители 72, начните с деления на наименьшее простое число 2…

    … И продолжаем делить частные…

    К этому моменту мы заметили, что 72 содержит три двойки. Итак, 2 - простое число в факторизации 72, и оно встречается трижды. Однако мы не можем разделить 9 на 2, поэтому попробуем другое простое число большего размера ...

    Итак, 3 также входит в разложение на простые множители 72! Однако мы еще не закончили. Нам нужно разделить последнее частное…

    Не пропустите этот шаг! Легко забыть разделить последнее частное, но если вы помните, вы увидите, что разложение 72 на простые множители равно...

    72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 3 × 3 2 .

    Использование калькулятора факторизации простых чисел, подобного приведенному здесь, может использовать другой алгоритм, но результирующая факторизация будет такой же. Также можно получить такое же разложение на простые множители 72, начав с 4 x 18 и затем повторив процесс для каждого из этих значений.

    Первичная факторизация в дерево факторов

    Хотя факторизации на простые множители уникальны, может быть несколько способов представления факторного дерева для любой данной факторизации простых чисел.В приведенном выше примере мы обсуждали, как разложение на простые множители может быть определено путем деления малых простых чисел или, в случае факторизации 72, начав с более крупных композитов, таких как 4 x 18. Любой подход дает ту же факторизацию, но выбранный путь это отличается.

    Факторное дерево документирует путь, пройденный для достижения простой факторизации, показывая каждый шаг деления на этом пути. Каждая ветвь в дереве факторов показывает разделение двух факторов, которые могут быть, а могут и не быть простыми числами.Если число составное, дерево простирается под ним. В зависимости от того, сколько существует возможных непростых факторов, может быть большое количество различных факторных деревьев, которые можно было бы нарисовать для одной и той же простой факторизации. Калькулятор разложения на простые множители, который использует папа, создает факторное дерево для разложения на простые множители 72, как показано ниже ...

    В этом калькуляторе факторизации используется подход к поиску множителей, близких к квадратному корню. Это делает дерево множителей, показанное в ответе калькулятора, намного более ясным, хотя этот подход может не имитировать в точности то, что вы получаете при ручном разложении на простые множители.Независимо от того, используете ли вы калькулятор или определяете ответ вручную, факторизация будет идентичной. Да и с самим калькулятором работать намного интереснее, особенно с большими целыми числами!

    Что можно сделать с простой факторизацией?

    Помимо прочего, вы можете использовать две простые факторизации, полученные с помощью этого калькулятора, чтобы определить наименьшее общее кратное (НОК) или наибольший общий множитель (НОК).

    Этот калькулятор предоставляет несколько отличных способов концептуализировать разложение на простые множители, но если вы ищете другой, возможно, менее полезный, но более художественный подход, обязательно посетите эту ссылку ...

    http: // www.datapasted.net/visualizations/math/factorization/animated-diagrams/

    Дополнительные ресурсы для калькулятора

    На этом сайте есть ряд других калькуляторов, которые помогут вам в дальнейшем изучении математики и теории чисел ... Не забудьте проверить несколько из них!

    Помимо калькулятора разложения на простые множители на этой странице, вы можете найти другие математические калькуляторы в меню «Инструменты» в правом верхнем углу. Попробуйте несколько по ссылкам ниже!

    Основная факторизация

    Это полный урок с инструкциями и упражнениями по разложению на простые множители, предназначенный для 4-5 классов.Сначала в нем кратко рассматриваются простые числа, а затем объясняется, как разложить числа на множители с помощью факторного дерева. После нескольких примеров студенты выполняют множество упражнений на факторизацию.

    Затем урок объясняет, как все числа «строятся» из простых чисел, и включает упражнения по этому процессу.

    Некоторые числа имеют только два делителя :
    1 и сам номер. Таких номеров
    позвонил простых числа. 11 - один из них.
    фактор фактор товар
    1 × 11 = 11

    дюйм на последнем уроке мы обнаружили, что простые числа меньше 30 - это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29 .Один обычно не считается простым номер.

    Факторизация простых чисел с использованием факторного дерева

    Факторное дерево является удобным способ разложить числа на их простые множители. Факторное дерево начинается с корня и растет вверх ногами!

    Мы хотим множить 24, поэтому мы напишите 24 сверху. Во-первых, множится 24 в 4 × 6. Однако числа 4 и 6 не являются простыми числами, поэтому мы можем продолжить факторинг.Четыре делятся на 2 × 2, а шесть - на 2 × 3.

    Мы больше не будем множить 2 или 3 потому что это простые числа.

    (корень) 24
    / \
    4 × 6
    / \ / \
    (листья) 2 × 2 × 2 × 3

    Как только вы доберетесь до простых чисел в своем "дерево", они "листья" и вы прекращаете факторинг в этой «ветке».Итак, 24 = 2 × 2 × 2 × 3. Это разложение на простые множители 24.

    Примеры:

    30
    / \
    5 × 6

    / \

    2 × 3
    5 - это простое число - это «лист».Когда закончите, «собирайте листья» - вы можете даже обвести их, чтобы лучше их рассмотреть! Итак, 30 = 2 × 3 × 5.
    И 3, и 7 - простые числа, поэтому мы не можем их разложить на множители. дальше.
    Итак, 21 = 3 × 7.
    66
    / \
    11 × 6
    / \
    2 × 3

    ИЛИ

    66
    / \
    2 × 33

    / \

    11 × 3
    Вы можете запустить процесс факторинга как хотите.Конечный результат то же: 66 = 2 × 3 × 11.

    72

    / \
    12 × 6
    / \ / \
    3 × 4 × 2 × 3
    / \
    2 × 2

    72 имеет множество факторов, поэтому факторинг требует много шагов.

    72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

    Мы тоже могли начать написав 72 = 2 × 36 или 72 = 4 × 18.

    Как начать?
    Чек:
    - 57 в любом из
    таблицы умножения?
    - делится ли оно на 2?
    К 3? К 5?

    Как начать?
    Чек:
    - 65 в любом из
    таблицы умножения?
    - делится ли оно на 2?
    К 3? К 5?

    1.Разложите на множители следующие числа к их основным факторам.

    а. 18
    / \

    г. 6
    / \

    г. 14
    / \

    г. 8
    / \

    e. 12
    / \
    ф. 20
    / \
    г. 16
    / \
    ч. 24
    / \
    и. 27
    / \
    Дж. 25
    / \
    к. 33
    / \
    л. 15
    / \

    2. Разложите следующие числа на множители. к их основным факторам.

    а. 42
    / \

    г. 56
    / \

    г. 68
    / \

    г. 75
    / \

    e. 47
    / \
    ф. 99
    / \
    г. 72
    / \
    ч. 80
    / \
    и. 97
    / \
    Дж. 85
    / \
    к. 66
    / \
    л. 82
    / \

    Простые числа похожи на строительные блоки всех числа.Они в первую очередь, и другие числа «построены» из них. «Строительные номера» похожи на обратный факторинг. Начнем с строительные блоки - простые числа - и посмотрим, какое число мы получим:

    2 × 5 × 2 × 2

    \ / \ /

    10 × 4
    \ /
    40
    2 × 3 × 2 × 3 × 2
    / /

    |

    6 × 6 × 2
    | \ /
    6 × 12
    \ /
    72
    5 × 2 × 7
    \ / |
    10 × 7
    \ /
    70
    2 × 7 × 2 × 3
    / \ /
    14 × 6
    /
    84

    Используя описанный выше процесс (номера зданий начиная с простых чисел) можно построить ЛЮБОЕ целое число есть! Ты можешь поверь в это?

    Можно сказать по-другому: ВСЕ числа можно разложить на множители, так что множители простые числа.Это вроде изумительно! Этот факт известен как основная арифметическая теорема . Действительно, это фундаментально.

    992
    / \
    4 × 248

    / \ / \

    2 × 2 × 4 × 62
    / \ / \
    2 × 2 × 2 × 31

    Итак, неважно, какое это число - 992 или 83 283 или 150 282 - его можно записать как произведение простых чисел.

    См. 992 с разложением справа. 992 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 31. Для 83 283 получаем 3 × 17 × 23 × 71 и 151282 = 2 × 3 × 3 × 3 × 11 × 11 × 23.

    Чтобы найти эти факторизации, вам нужно выполнить тест-деление числа разными простыми числами, так что это немного утомительно. Конечно, компьютеры могут делать деления очень быстро.

    3. Постройте числа из простых чисел.

    а. 2 × 5 × 11
    \ / |

    б. 3 × 2 × 2 × 2
    \ / \ /

    г. 2 × 3 × 7
    \ / |

    d. 11 × 3 × 2
    | \ /

    е. 3 × 3 × 2 × 5
    \ / \ /

    ф. 2 × 3 × 17

    4. Постройте больше чисел из простых чисел.

    а. 2 × 5 × 13

    б. 7 × 13 × 2 × 11

    г. 19 × 3 × 5 × 2

    5. Попробуйте сами! Выберите 3–6 простых чисел по своему усмотрению (можно использовать то же простое число
    несколько раз), и посмотрите, какой из них построен номер.

    Готовы принять вызов ? Используйте свои знания о делимости тесты и калькулятор, и найдите факторизацию этих чисел на простые множители:

    а. 2 145

    г. 3 680 г. 10 164

    Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Multiplication & Division 3 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора.Авторские права © Мария Миллер.



    Простые множители - Умножители и множители - Edexcel - GCSE Maths Revision - Edexcel

    Простые множители - множители числа, которые сами по себе являются простыми числами.

    Существует много способов найти простые множители числа, но одним из наиболее распространенных является использование дерева простых множителей .

    Пример

    Запишите 40 как произведение его простых множителей.

    Во-первых, найдите два числа, которые умножаются и дают 40.Например, \ (4 \ times 10 = 40 \) было бы одним из способов выполнения этого вычисления. Каждое целое число имеет уникальное разложение на простые множители, поэтому не имеет значения, какие факторы выбраны для начала факторного дерева, так как вы получите один и тот же ответ.

    Ни 4, ни 10 не являются простыми числами, и этот вопрос ищет простые множители, поэтому каждое число необходимо снова разбить на пары множителей. Продолжайте разбивать факторы на пары факторов, пока у вас не останутся только простые числа. Затем обведите эти простые числа.3 \ умножить на 3 \). В качестве проверки определите \ (2 \ times 2 \ times 2 \ times 3 \), чтобы убедиться, что он дает ответ 24.

    Prime Factorization

    Факторизация числа на простые множители - это произведение простых множителей, составляющих это число. Давайте посмотрим, что это значит.

    Помните, что произведение означает ответ на проблему умножения.

    Факторы - это числа, которые можно умножить, чтобы получить другое число. Например, 3 и 12 - это факторная пара 36.

    Простые числа - это числа, которые имеют ровно два делителя: 1 и само себя (т. Е. 2, 3, 5, 7, 11, ....).

    Итак, разложение на простые множители записывает простые числа, которые будут умножаться вместе, чтобы получить новое число, как задача умножения.

    Вот несколько примеров:

    Пр. 1) 15 = 3 x 5

    Пр. 2) 27 = 3 x 3 x 3 = 3 3 (Мы бы не хотели писать 3 x 9, потому что 9 не простое число.)

    Пр. 3) 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2 4 x 3

    Может быть трудно написать разложение на простые множители большого числа.Итак, есть несколько методов, которые вы можете использовать для этого.


    Метод 1:
    Факторное дерево

    Этот метод великолепен, потому что вы можете начать с любого фактора, а не только с простых множителей. Затем вы продолжаете разветвляться, пока у вас не останутся только простые множители. Вот пример:

    Мы можем начать с 45 x 10, потому что 45 x 10 = 450. Каждое число разветвляется на пару факторов. В конце ветвей у нас остаются простые множители 450.
    Таким образом, разложение на простые множители 450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5
    Мы можем переписать это, используя экспоненты.

    450 = 2 x 3 2 x 5 2

    Самая распространенная ошибка, которую допускают при использовании факторного дерева, заключается в том, что некоторые люди выбирают числа, которые складываются, чтобы получить значение.

    Таким образом, разложение на простые множители 280 равно 2 3 x 5 x 7.

    Метод 2: Перевернутое деление

    Мы также можем поместить число в перевернутую полосу деления, чтобы получить разложение на простые множители.

    Число идет внутри, а простые множители пишутся снаружи. Мы разделим данное число на простое, чтобы получить еще одно новое число для деления. Этот шаг будет повторяться, пока у вас не останется простое число. Вот пример.

    Из перевернутого деления у нас есть все простые множители. Итак, теперь мы можем написать разложение на простые множители. 960 = 2 6 х 3 х 5

    Если вам интересно, верна ли ваша простая факторизация, вы просто проверяете ее.Проверить свой ответ очень просто. Все, что вам нужно сделать, это умножить все простые числа и посмотреть, вернетесь ли вы к исходному числу.

    На этом мы закончили там, где начали. Следовательно, наше разложение на простые множители 150 является правильным.

    Давайте рассмотрим: Простое факторизация - это произведение простых чисел, которые можно перемножить, чтобы получить исходное число. Два возможных способа получить список простых чисел включают факторное дерево и перевернутое деление. Вы можете проверить правильность своего ответа, решив произведение простых чисел.

    Python поиск основных факторов - qaru

    Поскольку никто не пытался взломать это старым приятным методом reduce , я собираюсь заняться этим занятием. Этот метод не является гибким для таких проблем, потому что он выполняет цикл повторяющихся действий над массивом аргументов, и по умолчанию нет способа прервать этот цикл. Дверь открывается после того, как мы реализовали собственное сокращенное прерывание для прерванных циклов, например:

      из functools import reduce
    
    def inner_func (func, cond, x, y):
        res = func (х, у)
        если не cond (res):
            поднять StopIteration (x, y)
        вернуть res
    
    def ireduce while (func, cond, iterable):
        # генерирует промежуточные результаты args при уменьшении
        iterable = iter (повторяемый)
        x = следующий (повторяемый)
        доход x
        для y в итерации:
            пытаться:
                х = внутренняя_функция (функция, условие, х, у)
            кроме StopIteration:
                перерыв
            доход x
      

    После этого мы можем использовать некоторую func , которая совпадает с вводом стандартного метода сокращения Python.Пусть эта функция определена следующим образом:

      def Division (c):
        число, начало = c
        для i в диапазоне (start, int (num ** 0,5) +1):
            если num% i == 0:
                return (число // я, я)
        return None
      

    Предполагая, что мы хотим разложить на множитель число 600851475143, ожидаемый результат этой функции после многократного использования этой функции должен быть следующим:

      (600851475143, 2) -> (8462696833 -> 71), (10086647 -> 839), (6857, 1471) -> Нет
      

    Первый элемент кортежа - это число, которое метод деления принимает и пытается разделить на наименьший делитель, начиная со второго элемента и заканчивая квадратным корнем из этого числа.Если делитель не существует, возвращается None. Теперь нам нужно начать с итератора, определенного следующим образом:

      def gener (простое число):
        # возврат и бесконечный генератор (600851475143, 2), 0, 0, 0 ...
        yield (простое число, 2)
        в то время как True:
            выход 0
      

    Наконец, результат цикла:

      result = list (ireduce while (lambda x, y: div (x), lambda x: x is not None, iterable = gen (600851475143)))
    #result: [(600851475143, 2), (8462696833, 71), (10086647, 839), (6857, 1471)]
      

    И вывод простых делителей может быть захвачен:

      если len (результат) == 1: output = result [0] [0]
    else: output = list (map (lambda x: x [1], result [1:])) + [result [-1] [0]]
    #output: [2, 71, 839, 1471]
      

    Чтобы сделать его более эффективным, вы можете использовать предварительно сгенерированные простые числа, которые находятся в определенном диапазоне, вместо всех значений этого диапазона.

    Наибольший простой множитель 1000 Наибольший простой множитель 68 • PrepScholar GRE

    $
    Кол-во A $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ Кол-во B
    $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $
    Наибольший простой множитель 1 $ {,} 000 $ $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ Наибольший простой фактор 68 $
    1. Количество A больше.
    2. Количество B больше.
    3. Эти две величины равны.
    4. Связь не может быть определена на основе предоставленной информации.

    Итак, вы пытались хорошо сдать экзамены и практиковаться в GRE с помощью PowerPrep online. Но тогда у вас возникло несколько вопросов о количественном разделе - в частности, вопрос 4 второго количественного раздела практического теста 1. Эти вопросы, проверяющие наши знания о Целых числах , могут быть довольно сложными, но не бойтесь, PrepScholar вас поддержит!

    Изучите вопрос

    Давайте поищем в проблеме ключи к разгадке того, что она будет тестировать, поскольку это поможет нам задуматься о том, какие математические знания мы будем использовать для решения этого вопроса.Обращайте внимание на любые слова, которые относятся к математике и на что-нибудь особенное в том, как выглядят числа, и отметьте их на нашей бумаге.

    Мы хотим сравнить наибольшие простых множителя между двумя величинами, что говорит нам о том, что оно, вероятно, проверяет наш математический навык Целые числа . Давайте будем держать в голове то, что мы узнали об этом навыке, когда мы подойдем к этому вопросу.

    Что мы знаем?

    Давайте внимательно прочитаем вопрос и составим список того, что мы знаем.

    1. Нам нужно найти наибольший простой множитель 1 $ {,} 000 $
    2. Нам нужно найти наибольший простой множитель 68 долларов
    3. долларов
    4. Мы хотим сравнить эти значения

    Разработайте план

    Нам нужны наибольшие простые множители для этих чисел. Множители $ 1 {,} 000 $ - это числа, которые умножаются вместе и дают нам $ 1 {,} 000 $. Поскольку мы будем искать наибольший простой множитель , давайте проигнорируем любые отрицательные множители наших чисел.Давайте быстро рассмотрим простые числа, поскольку это очень важно для этого вопроса. Конечно, если нас устраивают простые числа, мы можем просто пропустить это напоминание.

    Обзор концепций - простые числа

    Простое число - это любое число, которое делится только на 1 $ и само себя. Если целое число не является простым числом, мы называем его составным числом . «Делимый» означает, что при делении на определенное число остатка нет. Например,
    $ 12 $ делится на 3 $ без остатка, потому что 3 $ превращаются в $ 12 $ четыре раза без остатка.Однако $ 14 $ не делится на 3 $ без остатка, потому что $ 3 $ четыре раза переходит в $ 14 $, но имеет остаток в 2 $.

    $ 2 $ - первое простое число. Он также имеет честь быть единственным четным простым числом. Следующие несколько простых чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 $. Список можно продолжать и продолжать. Итак, как лучше всего распознавать простые числа? Два лучших совета по распознаванию простых чисел: 1) Изучение таблицы умножения $ 9 · 9 $ и 2) Изучение правил делимости для $ 2, 3, \ и 5 $ (помня, что если число делится на что-либо, кроме $ 1 $ и само по себе это НЕ простое число.

    Хорошо изучив таблицу умножения $ 9 · 9 $, мы сразу узнаем, что многие числа НЕ являются простыми числами. Например, если мы знаем, что $ 63 = 9 · 7 $, мы сразу же распознаем $ 63 $ как НЕ простое число.

    Число делится на 2 доллара, если оно четное. То есть, если его цифра единиц (слева от десятичной точки) равна $ 0, 2, 4, 6, \ или 8 $. Так, например, $ 16 $ делится на $ 2 $, потому что его цифра единиц равна $ 6 $, но $ 17 $ НЕ делится на $ 2 $

    .

    Число делится на 3 доллара, если сумма его цифр делится на 3 доллара.Например, $ 57 $ делится на $ 3 $, потому что $ 5 + 7 = 12 $, а $ 12 $ делится на $ 3 $. Это правило поможет нам распознать многие довольно большие числа, которые НЕ являются простыми числами, но также не появляются в нашей таблице умножения $ 9 · 9 $.

    Число делится на $ 5 $, если его единица измерения равна $ 0 \ или 5 $. Так, например, 65 долларов делятся на 5 долларов, но 66 долларов НЕ делятся на 5 долларов. Теперь, когда мы рассмотрели простые числа, давайте вернемся к нашему вопросу!

    Итак, наш план будет заключаться в том, чтобы найти основные множители обеих величин.Мы можем сделать это довольно быстро, думая о числах, которые умножаются вместе, чтобы получить значения этих величин, и шаг за шагом мы можем разбить их на меньшие числа, пока не получим простые числа.

    Решить вопрос

    Сначала сделаем факторизацию на простые множители для $ 1 {,} 000 $. Мы знаем, что когда число заканчивается на 0 долларов, оно делится на 10 долларов. Итак, давайте вычтем за скобки три $ 10 \ s $.

    $$ 1 {,} 000 = 10 · 10 · 10 $$

    Мы знаем, что 10 = 2 · 5 $, поэтому давайте завершим разложение на простые множители, используя это.

    $$ 1 {,} 000 = 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 $$

    Факторизация простых чисел завершена! Итак, для $ 1 {,} 000 $ наибольший простой множитель выглядит как $ 5 $. Теперь давайте сделаем факторизацию на простые множители 68 долларов. Мы знаем, что $ 68 $ четное число, поэтому оно должно делиться на $ 2 $. Разделив 68 долларов на 2 доллара, не стесняясь использовать наш калькулятор, если необходимо, мы получим 68/2 = 34 доллара. Итак, давайте разделим 68 долларов на эти два фактора.

    $$ 68 = 2 · 34 $$

    Поскольку 34 доллара равны , а также четным , давайте разделим его на 2 доллара и получим 34/2 = 17 долларов.Продолжим факторинг.

    $$ 68 = 2 · 2 · 17 $$

    Мы не можем еще раз множить 17 долларов, так что это основной фактор. Таким образом, наибольший простой множитель 68 долларов равен 17 долларам.

    Поскольку наибольший простой множитель для количества A $ (5) $ меньше наибольшего простого множителя для количества B $ (17) $, правильный ответ - B, количество B больше .

    Что мы узнали

    Мы научились разложению на простые множители! Это очень полезный навык для выполнения вопросов GRE, проверяющих математический навык Целые числа .Мы можем улучшить нашу способность разложения на простые множители: 1) запомнив таблицу умножения $ 9 · 9 $ и 2) запомнив правила делимости для $ 2, 3, \ и 5 $, которые мы рассмотрели ранее.

    Хотите более квалифицированную подготовку к GRE? Подпишитесь на пятидневную бесплатную пробную версию нашей онлайн-программы PrepScholar GRE, чтобы получить доступ к своему индивидуальному плану обучения с 90 интерактивными уроками и более 1600 вопросами GRE.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *