IV. Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим вектор , где

Тогда разложение по ортам, где

Расстояние между точками А и В равно .значит

расстояние между точками

Частный случай.

Расстояние между точками на плоскости

, где

V. Направляющие косинусы

Направление вектора в пространстве определяется углами которые вектор составляет с осямиOx, Oy, Oz. Косинусы этих углов, т.е. называютсянаправляющими косинусами вектора.

По свойству 1 проекций:

или

Тогда

VI. Условие коллинеарности двух векторов

Для того, чтобы два вектора

ибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны

условие коллинераности векторов.

§6. Скалярное произведение векторов

1. Определение

Опр. Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

. (3.5)

Придадим (3.5) другой вид (по свойству 1 проекций).

проекция на ось, определяемую.

проекция на ось, определяемую.

(3.6)

2. Свойства скалярного произведения

1. Переместительное свойство

Доказательство из определения.

2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя .

3. Распределительное свойство

Пример 6.1. Векторы иобразуют уголЗная, чтовычислить

4. Условие ортогональности векторов

По определению ., еслиили, или

т.е. Пусть и– ненулевые векторы. Тогда

.

Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Пример 6.2. При каком векторыиортогональны, если

Ответ:

3. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Даны два вектора и. Найти

Найдем предварительно скалярное произведение ортов.

Тогда скалярное произведение векторов, заданных координатами.

Если тоусловие перпендикулярности векторов.

4. Угол между векторами в пространстве

По определению , значит

.

Пример 6.3. Даны вершины четырехугольника А(1, -2, 2), В(1, 4, 0), С(-4, 1, 1), D(-5, -5, 3). Вычислить угол между его диагоналями. Ответ:

§7. Векторное произведение векторов

1. Определение

Опр. Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, который определяется следующим образом:

1) модуль вектора

численно равен площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах

2. вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е.,

3. направление вектора таково, что если смотреть с его конца (вдоль вектора), то поворот по кратчайшему пути от векторак векторувиден совершающимся против часовой стрелки.

ориентированы как прав. тройка).

Обозначается: или.

Частные случаи:

2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак

.

Доказательство. ;

2. сочетательное свойство относительно скалярного множителя, т.е. числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.

3. распределительное свойство.

4. Условие коллинеарности векторов.

Векторное произведение равно нуль-вектору, если хотя бы один из перемножаемых векторов нулевой или синус угла между ними равен нулю, т.е. векторы коллинеарны.

Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору

3. Векторное произведение векторов, заданных координатами

Даны два вектора: и.

Найти: .

Предварительно найдем векторное произведение ортов:

a) .

Аналогично

б) 1)

2)

3) с конца поворот откпо кратчайшему пути виден против часовой стрелки;(по свойству 1).

Аналогично:

Тогда Итак,.

Пример 7.1.

Найти: а) б)

Решение. а)

б)

Пример 7.2. Найти , еслиA(0;2;1), B(-1;3;4), C(2;5;2).

Самостоятельно: Деление отрезка в данном отношении.

Даны две точки пространства:и. Разделить отрезокв данном отношенииЭто значит найти на отрезе такую т.М, что (или.

Доказать, что координаты т. вычисляется по формулам:

Частный случай. Деление отрезка пополам.

Координаты середины отрезка:

11

studfile.net

Расстояние между двумя точками.

Навигация по странице:

Определение. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b — x_a;
BC = y_b — y_a.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC² + BC².

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками

Пример вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² = √(6 — (-1))² + (2 — 3)² = √7² + 1² = √50 = 5√2

Ответ: AB = 5√2.

Пример вычисления расстояния между двумя точками в пространстве

Пример 2.

Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² + (z_b — z_a)² =

= √(6 — (-1))² + (2 — 3)² + (-2 — 3)² = √7² + 1² + 5² = √75 = 5√3

Ответ: AB = 5√3.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

1. Расстояние между двумя точками.

Теорема 1. Для любых двух точек иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой:

. (1.1)

Например, если даны точки и, то расстояние между ними:

.

2. Площадь треугольника.

Теорема 2. Для любых точек

, не лежащих на одной прямой, площадь треугольника выражается формулой:

. (1.2)

Например, найдем площадь треугольника, образованного точками ,и.

.

Замечание. Если площадь треугольника равна нулю, это означает, что точки лежат на одной прямой.

3. Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть

–любая точка этого отрезка, отличная от точек концов. Число , определенное равенством, называетсяотношением, в котором точка делит отрезок.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению и данным координатам точек

и найти координаты точки.

Теорема 3. Если точка делит отрезок в отношении

, то координаты этой точки определяются формулами: (1.3), где– координаты точки,– координаты точки.

Следствие: Если – середина отрезка

, где и, то(1.4) (т.к.).

Например. Даны точки и. Найти координаты точки, которая в два раза ближе к, чем к

Решение: Искомая точка делит отрезок

в отношении так как, тогда,, получили

.

Полярные координаты

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки , называемойполюсом, и исходящего из нее луча –полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть – произвольная точка плоскости. Пусть– расстояние от точки

до точки ;– угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом.

Полярными координатами точки называются числаи. При этом числосчитается первой координатой и называетсяполярным радиусом, число – второй координатой и называетсяполярным углом.

Обозначается . Полярный радиус может иметь любое неотрицательное значение:. Обычно считают, что полярный угол изменяется в следующих пределах:. Однако в ряде случаев приходится определять углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.

Будем считать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть – в прямоугольной системе координат и– в полярной системе координат. Определен– прямоугольный треугольник с. Тогда(1.5). Эти формулы выражают прямоугольные координаты через полярные.

С другой стороны, по теореме Пифагора и

(1.6) – эти формулы, выражают полярные координаты через прямоугольные.

Заметим, что формула определяет два значения полярного угла, так как. Из этих двух значений углавыбирают тот, при котором удовлетворяются равенства.

Например, найдем полярные координаты точки ..или, т.к.I четверти.

Пример 1: Найти точку, симметричную точке

относительно биссектрисы первого координатного угла.

Решение:

Проведем через точку А прямую l₁, перпендикулярную биссектрисе l первого координатного угла. Пусть . На прямой l₁ отложим отрезок СА₁, равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники АСО и А₁СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |ОА| = |OA₁|. Треугольники ADO и ОЕА₁ также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что |AD| = |ОЕ| = 4, |OD| = |EA₁| = 2, т.е. точка имеет координаты х = 4, у = -2, т.е. А₁(4;-2).

Отметим, что имеет место общее утверждение: точка A₁, симметричная точке относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, имеет координаты , то есть.

Пример 2: Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки и , пересечет ось Ох.

Решение:

Координаты искомой точки С есть (x; 0). А так как точки А, В и С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие (x₂-x₁)(y₃-y₁)-(x₃-x₁)(y₂-y₁)=0 (формула (1.2), площадь треугольника ABC равна нулю!), где – координаты точки А, – точкиВ, – точкиС. Получаем , т.е., , . Следовательно, точка С имеет координаты ,, т.е..

Пример 3: В полярной системе координат заданы точки ,. Найти: а) расстояние между точками и ; б) площадь треугольника ОМ₁М₂ (О – полюс).

Решение:

а) Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):

,

то есть, .

б) пользуясь формулой для площади треугольника со сторонами а и b и углом между ними (), находим площадь треугольника ОМ₁М₂. .

studfile.net

5.6.2 Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Видеоурок: Формула расстояния между двумя точками

Лекция: Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Расстояние между двумя точками

Для нахождения расстояния между двумя точками на прямой в предыдущем вопросе мы использовали формулу d = х₂ – х_1.

Но, что касается плоскости, дела обстоят иначе. Не достаточно просто найти разность координат. Для нахождения расстояния между точками по их координатам следует воспользоваться следующей формулой:

Например, если у Вас имеются две точки с некоторыми координатами, то найти расстояние между ними можно следующим образом:

А (4;-1), В (-4;6):

АВ = ((4 + 4)² + (-1 – 6)²)^1/2 ≈ 10,6.

То есть для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости необходимо найти корень из суммы квадратов разностей координат.

Если необходимо найти расстояние между двумя точками на плоскости, следует воспользоваться аналогичной формулой с дополнительной координатой:

Уравнение сферы

Для задания сферы в пространстве следует знать координаты её центра, а также её радиус, чтобы воспользоваться следующей формулой:

 

Данное уравнение соответствует сфере, центр которой находится в начале координат.

Если же центр сферы сдвинут на некоторое количество единиц по осям, то следует воспользоваться следующей формулой:

cknow.ru

Расстояние между двумя точками.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(

  x_a

  , 

  y_a

  ) и B(

  x_b

  , 

  y_b

  ) на плоскости:AB = √
  
• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(

  x_a

  , 

  y_a

  , 

  z_a

  ) и B(

  x_b

  , 

  y_b

  , 

  z_b

  ) в пространстве:AB = √(

  x_b

  —

  x_a

  )² + (

  y_b

  —

  y_a

  )² + (

  z_b

  —

  z_a

  )²

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC =

x_b — x_b

;
BC =

y_b — y_b

.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √

AC² + BC²

.

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Пример вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Пример 1. Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).

Решение.

AB = √ = √

(6 — (-1))² + (2 — 3)²

= √

7² + 1²

= √

50

= 5√

2

Ответ: AB = 5√

2

.

Пример вычисления расстояния между двумя точками в пространстве

Пример 2. Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).

Решение.

AB = √(

x_b

—

x_a

)² + (

y_b

—

y_a

)² + (

z_b

—

z_a

)² =

= √

(6 — (-1))² + (2 — 3)² + (-2 — 3)²

= √

7² + 1² + 5²

= √

75

= 5√

3

Ответ: AB = 5√

3

.

o-math.com

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = {m; n; p} — направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) — точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = {m; n; p} — направляющий вектор прямой и M₁(x₁, y₁, z₁) — координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

S = |M₀M₁×s|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

S = |s|d.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.

Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

Пример 1.

Найти расстояние между точкой M(0, 2, 3) и прямой

x — 3	=	y — 1	=	z + 1
2		1		2

Решение.

Из уравнения прямой получим:

s = {2; 1; 2} — направляющий вектор прямой;
M₁(3; 1; -1) — точка лежащая на прямой.

Тогда

M₀M₁ = {3 — 0; 1 — 2; -1 — 3} = {3; -1; -4}

M0M1×s =	i	j	k	=
	3	-1	-4
	2	1	2

= i ((-1)·2 — (-4)·1) — j (3·2 — (-4)·2) + k (3·1 -(-1)·2) = {2; -14; 5}

d = |M₀M₁×s||s| = √2² + (-14)² + 5²√2² + 1² + 2² = √225√9 = 153 = 5

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.

ru.onlinemschool.com

Урок «Расстояние между точками в пространстве»

КАЛИНИНА ВЕРА НИКОЛАЕВНА

преподаватель математики

ГККП «Рубежинский колледж»

Западно-Казахстанская область,

Зеленовский район, с.Рубежинское

Урок математики

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ

Цель урока — научить решать задачи на нахождение расстояния между точками, координат середины отрезка

Задачи урока:

образовательные: вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка, научить применять формулы при решении задач

развивающие: развитие памяти, математической речи, наблюдательности, развитие графических навыков у учащихся.

воспитательные: формирование чувства ответственности, аккуратности при выполнении заданий

Материальное обеспечение урока: тексты для индивидуальной работы

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний

Методы, используемые на уроке — практический

Межпредметные связи: путь, перемещение в физике

Ход урока

Организационно- психологический настрой на урок

Разминка

*Ряд чисел расположен по определенному закону. Найдите следующее число: 1; 2; 6; 24; 120; …

А) 500 В) 720 С) 900 D) 1840 Е) 600

*Если «85» = 6425, «92» = 814, «31» = 91, «17» = 149, тогда «37» = ?

А) 949 В) 349 С) 914 D) 99 Е) 74

Мотивация

Актуализация знаний

1. Как вводится декартова система координат? Из чего она состоит?

2. Как определяются координаты точки в пространстве?

3. Чуму равна координата начала координат?

Построить точку с заданными координатами А (2; — 3).

Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3 ).

Рассмотреть построение на доске. Работа по карточкам (2 человека у доски)

Формирование новых понятий и способов действий

На основе известного вам материала мы с вами заполним таблицу. Сделаем сравнительную характеристику.

Расстояние между точками	Расстояние между точками. d = v (х2 — х1 )? + (у2 — у1 )? + (z2 – z1 )
Координаты середины отрезка.	Координаты середины отрезка.

1. Запишите формулу расстояния между точками на плоскости.

2. Как бы вы записали формулу расстояния между точками в пространстве?

Работа по карточкам 2 человека у доски.

Найти длину отрезка:

1. А (1;2;3;) и В (-1; 0; 5)

2. А (1;2;3) и В (х; 2 ;-3)

3. Устно. Найдите координаты точки М — середины отрезка

А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0)

Формирование умений и навыков

Найти периметр треугольника АВС, если А(4;4;-1) В(7;8;-1) С(-4;4;-1)

Учебник, стр 68

№1

№3- какая из точек ближе к началу координат расположена

Дополнительно- №7

Домашнее задание: §20, № 3

Итоги урока

Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

multiurok.ru