Расстояние от точки до прямой на плоскости — Википедия

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.

Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.

Прямая задана уравнением[править | править код]

Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (

x₀,y₀) равно ^[1]

distance⁡(ax+by+c=0,(x0,y0))=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Точка на прямой, наиболее близкая к (x₀,y₀), имеет координаты ^[2]

x=b(bx0−ay0)−aca2+b2{\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}} и y=a(−bx0+ay0)−bca2+b2.{\displaystyle y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}

Горизонтальные и вертикальные прямые

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b ≠ 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = —c/b. Расстояние от (x₀, y₀) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y₀ — (-c/b)| = |by₀ + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax₀ + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида

xcos⁡α+ysin⁡α−p=0{\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0}

Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на a2+b2{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}. Тогда расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле ^[3][4]

|d|=|x0cos⁡α+y0sin⁡α−p|{\displaystyle |d|=|x_{0}\cos \alpha +y_{0}\sin \alpha -p|}

Прямая задана двумя точками[править | править код]

Если прямая проходит через две точки P₁=(x₁,y₁) и P₂=(x₂,y₂), то расстояние от (x₀,y₀) до прямой равно:

distance⁡(P1,P2,(x0,y0))=|(y2−y1)x0−(x2−x1)y0+x2y1−y2x1|(y2−y1)2+(x2−x1)2.{\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}

Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P₁ и P₂. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x₀,y₀), P₁ и P₂ (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно h=2Ab{\textstyle h={\frac {2A}{b}}}, что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: A=12bh{\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}, где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.

Алгебраическое доказательство[править | править код]

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон —a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x₀, y₀). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что

y0−nx0−m=ba.{\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}

Таким образом, a(y0−n)−b(x0−m)=0,{\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,} и после возведения в квадрат получим:

a2(y0−n)2+b2(x0−m)2=2ab(y0−n)(x0−m).{\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}

Рассмотрим,

(a(x0−m)+b(y0−n))2=a2(x0−m)2+2ab(y0−n)(x0−m)+b2(y0−n)2=(a2+b2)((x0−m)2+(y0−n)2){\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})}

Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но

(a(x0−m)+b(y0−n))2=(ax0+by0−am−bn)2=(ax0+by0+c)2{\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}},

так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,

(a2+b2)((x0−m)2+(y0−n)2)=(ax0+by0+c)2{\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}

Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:

d=(x0−m)2+(y0−n)2=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.} ^[5].

Геометрическое доказательство[править | править код]

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт^[6] не упомянули это ограничение в своей статье.

Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x₀, y₀) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен —A/B.

Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая)^[7]. Выпишем отношения сторон этих треугольников:

|PR¯||PS¯|=|TV¯||TU¯|.{\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}

Если точка S имеет координаты (x₀,m), то |PS| = |y₀ — m| и расстояние от P до прямой равно:

|PR¯|=|y0−m||B|A2+B2.{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

m=−Ax0−CB,{\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}

и получаем: ^[6]

|PR¯|=|Ax0+By0+C|A2+B2.{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим D|TU¯|=|VU¯||VT¯|{\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}, где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить |TU¯|{\displaystyle |{\overline {TU}}|}, |VU¯|{\displaystyle |{\overline {VU}}|} и |VT¯|{\displaystyle |{\overline {VT}}|}в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.

Доказательство с помощью проекции вектора[править | править код]

Пусть P — точка с координатами (x₀, y₀) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x₁, y₁) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции QP→{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}} на n. Длина этой проекции равна:

d=|QP→⋅n|‖n‖.{\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}

Теперь

QP→=(x0−x1,y0−y1),{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),} так что QP→⋅n=a(x0−x1)+b(y0−y1){\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})} и ‖n‖=a2+b2.{\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}

Тогда

d=|a(x0−x1)+b(y0−y1)|a2+b2.{\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Поскольку Q лежит на прямой, c=−ax1−by1{\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}, а тогда ^[8][9][10]

d=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.

Пусть точка P задана координатами (x0,y0{\displaystyle x_{0},y_{0}}). Пусть прямая задана уравнением y=mx+k{\displaystyle y=mx+k}. Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением y=x0−xm+y0{\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}.

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:

mx+k=x0−xm+y0.{\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}

Мы можем решить это уравнение по x,

x=x0+my0−mkm2+1.{\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}

Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,

y=m(x0+my0−mk)m2+1+k.{\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}

Подставив полученные значения в формулу расстояния d=(X2−X1)2+(Y2−Y1)2{\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}, получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:

d=(x0+my0−mkm2+1−x0)2+(mx0+my0−mkm2+1+k−y0)2.{\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}.}

Если заметить, что m = —a/b и k = —c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение^[2].

Иллюстрация формулировки с помощью векторов.

Запишем прямую в векторном виде:

x=a+tn{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} },

где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.

Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой

distance⁡(x=a+tn,p)=‖(a−p)−((a−p)⋅n)n‖.{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}

Эта формула геометрически строится следующим образом: a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда (a−p)⋅n{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} } — это длина проекции на прямую, а тогда

((a−p)⋅n)n{\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }

— это вектор, являющийся проекцией a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } на прямую. Тогда

(a−p)−((a−p)⋅n)n{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }

является компонентой вектора a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }, перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора^[11]. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.

Другая формулировка с помощью векторов[править | править код]

Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет вектор направления^[en] u→{\displaystyle {\vec {u}}}, то расстояние от точки A до прямой (d) равно

d(A,(d))=‖BA→∧u→‖‖u→‖{\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}},

где BA→∧u→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}} — векторное произведение векторов BA→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}} и u→{\displaystyle {\vec {u}}}, а ‖u→‖{\displaystyle \|{\vec {u}}\|} — норма вектора u→{\displaystyle {\vec {u}}}.

1. ↑ Larson, Hostetler, 2007, p. 452.
2. ↑ ^{1 2} Larson, Hostetler, 2007, p. 522.
3. ↑ Привалов, 1966, с. 67.
4. ↑ Делоне, Райков, 1948, с. 195.
5. ↑ Laudanski, 2014.
6. ↑ ^{1 2} Ballantine, Jerbert, 1952, с. 242–243.
7. ↑ Если два треугольника окажутся по разные стороны от исходной прямой, эти углы будут накрест лежащими, а потому опять равными.
8. ↑ Anton, 1994, с. 138-9.
9. ↑ Федотов, Карпов, 2005, с. 86.
10. ↑ Моденов, 1967, с. 152.
11. ↑ Sunday, Dan. Lines and Distance of a Point to a Line (неопр.). // softSurfer. Дата обращения 6 декабря 2013.

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. . Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
• Моденов П. С. . Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
• Привалов И. И. . Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
• Федотов А. Г., Карпов Б. В. . Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
• Anton H. . Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
• Ballantine J. P., Jerbert A. R.  Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — DOI:10.2307/2306514.
• Larson R., Hostetler R. .
  Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
• Laudański L. M. . Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.

ru.wikipedia.org

Графические методы решения задач с параметрами. Расстояние между точками.

Графические способы решения задач с параметрами. Формула расстояния между двумя точками на плоскости.

            В данном материале будет рассмотрен один из очень красивых геометрических методов решения задач с параметрами – метод расстояний. А именно – применение формулы расстояния между двумя точками прямоугольной декартовой системы координат OXY.

        Выводится она довольно просто.

        Пусть на плоскости OXY заданы две точки А(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) (см. рисунок). И наша задача — определить расстояние между этими точками. Или длину отрезка АВ.

        Как видно из рисунка, отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВС с катетами АС и ВС. Их длины равны разности абсцисс и ординат концов А и В отрезка АВ:

        Модули ставятся для того, чтобы было неважно, как именно ориентирован наш отрезок и какая из координат больше – первая или вторая: модуль просто отсекает возможный минус, если, вдруг, скажем, х₂ окажется меньше, чем х₁. Ведь длина отрезка, очевидно, величина неотрицательная.

        Теперь, призвав на помощь тяжёлую артиллерию великую и могучую теорему Пифагора, получим наше искомое расстояние:

        .

        Поскольку как квадрат, так и модуль обладают одним весьма удобным и замечательным свойством – чётностью, то модули под корнем можно совершенно спокойно и без последствий заменить на обычные скобки.  🙂

        Итого:

        

 

        Вот такая полезная формула. Что ж, на этом краткая теоретическая часть закончена. Пора теперь посмотреть, как именно эта формула работает на примере некоторых задач с параметрами из профильного ЕГЭ по математике.

 

        Пример 1

        

       

        Иными словами, от нас требуется найти такие а, при которых система имеет решение в принципе. Хотя бы одно. Ни сами решения, ни их количество находить при этом не нужно.

        Проанализируем наши уравнения.

        Первое уравнение представляет собой сумму квадратных корней из выражений с двумя переменными. Обычно, как только ученик видит уравнение с квадратными корнями, первое что приходит в голову, – срочно возвести обе части в квадрат!) Однако, традиционный «лобовой» способ решения путём возведения в квадрат обеих частей уравнения здесь вряд ли приведёт к чему-либо хорошему. А вы возведите! После первого возведения – да, квадраты обоих корней дадут просто подкоренные выражения, но… согласно бескомпромиссной формуле квадрата суммы (a+b

)²=a²+2ab+b², выплывет удвоенное произведение слагаемых, где корни сохранятся! Что потребует возводить в квадрат повторно… И в результате полной ликвидации корней у вас получится уравнение аж четвёртой степени, да ещё и с иксом и игреком… Короче, ужас!

        Нет, надо идти каким-то обходным путём. Каким же?

        В данном примере как раз таки здорово выручает формула расстояния между двумя точками на плоскости. Давайте присмотримся к первому уравнению системы:

        .

        Каждый из корней, фигурирующих в уравнении, очень похож на формулу расстояния между некими точками. Это намёк.) Займёмся расшифровкой каждого корня.

        Сопоставим первый корень с выведенной только что формулой расстояния:

        

        .

        Просто присматриваемся к этим двум корням и сравниваем. Похожи ведь, правда? Тогда, согласно нашей формуле расстояния, можно принять:

        x₁ = 4; 

        x₂ = x;

        y₁ = a; 

        y₂ = y.

        Значит, первый корень – это на самом деле расстояние от точки  (4; a) до точки (x; y).

        Аналогично сопоставив с формулой второй корень, увидим, что он тоже представляет собой расстояние от точки (7; a) опять же до точки (x; y).

        А теперь переведём первое уравнение с алгебраического языка (языка формул) на геометрический (язык расстояний).

        Алгебра:

         

        Геометрия:

        Сумма расстояний от точки (x; y) до точек (4; a) и (7; a) равна трём.

        Для наглядности нарисуем картинку, чтобы представлять, а чего, собственно, от нас хотят.)

 

        Значит, согласно рисунку, с геометрической точки зрения первое уравнение системы выглядит так:

        AC + BC = 3,

где точки А и В зафиксированы (для конкретного значения параметра), а третья точка С как-то «гуляет» по координатной плоскости.

        Вообще говоря, множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек постоянна и равна некому положительному числу, представляет собой замкнутую кривую, которая называется красивым словом эллипс, а данные фиксированные точки являются

фокусами эллипса. Но проблема состоит в том, что понятие эллипса не входит в школьную программу (зачастую даже физико-математических классов), а изучается уже в ВУЗе в курсе аналитической геометрии.) Так как же обойти это незнакомое (пока) понятие? Может, в данной (и подобных этой) задаче всё гораздо проще?

        Вынужден признаться. Да, всё гораздо проще!

        Дело всё в том, что понятие эллипса справедливо только в том случае, если эта самая сумма расстояний будет больше расстояния между самими фиксированными точками. Если же сумма расстояний от точки С(x; y)  до двух фиксированных точек (в данном случае A и B) точно равна расстоянию AB между ними, то точка С(x; y) обязательно будет лежать на отрезке AB, и никакого эллипса уже не будет, а будет просто отрезок AB с «гуляющей» по нему третьей точкой.

        Давайте посмотрим, чему же равно расстояние между нашими фиксированными точками:

        .

        Итак, длина отрезка АВ в точности получилась равной трём, как и правая часть уравнения. Это не случайно!) Что это означает? Это означает то, что наша точка С(x; y) обязательно лежит на отрезке AB и как-то по нему гуляет.) И только на отрезке! Ведь в противном случае, если бы точка С лежала где-то за его пределами (скажем, где-то выше или где-то ниже), то сумма расстояний от неё до концов отрезка АВ была бы строго больше тройки, что противоречило бы первому уравнению.

        Что ещё важного можно заметить в данном уравнении и на рисунке? А то, что при любом значении параметра «а» игрековые координаты А и В концов нашего отрезка совпадают (обе равны а). Это означает, что в любом случае наш отрезок АВ будет строго горизонтален (то бишь, параллелен оси ОХ), а его концы, в зависимости от значения параметра, будут как бы скользить вдоль направляющих прямых x=4 и x=7 (поскольку абсциссы его концов никак не зависят от «а», оставаясь всё время равными 4 и 7).

        Итак, первое уравнение разложили по полочкам, переходим ко второму.

        

        Вот тут возведение обеих частей в квадрат вполне прокатит. Возводим:

        Ну как, знакомо? Да, это классическое уравнение окружности с центром в точке (3;2) и радиусом 5.

        Кстати сказать, а как понять, что второе уравнение задаёт именно окружность не через возведение в квадрат, а через расстояние между точками? Снова переводим второе уравнение с алгебры на геометрию, используя нашу формулу расстояния.

        Алгебра:

         

        Геометрия:

        Расстояние от точки (x;y) до точки (3;2) равно пяти.

 

        А что же это за множество точек, находящихся от фиксированной точки (3;2) на расстоянии 5? Ну, конечно! Окружность радиуса 5 с центром в данной точке. 🙂

        Что ж, у нас уже имеется всё необходимое, чтобы нарисовать общий чертёж к задаче. Поехали!

        1) Итак, сначала, как водится, чертим координатные оси X и Y.

        2) Проводим пунктиром вспомогательные вертикальные прямые x=4 и x=7. Вдоль этих прямых, в зависимости от параметра «а», будет скользить наш отрезок АВ, всё время оставаясь горизонтальным. Как вагонная ось катится по рельсам.))

        3) Отмечаем точку (3; 2) – центр нашей окружности.

        4) Собственно, рисуем саму окружность с центром в данной точке и радиусом – пятёрка.

        5) Готово! Что в конечном итоге получилось – смотрим рисунок ниже.

       

        А теперь пора рассуждать и включать воображение.) В задаче от нас требуется, чтобы система имела хотя бы одно решение. Что это означает с точки зрения нашего рисунка? А то, что наши отрезок (первое уравнение) и окружность (второе уравнение) должны иметь хотя бы одну общую точку. Когда такое возможно?

        Пусть при каком-то конкретном сильно отрицательном (например, -6) значении параметра а наш отрезок АВ (синего цвета) лежит где-то внизу и пока что вообще не пересекает окружность. Теперь мысленно начинаем двигать отрезок вверх по нашим «рельсам».)

        Имеем четыре граничные ситуации.

        Первое граничное положение отрезка, которое нас устроит, – когда его левый конец совпадёт с точкой М окружности (а = а₁). И пересечение отрезка с окружностью будет до того момента, пока его правый конец не совпадёт с точкой N (а = а₂). То есть, хотя бы одно (и единственное!) решение системы будет при таких а, когда отрезок пересекается с дугой MN окружности (показана зелёным цветом).

        Двигаем отрезок вверх дальше. При a > a₂ отрезок оказывается целиком внутри окружности и, следовательно, решений у нашей системы снова нет. И следующие два граничных положения – момент, когда правый конец попадает в точку L (a = a₃) и момент, когда левый конец попадает в точку K (a = a₄). И пересечение будет тогда, когда отрезок находится между этими крайними положениями, пересекая уже верхнюю дугу KL. Все граничные положения отрезка показаны красным цветом. При дальнейшем движении отрезка вверх (то есть росте параметра «а») пересечений (а, следовательно, и решений системы) больше не будет.

        Итак, можно даже составить заготовку для будущего ответа:

.

        Причём граничные значения параметра а нас тоже устраивают, посему все скобки квадратные.

        Что ж, остаются сущие пустяки – определить эти самые граничные значения параметра.)

        Начнём с левого конца отрезка. То есть, точки А(4; a). Подставим координаты точки А в уравнение окружности (ведь мы же как раз отлавливаем пересечение отрезка с окружностью!):

        

        

        Получили два значения параметра. Очевидно, знак минус соответствует крайнему нижнему положению отрезка при a = a₁, а знак плюс – крайнему верхнему при а = а₄. Таким образом,

        Аналогично расправляемся и с правым концом – с точкой B(7; a):

        

        То есть,

        

       Итак, а₂ = -1;  a₃ = 5.

          Всё! Все интересующие нас значения параметра найдены, и теперь можно с чистой совестью записывать окончательный ответ.)

        Ответ:

        .

       

        В рассмотренном примере формула расстояния между точками была подана на блюдечке прослеживалась довольно явно. А вот следующий пример будет гораздо сложнее. Там, во-первых, в нагрузку добавятся модули, а во-вторых, потребуются дополнительные преобразования. Но ничего, мы тоже его распутаем.)

        Итак, приступим!

 

        Пример 2

        

        Во, накрутили… Сумма корней, под корнями модули… Кошмар!

        Как здесь можно узнать формулу расстояния между точками? Ясно, что надо как-то преобразовывать и приводить к красивому виду первое уравнение.

 

        Посмотрим, что получается под первым корнем. Раскроем скобки:

        

        Здесь мы воспользовались тем фактом, что и квадрат и модуль – функции чётные, а значит, x² и |x|² — одно и то же, поэтому без ущерба для здоровья мы заменили выражение x² на |x|², что позволило свернуть выражение с иксом по формуле квадрата суммы.

 

        А вот второй корень сразу так красиво преобразовать не выйдет: ведь там у нас совсем нет икса в квадрате, а вместо этого затесался параметр а, да ещё и игрек в первой степени. Чтобы избавиться от а и y, воспользуемся вторым уравнением и подставим в первое уравнение вместо y выражение x²+a:

        Вот так. И теперь первое уравнение системы стало выглядеть гораздо симпатичнее:

        

        Уже потихоньку вырисовывается нечто знакомое, правда? Что делать дальше? Ясно, что надо раскрывать модули. Лучше, когда их нет.) Давайте начнём с первого корня, то есть с икса.

 

        Если x≥0, то модуль раскрывается с плюсом (|x| = x), и тогда

        Таким образом, если x≥0, то первый корень представляет собой расстояние между точками (x; y) и (3; 0). С какой такой стати? Элементарно!

        Ведь можно же записать данное выражение вот так:

        

 

        Аналогично, если x<0, то наш модуль раскрывается с минусом (|x| = —x), и тогда

        

 

        Точно так же, раскрывая модуль игрека во втором радикале, получим:

        

        

 

        Значит, первое уравнение нашей системы разбивается на четыре случая раскрытия модулей:

        

        

        

        

 

        Каждое из полученных четырёх уравнений выражает сумму расстояний от неких двух фиксированных точек плоскости ОXY до точки (x; y), «гуляющей» где-то по плоскости. И эта сумма расстояний у нас постоянна и равна пяти.

        Здесь опять таки не будем выпендриваться и сделаем вид, что понятия не имеем про эллипс, а вместо этого снова посчитаем расстояния между точками.)

        Для этого изобразим все наши точки на координатой плоскости и соединим их отрезками. Это будут точки A(0; 4), B(3; 0), C(0; -4) и D(-3; 0). Вот наша картинка:

        Теперь подробно рассмотрим, к примеру, первый случай:

        

        Он представляет собой сумму расстояний от точки (x; y) до точек A и B.

Вычислим длину отрезка АВ из треугольника AOB:

        Получили в точности пятёрку. То есть, длину отрезка AB! Что это означает? Это означает, что наша точка  с координатами (x; y) обязательно лежит на отрезке АВ и как-то по нему гуляет! Таким же образом доказывается, что и в остальных трёх случаях точка (x; y) лежит на соответствующем отрезке. Итак, множество точек, описывающих первое уравнение системы, – ромб ABCD со стороной 5. Каждая сторона ромба отвечает за свой случай раскрытия модулей.

 

        А вот второе уравнение нашей системы – обычная парабола y = x² с вершиной в точке (0; a), гуляющая вверх-вниз вдоль оси игреков в зависимости от параметра. Вот наша картинка:

 

        А теперь (внимание!) начинаем двигать нашу параболу снизу вверх вдоль оси OY, меняя тем самым параметр а!

 

        Тогда видно, что, если вершина находится где-то совсем низко, то пересечений у параболы и ромба вообще не будет. Первый граничный случай соответствует a = -9, когда ветви параболы проходят через точки B и D ромба (показан чёрным цветом). В этом случае решений будет два. Как только вершина параболы сместится чуть выше -9, то каждая её ветвь пересечёт по две стороны ромба, и решений станет уже четыре – как раз то что нам и нужно. И так будет продолжаться до тех пор, пока вершина параболы не окажется в точке С (синий цвет), то есть, а = -4, когда решений станет пять.

        Таким образом, первая часть ответа будет такая:

        .

        Сами границы нас не устраивают и в ответ, естественно, не включаются.

 

        Но… Это ещё не всё!) Продолжим дальше двигать вверх по оси ОY нашу параболу. Когда вершина окажется чуть выше точки С, то пересечений станет уже шесть: по два с нижними сторонами ромба и по одному с верхними. И так будет до тех пор, пока ветви параболы не станут касаться сторон CD и CB ромба (красный цвет). В случае касания решений снова станет четыре, что от нас и требуется. И это значение параметра а, при котором парабола касается нижних сторон ромба, теперь нам и предстоит «отловить».)

 

        На помощь придёт такой мощный инструмент, как производная. В силу симметрии картинки, рассматривать будем только правую ветвь параболы. Итак, пусть наша красная парабола касается нижнего отрезка ромба СВ в какой-то точке М.

 

        Уравнение прямой, задающей отрезок СВ, будет

        

        поскольку тангенс угла наклона прямой CB к оси ОХ равен:

        Уравнение нашей параболы будет y = x² + a. Мы не знаем пока, чему равно «а», но зато твёрдо знаем, что отрезок CB её касается, а значит, производная нашей параболы в точке касания M должна быть равна 4/3.

        Вычислим эту самую производную:

        (x²+a)’ = (x²)’ + a’ = 2x

        Тогда 2x = 4/3 и тогда x = 2/3 — абсцисса точки касания M.

        Поскольку точка M лежит на отрезке CB, то её координаты обязательно удовлетворяют уравнению этого отрезка:

Значит, координаты нашей точки касания следующие:

 

        Но! Точка M принадлежит не только отрезку, но ещё и параболе! Поэтому, подставив координаты точки M в уравнение параболы, мы теперь уже без труда найдём интересующее нас значение а:

        Вот теперь всё. Все характерные положения параболы представлены на картинке.

        Легко видеть, что при дальнейшем росте параметра а четырёх решений уже не будет, а будет либо два, либо одно, либо ни одного.

 

        Кстати сказать, а можно ли в данной ситуации обойтись без производной? Уж больно напряжно с ней возиться, как правило…

        Что ж, специально для разумных халявщиков предлагаю способ-лайт.) Но, следует предупредить, что он срабатывает только в случае каких-нибудь простеньких графиков – в основном для параболы. В случае более сложных функций способ с производной – самый надёжный.)

        Итак, нам требуется отыскать значение параметра, при котором происходит касание прямой

        и параболы

        .

Что означает сей факт с алгебраической точки зрения? Только то, что уравнение

        имеет строго один корень! То есть, дискриминант получившегося квадратного уравнения обязан быть равен нулю!

 

        Что ж, остаётся только привести наше уравнение к стандартному виду, посчитать дискриминант да приравнять его к нулю.) Действуем:

        Как и следовало ожидать, результат получился тем же самым.)

 

        Ответ:

 

        Заключение: если в примере предложено какое-то зверское на вид уравнение или неравенство с корнями, но подкоренные выражения представляют собой какие-то квадратичные конструкции от x и y вида 

то ни в коем случае не возводим обе части в квадрат с целью избавиться от корней и не тратим своё время! Вместо этого пробуем выделить полные квадраты под корнями по каждой из переменных.

 

        Очень часто в таких конструкциях срабатывает именно формула расстояния между двумя точками, что значительно упрощает дальнейшее решение примера и тем самым открывает дорогу к успеху.

 

        Заметим, что данный приём работает только тогда, когда наше подкоренное выражение именно такого вида – то есть, переменные под корнем стоят в квадрате и в первой степени (а не в кубе или более высоких степенях) и именно сами по себе, без попарных произведений xy . Если данное требование не выполняется, и под корнем затесалось, скажем, ещё и произведение xy, то либо его надо на что-то заменять (скажем, если оно выражается из второго уравнения), либо данный пример решается как-то по-другому.

 

        Успехов!

abudnikov.ru

Формула расстояния от точки до прямой

Формула расстояния d от точки M(x_o;y_o) до прямой ax+by+c=0:

   

Доказательство:

Пусть N(x₁;y₁) — основание перпендикуляра, опущенного из точки M(x_o;y_o) на прямую ax+by+c=0.

Найдём угловой коэффициент прямой ax+by+c=0:

   

Из условия перпендикулярности прямых угловой коэффициент прямой MN

   

то есть уравнение прямой MN имеет вид

   

Так как точка M(x_o;y_o) принадлежит этой прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению:

   

   

Так как N(x₁;y₁) принадлежит этой прямой, то её координаты также удовлетворяют этому уравнению:

   

Отсюда

   

Обозначим

   

тогда

   

По формуле расстояния между точками

   

Таким образом,

   

   

Подставим x₁ и y₁ в уравнение ax+by+c=0:

   

откуда

   

   

   

Подставим найденное значение q в равенство

   

   

и после сокращения — окончательный вариант:

   

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Определение расстояний на поверхности Земли

Определение расстояний на поверхности Земли Размеры и форма Земли Форма Земли отличается от шара и имеет несколько сплющенную форму, близкую к сфероиду (эллипсоиду вращения), но истинная фигура Земли отличается и от сфероида, и от трехосного эллипсоида и не может быть представлена ни одной из известных математических фигур. Поэтому, говоря о фигуре Земли, имеют в виду не физическую форму земной поверхности, с океанами и материками, с их возвышенностями и впадинами, а так называемую поверхность геоида. Поверхность, нормалями к которой в любой из ее точек являются отвесные линии, называется уровенной поверхностью, или поверхностью равновесия. Уровенных поверхностей, как внутри Земли, так и охватывающих земную поверхность, или пересекающихся с ней, можно провести бесчисленное множество. Та поверхность равновесия, которая совпадает в открытом океане с поверхностью покоящейся свободной воды, называется геоидом. Для решения многих задач навигации и составления карт мелкого масштаба Землю принимают за сферу (шар). Положение точки па земной сфере определяется сферическими координатами: сферической широтой и сферической долготой (в картографии применяют термин «географические координаты«). Сферическая широта точки А — угол φА между плоскостью экватора и направлением R на данную точку из центра земной сферы. Сферическая долгота точки А — угол λА, заключенный между плоскостью нулевого (Гринвичского) меридиана и плоскостью меридиана данной точки. Средний радиус Земли R = 6371210 м. Экваториальный радиус Земли RЭ = 6378,245 м. Полярный радиус Земли RП = 6356,830 м. Длина дуги меридиана (дуги экватора, дуги окружности большого круга) в 1°, 1′ и 1″ равна соответственно: 111 197 м (111,2 км), 1852 м (1,852 км) и 30,9 м.     Законы сферической тригонометрии позволяют рассчитывать расстояния между точками, расположенными на сфере. Кратчайшее расстояние между двумя точками на земной поверхности (если принять ее за сферу) определяется зависимостью: cos(d) = sin(φА)·sin(φB) + cos(φА)·cos(φB)·cos(λА − λB), где φА и φB — широты, λА, λB — долготы данных пунктов, d — расстояние между пунктами, измеряемое в радианах длиной дуги большого круга земного шара. Расстояние между пунктами, измеряемое в километрах, определяется по формуле: L = d·R, где R = 6371 км — средний радиус земного шара.   Таблица расстояний (с точностью 1 км), рассчитанными по этим формулам, для пунктов Эвенкийского автономного округа (Эвенкийского муниципального района):   уточнения внесены 25.03.2010 Тура Байкит Ванавара Красноярск 1007 662 738 Агата 426     Географический центр РФ, Виви 364     Ессей 467     Кислокан 201     Нидым 21     Ногинск 439     Тембенчи 99     Тура   350 450 Тутончаны 313     Учами 186     Чиринда 363     Эконда 293     Юкта  293     Байкит  350   352 Бурный   197   Кузьмовка   236   Куюмба   82   Мирюга   220   Ошарово   177   Полигус   101   Суломай   274   Суринда   114   Таимба   203   Усть-Камо    121   Ванавара 450 352   Кербо     242 Муторай     147 Оскоба     100 Стрелка-Чуня     159 Тунгусский метеорит (эпицентр)     64 Чемдальск     102 Для расчета расстояния между пунктами, расположенными в разных полушариях (северное-южное, восточное-западное), знаки (±) у соответствующих параметров (широт или долгот) должны быть разными. Пример: (см. таблицу ниже) для вычисления расстояния между Турой и Сиднеем (Австралия) применяем формулу: cos(d) = sin(φА)·sin(−φB) + cos(φА)·cos(−φB)·cos(λА − λB) = −0,27462. d = 1,848988 Расстояние L = d·R = 11 779,9 км. для вычисления расстояния между Турой и Нью-Йорком (США) применяем формулу: cos(d) = sin(φА)·sin(φB) + cos(φА)·cos(φB)·cos(λА + λB) = 0,259532. d = 1,308259 Расстояние L = d·R = 8 334,92 км. В таблице расстояния определены с точностью 1 км. φ (градус) λ (градус) φ (радиан) λ (радиан) расстояние до Туры (км) Тура Tura (Russia) 64,28 с.ш. 100,22 в.д. 1,121387 1,748224 —  Нью-Йорк (США) New-York (USA) 40,71 с.ш. 74,01 з.д. 0,710163 1,291063 8 335 Сидней (Австралия) Sydney (Australia) 33,874 ю.ш. 151,213 в.д. 0,590913 2,637827 11 780 Координаты географических пунктов ЭАО смотрите здесь страница обновлена 25.03.10

osiktakan.ru

Задачи на расстояние от точки до кривой. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Тема: Производная

Урок: Задачи на расстояние от точки до кривой

Что такое расстояние от точки докривой? Точку  можно соединить со многими точками кривой. Каждый раз будут получаться разные расстояния. Среди них нужно найти наименьшее. Это расстояние и будет называться расстоянием от точки до кривой. На кривой надо найти такую точку , чтобы расстояние было наименьшим (см. рис. 1).

Рис. 1. Расстояние от точки до кривой.

Видим, что задача на расстояние – это задача на экстремум, на минимум, то есть без производной не обойтись.

Вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра (см. рис.2).

Рис. 2. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между прямыми – это тоже длина перпендикуляра (см. рис.3).

 

 

 

 

Рис. 3. Расстояние между прямыми.

Расстояние от точки до окружности легко найти. Нужно соединить центр с точкой , в результате получится точка .  – искомое расстояние (см. рис.4).

Рис. 4. Расстояние от точки до окружности.

Расстояние между двумя окружностями, которые не пересекаются. Нужно соединить центры, получим две точки  и .  – искомое расстояние (см. рис.5).

Рис. 5. Расстояние между двумя окружностями.

Сформулируем задачу в общем виде и напомним, каким образом ее решать. Мы повторили, что такое расстояние. Вспомним формулу расстояния между двумя заданными точками.  Предположим, что на координатной плоскости даны две точки  и  (см. рис.6).

Рис. 6. Расстояние между двумя заданными точками.

Расстояние между точками вычисляется по формуле  

.

Таким образом, находится расстояние между точками, если известны координаты этих точек.

На параболе  найти точки ближайшие к началу координат, то есть к точке .

Рис. 7. График функции.

Решение.

Из простейшего анализа задачи можно увидеть, что задача имеет два решения, в силу симметрии графика функции относительно оси Y (см. рис.7).

Координаты искомой точки:  . По соответствующей формуле можем найти квадрат расстояния:

. Это расстояние должно быть наименьшим. Упростим эту формулу и получим:

  или

.

Можно сразу использовать производную для решения задачи, но пока попытаемся воспользуемся свойствами биквадратной функции. С помощью замены переменной , получим:

. Задача свелась к нахождению минимума следующей квадратичной функции  .  Найдем абсциссу вершины  (см. рис.8).

Рис. 8. Абсцисса вершины параболы.

Задача практически решена. Наименьшее значение этой функции будет тогда, когда . Вычислим . Значит, функция  ведет себя следующим образом (см. рис.9):

Рис. 9. Схематический график функции .

Без производной, с помощью свойств квадратичной функции, решили задачу. Если , то  , отсюда , . Если значения координат  известны, вычислим значения . ;  Получили ответ  ; .

Итак, была задача: найти точки на кривой, которые бы отстояли от начала координат на наименьшее расстояние. Такие точки найдены. Первая точка —  , вторая точка – .

Напомним ход решения задачи. Точка   зависит только от , ее координаты – . При выражении квадрата расстояния, получили функцию от . Можно с помощью производной найти минимум. Можно сделать проще. Если сделать замену , получим квадратичную функцию и можно найти наименьшее значение данной квадратичной функции.

Ответ: .

На графике функции  найти точку , ближайшую к данной точке . Решение.

Сделаем рисунок (см. рис.10).

Рис. 10. График функции .

Заданы координаты двух точек:  и .

Найдем расстояние АМ:

.

 или .

 — квадратичная функция от . Вспомним, что нужно найти минимальное значение, то есть . Графиком этой функции является парабола, ветвями направленная вверх, значит, минимум находится в вершине. Выделим полный квадрат и получим:

. Выяснилось, что . Равенство достигается, когда  принимает самое минимальное значение. Это будет в случае, когда . Таким образом, получили ответ , а . Значит, координаты точки .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели задачи на расстояние от точки до кривой. Можно находить само это расстояние, можно искать точки, которые обеспечивают минимум этого расстояния. Повторили, что такое расстояние между фигурами. Расстояние от точки до кривой – это наименьшее из расстояний, которое получается, когда точка на кривой пробегает все возможные значения. Например, точка  может пробегать все значения на кривой , но наименьшее расстояние будет тогда, когда точка  имеет координаты . Для этого нужно, во-первых, вспомнить, что такое расстояние, и во-вторых, каким образом ищется расстояние между точками, если известны координаты. И, наконец, надо записать квадрат расстояния и проанализировать полученную функцию. Если не удается это сделать элементарными средствами, с помощью свойств квадратичной функции, то надо использовать производную и искать наименьшее значение функции .

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 46.52 (а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

interneturok.ru

Нахождение расстояния от точки до прямой с помощью метода координат

Долгое время я предпочитала решать задачи на нахождение расстояния от точки до прямой геометрическим способом, поскольку использование метода координат мне казалось очень нерациональным. Но наконец-то я поняла, как изящно, без построения перпендикулярной плоскости решать эту задачу.

Поясню общий ход решения на примере вспомогательной задачи, а потом решим реальную задачу из ЕГЭ по математике.

Вспомогательная задача:

В произвольном треугольнике , заданном координатами своих вершин, найти расстояние от точки до прямой, содержащей сторону .

Расстояние от точки до стороны   — это длина перпендикуляра, опущенного из точки   на прямую, содержащую сторону , то есть высоты .

Пусть вершины треугольника имеют координаты:

1. Найдем косинус угла между прямыми, содержащими стороны и . Напомню, что углом между двумя  пересекающимися прямыми называется меньший из двух углов, образованных этими прямыми.  

Для этого найдем координаты векторов  и  по координатам их концов. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

Зная координаты векторов, можно найти косинус угла между векторами.

Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению длин векторов.

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами прямых.

Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

Длина вектора :

Длина вектора :

2. Зная , найдем :

3. Теперь мы можем найти длину  из прямоугольного  треугольника :

Если треугольник  имеет такой вид:

то , но это ничего не меняет в наших планах. В этом случае мы будем искать длину  из треугольника . В этом случае угол и будет углом между прямыми и 

Решим задачу:

Основанием прямого параллелепипеда  является ромб , сторона которого равна  ,  а угол  равен . Найдите расстояние от точки  до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

План наших действий:

1. Введем систему координат.

2. Найдем координаты направляющих векторов прямых  и .

3. Найдем косинус угла между прямыми  и .

4. Найдем синус угла между прямыми  и .

5. Найдем расстояние от точки  до прямой .

Вспомним свойства диагоналей ромба:

Диагонали ромба

• взаимно перпендикулярны,
• точкой пересечения делятся пополам
• являются биссектрисами углов ромба.

Поместим начало система координат в точку пересечения диагоналей ромба, а оси  направим вдоль диагоналей:

Найдем длины отрезков  ,  ,   :

Рассмотрим треугольник  :

  — как катет, лежащий против угла

1. Найдем координаты точек 

2. Найдем координаты векторов  и :

;

3. Найдем длины векторов   и :

4. Найдем модуль косинуса угла . Нас интерсует абсолютное значение косинуса, поэтому направление направляющих векторов прямых   и не имеет значения. Найдем модуль косинуса угла между векторами  и :

5. Найдем синус угла :

6. Pасстояние от точки  до прямой  равно 

Ответ: 10 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Расстояние от точки до начала координат

Расстояние от точки (x_M;y_M) до начала координат можно найти по формуле расстояние между точками.

Подставив в формулу

   

координаты точек M(x_M;y_M) и O(0;0)

   

получаем формулу для нахождения расстояния от точки M до начала отсчёта — точки O:

   

Пример 1.

Найти расстояние от точки F(-5; 12) до начала координат.

Решение:

   

   

Ответ: 13.

Эту же формулу можно получить, руководствуясь непосредственно геометрическими соображениями.

Из прямоугольного треугольника OMM₁ по теореме Пифагора

   

OM₁ =x_M, MM₁ =y_M,

   

Пример 2.

 

На координатной плоскости отмечена точка A. Найти расстояние от точки A до начала координат.

Решение:

Координаты точки C — x_C =4, y_C=3.

   

   

Ответ: 5.

Декартовы координаты на плоскости

www.treugolniki.ru