Рациональные уравнения как решать: Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами. – Рациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Решение рациональных уравнений.

В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений, которые  с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В  большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.

Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.

У вас есть возможность  продолжить решение  уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.

Итак, начнем.

1. (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой — число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей,  а вторую с четвертой,так как  (-1)+(-4)=(-7)+2:

[(x-1)(x-4)][(x-7)(x+2)]=40

(x^2-5x+4)(x^2-5x-14)=40

В этом месте замена переменной становится очевидной: t= x^2-5x

Получаем уравнение (t+4)(t-14)=40

Ответ:  2;3;{5-sqrt{89}}/2;{5+sqrt{89}}/2

 

 

2. (x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^2

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на x^2. И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на x^2.

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как 2*12=3*8:

[(x+2)(x+12)][(x+3)(x+8)]=4x^2

(x^2+14x+24)(x^2+11x+24)=4x^2

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при x^2 и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель x:

x*(x+14+{24}/x)*x*(x+11+{24}/x)=4x^2

x^2(x+14+{24}/x)(x+11+{24}/x)=4x^2 

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на x^2 . Получим:

(x+14+{24}/x)(x+11+{24}/x)=4

Теперь можем ввести замену переменной: t=x+{24}/x+11

Получим уравнение: (t+3)(t)=4

Ответ: -4;-6;{-15-sqrt{129}}/2; {-15+sqrt{129}}/2

 

3{4x}/{4x^2-8x+7}+{3x}/{4x^2-10x+7}=1

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

{4x}/{x(4x-8+7/x)}+{3x}/{x(4x-10+7/x)}=1

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

{4}/{4x-8+7/x}+{3}/{4x-10+7/x}=1

Теперь можем ввести замену переменной:

t=4x+7/x-8

Получим уравнение относительно переменной t:

4/{t}+3/{t-2}=1

Ответ: 1/2;7/2

 

 

 

4. 6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным.

Чтобы его  решить,

1. Разделим обе части уравнения на x^2 (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

6x^2-35x+62-{35}/x+6/{x^2}=0

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

(6x^2+ 6/{x^2})-(35x+{35}/x)+62=0

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

6(x^2+ {1}/{x^2})-35(x+{1}/x)+62=0

4. Введем замену: t=x+{1}/x 

5. Выразим через t выражение x^2+ {1}/{x^2}:

t^2=(x+{1}/x)^2=x^2+2*x* {1/x}+1/{x^2}=x^2+2+1/{x^2}

Отсюда x^2+1/{x^2}=t^2-2 

Получим уравнение относительно t:

6(t^2-2)-35t+62=0

Ответ: 1/2;2;1/3;3

 

 

 

5.  Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

однор

В этом равенстве А, В и С — числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на однор

Или на однор

Или на однор

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

однорСократим дроби, получим:

однор

Теперь мы вводим замену переменной:

однорИ решаем квадратное уравнение относительно замены:

At^2+Bt+C=0.

Решим уравнение:

2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)

При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное (принцип «бритвы Оккама» — не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.

2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^2+x+1)(x-1)

Перенесем все влево, получим:

2(x^2+x+1)^2- 13(x^2+x+1)(x-1)-7(x-1)^2=0

Теперь мы видим,  что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на (x-1)^2, предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.

2{(x^2+x+1)^2}/{(x-1)^2}- 13{(x^2+x+1)(x-1)}/{(x-1)^2}-7{(x-1)^2}/{(x-1)^2}=0

2({{x^2+x+1}/{x-1}})^2- 13({{x^2+x+1}/{x-1}})-7=0

Теперь самое время ввести замену переменной:

t={{x^2+x+1}/{x-1}}

Получим квадратное уравнение:

2t^2-13t-7=0

Ответ: 2;4;-1;-1/2

6(x+3)^4+(x+1)^4=20

Это уравнение имеет такую структуру:

(x+3)^4+(x+1)^4=20Решается с помощью введения вот такой замены переменной:

(x+3)^4+(x+1)^4=20В нашем уравнении t={(x+3)+(x+1)}/2=x+2,тогда x=t-2. Введем замену:

(t+1)^4+(t-1)^4=20

Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:

t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=20

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно  t:

2t^4+12t^2-18=0

Ответ: sqrt{3sqrt{2}-3}-2 или -sqrt{3sqrt{2}-3}-2

 

 

7({x/{x-1}})^2+({x/{x+1}})^2=90

Это уравнение имеет такую структуру:({x/{x-1}})^2+({x/{x+1}})^2=90

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

2*{x/{x-1}}*{x/{x+1}}={2x^2}/{(x-1)(x+1)}

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь — квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

x/{x-1}+x/{x+1}={x^2+x+x^2-x}/{(x-1)(x+1)}={2x^2}/{(x-1)(x+1)}

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

({x/{x-1}})^2+({x/{x+1}})^2+{2x^2}/{(x-1)(x+1)}-{2x^2}/{(x-1)(x+1)}=90[/pmath]

(x/{x-1}+x/{x+1})^2-{2x^2}/{(x-1)(x+1)}=90

({2x^2}/{(x-1)(x+1)})^2-{2x^2}/{(x-1)(x+1)}-90=0

Введем замену: t={2x^2}/{(x-1)(x+1)}

Получим квадратное уравнение:

t^2-t-90=0

Ответ: x=sqrt{5}/2; -sqrt{5}/2;{3sqrt{11}}/11;-{3sqrt{11}}/11

 

x=sqrt{5}/2; -sqrt{5}/2;{3sqrt{11}}/11;-{3sqrt{11}}/11

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Рациональные уравнения

   Рациональные уравнения. Здравствуйте, друзья! В этой статье разберём рациональные уравнения, решим несколько примеров. Это один из самых простых типов уравнений, которые входят в состав экзамена по математике. Но небольшие особенности в выполнении этих заданий есть.

Для  решения достаточно провести безошибочно необходимые преобразования, и уметь решать квадратное уравнение. Напомню, что мы  можем:

1. Умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же число или выражение.

2. Прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать одно и то же число (выражение).

По-другому эта операция звучит так: перенос слагаемых, из левой части в правую и наоборот, при этом знак слагаемого изменяется на противоположный.

3. Можем возводить в квадрат и извлекать квадратный корень из обеих частей.

Квадратное уравнение (общий вид):

Решение рациональных уравнений

И главное! Обязательно делайте проверку после того как найдёте корни. В некоторых примерах вы получите два корня и вам будет нужно выбрать один из них. Так вот – проверку делайте для обоих корней, а затем выбирайте указанный в условии корень. Только в этом случае ошибка будет практически исключена. Решим примеры:

Решение рациональных уравнений

Найдите корень уравнения:

Решение рациональных уравнений

Отметим, что х не равен пяти (обращает знаменатель в ноль). Умножим обе части уравнения на (х – 5):

Решение рациональных уравнений

Сделаем проверку:

Решение рациональных уравнений

Ответ:  –13

Решение рациональных уравнений

Найдите корень уравнения:
Решение рациональных уравнений

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Сразу отметим, что х ≠ 18, так как при х = – 18 знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Умножим обе части на (х+18):

Решение рациональных уравнений

Решаем квадратное уравнение:

Решение рациональных уравнений

Больший из них    – 4.

Сделаем проверку (проверяем оба корня):

Решение рациональных уравнений

Ответ: – 4

Решение рациональных уравнений

Решите уравнение:

Решение рациональных уравнений

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Умножим обе части на  (х2 + 7), получим:

Решение рациональных уравнений

Разложили как разность квадратов.

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит

х – 2 = 0  или  х + 2 = 0

х1 = 2            х2 = – 2

Меньший из корней равен  –2.

Сделаем проверку:

Решение рациональных уравнений

Второй корень в данном случае можно не проверять.

Отмечу, что корни уравнения х2 = 4 можно было записать сразу. Но я намеренно сделал разложение, так как это будет математически более грамотно. Разумеется,  на самом ЕГЭ этого можно не делать.

Ответ: –2

Решение рациональных уравнений

Решите уравнение:

Решение рациональных уравнений

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Так как результат дроби равен 1, то можем записать, что числитель равен знаменателю:

Решение рациональных уравнений

Решаем квадратное уравнение:

Решение рациональных уравнений

Больший из корней равен   5.

Сделаем проверку (проверяем оба корня):

Решение рациональных уравнений

Ответ: 5

Решение рациональных уравнений

Решите уравнение:
Решение рациональных уравнений

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Умножим обе части на (7х + 11)(6х + 1), получим:

Решение рациональных уравнений

Сокращаем подобные члены, получим     – х2 – 15х – 50 = 0

Умножаем обе части на  –1:

Решение рациональных уравнений

Больший из корней  равен    – 5.

Проверка (проверяем оба корня):

Решение рациональных уравнений

Ответ: – 5

Решение рациональных уравнений

Найдите корень уравнения:

Решение рациональных уравнений

Сразу же можно воспользоваться следующим свойством: числители дробей равны, поэтому без лишних преобразований сразу можем приравнять их знаменатели:

4х + 1 = 8

4х = 7

х = 1,75

Сделаем проверку:

Решение рациональных уравнений

В данном примере можно было воспользоваться и обычными преобразованиями, умножить обе части уравнения на   8 (4х + 1).

Ответ: 1,75

Решение рациональных уравнений

26664. Найдите корень уравнения:

Решение рациональных уравнений

Посмотреть решение

26665. Найдите корень уравнения:

Решение рациональных уравнений

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Посмотреть решение

77336. Решите уравнение

Решение рациональных уравнений

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Посмотреть решение

77367. Решите уравнение

Решение рациональных уравнений

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Посмотреть решение

77372. Решите уравнение

Решение рациональных уравнений

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Посмотреть решение

77383. Найдите корень уравнения:

Решение рациональных уравнений

Посмотреть решение

Ещё раз повторюсь, как важна проверка. Пока писал этот пост, нашёл две ошибки в примерах, размещённых на сайте. Ошибаюсь редко, но вот пожалуйста, проверку не сделал, был уверен, что решено правильно.

Будем рассматривать в дальнейшем и другие уравнения, не пропустите! На этом закончим. Надеюсь, что проблем у вас с данными уравнениями не будет. Вам удачи!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

2.1.2 Рациональные уравнения

Видеоурок: Рациональные уравнения

Лекция: Рациональные уравнения

Перед тем, как приступить к изучению рациональных уравнений, хотелось бы напомнить, что такое рациональные выражения, а также формулы, позволяющие раскладывать многочлены на множители. Именно разложение на множители рациональных выражений чаще всего позволяет облегчить задачу нахождения корней уравнения.

Рациональное выражение состоит из слагаемых, которые можно представить в виде конечной обыкновенной или десятичной дроби.

 

Для решения уравнений, состоящих из рациональных выражений, их необходимо упростить, разложив на множители, или привести к известному виду.

Все уравнения, которые не содержат корней или других иррациональных выражений, называются рациональными. Например, уравнение вида:

2(х + 6) = х,

2(х + 6) = х2,

2(х + 6) = 1/х.

Рациональные уравнения делятся на целые рациональные и дробные.

Целые рациональные уравнения содержат выражения, которые не имеют корней в знаменателе.

 

Если же переменная содержится в знаменателе, то такое уравнение называется дробным.

Целое рациональное уравнение:

Областью допустимых значений для такого уравнения будут считаться все значения из действительного множества чисел.

Дробное рациональное уравнение:

При решении такого уравнения необходимо учитывать ОДЗ, поскольку знаменатель не может быть равен нулю.

Способы решения уравнений

1. Если вы смогли разложить уравнение на множители, которые равны нулю, то Вы имеете право каждый множитель приравнять нулю, после чего следует найти корни в каждой скобке.

2. Замена переменной. Если уравнение содержит несколько повторяющихся одинаковых объемных или неудобных выражений, то их можно заменить одной переменной, имеющей другое название. После этого уравнение решается с новой переменной, после чего её значение подставляется под замену.

Например, если уравнение содержит иррациональные выражения, то можно привести к рациональному виду с помощью замены:

Рациональные уравнения ☑️ типы, алгоритмы решения дробно рациональных и целых уравнений, преобразования, условия и примеры нахождения корней уравнений с параметрами

Общая информация о рациональных уравнений

Общая информация

Рациональным уравнением называется равенство с одним или несколькими неизвестными, в правой и левой частях которого содержатся только рациональные выражения. Очень важно уметь определять тип, поскольку от этого зависит правильность нахождения корней и методика решения.

Определение можно немного упростить. Рациональным называется выражение, состоящее из некоторых числовых значений и неизвестной, операций вычитания, сложения, умножения, деления, а также возведения в степень с целым (натуральным) показателем. Уравнение рационального типа — равенство двух выражений, состоящих из переменных рационального типа (r (x) = 0). Они бывают двух видов: целые и дробные.

К первым относятся тождества, в знаменателе которых не содержится неизвестная величина. Примерами являются: x + 7 = 2x, x 2 + 2x — 7 = 0 и (x 2 + 4) / 2 = 2x / 4. Дробные представлены правильными дробями, числитель и знаменатель которых содержат переменные рационального типа. Примерами дробно-рациональных уравнений являются (x + 7) / 2x = 7 — x, (x 2 + 2x — 7) / (x 2 — 4) = 0 и (x 2 + 4) / 2x^ — 8 = 2x / 4.

Математики выделяют еще одну группу рациональных уравнений с параметрами, которые необходимо найти или они даются при решении задачи. Параметр — некоторое ограничение, влияющее на поиск корней.

Основные виды

Методики их решения и выбор алгоритма

Рациональные уравнения бывают линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Для каждого вида существуют определенные методики решения. Последние строятся на алгоритмах, позволяющих оптимизировать процесс нахождения корней.

Уравнения могут объединяться в системы. Чтобы ее решить, нужно найти все ее корни, удовлетворяющие ее элементам (выражениям). Отличаются равенства между собой только показателем степени. Например, у линейного последняя соответствует единице, у квадратного — 2, кубического — 3 и биквадратным — 4. Если в выражении с неизвестным присутствует дробная часть, всегда проверяется знаменатель на равенство нулю, поскольку такое значение превращает тождество в неопределенность. Числитель проверять нет необходимости. Выбор алгоритма решения рационального уравнения зависит от типа выражения.

Линейные и квадратные

Линейное выражение с неизвестными можно записать следующим образом: a1 * y1 + a2 * y2 +. + an * yn + c = 0. Например, 5х + 4 = 8 является линейным. Решается оно с помощью простого алгоритма:

  • Необходимо перенести неизвестные величины в левую сторону, а известные — в правую: 5х = 8 — 4.
  • Перенести число «5» с противоположным знаком: x = (8 — 4) / 5 = 4 / 5 = 0,8.

Квадратные уравнения — тождества вида az 2 + bz + c = 0. Они бывают полными (присутствуют все коэффициенты) и неполными. В последних какой-либо из параметров равен нулю. В зависимости от методики нахождения его корней, выбирается нужный алгоритм. Основные способы решения:

  • Теорема Виета (при a = 1).
  • Нахождение дискриминанта.
  • Графический метод.
  • Автоматизированный.

При использовании теоремы Виета значения корней вычисляется по таким формулам: z1 + z2 = — b и z1 * z2 = c. Если а > 1 (b и c не равны 0), то необходимо найти некоторый параметр. Математики называют его дискриминантом. Для решения существует специальный алгоритм:

Виды рациональных уравнений
  1. Выполнить расчет дискриминанта, и записать результат в виде квадрата: D = b 2 — 4ac.
  2. Если D больше 0, то два корня уравнения вычисляются таким образом: z1 = [(-b) + (D)^(½)] / (2 * а) и z2 = [(-b) — (D)^(½)] / (2 * а).
  3. При D = 0 две формулы во втором пункте преобразуются в одну, поскольку дискриминант не учитывается: z = [-b] / (2 * а). В этом случае существует только один корень.
  4. Когда при подсчете значения D получается отрицательное число, корней у уравнения нет вообще.
  5. После нахождения корней нужно подставить их в исходное выражение. Результат вычисления будет равен 0. Все остальные значения, приводящие к неверному тождеству, являются неверными. Их необходимо отсеивать. Это происходит, когда квадратное уравнение имеет вид обыкновенной дроби.

Следующим способом является графический метод решения. Для его реализации необходимо построить параболу, а затем найти точки пересечения с осью абсцисс (корни). Использование дополнительного программного обеспечения (онлайн-калькуляторов) для автоматизации вычислений экономит много времени. Его рекомендуется применять для проверки.

При отсутствии свободного члена (az^2 + bz = 0), можно воспользоваться методом разложения на множители. Для этого следует разделить обе части равенства на «а», а затем вынести общий множитель. В результате получится выражение z(z + b) = 0. У него два корня: z1 = 0 и z2 = -b.

Кубические тождества

Выражение вида а * z 3 + b * z 2 + с * z + d = 0 (а > 0), содержащее одну неизвестную, называется кубическим уравнением. Его метод решения зависит от вида. В алгебре выделяют 4 класса:

  1. az 3 + d= 0.
  2. az 3 + bz 2 + bz + a = 0.
  3. az 3 + bz 2 + cz = 0.
  4. а * z 3 + b * z 2 + с * z + d = 0.

    Методика решения рациональных уравнений

Первый класс решается просто. Для этого необходимо перенести свободный член d в правую часть, а затем разделить на «а»: z 3 = -d/a. После этого можно взять кубический корень из правой и левой частей. Кроме того, можно не переносить d, а просто разложить на множители: z 3 + d/a = (z + (d/a)^(1/3)) * (z 2 — [(d/a)^(1/3)]z + [(d/a)^2]^(1/3)) = 0. Разложив на множители, нужно решить 2 уравнения.

Чтобы решить второй тип задания, нужно выполнить некоторые математические преобразования: az 3 + bz 2 + bz + a = a (z 3 + 1) + b (z 2 + z) = a (z + 1)(z 2 — z + 1) + bz (z + 1) = (z + 1)(az 2 + z (b — a) + a) = 0. В результате этой операции произошло понижение степени. Далее нужно решить 2 равенства с неизвестными.

В третьем классе нужно просто вынести неизвестную (общий множитель) за скобку, а затем решить линейное и квадратное уравнения. Кроме того, этот тип тождеств решается также при помощи графического метода или замены переменной. Четвертый класс решается только с помощью построения графика (графическое представление — кубическая парабола) или заменой неизвестной.

В первом случае нужно построить кривую, которая называется кубической параболой. После этого следует найти точки пересечения графика с осью абсцисс. Метод замены — введение нового параметра, приводящего к равносильному упрощенному выражению. Сведение к квадратному многочлену осуществляется по такому алгоритму:

Пример равенства с неизвестным и построение графика
  • Разделить обе части на «а».
  • Выполнить замену: z = w — (b/(3a)).
  • Вычислить коэффициенты р и q: p = [(3ас — b 2 ) / (3а 2 )] и q = [2b 3 — 9abc + (27a 2 ) * D] / (27a 3 ).
  • Записать результат: w 2 + pw + q = 0.
  • Решить квадратное уравнение.
  • Вычислить z, подставив корни из пятого пункта во второй.
  • Осуществить проверку.

Последний пункт также можно выполнить в автоматизированном режиме, поскольку это займет меньше времени. Методика позволяет избавиться от высшей степени и свести выражение к квадратному многочлену.

Биквадратные уравнения

Способы решения рациональных уравнений

Биквадратные уравнения (az 4 + bz 2 + c = 0) — сложные выражения. Они решаются аналитическим методом, который заключается в понижении степени. В этом случае вводится новая неизвестная для понижения степени w = z 2 . В результате этого получается равносильное равенство вида: aw 2 + bw + c = 0. Далее решается обыкновенное квадратное уравнение, а затем его корни подставляются в параметр замены.

Когда биквадратный многочлен с неизвестными представлен в виде az 4 + bz 3 + cz 2 + dz + e = 0, нужно решать при помощи формулы Кардана. Математики рекомендуют воспользоваться алгоритмом:

  • Рассчитать вспомогательные коэффициенты: f = b / a, g = c / a и h = d / a.
  • Вычисление основных параметров: i = -((f)^2 / 3) + g и k = [2 (f)^3 / 27] — [(f * g) / 3] + h.
  • Нахождение по формуле Кардана математического ожидания: m = [(-k / 2) + ((k 2 / 4) + i 3 / 27)^(½)]^(1/3) + [(-k / 2) — (-(k 2 / 4) + i 3 / 27)^(½)]^(1/3).
  • Поиск искомых корней: z1 = m — f, z2 = m — g и z3 = m — h.

Математическое ожидание — область, принимающая среднее значение при определенных условиях. Если уравнение имеет другой вид, корни следует искать с помощью математического ожидания Кардана. Однако его следует править в зависимости от коэффициентов исходного тождества. Можно также построить график функции, но эта методика довольно сложная.

Для этого специалисты рекомендуют пользоваться сторонними сервисами, одним из которых является «yotx.ru». Он позволяет строить разные графики. Особенностью веб-приложения является его гибкая настройка, а также табличные данные зависимости значения функции от ее аргумента, которыми можно воспользоваться. Полученный график можно распечатать, сохранить на жестком диске, получить в виде ссылки и html-кода для сайта или урока.

Пример решения

Решение задач при помощи онлайн-сервиса

После получения теоретических знаний следует приступить к практике. Начинать следует с простых примеров, заканчивая более сложными. Например, выполнить работу по нахождению корней равенства с неизвестными: [(2z^3 — 16) / (2z^2 — 4z + 2)] = 0.

Уравнение является рациональным. Оно состоит из двух выражений: числителя и знаменателя. Первый следует приравнять к нулю, поскольку при делении на любое выражение будет получено нулевое значение. Однако не все так просто — нужно обязательно проверить знаменатель. Следует найти корень или корни, при которых он обращается в ноль, превращая все тождество в пустое множество или неопределенность. Чтобы найти корни числителя, нужно воспользоваться алгоритмом:

  • Вынести общий множитель: 2(z^3 — 8) = 0.
  • Сократить обе части на 2: z^3 — 8 = 0.
  • Воспользоваться формулой разложения на множители: z^3 — 8 = (z — 2)(z^2 + 2z + 4).
  • Первый корень: z1 = 2.
  • Квадратное уравнение z^2 + 2z + 4 = 0 не имеет корней, поскольку D = 2^2 — 4ac = 4 — 4 * 1 * 4 = -12 < 0.

Далее следует найти корни многочлена в знаменателе, приравняв его к 0 (2z^2 — 4z + 2 = 0). Это квадратное уравнение, но у него a = 2. Следствие из этого — воспользоваться методикой решения через дискриминант D = (-4)^2 — 4 * 2 * 2 = 16 — 16 = 0. Тождество имеет один корень, который находится по такой формуле: z2 = [-b] / (2 * а) = -(-4) / (2 * 2) = 1. Это означает, что при z = 1, тождество превращается в пустое множество.

Проверку можно осуществить двумя способами: ручным и автоматизированным. В первом случае следует подставить z1 = 2 в числитель: y(2) = z^3 — 8 = 2^3 — 8 = 0. Равенство левой и правой частей выполняется. Однако по рекомендации специалистов можно осуществить проверку графическим методом на онлайн-сервисе «yotx.ru». Следует немного переделать функцию, записав ее относительно «х»: y = (2 * x^3 — 16) / (2 * x^2 — 4 * x + 2). Затем нужно изменить ось абсцисс «Х» на «Z», и нажать «построить» (рис. 1).

Алгоритм решения рациональных уравнений

Рисунок 1. График функции y = [(2z^3 — 16) / (2z^2 — 4z + 2)].

На рисунке видно, что функция пересекает ось «Z» в точке (2;0). Следовательно, z = 2 — единственное решение искомого рационального выражения с неизвестными.

Таким образом, для решения уравнений рационального типа применяется несколько методик, каждая из которых содержит определенный алгоритм. Для их выбора нужно руководствоваться классом выражений с неизвестными величинами.


Способы решения рациональных уравнений

Многие уравнения с помощью различных приемов, выполнив подходящие замены переменных, можно свести к квадратным. Рассмотрим некоторые из них.

1) Такое уравнение называется биквадратным.

Замена:
D = 1225 = ,

Ответ:

2)

Замена: тогда получим

Ответ: –2,5, –2, 0,5, 1.

3) В уравнении , перемножая попарно скобки, получим Сделав замену сводим уравнение к квадратному.

4) О.Д.З.:

Замена: тогда получаем
т.к. х0, то получаем

Ответ: –1, –2,

5) Симметрическим уравнением называется уравнение вида где Заметим, что симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = –1, симметрическое уравнение четной степени можно решить, используя замену В школьном курсе математики часто встречаются симметрические уравнения четвертой степени, которые в общем виде можно записать так: где
Решим уравнение О.Д.З.: R.
Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив обе части уравнения на , получим уравнение
Пришли к уравнению, решение которого рассмотрено в п.4.

6) Возвратным уравнением нечетной степени называется уравнение вида где R.

Возвратное уравнение четной степени – это уравнение вида где R.

Заметим, что возвратное уравнение нечетной степени имеет корень

Решим возвратное уравнение четверной степени
О.Д.З.: R. Заметим, что Разделив обе части уравнения на (, получим
Замена : тогда

Ответ:

7) Однородным уравнением ой степени называется уравнение вида которое заменой сводится к алгебраическому уравнению ой степени.

Решим уравнение, которое сводится к однородному уравнению четвертой степени:

О.Д.З.:R.
Заметим, что , поэтому можем разделить обе части уравнения на выражение , получим
, это уравнение заменой сводится к квадратному уравнению

Рассмотрим еще некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным.

8)О.Д.З.: R.
Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому можем разделить обе части его на получим

Замена: Получаем квадратное уравнение

При решении последних уравнений мы пользовались утверждением: при умножении или делении обеих частей уравнения на число или выражение, не равное нулю на области допустимых значений переменной, получаем уравнение, равносильное данному.

Можно использовать и другое утверждение: при делении числителя и знаменателя дроби на число или выражение, не равное нулю на области допустимых значений переменной, получаем уравнение, равносильное данному. Покажем, как используется это утверждение.

9) О.Д.З.: R

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х, получим Замена: тогда

10) При решении уравнения вида можно воспользоваться заменой

Решим уравнение: Сделаем замену: получим

Ответ: –5, 1.

11) Рассмотрим метод выделения полного квадрата при решении рационального уравнения.

О.Д.З.:

Выполнив замену получим квадратное уравнение

12) Покажем, как при решении уравнений может значительно упростить решение выделение целой части дробного выражения.

О.Д.З.:

Выделять целую часть можно делением «уголком» числителя на знаменатель или, например, следующим образом: Выполняя аналогичные преобразования каждой дроби, получим
замена:

Ответ:

13) Уравнения вида иногда можно решить, раскладывая левую часть уравнения на множители. Раскладывать на множители можно разными способами (вынесением общего множителя за скобки, способом группировки и т.д.) .Рассмотрим один из способов, основанный на подборе корней уравнения по его коэффициентам.

Теорема. Пусть – многочлен с целыми коэффициентами. Если – его рациональный корень ( – несократимая дробь), то делится на
делится на .

Эту теорему можно применять для нахождения корней уравнения с целыми коэффициентами. Если коэффициенты в уравнении не являются целыми числами, то предварительно необходимо умножить обе части его на наименьший общий знаменатель и получить уравнение с целыми коэффициентами.

Решим уравнение:

Если уравнение имеет рациональные корни, то все они содержатся среди возможных значений дроби Проверить, являются ли числа корнями данного уравнения можно по следующему правилу: если х = 1 является корнем уравнения, то сумма всех его коэффициентов равна 0, если х = –1 является корнем уравнения, то сумма коэффициентов, стоящих на четных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах. Нетрудно увидеть, что один из корней нашего уравнения равен 1, а, следовательно, в разложении левой части уравнения на множители будет присутствовать множитель

Второй множитель можно найти либо, разделив многочлен на «уголком», либо, применяя схему Горнера.

 

2

7

–2

–13

6

1

2

9

7

–6

0

–2

2

5

–3

0

 

Получаем, Можно и дальше применять схему Горнера, а можно, получив квадратный трехчлен, находить его корни по известным формулам.
В итоге получим

Ответ: –3; –2; 0,5; 1.

Следующие задания можно предложить для самостоятельной работы с целью закрепления навыков решения уравнений рассмотренными методами.

1)
2)
3)
4)
5)

6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.