Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Тема: Перпендикуляр и наклонные

Урок: Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

На этом уроке мы введем понятия расстояния от точки до плоскости, рассмотрим и докажем важнейшую теорему о трех перпендикулярах.

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

Рис. 1.

Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки

А к плоскости α. То есть, перпендикуляр – это отрезок.

Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α. 

Определение. Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозн.: ρ(А; α) = АН. Заметим, что АН – наименьшее из расстояний между точкой А и любой точкой плоскости.Действительно, в прямоугольном треугольнике АНМ перпендикуляр (катет АН) короче наклонной (гипотенузы АМ).

Таким образом, чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, нужно найти длину перпендикуляра от точки до плоскости.

Плоскость α и плоскость β параллельны. На плоскости β выберем произвольную точку А (рис. 2). Из точки А опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α. Перпендикуляр

АА₀ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.

Рис. 2. Расстояние между параллельными плоскостями

Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того, какую точку мы выбрали.

 Например, выберем другую точку В, опустим перпендикуляр ВВ₀. Прямые  АА₀ и ВВ₀ перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые  АА₀ и ВВ₀ параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки АА₀ и ВВ₀ равны.

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АА₀

на плоскость α (рис. 3). Длина перпендикуляра АА₀ и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Обозн.: АА₀ = р(а; α).

Рис. 3. Расстояние между прямой и плоскостью

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Дано:

 

 

 

Доказать:

 

Рис. 4.

Доказательство:

Пусть нам дана плоскость α (рис. 4). Проведем перпендикуляр АН к плоскости α, АМ — наклонная, М – основание наклонной. НМ – это проекция наклонной АМ на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной М перпендикулярно проекции НМ. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна наклонной АМ.

Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая АН перпендикулярна прямой а. Прямая НМ перпендикулярна прямой а по условию. Имеем, что прямая

а перпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и НМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая АМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямой АМ, что и требовалось доказать.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Дано:

 

 

 

Доказать:

 

Доказательство:

Пусть нам дана плоскость α (рис. 4). Проведем перпендикуляр АН к плоскости α, АМ — наклонная. НМ – это проекция наклонной АМ на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной М перпендикулярно наклонной AМ. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна проекции HМ.

Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая АН перпендикулярна прямой а. Прямая AМ перпендикулярна прямой а по условию. Имеем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и AМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая HМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая

а перпендикулярна прямой HМ, что и требовалось доказать.

В доказанной прямой и обратной теореме точка М (основание наклонной) лежала на прямой , лежащей в плоскости α. Давайте проведем в плоскости α другую прямую а, которая параллельна . Тогда углы между прямыми a, АМ, НМ не изменятся. И из перпендикулярности прямой а и прямой АМ будет вытекать перпендикулярность прямой а и прямой НМ и наоборот.

Рис. 5.

Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен . 

а) Найти наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d.

б) Найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

Рис. 6.

а) Дано:

 

 

 

Найти:

 

Решение:

Итак, имеем плоскость α, точку А,  (рис. 6). Вспомним, перпендикуляром называется отрезок АН, который проведен из точки А к плоскости , АМ – наклонная.

Мы имеем треугольник АНМ. Этот треугольник прямоугольный. Для того чтобы найти гипотенузу АМ, нужно катет АН разделить на косинус прилежащего угла НАМ.

Найдем катет НМ.

Ответ:

б) Дано:

 

 

 

Найти:

 

Решение:

АН перпендикуляр, АМ – наклонная, угол между ними , известна длина наклонной АМ. Нужно найти длину перпендикуляра АН и длину проекции НМ. 

Задача снова свелась к решению прямоугольного треугольника НАМ. Найдем катет АН.

Найдем катет HМ.

Ответ:

Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная к плоскости треугольника. 

а) докажите, что треугольник СВD прямоугольный.

б) найдите ВD, если ВС = а, DС = b. 

Рис. 7.

Дано: ∆АСВ = 90°, АD ⊥ АВС.

ВС = а, DС = b. 

Доказать: ∆CBD – прямоугольный.

Найти: ВD

Решение:

а) Треугольник АВС

interneturok.ru

Расстояние от точки до плоскости

Вопросы занятия:

·                   расстояние от точки до плоскости;

·                   расстояние между параллельными плоскостями;

·                   расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью;

·                   расстояние между скрещивающимися прямыми.

Материал урока.

Вы уже знаете, что расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра проведённого из данной точки к данной прямой. Ведь длина этого перпендикуляра наименьшая среди длин всевозможных отрезков, проведённых из данной точки к данной прямой.

Рассмотрим случай точки и плоскости.

Понятно, что если точка лежит в плоскости, то расстояние между ними равно нулю. Что же на счет случая, когда точка не лежит в плоскости?

Итак, точку с плоскостью можно соединить различными способами. Но среди всех возможных проведённых отрезков можно выделить один особенный. Тот, который перпендикулярен к данной плоскости.

Давайте рассмотрим отрезок перпендикулярный к плоскости и любой из оставшихся.

Если соединить точки пересечения данных отрезков с плоскостью, то тем самым получим треугольник, причём он будет являться прямоугольным.

Действительно, если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой из этой плоскости.

Введём несколько новых понятий.

Запомните, отрезок AH называют перпендикуляром, проведённым из точки А к плоскости α, а точку H — основанием перпендикуляра.

Отрезок AM называю наклонной к плоскости, а точку M — основанием наклонной.

Отрезок HM называют проекцией наклонной на плоскость α.

Понятно, что гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Тогда можем сделать вывод, что перпендикуляр, проведённый из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой плоскости.

Тем самым можно утверждать, что расстоянием от точки А до плоскости α является длина перпендикуляра, проведённого из точки А к плоскости α.

Основываясь на этом определении, получим несколько замечаний. Первым рассмотрим расстояние между параллельными плоскостями.

Рассмотрим параллельные плоскости α и β. В плоскости α отметим две произвольные точки А и B. И проведём перпендикуляры из этих точек к плоскости β.

Мы получили отрезки AA₁ и BB₁. Каждый из них перпендикулярен плоскости β, а значит, АА₁ параллельно BB₁.

Вам уже известно, что отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны.

Можно сказать, что если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

Запишем замечание. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

Хорошим примером может служить расстояние между плоскостями пола и потолка комнаты. Все точки потолка находятся на одинаковом расстоянии от пола, это расстояние и является высотой комнаты.

Рассмотрим следующий случай, расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

В данном случае на прямой нужно выбрать некоторую точку и провести перпендикуляр к плоскости. Ведь понятно, что все точки прямой равноудалены от данной плоскости.

Таким образом, можем записать, что расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Нам осталось рассмотреть две скрещивающиеся прямые. Ранее уже было доказано, что через одну из скрещивающихся прямых можно провести плоскость параллельную другой прямой и притом только одну. А определение расстояния между прямой и плоскостью нам уже известно.

Тогда можно сказать, что расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Решим несколько задач.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Решим ещё одну задачу.

Задача.  перпендикуляр к плоскости,  наклонные к плоскости . ,  см.

Найти расстояние между основаниями наклонных.

Решение.

Ответ. 3 см.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы ввели такие понятия, как «перпендикуляр к плоскости», «наклонная к плоскости», «основание перпендикуляра» и «основание наклонной», а также «проекция наклонной на плоскость».

В ходе решения задач мы доказали, что: если наклонные равны, то равны и их проекции; если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Также мы сформулировали определение понятия расстояния от точки до плоскости.

Расстоянием от точки А до плоскости α является длина перпендикуляра, проведённого из точки А к плоскости α.

Опираясь на это определение, мы сделали следующие замечания.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Все определения и утверждения, с которыми вы познакомились на этом уроке, очень пригодятся в дальнейшем изучении стереометрии.

videouroki.net

§ 3. Расстояние и отклонение точки от плоскости

Пусть – плоскость, заданная уравнениеми– произвольная точка пространства. Тогдарасстояние от точкидо плоскости выражается формулой

(10)

В знаменателе этой дроби стоит длина вектора – нормального вектора плоскостиТаким образом,чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо подставить координаты точки в уравнение плоскости и разделить полученное число на длину нормального вектора; при этом мы получим число, которое может быть отрицательным – в этом случае берём его по абсолютной величине.

Если в формуле (10) убрать знак модуля, то мы получим величину

(11)

называемую отклонением точки от плоскости

Очевидно, и

Замечание. Определённое по формуле (11) отклонение отличается от того отклонения, которое принято в ряде учебников (а именно, еслииесли). Мы будем пользоваться формулой (11).

Геометрический смысл отклонения точки от плоскости точно такой же, как у отклонения точки от прямой на плоскости (см. раздел “Прямая на плоскости”). А именно, отклонение по абсолютной величине равно расстоянию, причём если точканаходится от плоскостипо ту сторону, в которую направлен нормальный векториесли она находится по другую сторону(см. рис. 11).

Рис.11.

Разберём задачи на расстояния и отклонения.

Задача 16. Найти расстояние между плоскостями и

Решение. Плоскости параллельны, так как их нормальные векторы иколлинеарны:Поэтому расстояние между этими плоскостями равно расстоянию от какой-нибудь точки первой плоскости до второй плоскости. Возьмём точку первой плоскости:Тогда

Задача 17. В прямоугольном параллелепипеде Найти расстояние от вершиныдо плоскости

Решение. Введём систему координат с началом как показано на рисунке 12.

Рис.12.

Используя формулу (4), мы можем записать уравнение плоскости “в отрезках”:

(12)

Нам требуется найти расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением (12). Перенесём единицу в левую часть равенства:Применим формулу (10):

Задача 19. Определить, лежит ли точка между плоскостями и

Решение. Обозначим эти плоскости через иТак как плоскости имеют один и тот же нормальный вектор и не совпадают (это видно из уравнений плоскостей), то плоскости параллельны. Вычислим по формуле (11) отклонения:

Так как отклонения одного знака, то точка не лежит между плоскостями (см. рис. 13).

Рис.13.

Задача 20. Даны плоскости и точкиОпределить, точкиилежат внутри одного, смежных или вертикальных углов, образованных плоскостямии

Решение. Вычисляем отклонения:

–

значит, илежат по одну сторону от плоскости

–

значит, илежат по разные стороны от плоскостиОтсюда следует, чтоилежат внутрисмежных двугранных углов.

§ 4. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть – прямая с направляющим вектороми– точка прямой(см. рис. 14).Расстояние от точки до прямойвыражается формулой

(13)

Рис.14.

Пусть – скрещивающиеся прямые,– их направляющие векторы и– какие-либо точки, лежащие на прямыхсоответственно (см. рис. 15).Расстояние между скрещивающимися прямыми можно вычислить по формуле

(14)

Рис.15.

Замечание. Если прямые пересекаются (но не совпадают), то формула (14) к ним также применима и она показывает, что расстояние между прямыми равно 0.По формуле (14) нельзя вычислять расстояния между параллельными прямыми.

Задача 21. Найти расстояние от точки до прямой

Решение. Из уравнения прямой найдём её направляющий вектор и точку: иОтсюдаПо формуле (13) получим:

Задача 22. Найти расстояние между прямыми и

Решение. Обозначим данные прямые иПрямые параллельны, они имеют один и тот же направляющий векторпоэтому формулу (14) применять нельзя. Применим формулу (13), т.е. найдём расстояние от точки одной прямой до другой прямой. Имеем:Отсюдапо формуле (13) получаем:

Задача 23. Найти расстояние между прямыми и

Решение. Обозначим данные прямые иНаправляющий вектор прямойравенПрямаяпараллельна осипоэтому за направляющий вектор этой прямой можно взять векторТак както можно применять формулу (14). В качестве точекэтих прямых возьмёмиПо формуле (14) получаем:

Задача 24. Ребро куба равно Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба.

Решение (см. рис. 16).

Рис.16.

Будем временно считать, что ребро куба равно 1, затем полученную величину умножим на Вычислим расстояние между прямымии(другие диагонали дадут такой же результат). Введём систему координат, как показано на рисунке. Имеем:Направляющие векторыпрямых равны:По формуле (14) получаем:

Следовательно,

Задача 25. Выяснить взаимное расположение плоскостей и

Решение. Нормальные векторы этих плоскостей равны: Вычислим их смешанное произведение:Таким образом, векторыкомпланарны. Так как никакие два из этих векторов не коллинеарны, то возможны следующие варианты взаимного расположения плоскостей (см. рис. 17): (а) плоскости попарно пересекаются по трём параллельным прямым, (б) плоскости проходят через одну прямую.

Рис. 17

Чтобы различить эти две ситуации, решим систему уравнений

Из первого уравнения Подставим во второе:откудаа значит,Подставим в третье уравнение:т.е.что невозможно. Таким образом, система решений не имеет, т.е. плоскости не имеют общей точки, а значит, имеет место случай (а).

Задача 26. Составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от прямых и

Решение. Обозначим данные прямые через иПрямые имеют один и тот же направляющий векторзначит, они параллельны или совпадают. Возьмём по одной точке этих прямых:Так кактои– различные параллельные прямые. Проведём плоскостьчерез прямыеив этой плоскости проведём прямуюпосередине междуиа затем через прямуюпроведём плоскостьперпендикулярную плоскости(см. рис. 18).

Рис. 18

Очевидно, плоскость – это и есть искомое геометрическое место точек, равноудалённых от прямыхиНормальным вектором плоскостиможет служить вектор

Нормальный вектор плоскостиперпендикулярен векторамипоэтому можно взять

В качестве точки плоскости можно взять точку– середину отрезкаИмеем:Подставив в формулу (4), получим:или

studfile.net

Расстояние между плоскостями. Онлайн калькулятор

Страница обновляется. Могут возникнуть ошибки. Спасибо за понимание!

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между плоскостями, введите элементы уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Расстояние между плоскостями − теория

Заметим, сначала, что расстояние между плоскостями определена, если плоскости параллельны или, что то же самое, нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны. Вычисление расстояния между двумя плоскостями можно свести к вычислению расстояния от точки первой плоскости до второй плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости (онлайн калькулятор, теория, примеры) посмотрите на странице Расстояние от точки до плоскости онлайн.

Алгоритм вычисления расстояния между плоскостями содержит следующие шаги:

1. Проверка коллинеарности нормальных векторов плоскостей.
2. Нахождение некоторой точки M₀ на первой плоскости.
3. Вычисление расстояния между точкой M₀ и второй плоскостью.

Выведем формулу вычисления расстояния между плоскостями.

Запишем уравнения двух плоскостей:

1. Проверяем коллинеарность нормальных векторов n₁=(A₁, B₁, C₁) и n₂=(A₂, B₂, C₂).

Очевидно, что нормальные векторы n₁ и n₂ не могут быть нулевыми векторами.Если из пары коэффициентов (A₁,A₂),(B₁,B₂), (C₁,C₂) один нулевой а другой − нет, то нормальные векторы n₁ и n₂ неколлинеарны. Т.е. задача неразрешима.

Пусть A₁≠0, A₂≠0. Уравнение плоскости (2) не изменится, если умножим на A₁/A₂:

Нормальный вектор уравнения (2′) имеет следующий вид:

Для коллинеарности векторов n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) необходимо и достаточно выполнение следующих равенств:

или

Если удовлетворяется условие (3) (или (3′)), то векторы n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) коллинеарны, т.е. плоскости (1) и (2′) (или (1) и (2) ) параллельны. Тогда уравнение плоскости (2′) можно представить так:

где

2. Найдем некоторую точку на плоскости (1).

Легко убедится, что точка

принадлежит плоскости (1):

3. Расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до плоскости (2») вычисляется с помощью выражения (подробнее смотрите на странице расстояние от точки до плоскости):

Подставляя координаты точки M₀ из (4) в (5), получим формулу вычисления расстояния между плоскостями (1) и (2») (или (1) и (2)):

где

Расстояние между плоскостями − примеры и решения

Пример 1. Найти расстояние между плоскостями

и

Решение.

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 1/3.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n=(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости (7) равен n₁=(1, 2, −4), нормальный вектор плоскости (8′) равен n₂=(1, 2, −4). n₁=n₂. Следовательно эти плоскости параллельны.

Найдем расстояние между плоскостями (7) и (8′), используя следующую формулу:

Подставим значения A, B, C, D₁, D₂ в (9):

Упростим и решим:

Ответ. Расстояние между плоскостями равен:

 

Пример 2. Найти расстояние между плоскостями

и

Решение.

Эти плоскости не параллельны, так как коэффициент переменного z уравнения (10) нулевой а коэффициент переменного z уравнения (11)−нет. Невозможно найти расстояние между непараллельными плоскостями.

 

Пример 3. Найти расстояние между плоскостями

и

Решение.

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 4/3.

Нормальный вектор плоскости (12) равен n₁=(4, 2, 8), нормальный вектор плоскости (13′) равен n₂=(4, 16/3, 64/3). n₁≠n₂. Нормальные векторы этих плоскостей неколлинеарны. Тогда эти плоскости не параллельны и, следовательно, задача неразрешима.

matworld.ru

Расстояние от точки до плоскости

Конспект урока

Учитель: Ли Галина Валентиновна

Предмет: геометрия, 10 класс

УМК – Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутусов, С.Б. Кадомцев и др.-М. Просвещение, 2013.

Тема урока: «Расстояние от точки до плоскости »

Цели урока:

• предметные: изучить, систематизировать и закрепить теоретические знания по данной теме и научить применять их при решении задач;

• личностные: вызвать желание  применить приобретенные знания и умения, формировать способность к взаимооценке и самооценке на основе критерия успешной деятельности

• метапредметные: совершенствовать навыки самостоятельной работы, формировать умение работать в парах, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.

Тип урока: урок открытия нового знания

Технологии, используемые на уроке:

• Технология развития критического мышления

• Технология развивающего обучения

• Здоровье сберегающие технологии

Ход урока

Актуализация знаний, целеполагание

Создание кластера «Расстояния в пространстве»

Учащимся предлагается вспомнить основные фигуры в плоскости, что такое расстояние между ними и, как оно измерялось.

Назовите основные фигуры в пространстве.

Расстояния между какими непересекающимися основными фигурами объектами можно рассчитать?

Учитель просит учащихся в группах ( по количеству подтем в кластере) ответить на следующие вопросы:

1. Верите ли вы, что перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости не меньше любой наклонной , проведенной из той же точки к этой плоскости?

2. Верите ли вы, что если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости?

3. Верите ли вы, что если прямая и плоскость параллельны, то не все точки прямой равноудалены от этой плоскости?

4. Верите ли вы, что если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна?

5. Верите ли вы, что если прямые скрещивающиеся, то расстояние между ними равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими данные прямые?

6. Верите ли вы, что если прямые скрещивающиеся, то расстояние между ними равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную к одной из них?

7. Верите ли вы, что если прямые скрещивающиеся, то расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра?

Учащиеся:

1. Основные фигуры в планиметрии: точка, прямая

2. Расстоянием между фигурами называется наименьшее из расстояний между точками этих фигур. Рассматривались объекты, не имеющие общих точек.

3. Измеряли расстояние от прямой до, не лежащей на ней, точке, расстояние между параллельными прямыми.

4. Основные фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость

В процессе мозгового штурма учащиеся сделали предположения о типах задач на вычисление расстояний.

Результаты записали в виде кластера.

Учащиеся высказывают предположения, заполняют таблицу

Поиск путей решения проблемы, коррекция знаний

Учитель просит учащихся найти подтверждение или опровержение утверждений, записанных в таблице

Учитель предлагает группам общее задание:

На основании определения расстояния между скрещивающимися прямыми доказать следующие утверждения:

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими данные прямые.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между проекциями этих прямых на плоскость, перпендикулярную к одной из них.

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми рано длине их общего перпендикуляра.

Каждая группа получает свой текст, готовит презентацию, назначает выступающего.

Группа №1 – «Расстояние от точки до плоскости»

Группа №2 – «Расстояние между параллельными

плоскостями»

Группа №3 – «Расстояние от прямой до параллельной ей

плоскости»

Группа №4 – «Теорема о параллельных плоскостях,

содержащих данные скрещивающиеся

прямые», «Определение расстояния между

скрещивающимися прямыми».

Взаимооценивание: группы оценивают презентацию других групп (максимальный балл 3).

На основе новой информации, полученной в ходе презентаций, решения задач учащиеся вносят исправления в таблицу(если есть необходимость), дополнения в предварительный кластер.

Самостоятельная работа с использованием полученных знаний

Задачи на готовых чертежах.

№1. Дано: ABCD-прямоугольный параллелепипед, АВ=3, ВС=4, А=5.

Найти:

1. расстояние от точки В до плоскости (АD

2. расстояние между плоскостями (АD и (ВС

3. расстояние между прямой АВ и плоскостью (CD

4. расстояние между прямыми АD и В (по определению)

5. расстояние между прямыми С и АВ (способ 1)

6. расстояние между прямыми АС и В (способ 2)

7. расстояние между прямыми и ВС (способ 3)

Учитель проверяет результаты работы групп

Ответ: 1)3; 2)3; 3)4; 4)3; 5)4; 6)2,4; 7)5.

№2. Прямая a перпендикулярна к плоскости α. Построить отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми a и АС.

Ответственный в группе организует работу. Учащиеся обсуждают решение всех задач, записывают ответы.

Решения всех задач озвучиваются.

Самооценивание: по количеству самостоятельно решенных задач (максимум 7 баллов)

Подведение итогов. Рефлексия учебной деятельности

Учитель выводит на экран верно заполненную таблицу, кластер.

Учитель предлагает оценить работу своей группы

Учащиеся оценивают результаты своей работы, задают вопросы, обсуждают свои ошибки.

АНКЕТА: Оцени работу своей группы:

Все ли члены группы принимали участие в работе?

А) Да, все работали одинаково;

Б) Нет, работал только один;

В) кто- то работал больше, кто- то меньше других.

Тебе нравится результат работы группы?

А) Да, всё получилось хорошо;

Б) Нравится, но можно сделать лучше;

В) Нет, не нравится.

4. Оцени свой вклад в работу группы.

А) Почти всё сделали без меня;

Б) Я сделал очень много, без меня работа бы не получилась;

В) Я принимал участие в обсуждении.

Домашнее задание

1. п.19, доработать кластер

2. Задачи на нахождение расстояний

1 уровень: №142, №150

2 уровень: задачи повышенной сложности №156, №158

Учащиеся вправе выбрать уровень задач: базовый или повышенный

infourok.ru

5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми

Видеоурок: Расстояние от точки до плоскости

Лекция: Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояние между параллельными плоскостями

Чтобы найти расстояние от точки до некоторой прямой, необходимо опустить перпендикуляр с заданной точки на прямую и вычислить его длину.

Аналогичным образом находится и расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, который опущен из заданной точки.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, необходимо воспользоваться знаниями о нахождении расстояния от точки до плоскости, поскольку для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо на одной из прямой выбрать точку. После чего опустить перпендикуляр из данной точки до плоскости, в которой находится вторая прямая.

Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, необходимо взять произвольную точку одной прямой и опустить из нее перпендикуляр на другую прямую. Длина этого перпендикуляра и будет расстояние между параллельными прямыми.

Для нахождения расстояния между параллельными плоскостями задача сводится к аналогичной с параллельными прямыми. Для нахождения расстояния между параллельными плоскостями необходимо взять произвольную точку на одной плоскости и опустить их нее перпендикуляр на другую плоскость, а затем найти длину перпендикуляра.

Данный вариант решения поставленной задачи справедлив, поскольку расстояние между аналогичными точками параллельных плоскостей всегда одинаково.

cknow.ru