Прямая и обратная пропорциональная зависимость — Kid-mama
| Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. |
Проще всего понять прямо пропорциональную зависимость на примере станка, изготавливающего детали с постоянной скоростью. Если за два часа он делает 25 деталей, то за 4 часа он изготовит деталей вдвое больше — 50. Во сколько раз дольше времени он будет работать, во столько же раз больше деталей он изготовит.
Математически это выглядит так:
4 : 2 = 50 : 25 или так: 2 : 4 = 25 : 50
Прямо пропорциональными величинами тут являются время работы станка и число изготовленных деталей.
Говорят: Число деталей прямо пропорционально времени работы станка.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих величин равны. (В нашем примере — это отношение времени 1 к времени 2 = отношению количества деталей за время 1 к количеству деталей за время 2)
Обратная пропорциональность
| Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. |
Обратно пропорциональная зависимость часто встречается в задачах на скорость. Скорость и время являются обратно пропорциональными величинами. Действительно, чем быстрее движется объект, тем меньше времени у него уйдет на путь.
Например:
Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины (скорости в нашем примере) равно обратному отношению другой величины ( времени в нашем примере). ( В нашем примере — отношение первой скорости к второй скорости равно отношению второго времени к первому времени.
Задача 1:
| Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени? |
Решение:
Запишем краткое условие задачи:
Задача 2:
| Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 тонн. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз? |
Решение:
Краткая запись:
kid-mama.ru
Прямая и обратная пропорциональные зависимости
Сегодня на уроке мы продолжим работать с пропорциями, а точнее познакомимся с прямой и обратной пропорциональными зависимостями.
Задача
Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 5 кг черешни, если по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара?
Решение:
Из решения видно, что во сколько раз больше имеется черешни, во столько раз больше понадобится сахара.
Эту же задачу можно решить и при помощи пропорции. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив за неизвестную нам массу сахара буквой х. Смотрите, у нас есть столбик, где мы будем записывать массу ягод, и столбик, где мы укажем соответствующую массу сахара на массу ягод. Итак, по условию задачи известно, что по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара. Нам нужно узнать, сколько кг сахара потребуется на 5 кг ягод.
Такая зависимость между массой ягод и массой сахара условно обозначается в таблице одинаково направленными стрелками
. Их направление говорит о том, что если первая величина возрастает (стрелка вверх), то и вторая тоже возрастает (стрелка тоже вверх).
Задача
Велосипедист, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 10 км за 20 минут. Какой путь проедет велосипедист за 50 минут?
Решение: для наглядности запишем кратко условие задачи в виде таблицы.
Понятно, что путь увеличится во столько раз, во сколько раз увеличится время. Ставим стрелки в одном направлении.
Такие величины, как масса ягод для варенья и масса сахара, время и пройденный за это время при постоянной скорости путь, и т.д. называют прямо пропорциональными величинами.
Определение
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Задача
Автомобиль ехал 3 часа со скоростью 60 км/ч. За какое время он продет это же расстояние, если будет ехать со скоростью 90 км/ч?
Решение:
Из решения видно, что во сколько раз скорость автомобиля больше, во столько раз меньше времени тратится на этот же путь.
Эту же задачу решим при помощи пропорции. Запишем в таблицу кратко условие задачи. За х обозначим неизвестное нам время.
Понятно, что чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени ему понадобится на преодоление этого же пути. Такая зависимость между скоростью и временем, затраченным на пройденный путь, условно обозначается в таблице противоположно направленными стрелками. Их направление говорит о том, что если первая величина возрастает (стрелка вверх), то вторая убывает (стрелка вниз). Составим пропорцию. Т.к. стрелки направлены в разные стороны, то второе отношение перевернём.
Задача
5 рабочих выполнили заказ за 132 часа. За какое время этот же заказ смогут выполнить 12 рабочих?
Решение:
Понятно, что чем больше будет задействовано рабочих, тем быстрее выполнится заказ. Значит, ставим стрелки в противоположном направлении. Составим пропорцию:
Такие величины, как скорость автомобиля и время, за которое он проедет определённый путь, число работников и время, за которое они выполняют заказ, и т.д. называют обратно пропорциональными величинами.
Определение
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз .
Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными.
Например, возраст человека и размер его обуви не связаны пропорциональной зависимостью. Зависимость между величинами есть. Размер обуви с возрастом увеличивается, но не во столько же раз.
Возраст дерева и его высота не связаны пропорциональной зависимостью. В этом случае зависимость между величинами есть. Действительно, высота дерева с возрастом увеличивается, но не во столько же раз.
videouroki.net
Пропорции и отношения, прямая и обратная пропорциональность
Определение: Пропорцией называется равенство двух отношений.
или 
.
Основное свойство пропорций
Произведение крайность членов членов пропорции равно произведению ее средних членов: если
, то 
Свойства пропорций
- Произведение крайность членов членов пропорции равно произведению ее средних членов:
. - Каждый крайний член пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член.
- В каждой пропорции можно поменять местами или только средние члены или крайние, или и те, и другие одновременно.
.Пример нахождения пропорции в математике
Если 
, то 
В пропорции изменим местами средние члены или крайние члены, тогда получим опять правильные равенства:
и 
Производные пропорции
Если заданная пропорция 
, то 
, что называется производной пропорцией.
Наиболее часто употребляемые производные пропорции
Масштаб
Определение: Масштаб — отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на реальной местности.
Прямо пропорциональные величины
Определение: Две величины называются прямо пропорциональными, если с увеличением значений одной из них в несколько раз значение другой увеличивается во столько же раз.
Задачи на прямо пропорциональные величины
Сторона квадрата равна 3 дм. Как изменится периметр квадрата, если его сторону увеличить в 3 раза, в 4 раза, в 5 раз?
Сторона квадрата 3 дм, периметр 12 дм
Сторона квадрата 9 дм, периметр 36 дм
Сторона квадрата 12 дм, периметр 48 дм
Сторона квадрата 15 дм, периметр 60 дм
При увеличении стороны квадрата в 3 раза (была 3 дм, стала — 9 дм), периметр увеличился также в 3 раза (был 9 дм, стал — 36 дм).
Аналогично, при увеличении стороны квадрата в 4 раза (была 3 дм, стала — 12 дм), периметр увеличился также в 4 раза (был 12 дм, стал — 48 дм).
Вывод: при увеличении стороны квадрата в несколько раз, периметр увеличивается во столько же раз.
Сторона квадрата прямо пропорциональна его периметру.
Обратно пропорциональные величины
Определение: Две величины называются обенено пропорциональными, если с увеличением значений одной из них в несколько раз значение другой уменьшается во столько же раз.
Задачи на обратно пропорциональные величины
Расстояние между двумя поселками равно 160 км. За какое время можно доехать из одного поселка в другой, если скорость 10 км/ч увеличить в 2 раза, 4 раза, в 8 раз?
Скорость, км/ч 10 время, ч 16
Скорость, км/ч 20 время, ч 8
Скорость, км/ч 40 время, ч 4
Скорость, км/ч 80 время, ч 2
При увеличении скорости в 2 раза (была 10 км/ч, стала — 20 км/ч), время сократился (уменьшился) в 2 раза (было 16 ч, стало — 8 ч).
Аналогично, при увеличении скорости в 4 раза (была 10 км/ч, стала — 40 км/ч), время сократился (уменьшился) в 4 раза (было 16 ч, стало — 4 ч).
Вывод: при увеличении скорости в несколько раз, время уменьшается во столько же раз.
Скорость обратно пропорциональна времени.
Числа 
пропорциональные числам 
, если 
— коэффициент пропорциональности.
cubens.com
Онлайн урок: Прямая и обратная пропорциональные зависимости по предмету Математика 6 класс
Рассмотрим некоторые варианты задач на пропорциональную зависимость, в которых величины зависят прямо пропорционально одна от другой.
Задача 1
Для приготовления из 3 кг черной смородины по рецепту требуется 3,3 кг сахара.
Сколько сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг черной смородины?
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Пусть х (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.
Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, как зависят масса сахара и масса ягод.
Чем больше ягод, тем больше нужно сахара, следовательно, между величинами прямо пропорциональная зависимость.
В таблице вертикальными стрелками изображаем прямо пропорциональную зависимость величин.
Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.
Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
Получим \(\mathbf{\frac{3,3}{x} = \frac{3}{5}}\)
Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
\(\mathbf{{3}\cdot{x} = {5}\cdot{3,3}}\)
\(\mathbf{ {x} = {(5}\cdot{3,3)}\div{3}}\)
\(\mathbf{ {x} = {5,5}}\) (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.
Ответ: \(\mathbf{ {x} = {5,5}}\) (кг)
Задача 2
Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 400 км за 5 часов.
За какое время автомобиль проедет 600 км?
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Пусть х (ч) – время, за которое автомобиль проедет 600 км.
Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, как зависят величины S от t, где S — это путь, а t — это время.
Так как движение происходит с постоянной скоростью, то \(\mathbf{ {S} = {V}\cdot{t}}\).
Чем больше расстояние, тем больше требуется времени для преодоления этого расстояния, значит, зависимость между величинами S и t прямо пропорциональная.
Изображаем в таблице краткой записи задачи вертикальными стрелками прямо пропорциональную зависимость величин.
Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.
Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
Получим \(\mathbf{\frac{5}{x} = \frac{400}{600}}\)
Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
\(\mathbf{ {400}\cdot{x} = {5}\cdot{600}}\)
\(\mathbf{ {x} = {(5}\cdot{600)}\div{400}}\)
\(\mathbf{ {x} = {7,5}}\) (ч) время, за которое автомобиль проедет 600 км
Ответ: \(\mathbf{ {x} = {7,5}}\) (ч)
Примеры решения задач, в которых величины зависят обратно пропорционально одна от другой.
Задача 1
Для перевозки гравия потребовалось 42 машины грузоподъемностью 5 т.
Сколько нужно машин грузоподъемностью 7 т, чтобы перевезти тот же объем гравия?
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Пусть х (шт) — это количество машин грузоподъемностью 7 т, необходимых для перевозки груза.
Краткую запись задачи оформим в виде таблицы:
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, как зависят величины друг от друга.
Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше машин потребуется для перевозки груза.
Получаем обратно пропорциональную зависимость.
Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.
При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
А это значит, что при составлении пропорции одно из отношений получится перевернутым.
Получим \(\mathbf{\frac{42}{x} = \frac{7}{5}}\)
Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
\(\mathbf{ {7}\cdot{x} = {42}\cdot{5}}\)
\(\mathbf{ {x} = {(42}\cdot{5)}\div{7}}\)
\(\mathbf{ {x} = {30}}\) (шт.) машин грузоподъёмностью 7 т понадобится для перевозки гравия.
Ответ: \(\mathbf{ {x} = {30}}\) (шт.)
Задача 2
Велосипедист проехал путь от дачи до дома за час со скоростью 10 км/ч. Сколько понадобится времени велосипедисту на преодоление этого пути со скоростью 20 км/ч?
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Пусть х (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, как зависят V и t, где V— скорость движения велосипедиста, t— время движения.
Чем больше скорость велосипедиста, тем меньше времени ему потребуется для преодоления пути.
Получаем обратно пропорциональную зависимость величин друг от друга.
Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.
При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
А это значит, при составлении пропорции одно из отношений получаем перевернутым.
Получим \(\mathbf{\frac{x}{1} = \frac{10}{20}}\)
Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
\(\mathbf{ {20}\cdot{x} = {10}\cdot{1}}\)
\(\mathbf{ {x} = {(10}\cdot{1)}\div{20}}\)
\(\mathbf{ {x} = {0,5}}\) (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч.
Ответ: \(\mathbf{ {x} = {0,5}}\) (ч)
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
ladle.ru
Обратно пропорциональные величины — урок. Математика, 6 класс.
Задача. Расстояние между двумя посёлками равно \(240\) км. Определи, за какое время можно доехать из одного посёлка в другой, если скорость \(20\) км/ч увеличить в \(2\) раза, \(3\) раза, в \(4\) раза?
Заполним таблицу.
| Скорость, км/ч | \(20\) | \(40\) | \(60\) | \(80\) |
| Время, ч | \(12\) | \(6\) | \(4\) | \(3\) |
Заметим, что при увеличении скорости в \(2\) раза (была \(20\) км/ч, стала — \(40\) км/ч) время сократилось (уменьшилось) в \(2\) раза (было \(12\) ч., стало — \(6\) ч.).
Аналогично, при увеличении скорости в \(3\) раза (была \(20\) км/ч, стала — \(60\) км/ч) время сократилось (уменьшилось) в \(3\) раза (было \(12\) ч., стало — \(4\) ч.).
Вывод: при увеличении скорости в несколько раз время уменьшается во столько же раз.
Говорят, что скорость обратно пропорциональна времени.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Обрати внимание!
Если две величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Проверим это утверждение на приведённой выше задаче:
2040=612=12.
Обратную пропорциональность можно задать формулой.
Формулу y=kx, где \(y\) и \(x\) — переменные величины, а \(к\) — постоянная величина, называют формулой обратной пропорциональности.
Источники:
Математика. 6 класс. Часть 2. — Изд. 2-е, перераб. / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. — М.: Издательство «Ювента», 2010. — 128 с.: ил.
www.yaklass.ru
Прямая и обратная пропорциональность
Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их величин остается неизменным. С увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Определение. Частное величин, составляющих пропорцию, называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности обозначается маленькой латинской буквой k.
- Например:
- 1 : 10 = 0,5 : 5
- 10 : 100 = 5 : 50
- 0,1 : 1 = 0,05 : 0,5
- Коэффициент пропорциональности во всех пропорциях k = 0,1.
Правило. Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной пропорционально (во столько же раз) увеличивает (уменьшает) и другую величину, то такие величины прямо пропорциональны.
Схематически прямую пропорциональность можно записать гак: «больше — больше» или «меньше — меньше». Примерами прямой пропорциональности служит зависимость скорости от пройденного пути, стоимости от веса товара.
Правило. Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной пропорционально (во столько же раз) уменьшает (увеличивает) и другую величину, то такие величины обратно пропорциональны.
Схематически обратную пропорциональность можно записать так: «больше — меньше» или «меньше — больше». Пример обратной пропорциональности: грузоподъемность одной машины и количество машин при перевозке одинакового объема груза.
В краткой схеме условия задачи стрелки прямой и обратной пропорциональности расставляются по-разному.
Запись опубликована в рубрике Математика с метками пропорциональность. Добавьте в закладки постоянную ссылку.
shkolo.ru
6 класс. Математика. Прямая и обратная пропорциональные зависимости — Прямая и обратная пропорциональные зависимости
Комментарии преподавателя
Частное двух чисел называют отношением этих чисел.
Пропорция – это равенство двух отношений.
Велосипедист за 3 часа проезжает 75 километров. За сколько времени он проедет 150 километров с той же скоростью?
Первым действием найдем скорость велосипедиста. Затем узнаем время, за которое он проедет 150 км.
Из решения видно, что при движении с одной и той же скоростью велосипедист за большее время пройдет большее расстояние. Во сколько раз больше пройденный путь, во столько раз больше затраченное на него время. Такие величины называют прямо пропорциональными.
Определение.
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Мотоциклист проехал 3 часа со скоростью 60 км/ч. За сколько часов он проедет то же расстояние со скоростью 45 км/ч?
Первым действием найдем длину пройденного пути. Вторым действием – время движения со скоростью 45 км/ч.
Мотоциклист проехал одно и то же расстояние. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше, во столько раз меньше затраченное на движение время. Такие величины называют обратно пропорциональными.
Определение.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Длина стороны квадрата и периметр связаны прямой пропорциональной зависимостью. Периметр квадрата – это сумма длин четырех его равных сторон. Если длину стороны увеличить в несколько раз, то периметр увеличится во столько же раз.
Длина и ширина прямоугольника (при заданной площади) связаны обратной пропорциональной зависимостью. Площадь прямоугольника – это произведение длины и ширины. Поэтому, чтобы площадь оставалась неизменной при увеличении длины в несколько раз, надо ширину уменьшить во столько же раз.
Скорость автомобиля и путь, кото­
www.kursoteka.ru