Радикалы в алгебре: ЭСБЕ/Радикал, в математике — Викитека – Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

ЭСБЕ/Радикал, в математике — Викитека

Радикал. — Один из корней двучленного уравнения xn=a{\displaystyle x^{n}=a} называется радикалом и обозначается an{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}. Здесь а называется подкоренным числом, nпоказателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

an⋅bn=abn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}, an:bn=a:bn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}:{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a:b}}}, (an)m=amn{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}, amn=amn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}}, ampnp=amn{\displaystyle {\sqrt[{np}]{a^{mp}}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}.

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

a=r(cos⁡φ+isin⁡φ){\displaystyle a=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}, где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

an=rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn){\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)},

‎где k = 0, 1, 2, …, n—1. В правой части rn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} положительное число, n-ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова «Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами» (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение x5−x−v=0{\displaystyle x^{5}-x-v=0} не решается в Р., если

v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении «Disquisitiones arithmeticae» (в «Gauss Werke», т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.

Радикал в математике - это... Что такое Радикал в математике?


Радикал в математике
— Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается

Здесь а называется подкоренным числом, n — показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

a

= r(cos φ + isin φ), где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

,

где k = 0, 1, 2,..., n— 1. В правой части

положительное число, n -ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова "Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами" (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение х 5— х —v = 0 не решается в Р., если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении "Disquisitiones arithmeticae" (в "Ganss Werke", т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.

Д. Селиванов.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

Смотреть что такое "Радикал в математике" в других словарях:

  • РАДИКАЛ (в математике) — РАДИКАЛ, математический знак (измененное латинское r), которым обозначают действие извлечения корня, а также результат извлечения корня, т. е. число вида …   Энциклопедический словарь

  • Радикал, в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • РАДИКАЛ — (лат., radix, radicis корень). 1) Политик, стремящийся к коренным преобразованиям в управлении страны. 2) английские социалисты носят также название радикалов. 3) В органической химии сложные вещества, способные соединяться с другими веществами… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • радикал — РАДИКАЛ, а, муж. 1. Сторонник радикализма (в 1 знач.), член радикальной партии. 2. Приверженец крайних, решительных действий, взглядов. | прил. радикалистский, ая, ое. II. РАДИКАЛ, а, муж. 1. В математике: знак, (Ц) обозначающий извлечение корня… …   Толковый словарь Ожегова

  • РАДИКАЛ — (от лат. radicalis коренной) многозначный термин, используемый в разных науках (напр., в химии и математике) и практиках. 1, Сторонник радикальных (крайних, решительных) взглядов и действий, партий, движений. Бескомпромиссный человек. Склонность… …   Большая психологическая энциклопедия

  • Радикал — В Викисловаре есть статья «радикал» Радикал (буквально: «коренной» от лат. radix  …   Википедия

  • РАДИКАЛ — Основное значение имеющий отношение к корню. Таким образом: 1. В математике знак (V), выражающий операцию разложения числа, стоящего под ним, на его корни. 2. В социальных/политических терминах описание любой точки зрения или предложения, в… …   Толковый словарь по психологии

  • Центр (в математике) — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Вербицкий, Михаил Сергеевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Вербицкий. Михаил Вербицкий …   Википедия

  • Абель Нильс Хенрик — (Abel) (1802 1829), норвежский математик. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4 й в общем случае неразрешимы в радикалах. Изучал интегралы от алгебраических функций (абелевы интегралы). Один из создателей теории эллиптических… …   Энциклопедический словарь

РАДИКАЛ (в математике) - это... Что такое РАДИКАЛ (в математике)?


РАДИКАЛ (в математике)
РАДИКАЛ (в математике)

РАДИКА́Л, математический знак (измененное латинское r), которым обозначают действие извлечения корня, а также результат извлечения корня, т. е. число вида .

Энциклопедический словарь. 2009.

  • РАДИЕВЫЙ ИНСТИТУТ (во Франции)
  • РАДИКАЛ (сторонник коренных мер)

Смотреть что такое "РАДИКАЛ (в математике)" в других словарях:

  • Радикал в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Радикал, в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • РАДИКАЛ — (лат., radix, radicis корень). 1) Политик, стремящийся к коренным преобразованиям в управлении страны. 2) английские социалисты носят также название радикалов. 3) В органической химии сложные вещества, способные соединяться с другими веществами… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • радикал — РАДИКАЛ, а, муж. 1. Сторонник радикализма (в 1 знач.), член радикальной партии. 2. Приверженец крайних, решительных действий, взглядов. | прил. радикалистский, ая, ое. II. РАДИКАЛ, а, муж. 1. В математике: знак, (Ц) обозначающий извлечение корня… …   Толковый словарь Ожегова

  • РАДИКАЛ — (от лат. radicalis коренной) многозначный термин, используемый в разных науках (напр., в химии и математике) и практиках. 1, Сторонник радикальных (крайних, решительных) взглядов и действий, партий, движений. Бескомпромиссный человек. Склонность… …   Большая психологическая энциклопедия

  • Радикал — В Викисловаре есть статья «радикал» Радикал (буквально: «коренной» от лат. radix  …   Википедия

  • РАДИКАЛ — Основное значение имеющий отношение к корню. Таким образом: 1. В математике знак (V), выражающий операцию разложения числа, стоящего под ним, на его корни. 2. В социальных/политических терминах описание любой точки зрения или предложения, в… …   Толковый словарь по психологии

  • Центр (в математике) — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Вербицкий, Михаил Сергеевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Вербицкий. Михаил Вербицкий …   Википедия

  • Абель Нильс Хенрик — (Abel) (1802 1829), норвежский математик. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4 й в общем случае неразрешимы в радикалах. Изучал интегралы от алгебраических функций (абелевы интегралы). Один из создателей теории эллиптических… …   Энциклопедический словарь

Радикал, в математике — Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Радикал, в математике

Здесь а называется подкоренным числом, nпоказателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

Радикал, в математике. Рис. 1

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

a = r(cosφ + isinφ), где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

Радикал, в математике. Рис. 2

,

где k = 0, 1, 2,..., n—1. В правой части Радикал, в математике. Рис. 3положительное число, n-ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова "Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами" (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение х5хv = 0 не решается в Р., если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении "Disquisitiones arithmeticae" (в "Ganss Werke", т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.

Д. Селиванов.

Источник: Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона на Gufo.me


Радикал, в математике. Рис. 3

Радикал, в математике

Значение слова "Радикал, в математике" в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона

Радикал, в математике
Радикал, в математике

— Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит

Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

a
= r(cos φ + isin φ), где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

,

где k = 0, 1, 2,..., n— 1. В правой части положительное число, n -ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова "Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами" (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение х 5хv = 0 не решается в Р., если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении "Disquisitiones arithmeticae" (в "Ganss Werke", т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.

Д. Селиванов.

Статья про слово "Радикал, в математике" в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона была прочитана 8970 раз

радикал алгебры - это... Что такое радикал алгебры?


радикал алгебры
мат. radical of algebra

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • радикал II
  • радикал группы

Смотреть что такое "радикал алгебры" в других словарях:

  • РАДИКАЛ — группы G наибольшая нормальная подгруппа группы G, принадлежащая данному радикальному классу групп. Класс групп наз. радикальным, если он замкнут относительно гомоморфных образов, а также относительно бесконечных расширений , т. е. если классу… …   Математическая энциклопедия

  • Радикал в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Радикал, в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • РАДИКАЛ — в классе полугрупп функция r, ставящая в соответствие каждой полугруппе Sее конгруэнцию r (S).и обладающая следующими свойствами: 1) если Sизоморфна Т и r(S)=0 (через 0 обозначено отношение равенства), то r(T)=0; 2) если q конгруэнция на Sи… …   Математическая энциклопедия

  • КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с двумя бинарными операциями, к рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и… …   Математическая энциклопедия

  • НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с доумя бинарными операциями + и ., удовлетворяющими всем аксиомам ассоциативных колец и алгебр, кроме, быть может, аксиомы ассоциативности умножения. Первые примеры неассоциативных колец (Н. к.) и неассоциативных алгебр (Н. а.), не… …   Математическая энциклопедия

  • АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно …   Математическая энциклопедия

  • РАНГ АЛГЕБРЫ ЛИ — минимальная из кратностей собственного значения l= 0 для линейных операторов по всем хиз алгебры Ли L. Предполагается, что алгебра Lконечномерна. Элемент х, для к рого эта кратность минимальна, наз. р е г у л я р н ы м. Множество регулярных… …   Математическая энциклопедия

  • АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — Альтернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо, в к ром каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо; альтернативной алгеброй (А. а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно теореме Артина класс всех А. к. задается системой тождеств …   Математическая энциклопедия

  • РАДИКАЛЫ — колец и алгебр понятие, впервые возникшее в классической структурной теории конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р. первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым Р. (называемые… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА — банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т …   Математическая энциклопедия

радикал алгебры — со всех языков на русский

См. также в других словарях:

  • РАДИКАЛ — группы G наибольшая нормальная подгруппа группы G, принадлежащая данному радикальному классу групп. Класс групп наз. радикальным, если он замкнут относительно гомоморфных образов, а также относительно бесконечных расширений , т. е. если классу… …   Математическая энциклопедия

  • Радикал в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Радикал, в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • РАДИКАЛ — в классе полугрупп функция r, ставящая в соответствие каждой полугруппе Sее конгруэнцию r (S).и обладающая следующими свойствами: 1) если Sизоморфна Т и r(S)=0 (через 0 обозначено отношение равенства), то r(T)=0; 2) если q конгруэнция на Sи… …   Математическая энциклопедия

  • КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с двумя бинарными операциями, к рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и… …   Математическая энциклопедия

  • НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с доумя бинарными операциями + и ., удовлетворяющими всем аксиомам ассоциативных колец и алгебр, кроме, быть может, аксиомы ассоциативности умножения. Первые примеры неассоциативных колец (Н. к.) и неассоциативных алгебр (Н. а.), не… …   Математическая энциклопедия

  • АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно …   Математическая энциклопедия

  • РАНГ АЛГЕБРЫ ЛИ — минимальная из кратностей собственного значения l= 0 для линейных операторов по всем хиз алгебры Ли L. Предполагается, что алгебра Lконечномерна. Элемент х, для к рого эта кратность минимальна, наз. р е г у л я р н ы м. Множество регулярных… …   Математическая энциклопедия

  • АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — Альтернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо, в к ром каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо; альтернативной алгеброй (А. а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно теореме Артина класс всех А. к. задается системой тождеств …   Математическая энциклопедия

  • РАДИКАЛЫ — колец и алгебр понятие, впервые возникшее в классической структурной теории конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р. первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым Р. (называемые… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА — банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т …   Математическая энциклопедия

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *