1.1.6 Степень с рациональным показателем и её свойства

Видеоурок 1: Степень с рациональным показателем

Видеоурок 2: Степень с рациональным показателем. Решение примеров

Лекция: Степень с рациональным показателем и её свойства

Степень с рациональным показателем

Степень с рациональным показателем — это та, в показателе которой находится конечная обыкновенная или десятичная дробь.

 

Любую степень с рациональным показателем можно представить в виде корня, чья степень будет равна знаменателю дроби, находящейся в показателе степени, а числитель будет степенью подкоренного выражения.

Свойства степени с рациональным показателем

Все, перечисленные ниже степени используются для рациональных чисел p, q и для положительных a, b.

1. Если Вам необходимо умножить две степени с рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

a^p * a^q = a^p+q.

Например:

2. Если необходимо разделить две степени c рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть.

a^p / a^q = a^p—q .

Например,

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(a^p )^q = a^p*q

Например,

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)^p = a^p * b^p

5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)^p = a^p / b^q

6. Если некоторая дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени, то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.

Например,

Очень важно помнить, что знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.

cknow.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Пусть p – произвольное положительное рациональное число. Тогда это рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

где m и n – натуральные числа. Предположим также, что a – произвольное положительное действительное число.

      Теперь мы можем дать определение степени с рациональным показателем.

      Определение. Степень, показатель которой есть положительное рациональное число, определяется по формуле:

      Определение. Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число, определяется по формуле:

      Определение. Степень с нулевым показателем определяется по формуле:

a⁰ = 1 .

      Пример.

Свойства степеней с рациональными показателями

      Для степеней с рациональными показателями выполняются следующие свойства:

      Кроме того, если   p   и   q   – произвольные рациональные числа, то

      Замечание. Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией  «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Понятие о степени с иррациональным показателем

      Кроме степеней с рациональными показателями в математике и других точных науках большое значение имеют и степени с иррациональными показателями, однако их определение выходит за рамки курса средней школы. Упомянем лишь о том, что степень с иррациональным показателем строится с помощью предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями, которые являются приближениями иррационального показателя степени с недостатком и с избытком.

      С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника.

      Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Понятие степени с любым рациональным показателем. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Выражения, которые имеют смысл Сложность: лёгкое	4
2.	Степень с дробным показателем (обыкновенная дробь) Сложность: лёгкое	1
3.	Степень с дробным показателем (смешанное число) Сложность: лёгкое	2
4.	Степень с дробным показателем (десятичная дробь) Сложность: лёгкое	2
5.	Корень степени n из обыкновенной дроби Сложность: лёгкое	1
6.	Корень степени n из степени Сложность: лёгкое	1
7.	Степень с рациональным показателем Сложность: лёгкое	2
8.	Произведение степеней с рациональными показателями Сложность: лёгкое	2
9.	Частное степеней с рациональными показателями Сложность: лёгкое	1
10.	Возведение степени в степень (рациональные показатели) Сложность: лёгкое	1
11.	Значение степени с рациональным показателем Сложность: среднее	4
12.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, замена переменных Сложность: сложное	5
13.	Степень с целым показателем Сложность: среднее	6
14.	Произведение степени и корня Сложность: среднее	2,5
15.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные и обыкновенные дроби) Сложность: среднее	3
16.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные дроби) Сложность: среднее	6
17.	Произведение в рациональной степени (степень и дробь) Сложность: среднее	6
18.	Сумма корней и степеней Сложность: среднее	4
19.	Свойства степеней с рациональными показателями (дробь) Сложность: среднее	4
20.	Произведение бинома на одночлен Сложность: среднее	5
21.	Квадрат бинома Сложность: среднее	4
22.	Произведение суммы и разности (степень и число) Сложность: среднее	3
23.	Сокращение дроби Сложность: среднее	4
24.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, формула разложения на множители кв. трёхчлена Сложность: среднее	4
25.	Произведение суммы и разности двух степеней Сложность: сложное	4

www.yaklass.ru

Степень с рациональным и действительным показателем

Степень с рациональным показателем

В множество рациональных чисел входят целые и дробные числа.

Определение 1

Степень числа $а$ с целым показателем $n$ является результатом умножения числа $а$ самого на себя $n$ раз, причем: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, при $n>0$; $a^n=\frac{1}{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}$, при $n

Определение 2

Степень числа $а$ с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ называется корнем $n$-ной степени из $a$ в степени $m$: $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$, где $а>0$, $n$ – натуральное число, $m$ – целое число.

Определение 3

Степень нуля с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ определяется следующим образом: $0^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{0^m}=0$, где $m$ – целое число, $m>0$, $n$ – натуральное число.

Существует и другой подход к определению степени числа с дробный показателем, который показывает возможность существования степени отрицательного числа или отрицательного дробного показателя.

Например, выражения $\sqrt[7]{(-3)^6}$, $\sqrt[7]{(-3)^3}$ или $\sqrt[6]{(-7)^{-10}}$ имеют смысл, таким образом, и выражения $(-3)^\frac{6}{7}$, $(-3)^\frac{3}{7}$ и $(-7)^\frac{-10}{6}$ должны иметь смысл, в то время, как согласно определению степени с показателем в виде дроби при отрицательном основании не существуют.

Дадим другое определение:

Степенью числа $a$ с дробным показателем $\frac{m}{n}$ называется $\sqrt[n]{a^m}$ в следующих случаях:

1. При любом действительном числе $a$, целом $m>0$ и нечетном натуральном $n$.

   Например, $13,4^\frac{7}{3}=\sqrt[3]{13,4^7}$, $(-11)^\frac{8}{5}=\sqrt[5]{(-11)^8}$.

2. При любом отличном от нуля действительном числе $a$, целом отрицательном $m$ и нечетном $n$.

   Например, $13,4^\frac{-7}{3}=\sqrt[3]{13,4^{-7}}$, $(-11)^\frac{-8}{5}=\sqrt[5]{(-11)^{-8}}$.

3. При любом неотрицательном числе $a$, целом положительном $m$ и четном $n$.

   Например, $13,4^\frac{7}{4}=\sqrt[4]{13,4^7}$, $11^\frac{3}{16}=\sqrt[16]{11^3}$.

4. При любом положительном $a$, целом отрицательном $m$ и четном $n$.

   Например, $13,4^\frac{-7}{4}=\sqrt[4]{13,4^{-7}}$, $11^\frac{-3}{8}=\sqrt[8]{11^{-3}}$.

5. При других условиях степень с дробным показателем определить невозможно.

   Например, $(-13,4)^\frac{10}{3}=\sqrt[3]{(-13,4)^{10}}$, $(-11)^\frac{5}{4}=\sqrt[4]{(-11)^5}$.

К тому же, при применении данного определения является важным, чтобы дробный показатель $\frac{m}{n}$ был несократимой дробью.

Серьезность данного замечания в том, что степенью отрицательного числа с дробным сократимым показателем, например, $\frac{10}{14}$ будет положительное число, а степенью того же числа с уже сокращенным показателем $\frac{5}{7}$ будет отрицательное число.

Например, $(-1)^\frac{10}{14}=\sqrt[14]{(-1)^{10}}=\sqrt[14]{1^{10}}=1$, а $(-1)^\frac{5}{7}=\sqrt[7]{(-1)^5}=-1$.

Таким образом, при выполнении сокращения дроби $\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$ не выполняется равенство $(-1)^\frac{10}{14}=(-1)^\frac{5}{7}$.

Замечание 1

Нужно отметить, что чаще применяется более удобное и простое первое определение степени с показателем в виде дроби.

В случае записи дробного показателя степени в виде смешанной дроби или десятичной, необходимо показатель степени преобразовать к виду обыкновенной дроби.

Например, $(2 \frac{3}{7})^{1 \frac{2}{7}}=(2 \frac{3}{7})^\frac{9}{7}=\sqrt[7]{(2 \frac{3}{7})^9}$, $7^{3,6}=7^\frac{36}{10}=\sqrt[10]{7^{36}}$.

Степень с иррациональным и действительным показателем

К действительным числам относятся рациональные и иррациональные числа.

Разберем понятие степени с иррациональным показателем, т.к. степень с рациональным показателем мы рассмотрели.

Рассмотрим последовательность приближений к числу $\alpha$, которые являются рациональными числами. Т.е. имеем последовательность рациональных чисел $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, которые определяют число $\alpha$ с любой степенью точности. Если вычислить степени с этими показателями $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, то окажется, что эти числа являются приближениями к некоторому числу $b$.

Определение 4

Степенью числа $a>0$ с иррациональным показателем $\alpha$ называется выражение $a^\alpha$, которое имеет значение, равное пределу последовательности $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … – последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha$.

Замечание 2

Степень нуля определяется для положительного иррационального показателя, при этом $0^α=0$.

Пример 1

Пример.

$0^е=0$,

$0^{\frac{\sqrt[5]{13}}{7}}=0$.

Замечание 3

В то же время степень нуля для отрицательного иррационального показателя не определяется.

Пример 2

Пример.

$0^{-\sqrt[4]{3}}$, $0^{-\frac{3\pi}{2}}$ – не определяются.

Замечание 4

Степень с иррациональным показателем единицы равна единице.

Пример 3

$1^{\frac{\sqrt[5]{13}}{7}}=1$,

$1^е=1$.

spravochnick.ru

Понятие степени с любым рациональным показателем

1.	Выражения, которые имеют смысл	1 вид — рецептивный	лёгкое	4 Б.	Выбор выражений, которые имеют смысл.
2.	Степень с дробным показателем (обыкновенная дробь)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Представление степени с дробным показателем в виде корня.
3.	Степень с дробным показателем (смешанное число)	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Представление степени с дробным показателем в виде корня.
4.	Степень с дробным показателем (десятичная дробь)	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Представление степени с дробным показателем в виде корня.
5.	Корень степени n из обыкновенной дроби	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Представление выражения в виде степени с дробным показателем.
6.	Корень степени n из степени	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Представление выражения в виде степени с рациональным показателем.
7.	Степень с рациональным показателем	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Вычисление значения выражения.
8.	Произведение степеней с рациональными показателями	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Упрощение выражения, применение свойства произведения степеней с одинаковыми основаниями.
9.	Частное степеней с рациональными показателями	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Упрощение выражения, примение свойства деления степеней с одинаковыми основаниями.
10.	Возведение степени в степень (рациональные показатели)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Упрощение выражения, применение свойства «возведение степени в степень».
11.	Значение степени с рациональным показателем	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Вычисление значения степени с рациональным показателем.
12.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, замена переменных	2 вид — интерпретация	сложное	5 Б.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, замена переменных, использование формулы суммы (разности) кубов.
13.	Степень с целым показателем	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Вычисление значения выражения (дробь) с применением свойства степени.
14.	Произведение степени и корня	2 вид — интерпретация	среднее	2,5 Б.	Представление выражения в виде степени с рациональным показателем.
15.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные и обыкновенные дроби)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Упрощение выражения, применение свойств: произведение степеней с одинаковыми основаниями и возведение степени в степень.
16.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные дроби)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Вычисление значения выражения, применение свойств: произведение степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень и определение корня степени \(n\).
17.	Произведение в рациональной степени (степень и дробь)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Вычисление значения выражения, применение свойств: степень произведения, возведение степени в степень.
18.	Сумма корней и степеней	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Раскрытие скобок, применение формулы сокращённого умножения.
19.	Свойства степеней с рациональными показателями (дробь)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Вычисление значения выражения, применение свойств: произведение степеней с одинаковыми основаниями, деление степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень.
20.	Произведение бинома на одночлен	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Раскрытие скобок.
21.	Квадрат бинома	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Раскрытие скобок, применение формулы сокращённого умножения.
22.	Произведение суммы и разности (степень и число)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Раскрытие скобок, применение формулы сокращённого умножения.
23.	Сокращение дроби	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение формулы сокращённого умножения, сокращение дроби.
24.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, формула разложения на множители кв. трёхчлена	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Упрощение разности алгебраических дробей, содержащих радикалы, использование формулы разложения на множители квадратного трёхчлена.
25.	Произведение суммы и разности двух степеней	3 вид — анализ	сложное	4 Б.	Раскрытие скобок, применение формулы сокращённого умножения.

www.yaklass.ru

Степень с рациональным показателем

Вам уже знакомы понятия степени числа с натуральным и целым показателями. Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение . Здесь а – основание степени, – показатель степени, при  .

В свою очередь, степенью с отрицательным целым показателем называется , где ,  – натуральное число.

.

Однако в алгебре существует ещё и понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Итак, попытаемся записать  как некоторую степень числа а, то есть .

Мы знаем, что . Исходя из того, что мы представили , то получим, что . По свойству возведения степени в степень имеем . Откуда видим, что произведение . Следовательно, .

Тогда получаем, что . По свойству возведения корня n-й степени в степень получим, что .

Например,

.

Сделаем вывод: если   — натуральное число, причём  ,  — целое число и частное   является целым числом, то при  справедливо равенство .

Пусть , причём   — целое число. Отсюда . Тогда .

Если же частное    не является целым числом, то степень числа а, где , определяют так, чтобы выполнялась формула , то есть и в этом случае считают, что .

Таким образом, формула  справедлива для любого целого числа  и любого натурального числа  и положительного основания степени .   

Например,

.

Напомним, что рациональное число  – это число вида , где  – целое,  – натуральное число. Тогда по формуле  получаем .

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя и любого положительного основания а.

Если рациональное число , то выражение  имеет смысл не только при положительном основании степени, но и при , причём . Поэтому считают, что при .

Пользуясь формулой , степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Запомните! Степенью числа с рациональным показателем , где  – целое число, а  – натуральное, причём , называется число .

Замечание: из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого  и любого рационального  число – положительно.

Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. По основному свойству дроби частное   можно представить, как частное , где
 и – натуральные числа,  – целое число. Тогда при любом  справедливо равенство.

Что легко доказать применяя свойства корней.

Имеем.

Заметим, что при отрицательном основании степени рациональная степень числа а не определяется. Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную степень, не являющуюся целым числом.

А теперь перейдём к основным свойствам степени и покажем, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.

А именно для любых рациональных чисел  и  и любых  и  верны равенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Для доказательства этих свойств нужно воспользоваться определением степени с рациональным показателем и свойствами корней.

Докажем первое свойство.

1. .

Итак, пусть , , где  и  – натуральные числа,  и   – целые числа.

Нам нужно доказать, что .

Приведём дроби к общему знаменателю , .

По определению степени с рациональным показателем имеем .

Аналогичным образом можно доказать и все остальные свойства степени с рациональным показателем.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Найдите значения выражения .

Решение.

.

videouroki.net

Рациональные числа: определения, примеры

Данная статья посвящена изучению темы «Рациональные числа». Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет. 

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой. 

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Определение 1. Рациональные числа

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби ab, отрицательной обыкновенной дроби -ab или числа ноль. 

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

1. Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1n.
2. Любое целое число, включая число 0, является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15=151, -352=-3521.
3. Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь ab является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
4. Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
5. Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом. 
6. Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5, 105, 358, 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа -2, -358, -936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 35, 87, -358 также являются примерами рациональных чисел.  

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Определение 2. Рациона

zaochnik.com