Первыми рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений по определению корня. Три следующих примера демонстрируют, как определение корня позволяет решать иррациональные уравнения с корнем в левой части и числом в правой части:

Теперь разберем все тонкости использования определения корня для перехода от иррационального уравнения к системе . Вот соответствующие примеры с решениями:

В первой группе примеров осталось рассмотреть пример решения иррационального уравнения с корнем нечетной степени в левой части, то есть, уравнения . Метод решения по определению корня предписывает в таком случае осуществить переход к уравнению g^2·k+1(x)=f(x).

За подробностями обращайтесь к материалу решение иррациональных уравнений по определению корня.

Переходим к примерам решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. В первом примере возведение обеих частей уравнения в квадрат приводит к уравнению, не имеющему корней. Это позволяет утверждать, что исходное иррациональное уравнение не имеет корней.

Возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же четную степень (в квадрат, четвертую, шестую и т. д.) может приводить к появлению посторонних корней. По этой причине решения следующих иррациональных уравнений заканчиваются отсеиванием посторонних корней:

Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием и не приводит к появлению посторонних корней. Разберем пример решения иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в куб:

Пример

Решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень

Смотреть решение

Решению иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в натуральную степень часто предшествует так называемое уединение радикала (произведения радикалов, дроби с радикалами). Давайте разберем примеры решения иррациональных уравнений, в которых приходится прибегать к уединению радикала:

Пример

Решить иррациональное уравнение , пользуясь возведением обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Уединение радикала вместе с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же степень позволяет решать иррациональные уравнения с двумя, тремя и большим количеством корней в записи, с корнями под корнем и др. Вот соответствующие примеры с решениями:

Пример

Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Смотреть решение

Пример

Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень

Смотреть решение

Более полная информация дана в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Дальше рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений методом введения новой переменной. Начнем с примеров, в которых очевидно выражение для замены на новую переменную:

В иррациональных уравнениях выражения, подходящие для его замены на новую переменную, часто скрываются за числовыми коэффициентами, отличающимися показателями корней, взаимно обратными дробями и т.п. Давайте остановимся на решении подобных показательных уравнений:

Бывает, что возможность введения новой переменной открывается только после проведения довольно серьезных преобразований иррационального уравнения. Следующий пример с решением служит хорошей иллюстрацией сказанного:

В статье решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной фигурируют и другие интересные примеры с решениями.

Переходим к примерам решения иррациональных уравнений методом разложения на множители:

Часто перед применением метода разложения на множители требуются предварительные преобразования, направленные на получение произведения в левой части уравнения и нуля в правой части. Такие примеры с решениями есть в статье решение иррациональных уравнений методом разложения на множители.

Раз уж мы в предыдущем абзаце упомянули про проведение преобразований, то стоит на примерах разобраться с преобразованием иррациональных уравнений. Давайте рассмотрим решения нескольких иррациональных уравнений с упором на проведение преобразований:

Другие примеры проведения преобразований содержатся в материале решение иррациональных уравнений через преобразования.

Дальше на примерах разберем, как проводится решение иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам. Покажем решения двух примеров: в первом случае иррациональное уравнение в результате проведения преобразований сводится к неверному числовому равенству, из чего делается вывод об отсутствии решений, во втором случае – к верному, откуда следует вывод, что решением уравнения является любое число из ОДЗ.

Но если в цепочке преобразований, приводящих иррациональное уравнение к верному числовому равенству, есть преобразование, заключающееся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением уравнения является любое число из ОДЗ. Пример, объясняющий этот момент, есть в статье решение иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам.

Решение иррациональных уравнений, в левой части которых находятся дроби, а в правой части – нули, сводится к решению уравнений «числитель равен нулю» на ОДЗ для исходного уравнения. Рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений «дробь равна нулю»:

Более полная информация содержится в статье решение иррациональных уравнений «дробь равна нулю».

А вот пример решения иррационального уравнения методом освобождения от внешней функции:

Теорию и другие примеры с решениями смотрите в материале решение иррациональных уравнений методом освобождения от внешней функции.

Иногда решение иррациональных уравнений упирается в нахождение ОДЗ. Это касается случаев, когда ОДЗ является пустым множеством или состоит из нескольких чисел. Все необходимые разъяснения содержатся в статье решение иррациональных уравнений через ОДЗ. Здесь приведем решения соответствующих примеров:

Переходим к примерам решения иррациональных уравнений графическим методом. Покажем решения двух уравнений, на них разберем, как и когда графики функций позволяют получать решения уравнений:

Более полно тема освещена в статье решение иррациональных уравнений графическим методом.

А вот пример решения иррационального уравнения через возрастание-убывание:

В статье решение иррациональных уравнений через возрастание-убывание разобрано решение еще одного более сложного примера.

Завершим серию примеров примерами решения иррациональных уравнений методом оценки:

Другие примеры использования метода оценки смотрите в статье решение иррациональных уравнений методом оценки.

Методы решения иррациональных уравнений

Я бы почувствовал настоящее
удовлетворение лишь в том случае,
если бы смог передать ученику гибкость ума,
которая дала бы ему в дальнейшем
возможность самостоятельно решать задачи.

У.У.Сойер.

Определение. Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 2.

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

Теорема.

Если возвести обе части уравнения (1) в натуральную степень , то уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

Ответ:

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого и Решая уравнение , получаем и

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются и

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ:

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример1.

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т. е. число при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ:

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула

Пример 1.

Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение

методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи , находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 1.

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ:

Пример 2.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:

7. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя обе части этого уравнения в степень . Полученное уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при четном является нго следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при

Пример 1

Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом.

Если то

В последнем равенстве заменяют на и получают

Далее легко избавиться от кубической иррациональности , возводя обе части в куб.

Пример 2.

Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

,

или

или

или

или

Проверка подтверждает, что это корень уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам неизвестно ни одно значение , при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет вообще. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ.

От того, что школьник решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на один и тот же пример посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение примеров разными способами.

Пример 3. Способ 1.

(1)

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

или

или

или

корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному.

Пример 4.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная обращается в нуль, не является решением исходного уравнения ( в чем можно убедиться подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:

Пример 5.

Область допустимых значений задается неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

Примеры уравнений как с рациональными, так и с иррациональными числами

И рациональные, и иррациональные числа могут называться действительными числами, но когда дело доходит до их свойств, есть несколько различий. Вы можете представить рациональное число в форме P/Q, где P и Q — целые числа, а Q ≠ 0,

Иррациональные числа нельзя записывать простыми дробями. 2/3 — пример рационального числа, тогда как √2 — иррациональное число.

Определения

Давайте начнем с определения каждого термина отдельно, затем мы сможем узнать больше о каждом и рассмотреть несколько примеров.

Что такое рациональное число?

Любое число, представленное в виде дроби с положительными числами, отрицательными числами и нулем, называется рациональным числом. Рациональные числа произошли от слова «отношение». Другими словами, это отношение двух целых чисел. Например, 3/2 — рациональное число, означающее, что 3 делится на другое целое число 2.

Что такое иррациональное число?

По существу, иррациональные числа могут быть записаны как десятичные дроби, но как отношение двух целых чисел.Иррациональные числа, как правило, имеют бесконечные неповторяющиеся цифры после запятой. Возьмем такой пример: √8= 2,828.

Примеры рациональных и иррациональных чисел

Для Rational

• 0,5 может быть записано как ½ или 5/10, и любое десятичное число в конце является рациональным числом.
• √81, так как квадратный корень можно упростить до 9, что является частным дроби 9/1
• Вы можете выразить 3 как 3/1, где 3 — это частное целых чисел 3 и 1.
• 0.777777 — это повторяющиеся десятичные дроби и рациональное число.
• 1/5 — рациональное число, потому что и знаменатель, и числитель — целые числа.

Для иррациональных

• √2 этот номер нельзя упростить; следовательно, это иррациональное число.
• Π — иррациональное число, имеющее значение 3,142… бесконечное и неповторяющееся число. Следовательно, значение π не равно какой-либо дроби. Дробь 22/7 — это всего лишь оценка.
• 0.212112111… является иррациональным числом, неповторяющимся и непрерывающимся, поэтому его нельзя выразить как частное от дроби.
• Хотя число в √7/5 является дробью, числитель и знаменатель должны быть целыми числами. Но поскольку √ 7 не является целым числом, указанное число иррационально.
• 5/0 иррационально. Любая дробь со знаменателем 0 иррациональна.

Свойства рациональных и иррациональных чисел

Это основные правила арифметики, применяемые к рациональным и иррациональным числам

Правило 1: Результат суммы двух рациональных чисел также является рациональным

Правило 2: Произведение двух рациональных чисел рационально

Правило 3: результат суммы двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным

• Возьмем, к примеру: √2 + √2 = 2√2 иррационально
• в то время как 2 + 2√5 + (-2√5) = 2 результат рациональный

Правило 4: Произведение двух иррациональных чисел может быть либо иррациональным, либо рациональным.

• Возьмем, например: √2 * √3 = √6 иррационально
• , в то время как √2 * √2 = √4 = 2 рационально

Теперь сосредоточимся на отдельных свойствах рациональных и иррациональных чисел.

Отличительные черты рациональных чисел

• Сумма рациональных чисел всегда является рациональным числом. Например, если W и Z — два рациональных числа, сумма W и Z рациональна.
• Результат деления рационального числа на ненулевое число является рациональным числом.Например, W÷Z= рациональное число.
• Произведение любых двух или трех рациональных чисел дает другое рациональное число. Например, если вы умножите W и Z, то ответ, который вы получите, должен быть рациональным.
• Разница между двумя рациональными числами дает другое число. Например, если вы вычтете Z из W, вы получите рациональное число.

Так как результатом суммы любых двух рациональных чисел является рациональное число, то рациональные числа всегда должны быть закрытыми. Следовательно, рациональные числа одинаково закрыты для умножения, вычитания и деления, если делитель не равен нулю.

Как представлять рациональные числа в виде десятичных дробей

Любое рациональное число можно представить как завершающую или неконечную десятичную дробь. Завершающим десятичным знаком является любое десятичное число, в котором после конечного числа десятичных знаков другие последующие разряды равны 0. Например, 1/8 = 0,125.

Как видно из приведенного примера, деление точное.Такие частные называются конечными десятичными дробями. В качестве альтернативы рациональные числа также могут быть выражены как неконечные десятичные дроби. Неконечная десятичная дробь — это те десятичные дроби, которые продолжаются бесконечно после запятой.

Давайте посмотрим на эти примеры:

1. 3/7=0,42857142
2. 18/23=0,78260869

В двух приведенных выше примерах вы понимаете, что разделение никогда не заканчивается, независимо от того, как долго оно может продолжаться. Частные таких делений называются конечными десятичными дробями.

В некоторых случаях неконечная десятичная дробь может содержать постоянно повторяющуюся цифру или набор цифр. Эти незавершающиеся десятичные числа называются периодическими, повторяющимися или циркулирующими десятичными знаками. Набор повторяющихся цифр называется периодом повторяющегося десятичного числа.

Примеры

4/9=0,44444444

11/30=0,36666666

Отличительные черты иррациональных чисел

• Произведение иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным.
• Результат произведения ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда иррационален.
• Сумма иррациональных чисел может быть как рациональной, так и иррациональной.
• Сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна.
• Разница между двумя иррациональными числами может быть иррациональной, а может и не быть.
• Сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна.

Существенные различия между рациональными и иррациональными числами

• Рациональное число может быть выражено как отношение двух чисел в форме (p/q), а иррациональное число — нет.
• Рациональное число включает числа, которые могут заканчиваться или повторяться, а иррациональные числа не заканчиваются и не повторяются.
• Рациональное число имеет совершенные квадраты, такие как 4, 9, 16, 25 и т. д., а иррациональные числа имеют сурды, такие как √2, √3, √5, √7.
• Для рационального числа числитель и знаменатель являются целыми числами, где знаменатель не равен нулю: 3/2 = 1,5, 3,6767,
• Иррациональные числа нельзя записать в виде дроби: √5, √11.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое рациональные и иррациональные числа?

Вы можете выразить рациональные числа в виде отношения (P/Q & Q ≠ 0), но иррациональные числа нельзя выразить в виде дроби.Тем не менее, они оба являются действительными числами, которые вы можете включить в числовую строку.

В чем существенная разница между рациональными и иррациональными числами?

Рациональные числа являются конечными и повторяющимися десятичными знаками, тогда как иррациональные числа бесконечны и не повторяются.

Пи действительное число?

Пи (π) — иррациональное число, поэтому это действительное число. Значение (π) равно 22/7 r 3,142…

Является ли 4 рациональным числом?

Да, потому что оно удовлетворяет всем условиям рационального числа.Вы можете выразить это как отношение, пока знаменатель не равен нулю.

Если вы представите десятичное число чертой, будет ли оно рациональным или иррациональным? Десятичное число с чертой означает, что число после запятой повторяется, поэтому это рациональное число.

3.605551275… рационально или иррационально?

Многоточие (…) после 3.605551275 показывает, что номер не имеет конца и не имеет повторяющегося шаблона. Так что это иррационально.

Заключение

Рациональные числа могут применяться для расчета степени износа, колебаний, течения воды или скорости ветра. Приведенные выше примеры и пояснения позволяют любому легко отличить рациональное число от иррационального числа.

Будьте первым, кто оставит комментарий ниже.

Разница между рациональными и иррациональными числами

Математика — не что иное, как игра чисел. Число — это арифметическое значение, которое может быть объектом, словом или символом, представляющим величину, имеющую множество значений при подсчете, измерении, маркировке и т. д. Числа могут быть целыми, целыми числами, натуральными числами, действительными числами.или комплексные числа. Действительные числа далее делятся на рациональные и иррациональные числа. Рациональные числа — это числа, которые являются целыми числами и могут быть выражены в форме x/y, где и числитель, и знаменатель — целые числа, тогда как иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены дробью. В этой статье мы обсудим рациональные числа, иррациональные числа, примеры рациональных и иррациональных чисел, разницу между иррациональными и рациональными числами и т. д. и представлен в более простой форме дроби.Число считается рациональным числом, если оно может быть выражено в виде a/b, где a (числитель) и b (знаменатель) являются целыми числами. Знаменатель рационального числа — натуральное число (ненулевое число). Целые числа, дроби, в том числе смешанные дроби, повторяющиеся десятичные дроби, конечные десятичные дроби и т. д. — все они подпадают под категорию рациональных чисел.

Иррациональные числа

Число считается иррациональным, если оно не может быть просто преобразовано в любую часть натурального числа и целого числа.Десятичное расширение иррациональных чисел не является ни конечным, ни повторяющимся. К иррациональным числам относятся сурды и специальные числа, такие как π. Наиболее распространенной формой иррационального числа является пи (π). Сурд — это несовершенный квадрат или куб, который нельзя упростить дальше, чтобы удалить квадратный или кубический корень.

Примеры рациональных и иррациональных чисел

Некоторые примеры рациональных чисел

• Число 4 можно записать в виде 4/1, где 4 и 1 являются целыми числами.

• 0,25 также может быть записано как 1/4 или 25/100, и все конечные десятичные дроби являются рациональными числами.

• √64 — рациональное число, так как его можно упростить до 8, которое также является частным 8/1.

• 0,888888 является рациональным числом, потому что оно повторяется в природе.

Некоторые примеры иррациональных чисел

• 3/0 — иррациональное число со знаменателем, равным нулю.

• π — иррациональное число, имеющее значение 3,142, неповторяющееся и бесконечное по своей природе.

• √3 — иррациональное число, так как его нельзя упростить дальше.

• 0,21211211 является иррациональным числом, поскольку оно не повторяется и не заканчивается по своей природе.

Важная разница между рациональными числами и иррациональными числами представлена ​​ниже в табличной форме.

Каковы важные различия между рациональными и иррациональными числами?

Как классифицировать рациональные и иррациональные числа?

Давайте теперь изучим, как идентифицировать рациональные и иррациональные числа на основе приведенных ниже примеров.

Как мы знаем, рациональные числа могут быть выражены дробью, и она включает в себя все целые числа, дроби и повторяющиеся десятичные дроби.

Рациональные числа можно идентифицировать при следующих условиях:

• Выражается в виде a/b, где b≠0.

• Соотношение a/b можно упростить и проиллюстрировать в десятичной форме.

Иррациональные числа — это числа, которые не являются рациональными числами. Иррациональные числа могут быть представлены в десятичной форме, но не в дробях, что означает, что иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел.

рациональные числа имеют бесконечные неповторяющиеся цифры после запятой.

Ниже приведены некоторые примеры рациональных и иррациональных чисел.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Решенные примеры

1. Найдите любые 4 рациональных числа между 2/5 и 1/2.

Решение: Чтобы найти 5 рациональных чисел между -⅖ и ½, мы сначала сделаем одинаковые знаменатели.

Следовательно, -⅖ = (2 * 10) / (5 * 10)  = 20/50

И, ½ = (1 * 25) / (2 * 25) = 25/50

 4 рациональное число между ⅖ и ½. =  5 рациональных чисел от 20/50 до 25/50.

Следовательно, 4 рациональных числа между -⅖ и ½ — это 21/50, 22/50, 23/50 и 24/50.

2. Какое из приведенных ниже чисел не является иррациональным числом?

\[\sqrt{7}\] , \[\sqrt{5}\] , \[\sqrt{16}\] , \[\sqrt{11}\] 

Решение: 16 — полный квадрат т.е. \[\sqrt{16}\] =  4, что является рациональным числом

Как мы знаем, квадратный корень из простых чисел является иррациональным числом. 7, 5 и 11 — простые числа.Следовательно, единственное число, которое не является иррациональным, это \[\sqrt{16}\].

Время викторины

1. Какое из следующих чисел является иррациональным?

1. 21/99

2. \ [\ SQRT {100} \]

3. \ [\ SQRT {36/3} \]

4. 2/94

2. Квадратный корень из 225

1. Рациональное число

2. Иррациональное число

3. Какое из следующих чисел является рациональным?

1. ¼

2. 3.7

5. .25

6. 1.2314

90 901
90

1. Rational Number

2. Иррациональное число

Факты

• Hippassus ввел иррациональные числа при попытке написать квадратный корень из 2 в форме дроби (думается, используя геометрию). Он доказал, что квадратный корень из 2 нельзя записать в виде дроби, поэтому он иррационален.

Иррациональные числа

Иррациональное число — это действительное число, которое нельзя записать в виде простой дроби.

Иррациональные средства Нерациональные

 

 

Давайте посмотрим, что делает число рациональным или иррациональным…

Рациональные числа

A Рациональное Число может быть записано как Отношение двух целых чисел (т.е. простая дробь).

Пример: 1,5 является рациональным, поскольку его можно записать как отношение 3/2

Пример: 7 рационально, потому что его можно записать как отношение 7/1

Пример 0.333… (3 повторения) также рационально, потому что его можно записать как отношение 1/3

 

Иррациональные числа

Но некоторые числа нельзя записать как отношение двух целых чисел. ..

…их называют Иррациональные Числа .

Пример:

π (Pi) — известное иррациональное число.

π  = 3.1415926535897932384626433832795… (и больше)

Мы не можем записать простую дробь, которая равна Пи.

Популярное приближение ²² / ₇ = 3,1428571428571… близко, но не точно .

Еще одна подсказка заключается в том, что десятичная дробь продолжается вечно, не повторяясь.

Не может быть записан как дробь

Это иррационально потому что его нельзя записать как отношение (или дробь),
не потому что это безумие!

Таким образом, мы можем определить, является ли число рациональным или иррациональным, попробовав записать число в виде простой дроби.

Пример:

9,5 можно записать в виде простой дроби следующим образом:

9,5 = 19 2

Итак, это рациональное число (и поэтому не иррациональное )

Вот еще несколько примеров:

Номер		Как дробь		Рациональное или Иррациональное?
1. 75		7 4		Рационал
.001		1 1000		Рационал
√2 (квадратный корень из 2)		?		Неразумно !

Квадратный корень из 2

Давайте посмотрим на квадратный корень из 2 более внимательно.

Когда мы рисуем квадрат размера «1», каково расстояние по диагонали?

Ответом является квадратный корень из 2 , который равен 1.4142135623730950…(и т.д.)

Но это не число вроде 3, или пяти третей, или что-то в этом роде. ..

… на самом деле мы не можем записать квадратный корень из 2, используя отношение двух чисел…

… (вы можете узнать почему на странице Является ли это иррациональным?) …

… и поэтому мы знаем, что это иррациональное число .

Известные иррациональные числа

		Пи — известное иррациональное число. Люди вычислили число Пи с точностью до квадриллиона знаков после запятой, но закономерности до сих пор нет.Первые несколько цифр выглядят так: . 3.1415926535897932384626433832795 (и еще…)
		Число e (число Эйлера) — еще одно известное иррациональное число. Люди также вычислили e до большого количества знаков после запятой без какой-либо закономерности. Первые несколько цифр выглядят так: . 2.71828182845 353602874713527 (и еще…)
		Золотое сечение — иррациональное число. Первые несколько цифр выглядят так: . 1.61803398874989484820… (и еще…)
		Многие квадратные корни, кубические корни и т. д. также являются иррациональными числами.Примеры: √3 1.7320508075688772935274463415059 (и т. д.) √99 9,9498743710661995473447982100121 (и т. д.)

Но √4 = 2 рационально, а √9 = 3 рационально…

. .. так что не все корни иррациональны.

 

Примечание по умножению иррациональных чисел

Взгляните на это:

• π × π = π ² известен как иррациональный
• Но √2 × √2 = 2 равно рациональному

Будьте осторожны… умножение иррациональных чисел может дать рациональное число!

 

Забавные факты….

По-видимому, Гиппас (один из учеников Пифагора) открыл иррациональные числа при попытке записать квадратный корень из 2 в виде дроби (считается, что с помощью геометрии).Вместо этого он доказал, что квадратный корень из 2 не может быть записан в виде дроби, поэтому иррационально .

Но последователи Пифагора не могли принять существование иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание богов!

 

434 435 1064 2022 3987 1065 3988 2023 2990 2991

В чем разница между рациональными и иррациональными числами?

Когда вы слышите слова «рациональный» и «иррациональный», вам может прийти в голову разница между, скажем, хладнокровным, безжалостно аналитическим мистером К. Спок и упрямый, эмоционально неустойчивый доктор «Боунс» Маккой во вселенной кино и телевидения «Звездный путь». Однако, если вы не математик, вы, вероятно, не думаете об отношениях между целыми числами и квадратными корнями, таких вещах, которые заставляют нематематиков среди нас чувствовать себя так же сбитыми с толку, как мы, слушая «Богемскую рапсодию» группы Queen, поемую на клингонском языке. .

Но в области математики, где слова иногда имеют особое значение, сильно отличающееся от повседневного использования, разница между рациональными и иррациональными числами не имеет ничего общего с рассуждениями и логикой, а не с грубыми эмоциональными побуждениями.

Помните слово «отношение»

«Запоминая разницу между рациональными и иррациональными числами, подумайте об одном слове: отношение», — объясняет Эрик Д. Колачик. Он профессор кафедры математики и статистики Бостонского университета и директор университетского Института вычислительной техники, вычислительной науки и техники им. Рафика Б. Харири.

«Если вы можете записать число как отношение двух целых чисел (например, 1 к 10, -5 к 23, 1543 к 10 и т. д.), то мы относим его к категории рациональных чисел», — объясняет Колачик в своей книге. электронное письмо.«В противном случае мы говорим, что это иррационально».

Вы можете выразить как целое число, так и дробь — части целых чисел — в виде отношения, положив целое число, называемое числителем, на другое целое число, называемое знаменателем. Вы делите знаменатель на числитель. Это может дать вам число, такое как 1/4 или 500/10 (иначе известное как 50).

Иррациональные числа, в отличие от рациональных, довольно сложны. Как объясняет Wolfram MathWorld, они не могут быть выражены дробями, и когда вы пытаетесь записать их в виде числа с десятичной точкой, цифры просто продолжаются и продолжаются, никогда не останавливаясь и не повторяя шаблон.

Так что же за числа ведут себя таким сумасшедшим образом? В основном те, которые описывают сложные вещи. Возможно, самым известным иррациональным числом является число пи, иногда записываемое как π, греческая буква, означающая р, которое выражает отношение длины окружности к диаметру этой окружности. Как объяснил математик Стивен Богарт в своей статье в журнале Scientific American 1999 года, отношение всегда будет равно числу пи, независимо от размера круга. С тех пор как самые ранние попытки вычислить число «пи» были предприняты вавилонскими математиками почти 4000 лет назад, последующие поколения математиков продолжали работать и придумывали все более и более длинные цепочки десятичных знаков с неповторяющимися моделями.В 2019 году исследователю Google Хакуре Ивао удалось расширить число «пи» до 31 415 926 535 897 цифр, как подробно описано в этой статье Cnet.

Иногда квадратный корень — то есть множитель числа, который при умножении на себя дает число, с которого вы начали, — является иррациональным числом, если только это не полный квадрат, представляющий собой целое число, например 4, квадратный корень из 16. Одним из наиболее ярких примеров является квадратный корень из 2, который дает 1,414 плюс бесконечная последовательность неповторяющихся цифр.Это значение соответствует длине диагонали внутри квадрата, впервые описанной древними греками в теореме Пифагора.

Почему мы используем слова «рациональный» и «иррациональный»?

Почему мы называем их рациональными и иррациональными? Это кажется немного мутным. «Мы действительно обычно используем «рациональный» для обозначения чего-то более похожего на разум или что-то подобное», — говорит Колачик. «Его использование в математике, кажется, возникло еще в 1200-х годах в британских источниках (согласно Оксфордскому словарю английского языка).Если вы проследите и «рациональное», и «ratio» до их латинских корней, вы обнаружите, что в обоих случаях корень относится к «рассуждению», вообще говоря». «В то время как язык, вероятно, восходит к происхождению человека, числа появились гораздо позже», — объясняет Марк Зегарелли, репетитор по математике и автор, написавший 10 книг из серии «Для чайников». собирателям, по его словам, вероятно, не требовалась большая числовая точность, кроме способности приблизительно оценивать и сравнивать количества.

«Им нужны были такие понятия, как «у нас больше нет яблок», — говорит Зегарелли. «Им не нужно было знать, что у нас ровно 152 яблока». нужна более сложная математика.

«Предположим, вы строите дом с крышей, высота подъема которой равна длине прогона от основания в самой высокой точке», — говорит Колачик. «Какова длина участка самой поверхности крыши от вершины до внешнего края? Всегда множитель квадратного корня из 2 подъема (прогона).И это тоже иррациональное число».

В технологически продвинутом 21 веке иррациональные числа продолжают играть решающую роль, по словам Кэрри Манор. Она ученый и математик из Группы информационных систем и моделирования в Лос-Аламосской национальной лаборатории.

«Пи — это очевидное первое иррациональное число, о котором стоит говорить, — говорит Манор по электронной почте, — оно нам нужно для определения площади и длины окружности. Это важно для вычисления углов, а углы важны для навигации, строительства, съемки, проектирования и многого другого.Радиочастотная связь зависит от синусов и косинусов, включающих число пи». Кроме того, иррациональные числа играют ключевую роль в сложной математике, которая делает возможной высокочастотную торговлю акциями, моделирование, прогнозирование и большую часть статистического анализа — все виды деятельности, которые заставляют наше общество гудеть.

Список можно продолжить: «На самом деле, в нашем современном мире имеет смысл вместо этого спросить, где НЕ используются иррациональные числа?», — говорит Манор.

Иррациональное число – это действительное число, которое нельзя представить в виде а б , когда а и б являются целые числа ( б ≠ 0 ).В десятичной форме оно никогда не завершается (заканчивается) и не повторяется.

Древние греки обнаружили, что не все числа рациональный ; есть уравнения, которые нельзя решить с помощью отношения целых чисел.

Первым таким уравнением, которое было изучено, было 2 знак равно Икс 2 . Какое число, умноженное на себя, равно 2 ?

2 около 1,414 , так как 1,414 2 знак равно 1.999396 , что близко к 2 . Но вы никогда не попадете точно в квадрат дроби (или завершающий десятичный ). То квадратный корень из 2 является иррациональным числом, что означает, что его десятичный эквивалент будет продолжаться вечно без повторяющегося шаблона:

2 знак равно 1.41421356237309…

Историческая справка:

Согласно легенде, древнегреческий математик, доказавший, что 2 НЕ может быть записано как отношение целых чисел п д так разозлил своих коллег, что они сбросили его с лодки и утопили!

Другие известные иррациональные числа золотое сечение , число, имеющее большое значение для биологии:

− 1 + 5 2 знак равно 0. 61803398874989…

π (число Пи) , отношение длины окружности к ее диаметру:

π знак равно 3,14159265358979…

и е , самое важное число в исчислении :

е знак равно 2,71828182845904…

Иррациональные числа можно разделить на алгебраический числа, являющиеся решениями некоторого полиномиального уравнения (например, 2 и золотое сечение), и трансцендентный числа, не являющиеся решениями ни одного полиномиального уравнения.π и е оба трансцендентны.

То Диаграмма Венна ниже показаны отношения различных наборов чисел.

Иллюстративная математика

Задача

Поэкспериментируйте с суммами и произведениями двух чисел из следующего списка, чтобы ответить на следующие вопросы: $$ 5,\tfrac{1}{2},0,\sqrt{2},-\sqrt{2},\tfrac{1}{\sqrt{2}},\pi. $$

Основываясь на приведенной выше информации, предположите, какое из утверждений ВСЕГДА верно, какое ИНОГДА верно, а какое НИКОГДА не верно?

1. Сумма рационального числа и рационального числа является рациональной.
2. Сумма рационального числа и иррационального числа иррациональна.
3. Сумма иррационального числа и иррационального числа иррациональна.
4. Произведение рационального числа на рациональное число рационально.
5. Произведение рационального числа на иррациональное число иррационально.
6. Произведение иррационального числа на иррациональное число иррационально.

Комментарий IM

В этом задании учащиеся экспериментируют с операциями сложения и умножения, поскольку они связаны с понятиями рациональности и иррациональности.Таким образом, это задание, возможно, имеет смысл после того, как учащиеся изучат ключевые термины (рациональные и иррациональные числа), а также примеры каждого из них (например, иррациональность $\sqrt{2}$, $\pi$ и т.  д.). , но до формального доказательства любого из утверждений, которые предстоит обнаружить в этой задаче. Обсуждение таких доказательств рассматривается в других задачах.

Эти предположения, вероятно, лучше всего обсуждать в небольших группах и/или со всем классом, и поэтому их лучше всего использовать в учебных, а не в оценочных условиях.Обсуждения, вызванные студенческими предположениями, вероятно, приведут к продуктивному пониманию природы сумм и произведений действительных чисел, что в конечном итоге приведет к объяснениям, искомым в стандарте содержания N.RN.3, подготовив их к формальным формулировкам этих результатов. Обратите внимание, что некоторые из этих решений, например, иррациональность $\pi+\sqrt{2}$, выходят далеко за рамки школьной математики, но это не мешает учащимся отвечать на вопросы «всегда/иногда/никогда». спрашивают.

Иррациональные числа — определение, свойства, примеры, значение

Иррациональные числа – это те действительные числа, которые не могут быть представлены в виде отношения. Другими словами, те действительные числа, которые не являются рациональными числами, известны как иррациональные числа. Гиппас, философ-пифагорейец, открыл иррациональные числа в V веке до нашей эры. К сожалению, его теория была высмеяна, и он был брошен в море. Но иррациональные числа существуют, давайте заглянем на эту страницу, чтобы лучше понять концепцию, и, поверьте нам, вас не выбросит в море.Скорее, зная эту концепцию, вы также будете знать список иррациональных чисел, разницу между иррациональными и рациональными числами и то, являются ли иррациональные числа действительными числами.

Что такое иррациональные числа?

Иррациональные числа — это множество действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дроби p/q, где p и q — целые числа. Знаменатель q не равен нулю (q ≠ 0). Кроме того, десятичное расширение иррационального числа не заканчивается и не повторяется.

Иррациональные числа Определение: Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде простой дроби. Они не могут быть выражены в виде отношения, такого как p/q, где p и q — целые числа, q≠0. Это противоречие рациональных чисел.

Распространенные примеры иррациональных чисел

Ниже приведены несколько конкретных иррациональных чисел, которые обычно используются.

• ㄫ (пи) — иррациональное число. π=3⋅14159265… Десятичное значение никогда не останавливается ни в какой точке.Поскольку значение ㄫ ближе к дроби 22/7, мы принимаем значение пи как 22/7 или 3,14 (Примечание: 22/7 — рациональное число.)
• √ 2 — иррациональное число. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две равные стороны АВ и ВС имеют длину 1 единицу. По теореме Пифагора гипотенуза AC будет равна √2. √2=1⋅414213⋅⋅⋅⋅
• Число Эйлера e — иррациональное число. е=2⋅718281⋅⋅⋅⋅
• Золотое сечение, φ 1.61803398874989….

Свойства иррациональных чисел

Свойства иррациональных чисел помогают нам выделить иррациональные числа из набора действительных чисел. Ниже приведены некоторые свойства иррациональных чисел:

• Иррациональные числа состоят из непрерывных и неповторяющихся десятичных знаков.
• Это только действительные числа.
• При сложении иррационального и рационального чисел результатом или их суммой является только иррациональное число.Для иррационального числа x и рационального числа y их результат x + y = иррациональное число.
• При умножении любых иррациональных чисел на любое ненулевое рациональное число их произведение будет иррациональным числом. Для иррационального числа x и рационального числа y их произведение xy = иррационально.
• Для любых двух иррациональных чисел их наименьшее общее кратное (НОК) может существовать, а может и не существовать.
• Сложение, вычитание, умножение и деление двух иррациональных чисел могут быть или не быть рациональными числами.

Как определить иррациональное число?

Мы знаем, что иррациональные числа — это только действительные числа, которые не могут быть выражены в виде p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Например, √ 5 и √ 3 и т. д. — иррациональные числа. С другой стороны, числа, которые могут быть представлены в виде p/q, такие, что p и q являются целыми числами и q ≠ 0, являются рациональными числами.

Символ иррациональных чисел

Перед тем, как узнать символы иррациональных чисел, давайте обсудим символы, используемые для других типов чисел.

Действительные числа состоят как из рациональных, так и из иррациональных чисел. (R-Q) определяет, что иррациональные числа могут быть получены путем вычитания рациональных чисел (Q) из действительных чисел (R). Это также можно записать как (R\Q). Следовательно, символ иррациональных чисел = Q’.

Набор иррациональных чисел

Множество иррациональных чисел можно получить, записав несколько иррациональных чисел в скобках. Множество иррациональных чисел можно получить по некоторым свойствам.

• Все квадратные корни, не являющиеся полным квадратом, являются иррациональными числами. {√ 2 , √3 , √5 , √8}
• число Эйлера, золотое сечение и число Пи — одни из самых известных иррациональных чисел. {е, ∅, ㄫ}
• Квадратный корень из любого простого числа является иррациональным числом.

Таблица иллюстрирует список некоторых иррациональных чисел .

Иррациональное число	значение
№	3.14159265….
и	2.7182818…..
√2	1.414213562…
√3	1.73205080…
√5	2.23606797….
√7	2.64575131….
√11	3,31662479…
√13	3,605551275…
-√3/2	-0,866025. …
∛47	3,60882608

Рациональные и иррациональные числа

Любое число, которое определяется в виде дроби p/q или отношения , называется рациональным числом.Он может состоять из числителя (p) и знаменателя (q), где q не равно нулю. Рациональное число может быть целым числом или целым числом.

• 2/3 = 0,6666 = 0,67. Поскольку десятичное значение является повторяющимся (повторяющимся). Итак, мы приблизили его к 0,67
.
• √4 = 2 и -2, где 2 и -2 являются целыми числами.

В таблице показано различие между рациональными и иррациональными числами.

Рациональные числа	Иррациональные числа
Может быть выражен в виде дроби или соотношения i.е. p/q, где q ≠ 0	Нельзя выразить в виде дроби или отношения.
Десятичное расширение завершается или не завершается повторяющимся (повторяющимся)	Десятичное расширение не является завершающим и неповторяющимся в любой точке.
Пример: 0,33333, 0,656565.., 1,75	Пример: π, √ 13, e

Интересные факты об иррациональных числах

Есть несколько классных и интересных фактов об иррациональных числах, которые заставляют нас глубоко понять почему за чем.

1. Случайное изобретение √2

Квадратный корень из 2 или √2 был первым придуманным иррациональным числом при вычислении длины равнобедренного треугольника. Он использовал знаменитую формулу Пифагора а ² = b ² + с ²

AC ² = AB ² = BC ² + BC ² + BC ² ⇒ AC ² = 1 ² +1 ² ⇒ AC = √ 2

√2 лежит между числами 1 и 2, так как значение равно 1.41421. .. Итак, он обнаружил, что длина AC не может быть выражена в виде дробей или целых чисел.

2. Значение π

Значение числа π приблизительно вычислено как более 22 триллиона цифр без конца. Компьютеру потребовалось около 105 дней с 24 жесткими дисками, чтобы вычислить значение числа Пи.

3. Изобретение числа Эйлера e

Число Эйлера впервые введено Леонардом Эйлером, , швейцарским математиком в 1731 году.Это «е» также называют числом Нейпира , которое в основном используется в логарифмировании и тригонометрии.

Доказательство иррационального числа:

Разберемся, как доказать, что данный несовершенный квадрат иррационален. Вот пошаговое доказательство того же.

Чтобы доказать: √2 — иррациональное число.

Предположим, √2 — рациональное число. Тогда по определению рациональных чисел можно записать, что

√2=p/q … (1) где p и q — взаимно простые целые числа и \(q ≠ 0\) (взаимно простые числа — это те числа, общий делитель которых равен 1).2\конец{выравнивание}\)

Это означает, что 2 также является простым делителем q ² . Опять же из теоремы можно сказать, что 2 также является простым множителем числа q.

Согласно исходному предположению p и q взаимно просты, но полученный выше результат противоречит этому предположению, так как p и q имеют 2 в качестве общего простого делителя, отличного от 1. Это противоречие возникло из-за неверного предположения о рациональности √2 .

Итак, √2 иррационально.

☛Также читайте

Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам

Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам помогут лучше понять, почему рациональные и иррациональные числа являются частью действительных чисел.Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам включают множество задач и примеров, основанных на операциях и свойствах рациональных и иррациональных чисел. Он состоит из творческих и увлекательных забавных заданий, в которых ребенок может подробно изучить сквозные концепции рациональных и иррациональных чисел с помощью практических иллюстраций.

Важные моменты

• Произведение любых двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным. Пример (а): Умножьте √2 и π ⇒ 4.4428829… иррациональное число. Пример (б): Умножьте √2 и √2 ⇒ 2 — рациональное число.
• Множество иррациональных чисел не замыкается в процессе умножения, в отличие от множества рациональных чисел.
• Сложение или умножение двух иррациональных чисел может быть рациональным; например, √2 × √2 = 2. Здесь √2 — иррациональное число. Если его умножить дважды, то конечный результат будет рациональным числом, т. е. 2.

☛Статьи по теме

Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, посвященными иррациональным числам.

Часто задаваемые вопросы об иррациональных числах

Что такое иррациональные числа в математике?

Иррациональные числа — это набор действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дробей или отношений. Пример: π, √2, e, √5

Как определить иррациональное число?

Ибо любое число, не являющееся рациональным, считается иррациональным. Иррациональные числа можно записать в виде десятичных дробей, но точно не в виде дробей. Кроме того, эти числа, как правило, имеют бесконечные неповторяющиеся цифры справа от десятичной запятой.

Рациональные числа и иррациональные числа одинаковы?

Нет, рациональные и иррациональные числа не совпадают. Все числа, представленные в виде p/q, где p и q — целые числа, а q не равно 0, — рациональное число. Примеры рациональных чисел: 1/2, -3/4, 0,3 или 3/10. Принимая во внимание, что мы не можем выразить иррациональные числа в виде p/q.

В чем разница между рациональными и иррациональными числами?

Рациональные числа — это те, которые заканчиваются или не заканчиваются повторяющимися числами, а иррациональные числа — это те, которые не заканчиваются и не повторяются после определенного количества знаков после запятой.

Является ли 2/3 иррациональным числом?

Нет, 2/3 не иррациональное число. 2/3 = 0,666666…. повторяющееся десятичное число. Следовательно, 2/3 — рациональное число.

Почему рациональные и иррациональные числа входят в набор действительных чисел?

Числа, которые могут быть представлены в виде десятичных дробей, считаются действительными числами. Если мы говорим о рациональных и иррациональных числах, обе формы чисел могут быть представлены в виде десятичных знаков, следовательно, и рациональные числа, и иррациональные числа находятся в множестве действительных чисел.

Почему Пи — иррациональное число?

Пи определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Значение Пи всегда постоянно. Пи (π) приблизительно равно 3,14159265359… и является непрерывающимся неповторяющимся десятичным числом. Следовательно, «пи» — иррациональное число.

Сколько иррациональных чисел лежит между корнем 2 и корнем 3?

У нас может быть бесконечно много иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3. Несколько примеров иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3 — это 1.575775777…, 1.4243443… и 1.686970…

Являются ли иррациональные числа непрерывными и неповторяющимися?

Да, иррациональные числа не прекращаются и не повторяются. Конечные числа — это те десятичные знаки, которые заканчиваются после определенного количества знаков после запятой. Например, 1,5, 3,4, 0,25 и т. д. являются конечными числами. Все конечные числа являются рациональными числами, поскольку их легко записать в виде p/q. В то время как неконечные и неповторяющиеся числа считаются бесконечным десятичным расширением иррациональных чисел.

Почему иррациональные числа называют сурдами?

Под surd понимается выражение, включающее квадратный корень, кубический корень или другие символы корня. Surds используются для точного написания иррациональных чисел. Все сурды считаются иррациональными числами, но все иррациональные числа не могут считаться сурдами. Иррациональные числа, которые не являются корнями алгебраических выражений, таких как π и e, не являются поверхностными.