Калькулятор онлайн нахождение нод и нок. Калькулятор онлайн.Нахождение (вычисление) НОД и НОК

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число группы. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые множители данных чисел. Также НОК можно вычислить с помощью ряда других методов, которые применимы к группам из двух и более чисел.

Шаги

Ряд кратных чисел

Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, воспользуйтесь другим методом.

• Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать данный метод.

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Кратные числа можно посмотреть в таблице умножения.

.

• Например, числами, которые кратны 5, являются: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Сделайте это под кратными числами первого числа, чтобы сравнить два ряда чисел.

• Например, числами, которые кратны 8, являются: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, и 64.

Найдите наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел. Возможно, вам придется написать длинные ряды кратных чисел, чтобы найти общее число. Наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел, является наименьшим общим кратным.

• Например, наименьшим числом, которое присутствует в рядах кратных чисел 5 и 8, является число 40. Поэтому 40 – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.

Разложение на простые множители

1. Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых больше 10.

   Если даны меньшие числа, воспользуйтесь другим методом.
   • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать данный метод.

2. Разложите на простые множители первое число. То есть нужно найти такие простые числа, при перемножении которых получится данное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.

   • Например, 2 × 10 = 20 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 10=20} и 2 × 5 = 10 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times {\mathbf {5} }=10} . Таким образом, простыми множителями числа 20 являются числа 2, 2 и 5. Запишите их в виде выражения: .

3. Разложите на простые множители второе число. Сделайте это так же, как вы раскладывали на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при перемножении которых получится данное число.

   • Например, 2 × 42 = 84 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 42=84} , 7 × 6 = 42 {\displaystyle {\mathbf {7} }\times 6=42} и 3 × 2 = 6 {\displaystyle {\mathbf {3} }\times {\mathbf {2} }=6} . Таким образом, простыми множителями числа 84 являются числа 2, 7, 3 и 2. Запишите их в виде выражения: .

4. Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители в виде операции умножения. По мере записи каждого множителя зачеркивайте его в обоих выражениях (выражения, которые описывают разложения чисел на простые множители).

   • Например, общим для обоих чисел является множитель 2, поэтому напишите 2 × {\displaystyle 2\times } и зачеркните 2 в обоих выражениях.
   • Общим для обоих чисел является еще один множитель 2, поэтому напишите 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} и зачеркните вторую 2 в обоих выражениях.

5. К операции умножения добавьте оставшиеся множители. Это множители, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.

   • Например, в выражении 20 = 2 × 2 × 5 {\displaystyle 20=2\times 2\times 5} зачеркнуты обе двойки (2), потому что они являются общими множителями. Не зачеркнут множитель 5, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 {\displaystyle 2\times 2\times 5}
   • В выражении 84 = 2 × 7 × 3 × 2 {\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2} также зачеркнуты обе двойки (2). Не зачеркнуты множители 7 и 3, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3} .

6. Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого перемножьте числа в записанной операции умножения.

   • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420} . Таким образом, наименьшее общее кратное 20 и 84 равно 420.

Нахождение общих делителей

1. Нарисуйте сетку как для игры в крестики-нолики. Такая сетка представляет собой две параллельные прямые, которые пересекаются (под прямым углом) с другими двумя параллельными прямыми. Таким образом, получатся три строки и три столбца (сетка очень похожа на значок #). Первое число напишите в первой строке и втором столбце. Второе число напишите в первой строке и третьем столбце.

   • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 18 и 30. Число 18 напишите в первой строке и втором столбце, а число 30 напишите в первой строке и третьем столбце.

2. Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не является обязательным условием.

   • Например, 18 и 30 – это четные числа, поэтому их общим делителем будет число 2. Таким образом, напишите 2 в первой строке и первом столбце.

3. Разделите каждое число на первый делитель. Каждое частное запишите под соответствующим числом. Частное – это результат деления двух чисел.

   • Например, 18 ÷ 2 = 9 {\displaystyle 18\div 2=9} , поэтому запишите 9 под 18.
   • 30 ÷ 2 = 15 {\displaystyle 30\div 2=15} , поэтому запишите 15 под 30.

4. Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите два следующих шага. В противном случае делитель запишите во второй строке и первом столбце.

   • Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому запишите 3 во второй строке и первом столбце.

5. Разделите каждое частное на второй делитель.

   Каждый результат деления запишите под соответствующим частным.
   • Например, 9 ÷ 3 = 3 {\displaystyle 9\div 3=3} , поэтому запишите 3 под 9.
   • 15 ÷ 3 = 5 {\displaystyle 15\div 3=5} , поэтому запишите 5 под 15.

6. Если нужно, дополните сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные действия до тех пор, пока у частных не будет общего делителя.

7. Обведите кружками числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем выделенные числа запишите в виде операции умножения.

   • Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 находятся в последней строке, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 3 × 3 × 5 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5} .

8. Найдите результат умножения чисел. Так вы вычислите наименьшее общее кратное двух данных чисел.

   • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90} . Таким образом, наименьшее общее кратное 18 и 30 равно 90.

Алгоритм Евклида

1. Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое – это число, которое делят. Делитель – это число, на которое делят. Частное – это результат деления двух чисел. Остаток – это число, оставшееся при делении двух чисел.

   • Например, в выражении 15 ÷ 6 = 2 {\displaystyle 15\div 6=2} ост. 3:
     15 – это делимое
     6 – это делитель
     2 – это частное
     3 – это остаток.

Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Определение 1

Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Пример 1

Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .

Решение

Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14 .

Вычислим НОК: НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Ответ: НОК (126 , 70) = 630 .

Пример 2

Найдите нок чисел 68 и 34 .

Решение

НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .

Ответ: НОК (68 , 34) = 68 .

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Определение 2

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

• составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
• исключаем их полученных произведений все простые множители;
• полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.

Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.

Пример 3

У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .

Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .

Пример 4

Найдите НОК чисел 441 и 700 , разложив оба числа на простые множители.

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100 .

Ответ: НОК (441 , 700) = 44 100 .

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Определение 3

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

• разложим оба числа на простые множители:
• добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
• получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.

Пример 5

Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . К произведению множителей 3 , 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Это и есть НОК чисел 75 и 210 .

Пример 6

Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .

Решение

Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
3 числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 . Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 ​​​​​​ ​.

Ответ: НОК (84 , 648) = 4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теорема 1

Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k . НОК m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Пример 7

Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение

Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .

Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .

Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .

НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .

Ответ: НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Определение 4

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

• раскладываем все числа на простые множители;
• к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
• к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
• полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.

Пример 8

Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение

Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.

Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.

Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.

Ответ: НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Пример 9

НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .

Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a и − a – противоположные числа,
то множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа − a .

Пример 10

Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145 и − 45 .

Решение

Произведем замену чисел − 145 и − 45 на противоположные им числа 145 и 45 . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.

Получим, что НОК чисел − 145 и − 45 равно 1 305 .

Ответ: НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 5806

Как пользоваться калькулятором

• Введите числа в поле для ввода
• В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
• нажмите кнопку «Найти НОД и НОК»

Как вводить числа

• Числа вводятся через пробел, точку или запятую
• Длина вводимых чисел не ограничена , так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД .
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК .

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример: определить, делится ли на 2 число 34938 .
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36) :

1. Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7 , 36 = 1·2·2·3·3
2. Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
3. Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 — это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

1. Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
2. НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
3. НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c) .

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

1. Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3 , 32 = 1·2·2·2·2·2 , 36 = 1·2·2·3·3 .
2. Найдём обшие множители: 1, 2 и 2 .
3. Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
4. Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2·2·3 = 12 .
6. НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288 .

Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК — это одно из основных, особенно часто применяемое в Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.

Определение

Общее кратное — число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.

НОК — это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

Пример № 1

Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.

Пример № 2

Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК — обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Первый этап завершен.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений. НОК — это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.

Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.

Проверка:

6300 / 300 = 21 — верно;

6300 / 1260 = 5 — верно.

Правильность полученного результата определяется посредством проверки — деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.

Что значит НОК в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта — не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы. Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве — трем, пяти и так далее. Чем больше чисел — тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 — на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, — для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.

Проверка:

1) 3000 / 250 = 12 — верно;

2) 3000 / 600 = 5 — верно;

3) 3000 / 1500 = 2 — верно.

Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.

Еще один способ

В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами. Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение. Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.

Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК. Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах. Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.

правило, примеры. Правило вынесения общего множителя за скобки

На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.

Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.

Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:

В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.

В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?

Найдём значение выражения: .

В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.

Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .

Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.

Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : .

Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .

Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?

Вспомним, что многочлен — сумма одночленов.

Рассмотрим многочлен . Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен — произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.

Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: .

Рассмотрим ещё один пример: .

Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .

Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.

Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .

В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:

Усложним пример, увеличив количество одночленов:

После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение. 3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \(a^2 — b^2 \), т. 2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Урок алгебры в 7 классе.

Тема « Вынесение общего множителя за скобки».

Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

Цели урока:

Образовательная –

выявить уровень овладения учащимися комплекса знаний и умений по применению навыков умножения и деления степеней;

формировать умение применять разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки;

применять вынесение общего множителя за скобки при решении уравнений.

Развивающая –

способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

развивать навыки самоконтроля при выполнении заданий.

Воспитательная —

воспитание ответственности, активности, самостоятельности, объективной самооценки.

Тип урока: комбинированный.

Основные результаты обучения:

уметь выносить общий множитель за скобки;

уметь применять данный способ при решении упражнений.

Ход урока.

1 модуль (30 мин).

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Проверка наличия (дежурные), обсуждение возникших вопросов.

3 . Актуализация опорных знаний.

Н айдите НОД (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55) , (16, 12).

Что такое НОД?

Как выполняется деление степеней с одинаковыми основаниями?

Как выполняется умножение степеней с одинаковыми основаниями?

Для данных степеней (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Назовите степень с наименьшим показателем, одинаковыми основаниями, одинаковыми показателями

Повторим распределительный закон умножения. Запишите его в буквенной форме

а (в + с)= ав + ас

* — знак умножения

Выполнить устные задания на применение распределительного свойства. (Подготовить на доске).

1) 2*(а + в) 4) (х – 6)*5

2) 3*(х – у) 5) -4*(у + 5)

3) а*(4 + х) 6) -2*(в – а)

На закрытой доске записаны задания, ребята решают и записывают на доске результат. Задания на умножения одночлена на многочлен.

Для начала я предлагаю вам пример на умножение одночлена на многочлен:

2 х (х 2 +4 х у – 3)= 2х 3 + 8х 2 у – 6х Не стираем!

Написать правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы.

На доске появляется запись:

Я могу написать это свойство в виде:

В таком виде мы уже использовали запись для простого способа вычисления выражений.

а) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Остальные устно, проверить ответы:

е) 55*682 – 45*682 = 6820

ж) 7300*3 + 730*70 = 73000

з) 500*38 – 50*80 = 15000

Какой закон помог вам найти простой способ вычислений? (Распределительный)

Действительно – распределительный закон помогает упрощать выражения.

4 . Постановка цели и темы урока. Устный счет. Отгадайте тему урока.

Работа в парах.

Карточки для пар.

Оказывается, что разложение на множители выражения – это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен.

Рассмотрим тот же самый пример, который решал учащийся, но в обратном порядке. Разложить на множители – значит вынести за скобки общий множитель.

2 х 3 + 8 х 2 у – 6 х = 2 х (х 2 + 4 ху – 3).

Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки

Наибольший общий делитель коэффициентов.

Одинаковые буквенные переменные.

Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.

Затем в скобках записывается оставшиеся одночлены многочлена.

Наибольший общий делитель находили в младших класса, общую переменную в наименьшей степени можно сразу увидеть. А чтобы быстро находить оставшийся в скобках многочлен надо потренироваться по номеру №657.

5. Первичное усвоение с проговариванием вслух.

№657 (1 столбик)

2 модуль (30 мин).

1. Итог первой 30-минутки.

А) Какое преобразование называется разложением многочлена на множители?

Б) На каком свойстве основано вынесение общего множителя за скобки?

В) Как выносится общий множитель за скобки?

2. Первичное закрепление.

На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.

1) 2 х 3 – 3 х 2 – х =х (2 х 2 – 3 х).

2) 2 х + 6 = 2 (х + 3).

3) 8 х + 12 у = 4 (2 х — 3у).

4) а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).

5) 4 -2а = – 2 (2 – а).

3. Первичная проверка понимания.

Работа с самопроверкой. 2 чел на обратной стороне

Вынесите общий множитель за скобки:

Устно сделать проверку умножением.

4. Подготовка учащихся к обобщенной деятельности.

Выносим многочленный множитель за скобки (объяснение учителя).

Разложите на множители многочлен .

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель , который можно вынести за скобки. Итак, получим:

Выражения и являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством . Два раза меняем знак! Разложите на множители многочлен

Здесь присутствуют противоположные выражения и , воспользовавшись предыдущим тождеством мы получим следующую запись: .

А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки.

Определение 1

Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:

Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов. 4$

Решение:

Сначала вычислим проиведение коэффициентов

$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь — чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений

Теперь воспользуемся основным свойством дроби — числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$

Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.

Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.

Мы нашли коэффициент будущего произведения. 2)$

>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки

Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить на множители многочлен:

А) 2х + 6у, в) 4а 3 + 6а 2 ; д) 5а 4 — 10а 3 + 15а 8 .
б) а 3 + а 2 ; г) 12аЬ 4 — 18а 2 b 3 с;

Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.

б) а 3 + а 2 = а 2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).

в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а 2). Получаем:

4а 3 + 6а 2 = 2а 2 2а + 2а 2 3 = 2а 2 (2а + 3).

г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:

12аb 4 — 18а 2 Ь 3 с = 6аЬ 3 2b — 6аЬ 3 Зас = 6аb 3 (2b — Зас).

д) 5а 4 -10а 3 +15а 8 = 5а 3 (а-2 + За 2).

Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.

Замечание . В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.

Например:

Пример 2. Разложить на множители:

Х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 .

Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х 2 .
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

В ы в о д: за скобки можно вынести х 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x 2 .

Получим:
-х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 = — х 2 (х 2 у 3 + 2ху 2 — 5).

Пример 3 . Можно ли разделить многочлен 5а 4 — 10а 3 + 15а 5 на одночлен 5а 3 ? Если да, то выполнить деление .

Решение. В примере 1д) мы получили, что

5а 4 — 10а 3 + 15а 8 — 5а 3 (а — 2 + За 2).

Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а — 2 + За 2 .

Подобные примеры мы рассматривали в § 18; просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, — с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен .

А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.

Пример 4. Разложить на множители:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

Решение. Введем новую переменную у = х — 2. Тогда получим:

2x (x — 2) + 5 (x — 2) 2 = 2ху + 5у 2 .

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:

2ху + 5у 2 — у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:

у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х — 2)) = (x — 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую

2х(х — 2) + 5(х — 2) 2 = (х — 2)(2x + 5(x — 2))= (х — 2)(2х + 5х~ 10) = (х — 2)(7x — 10).

Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн , Математика в школі скачати

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Калькулятор извлечения корня n-ой степени.

Простые и не очень способы того, как вычислить кубический корень

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

• Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
• Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

• В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  • √(25 х 16)
  • √25 х √16
  • 5 х 4 = 20

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

• Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  • = √(49 х 3)
  • = √49 х √3
  • = 7√3

Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

• Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

• Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
• Рассмотрим другой пример: √88.
  • = √(2 х 44)
  • = √ (2 х 4 х 11)
  • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

Вычисление квадратного корня вручную

При помощи деления в столбик

1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».

   • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

   • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4

3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

   • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.

5. Заполните прочерки справа.

   • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

   • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.

8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

   • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.

9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

Понимание процесса

Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.

Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.

Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa

   • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8

2. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

   • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

• Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
• Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
• И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
3. Выполнить вычитание.
4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
5. В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
6. Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
7. Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

1. 15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
3. а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3
4. Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
5. Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
6. Приписать к остатку три нуля.
7. а = 24. Тогда 172800 х + 720 х 2 + х 3
8. х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
9. Снова приписать нули.
10. а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х 2 + х 3
11. х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.

Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.

Необычный способ извлечения кубического корня

Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.

К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.

Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.

Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т. п.

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

Приступим.

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.

В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .

Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .

Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

Разберемся с этим при решении примеров.

Пример.

Извлеките квадратный корень из 144 .

Решение.

Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144 на простые множители:

То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .

Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .

Ответ:

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Пример.

Вычислите значение корня .

Решение.

Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .

Ответ:

Пример.

Является ли значение корня целым числом?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.

Ответ:

Нет.

Извлечение корней из дробных чисел

Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Пример.

Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .

Решение.

По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен 13 . Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169 завершено.

Ответ:

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Пример.

Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .

Решение.

Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .

Ответ:

.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите значение корня .

Решение.

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

Ответ:

.

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =05 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5 . Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 5 ). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

Так как 2,2 2 5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =02 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10 3 2 151,186 , то значение разряда десятков равно 1 . Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2 . Переходим к десятым.

Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186 , то значение разряда десятых равно 9 . Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Список литературы.

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А. Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

Мы знаем, что:

Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

1. Это кубы чисел кратных десяти:

Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

2. Это свойство чисел при произведении.

Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

Рассмотрим примеры:

Извлечь кубический корень из 21952.

Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

Извлечь кубический корень из 54852.

Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

Извлечь кубический корень из 571787.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

Извлечь кубический корень из 614125.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Инструкция

Чтобы возвести число в степень 1/3, введите это число, затем нажмите на кнопку возведения в степень и наберите приблизительное значение числа 1/3 — 0,333. y».

Корень третьей степени можно вычислить и в программе MS Excel. Для этого введите в любую клетку «=» и выберите значок «вставка » (fx). Выберите в появившемся окошке функцию «СТЕПЕНЬ» и нажмите кнопку «Ок». В появившемся окошке введите значение числа, для которого необходимо вычислить корень третьей степени. В «Степень» введите число «1/3». Число 1/3 набирайте именно в таком виде – как обыкновенную . После этого нажмите кнопку «Ок». В той клетке таблицы, где создавалась , появится кубический корень из заданного числа.

Если корень третьей степени приходится вычислять постоянно, то немного усовершенствуйте описанный выше метод. В качестве числа, из которого требуется извлечь корень, укажите не само число, а клетку таблицы. После этого, просто каждый раз вводите в эту клетку исходное число – в клетке с формулой будет появляться его кубический корень.

Видео по теме

Обратите внимание

Заключение. В данной работе были рассмотрены различные методы вычисления значений кубического корня. Выяснилось, что значения кубического корня можно находить с помощью метода итераций, также можно аппроксимировать кубический корень, возводить число в степень 1/3, искать значения корня третьей степени с помощью Microsoft Office Ecxel, задавая формулы в ячейках.

Полезный совет

Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия. Квадратный корень: В этом случае показатель степени обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Практическое вычисление корней Алгоритм нахождения корня n-ной степени. Квадратные и кубические корни обычно предусмотрены во всех калькуляторах.

Источники:

• корень третий степени
• Как извлечь квадратный корень в N степени в Excel

Операцию нахождения корня третьей степени обычно называют извлечением «кубического» корня, а заключается она в нахождении такого вещественного числа, возведение которого в куб даст значение равное подкоренному числу. Операция извлечения арифметического корня любой степени n эквивалентна операции возведения в степень 1/n. Для практического вычисления кубического корня можно использовать несколько способов.

Деление нод и нок онлайн. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор

Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК — это одно из основных, особенно часто применяемое в Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.

Определение

Общее кратное — число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.

НОК — это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

Пример № 1

Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.

Пример № 2

Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК — обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Первый этап завершен.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений. НОК — это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.

Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.

Проверка:

6300 / 300 = 21 — верно;

6300 / 1260 = 5 — верно.

Правильность полученного результата определяется посредством проверки — деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.

Что значит НОК в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта — не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы. Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве — трем, пяти и так далее. Чем больше чисел — тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 — на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, — для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.

Проверка:

1) 3000 / 250 = 12 — верно;

2) 3000 / 600 = 5 — верно;

3) 3000 / 1500 = 2 — верно.

Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.

Еще один способ

В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами. Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение. Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.

Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК. Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах. Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.

Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Определение 1

Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Пример 1

Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .

Решение

Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14 .

Вычислим НОК: НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Ответ: НОК (126 , 70) = 630 .

Пример 2

Найдите нок чисел 68 и 34 .

Решение

НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .

Ответ: НОК (68 , 34) = 68 .

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Определение 2

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

• составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
• исключаем их полученных произведений все простые множители;
• полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.

Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.

Пример 3

У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .

Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .

Пример 4

Найдите НОК чисел 441 и 700 , разложив оба числа на простые множители.

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100 .

Ответ: НОК (441 , 700) = 44 100 .

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Определение 3

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

• разложим оба числа на простые множители:
• добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
• получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.

Пример 5

Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . К произведению множителей 3 , 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Это и есть НОК чисел 75 и 210 .

Пример 6

Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .

Решение

Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
3 числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 . Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 ​​​​​​ ​.

Ответ: НОК (84 , 648) = 4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теорема 1

Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k . НОК m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Пример 7

Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение

Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .

Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .

Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .

НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .

Ответ: НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Определение 4

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

• раскладываем все числа на простые множители;
• к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
• к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
• полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.

Пример 8

Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение

Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.

Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.

Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.

Ответ: НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Пример 9

НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .

Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a и − a – противоположные числа,
то множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа − a .

Пример 10

Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145 и − 45 .

Решение

Произведем замену чисел − 145 и − 45 на противоположные им числа 145 и 45 . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.

Получим, что НОК чисел − 145 и − 45 равно 1 305 .

Ответ: НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.

Основные понятия

Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.

Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

Нахождение НОД

Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:

• последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
• разложение чисел на неделимые множители;
• алгоритм Евклида;
• бинарный алгоритм.

Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.

Нахождение НОК

Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:

НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.

Взаимно простые числа

Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

Калькулятор общего делителя и кратного

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

Примеры из реальной жизни

Общий знаменатель дробей

Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.

Решение линейных диофантовых уравнений

Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

Заключение

НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число группы. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые множители данных чисел. Также НОК можно вычислить с помощью ряда других методов, которые применимы к группам из двух и более чисел.

Шаги

Ряд кратных чисел

Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, воспользуйтесь другим методом.

• Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать данный метод.

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Кратные числа можно посмотреть в таблице умножения..

• Например, числами, которые кратны 5, являются: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Сделайте это под кратными числами первого числа, чтобы сравнить два ряда чисел.

• Например, числами, которые кратны 8, являются: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, и 64.

Найдите наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел. Возможно, вам придется написать длинные ряды кратных чисел, чтобы найти общее число. Наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел, является наименьшим общим кратным.

• Например, наименьшим числом, которое присутствует в рядах кратных чисел 5 и 8, является число 40. Поэтому 40 – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.

Разложение на простые множители

1. Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых больше 10. Если даны меньшие числа, воспользуйтесь другим методом.

   • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать данный метод.

2. Разложите на простые множители первое число. То есть нужно найти такие простые числа, при перемножении которых получится данное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.

   • Например, 2 × 10 = 20 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 10=20} и 2 × 5 = 10 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times {\mathbf {5} }=10} . Таким образом, простыми множителями числа 20 являются числа 2, 2 и 5. Запишите их в виде выражения: .

3. Разложите на простые множители второе число. Сделайте это так же, как вы раскладывали на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при перемножении которых получится данное число.

   • Например, 2 × 42 = 84 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 42=84} , 7 × 6 = 42 {\displaystyle {\mathbf {7} }\times 6=42} и 3 × 2 = 6 {\displaystyle {\mathbf {3} }\times {\mathbf {2} }=6} . Таким образом, простыми множителями числа 84 являются числа 2, 7, 3 и 2. Запишите их в виде выражения: .

4. Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители в виде операции умножения. По мере записи каждого множителя зачеркивайте его в обоих выражениях (выражения, которые описывают разложения чисел на простые множители).

   • Например, общим для обоих чисел является множитель 2, поэтому напишите 2 × {\displaystyle 2\times } и зачеркните 2 в обоих выражениях.
   • Общим для обоих чисел является еще один множитель 2, поэтому напишите 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} и зачеркните вторую 2 в обоих выражениях.

5. К операции умножения добавьте оставшиеся множители. Это множители, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.

   • Например, в выражении 20 = 2 × 2 × 5 {\displaystyle 20=2\times 2\times 5} зачеркнуты обе двойки (2), потому что они являются общими множителями. Не зачеркнут множитель 5, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 {\displaystyle 2\times 2\times 5}
   • В выражении 84 = 2 × 7 × 3 × 2 {\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2} также зачеркнуты обе двойки (2). Не зачеркнуты множители 7 и 3, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3} .

6. Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого перемножьте числа в записанной операции умножения.

   • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420} . Таким образом, наименьшее общее кратное 20 и 84 равно 420.

Нахождение общих делителей

1. Нарисуйте сетку как для игры в крестики-нолики. Такая сетка представляет собой две параллельные прямые, которые пересекаются (под прямым углом) с другими двумя параллельными прямыми. Таким образом, получатся три строки и три столбца (сетка очень похожа на значок #). Первое число напишите в первой строке и втором столбце. Второе число напишите в первой строке и третьем столбце.

   • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 18 и 30. Число 18 напишите в первой строке и втором столбце, а число 30 напишите в первой строке и третьем столбце.

2. Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не является обязательным условием.

   • Например, 18 и 30 – это четные числа, поэтому их общим делителем будет число 2. Таким образом, напишите 2 в первой строке и первом столбце.

3. Разделите каждое число на первый делитель. Каждое частное запишите под соответствующим числом. Частное – это результат деления двух чисел.

   • Например, 18 ÷ 2 = 9 {\displaystyle 18\div 2=9} , поэтому запишите 9 под 18.
   • 30 ÷ 2 = 15 {\displaystyle 30\div 2=15} , поэтому запишите 15 под 30.

4. Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите два следующих шага. В противном случае делитель запишите во второй строке и первом столбце.

   • Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому запишите 3 во второй строке и первом столбце.

5. Разделите каждое частное на второй делитель. Каждый результат деления запишите под соответствующим частным.

   • Например, 9 ÷ 3 = 3 {\displaystyle 9\div 3=3} , поэтому запишите 3 под 9.
   • 15 ÷ 3 = 5 {\displaystyle 15\div 3=5} , поэтому запишите 5 под 15.

6. Если нужно, дополните сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные действия до тех пор, пока у частных не будет общего делителя.

7. Обведите кружками числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем выделенные числа запишите в виде операции умножения.

   • Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 находятся в последней строке, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 3 × 3 × 5 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5} .

8. Найдите результат умножения чисел. Так вы вычислите наименьшее общее кратное двух данных чисел.

   • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90} . Таким образом, наименьшее общее кратное 18 и 30 равно 90.

Алгоритм Евклида

1. Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое – это число, которое делят. Делитель – это число, на которое делят. Частное – это результат деления двух чисел. Остаток – это число, оставшееся при делении двух чисел.

   • Например, в выражении 15 ÷ 6 = 2 {\displaystyle 15\div 6=2} ост. 3:
     15 – это делимое
     6 – это делитель
     2 – это частное
     3 – это остаток.

Как множить дроби: Умножение дробей

Как умножить в Excel с помощью дроби

Я хочу умножить дробь (нечетную ставку) на целое число (сумму валюты) для таблицы ставок, которую я создаю для друзей, и не могу найти ответ нигде в excel 2016 году.

Пример: 22/1 x £5.00

Ищу формулу, чтобы умножить £5 на 21, но также нужно добавить ставку (£5) обратно, чтобы вернуть правильный ответ возврата £110.

excel excel-formula
Поделиться Источник StevieB13147     27 сентября 2019 в 15:14

2 ответа

---

• как умножить все записи в столбце excel на число

  У меня есть лист excel с огромным размером столбца. Я хочу оперировать столбцом (без копирования в пустой столбец) и умножить все записи в этом столбце на 1000, заменив предыдущие записи. Любая помощь будет оценена по достоинству. Спасибо.

• В Excel, как умножить диапазоны

  В Excel я хочу знать, как умножить один диапазон ячеек (скажем, A1:F10) на другой диапазон ячеек (статический диапазон, скажем, h3:M10), затем поместить ответ только в одну ячейку (скажем, ячейку P1) .

  …, затем переместиться вниз на одну строку и умножить новый диапазон (скажем, A2:F11) на тот же…

---

0

Попробуйте работать с коэффициентами в виде текста:

=A1*VALUE(LEFT(A2,FIND("/",A2)-1))/VALUE(RIGHT(A2,LEN(A2)-FIND("/",A2)))

Поделиться jblood94     28 сентября 2019 в 17:05

---

0

Вы должны быть в состоянии получить правильный ответ, поставив: =(5)*(21)+(5) [Я проверил это в Excel, чтобы быть уверенным] и если эти суммы являются ячейками, вы можете просто заменить цифры в скобках ссылками на ячейки.

Excel должен уметь вычислять любую дробь и умножение с помощью / и *

Поделиться eatonm     27 сентября 2019 в 15:26

---

Похожие вопросы:

C# Excel процентов, преобразованных в десятичные дроби

Я читаю данные с листа Excel. Некоторые данные представляют собой процентные значения, и эти значения автоматически преобразуются в десятичные дроби — то есть 90% —> 0.90. Кажется, я никак не могу…

Как записать значение дроби с помощью html?

Я хочу написать значение дроби, например, как показано на рисунке ниже: Как написать значение дроби с помощью html без использования изображения? NOTE: я не хочу этот паттерн 1 1/2, но строго так…

как умножить все десятичные дроби в кадре данных на константу? data data id V1 V2 V3 1 10001 10.0 5.0 10.3 2 10002 11.0 7.0 11.0 3…
как умножить все записи в столбце excel на число

У меня есть лист excel с огромным размером столбца. Я хочу оперировать столбцом (без копирования в пустой столбец) и умножить все записи в этом столбце на 1000, заменив предыдущие записи. Любая…

В Excel, как умножить диапазоны

В Excel я хочу знать, как умножить один диапазон ячеек (скажем, A1:F10) на другой диапазон ячеек (статический диапазон, скажем, h3:M10), затем поместить ответ только в одну ячейку (скажем, ячейку…

Как добавить ноль после десятичной дроби при кодировании в excel У меня возникли проблемы с добавлением нуля после десятичной дроби при кодировании в excel. Число, которое выводится, равно 240, и я хочу, чтобы оно говорило 240.0. Я пробовал круглую функцию в…
Разбор десятичной дроби на два целых числа в Stata или Excel

Я работаю с набором данных, который имеет действительно ужасные числа ID, которые являются целым числом, за которым следует 13-значное десятичное число. Однако первые 6-7 десятичных знака — это…

C#-десятичные дроби не записываются в Excel

У меня есть ETL, который сохраняет данные в файл Excel. Проблема в том, что десятичные дроби не записываются для целых чисел. Пример: 14.00 записывается как 14 Мой код для написания этой строки…

Как получить результат из дроби без округления в Thymeleaf

Я пытаюсь получить соотношение между высотой и шириной изображения, а затем умножить его на фиксированную ширину, чтобы изменить размер изображения с помощью Thymeleaf. Для этого я сохранил высоту и…

Как умножить целочисленную константу на объект дроби в C++

У меня урок дроби. Мне нужно сделать 3 операции над объектом фракции, т. е. Умножьте два объекта дроби, например F1*F2 Умножьте объект дроби на целое число. Например, F1*3 Умножьте целое число на…

сокращение дробей + полезные советы

 

Перед тем, как начать изучать тему умножения дробей напомним, что дробь — это отношение числителя к его знаменателю. Разберем также особенности деления и умножения сложных и больших дробей и сокращение дробей. В итоге сформулируем несколько правил, которые стоит придерживаться.

Умножение и деление дробей

Для того чтобы перемножить 2 и более дробей, нужно перемножить их все числители и записать в числитель получившийся результат, со знаменателем также просто, перемножаем все знаменатели дробей и записываем результат в знаменатель. Приведем простой пример, где мы рассмотрим перемножение 2-ух дробей:

(3/5) * (8/9) = (3*8)/(5*9) = 15/72.

Деление дробей можно считать операцией обратной перемножению 2 и более дробей, если мы возьмём деление одной дроби на другую, то мы должны “перевернуть” вторую дробь, не трогая при этом первую дробь.

Например:

(3/5) / (5/9) = (3*9) / (5*5) = 27/25  Важно помнить это свойство дроби при делении.

Умножение и деление с целым числом

Что делать если попалось умножение или деление с целым числом. В этом случае мы должны представить целое число как дробь, это можно сделать если взять это число и поделить на единицу, применяя правило деления или умножения как это написано сверху.

Например: 14 / (3/7 ) = (14/1) / (3/7) = (14*7) / (1*3) = 98/3

                      14 * 3/7 = (14/1) *(3/7) = (14*3) / (1*7)

Как видно  в этих примерах всё сводится  к обычному умножению или делению дробей.

Умножение и деление больших дробей

В старшей школе и на 1 курсах ВУЗов мы часто имеем дело с трёхэтажными дробями, а то и четырёхэтажными

В этом случае мы используем правило деления через 2 точки, “находя главное деление”, а после этого используем известное нам правило умножение или деления дробей, как видно из примера сделать это несложно.

Покажем это на примере :

3

—

5

—     =     (3/5) / (7/2) = (3*2) / (5*7) = 6/35

7   

—     

2

Здесь главное деление находится посередине, относительно него мы и будем делить, если мы сможем понять где находится главное деление или отношение.

Если у нас имеется 3 и более дроби, в которых мы не найдём скобок, нам нужно будет поступить следующим образом, то мы должны умножать или делить слева направо , как в любом другом примере, не содержащих дробей.

Например :

(1/3) / (3/2) *(3/4) = ((1*2) / (3*3) )*(3/4) = (2/9) * (3/4) = (6/36) = 1/6

Пример довольно всё хорошо объясняет нам.

Ещё существует один способ, который используется во множестве примеров деление единицы на нашу дробь, происходит “переворачивание” т.е. знаменатель попадёт в числитель, а числитель попадёт в знаменатель.

Например:

1 / (3/4) = (1/1) / (3/4) = (1*4) / ( 1*3)  = 4/3 Такой приём используется также в доказательствах тождеств

Сокращение дробей при умножении и делении

Очень важно во время умножения и деления мы имеем право сокращать числитель со знаменателем, значительно сокращая нашу дробь

Например:

(3/5) * (2/4) = 6/20 = {Сокращаем на 2} = 3/10

Также результат мы можем представить в виде десятичной дроби, это просто сделать, используя калькулятор

3/10 = 0. 3

Несколько полезных советов

Также мы советуюм всегда придерживаться нескольких правил:

1) Всегда сокращаем дробь до упора, таким образом мы значительно облегчим себе задачу.

2) Операцию деления единицы на дробь мы считаем в уме, просто переворачивая дробь.

3) Самое главное это аккуратность и внимательность, НИКОГДА не считайте в уме слишком много, так как огромное количество ошибок происходит именно когда человек, не считая нужным написать лишнюю строчку, совершает массу глупых ошибок.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: 8 класс
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspВозведение дроби в степень: отрицательная, буквенная, со степенью

Как умножать обыкновенные и десятичные дроби

Умножение дробей друг на друга

Обыкновенные дроби

Всё просто: числитель умножьте на числитель, а знаменатель на знаменатель. Потом проверьте, можно ли сократить дробь. Например:

Правило работает для дробей и с разными, и с одинаковыми знаменателями. Если дробь большая, допустим ²⁴/₃₅, постарайтесь сразу сократить её — так будет легче вести подсчёты.

Если в примере есть смешанное число, сначала преобразуйте его в неправильную дробь, а потом умножайте способом, описанным выше. Полученный результат переведите обратно в смешанное число.

Десятичные дроби

Процесс умножения происходит в три шага:

1. Запишите дроби в столбик и умножьте как натуральные числа, пока не думая о запятых.
2. Посмотрите, сколько знаков после запятой было в каждой дроби, и сложите их количество.
3. Двигаясь справа налево, отсчитайте в результате умножения столько же цифр, сколько получилось в предыдущем шаге. Поставьте там запятую. Это и есть ответ. Например:

Если умножаете на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, то переместите запятую влево на столько знаков, сколько их после запятой в множителе: 0,18 × 0,1 = 0,018; 0,5 × 0,001 = 0,0005.

Умножение дробей на натуральные числа

Обыкновенные дроби

Нужно умножить только числитель, а знаменатель оставить без изменений. Если результат — неправильная дробь, выделите из неё целую часть, чтобы получить смешанное число. Например:

Если нужно умножить смешанное число, переведите его в неправильную дробь и умножайте по тому же принципу. То есть:

Есть и второй способ: разделить знаменатель на данное вам натуральное число, а числитель не трогать. Этот способ удобнее применять, когда знаменатель делится на это натуральное число без остатка. Например:

Сравните этот метод с первым — результат одинаковый.

Десятичные дроби

В этом случае используйте такой же способ, как для умножения дроби на дробь. Перемножьте числа столбиком, потом отсчитайте столько цифр, сколько их было после запятой в десятичной дроби, и там поставьте запятую. То есть:

Если нужно умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и так далее, просто переместите запятую вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы. Например: 0,045 × 10 = 0,45; 0,045 × 100 = 4,5.

Как сложить, вычесть, умножить и разделить дроби

На данной странице калькулятор онлайн для вычисления дробей. Этот калькулятор складывает, вычитает, умножает и делит обычные дроби и десятичные. При вычислении выводится описание решения.

Вычисление дробей

---

---

Как сложить или вычесть две дроби

1. Если в выражении одна десятичная дробь, то переведите в обычную дробь.
2. Дроби с целой частью переведите в неправильные.
3. Если у дробей знаменатели не равны, то приведите дроби к общему знаменателю.
4. Сложите или вычтите числители. Не забывайте! Если при вычитании вторая дробь отрицательная, то минус на минус дает плюс. Т.е. первую дробь нужно сложить со второй! Если при сложении вторая дробь отрицательная, то от первой дроби отнимите вторую!
5. По возможности сократите дроби.
6. Если дробь неправильная (числитель больше знаменателя), то выделите целую часть.

Как умножить или разделить две дроби

1. Если в выражении одна десятичная дробь, то переведите в обычную дробь.
2. Дроби с целой частью переведите в неправильные.
3. Если у дробей знаменатели не равны, то приведите дроби к общему знаменателю.
4. Если одна дробь отрицательная, то в ответе отрицательное число. Если обе дроби отрицательные, то в ответе положительное число.
5. При умножении двух дробей отдельно умножьте числители и знаменатели. При делении двух дробей числитель первой дроби умножьте на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби умножьте на числитель второй дроби.
6. По возможности сократите дроби.
7. Если дробь неправильная (числитель больше знаменателя), то выделите целую часть.

Конспект по математике на тему «Умножение обыкновенных дробей. Свойства умножения.» (6 класс)

открытого урока по математике на конкурс «Учитель года – 2006»

Тема урока: Умножение обыкновенных дробей. Свойства умножения.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Оборудование: набор карточек для «Лесной почты», плакат с заданием

«Лесной почты», клей, конверт с письмом от Лесника

(в форме плаката), маркеры, квадрат для выведения правила

умножения обыкновенных дробей, дерево «Знаний» (на листочках дифференцированные домашние задания), маска медведя Миши.

Учитель: Здравствуйте дети! Меня зовут Светлана Станиславовна. Сегодня урок я проведу урок для вас. Мне очень хочется, чтобы этот урок вам понравился и запомнился.

Ум в порядок приводите.

Без неё не обойтись.

Дом построить и в нем жить.

А вы ребята с математикой дружите? (Предполагаемый ответ учащихся: Да.) Тогда можно начинать урок.

Сегодня мы начинаем новую, очень важную и полезную тему «Умножение обыкновенных дробей. Свойства умножения». На этом уроке вы должны усвоить правила умножения обыкновенных дробей, натурального числа и обыкновенной дроби, смешанных чисел, установить свойства умножения в случае обыкновенных дробей. В результате нашей работы вы должны уметь применять полученные знания на практике. Откройте, пожалуйста, ваши тетрадки и запишите:

Четырнадцатое ноября.

Классная работа.

Тема: «Умножение обыкновенных дробей. Свойства умножения».

2. Мотивация изучения темы (3 минут):

В класс с шумом вбегает Мишка. Он несет в руках письмо от Лесника.

Мишка: Помогите, спасите! Наш лесник уже целый месяц только тем и занят, что деревья в лесу считает. И каждый раз, представляете, у него разные ответы. Зима на носу. К холодам нужно готовиться, а он все считает! Совсем о нас забыл! Мы решили попросить помощи у вас. Даже письмо, вот, приготовили. Сможете нам помочь?

Учитель: А, ну-ка, давай его сюда. Ребята вам интересно, что это за письмо? (Предполагаемый ответ учащихся: Да.) Ой, да здесь задача и решения какие-то. (Читает)

В моем лесу растет 250 берез, сосен – в раза больше, а лип — в раза больше, чем сосен. Ребята! Помогите подсчитать деревья!

Как вам ребята задача – очень трудная? Какое арифметическое действие нужно применить для её решения. Верно, умножение. Вот только мы ещё не умеем умножать смешанные числа, но как раз сегодня хотим этому научиться. Приглашаем и тебя, Мишка, немного поучиться. Присаживайся за парту и слушай внимательно, тогда и ты сможешь помогать Леснику вести учет деревьев в лесу.

Мишка: Ага! Это хорошо! Давайте быстрее учиться. (Мишка садится за парту)

3. Актуализация знаний, необходимых для изучения темы (11 минут):

Учитель: А, чтобы лучше понять новый материал, нужно вспомнить то, что мы учили ранее. И, поскольку, нам сегодня предстоит писать письмо Леснику, предлагаю актуализировать наши знания в форме игры «Лесная почта». Работать мы будем в парах. Посмотрите у вас на партах лежат незаконченные письма, варианты ответов и клей. Вам нужно правильно расположить предложенные ответы на карте, затем аккуратно их приклеить. На всю работу отводится 6 минут. Значит, работать нужно быстро и внимательно, чтобы успеть закончить письмо. Когда вы закончите работу, поднимите свое письмо вверх, чтобы было видно, как продвигается работа. После чего мы проверим ваше умение писать письма. Все ребята за эту работу получат оценки. Готовы? Начали.

Дата:

_______

Фамилия, имя: 1.___________________

2.____________________

Класс: _________

Результат: _______________

1. Представьте в виде неправильной дроби смешанное число

2. Выделите целую часть в неправильной дроби:

3. Сократите дробь:

4. Определите какая дробь меньше: или

5. Сложите дроби: или

6. Вычтите дроби: или

Учитель: Ну, вот пришло время проверить работу. 1 ряд передает свои письма 2 ряду, 2 – 3, 3 — 1. Мы вместе заполним такую же таблицу на доске, обосновывая свой ответ, правильный ответ в работе товарища отмечайте «+», неправильный «-».

1. Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?

2. Как выделить целую часть у неправильной дроби?

3. Что называется сокращением обыкновенной дроби?

4. Как сравнить дроби с разными знаменателями?

5. Как сложить дроби с разными знаменателями?

6. Как вычесть дроби с разными знаменателями?

Учитель: Теперь подсчитайте количество отмеченных плюсов, умножьте на 2, и запишите результат на карте в поле «Результат». Вы прекрасно справились с заданием, можно ваши письма отправить в лес для лесных жителей, чтобы они тоже научились считать как вы. Я помогу отправить письма, поэтому передайте свои работы на первые парты.

4. Изучение новой темы (7 минут):

Учитель: Чтобы научиться умножать дроби полезно рассмотреть следующую задачу:

Длина прямоугольника равна дм, а ширина — дм. Найдите площадь прямоугольника.

Как найти площадь прямоугольника? (Предполагаемый ответ: длину умножить на ширину). Так как умножать дроби мы еще не умеем, то рассмотрим квадрат со стороной 1 дм. Разделим одну сторону квадрата на 5 равных частей, а вторую на – 3. Таким образом, мы разбили данный квадрат на 15 частей. Так как площадь квадрата 1 дм² , то площадь каждой части — дм². Заштрихуем внутри квадрата прямоугольник со сторонами дм и дм. Он состоит из 8 частей, поэтому площадь выбранного прямоугольника дм².

Итак,

Какой вывод можно сделать из этой задачи? Правильно! Произведением двух обыкновенных дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель — произведению знаменателей. Откройте учебники на стр. 66, Мудрая Сова указывает вам как раз на это правило. Его нужно знать наизусть, чтобы хорошо справляться с примерами.

На практике нам придется решать и другие примеры с помощью этого правила, например: Значит, чтобы умножить натуральное число на обыкновенную дробь достаточно это число представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1.

А как же умножаются смешанные числа? Ребята, а вы не догадались, как умножаются смешанные числа? Конечно же. Их сначала переводят в неправильные дроби, а затем умножают по правилу умножения обыкновенных дробей. Смотрите:

Очень важно заметить, что для умножения дробей выполняются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения. Кто может их вспомнить? (На доске под плакатом актуализации записаны свойства умножения).

5. Закрепление изученного на уроке ( 16 минут):

Учитель: Чтобы закрепить полученные знания предлагаю рассмотреть устные примеры на стр.68 — № 351 (а, б), № 352 (а, б), № 353 (а, б), №354 (а, б). (Учащиеся работают с учебником).

Учитель: Ну, вот мы и разобрались с новой темой. Ребята, а какие правила мы только что установили? Теперь можно вернуться к задаче Лесника. Думаю, исправить ошибки в задаче Лесника не составит для вас труда, верно? Кто хочет решить первое действие этой задачи?

Учащиеся у доски решают примеры Лесника:

1.

(Учащиеся маркером исправляют ошибки в письме Лесника).

Учитель: Какую ошибку допустил Лесник, выполняя это действие?

Ученик: Он ошибся, когда переводил смешанное число в неправильную дробь.

2.

(Учащиеся маркером исправляют ошибки в письме Лесника).

Учитель: А, какая ошибка в этом действии?

Ученик: Он допустил такую же ошибку.

Учитель: Да, ребята, Лесник не усвоил правило перевода смешанного числа в неправильную дробь. Это самая частая ошибка учащихся при умножении смешанных чисел. Будьте внимательны! Не повторяйте ошибок Лесника.

6. Подведение итогов урока (2 минуты):

Учитель: Итак, ошибки Лесника найдены, деревья подсчитаны, можно подводить итоги нашего урока. Ребята, чему мы сегодня научились? Как перемножить обыкновенные дроби. А как число умножить на дробь? Можно ли умножать смешанные числа? Важная ли это тема?

Все ошибки исправлены, и результаты нужно срочно передать в Лес. (Письмо вкладывается в конверт и передается Мишке).

Мишка: Ура, теперь Лесник займется подготовкой к зиме! Нам не придется голодать и мерзнуть в зимнюю стужу. Спасибо вам ребята.

7. Рефлексия, объявление домашнего задания (3 минуты):

Учитель: Пришло время расставаться, получать домашнее задание. Поскольку наш урок был посвящен лесной теме, то и домашнее задание у нас необычное. Вот смотрите, какое дерево выросло у нас за урок – дерево «Домашних заданий». Предлагаю вам самим выбрать его. Если вы хорошо поняли тему на уроке, то вам нужно сорвать красный листочек. Если же у вас остались маленькие вопросики, на которые можно дома найти ответы – тогда ваши листочки желтенькие. Если же, к сожалению, на уроке вам было очень трудно, вы ничего не поняли, тогда сорвите зеленые листочки. Посмотрите, какой у нас листопад получился, точно как на улице. Ведь нынче осень! Листочки оставьте себе на память о нашей встрече. Желаю вам успехов в освоении такой нелегкой науки математики!

Умножение алгебраических дробей. Умножение и деление алгебраических дробей Умножение и деление алгебраических выражений

Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень» — вспомогательное средство для ведения урока математики по данной теме. С помощью видеоурока учителю легче сформировать у учеников умение выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наглядное пособие содержит подробное понятное описание примеров, в которых выполняются операции умножения и деления. Материал может быть продемонстрирован во время объяснения учителя или стать отдельной частью урока.

Чтобы сформировать умение решать задания на умножение и деление алгебраических дробей, по ходу описания решения даются важные комментарии, моменты, требующие запоминания и глубокого понимания выделяются с помощью цвета, жирного шрифта, указателей. С помощью видеоурока учитель может повысить эффективность урока. Данное наглядное пособие поможет быстро и эффективно достичь учебных целей.

Видеоурок начинается с представления темы. После этого указывается, что операции умножения и деления с алгебраическими дробями производятся аналогично операциям с обыкновенными дробями. На экране демонстрируются правила умножения, деления и возведения в степень дробей. С помощью буквенных параметров демонстрируется умножение дробей. Отмечается, что при умножении дробей числители, а также знаменатели перемножаются. Так получается результирующая дробь a/b·c/d=ac/bd. Демонстрируется деление дробей на примере выражения a/b:c/d. Указывается, что для выполнения операции деления необходимо в числитель записать произведение числителя делимого и знаменателя делителя. Знаменателем частного становится произведение знаменателя делимого и числителя делителя. Таким образом, операция деления превращается в операцию умножения дроби делимого и дроби, обратной делителю. Возведение в степень дроби приравнивается дроби, в которой числитель и знаменатель возводятся в назначенную степень.

Далее рассматривается решение примеров. В примере 1 необходимо выполнить действия (5х-5у)/(х-у)·(х 2 -у 2)/10х. Чтобы решить данный пример, числитель второй дроби, входящей в произведение, раскладывается на множители. Используя формулы сокращенного умножения, делается преобразование х 2 -у 2 =(х+у)(х-у). Затем числители дробей и знаменатели перемножаются. После проведения операций видно, что в числителе и знаменателе есть множители, которые можно сократить, используя основное свойство дроби. В результате преобразований получается дробь (х+у) 2 /2х. Здесь же рассматривается выполнение действий 7а 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Все числители и знаменатели рассматриваются на предмет возможности разложения на множители, выделения общих множителей. Затем перемножаются числители и знаменатели. После умножения производятся сокращения. Результатом преобразования становится дробь 2(a-b)/7а.

Рассматривается пример, в котором необходимо выполнить действия (х 3 -1)/8у:(х 2 +х+1)/16у 2 . Чтобы решить выражение, предлагается преобразовать числитель первой дроби, используя формулу сокращенного умножения х 3 -1=(х-1)(х 2 +х+1). Согласно правилу деления дробей, первая дробь умножается на дробь, обратную второй. После перемножения числителей и знаменателей получается дробь, которая содержит в числителе и знаменателе одинаковые множители. Они сокращаются. В результате получается дробь (х-1)2у. Здесь же описывается решение примера (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2). Аналогично предыдущему примеру, для преобразования числителя применяется формула сокращенного умножения. Также преобразуется знаменатель дроби. Затем первая дробь перемножается с дробью, обратной второй дроби. После умножения выполняются преобразования, сокращения числителя и знаменателя на общие множители. В результате получается дробь -(a+b)(a 2 +b 2)/(b-3). Обращается внимание учеников, как меняются знаки числителя и знаменателя при умножении.

В третьем примере необходимо выполнить действия с дробями ((х+2)/(3х 2 -6х)) 3:((х 2 +4х+4)/(х 2 -4х+4)) 2 . В решении данного примера применяется правило возведения дроби в степень. И первая, и вторая дробь возведены в степень. Они преобразуются возведением в степень числители и знаменателя дроби. Кроме того, для преобразования знаменателей дробей применяется формула сокращенного умножения, выделение общего множителя. Чтобы поделить первую дробь на вторую, необходимо умножить первую дробь на обратную дробь ко второй. В числителе и знаменателе образуются выражения, которые можно сократить. После преобразования получается дробь (х-2)/27х 3 (х+2).

Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень» применяется для повышения эффективности традиционного урока математики. Материал может быть полезен учителю, осуществляющему обучение дистанционно. Детальное понятное описание решения примеров поможет ученикам, самостоятельно осваивающим предмет или требующим дополнительных занятий.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса
Мультимедийное учебное пособие для 8 класса «Алгебра за 10 минут»

Предварительное разложение алгебраической дроби на множители

Перед началом работы с дробями, а именно на умножении и делении, желательно произвести разложение числителя и знаменателя на множители.2)}{(b-3)}$.

Разделы: Математика

Цель: Научиться выполнять действия умножения и деления алгебраических дробей.

Форма урока: урок изучения нового материала.

Метод обучения: проблемный, с самостоятельным поиском решения.

Оборудование: Компьютер, проектор, раздаточный материал по уроку, таблица.

Ход урока

Урок проводится с использованием компьютерной презентации. (Приложение 1)

Ι. Организация урока.

1. Подготовка технической части.

2. Карточки для работы в парах и самостоятельной работы.

ΙΙ. Актуализация опорных знаний с целью подготовки к изучению новой темы.

Устно:

(Ответы выводятся с помощью компьютера.)

1. Разложить на множители:

2. Сократить дробь:

3. Умножить дроби:

Как называются эти числа? (Взаимообратные числа)

Найти число, обратное числу

Какие два числа называются взаимообратными? (Два числа называются взаимообратными, если их произведение равно 1.)

Найти дробь обратную:

Разделить дроби:

Проговариваем правила умножения и деления обыкновенных дробей. Плакат с правилами размещен на доске.

ΙΙΙ. Новая тема

Обращаясь к плакату, учитель говорит: a , b , c , d — в данном случае числа. А если это будут алгебраические выражения, как называются такие дроби? (Алгебраические дроби)

Правила их умножения и деления остаются теми же самыми.

Выполнить действия:

Первый и второй пример самостоятельно, с последующей записью решения учащимися на доске. Решение третьего примера учитель показывает на доске.

ΙV. Закрепление

1)Работа по задачнику: № 5.2 (б, в), № 5.11 (а, б). Стр.32

2) Работа в парах по карточкам:

(Решения и ответы отражены через проектор.)

V. Итог урока

Самостоятельная работа.

Выполнить умножение или деление:

Ι Вариант		ΙΙ Вариант

Ученики сдают тетради с работами.

VI. Домашнее задание

№ 5.8; № 5.10; № 5.13(а, б).

Мы умеем выполнять умножение и деление арифметических дробей, например:

если буквы a, b, c и d обозначают арифметические целые числа.

Возникает вопрос, не остаются ли в силе эти равенства, если a, b, c и d будут обозначать: 1) какие-нибудь арифметические числа и 2) любые относительные числа.

Прежде всего придется рассмотреть сложные дроби, например:

Этих примеров уже достаточно, чтобы убедиться в справедливости равенств, относящихся к умножению и делению дробей, когда числа a, b, c и d какие угодно (целые или дробные) арифметические. Заметим, что основных равенств лишь 2, а именно:

Остается теперь рассмотреть, останутся ли справедливыми эти равенства, если некоторые из чисел a, b, c и d предположить отрицательными: если, например, a отрицательное число, b, c и d – положительные, то дробь отрицательна, а дробь положительна; поэтому, например, от деления на должно получиться отрицательное число, но мы видим, что, согласно нашему предположению, и выражение должно выразить отрицательное число, т. е. равенство оправдывается и в этом случае. Легко также рассмотреть и другие предположения для знаков числе a, b, c и d . Результатом этого рассмотрения является убеждение в справедливости равенств

и для случая, когда a, b, c и d выражают любые относительные числа, т. е. для умножения и деления алгебраических дробей остаются в силе те же правила, как и для арифметических.

Теперь мы можем выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наибольшие затруднения представляет здесь вопрос о сокращении дробей, получаемых после умножения или деления. Если алгебраические дроби одночленные, то сокращение полученного результата не представит затруднений, а если дроби алгебраические, то является необходимым предварительно числителя и знаменателя каждой из данных дробей разлагать на множители.

Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:

1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.

При этом многочлены нужно .

2) Если можно, сократить дробь.

Замечание.

При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.

Примеры умножения алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:

Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:

Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно .

В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:

Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):

Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:

(a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:

При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.

В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:

Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):

В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.

Рубрика: |

Как решать дроби. Решение дробей.

В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей!

Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

Дроби имеют вид : ±X/Y, где Y — знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X — числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.

Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.

Иными словами дробь — это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

Если числитель меньше знаменателя — дробь является правильной, если наоборот — неправильной. В состав дроби может входить целое число.

Например, 5 целых 3/4.

Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.

Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс, вам надо понять, что решение дробей, в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.

• Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого — три.
• Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
• Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

Как решать дроби. Примеры.

К дробям применимы самые разные арифметические операции.

Приведение дроби к общему знаменателю

Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20

Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю

Ответ: 15/20

Сложение и вычитание дробей

Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

Ответ: 5/6

Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

Ответ: 1/4

Умножение и деление дробей

Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

• Умножение — числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
• Деление — сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т. е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

Например:

На этом о том, как решать дроби, всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей, что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

Для закрепления материала рекомендуем также посмотреть наше видео:

Также рекомендуем к использованию наш онлайн калькулятор дробей! В нем вы можете посмотреть, как строить решение, на собственных примерах.

Если вы учитель , то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Умножение двух дробей — WebMath

Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Поиск шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторинг триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Песня Numberock об умножении дробей | Видео, мероприятия и рабочие листы.

Знаете ли вы, что теперь ученые согласны с тем, что существовал динозавр под названием Бронтозавр? Имеет ли это какое-либо отношение к умножению дробей? Вам нужно будет посмотреть это видео, чтобы узнать. У этой песни запоминающийся припев и несколько довольно умных текстов, которые привлекут внимание каждого ученика в вашем классе.

Умножение дробей Текст песни:

Трое из нас нашли сокровище во время подводного плавания,
Итак, мы перетащили наше сокровище на корабль.
Так как мы были так благословлены этой редкостью,
Мы решили отдать половину ее на благотворительность.
Мы взяли остальное и разделили на три части;
Треть оставшейся части все еще была огромной зарплатой!
Треть на меня, половина на благотворительность,
Так какова моя доля? Умножим и посмотрим …

Когда нам нужно умножить две дроби,
Вот наша реакция:
Умножьте числители,
Затем умножьте знаменатели.

Мы с другом копали кости динозавров.
Мы решили искать в прямоугольной зоне;
Мы поровну разделились между собой.
В первый день нашла кость от бронтозавра!
Я нашел еще несколько к концу второго дня,
Когда три восьмых моей половины были обысканы.
Из своей половины я исследовал три восьмых;
сколько всего пространства я выкопал?

Узнать больше

Эта песня ориентирована на стандарты обучения TEKS и Common Core с 4-го по 6-й класс.Ознакомьтесь с соответствующими стандартами здесь или углубитесь в умножение дробей здесь.

Если вы заинтересованы в том, чтобы получить идеи о том, как спланировать надежный и согласованный со стандартами урок по умножению дробей, мы рекомендуем ознакомиться с рекомендациями Instructure для общих базовых стандартов 4.NF.4 и 5.NF.4. Эти страницы помогают разобрать стандартную формулировку, определить соответствующий классу уровень строгости для каждой концепции и предлагают множество предложений по занятиям (семенам урока), которые помогут учащимся достичь своих целей в обучении.

Чтобы продолжить просмотр библиотеки материалов по математике Numberock, щелкните здесь. Чтобы получить доступ к растущей библиотеке премиум-контента Numberock, щелкните здесь.

Как умножить дроби на разные знаменатели

Шаги к умножению дробей

Давайте посмотрим на эту задачу о вечеринке с пиццей. Чтобы умножить дроби, нужно всего несколько простых шагов.

Шаг 1. Настройте проблему. 1/2 от 1/3 = 1/2 x 1/3. Вы заметите, что в вашей задаче в отличие от знаменателя , что означает, что нижние числа отличаются друг от друга.Хотя это важно при сложении или вычитании дробей, при умножении это не проблема.

Шаг 2: Умножьте верхние числа, называемые числителями . 1 x 1 = 1. Это числитель вашего ответа.

Шаг 3: Умножьте знаменатели. 2 x 3 = 6. Это знаменатель вашего ответа.

Шаг 4: Составьте свой ответ: 1/6. Ваш брат и сестра получат по 1/6 пиццы!

Умножение на фракции пиццы

Упрощение дробей

Иногда получается дробь, которая должна быть упрощенной . Это означает, что числитель и знаменатель — это , а не — наименьшие целые числа, которые они могут быть. Он не меняет размер дроби (кусок пиццы в предыдущем примере), а просто упрощает задачу.

Вот пример! Вы живете в одной комнате со своей младшей сестрой. Мама говорит, что сегодня вам нужно убрать по крайней мере 2/3 вашей половины комнаты, а затем вы можете выйти на улицу поиграть. Какую часть из всей комнаты вы уберете сегодня? Умножьте, а затем упростите!

Шаг 1: Постройте проблему: 2/3 x 1/2 =

Шаг 2: Умножьте числители: 2 x 1 = 2

Шаг 3: Умножьте знаменатели: 3 x 2 = 6

Шаг 4 : Соберите ответ: 2/6.Это не самые маленькие числа, поэтому вам нужно будет упростить!

Шаг 5: Разделите числитель и знаменатель на 2.

2 ÷ 2 = 1. Это ваш новый числитель.

6 ÷ 2 = 3. Это ваш новый знаменатель.

Итак, 2/6 упрощается до 1/3. Это ваш ответ! Вы должны убрать по крайней мере 1/3 всей комнаты, прежде чем выходить на улицу!

Умножение доли спальни

Попробуем еще один пример! Вы спрашиваете маму, можете ли вы вместо этого убрать 2/8 своей половины комнаты. Какая это часть всей комнаты?

2/8 x 1/2 = 2/16

Эта дробь упрощена? Как вы можете сказать? Попробуйте найти число, которое делится на 2 и 16. 2 ÷ 2 = 1, а 16 ÷ 2 = 8, поэтому 2/16 = 1/8. Если вы не можете найти число, которое делится и на числитель, и на знаменатель, ваша дробь может быть уже в простейшей форме.

Дополнительную информацию об упрощении дробей см. В уроке «Как упрощать дроби: урок для детей».

Краткое содержание урока

Умножение дробей обычно состоит из четырех-пяти шагов. Сначала вы умножаете числители на , затем умножаете знаменатели на , даже если они не похожи. Наконец, посмотрите на свою дробь и определите, находится ли она в простейшей форме. В противном случае вы должны найти число, на которое можно разделить числитель и знаменатель, чтобы упростить дробь.

Пошаговые инструкции по умножению дробей с помощью моделей

Этот интерактивный блокнот расскажет вам и вашим детям, как умножать дроби с помощью моделей. Бесплатная распечатка включена!

Должен признаться, когда я преподавал эту концепцию много лет назад … Я боролся с этим. Мои особенные дети изо всех сил рисовали коробки, а затем видели затененные части.

Умножение дробей на модели сложно, но важно.

Если вы были в моем блоге, вы знаете мою философию. Детям необходимо понимать, что они делают в математике, а не просто подставлять числа в формулы … и использование моделей — прекрасный способ сделать это.Даже если это сложно.

Итак, сегодня все о том, чтобы представить умножение дробей на дроби с помощью модели.

Хотите умножить дробь на целое число? Это может помочь!

Или, если вам нужно умножение смешанных чисел, попробуйте это!

Подготовка к умножению дробей с помощью моделей Интерактивный блокнот

Итак, подготовительной работы к этому занятию очень мало.

1. Печать страниц
2. Предоставьте цветные карандаши, карандаши и тетрадь по математике.

И вы готовы к работе.

Hammermill Paper, Copy, 20 фунтов, 8,5 x 11, 92 ярких, Letter, 1500 листов / 3 стопки, (113620), сделано в США Arayola 24 Ct Erasable Colored PencilMath Notebook: квадратные страницы миллиметровой бумаги 1/2 дюйма, большие (8,5 x 11) дюймов и White Paper

Что дальше?

А теперь самое интересное … Помогаем детям понять умножение дробей с помощью моделей.

Шаг 1

Сначала нарисуйте прямоугольник. Затем посмотрите на первую дробь в выражении и разделите высоту прямоугольника на знаменатель.

Шаг 2

Используйте числитель, чтобы определить, сколько частей необходимо закрасить.

Шаг 3

Затем мы делим ширину прямоугольника вверх, используя число в знаменателе второй дроби.

Шаг 4

Теперь мы используем числитель, чтобы определить, сколько частей нужно закрасить.Я рекомендую использовать другой узор или другой цвет для растушевки второй фракции!

Шаг 5

Наконец, подсчитываем все части, которые были закрашены дважды. Это числитель.

Подсчитайте, сколько частей во всем прямоугольнике, и это знаменатель.

Вот и все !!! Это все, что вам нужно сделать, чтобы научить умножать дроби с помощью моделей. А теперь пора немного попрактиковаться.

Это задание может помочь вашим детям получить дополнительную практику в увлекательной практической работе!

Или ознакомьтесь с нашими 100 фракционными упражнениями!

Хочу, чтобы все мои операции по умножению дробей на дроби были на месте.Получите их здесь !!

Вы получили это

Рэйчел

Нравится:

Нравится Загрузка …

дробей: умножение и деление дробей

Урок 4: Умножение и деление дробей

/ ru / fractions / сложение-и-вычитание-дроби / content /

Умножение дробей

Дробь — это часть из целого .На последнем уроке вы узнали, как складывать и вычитать дроби. Но это не единственная математика, которую вы можете делать с дробями. Бывают случаи, когда будет полезно умножить и дроби.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как написать задачу умножения с дробями.

Попробуй!

Попробуйте настроить задачу умножения ниже. Пока не беспокойтесь о ее решении!

Рецепт требует 2/3 стакана молока. Вы хотите разрезать рецепт пополам.

Примечание : Хотя наш пример говорит, что правильный ответ — 2/3 x 1/2, помните, что порядок умножения не имеет значения. 1/2 x 2/3 тоже будет правильным.

Решение задач умножения с дробями

Теперь, когда мы знаем, как ставить задачи умножения с дробями, давайте попрактикуемся в решении некоторых. Если вы чувствуете себя комфортно, умножая целые числа, вы готовы умножать дроби.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как умножить две дроби.

Попробуй!

Попробуйте решить приведенные ниже задачи умножения.

Умножение дроби на целое число

Умножение дроби и целого числа аналогично умножению двух дробей. Есть только один дополнительный шаг: прежде чем вы сможете умножить, вам нужно превратить целое число в дробь. Это слайд-шоу покажет вам, как это сделать.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как умножить дробь на целое число.

• Умножим 2 раза на 1/3.Помните, это просто еще один способ спросить: «Что такое 1/3 из 2?»

• Прежде чем мы начнем, мы должны убедиться, что эти числа готовы к умножению.

• Мы не можем умножить целое число на дробь, поэтому нам придется записать 2 как дробь.

• Как вы узнали из «Введение в дроби», мы также можем записать 2 как 2/1, потому что 2 можно дважды разделить на 1.

• Теперь мы готовы к умножению!

• Сначала умножим числители : на 2 и 1.

• 2 умножить на 1 равно 2. Мы выровняем 2 вместе с числителями.

• Затем мы умножим знаменателей: 1 и 3.

• 1 умножить на 3 равно 3. Мы выровняем 3 вместе со знаменателями.

• Итак, 2/1, умноженное на 1/3, равно 2/3. Мы также можем сказать, что 1/3 от 2 — это 2/3.

• Давайте попробуем другой пример: 4 раза по 1/5.

• Прежде чем мы начнем, нам нужно будет записать 4 в виде дроби.

• Мы перепишем 4 как 4/1. Теперь мы готовы к размножению.

• Сначала мы умножим числители: 4 и 1.

• 4 раза 1 равно 4, поэтому числитель нашего ответа будет 4.

• Затем мы умножим знаменатели: 1 и 5.

• 1 умножить на 5 равно 5, поэтому 5 является знаменателем нашего ответа.

• Итак, 4/1, умноженное на 1/5, равно 4/5.

Попробуй!

Попробуйте решить приведенные ниже задачи умножения.

Разделение на дроби

За последние несколько страниц вы узнали, как умножить на дробей. Вы, наверное, догадались, что можно разделить и на дробей. Вы делите дроби, чтобы увидеть, сколько частей чего-то приходится на чего-то другого. Например, если вы хотите узнать, сколько четвертей дюйма в четырех дюймах, вы можете разделить 4 на 1/4.

Попробуем другой пример. Представьте, что рецепт требует 3 стакана муки, но ваша мерная чашка вмещает только 1/3, или 1/3 стакана.Сколько третей стакана нужно добавить?

Нам нужно узнать, сколько третей чашки содержится в трех чашках. Другими словами, нам нужно разделить три на одну треть.

Задачу запишем так:

3 ÷ 1/3

Попробуй!

Попробуйте поставить эти задачи деления на дроби. Пока не беспокойтесь о их решении!

Рецепт требует 3/4 стакана воды. У вас есть только 1/8 мерного стакана.

Решение задач деления на дроби

Теперь, когда мы знаем, как писать задачи деления, давайте попрактикуемся в решении нескольких. Деление дробей во многом похоже на умножение. Требуется всего лишь один дополнительный шаг. Если вы можете умножать дроби, вы можете и их делить!

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как разделить целое число на дробь.

• Разделим 3 на 1/3. Помните, это просто еще один способ спросить: «Сколько третей в 3?»

• В нашем уроке о делении вы научились писать знак деления следующим образом (/).

• При делении дробей полезно использовать другой символ для деления (÷), чтобы не ошибочно принять его за дробь.

• Как и умножение, мы начнем с поиска любых целых чисел в нашей задаче. Там один: 3.

• Помните, 3 — это то же самое, что 3/1.

• Прежде чем мы сможем разделить, нам нужно сделать еще одно изменение.

• Мы заменим на числитель и знаменатель дроби, которую мы делим на: 1/3 в этом примере.

• Таким образом, 1/3 становится 3/1.

• Это называется поиском , обратного , или мультипликативного , обратного , дроби.

• Поскольку мы меняем нашу исходную дробь, мы также изменим знак деления (÷) на умножение знак (x).

• Это потому, что умножение — это , обратное делению.

• Теперь мы можем рассматривать это как обычную задачу умножения.

• Сначала мы умножим числители: 3 и 3.

• 3 раза 3 равно 9, поэтому мы напишем это рядом с числителями.

• Затем мы умножим знаменатели: 1 и 1.

• 1 умножить на 1 равно 1, поэтому мы запишем 1 рядом со знаменателем.
  

• Как видите, 3/1 x 1/3 = 9/1.

• Помните, любая дробь больше 1 также может быть выражена как целое число .Итак, 9/1 = 9.

• 3 ÷ 1/3 = 9. Другими словами, 9 третей в 3.

• Давайте попробуем другой пример: 5 разделить на 4/7.

• Как всегда, мы перепишем любые целые числа, так что 5 станет 5/1.

• Далее мы найдем , обратное 4/7. Это дробь, на которую мы делим.

• Для этого мы заменим числителем и знаменателем , так что 4/7 станет 7/4.

• Затем мы изменим знак деления (÷) на умножение знак (x).

• Теперь мы можем умножать как обычно. Сначала мы умножим числители: 5 и 7.

• 5 умножим на 7 равно 35, так что запишем это рядом с числителями.

• Затем мы умножим знаменатели: 1 и 4.

• 1 умножить на 4 равно 4, поэтому мы запишем это рядом со знаменателями.
  

• Итак, 5/1 x 4/7 = 35/4.
  

• Как вы узнали ранее, мы можем преобразовать нашу неправильную дробь в смешанное число , чтобы наш ответ было легче читать.

• 35/4 = 8 3/4. Итак, 5 ÷ 4/7 = 8 3/4.
  

Попробуй!

Попробуйте решить эти проблемы с разделением. Не беспокойтесь сейчас о сокращении ответа .

На две дроби

Мы только что научились делить целое число на дробь .Вы можете использовать тот же метод, чтобы разделить на две дроби .

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как разделить на две дроби.

• Давайте попробуем задачу с двумя дробями: 2/3 ÷ 3/4. Здесь мы хотим знать, сколько 3/4 в 2/3.
  

• Сначала мы найдем , обратное дроби, на которую мы делим: 3/4.

• Для этого мы заменим числителем и знаменателем .Таким образом, 3/4 становится 4/3.

• Затем мы изменим знак деления (÷) на умножение знак (x).

• Теперь умножим числители. 2 x 4 = 8, поэтому мы напишем 8 рядом с верхними числами.

• Затем мы умножим знаменатели. 3 x 3 = 9, поэтому мы напишем 9 рядом с нижними числами.
  

• Итак, 2/3 x 4/3 = 8/9.
  

• Мы также можем записать это как 2/3 ÷ 3/4 = 8/9.
  

• Давайте попробуем другой пример: 4/7 разделить на 2/9.

• Целых чисел нет, поэтому мы найдем , обратное дроби, на которую мы делим. Это 2/9.

• Для этого мы заменим числителем и знаменателем . Таким образом, 2/9 становится 9/2.

• Теперь мы изменим знак деления (÷) на умножение знак (x) и умножим как обычно.

• Сначала умножим числители. 4 x 9 = 36.

• Затем мы умножим знаменатели. 7 x 2 = 14.

• Итак, 4/7 x 9/2 = 36/14. Как и раньше, вы можете преобразовать эту неправильную дробь в смешанное число.

• Итак, 4/7 ÷ 2/9 = 2 8/14.

Попробуй!

Попробуйте решить эти проблемы с разделением. Не беспокойтесь сейчас о сокращении ответа .

Умножение и деление смешанных чисел

Как бы вы решили такую ​​проблему?

Как вы узнали на предыдущем уроке, всякий раз, когда вы решаете задачу с смешанным числом , вам нужно сначала преобразовать его в неправильную дробь .Затем вы можете как обычно умножать или делить.

Использование отмены для упрощения задач

Иногда вам может понадобиться решить такие проблемы:

Обе эти дроби включают больших чисел . Эти дроби можно умножать так же, как и любые другие дроби. Однако такие большие числа трудно понять. Можете ли вы представить себе 21/50 или двадцать одна пятидесятая , ?

21/50 x 25/14 = 525/700

Даже ответ кажется сложным.Это 525/700, или пятьсот двадцать пять семисотых . Какой полный рот!

Если вам не нравится работать с большими числами, вы можете упростить такую ​​задачу, используя метод под названием отмена . Когда вы отменяете дроби в задаче, вы уменьшаете их обе на одновременно.

Поначалу отмена может показаться сложной, но мы покажем вам, как это сделать шаг за шагом. Давайте еще раз посмотрим на только что рассмотренный пример.

Шаг 1

Сначала посмотрите на числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Мы хотим посмотреть, можно ли разделить на на одно и то же число.

В нашем примере 21 и 14 можно разделить на 7.

Шаг 2

Затем мы разделим 21 и 14 на 7. Сначала разделим наше верхнее число слева: 21.

21 ÷ 7 = 3

Затем разделим нижнее число справа: 14.

14 ÷ 7 = 2

Мы напишем ответы на каждую задачу рядом с числами, которые мы разделили. Поскольку 21 ÷ 7 равно 3, запишем 3 вместо 21. 14 ÷ 7 равно 2, поэтому напишем 2 вместо 14. Мы можем зачеркнуть или отменить , числа, с которых мы начали.

Наша задача теперь выглядит намного проще, не так ли?

Шаг 3

Давайте посмотрим на другие числа дроби. На этот раз мы рассмотрим знаменатель первой дроби и числитель второй.Можно ли их разделить на на одно и то же число?

Обратите внимание, что их можно разделить на 25! Вы также могли заметить, что их можно разделить на 5. Мы также можем использовать 5 , но обычно, когда вы отменяете, вы хотите найти наибольшее число , на которое можно разделить оба числа. Таким образом, вам не придется снова уменьшать дробь в конце.

Шаг 4

Затем мы отменим , как мы это делали на шаге 2.
Разделим нижнее число слева: 50.

50 ÷ 25 = 2

Затем разделим верхнее число справа: 25.

25 ÷ 25 = 1

Мы напишем ответы на каждую задачу рядом с числами, которые мы разделили.

Шаг 5

Теперь, когда мы отменили исходные дроби, мы можем умножить наши новые дроби, как обычно. Как всегда, сначала умножаем числители:

3 х 1 = 3

Затем умножьте знаменатели:

2 х 2 = 4

Таким образом, 3/2 x 1/2 = 3/4, или трех четвертей .

Шаг 6

Наконец, давайте еще раз проверим нашу работу. 525/700 был бы нашим ответом, если бы мы решили проблему без отмены. Если мы разделим 525 и 700 на 175, мы увидим, что 525/700 равно 3/4.

Можно также сказать, что мы уменьшаем 525/700 до 3/4. Помните, что отмена — это еще один способ уменьшить дроби перед решением проблемы. Вы получите один и тот же ответ, независимо от того, когда вы их уменьшите.

/ ru / фракции / преобразование-проценты-десятичные-и-дроби / содержание /

Как умножать дроби — Лучшие классы GED

Умножение дробей относительно просто.Если вы хотите умножить две дроби, вам просто нужно умножить числители и знаменатели.

Умножение дробей совсем несложно. Это всего лишь два умножения, а затем, может быть, некоторое упрощение. Если вы будете перемножать вершины и основания, у вас все готово. Думаю, у вас здесь не будет проблем. Ха.

Умножение простых дробей — Здесь мы начнем с некоторых простых дробей с маленькими числами. Думаю, вы помните таблицы умножения до \ (10 ​​\) (десяти).

Во-первых, давайте начнем с однозначных чисел. Вы можете заметить, что здесь нас больше не беспокоят общие знаменатели. Как сказано, просто умножьте верхние числа, а затем умножьте нижние числа.

\ (\ frac {2} {5} * \ frac {2} {3} \) равно?

• Сначала умножьте два числителя, чтобы получить новый числитель произведения. Итак: \ (2 * 2 = 4 \)

• Затем умножьте два знаменателя, чтобы получить новый знаменатель произведения. Итак: \ (5 * 3 = 15 \)

• Затем сложите новый числитель и новый знаменатель.Итак: \ (\ frac {4} {15} \)

• Тогда упростите. Для этой дроби нет никакого упрощения.

Ответ: \ (\ frac {2} {5} * \ frac {2} {3} \) равно \ (\ frac {4} {15} \)

Можно ли таким же образом сделать три дроби? Конечно.

\ (\ frac {1} {2} * \ frac {3} {4} * \ frac {2} {5} \) равно?

• Сначала умножьте три числителя, чтобы получить новый числитель произведения. Итак, \ (1 * 3 * 2 = 6 \)

• Затем умножьте три знаменателя, чтобы получить новый знаменатель произведения.Итак \ (2 * 4 * 5 = 40 \)

• Затем сложите новый числитель и новый знаменатель. Итак \ (\ frac {6} {40} \)

• Тогда упростите. \ (6 \) и \ (40 \) оба имеют общий делитель два \ ((2) \). Поэтому разделите верх и низ на \ (2 \) (два), чтобы получить упрощенную долю от \ (\ frac {3} {20} \).

Ответ: \ (\ frac {1} {2} * \ frac {3} {4} * \ frac {2} {5} \) равно \ (\ frac {3} {20} \)

Умножение сложных дробей — Бывают моменты, когда вы застрянете с более сложными дробями.Итак, давайте попробуем один пример с более сложным умножением:

\ (\ frac {5} {12} * \ frac {5} {6} \) равно?

• Сначала умножьте оба числителя, чтобы получить новый числитель. Итак \ (5 * 5 = 25 \)

• Затем умножьте оба знаменателя, чтобы получить новый знаменатель. Итак \ (12 * 6 = 72 \)

• Затем сложите новый числитель и новый знаменатель. Итак \ (\ frac {25} {72} \)

• Тогда, если возможно, упростите. Что ж, для этой дроби нет никакого упрощения.

Ответ: \ (\ frac {5} {12} * \ frac {5} {6} \) равно \ (\ frac {25} {72} \)

Вы видите? Мы используем тот же процесс.Даже когда нам нужно умножать большие числа.

Умножение смешанных чисел — Вы помните, когда мы вычитали смешанные числа? Затем мы сначала сделали неправильные дроби, прежде чем приступить к решению проблемы. В этом первом примере мы будем использовать тот же процесс.

\ (5 \, \ frac {1} {3} * 2 \, \ frac {4} {9} \) равно?

• Сначала преобразуйте все множители в неправильные дроби:

Итак, \ (5 \, \ frac {1} {3} = 5 \, + \ frac {1} {3} = \ frac {15} {3} + \ frac {1} {3} = \ frac { 16} {3} \)

И \ (2 \, \ frac {4} {9} = 2 \, + \ frac {4} {9} = \ frac {18} {9} + \ frac {4} {9} = \ frac {22} {9} \)

• Затем умножьте два числителя.Итак \ (16 * 22 = 352 \)

• Затем умножьте два знаменателя. Итак \ (3 * 9 = 27 \)

• Затем запишите исходный продукт, используя новый числитель и новый знаменатель. Итак \ (\ frac {352} {27} \)

• Затем преобразуйте эту неправильную дробь в целое число.

Следующий урок: деление дробей

Итак, \ (\ frac {352} {27} = 352 \ div 27 = 13r1 = 13 \, \ frac {1} {27} \)

• Затем, если возможно, упростите дробь.Здесь нет никаких упрощений.

Ответ: \ (5 \, \ frac {1} {3} * 2 \, \ frac {4} {9} \) равно \ (13 \, \ frac {1} {27} \)

Имейте в виду, что знаменатели не имеют значения при умножении дробей. Это единственные три шага:

1. Сначала перемножьте все числители и получите новый числитель.
2. Затем умножьте знаменатели и получите новый знаменатель.
3. Затем, если нужно, просто ответьте.

Последнее обновление 13 мая 2021 г.

4.3: Умножение и деление дробей (часть 1)

Упростить дроби

При работе с эквивалентными дробями вы увидели, что есть много способов записать дроби, которые имеют одинаковое значение или представляют одну и ту же часть целого. Как узнать, какой из них использовать? Часто мы будем использовать дробь в упрощенной форме .

Дробь считается упрощенной, если в числителе и знаменателе нет общих множителей, кроме \ (1 \).Если у дроби есть общие множители в числителе и знаменателе, мы можем привести дробь к ее упрощенной форме, удалив общие множители.

Определение: упрощенная дробь

Дробь считается упрощенной, если в числителе и знаменателе нет общих множителей.

Например,

• \ (\ dfrac {2} {3} \) упрощено, потому что нет общих множителей для \ (2 \) и \ (3 \).
• \ (\ dfrac {10} {15} \) не упрощается, потому что \ (5 \) является общим делителем \ (10 ​​\) и \ (15 \).

Процесс упрощения дроби часто называют сокращением дроби . В предыдущем разделе мы использовали свойство Equivalent Fractions Property, чтобы найти эквивалентные дроби. Мы также можем использовать свойство Equivalent Fractions в обратном порядке, чтобы упростить дроби. Мы переписываем свойство, чтобы отображать обе формы вместе.

Определение: Свойство эквивалентных дробей

Если \ (a, b, c \) — числа, где \ (b ≠ 0, c ≠ 0 \), то \ (\ dfrac {a} {b} = \ dfrac {a \ cdot c} {b \ cdot c} \) и \ (\ dfrac {a \ cdot c} {b \ cdot c} = \ dfrac {a} {b} \).

Обратите внимание, что \ (c \) является общим множителем в числителе и знаменателе. Каждый раз, когда у нас есть общий множитель в числителе и знаменателе, его можно удалить.

КАК: УПРОСТИТЬ ФРАКЦИЮ

Шаг 1. Перепишите числитель и знаменатель, чтобы показать общие множители. При необходимости разложите числитель и знаменатель на простые числа.

Шаг 2. Упростите, используя свойство эквивалентных дробей, удалив общие множители.

Шаг 3. Умножьте оставшиеся множители.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): упростить

Упростить: \ (\ dfrac {10} {15} \).

Решение

Чтобы упростить дробь, мы ищем общие множители в числителе и знаменателе.

Обратите внимание, что 5 является множителем как 10, так и 15.	\ (\ dfrac {10} {15} \)
Разделите числитель и знаменатель на множители.	\ (\ dfrac {2 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} {3 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Удалите общие множители.	\ (\ dfrac {2 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {5}}} {3 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {5}}} \)
Упростить.	\ (\ dfrac {2} {3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Упростить: \ (\ dfrac {8} {12} \).

Ответ

\ (\ dfrac {2} {3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Упростить: \ (\ dfrac {12} {16} \).

Ответ

\ (\ dfrac {3} {4} \)

Чтобы упростить отрицательную дробь, мы используем тот же процесс, что и в примере \ (\ PageIndex {1} \). Не забывайте сохранять отрицательный знак.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): упростить

Упростить: \ (- \ dfrac {18} {24} \).

Решение

Мы замечаем, что 18 и 24 оба имеют множитель 6.	\ (- \ dfrac {18} {24} \)
Запишите числитель и знаменатель, указав общий множитель.	\ (- \ dfrac {3 \ cdot \ textcolor {красный} {6}} {4 \ cdot \ textcolor {красный} {6}} \)
Удалите общие множители.	\ (- \ dfrac {3 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {6}}} {4 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {6}}} \)
Упростить.	\ (- \ dfrac {3} {4} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Упростить: \ (- \ dfrac {21} {28} \).

Ответ

\ (- \ dfrac {3} {4} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Упростить: \ (- \ dfrac {16} {24} \).

Ответ

\ (- \ dfrac {2} {3} \)

После упрощения дроби всегда важно проверять результат, чтобы убедиться, что у числителя и знаменателя больше нет общих множителей. Помните, что определение упрощенной дроби: дробь считается упрощенной, если в числителе и знаменателе нет общих множителей.

Когда мы упрощаем неправильную дробь, нет необходимости заменять ее смешанным числом.

Пример \ (\ PageIndex {3} \):

Упростить: \ (- \ dfrac {56} {32} \).

Решение

	\ (- \ dfrac {56} {32} \)
Записываем числитель и знаменатель, показывая общие множители, 8.	\ (- \ dfrac {7 \ cdot \ textcolor {красный} {8}} {4 \ cdot \ textcolor {красный} {8}} \)
Удалите общие множители.	\ (- \ dfrac {7 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {8}}} {4 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {8}}} \)
Упростить.	\ (- \ dfrac {7} {4} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Упростить: \ (- \ dfrac {54} {42} \).

Ответ

\ (- \ dfrac {9} {7} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Упростить: \ (- \ dfrac {81} {45} \).

Ответ

\ (- \ dfrac {9} {5} \)

КАК: УПРОСТИТЬ ФРАКЦИЮ

Шаг 1.Перепишите числитель и знаменатель, чтобы показать общие множители. При необходимости разложите числитель и знаменатель на простые числа.

Шаг 2. Упростите, используя свойство эквивалентных дробей, удалив общие множители.

Шаг 3. Умножьте оставшиеся множители.

Иногда бывает непросто найти общие множители числителя и знаменателя. Тогда хорошая идея — разложить числитель и знаменатель на простые числа. (Вы можете использовать метод факторного дерева для определения основных факторов.Затем разделите общие множители с помощью свойства эквивалентных дробей.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): упростить

Упростить: \ (\ dfrac {210} {385} \).

Решение

	\ (\ dfrac {210} {385} \)
Используйте факторные деревья, чтобы разложить числитель и знаменатель на множители.
Записываем числитель и знаменатель как произведение простых чисел.	\ (\ dfrac {210} {385} = \ dfrac {2 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7} {5 \ cdot 7 \ cdot 11} \)
Удалите общие множители.	\ (\ dfrac {2 \ cdot 3 \ cdot \ cancel {\ textcolor {blue} {5}} \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {7}}} {\ cancel {\ textcolor {blue} {5 }} \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {7}} \ cdot 11} \)
Упростить.	\ (\ dfrac {2 \ cdot 3} {11} \)
Умножьте оставшиеся множители.	\ (\ dfrac {6} {11} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Упростить: \ (\ dfrac {69} {120} \).

Ответ

\ (\ dfrac {23} {40} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Упростить: \ (\ dfrac {120} {192} \).

Ответ

\ (\ dfrac {5} {8} \)

Мы также можем упростить дроби, содержащие переменные.Если переменная является общим множителем в числителе и знаменателе, мы удаляем ее так же, как и целочисленный множитель.

Пример \ (\ PageIndex {5} \): упростить

Упростить: \ (\ dfrac {5xy} {15x} \).

Решение

	\ (\ dfrac {5xy} {15x} \)
Перепишите числитель и знаменатель, указав общие множители.	\ (\ dfrac {5 \ cdot x \ cdot y} {3 \ cdot 5 \ cdot x} \)
Удалите общие множители.	\ (\ dfrac {\ cancel {5} \ cdot \ cancel {x} \ cdot y} {3 \ cdot \ cancel {5} \ cdot \ cancel {x}} \)
Упростить.	\ (\ dfrac {y} {3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Упростить: \ (\ dfrac {7x} {7y} \).

Ответ

\ (\ dfrac {x} {y} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

Упростить: \ (\ dfrac {9a} {9b} \).

Ответ

\ (\ dfrac {a} {b} \)

Умножение дробей

Модель может помочь вам понять умножение дробей. Мы будем использовать дробные плитки для моделирования \ (\ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} \). Чтобы умножить \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {3} {4} \), подумайте \ (\ dfrac {1} {2} \) из \ (\ dfrac {3} { 4} \).

Начните с дробных плиток на три четверти. Чтобы найти половину из трех четвертей, нам нужно разделить их на две равные группы.Поскольку мы не можем разделить три плитки \ (\ dfrac {1} {4} \) равномерно на две части, мы меняем их на плитки меньшего размера.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

Мы видим, что \ (\ dfrac {6} {8} \) эквивалентен \ (\ dfrac {3} {4} \). Взяв половину из шести плиток \ (\ dfrac {1} {8} \), мы получим три плитки \ (\ dfrac {1} {8} \), то есть \ (\ dfrac {3} {8} \). Следовательно,

\ [\ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} = \ dfrac {3} {8} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {6} \): смоделировать дробь

Используйте диаграмму для моделирования \ (\ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} \).

Решение

Первый оттенок в \ (\ dfrac {3} {4} \) прямоугольника.

Мы возьмем \ (\ dfrac {1} {2} \) из этого \ (\ dfrac {3} {4} \), поэтому мы сильно заштрихуем \ (\ dfrac {1} {2} \) затененных область, край.

Обратите внимание, что 3 из 8 частей сильно заштрихованы. Это означает, что \ (\ dfrac {3} {8} \) прямоугольника сильно закрашен. Следовательно, \ (\ dfrac {1} {2} \) из \ (\ dfrac {3} {4} \) равно \ (\ dfrac {3} {4} \) или \ (\ dfrac {1} { 2} \ cdot \ dfrac {3} {4} = \ dfrac {3} {8} \).

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Используйте диаграмму для моделирования: \ (\ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {5} \).

Ответ

\ (\ dfrac {3} {10} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Используйте диаграмму для моделирования: \ (\ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {5} {6} \).

Ответ

\ (\ dfrac {5} {12} \)

Посмотрите на результат, который мы получили от модели в примере \ (\ PageIndex {6} \).Мы обнаружили, что \ (\ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} = \ dfrac {3} {8} \). Вы заметили, что мы могли бы получить тот же ответ, умножив числители и знаменатели?

	\ (\ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} \)
Умножьте числители и умножьте знаменатели.	\ (\ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} \)
Упростить.	\ (\ dfrac {3} {8} \)

Это приводит к определению умножения дроби.Для умножения дробей умножаем числители и умножаем знаменатели. Затем запишем дробь в упрощенном виде.

Определение: умножение дробей

Если \ (a, b, c, \) и \ (d \) — числа, где \ (b ≠ 0 \) и \ (d ≠ 0 \), то

\ [\ dfrac {a} {b} \ cdot \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ac} {bd} \]

Пример \ (\ PageIndex {7} \): умножить

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: \ (\ dfrac {3} {4} \ cdot \ dfrac {1} {5} \).

Решение

	\ (\ dfrac {3} {4} \ cdot \ dfrac {1} {5} \)
Умножьте числители и умножьте знаменатели.	\ (\ dfrac {3 \ cdot 1} {4 \ cdot 5} \)
Упростить.	\ (\ dfrac {3} {20} \)

Общих множителей нет, поэтому дробь упрощена.

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: \ (\ dfrac {1} {3} \ cdot \ dfrac {2} {5} \).

Ответ

\ (\ dfrac {2} {15} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: \ (\ dfrac {3} {5} \ cdot \ dfrac {7} {8} \).

Ответ

\ (\ dfrac {21} {40} \)

При умножении дробей по-прежнему применяются свойства положительных и отрицательных чисел. В качестве первого шага рекомендуется определить знак продукта. В примере \ (\ PageIndex {8} \) мы умножим два отрицательных числа, так что произведение будет положительным.

Пример \ (\ PageIndex {8} \): умножить

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: \ (- \ dfrac {5} {8} \ left (- \ dfrac {2} {3} \ right) \).

Решение

	\ (- \ dfrac {5} {8} \ left (- \ dfrac {2} {3} \ right) \)
Знаки те же, значит товар положительный. Умножьте числители, умножьте знаменатели.	\ (\ dfrac {5 \ cdot 2} {8 \ cdot 3} \)
Упростить.	\ (\ dfrac {10} {24} \)
Найдите общие множители в числителе и знаменателе.Перепишите, указав общие факторы.	\ (\ dfrac {5 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {2}}} {12 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {2}}} \)
Удалите общие множители.	\ (\ dfrac {5} {12} \)

Другой способ найти этот продукт — это удалить общие факторы ранее.

	\ (- \ dfrac {5} {8} \ left (- \ dfrac {2} {3} \ right) \)
Определите знак товара.Умножить.	\ (\ dfrac {5 \ cdot 2} {8 \ cdot 3} \)
Показать общие множители, а затем удалить их.	\ (\ dfrac {5 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {2}}} {12 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {2}}} \)
Умножьте оставшиеся множители.	\ (\ dfrac {5} {12} \)

Получаем тот же результат.

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: \ (- \ dfrac {4} {7} \ left (- \ dfrac {5} {8} \ right) \).

Ответ

\ (\ dfrac {5} {14} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: \ (- \ dfrac {7} {12} \ left (- \ dfrac {8} {9} \ right) \).

Ответ

\ (\ dfrac {14} {27} \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \): умножить

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: \ (- \ dfrac {14} {15} \ cdot \ dfrac {20} {21} \).

Решение

	\ (- \ dfrac {14} {15} \ cdot \ dfrac {20} {21} \)
Определить знак товара; умножить.	\ (- \ dfrac {14} {15} \ cdot \ dfrac {20} {21} \)
Есть ли общие множители в числителе и знаменателе? Мы знаем, что 7 — это множитель 14 и 21, а 5 — множитель 20 и 15.
Перепишите общие множители.	\ (- \ dfrac {2 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {7}} \ cdot 4 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {5}}} {3 \ cdot \ cancel {\ textcolor { красный} {5}} \ cdot 3 \ cdot \ cancel {\ textcolor {red} {7}}} \)
Удалите общие множители.	\ (- \ dfrac {2 \ cdot 4} {3 \ cdot 3} \)
Умножьте оставшиеся множители.	\ (- \ dfrac {8} {9} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме: \ (- \ dfrac {10} {28} \ cdot \ dfrac {8} {15} \).

Ответ

\ (- \ dfrac {4} {21} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме: \ (- \ dfrac {9} {20} \ cdot \ dfrac {5} {12} \).

Ответ

\ (- \ dfrac {3} {16} \)

При умножении дроби на целое число может оказаться полезным записать целое число в виде дроби. Любое целое число a можно записать как \ (\ dfrac {a} {1} \).Так, например, \ (3 = \ dfrac {3} {1} \).

Пример \ (\ PageIndex {10} \):

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде:

1. \ (\ dfrac {1} {7} \ cdot 56 \)
2. \ (\ dfrac {12} {5} (-20x) \)

Решение

	\ (\ dfrac {1} {7} \ cdot 56 \)
Запишите 56 как дробь.	\ (\ dfrac {1} {7} \ cdot \ dfrac {56} {1} \)
Определить знак товара; умножить.	\ (\ dfrac {56} {7} \)
Упростить.	\ (8 \)

	\ (\ dfrac {12} {5} (-20x) \)
Запишите −20x в виде дроби.	\ (\ dfrac {12} {5} \ left (\ dfrac {-20x} {1} \ right) \)
Определить знак товара; умножить.	\ (- \ dfrac {12 \ cdot 20 \ cdot x} {5 \ cdot 1} \)
Показать общие множители, а затем удалить их.	\ (- \ dfrac {12 \ cdot \ textcolor {red} {4 \ cdot \ cancel {5} x}} {\ cancel {5} \ cdot 1} \)
Умножить оставшиеся множители; упрощать.	\ (- 48x \)

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \)

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде:

1. \ (\ dfrac {1} {8} • 72 \)
2. \ (\ dfrac {11} {3} (−9a) \)

Ответьте на

\ (9 \)

Ответ b

\ (- 33a \)

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде:

1. \ (\ dfrac {3} {8} • 64 \)
2. \ (16x • \ dfrac {11} {12} \)

Ответьте на

\ (24 \)

Ответ b

\ (\ dfrac {44x} {3} \)

.

Корень 3 степени из 243 y 2. Кубический корень (извлечение без калькулятора)

При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).

Вам понадобится

• калькулятор или компьютер

Инструкция

• Чтобы посчитать корень третьей степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).
• Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень».y.
• Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

• Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
• Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
• И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
3. Выполнить вычитание.
4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
5. В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
6. Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
7. Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

1. 15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
3. а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3
4. Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
5. Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
6. Приписать к остатку три нуля.
7. а = 24. Тогда 172800 х + 720 х 2 + х 3
8. х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
9. Снова приписать нули.
10. а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х 2 + х 3
11. х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.

Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.

Необычный способ извлечения кубического корня

Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.

К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.

Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.

Из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

Мы знаем, что:

Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

1. Это кубы чисел кратных десяти:

Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

2. Это свойство чисел при произведении.

Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

Рассмотрим примеры:

Извлечь кубический корень из 21952.

Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

Извлечь кубический корень из 54852.

Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

Извлечь кубический корень из 571787.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

Извлечь кубический корень из 614125.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

• Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
• Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

• В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  • √(25 х 16)
  • √25 х √16
  • 5 х 4 = 20

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

• Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  • = √(49 х 3)
  • = √49 х √3
  • = 7√3

Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

• Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

• Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
• Рассмотрим другой пример: √88.
  • = √(2 х 44)
  • = √ (2 х 4 х 11)
  • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

Вычисление квадратного корня вручную

При помощи деления в столбик

1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».

   • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

   • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4

3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

   • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.

5. Заполните прочерки справа.

   • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

   • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.

8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

   • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.

9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

Понимание процесса

Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.

Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.

Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa

   • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8

2. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

   • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.

Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.

Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .

Извлечение квадратного корня

Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

Пример решения квадратных корней в калькуляторе:

Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

Квадратный корень из отрицательного числа:

Корень третьей степени

Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

Корень 3 степени:

Корень степени n

Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

Корень 4 степени:

Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

Корень 5 степени с приблизительным результатом:

Корень из дроби

Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

Квадратный корень из дроби:

Корень из корня

В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

Пример, как извлечь корень из корня:

Степень в корне

Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.

Квадратный корень из степени:

Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.

Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

Инженерный калькулятор. Кубический корень (извлечение без калькулятора)

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

• Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
• Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
• И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
3. Выполнить вычитание.
4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
5. В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
6. Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
7. Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

1. 15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
3. а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3
4. Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
5. Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
6. Приписать к остатку три нуля.
7. а = 24. Тогда 172800 х + 720 х 2 + х 3
8. х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
9. Снова приписать нули.
10. а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х 2 + х 3
11. х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.

Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.

Необычный способ извлечения кубического корня

Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.

К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.

Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.

Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.

Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .

Извлечение квадратного корня

Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

Пример решения квадратных корней в калькуляторе:

Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

Квадратный корень из отрицательного числа:

Корень третьей степени

Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

Корень 3 степени:

Корень степени n

Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

Корень 4 степени:

Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

Корень 5 степени с приблизительным результатом:

Корень из дроби

Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

Квадратный корень из дроби:

Корень из корня

В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

Пример, как извлечь корень из корня:

Степень в корне

Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.

Квадратный корень из степени:

Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.

Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

• Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
• Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

• В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  • √(25 х 16)
  • √25 х √16
  • 5 х 4 = 20

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

• Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  • = √(49 х 3)
  • = √49 х √3
  • = 7√3

Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

• Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

• Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
• Рассмотрим другой пример: √88.
  • = √(2 х 44)
  • = √ (2 х 4 х 11)
  • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

Вычисление квадратного корня вручную

При помощи деления в столбик

1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».

   • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

   • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4

3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

   • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.

5. Заполните прочерки справа.

   • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

   • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.

8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

   • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.

9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

Понимание процесса

Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.

Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.

Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa

   • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8

2. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

   • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.

Из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

Мы знаем, что:

Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

1. Это кубы чисел кратных десяти:

Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

2. Это свойство чисел при произведении.

Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

Рассмотрим примеры:

Извлечь кубический корень из 21952.

Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

Извлечь кубический корень из 54852.

Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

Извлечь кубический корень из 571787.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

Извлечь кубический корень из 614125.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).

Вам понадобится

• калькулятор или компьютер

Инструкция

• Чтобы посчитать корень третьей степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень.y.
• Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

Фактор многочлена или выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений высших степеней. На самом деле процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, кроме этого пункта, можно выполнить без его понимания.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами .Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение находится в факторизованной форме , только если все выражение является указанным произведением.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны учитывать выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс преобразования выражения суммы или разности терминов в произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не меняется, а только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
2. Фактор общих факторов.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5(2x + 1), чтобы получить 10x + 5. Обычно факторизация «отменяет» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители, удалив общие множители, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий множитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и отыщите наибольший из них.Это самый большой общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

Продолжайте, поместив 3x перед набором скобок.

Члены в скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это обратный процесс, который мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразуется в факторизованную форму.Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, то должно быть верно, что . Умножьте, чтобы увидеть, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами: «Удалили ли мы все общие факторы? Можем ли мы еще добавить факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x ² + 6xy + 9xy ² , ответ был бы

3(x ² + 2xy + 3xy ² ).

Умножая для проверки, мы находим, что ответ на самом деле равен исходному выражению. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не является полностью факторизованным.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Для корректного факторинга решение должно соответствовать двум критериям:

1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
2. FВыражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Коэффициент 12x ³ + 6x ² + 18x.

Решение

На данный момент нет необходимости перечислять факторы каждого термина. Вы должны быть в состоянии мысленно определить наибольший общий множитель. Хорошей процедурой для подражания является продумывание элементов по отдельности. Другими словами, не пытайтесь сразу получить все общие множители, а сначала получите число, а затем каждую соответствующую букву.Например, 6 — это множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12 х ³ + 6 х ² + 18 х = 6 х (2 х ² + х + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Спросите себя: «Каков наибольший общий делитель чисел 12, 6 и 18?»

Затем «Каков наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»

Помните, это проверка, чтобы убедиться, что мы правильно рассчитали.

Снова умножьте как чек.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы в отдельности.

Если выражение нельзя разложить на множители, говорят, что оно простое .

Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПО ГРУППЕ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Факторные выражения, когда общий фактор включает более одного термина.
2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, относится к методу факторинга, который называется группировкой .

Во-первых, мы должны отметить, что общий фактор не обязательно должен быть одним термином. Например, в выражении 2y(x + 3) + 5(x + 3) есть два члена. Это 2y(x + 3) и 5(x + 3). В каждом из этих терминов у нас есть множитель (x + 3), состоящий из терминов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага для факторизации.

Решение

Во-первых, обратите внимание, что не все четыре члена в выражении имеют общий делитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем разложить первые два члена на 3, что даст 3(ax + 2y). Если мы разложим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Теперь выражение равно 3(ax + 2y) + a(ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить как (ax + 2y)(3 + a). Умножая (ax + 2y)(3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a ² x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример факторизации путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y)(a + 2) и посмотрите, получится ли исходное выражение. Опять умножить как чек.

Иногда члены должны быть сначала переупорядочены, прежде чем можно будет выполнить разложение по группам.

Пример 7 Коэффициент 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего делителя, но первый и третий члены имеют, поэтому мы переставим члены так, чтобы третий член располагался после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором термины могут быть расположены.

Во всех случаях важно быть уверенным, что коэффициенты в скобках абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти термины. Умножить как чек.

Пример 8 Коэффициент ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что если мы разложим a из первых двух членов, мы получим a(x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2(-x + y), но разложение на множители «-2» дает -2(x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому мы действуем таким образом.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ТРЕХНОМОВ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Умножьте в уме два двучлена.
2. Разложите трехчлен с коэффициентом первого члена, равным 1.
3. Найдите делители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет связано с разложением на множители трехчленов как произведений двух двучленов. В предыдущей главе вы научились умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух двучленов и разработать шаблон для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3)(3x — 4) = 6x ² + x — 12 обратите внимание, что первый член ответа (6x ² ) получен из произведения двух первых членов множителей , то есть (2x)(3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) получен из произведения вторых членов факторов, то есть ( + 3)(-4).

Теперь у нас есть следующая часть шаблона:

Теперь снова взглянув на пример, мы видим, что средний член (+x) получен из суммы двух произведений (2x)(-4) и (3)(3x).

Теперь для любых двух биномов у нас есть следующие четыре произведения:

1. Первый срок за первым сроком
2. Внешние условия
3. Внутренние условия
4. Последний срок за последним сроком

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних членов и внутренних членов дают одинаковые члены, их можно объединить, и решение будет трехчленным.

Этот метод умножения двух двучленов иногда называют методом FOIL. FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last. Это быстрый метод умножения двух двучленов, и его полезность будет видна, когда мы разложим трехчлены.

Вы должны запомнить эту схему.

Опять же, возможно, запоминание слова ФОЛЬГА поможет.

Этот образец следует не только запомнить, но и научиться переходить от задачи к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, постарайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме самого ответа. Чем больше вы практикуете этот процесс, тем лучше у вас будет факторинг.

Теперь, когда мы установили схему умножения двух двучленов, мы готовы разложить трехчлены на множители. Сначала мы рассмотрим разложение на множители только тех трехчленов, у которых коэффициент первого члена равен 1.

Решение

Так как это трехчлен и не имеет общего делителя, мы будем использовать шаблон умножения для множителя.

На самом деле мы будем работать в обратном порядке по сравнению с предыдущим упражнением.

Сначала напишите круглые скобки под задачей.

Теперь мы хотим заполнить термины так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x)(x) = x ² .

Помните, произведение первых двух членов двучлена дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и в то же время складывают, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих у нас будет правильный первый и последний термин.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение

Этот метод факторинга называется методом проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут пригодиться некоторые числовые факты из арифметики. Произведение двух нечетных чисел нечетно. Произведение двух четных чисел четно. Произведение нечетного и четного числа равно четному. Сумма двух нечетных чисел четна. Сумма двух четных чисел четна. Сумма нечетного и четного числа нечетна. Следовательно, когда мы факторизуем такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов бинома должно быть 24, что является четным, а их сумма должна быть равна 11, что является нечетным. Таким образом, будет работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема немного другая. Мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и при этом при сложении дают — 11. Всегда нужно помнить о закономерности. Последний член получается строго путем умножения, а средний член получается, наконец, из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, а средний член должен исходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить в терминах различия. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок факторов не имеет значения. по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут разложить трехчлены на множители:

1. Когда знак третьего члена положителен, оба знака в множителях должны быть одинаковыми, и они должны быть одинаковыми со знаком среднего члена.
2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент первого слагаемого не равен 1, проблема факторинга значительно усложняется, потому что число возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, вы теперь готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что есть двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один из них имеет 17x в качестве среднего члена.

Конечно, вы могли бы попробовать каждое из них мысленно вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три термина:

В этом примере одна из двенадцати возможностей верна. Таким образом, проб и ошибок может занять очень много времени.

Несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «образованное угадывание», в котором мы применяем все наши знания о числах и упражняемся в умственной арифметике. В предыдущем примере мы бы сразу отбросили многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x в качестве среднего члена, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12 и т. д., поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетно, мы знаем, что это сумма четного числа и нечетного числа. Все эти вещи помогают сократить количество возможных попыток.

Сначала найдите числа, дающие правильный первый и последний члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего члена.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
3. Множители 6×2 равны x, 2x, 3x, 6x. Делители 15 равны 1, 3, 5, 15.
4. Исключить как слишком большое произведение 15 на 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.

Это автоматически дало бы слишком большой средний срок.

Посмотрите, как сократилось количество возможностей.

Решение

Анализ:

1. Последний член отрицательный, поэтому отличается от знаков.
2. Мы должны найти произведения, отличающиеся на 5 с большим отрицательным числом.
3. Мы исключаем произведение 4x и 6 как возможно слишком большое.
4. Попробуйте несколько комбинаций.

Помните, мысленно попробуйте различные возможные комбинации, которые являются разумными.Это процесс факторинга методом проб и ошибок. Вы станете более опытным в этом процессе благодаря практике.

(4x — 3)(x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принять это как решение, а поменяйте знаки так, чтобы большее произведение совпадало по знаку со средним членом.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы должны чувствовать себя намного более комфортно при разложении трехчлена на множители.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ В ФАКТОРИНГЕ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Определите и разложите на множители разности двух идеальных квадратов.
2. Определите и разложите на множители совершенный квадратный трехчлен.

В этом разделе мы хотим рассмотреть некоторые частные случаи факторинга, которые часто встречаются в задачах. Если эти особые случаи признаются, факторинг значительно упрощается.

Первый частный случай, который мы обсудим, — это разность двух полных квадратов .

Вспомним, что при умножении двух двучленов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, говорят, что одно из чисел является аддитивной инверсией другого. Например: ( + 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивным, обратным к — 3, а также -3 является аддитивным, обратным к +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два двучлена умножаются, чтобы получить двучлен (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b)(a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной в факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема для факторизации и если она имеет форму , факторы будут (a — b)(a + b).

Решение

Здесь оба члена являются полными квадратами и разделены знаком минус.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забудьте признать, что особый случай — это просто особый случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разность двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разлагается.

Вы также должны быть осторожны, чтобы распознать правильные квадраты.Помните, что совершенные квадратные числа — это числа, квадратные корни которых являются целыми числами. Кроме того, совершенные квадратные показатели четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) является полным квадратом. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено по этому методу.

Другим частным случаем факторинга является совершенный квадратный трехчлен. Заметьте, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы узнаём этот случай, отмечая особенности. Три вещи очевидны.

1. Первый член — полный квадрат.
2. Третий член — полный квадрат.
3. Средний член равен удвоенному произведению квадратного корня из первого и третьего членов.

Для целей факторинга удобнее записать отчет как

Решение

1. 25x ² — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 5x.
2. 4 — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 2.
3. 20x — удвоенное произведение квадратных корней из 25x ² и
4. 20х = 2(5х)(2).

Чтобы разложить на множители идеальный квадратный трехчлен , сформируйте двучлен из квадратного корня из первого члена, квадратного корня из последнего члена и знака среднего члена и укажите квадрат этого двучлена.

Таким образом, 25x ² + 20x + 4 = (5x + 2) ²

Всегда возводите бином в квадрат, чтобы убедиться, что средний член правильный.

Не является частным случаем совершенного квадратного трехчлена.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАРКИ ДЛЯ ПРОБ И ОШИБОК

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Найдите ключевое число трехчлена.
2. Используйте номер ключа для факторизации трехчлена.

В этом разделе мы хотим обсудить некоторые упрощения метода проб и ошибок. Они необязательны по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти сокращения не всегда практичны для больших чисел.Однако они увеличат скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в этих сочетаниях клавиш является поиск номера ключа . После того, как вы нашли номер ключа, его можно использовать более чем одним способом.

В разлагаемом трехчлене ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.

Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Первое использование номера ключа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа. В этом примере (4)(-10)=-40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена ( + 3). В этом случае (+8)(-5)=-40 и (+8)+(-5)=+3.
Шаг 3 Множители ( + 8) и ( — 5) будут перекрестными произведениями в схеме умножения.

Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».»

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться, чтобы дать произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые будут умножаться, чтобы дать + 8x.Это 4x от 4×2 и (+2) от (-10).
Поместите эти факторы на первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте номер ключа на этом этапе и вернитесь к исходной проблеме.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых членов должно давать 4x ² , а 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме х.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же коэффициенты.Наиболее важным является систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10) и (+2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме как (- 5).

Помните, если трехчлен можно разложить на множители, существует только один возможный набор множителей.

Если не удается найти делителей ключевого числа, сумма которых является коэффициентом при средних членах, то трехчлен является простым и не делит.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг путем группирования. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа (4)(-10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать

. Шаг 4 Факторизируйте эту задачу из шага 3 с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2

Теперь это становится обычной задачей факторизации с помощью группировки.

Следовательно,

Опять же, существует только одна возможная пара множителей, которые можно получить из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете разложить трехчлен на множители, выполнив следующие два шага:

1. Сначала найдите общие факторы.
2. Разложите на множители оставшийся трехчлен, применяя методы, описанные в этой главе.

Итак, мы изучили все обычные методы факторизации, встречающиеся в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что существует две проверки правильности факторинга.

1. Будут ли множители умножаться, чтобы дать исходную задачу?
2. Все ли множители простые?

Как только общий множитель найден, вы должны проверить, является ли полученный трехчлен факторизуемым.

Если трехчлен имеет какие-либо общие делители, обычно проще сначала разложить их на множители.

При разложении на множители рекомендуется всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, факторизовать то, что осталось.

ОБЗОР

Ключевые слова

• Выражение находится в факторизованной форме, только если все выражение является указанным произведением.
• Факторинг — это процесс, который превращает сумму или разность условий в произведение факторов.
• Простое выражение нельзя разложить на множители.
• Наибольший общий делитель — это наибольший общий делитель всех терминов.
• Выражение является полностью разложенным на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
• Возможность факторизации путем группировки существует, когда выражение содержит четыре или более членов.
• Метод FOIL можно использовать для умножения двух двучленов.
• Особые случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов с совершенными квадратами .
• Ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

• Чтобы удалить общие делители, найдите наибольший общий делитель и разделите на него каждый член.
• Трехчлены можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон для умножения, чтобы найти множители, которые дадут исходный трехчлен.
  
• Чтобы разложить на множители разность двух квадратов, используйте правило
  
• Чтобы разложить на множители идеальный квадратный трехчлен, сформируйте двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого двучлена.
• Используйте ключевое число для помощи в определении факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.

Калькулятор полиномиального факторинга — показывает все шаги

Методы полиномиального факторинга

Этот калькулятор применяет девять различных методов к полиномам факторов, но наиболее распространенными являются пять из них, которые описаны ниже.2 $ с использованием метода GCF.2 — 2ab} = \color{blue}{2 \cdot (a — 2b)} + \color{red}{a \cdot (a — 2b) } $$

В конце выносим за скобки общий множитель $ (a — 2b) $

$$ 2 \cdot \color{blue}{(a — 2b)} + a \cdot \color{blue}{(a — 2b)} = (a — 2b) (2 + a) $$

Пример 04: Фактор $ 5ab + 2b + 5ac + 2c $

Это редкая ситуация, когда первые два члена многочлена не имеют общего множителя. поэтому мы должны сгруппировать первый и третий термин вместе.

$$ \begin{выровнено} 5ab + 2b + 5ac + 2c &= \color{синий}{5ab + 5ac} + \color{красный}{2b + 2c} = \\ &=\цвет{синий}{5a (b + c)} + \color{красный}{2 (b + c)} = \\ &= (b+c)(\color{синий}{5a} + \color{красный}{2}) \end{выровнено} $$ .

Метод 3: Особая форма — A

Самый распространенный частный случай — разность двух квадратов

$$ а^2 — б^2 = (а+б) (а-б) $$

Мы обычно используем эту формулу, когда многочлен имеет только два члена.2-6х)+(х-6)=0

х(х-6)+х-6=0

(х-6)(х+1)=0

Шаг 3: Приравняйте каждый продукт к нулю

x-6= 0 ИЛИ x+1=0​

Так

Х=6 ИЛИ х=-1

Калькулятор полиномиального коэффициента

Вы можете разложить полиномы степени 2, чтобы найти его решение. Использование этого калькулятора позволяет точно и эффективно разложить квадратное уравнение на множители. Калькулятор отлично справляется со всеми шагами.

Вот еще несколько примеров, которые помогут вам освоить метод уравнения факторинга.

Дополнительные примеры факторинга

 

Заключительные мысли

Этот калькулятор не только дает ответы, но и помогает изучать алгебру. С помощью калькулятора вы можете попрактиковаться в том, как находить корни квадратного уравнения, просто решая задачу по-своему и сравнивая результаты с результатами калькулятора.

Допустимые математические символы и их использование Если вы решите написать свои математические выражения, вот список допустимых математических символов и операторов.Используется для экспоненты или для возведения в степень

sqrtКвадратный корень

Pi : Представляет математическую константу pi или \pi

Перейти к примерам решаемой алгебры с шагами

Подробнее о факторинге

Что такое коэффициент мощности? | Как рассчитать формулу коэффициента мощности

Как понять коэффициент мощности

Пиво — это активная мощность (кВт) — полезная мощность, или жидкое пиво, — это энергия, совершающая работу. Это та часть, которую вы хотите.

Пена — это реактивная мощность (кВАр) — пена представляет собой потерянную мощность или потерянную мощность. Это производимая энергия, которая не совершает никакой работы, такой как производство тепла или вибрации.

Кружка — это полная мощность (кВА) — это потребляемая мощность или мощность, поставляемая коммунальным предприятием.

Если бы эффективность цепи составляла 100 %, потребление было бы равно доступной мощности. Когда спрос превышает доступную мощность, на коммунальную систему оказывается нагрузка.Многие коммунальные предприятия добавляют плату за спрос к счетам крупных клиентов, чтобы компенсировать разницу между спросом и предложением (когда предложение ниже спроса). Для большинства коммунальных услуг спрос рассчитывается на основе средней нагрузки, размещенной в течение 15–30 минут. Если требования к нагрузке нерегулярны, коммунальное предприятие должно иметь больше резервной мощности, чем если бы требования к нагрузке оставались постоянными.

Пиковый спрос — это когда спрос самый высокий. Задача коммунальных служб — предоставить мощность, чтобы справиться с пиковыми нагрузками каждого клиента.Использование энергии в тот самый момент, когда она наиболее востребована, может нарушить общее предложение, если не будет достаточных резервов. Поэтому коммунальщики выставляют счета за пиковый спрос. Для некоторых крупных клиентов коммунальные службы могут даже брать самый большой пик и применять его в течение всего расчетного периода.

Коммунальные службы взимают надбавки с компаний с более низким коэффициентом мощности. Затраты на более низкую эффективность могут быть крутыми — это похоже на вождение автомобиля, пожирающего бензин. Чем ниже коэффициент мощности, тем менее эффективна схема и тем выше общие эксплуатационные расходы.Чем выше эксплуатационные расходы, тем выше вероятность того, что коммунальные службы накажут клиента за чрезмерное использование. В большинстве цепей переменного тока коэффициент мощности никогда не бывает равным единице, потому что в линиях электропередач всегда присутствует некоторый импеданс (помехи).

Как рассчитать коэффициент мощности

Для расчета коэффициента мощности необходим анализатор качества электроэнергии или анализатор мощности, который измеряет как рабочую мощность (кВт), так и полную мощность (кВА), а также рассчитывает отношение кВт/кВА.

Формула коэффициента мощности может быть выражена другими способами:

PF = (Истинная мощность)/(Полная мощность)

ИЛИ

PF = Вт/ВА

Где ватты измеряют полезную мощность, а ВА измеряют потребляемую мощность.Отношение этих двух величин, по существу, представляет собой полезную мощность к подаваемой мощности, или:

Как показано на этой диаграмме, коэффициент мощности сравнивает фактическую потребляемую мощность с полной мощностью или потреблением нагрузки. Мощность, доступная для выполнения работы, называется реальной мощностью. Вы можете избежать штрафов за коэффициент мощности, сделав поправку на коэффициент мощности.

Низкий коэффициент мощности означает, что вы используете энергию неэффективно. Это важно для компаний, поскольку может привести к:

• Тепловое повреждение изоляции и других компонентов схемы
• Уменьшение количества доступной полезной мощности
• Требуемое увеличение размеров проводников и оборудования

Наконец, коэффициент мощности увеличивает общая стоимость системы распределения электроэнергии, поскольку более низкий коэффициент мощности требует более высокого тока для питания нагрузки.

Связанные ресурсы

Калькулятор коэффициента мощности

Расчет боеприпасов

Эта форма поможет вам рассчитать коэффициент мощности для большинства типов боеприпасов в соответствии с требованиями обычных стрелковых организаций. Правильный коэффициент мощности для калибра и типа оружия требуется, если вы планируете соревноваться в любой стрельбе. Все числа указаны в футах в секунду (fps).

---

USPSA

Пистолет

Майор — 165

Минор — 125

Винтовка

Майор — 320

Малый — 150

ИКОР

Минимум 120 во всех подразделениях

IDPA

ЖУКА (Резервный пистолет) — 95

Стоковый револьвер — 105

Усиленный револьвер — 155

Компактный переносной пистолет — 125

Складской служебный пистолет-125

Улучшенный служебный пистолет — 125

Защитный пистолет заказчика — 165

IPSC

Все дивизии Малые — 125

Майор по подразделению

Открытый — 160

Стандарт — 170

Классический — 170

Револьвер — 170

Производство — минимум 125 (без основных)

САСС

Все младшие дивизионы — 60

Не допускается скорость ниже 400 кадров в секунду

Максимальная скорость для револьверов — 1000

Максимальная скорость для винтовок — 1400

На карманные пистолеты, дерринджеры и дальнобойные винтовки не распространяются требования по коэффициенту мощности и скорости.

Калькулятор коэффициента мощности

Калькулятор коэффициента мощности

Он используется для расчета полной мощности, коэффициента мощности, емкости корректирующего конденсатора и реактивной мощности. Сначала вы выбираете фазу, которая может быть однофазной или трехфазной.

Вам необходимо ввести реальную мощность в киловаттах, ток в амперах, напряжение в вольтах и ​​частоту в герцах. Если вы используете три фазы, вам нужно будет выбрать тип энергии.

После того, как все значения введены в обязательные текстовые поля, вы можете нажать кнопку «Рассчитать», которая выполнила вычисление.

Расчет однофазной цепи

PF = \Cos Ҩ\ = 1000 X P (кВт) / (В (В) x I (А)), что является расчетом коэффициента мощности

Полная мощность рассчитывается путем умножения напряжения в вольтах на силу тока в амперах и деления на 1000.
\S (кВА)\ = В (В) x I (А) / 1000.

Q (кВАр) = √ (\S (кВА)\2) – P (кВт) 2) – формула расчета реактивной мощности

Емкость конденсатора коррекции коэффициента мощности вычисляется по формуле; C (F) = 1000 x Q (кВАр) / (2∏f (Гц) x V (В) 2)

Расчет трехфазной цепи

Расчет межфазного напряжения

Коэффициент мощности равен cos Ҩ и рассчитывается по формуле; PF = \Cos Ҩ\ = 1000 x P (кВт) / (√3 x V L-L (В) x I (A)).

Расчет реактивной мощности;
Q (кВАр) = √ (\S (кВА)\ 2 – P (кВт) 2)

Расчет полной мощности;
\S (кВА)\ = √3 x V L-L (V) x I (A) / 1000

Расчет емкости конденсатора коррекции коэффициента мощности;
C (F) = 1000 x Q (кВАр) / (2∏f (Гц) x V L-L (V) 2)

Напряжение линии к нейтрали

Расчет коэффициента мощности;
PF = \ Cos Ҩ \ = 1000 X P (кВт) / (3 x V L-N (В) x I (А))

Расчет реактивной мощности;
Q (кВАр) = √ (\S (кВА)\ 2 – P (кВт) 2)

Расчет полной мощности;
\S (кВА)\ = 3 x V L-N (V) x I (A) / 1000

Расчет емкости корректирующего конденсатора;
C (F) = 1000 x Q (кВАр) / (3 x 2∏f (Гц) x V L-N (В) 2)

Калькулятор коэффициента мощности — найти P.F и конденсатор в мкФ и кВАр?

Как рассчитать емкость конденсатора в кВАр и мкФ для улучшения коэффициента мощности? Калькулятор и пример

Калькулятор коэффициента мощности

Следующий калькулятор коэффициента мощности рассчитает существующий или текущий коэффициент мощности, полную мощность «S» в кВА, существующую реактивную мощность «Q» в кВАр и значение необходимого конденсатора для коррекции коэффициента мощности в микрофарадах «мкФ» и кВАр.

Чтобы рассчитать значение емкости конденсаторной батареи в мкФ и квар, существующий коэффициент мощности, текущую реактивную мощность в кВАр и полную мощность в кВА, просто введите значения активной или активной мощности в кВт, тока в амперах, напряжения в вольтах. , частоту в Гц (50 или 60 Гц), выберите систему напряжения питания (однофазную или трехфазную) и целевой коэффициент мощности (значение необходимого или скорректированного коэффициента мощности) и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить результат емкости в мкФ, S в кВА и Q в кВАр.

Полезно знать:

• И кВАР, и мк-Фарад — это термины, используемые в конденсаторных батареях, а также для улучшения и коррекции коэффициента мощности для устранения реактивных компонентов со стороны нагрузки, что имеет множество преимуществ.
• Этот калькулятор коэффициента мощности можно использовать в образовательных целях, поскольку он не делает различий между отстающим и опережающим коэффициентом мощности.
• Мы предполагаем, что индуктивная нагрузка так как коэффициент мощности играет важную роль в индуктивных цепях.Емкостные цепи обеспечивают опережающий коэффициент мощности, а значение коэффициента мощности равно единице «1» в чисто резистивных цепях.
• Конденсатор коррекции коэффициента мощности должен быть подключен параллельно каждой фазе нагрузки.

Похожие сообщения:

Формула расчета коэффициента мощности

Расчет коэффициента мощности для одной фазы

Для расчета коэффициента мощности в однофазных цепях переменного тока можно использовать следующую формулу.

Где:

• Cosθ = коэффициент мощности
• P = Фактическая мощность в кВт
• S = Полная мощность в кВА
• В = напряжение в вольтах
• I = ток в амперах
• R = сопротивление в омах «Ом».
• Z = Полное сопротивление (сопротивление в цепях переменного тока, т. е. X _L , X _C и R, известное как индуктивное реактивное сопротивление, емкостное реактивное сопротивление и сопротивление соответственно) в омах «Ом».

Расчет коэффициента мощности трехфазного тока

Расчет линейного напряжения (V _L-L )

Cosθ = кВт / √ (3 x В _L-L x I)

Расчет с фазным напряжением (V _L-N )

Cosθ = кВт / 3 x В _L-N x I

Похожие сообщения:

Конденсатор в микрофарадах и расчет квар для P.Ф

Следующие формулы можно использовать для расчета емкости конденсатора в фарадах и микрофарадах для коррекции коэффициента мощности.

• C = 159,155 x 10 ⁶  x Q в кВАр ÷  f  x В ²       …     в микрофарадах
• C = 159,155 x Q в кВАр ÷ f  x В ²      …     в фарадах

или

• C = кВАр x 10 ⁹ ÷ (2π x f  x В ² )     …     в микрофарадах
• C = кВАр x 10 ³ ÷ (2π x f  x В ² )     …     в фарадах

Кроме того, требуемая батарея конденсаторов в кВАр может быть рассчитана следующим образом:

• Требуемая мощность конденсатора квар = P в киловаттах (Tan θ ₁  – Tan θ ₂ )
• кВАр = C x f  x V ²  ÷ (159.155 x 10 ⁶ )      …     в кВАр
• кВАр = C x 2π x f  x В ²   x 10 ^-9      …     в кВАр

Где:

• C = Конденсатор в микрофарадах
• кВАр = реактивная мощность
• f = частота в герцах
• В = напряжение в вольтах

Полезно знать:

Следующие формулы для импеданса «Z», активной мощности «P», реактивной мощности «Q» и полной мощности «S» полезны при расчете значения требуемого коэффициента мощности и конденсаторной батареи в кВАр и мкФ.

Полное сопротивление «Z»:

• Z = √ (R ² + (x _L + x _C ) ² ) … z, r, x _l , x _c в Ом
• X _L = 2π f L     …     L — индуктивность в Генри
• X _C = 1/2π f C     …    C — емкость в фарадах

Активная мощность «P»:

Реальная или истинная мощность или активная мощность = √ (полная мощность ²  – реактивная мощность ² ) или

• P = V x I x Cosθ    …     (в однофазных цепях переменного тока)
• P = √ (S ² – Q ² )
• P = √ (VA ²  – VAR ² )
• P = √  3 x V _L-L x I   x Cosθ      …     (в трехфазной линейной схеме)
• P = 3 x V _L-N x I x Cosθ    …    (в трехфазной линии к нейтрали)
• кВт = √ (кВА ² – кВАр ² )

Реактивная мощность «Q»:

Реактивная мощность = √ (Полная мощность ² – Реальная мощность ² )

• Q = V I Sinθ
• ВАR = √ (VA ² – P ² )
• кВАр = √ (кВА ² – кВт ² )

Полная мощность «S»:

Полная мощность = √ (Истинная мощность ²  + Реактивная мощность ² )

• С = В I
• S = √ (P + Q ² )
• кВА = √ (кВт ²  + кВАр ² )

Похожие сообщения:

Как рассчитать коэффициент мощности и емкость в мкФ и кВАр

В следующем примере показано, как рассчитать требуемый коэффициент мощности, номинал корректирующего конденсатора для конденсаторной батареи в микрофарадах и кВАр, существующую реактивную мощность, активную мощность и полную мощность.Вы можете сравнить результат решенного примера с результатами калькулятора коэффициента мощности.

Пример:

A Однофазный двигатель 240 В, 60 Гц потребляет ток питания 25 А при коэффициенте мощности 0,60. Коэффициент мощности двигателя необходимо повысить до 0,92, подключив параллельно ему конденсатор. Рассчитайте требуемую емкость конденсатора как в микрофарадах, так и в кВАр.

Решение:

Шаг 1: Расчет активной мощности нагрузки:

P = V x I x Cosθ ₁

• P = 240 В x 25 А x 0.6
• P = 3,6 кВт

Дополнительно,

Фактический кВА при отставании тока P.f

P = В х I

Фактический кВАр при отставании тока P.f

кВАр = √ (кВА ² – кВт ² )

• кВАр = √ (6 ² кВА – 3,6 ² кВт)
• квар = 4,8 квар

Фактический кВАр при отставании тока P.f

Шаг 2: Рассчитайте необходимое значение кВАр для коррекции коэффициента мощности

Существующий P.F = Cosθ ₁ = 0,60

Требуемый P.F = Cosθ ₂ = 0,92

θ ₁  = Cos ^-1 = (0,60) = 53°,130; Tan θ ₁  = Tan (53°,130) = 1,333

θ ₂  = Cos ^-1 = (0,92) = 23°,073; Tan θ ₂  = Tan (23°,073) = 0,426

Конденсатор, требуемый кВАр, для повышения коэффициента мощности с 0,60 до 0,92

Требуемая емкость конденсатора в кВАр

Требуемая мощность конденсатора квар = P в кВт (Tan θ ₁ – Tan θ ₂ )

кВАр = 3.6кВт x (1,333 – 0,426)

вар = 3265,2 вар

Требуемая квар = 3,2652 квар

Шаг 3: Преобразование квар в микрофарад

Требуемый конденсатор в мкФ

C = кВАр x 10 ⁹ ÷ (2π x f  x В ² )     …     в микрофарадах

C = 3,2625 кВАр x 10 ⁹ ÷ (2π x 60 Гц x 240 ² В)

С = 150,4 мкФ

Связанные электрические и электронные инженерные калькуляторы:

.