Расстояние между двумя координатами сквозь Землю

Если вы хотите узнать кратчайшее расстояние между двумя точками земной поверхности, вы должны использовать ортодромию. На этом сайте уже есть два калькулятора для этого: один, использующий формулу гаверсинусов, и второй, использующий формулу Винсенти.

Однако, что если вам надо узнать расстояние между двумя точками напрямую, «сквозь Землю», а не по поверхности? В принципе, эта задача решается достаточно просто, за исключением пары тонких моментов. Калькулятор ниже рассчитывает расстояние между двумя точками сквозь Землю, а вывод формулы расчета вы можете найти под калькулятором.

Расстояние между двумя координатами сквозь Землю

Расстояние, км

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

Расстояние сквозь Землю

Итак у нас есть две точки на земной поверхности, заданные широтой и долготой, и мы хотим знать расстояние между ними напрямую, сквозь Землю. Технически, широта и долгота представляют собой часть сферических координат в трехмерном пространстве, а именно: радиус — это радиус Земли, угол наклонения —
это широта, и азимут — это долгота. Если мы преобразуем сферические координаты в декартовы координаты x, y, z, мы сможем с легкостью найти расстояние напрямую между этими точками, используя формулу Евклидова расстояния:

Определимся с нашей декартовой системой координат. Начальной точкой будет центр Земли, ось x будет указывать на точку пересечения нулевого меридиана с плоскостью экватора, ось y будет указывать на точку пересечения меридиана 90 градусов западной долготы с плоскостью экватора, а ось z будет указывать строго на север.

это долгота, это широта.

Для преобразования сферических координат к декартовым используем следующие формулы:

Теперь пара тонких моментов, которые возникают из-за того факта, что геодезия приближенно представляет форму Земли в виде сплющенного сфероида, или эллипсоида вращения. Поэтому, когда мы говорим о координатах, мы на самом деле говорим о координатах на поверхности референц-эллипсоида используемого в конкретной системе координат, в нашем случае это WGS 84. И рассчитанное расстояние, соответственно, будет расстоянием между двумя точками на поверхности референц-эллипсоида.

Это приводит к необходимости учета следующих факторов:

• Радиус Земли (радиус эллипсоида) не является постоянной величиной, и зависит от широты рассматриваемой точки. Таким образом мы должны рассчитать значение радиуса для каждой точки отдельно. Это можно сделать используя алгоритм, описанный здесь.

• широта указанная в WGS 84 — это геодезическая широта, которая определяется углом между плоскостью экватора и нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке, в отличие от геоцентрической широты, которая определяется углом между экваториальной плоскостью и центром эллипсоида. Так как в нашей декартовой системе координат начало координат находится в центре Земли, мы должны перейти от геодезических координат к геоцентрическим для обеих точек.

Калькулятор учитывает эти факторы, используя следующие формулы для преобразования широты и радиуса:
,
где — геоцентрическая широта, — геодезическая широта, — большая полуось референц-эллипсоида, — малая полуось референц-эллипсоида.

Итак, подводя итог, можно сказать, что для того, чтобы рассчитать растояние напрямую между двумя точками по заданным координатам, надо сделать следующее:

• Рассчитать значение радиуса Земли в каждой точке в зависимости от широты
• Рассчитать геоцентрическую широту в каждой точке
• Перейти от сферических координат к декартовым используя долготу, рассчитанный радиус и рассчитанную геоцентрическую широту.
• Рассчитать расстояние используя формулу Евклидова расстояния

определение и примеры нахождения, метод координат расстояние от точки до прямой

Данная статья рассказывает о теме «расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач.

Расстояние от точки до прямой – определение

Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней.

Пусть имеется прямая a и точка М1, не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую b, расположенную перпендикулярно относительно прямой a. Точка пересечения прямых возьмем за Н1. Получим, что М1Н1 является перпендикуляром, который опустили из точки М1 к прямой a.

Расстоянием от точки М1 к прямой a называется расстояние между точками М1 и Н1.

Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра.

Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.

Если взять точку Q, лежащую на прямой a, не совпадающую с точкой М1, тогда получим, что отрезок М1Q называется наклонной, опущенной из М1 к прямой a. Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М1Q1Н1, где М1Q1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M1h2<M1Q. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Числовая ось

      Определение 1. Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой)   Ox   называют прямую линию, на которой точка   O   выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

O → x

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Рис.1

      Определение 2. Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом.

      Каждая точка числовой оси имеет координату, являющуюся вещественным числом. Координата точки   O   равна нулю. Координата произвольной точки   A ,   лежащей на луче   Ox ,   равна длине отрезка   OA .   Координата произвольной точки   A   числовой оси, не лежащей на луче   Ox ,   отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка   OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

      Определение 3. Прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси   Ox   и   Oy   с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке   O ,   причём таких, что поворот от луча   Ox   на угол   90°   до луча   Oy   осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Рис.2

      Замечание. Прямоугольную декартову систему координат   Oxy ,   изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат, в отличие от левых систем координат, в которых поворот луча   Ox   на угол   90°   до луча   Oy   осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

      Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат   Oxy ,   то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть   A   – произвольная точка плоскости. Опустим из точки   A   перпендикуляры   AA₁   и   AA₂   на прямые   Ox   и   Oy   соответственно (рис.3).

Рис.3

      Определение 4. Абсциссой точки   A   называют координату точки   A₁   на числовой оси   Ox ,   ординатой точки   A   называют координату точки   A₂   на числовой оси   Oy .

      Обозначение. Координаты (абсциссу и ординату) точки   A   в прямоугольной декартовой системе координат   Oxy   (рис.4) принято обозначать   A (x ; y)   или   A = (x ; y).

Рис.4

      Замечание. Точка   O ,   называемая началом координат, имеет координаты   O (0 ; 0) .

      Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат   Oxy   числовую ось   Ox   называют осью абсцисс, а числовую ось   Oy   называют осью ординат (рис. 5).

      Определение 6. Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на   4   четверти (квадранта), нумерация которых показана на рисунке 5.

Рис.5

      Определение 7. Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью.

      Замечание. Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением   y = 0 ,   ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением   x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

      Утверждение 1. Расстояние между двумя точками координатной плоскости

A₁ (x₁ ; y₁)   и   A₂ (x₂ ; y₂)

вычисляется по формуле

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

      Поскольку в прямоугольном треугольнике   A₁A₂B   длина катета   A₁B   равна   | x₂ – x₁|    а длина катета   A₂B   равна   | y₂ – y₁| ,   то по теореме Пифагора

     Следовательно,

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

      Рассмотрим на координатной плоскости   Oxy   (рис. 7) окружность радиуса   R   с центром в точке   A₀ (x₀ ; y₀) .

Рис.7

      Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

( x – x₀)² + ( y – y₀)² = R².

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса   R   с центром в точке   A₀ (x₀ ; y₀) .

      Следствие. Уравнение окружности радиуса   R   с центром в начале координат имеет вид

x² + y² = R².

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.