Разложение натурального числа на простые множители – План-конспект урока по алгебре (6 класс) на тему: Конспект урока «Разложение числа на простые множители» 6 класс по учебнику А.Г. Мордкович

Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1. Укажи, какое это число: простое или составное

Сложность: лёгкое

1
2. Количество простых или составных чисел в данном интервале

Сложность: лёгкое

1
3. Определи число по его разложению на множители

Сложность: лёгкое

1
4. Верно ли утверждение?

Сложность: среднее

2
5. Разложи на простые множители

Сложность: среднее

3
6. Назови все делители произведения

Сложность: среднее

2
7. Какие двузначные числа назовёте?

Сложность: среднее

2
8. Четырёхзначное число записать произведением простых множителей

Сложность: сложное

3
9. Выяснить делимость чисел

Сложность: сложное

3
10. Записать число как сумму трёх простых чисел

Сложность: сложное

3

Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители

1. Укажи, какое это число: простое или составное 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Используя определение простого или составного числа, делаем вывод о том, какое число дано.
2. Количество простых или составных чисел в данном интервале 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Предлагается работа с таблицей простых чисел. Определяется количество простых или составных чисел из данного интервала.
3. Определи число по его разложению на множители 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Предлагается определить число по его разложению на множители.
4. Верно ли утверждение? 3 вид — анализ среднее 2 Б. Используя понятие простого и составного числа, предлагается определить: «Верно ли утверждение?»
5. Разложи на простые множители 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Предлагается разложить на простые множители данное число. В шагах решения показывается разложение в столбик.
6. Назови все делители произведения 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Предлагается назвать все делители произведения, состоящего из различных простых чисел, данных буквами.
7. Какие двузначные числа назовёте? 2 вид — интерпретация
среднее
2 Б. Предлагается записать все двузначные числа, которые раскладываются на два различных простых множителя, один из которых известен.
8. Четырёхзначное число записать произведением простых множителей 3 вид — анализ сложное 3 Б. Предлагается разложить на простые множители четырёхзначное число. В шагах решения показывается разложение в столбик.
9. Выяснить делимость чисел 3 вид — анализ сложное 3 Б. Предлагается определить делимость одного числа на другое, если числа представлены разложением на простые множители.
10. Записать число как сумму трёх простых чисел 3 вид — анализ сложное 3 Б. Предлагается записать число в виде суммы трёх различных простых чисел.

Урок 3. простые и составные числа. разложение натурального числа на множители — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 3

Простые и составные числа. Разложение натурального числа на множители

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Определения простого и составного числа, примеры простых и составных чисел.
  • Разложение числа на простые множители.
  • Таблица простых чисел.

Тезаурус:

Делителем натурального числа n называют натуральное число, на которое n делится без остатка

Натуральное число называют простым, если оно имеет ровно два делителя: единицу и само это число.

Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число, большее единицы, можно разложить на произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Теорема 1.

Каждое отличное от единицы натуральное число имеет делитель – простое число.

Теорема 2. (теорема Евклида)

Простых чисел бесконечно много.

Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

На уроке будем формулировать определения, конструировать несложные определения самостоятельно. Сформулируем определения простого и составного числа, приведём примеры простых и составных чисел. Выполним разложение числа на простые множители. Выясним, является ли число составным. Будем использовать таблицу простых чисел.

Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.

Пример:

числа 2; 3; 5; 7; 11 – простые, т. к. делятся только на 1 и сами на себя, т. е. имеют ровно два делителя.

Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.

Пример:

числа 4; 6; 8; 10 – составные, т. к. делятся не только на 1 и сами на себя, а ещё, например, на 2, т. е. имеют более двух делителей.

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

Простых чисел бесконечно много.

Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.

Рассмотрим, как раскладывать составные числа на простые множители.

Число 57 – составное, т. к. кроме 1 и 57 оно делится, например, ещё на 3.

Покажем это.

Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Проверяем:

5 + 7 = 12,

12 : 3 = 4.

Число 57 можно представить в виде произведения простых чисел.

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагают справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Получаем:

57 = 3 · 12.

Рассмотрим разложение еще одного составного числа на простые множители.

120.

120 – чётное число, значит, делится на 2.

120 : 2 = 60.

60 – чётное число

60 : 2 = 30.

30 – чётное число.

30 : 2 = 15.

15 – нечётное число,

Следовательно, не делится на 2,

но делится на 3.

15 : 3 = 5.

5 – простое число.

Получаем:

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5.

При выполнении задания по определению простых и составных чисел удобно использовать таблицу простых чисел.

Выясним, является ли число 337 простым или составным.

Будем считать, что каждое простое число уже разложено на множители.

Например, простое число 13 равно произведению само числа 13 и единицы.

13 = 13 · 1.

Рассмотрим задачу.

Определите самое маленькое натуральное число, которое не имеет простых делителей кроме 2 и 3.

Решение.

Не имеет простых делителей кроме 2 и 3 – это означает, что в разложении может быть 2 в любой степени и 3 любой степени.

Самое маленькое натуральное число, не является ни простым не сложным.

2, 3, 5 – натуральные числа, они есть в таблице простых чисел.

4 – составное число, которое делится на 2, но не делится на 3. Нам не подходит.

6 – составное число, которое делится на 2 и на 3. Оно удовлетворяет нашему условию.

Ответ: 6.

Итак, мы с вами узнали, какие числа называют простыми и составными.

Узнали основную теорему арифметики.

Узнали, как разложить натуральное число на простые множители.

Углубим наши знания.

Делимость на 3.

Докажем, что одно из трёх последовательных чётных чисел делится на 3

Доказательство.

Чётные числа должны делиться на 2.

Предположим противное не делиться на 3.

Тогда получаем:

первое чётное число представим в виде:

2 · 3n + 2,

тогда второе чётное число представим в виде:

2 · 3n + 4

а третье чётное число представим в виде:

2 · 3n + 6

Видим первое и второе не делятся на 3, а третье делится, так как

(2 · 3n) делится на 3 и 6 делится на 3, значит и сумма 2 · 3n + 6.

Делится на 3, по свойствам делимости.

Значит, предположение неверно и из трёх последовательных чётных чисел одно обязательно будет делиться на 3.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Выберите правильный ответ.

Сколько чисел в ряду от 1 до 100 одновременно не делятся ни на 2, ни на 7?

Варианты ответа:

40

43

57

67

Решение.

Для решения задачи нужно вспомнить признаки делимости на 2.

Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

То есть делятся на 2 чётные числа. Таких чисел в ряду от 1 до 100 50 штук.

Значит, из 100 вычитаем 50 чётных чисел, которые нам не подходят.

Далее рассматриваем в ряду числа от 1 до 100, которые делятся на 7 и являются нечётными. Это: 7, 21, 35, 49, 63, 77, 91. Всего их 7 штук. Вычтем их из 50 и получим 43.

Ответ: 43.

2. Впишите правильный ответ.

Определите, какую цифру, являющуюся простым числом, нужно подставить вместо звёздочки, чтобы число f делилось на число k без остатка, если:

f = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

и

k = 3 * 5.

Решение.

Для того чтобы одно число делилось без остатка на другое, необходимо, чтобы они имели в разложении общие множители. Чтобы число k делилось без остатка на f , необходимо, чтобы оно было меньше f и содержало только делители f. Значит, нам подходит только 2.

Ответ: 2.

Разработка урока по математике «Разложение натуральных чисел на простые множители»

рАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Урок 1(сопровождается презентацией)

Цели:

Образовательная- познакомить учащихся с разложением на простые множители числа; повторить признаки делимости чисел и научить использовать их при разложении чисел на простые множители.

Развивающие:

– развивать навыки мыслительных операций: анализ синтез, сравнение, обобщение, конкретизации.

Воспитательные:

– формировать умения высказывать свои мысли, слушать других, вести диалоги, отстаивать свою точку зрения; формировать навыки самооценки.

Тип урока— изучение нового материала

План урока

1.Организационный момент

2. Устные упражнения.

3. Изучение нового материала

4. Закрепление изученного материала

5. Итог урока.

6.Домашнее задание

Ход урока

1.Организационный момент-слайд1(приложение)

2. Устные упражнения.

1. Вопрос: Какие числа называются простыми?

Приведите примеры.

Какие числа называются составными?

Приведите примеры.

2. Продолжите полученный ряд на 3 числа:

[206, 208, 210, 212, 214, 216, 218]

Выберите из него числа, делящиеся

  • на 2: [206, 208,210, 212, 214, 216, 218]

  • на 3: [210, 216]

  • на 9: [216]

  • на 5: [210]

  • на 4: [208, 212, 216]

3. Изучение нового материала.

1. Задача Какими простыми числами можно выразить стороны прямоугольника с площадью 55 см2?

Решение.

1) 55=1·55; 2) 55 = 11·5;

Ответ: Стороны прямоугольника могут быть: 1 см и 55см; 5 см и 11 см

Решая задачу, мы число 55 представили в виде произведения натуральных чисел. Говорят: разложили на множители. Обычно записывают множители в порядке возрастания: 55 = 5· 11

Итак: тема нашего урока – «Разложение составного числа на простые множители», запишите её в тетрадях.

2. Разложить (натуральное) число на простые множители – значит представить это число в виде произведения простых чисел.

3. Нередко для разложения натурального числа на простые множители сначала разлагают его в виде произведения составных множителей, а затем каждый из них разлагают на простые множители.

Попробуем разложить число 306 на простые множители. На доске висят два плаката. Учитель с помощью детей заполняет первый, начинающийся в разложения 2·153. А затем рассматривается вариант, начинающийся с 3·102. Дети сами должны сделать вывод: всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом.

hello_html_353e86e8.png

hello_html_4b116756.png

4

540 = 2 · 270

. Объяснение учителем разложения числа 540 и на простые множители (повторяются признаки делимости чисел на 2, на 3)
  1. 2

270 2

135 5

27 3

9 3

3 3

1

Прямая соединительная линия 8

540 = 2 · 2 · 135

540 = 2 · 2 · 5 · 27

540 = 2 · 2 · 5 · 3 · 9

540 = 2 · 2 · 5 · 3 · 3 · 3


540 = 2 · 2 · 5 · 3 · 3 · 3

4. Закрепление изученного материала.

1. Разложить число на простые множители:

аПрямая соединительная линия 8) 84; б) 756

8Прямая соединительная линия 84 2 756 2

42 2 378 2

21 3 189 3

7 7 63 3

1 21 3

7 7

1

2. Решить № 312 на доске и в тетрадях — учащиеся выполняют решение у доски с комментариями

1) 42=2 * 3 * 7 42 2 21 3 7 54 = 2*3*3*3 54 2 27 3 9 3 3 3

2) 80 = 2*2*2*2*5

3)250 =2*5*5*5

3)400= 2*2*2*2*5*5

5. Итог урока

Вопросы:

а) Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители?

б) Чем могут отличаться два разложения одного и того же числа на простые множители?

6.Домашнее задание

изучить п. 17; решить № 318(1,2)

125                                                                            2 . 2 . 2 . 2 . 7

315                                                                            5 . 5 . 5

444                                                                            2 . 2 . 3 . 13

112                                                                            2 . 2 . 3 . 37

156                                                                            3 . 3 . 5 . 7

Разложение натуральных чисел на простые множители

Тема урока

Разложение натуральных чисел на простые множители

Цели обучения, достигаемые на этом уроке (Ссылка на учебный план)

5.1.2.7
раскладывать составные числа на простые множители;

Цель урока

  1. Умеют выполнять разложение составных чисел на простые множители.
  2. Знают способы разложения составных чисел.
  3. Умеют высказывать свое мнение.
  4. Умеют применять способы разложения составных чисел при решении задач

Критерии оценивания

Все учащиеся могут:

  • Определить простое число,
  • Определить составное число,
  • Определить четное и нечетное число,

Большинство учащихся могут:

  • Применять признаки делимости при разложении числа на простые множители

Некоторые учащиеся смогут:

  • Объяснять алгоритм разложения числа на простые множители

Языковые задачи

Учащиеся могут:
  • Объяснять смысл понятий: делимое, делитель, простое число, разложение, кратное, составное число, множитель, признак делимости.

Воспитание ценностей 

 

  1. Воспитание культуры поведения учащихся на уроке: умение внимательно слушать и выполнять задания.
  2. Воспитание аккуратности, трудолюбия, ответственности, самостоятельности, доброжелательности.
  3. Способствовать самореализации учащихся.
  4. Развитие математической грамотности.

Межпредметная связь

Информатика, биология

Предыдущие знания

Что знают ученики и что огни должны знать перед этим уроком?

  1. Делители и кратные натуральных чисел.
  2. Простые и составные числа.
  3. Признаки делимости на 2; 3; 5; 9; 10.
  4. Четные и нечетные числа.
  5. Степень. Основание степени. Показатель степени.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Виды упражнений, запланированных на урок:

Ресурсы

Начало урока

1-й этап. Организационно-мотивационный

3 мин

1 Психологический настрой:
Проверка настроения: прием «Мордашки» (у каждого ученика на столе 3 карточки, нужно показать ту, которая соответствует настроению в данный момент). В течение урока учитель может несколько раз попросить детей поднять эти карточки.

Слайд 1 (на слайде демонстрируется изображение «Мордашек»).

2-й этап.

Актуализация опорных знаний

4 мин

«Стадия вызова».

Итак, у вас на столах лежат карточки с вопросами. Ответ на вопрос может быть только: да или нет. Работаем в парах.

Вопросы
Да «^» Нет «_»

Верите ли вы, что….

  1. простое число имеет только два делителя
  2. простых чисел бесконечно много
  3. число 1 является простым
  4. составное число имеет более двух делителей
  5. все нечетные числа являются простыми
  6. все четные числа являются составными
  7. существуют простые числа, произведение которых является простым числом
  8. число, следующее за простым числом, составное

Дескриптор: Обучающийся

  • указывает верные высказывания, связанные с определением простых
    чисел;
  • указывает верные высказывания, связанные с определением составных
    чисел.

После выполнения работы выполнить самопроверку

— Молодцы! Какое настроение? (Мордашки)

Слайд 2
с вопросами. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…»
Слайд 3
Ответы на вопросы . Графический

3-ий этап.

Определение темы и цели урока через создание проблемной ситуации

5 минут

Ребята, я решила вас удивить, посмотрите на экран (ролик о клетках растений).
Что вы увидели на экране?
На уроках, по какому предмету вы встречались с клетками растений?
Мне хотелось бы, чтобы вы сегодня проверили, что числа, как и клетки растений с помощью некоторого действия превращаются во множество простых чисел.

Значит, тема нашего урока: «Разложение натурального числа на простые множители.» (учитель записывает на доске тему)

Что в формулировке темы вам знакомо? (натуральное число, простые множители).
А что осталось для вас загадкой? (разложение на простые множители).

Значит, как вы думаете какова цель нашего сегодняшнего урока? (научиться раскладывать натуральные числа на простые множители) (учитель записывает на доске цель)

 

Середина урока

а). Подготовительная работа.

3 мин

Класс делю на группы по жребию. В корзине могут находиться:
листочки разного цвета — команды красных, желтых, синих;
и каждой группе дается одно задание, но разные способы представления числа.

1.Число 90 разложите на множители всеми возможными способами:

  • На 2 множителя (для 1 группы)
  • На 3 множителя (для 2 группы)
  • На 4 множителя (для 3 группы)

 

б). Работа над новой темой

10 мин

2. Разложите число 210 на 2 множителя, отличных от единицы (ответы детей:

10=21*10=14*15=7*30=70*3=6*35=42*5=105*2;

учитель выбирает только один, на его примере дает объяснение нового материала)

210=21*10(на доске)

— На какие два множителя можно разложить числа 21 и 10?

210=3*7*2*5(на доске)

— Что можно сказать об этих множителях?

— Таким образом, число 210 разложено на простые множители.

— Вот вы и сами определили условие разложения на множители.

Слайд 4 (на слайде демонстрируется вывод).

— Сейчас разложите самостоятельно число 110 на простые множители любым способом.

— Проверим (дети рассказывают варианты разложения).

— Молодцы! Вы все раскладывали число 110 разными способами, но получили один и тот же результат.

— Какую закономерность вы заметили?

— Правильно! Записывают множители в порядке их возрастания, и произведение одинаковых множителей представляют в виде степени.

— Какое настроение у вас?

Слайд 5 (на слайде демонстрируется варианты разложения)

 

2 мин

Физкультминутка

1. Групповая работа:

Разложение чисел на простые множители. Класс разбивается на группы. Группа получает задание и выполняет его на отдельном листе. По окончании работы учитель выдает карточку с правильным решением, делают проверку и коррекцию решения, а затем прикрепляют свою работу магнитами к доске.

Разложите число на простые множители:

  1. 210;
  2. 425;
  3. 586.

Дескриптор: Обучающийся

— раскладывает число на простые множители.

Критерии формативного оценивания:

  • 3 правильных ответов – «Вы отлично поработали и усвоили тему»
  • 2 правильных ответов – «Вы хорошо усвоили тему»
  • 1 правильный ответ – «Вы не до конца разобрались с пройденной темой, еще раз вам обратиться к источнику и прочитать данную тему, снова прочитать, для того, чтобы лучше ее запомнить и применить на практике»

2. Индивидуальная работа с учащимися, не усвоившими тему.

Затем на слайде обобщается результат групповой работы

в). Организация деятельности учащихся по применению знаний в разнообразных ситуациях

15 мин.

3. Коллективная работа для уащихся

Задача

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа – простые делители числа 1950.

Попробуйте составить алгоритм такого разложения чисел.

Предлагается в группах выполнить следующую работу.

Каждая группа получает набор шагов алгоритма и лист бумаги.

Надо наклеить шаги в нужном порядке и расставить направляющие стрелки.

После групповой работы, вывешиваются алгоритмы на доске, обсуждаются и исправляются все недочёты и ошибки.

 

Конец урока

3 мин

Метод «ресторан» (Выяснить получить обратную связь от учеников от прошедшего урока.)
Учитель предлагает ученикам представить, что сегодняшний день они провели в ресторане и теперь директор ресторана просит их ответить на несколько вопросов:

  • Больше всего мне понравилось…
  • Я почти переварил…
  • Пожалуйста, добавьте…

Участники пишут свои ответы на карточки и приклеивают на лист флип-чарта, комментируя.
Для учителя этот этап очень важен, поскольку позволяет выяснить, что ребята усвоили хорошо, а на что необходимо обратить внимание на следующем уроке. Кроме того, обратная связь от учеников позволяет учителю скорректировать урок на будущее.
В завершении учитель резюмирует итоги урока, при необходимости дает задание на дом и напоследок говорит хорошие слова ребятам.

лист большого формата, фломастеры, скотч, цветные карточки

Дифференциация – каким способом вы хотите больше оказывать поддержку? Какие задания вы даете ученикам более способным по сравнению с другими?

Оценивание – как Вы планируете проверять уровень усвоения материала учащимися?

Охрана здоровья и соблюдение техники безопасности

Дифференциация может включать в себя разработку учебных материалов и ресурсов, принимая во внимание индивидуальные способности учащихся, отбор заданий, ожидаемые результаты, личную поддержку учеников, (по теории множественного интеллекта Гарднера).
Используя время эффективно, можно использовать дифференциацию на любой стадии урока.
Каждый ученик вовлечен в работу по мере свох способностей, что задания выполняются устно для учащихся воспринимающих материал на слух, показываются на доске для визуалов,в составлении постеров для учащихся работающих с рисунками, в групповой работе, в оказании индивидуальной поддержки учащемуся, в подборе учебного материала и ресурсов с учетом индивидуальных способностей учащихся и в дальнейшем, более способным ученикам давать задания в большем объеме или более сложные задания

формативное оценивание, дескрипторы, рефлексия после каждого этапа урока, обратная связь – опорная схема, рефлексия в конце урока.

Психологический настрой: настроить учащихся на дружескую, комфортную обстановкуво время урока.
Физминутка после умственной и письменной работы детям нужно движение, умственный отдых, поэтому необходимо отвлечь детей физминуткой.

Рефлексия по уроку
Была ли реальной и доступной цель урока или учебные цели?

Все ли учащиесы достигли цели обучения? Если ученики еще не достигли цели, как вы думаете, почему? Правильно проводилась дифференциация на уроке?

Эффективно ли использовали вы время во время этапов урока? Были ли отклонения от плана урока, и почему?

Цели урока были реалистичными, думаю,что все ученики достигнут целей урока и к концу урока смогут раскладывать натуральные чисела на простые множители;

Дифференциация на данном уроке была проведена верно.

По уровням знаний учащихся думаю провести на 2-м уроке, так как на нем будем решать более сложные примеры на разложение натуральных чисел на простые множители; поэтому на данном уроке проведенная дифференцация думаю достаточна.
Временные рамки в основном были выдержаны.

Итоговая оценка

Какие две вещи прошли действительно хорошо (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?

1. На начало урока психолог. настрой, повторение пройденного материала по методу «Стадия вызова».
2.

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте, как о преподавании, так и об обучении)?

  • возможно самостоятельное прочтение учебного материала, так как многие ученики могли забыть пройденный материал
  • выявить проблемы или учеников, испытывающих трудности, и на ранних этапах оказать им помощь.

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учащихся, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

Есть ученики, которые медленно пишут и не успевают записать весь материал в тетрадях, необходимо обратить на это внимание, строго придерживаться временных рамок

Разложение натурального числа на простые множители

Разложение натурального числа на простые множители

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на 1 и само на себя, называется простым. Таким образом, простое число имеет только два делителя: само это число и единицу. Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще и на другие числа, называется составным. Составное число имеет более двух делителей.
Число 1 (единица) не относится ни к простым, ни к составным числам.
Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители, и только одним способом.
При разложении чисел на простые множители обычно записывают столбик, при этом делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывается под делимым. Так, для чисел 300, 630 имеем:
90420140079042014005

 

Если в разложении числа на простые множители один и тот же множитель а встречается n раз, то записывают коротко

9042014009

Выражение aⁿ называется степенью, а — основанием степени, n — показателем степени. Отсюда
9042014011

Разложение натурального числа на произведение степеней простых сомножителей (основная теорема арифметики) имеет вид:
9042014013
где N — любое натуральное число, большее 1;
9042014015— попарно различные простые числа; αᵢ — натуральные числа (i = 1, 2,…, m-1,m).

Математика «с нуля». Урок 20. Разложение чисел на простые множители

Разложение натурального числа на простые множители

Пифагор Самосский  (ок. 580 - ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист.  «Мир построен на силе чисел»  «Самым хорошим  человеком можно считать  того, кто без постороннего  совета может предвидеть,  что ему полезно»

Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист.

«Мир построен на силе чисел» «Самым хорошим

человеком можно считать

того, кто без постороннего

совета может предвидеть,

что ему полезно»

Устный счет б) 26+4  : 3 ∙ 29  - 90 ∙ 6  ?  29+51   : 5   ∙ 4  +36   : 25  ?    4 1200

Устный счет

  • б) 26+4
  • : 3
  • ∙ 29
  • — 90
  • 6
  • ?
  • 29+51
  • : 5
  • ∙ 4
  • +36
  • : 25
  • ?  

4

1200

Устный счет б) 26+4  : 3 ∙ 29  - 90 ∙ 6  ?  29+51   : 5   ∙ 4  +36   : 25  ?    4 1200 Да. 6. Да. Да. 7. Да. Да. 8. Да. Да. 9. Да. Да. 10. Да.
  • Да. 6. Да.
  • Да. 7. Да.
  • Да. 8. Да.
  • Да. 9. Да.
  • Да. 10. Да.
* 9 = 81

множитель множитель произведение

81 = 9 * 9

произведение множитель множитель

Тема: Разложение натурального числа на простые множители.  ●

Тема: Разложение натурального числа на простые множители.

Цель урока:  Выработать навык разложения чисел на простые множители, повторить признаки делимости чисел и использовать их при разложении чисел на простые множители, продолжать расширять представления учащихся об окружающем их мире

Цель урока: Выработать навык разложения чисел на простые множители, повторить признаки делимости чисел и использовать их при разложении чисел на простые множители, продолжать расширять представления учащихся об окружающем их мире

Простые числа – это натуральные числа, которое больше единицы и делится на 1 и само на себя

Простые числа – это натуральные числа, которое больше единицы и делится на 1 и само на себя

Расставить данные числа и соответственные буквы в клетки.  «ш» -  312,     «ч» - 310 , «е»  -  567,      «в» -  585, «ы» -  555,       «б» -  771.   Кратно10 Число Кратно 9 Буква Кратно 3 Кратно 3 и 5 Кратно 2 и 3 Кратно 9 Кратно 5 и 9

Расставить данные числа и соответственные буквы в клетки.

«ш» —  312,     «ч» — 310 , «е»  —  567,      «в» —  585, «ы» —  555,       «б» —  771.

 

Кратно10

Число

Кратно 9

Буква

Кратно 3

Кратно 3 и 5

Кратно 2 и 3

Кратно 9

Кратно 5 и 9

  Кратно10 Число Кратно 9 310 Буква Кратно 3 567 ч Кратно 3 и 5 771 е 555 Кратно 2 и 3 б 312 Кратно 9 ы 567 Кратно 5 и 9 ш 585 е в

 

Кратно10

Число

Кратно 9

310

Буква

Кратно 3

567

ч

Кратно 3 и 5

771

е

555

Кратно 2 и 3

б

312

Кратно 9

ы

567

Кратно 5 и 9

ш

585

е

в

Чебышев, Пафнутий Львович (родился 14 мая 1821 года — умер 26 ноября 1894 года в Петербурге) — ординарный академик Императорской Академии Наук, действительный тайный советник. Тайный советник, доктор математики и астрономии, член Петербургской и Парижской Академии Наук .Пафнутий Львович Чебышев стяжал себе европейскую известность и почетное место в ряду первостепенных геометров. Известный математик занимался свойством простых чисел. Он доказал, что между любым натуральным числом большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного числа.

Чебышев, Пафнутий Львович

(родился 14 мая 1821 года — умер 26 ноября 1894 года в Петербурге) — ординарный академик Императорской Академии Наук, действительный тайный советник.

Тайный советник, доктор математики и астрономии, член Петербургской и Парижской Академии Наук .Пафнутий Львович Чебышев стяжал себе европейскую известность и почетное место в ряду первостепенных геометров.

Известный математик занимался свойством простых чисел. Он доказал, что между любым натуральным числом большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного числа.

ПИФАГОР — один из первых др.-греч. философов (6 в. до н.э.), основатель легендарного Пифагорейского товарищества. По совету Фалеса учился мудрости в Египте (22 года), затем в Вавилонии (12 лет), куда попал в числе плененных персами египтян, и, возможно, в Индии.  Пифагор и его ученики изучали вопросы делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом

ПИФАГОР

— один из первых др.-греч. философов (6 в. до н.э.), основатель легендарного Пифагорейского товарищества. По совету Фалеса учился мудрости в Египте (22 года), затем в Вавилонии (12 лет), куда попал в числе плененных персами египтян, и, возможно, в Индии. 

Пифагор и его ученики изучали вопросы делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом

Правило: Разложить ( натуральное) число на простые множители — значит , представить это число в виде произведения 3276 = 2 * 2 * 3*3 * 7* 13 3276 1638 819 273 91 13 1 2 2 3 3 7 13 При разложении числа на простые множители произведение  одинаковых множителей представляют в виде степени :

Правило:

Разложить ( натуральное) число на простые множители — значит , представить это число в виде произведения

3276 = 2 * 2 * 3*3 * 7* 13

3276

1638

819

273

91

13

1

2

2

3

3

7

13

При разложении числа на простые множители произведение

одинаковых множителей представляют в виде степени :

Разложение на простые множители   Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например,  48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,    225 = 3 · 3 · 5 · 5,   1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .  Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1460. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,  41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Разложение на простые множители

Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например, 

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,    225 = 3 · 3 · 5 · 5,   1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .

Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1460. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,  41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Разложение на простые множители  Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 2. Делим 1460 на 2 и получаем 730. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 730 и снова останавливаемся на числе 2, которое является его делителем. Делим 730 на 2 и получаем 365, которое в соответствии с этой же таблицей делится на простое число 5. 365 делим на 5 и получаем 73. 73-это простое число. Таким образом, имеем: 1460 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙73, т.е. простыми делителями числа 1460 являются 2, 2, 5 и 73.

Разложение на простые множители

Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 2. Делим 1460 на 2 и получаем 730. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 730 и снова останавливаемся на числе 2, которое является его делителем. Делим 730 на 2 и получаем 365, которое в соответствии с этой же таблицей делится на простое число 5. 365 делим на 5 и получаем 73. 73-это простое число. Таким образом, имеем: 1460 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙73, т.е. простыми делителями числа 1460 являются 2, 2, 5 и 73.

Коллективная работа Коллективная работа № 651(ж-и), 657 (е)  Работа в парах № 657: 1 вариант – г  2 вариант- в Самостоятельная работа № 658: 1 вариант – г, д, е  2 вариант – в, ж, з

Коллективная работа

Коллективная работа

№ 651(ж-и), 657 (е)

Работа в парах

№ 657: 1 вариант – г

2 вариант- в

Самостоятельная работа

№ 658: 1 вариант – г, д, е

2 вариант – в, ж, з

125                                                                            2  .  2  .  2  .  2  .  7 315                                                                            5  .  5  .  5 444                                                                             2  .  2  .  3  .  13 112                                                                            2  .  2  .  3  .  37 156                                                                            3  .  3  .  5  .  7

125                                                                            2  .  2  .  2  .  2  .  7

315                                                                            5  .  5  .  5

444                                                                             2  .  2  .  3  .  13

112                                                                            2  .  2  .  3  .  37

156                                                                            3  .  3  .  5  .  7

Тест  1. Какое число является простым числом? а) 13 б) 24 в) 1 2. Какое число не является ни простым, ни составным?  а) 25 б) 17 в) 1 3. Какое число является составным?  а) 21 б) 23 в) 1 4. При умножении простых чисел всегда получается  а) простое число; б) составное число; в) 1.

Тест

  • 1. Какое число является простым числом? а) 13 б) 24 в) 1
  • 2. Какое число не является ни простым, ни составным?

а) 25 б) 17 в) 1

  • 3. Какое число является составным?

а) 21 б) 23 в) 1

  • 4. При умножении простых чисел всегда получается

а) простое число; б) составное число; в) 1.

  • 5. Разложение числа 18 на простые множители а) 2∙2∙3 б) 2∙3∙3 в) 2∙2∙3∙1
Ключ

Ключ

  • 1) а
  • 2) в
  • 3) а
  • 4) б
  • 5) б
Реши кроссворд:
  • Реши кроссворд:
Реши кроссворд: Реши кроссворд: Реши кроссворд: Реши кроссворд:

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о