Размещение комбинаторика: основные формулы. Перестановки, размещения, сочетания. Задачи по теории вероятностей с решением онлайн — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 30.05.202031.07.2020 by alexxlab

Формулы комбинаторики с примерами. Основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

Учитесь решать задачи по комбинаторике? На самом начальном этапе нужно изучить основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки (смотрите подробнее ниже) и научиться их применять для решения задач.

Содержание

Как выбрать формулу комбинаторики?

Мы подготовили для вас наглядную схему с примерами решений по каждой формуле комбинаторики:

алгоритм выбора формулы (сочетания, перестановки, размещения с повторениями и без),
рекомендации по изучению комбинаторики,
6 задач с решениями и комментариями на каждую формулу.

Нужна помощь в решении задач по комбинаторике?

Перестановки

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно

$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$$

Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$.

Пример всех перестановок из $n=3$ объектов (различных фигур) — на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3 =6$, так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов — уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Еще: онлайн калькулятор перестановок.

Размещения

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $m$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из $n$ объектов по $m$, а их число равно

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=n\cdot (n-1)\cdot … \cdot (n-m+1) $$

Пример всех размещений из $n=3$ объектов (различных фигур) по $m=2$ — на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $A_3^2=3\cdot (3-2+1)=3\cdot 2 =6$.

Вычисляем на лету: онлайн калькулятор размещений.

Сочетания

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $m$ объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из $n$ объектов по $m$, а их число равно

$$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!\cdot m!} $$

Пример всех сочетаний из $n=3$ объектов (различных фигур) по $m=2$ — на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $C_3^2=\frac{3!}{(3-2)!\cdot 2!} =3$. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний — нет), причем именно в $m!$ раз, то есть верна формула связи:

$$ A_n^m = C_n^m \cdot P_m.$$

Удобный и бесплатный онлайн калькулятор сочетаний.

Решебник задач по комбинаторике

Изучаем комбинаторику: полезные ссылки

Размещение (комбинаторика) — это… Что такое Размещение (комбинаторика)?

В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Например, $\langle 1,3,2,5\rangle$ — это 4-элементное размещение 6-элементного множества {1,2,3,4,5,6}.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Количество размещений

Количество размещений из n по k, обозначаемое A_n^k , дается формулами:

$A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \binom{n}{k} k!.$

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту $\binom{n}{k}$ , в то время как перестановок на k элементах ровно k! штук.

Размещение с повторениями

Размещение с повторениями — это размещение предметов в предположении, что каждый предмет может участвовать в размещении сколь угодно раз. По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k равно n^k.

Например, количество вариантов 3-x значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно 10³ = 1000.

Пример алгоритма получения размещений с повторениями для массива объектов на Java

import java.util.Arrays;
 
public class PermutationsWithRepetition {
    private Object[] source;
    private int variationLength;
 
    public PermutationsWithRepetition(Object[] source, int variationLength) {
        this.source = source;
        this.variationLength = variationLength;
    }
 
    public Object[][] getVariations() {
        int srcLength = source.length;
        int permutations = (int) Math.pow(srcLength, variationLength);
 
        Object[][] table = new Object[permutations][variationLength];
 
        for (int i = 0; i < variationLength; i++) {
            int t2 = (int) Math.pow(srcLength, i);
            for (int p1 = 0; p1 < permutations;) {
                for (int al = 0; al < srcLength; al++) {
                    for (int p2 = 0; p2 < t2; p2++) {
                        table[p1][i] = source[al];
                        p1++;
                    }
                }
            }
        }
 
        return table;
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        PermutationsWithRepetition gen = new PermutationsWithRepetition(
                new Integer[]{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0},
                5);
 
        Object[][] variations = gen.getVariations();
 
        for (Object[] s : variations) {
            System.out.println(Arrays.toString(s));
        }
    }
}

Пример получения размещений с повторениями для списка на Haskell

import Control.Monad
permutationsWithRepetition xs = iterate (liftM2 (:) xs) [[]]
 
Prelude> take 4 (permutationsWithRepetition "ab")
[[""],["a","b"],["aa","ab","ba","bb"],["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]]
Prelude> permutationsWithRepetition [1,2,3] !! 2
[[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[2,3],[3,1],[3,2],[3,3]]

Ссылки

Вычисление числа размещений онлайн

Wikimedia Foundation. 2010.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия

Размещения

Рассмотрим следующую задачу.

Задача. 9 карточек пронумерованы числами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел?

Решение.Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое.

На первое место можно положить одну из 9 карточек. Для этого есть 9 способов. В каждом из этих 9 способов на второе место можно положить

одну из оставшихся 8 карточек. Таким образом, существует

способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 72 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 7 карточек. Следовательно, существует

способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 504 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 6 карточек. Отсюда вытекает, что существует

различных способа, чтобы выложить в ряд 4 карточки из набора, состоящего из 9 пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 3024 различных четырехзначных числа.

Ответ: 3024.

При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.

Определение 1. Рассмотрим множество, содержащее n элементов, и все его упорядоченные подмножества, содержащие k элементов. Каждое из этих подмножеств называют размещением из n элементов по k элементов.

Если обозначить символом

число размещений из n элементов по k элементов, то будет справедлива формула:

(1)

В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде:

В задаче множеством из n элементов является исходный набор из 9 пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из k элементов – 4 карточки, выложенные в ряд.

Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из

9 элементов по 4 элемента, т.е. число

В соответствии с формулой (1),

что и было получено в задаче.

Замечание 1. Введенные в данном разделе размещения также называют размещениями без повторений.

Замечание 2. Из формул для числа перестановок и числа размещений вытекает формула

смысл которой заключается в следующем.

Утверждение. Размещение из n элементов по n элементов является перестановкой из n элементов.

Сочетания

Определение 2. Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называют сочетанием из n элементов по k элементов.

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом

Замечание 3. Важно отметить, что, в отличие от определения размещений, рассмотренные в определении сочетаний подмножества, содержащие k элементов, не являются упорядоченными. Поэтому, если в каждом подмножестве, содержащем k элементов (из определения 2), совершить всевозможные перестановки, количество которых равно k ! , то мы получим все размещения.

Таким образом, справедлива формула:

Следовательно,

откуда вытекает формула

(2)

Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2):

В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):

Замечание 4. С разделом справочника «Сочетания» близко связан раздел «Бином Ньютона», где приведены и доказаны свойства чисел сочетаний.

С понятиями факториала числа n и перестановок из n элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: факториалы и перестановки» нашего справочника.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Размещение:Комбинаторика — это… Что такое Размещение:Комбинаторика?

Например, $\langle 1,3,2,5\rangle$ — это 4-элементное размещение 6-элементного множества {1,2,3,4,5,6}.

Количество размещений

Количество размещений из n по k, обозначаемое A_n^k , дается формулами:

$A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \binom{n}{k} k!.$

Размещение с повторениями

Пример алгоритма получения размещений с повторениями для массива объектов на Java

import java.util.Arrays;
 
public class PermutationsWithRepetition {
    private Object[] source;
    private int variationLength;
 
    public PermutationsWithRepetition(Object[] source, int variationLength) {
        this.source = source;
        this.variationLength = variationLength;
    }
 
    public Object[][] getVariations() {
        int srcLength = source.length;
        int permutations = (int) Math.pow(srcLength, variationLength);
 
        Object[][] table = new Object[permutations][variationLength];
 
        for (int i = 0; i < variationLength; i++) {
            int t2 = (int) Math.pow(srcLength, i);
            for (int p1 = 0; p1 < permutations;) {
                for (int al = 0; al < srcLength; al++) {
                    for (int p2 = 0; p2 < t2; p2++) {
                        table[p1][i] = source[al];
                        p1++;
                    }
                }
            }
        }
 
        return table;
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        PermutationsWithRepetition gen = new PermutationsWithRepetition(
                new Integer[]{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0},
                5);
 
        Object[][] variations = gen.getVariations();
 
        for (Object[] s : variations) {
            System.out.println(Arrays.toString(s));
        }
    }
}

Пример получения размещений с повторениями для списка на Haskell

import Control.Monad
permutationsWithRepetition xs = iterate (liftM2 (:) xs) [[]]
 
Prelude> take 4 (permutationsWithRepetition "ab")
[[""],["a","b"],["aa","ab","ba","bb"],["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]]
Prelude> permutationsWithRepetition [1,2,3] !! 2
[[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[2,3],[3,1],[3,2],[3,3]]

Ссылки

Вычисление числа размещений онлайн

Wikimedia Foundation. 2010.

Школьнику: Комбинаторика — размещения, перестановки, сочетания

Основные понятия

Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
Пример задачи: Сколько трехзначных чисел можно создать из цифр от 1 до 5?
Комментарий: В данном случае n=5 (мы можем использовать пять вариантов элементов — числа 1…5), а k=3 (три позиции для размещения элементов, так как число трехзначное).
Перестановкой из n элементов (например чисел 1, 2, … n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
Пример задачи: Сколькими способами можно создать числа, переставляя цифры в числе 12345?
Комментарий: В данном случае n=5 (пять вариантов элементов — числа 1…5).
Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
Пример задачи: В вазе есть тюльпаны пяти цветов: белые, желтые, оранжевые, красные и розовые. Сколькими способами можно создать букет из трех тюльпанов, если в букете должно быть по одному цветку каждого цвета?
Комментарий: Очевидно, что данный вариант размещения элементов отличается от примера с размещением цифр в числе, так как цветы в букете не имеют своего номера (позиции) и совершенно неважно, в каком порядке мы добавляем в него цветы. В данном случае n=5 (пять вариантов цветов тюльпанов), а k=3 (букет нужно собрать из трех тюльпанов).

Перестановки

Обычно начинают объяснять с размещений, но я сознательно хочу начать с перестановок, так как на их примере проще понять логику вычисления.

Итак, вернемся к задаче из примера: Сколькими способами можно создать числа, переставляя цифры в числе 12345?

У нас есть пять цифр (пусть это будет пять кубиков с цифрами): 1,2,3,4,5.

У нас есть пять, пока еще свободных, позиций под их размещение (пусть это будут пустые коробочки): ▢▢▢▢▢.

Начинаем постепенно заполнять эти позиции: на первую позицию (в первую коробочку) мы можем поместить одну из пяти цифр (один из пяти кубиков). То есть у нас есть пять вариантов заполнения первой позиции.

Предположим, мы взяли кубик с номером 4.

Теперь у нас осталось четыре цифры (кубика): 1,2,3,5.

Позиций (коробочек) у нас осталось пять, но первая уже заполнена, то есть свободных позиций четыре: 4▢▢▢▢.

На размещение во второй коробочке у нас осталось 4 «претендента». Мы взяли кубик с номером 4. Но если бы мы взяли любой из других кубиков, у нас все равно было бы 4 варианта заполнения второй коробочки (просто мы выбирали бы из другого набора ставшихся кубиков), то есть на каждый вариант заполнения первой коробочки у нас приходится по четыре варианта заполнения второй.

Значит у нас есть 5⋅ 4 = 20 — двадцать вариантов заполнения первых двух позиций (коробочек).

Предположим, мы взяли кубик с номером 1.

У нас осталось три цифры (кубика): 2,3,5.

Позиций (коробочек) у нас осталось пять, но первые две уже заполнены: 41▢▢▢.

Продолжая по аналогии, мы получим, что у нас есть 5⋅ 4⋅ 3 = 60 — шестьдесят вариантов заполнения первых трех позиций (коробочек).

Заполнить первые четыре позиции мы можем 5⋅ 4⋅ 3⋅ 2 = 120 способами, а все пять — 5⋅ 4⋅ 3⋅ 2⋅ 1 = 120 — тоже ста двадцатью способами.

Почему последние два числа совпадают? Все просто: на последнем этапе у нас остается всего один кубик, но и одна пустая коробочка. То есть у нас уже нет вариантов размещения. Поэтому последний шаг уже не оказывает влияния на число перестановок.

Нетрудно догадаться, что сколько бы элементов (цифр, чисел, воздушных шариков и так далее) нам ни дали, мы можем узнать число из перестановок умножая последовательно число элементов на все целые числа меньше него.

В математике для подобной операции существует функция, которая называется факториал и обознается восклицательным знаком, стоящим за числом, факториал которого нужно вычислить.

6! = 6⋅ 5⋅ 4⋅ 3⋅ 2⋅ 1

3! = 3⋅ 2⋅ 1

Обозначается число перестановок из n так:

\[P_{n}\]

В итоге мы получаем следующую формулу для вычисления количества перестановок для n элементов:

\[P_{n}=n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n\]

Размещения

Размещение очень похоже на перестановку, с одной лишь разницей: у нас обычно «не хватает» позиций (коробочек) для размещения всех элементов (кубиков).

Обозначается размещение n из k так:

\[{\displaystyle A_{n}^{k}}\]

При k = n (то есть когда число «коробочек» равно числу «кубиков») количество размещений равно количеству перестановок порядка n.

\[{\displaystyle A_{n}^{n}=P_{n}=n!}\]

Возьмем задачу из примера: Сколько трехзначных чисел можно создать из цифр от 1 до 5?

Если мы по аналогии с перестановками попробуем по шагам считать, то увидим, что мы остановились после заполения третьей (последней) «коробочки»:

5⋅ 4⋅ 3 = 60

А множители 2 и 1 отсуствуют: 5⋅ 4⋅ 3⋅ 2⋅ 1. То есть, число в 2! раз меньше.

Мы можем записать так:

\[{\frac {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}}\]

а в общем виде так:

\[{\displaystyle A_{n}^{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}}\]

Размещение с повторением

Существует вариант, когда мы можем повторно использовать один и тот же элемент, независимо от того, использовали мы его до этого, или нет. В случае с кубиками и коробочками это будет выглядеть так: у нас есть не по одному кубику с каждым номером, а неограниченное число кубиков с каждым из чисел. Это называется размещение n из k с повторением и обозначается:

\[{\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{k}}\]

Начнем заполнять «коробочки».

У нас есть пять кубиков с цифрами: 1,2,3,4,5.

У нас есть пять, пока еще свободных, позиций под их размещение (пусть это будут пустые коробочки): ▢▢▢▢▢.

Положим, в первую мы кладем номер 4.

Значит у нас осталось четыре свободных «коробочки»: 4▢▢▢▢.

Начинаем заполнять вторую коробочку. Их у нас четыре, как я уже сказал. Но кубиков у нас, в отличии от размещения без повторения осталось всё равно пять. Значит у нас на каждый вариант заполения первой коробочки приходится пять вариантов заполения второй.

Соотвественно две первые коробочки мы можем заполнить 5⋅ 5 = 25 способами (а не 5⋅ 4 = 20, как в случае без повторения).

Повторяя рассуждения мы вычислим, что три коробочки мы можем заполнить 5⋅ 5⋅ 5 = 125 способами.

В общем случае число размещений равно числу элементов (кубиков) в степени числа возможных позиций для размещения (коробочек).

\[{\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{k}=n^{k}}\]

Сочетания

Сочетания похожи на размещения, однако для сочетаний совершенно не важно, в каком порядке расположены коробочки. Обозначаются сочетания так:

\[C_{n}^{k}\]

Как нам вывести формулу для сочетаний? Для начала возьмем число размещений и разделим на число всех вариантов «перемешивания» каждого набора (ведь при «перемешивании» получается тот же набор, просто расположенный в другом порядке). Но чему равно число этих «перемешиваний», спросите вы? А если не спросите, то значит я не зря писал эту статью, потому что внимательный читатель сам заметит, что в данном случае речь идет о перестановках. Обратите внимание, что тут мы переставляем не кубики, а коробочки, которых k штук, поэтому речь идет не о P_n, а о P_k. В итоге мы получаем формулу:

\[C_{n}^{k}={\frac {{A}_{n}^{k}}{P_{k}}}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}\]

А теперь вернемся к задаче из примера: В вазе есть тюльпаны пяти цветов: белые, желтые, оранжевые, красные и розовые. Сколькими способами можно создать букет из трех тюльпанов, если в букете должно быть по одному цветку каждого цвета?

\[C_{5}^{3}={\frac {5!}{3!\left(5-3\right)!}}=10\]

Сочетания с повторениями

Я думаю, вы уже догадались, что такое сочетания с повторениями. Это сочетания, при которых можно использовать элементы повторно. Обозначается сочетание с повторением так:

\[{C}_n^k\]

Чтобы вывести общую формулу сделаем такой «фокус»: представим, что у нас есть n пронумерованных кубиков и еще k-1 — не пронумерованных (нам по сути уже неважно, в каком порядке лягут кубики в коробки и какие номера на них будут). Вычитаем единичку мы потому, что в одну коробочку у нас гарантированно ляжет кубик из основного набора. И теперь вычислим сочетание из этого набора:

\[\overline{C}_n^k=C_{n+k-1}^k=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!}\]

А теперь задание для особо внимательных: могли ли мы совершить такой же «фокус» в случае с размещением с перестановками? Если могли, то почему не сделали? А если не могли, то почему? Жду ответов в комментариях.

Ну и пара примеров задач.

Есть гвоздики двух цветов. Нужно собрать букеты из трех цветков так, чтобы у каждого был уникальный набор. Скольким букетов можно собрать?

\[\overline{C}_2^3=\frac{(2+3-1)!}{(2-1)!\cdot 3!}=\frac{4!}{1! \cdot 3!}=4\]

Есть гвоздики четырех цветов. Нужно собрать букеты из трех цветков так, чтобы у каждого был уникальный набор. Скольким букетов можно собрать?

\[\overline{C}_4^3=\frac{(4+3-1)!}{(4-1)!\cdot 3!}=\frac{6!}{3! \cdot 3!}=20\]

Сколько решений в неотрицательных числах имеет уравнение x+y+z=6?x+y+z+q=8?

Проведем аналогию с кубиками и коробочками. Можно преобразовать эту задачу к виду «Нужно разместить шесть кубиков в трех коробочках». И решение:

\[\overline{C}_3^6=\frac{(3+6-1)!}{(3-1)!\cdot 6!}=\frac{8!}{2! \cdot 6!}=28\]

Комбинаторика основные понятия и формулы, задачи с решением для начинающих, основы комбинаторики для чайников, свойства сочетания с повторениями

Комбинаторика — раздел математики. Основные понятия и формулы комбинаторики как науки применяются во всех сферах жизни.

Неудивительно, что она включена в программу 11 класса, а также во вступительные испытания во многих ВУЗах РФ. Ее основы лежат в прикладном искусстве многих сфер деятельности человека.

Ее история насчитывает более 6 веков. Первые комбинаторные задачи появились в трудах философов и математиков Средневековья.

Представители того научного мира пытались найти методы решения таких задач, их базовые правила и понятия, утвердить уникальные формулы и уравнения для тех, кто ещё не встречался с ними. Такая информация в наше время называется информацией «для чайников».

Попытаемся разобраться в аспектах этой области науки: каковы элементы, свойства, правила, методы и основное ее применение в нашей жизни? Конечно, всю область в одной статье невозможно охватить. Поэтому ниже будет представлено всё самое основное.

Что такое комбинаторика в математике

Суть этого термина дают книги прошлых лет: это раздел математики, занимающийся операциями со множеством элементов.

В интернете есть учебники по информатике и математике для детей, школьников, сборники материалов и задач для начинающих, где в доступном виде объяснена «занимательная» комбинаторика. Нужно твердо выяснить, как решать подобные задачи.

В младших классах задачи на эту тему решают на дополнительных кружках, а в школах с углубленным изучением математики на основных уроках. К тому же, задачи по комбинаторике включены в олимпиады всех уровней.

Основные понятия

Их несколько:

Элемент – любой объект или явление, входящий в искомое множество.
Сочетание – подмножества, находящиеся в произвольном порядке в исходном множестве.
Перестановка – элементы во множестве находятся в строго определенном порядке.
Размещение – упорядоченные подмножества в исходном множестве.

Правило произведения

Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:

При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n*m способами.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Задача №1.

В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?

Ответ прост: 2 * 6 = 12.

Задача №2.

Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?

Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!

! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).

Задача №3.

Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?

Ответ: 2! = 2.

Задача №4.

Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?

10! = 3628800.

Правило суммы

Тоже является базовым правилом комбинаторики.

Если А можно выбрать n раз, а В — m раз, то А или В можно выбрать (n + m) раз.

Задача №5.

В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш?

Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сочетания с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают комбинации в произвольном порядке из множества n по m элементов.

Число сочетаний равно количеству таких комбинаций.

Задача №6.

В коробке находится 4 разных фрукта. Сколькими способами можно достать одновременно 2 разных фрукта?

Решение простое:

Где 4! – комбинация из 4 элементов.

С повторениями чуть сложней, комбинации считаются по такой формуле:

Задача №7.

Возьмем тот же самый случай, но при условии, что один фрукт возвращается в коробку.

В этом случае:

Размещения с повторениями и без повторений

Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

Задача №8.

Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

Ответ прост:

А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

Задача №9.

Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

Решение:

Перестановки с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают все возможные комбинации из n элементного множества.

Задача №10.

Сколько возможных пятизначных чисел можно составить из 5цифр? А шестизначных из 6 цифр? Семизначных из 7 цифр?

Решения, согласно вышеприведенной формуле, следующие:

5! = 120,

6! = 720,

7! = 5040.

А как же быть с повторениями? Если в таком множестве есть одинаковые по своей значимости элементы, то перестановок будет меньше!

Задача №11.

В коробке есть 3 одинаковых карандаша и одна ручка. Сколько перестановок можно сделать?

Ответ прост: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Типы задач	Что требуется найти	Методы решения
Магический квадрат	Фигура, в которой сумма чисел в рядах и столбцах должна быть одинакова (его разновидность – латинский квадрат).	Рекуррентные соотношения. Решается подобная же задача, но с гораздо меньшим множеством элементов по известным правилам и формулам.
Задача размещения	Стандартная производственная задача (например, в лоскутной технике) найти возможные способы разложения количества продуктов в ячейки в определенном порядке.	Включения и исключения. Как правило, применяется при доказательстве различных выражений.
Задачи про торговцев	Суть найти все возможные пути прохождения людей из пункта А в пункт В.	Траектории. Для этого вида задач характерно геометрическое построение возможных способов решения.

Заключение

Стоит изучать эту науку, поскольку в век быстрой модернизации технологий потребуются специалисты, способные предоставить различные решения тех или иных практических задач.

Конспект урока по математике на тему:» Основные понятия комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.»

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ № 28

ОБД 04: Математика

Дата:

Группа: 1-Ф-1

Тема: Основные понятия комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.

Цели:

— образовательные:

познакомить студентов с новым разделом «Комбинаторика»; ввести понятие факториала; создавать условия для осознанного понимания решения простейших задач на применение элементов комбинаторики; изучить формулы размещения, перестановки и сочетания; сформировать у студентов первичные умения и навыки решения задач.

— развивающие:

развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать; навыки контроля и самоконтроля.

— воспитательные:

формировать научное мировоззрение у студентов, культуру математической речи, информационную и коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

Тип учебного занятия: урок усвоения новых знаний

Форма учебного занятия: урок

Используемые технологии:

Используемые методы обучения:

словесный: устный опрос, эвристическая беседа, публичное выступление студентов;
наглядный: показ иллюстраций;
практический: решение задач.

Используемые формы организации познавательной деятельности студентов: работа в парах, фронтальная, индивидуальная форма организации познавательной деятельности.

Учебно-методическое обеспечение урока:

дидактические средства и методические средства: тексты самостоятельной работы
технические средства: проектор, экран, учебная доска.

Учебно-материальное оснащение:

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2018.
Мультимедийный проектор, экран, ноутбук

Прогнозируемый результат:

Обучающийся должен знать:

Обучающийся должен уметь:

решать простейшие комбинаторные задачи;
анализировать предложенный текст задачи;
работать в парах, приводить аргументы;
делать обоснованные выводы.

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь, что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоции. Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

«Число, положение и комбинация —

три взаимно пересекающиеся,

но различные сферы мысли,

к которым можно отнести

все математические идеи»

Английский математик

Джеймс Джозеф Сильвестр
(1814-1897)

Рассказ

Учебная доска

История

Целеполагание

Сегодня на занятии мы познакомимся с новым для Вас разделом «Комбинаторика».

Узнаем, что в математике называется факториалом, познакомимся с тремя видами комбинаций и формулами для их подсчета.

Рассказ

Актуализация знаний, умений и навыков

Прежде чем перейти к изучению нового материала, проведем небольшую разминку по ранее изученному материалу.

-Какие числа называются натуральными?

— Натуральные числа — это числа, получаемые при счете.

— Приведите примеры натуральных чисел.

— 1, 4,17,…….

— Каким свойством обладают натуральные числа?

— Каждое последующее натуральное число больше предыдущего на единицу.

— Назовите предыдущее и последующее число для 7, 12, 4, 1, 0

— 6 и 8; 11 и 13; 3 и 5; 2; 0 не является натуральным числом

Фронтальная работа,

Устный опрос

Подготовка к активному и сознательному усвоению нового материала

Сейчас я предлагаю Вам решить задачу.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)

Запись решения одним из студентов на доске

Словесный, работа в парах, поиск решения задач

Учебная доска, презентация

Физика

Изучение и усвоение новых знаний

Задачи такого типа называются комбинаторными задачами. А раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций, соответственно называется комбинаторикой.

Историю возникновения и развития комбинаторики нам поведает студент, который подготовил сообщение на указанную тему.

При решении задачи Вы предложили несколько способов решения. Но есть более простой способ решения данной задачи – это решение с использованием основных понятий комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания). Давайте более подробно остановимся на каждом понятии.

1. Понятие факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, называют

n— факториалом.

Обозначают: n!

n!= 1*2*3*4*……*n

Отметим, что 0!=1

Примеры:

1!=1

2!=1*2=2

3!=1*2*3=6

4!=1*2*3*4=24

5!=1*2*3*4*5=120

6!=1*2*3*4*5*6=720

7!=1*2*3*4*5*6*7=5040

………………

3!=1*2*3=2!*3

5!=1*2*3*4*5=3!*4*5

5!=4!*5

n!=1*2*3*……*(n-3)*(n-2)*(n-1)*n

Задание 1. Вычислите.

a) 5!+4!

б)

2. Перестановки. Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n и вычисляется по формуле:

P_n = n!

Вернемся к нашей задаче. Нам известно, что туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

P_n = n! = 3! = 1*2*3=6 (способов)

Ответ: 6 способов.

3. Размещения. Размещениями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Количество размещений обозначается и вычисляется по формуле

Предлагаю Вам составить задачу на нахождения количества размещений.

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из множества цифр , причем так, чтобы цифры числа были различны?
Искомое число чисел

4. Сочетания. Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Количество сочетаний обозначается и вычисляется по формуле

Рассмотрим еще одну задачу.

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Мы рассмотрели три основных комбинации комбинаторики. Назовите их. В чем их

Сходство и различие?

Рассказ

Рассказ (5 мин)

Словесный, эвристическая беседа, метод объяснения и разъяснения

Презентация

История

Первичный контроль знаний

1) Решение простейших комбинаторных задач

Студенты работают у доски, решают простейшие комбинаторные задачи.

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

способами.

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

2) Найти ошибки в решениях задач:

Проверьте, верно, ли решены задачи:

Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

С =

Ответ: 56. (верно)

Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?

P₄=4! = 1*2*3*4 =24 (неверно)

А.

3) Студенты работают самостоятельно по вариантам. Взаимопроверка.

1 вариант.

Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение. Общее число комбинаций равно числу размещений из 6 элементов по 4

2 вариант.

В группе 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать из этой группы троих студентов для участия в конференции?

Решение. Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента:

=120

Самостоятельная работа, работа в парах, публичное выступление

раздаточный материал (карточка с задачами)

Подведение итогов занятия. Рефлексия

Подведем итоги нашего занятия. Обсуждение и выставление оценок за урок.

Продолжи одно из предложений:

“Мне понятно…

“Я запомнил…

“Мне на уроке…

“Я думаю…

Беседа

Карточка студента

Домашнее задание

Решить задачу (дифференцированные задачи)

Задача на «3»

Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Задачи на «4»

Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Задача на «5»

Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

Подготовить презентацию на тему « Применение комбинаторики в различных сферах жизни»

Рассказ

Преподаватель: ___________ /Поволоцкая О.Н.

комбинаторных архивов — GeeksforGeeks

Учитывая два целых числа N и M, задача состоит в том, чтобы создать двоичную строку со следующими условиями: Двоичная строка состоит из N… Читать дальше »

Учитывая левую, правую и прямолинейную дорожку, как показано на рисунке ниже. Есть N грузовиков со значением от 1 до N, расположенных в… Читать дальше »

Учитывая две строки str1 и str2, задача состоит в том, чтобы проверить, возможна ли какая-либо перестановка данных строк str1 и str2, чтобы… Читать дальше »

Учитывая строку S и целое число K, задача состоит в том, чтобы найти общее количество строк, которые можно сформировать, вставив точно… Читать дальше »

Поместите числа от 1 до 9 в кружок, чтобы, где бы их ни было три по прямой, они должны складываться до 15.… Читать дальше »

С учетом целого числа N задача состоит в том, чтобы найти число возможных двоичных строк длины N с одинаковой частотой 0‘s и… Читать дальше »

При заданном значении X задача состоит в том, чтобы найти двоичную строку минимального размера, чтобы, если любые 2 символа были удалены случайным образом,… Читать дальше »

Даны число N и два массива arr1 [] и arr2 [] длины 4.Массив arr1 [] обозначает номинал 1, 5, 10 и 20… Читать дальше »

Описание проблемы На оживленной дороге проезжают несколько автомобилей. Запускается симуляция, чтобы увидеть, что произойдет, если тормоза выйдут из строя для всех автомобилей… Читать дальше »

Учитывая массив arr [] из n целых чисел и целого числа K, задача состоит в том, чтобы найти количество способов выбрать ровно K даже… Читать дальше »

Учитывая массив arr [], состоящий из целых чисел в диапазоне [1, N], задача состоит в том, чтобы определить, является ли обратная перестановка данного массива… Читать дальше »

С учетом двух целых чисел N и K задача состоит в том, чтобы найти количество чисел N-цифр, чтобы абсолютная разница соседних цифр в… Читать дальше »

Учитывая целое число N, задача состоит в том, чтобы найти число возможных двоичных строк длины N, имеющих одинаковую частоту 0 и 1.… Читать дальше »

Для заданной двоичной строки str задача состоит в том, чтобы подсчитать количество подстрок данной строки str таким образом, чтобы каждый символ… Читать дальше »

Учитывая массив arr [] натуральных чисел, задача состоит в том, чтобы найти перестановку массива так, чтобы сумма соседних элементов не была… Читать дальше »

комбинаторный контроль экспрессии генов

Сложность и разнообразие эукариотических организмов — это подвиг природы. Вытягивание струн такого сложного механизма требует еще более умелого и хитрого подхода. Только количество и тип ответов, которые они генерируют, превышают ошеломляющие пропорции сигналов окружающей среды, воспринимаемых и обрабатываемых эукариотами. Следовательно, на первый взгляд, скудные запасы контролирующих факторов ячейки не кажутся отдаленно достаточными для осуществления этого ответа.Вопрос о том, как эукариоты чувствуют и реагируют на сигналы окружающей среды, не имеет однозначного ответа. Это объединение, взаимодействие нескольких процессов, путей и факторов — комбинаторный контроль. Краткое описание некоторых наиболее важных элементов, управляющих всем этим конгломератом, дано в этой статье.

1. Введение

Управление различными биологическими процессами с высокой точностью требует точного контроля временной и пространственной экспрессии генов.Регуляция экспрессии генов у эукариот может происходить на разных этапах, а именно: транскрипция, сплайсинг мРНК, трансляция и посттрансляционные модификации.

Контроль транскрипции может быть достигнут на любом из различных этапов — начало, удлинение и завершение. Инициирование отмечается сборкой преинициаторного комплекса на промоторе соответствующего гена. Преинициирующий комплекс, состоящий из РНК-полимеразы II и ее вспомогательных компонентов (TFIIA, TFIIB, TFIID, TFIIE, TFIIF и TFIIH), которые связаны с основным промотором, может инициировать только базальные уровни транскрипции [1].Для правильной экспрессии генов необходимо присутствие специфичных для последовательности факторов связывания ДНК, которые называются регуляторами.

Некоторые регуляторы действуют, увеличивая (энхансеры) или уменьшая (репрессоры) скорости транскрипции, стабилизируя или дестабилизируя взаимодействия полимеразы с ДНК или вспомогательными компонентами, соответственно. Другие действуют путем изменения структуры хроматина. Структура хроматина в значительной степени влияет на транскрипцию у эукариот, поскольку она определяет доступность различных областей ДНК для входящих факторов связывания.Некоторые регионы тесно связаны и менее доступны для транскрипционного механизма, в то время как другие слабо свернуты и легко доступны. Класс регуляторов, называемых модификаторами хроматина (CM), влияет на скорость инициации транскрипции путем увеличения или уменьшения доступности различных областей. CMs функционируют по двум механизмам — ремоделирования хроматина или путем облегчения модификации гистонового хвоста. Оба эти процесса являются интенсивными АТФ и включают либо увеличение, либо уменьшение взаимодействия между родительской ДНК и ядрами гистонов [2].

Другой класс молекул, называемых корегуляторами, связывается с регуляторами и влияет на транскрипцию, стабилизируя или дестабилизируя взаимодействия между регуляторами и механизмом базальной транскрипции. Длинные некодирующие молекулы РНК составляют особый класс корегуляторов из-за их белковой природы. Последнее также является причиной того, что изучение этих молекул в последнее время представляет большой интерес. Некоторые результаты будут представлены в следующем разделе.

Элонгация транскрипции включает в себя фактический процесс синтеза мРНК из родительской цепи ДНК.В последнее время он приобрел большой интерес из-за его возможной роли в качестве контрольной точки для контроля генной регуляции. Транскрипционная пауза — очень распространенная особенность удлинения. Приостановка происходит из-за взаимодействия между молекулой РНК-полимеразы и молекулой м-РНК, которая может принимать вторичные структуры, такие как петли шпильки, и приводить к последующему затуханию транскрипции. Последнее может привести к преждевременному прекращению и, следовательно, может привести к появлению альтернативных продуктов, что влияет на экспрессию генов.Некоторые исследования, проведенные на моделировании in vitro, показали, что после паузы полимеразы кратко следуют микровзрывы выхода м-РНК, что было объяснено авторами вследствие столкновения двух молекул РНК-полимеразы [3].

Первичный продукт м-РНК может подвергаться альтернативному сплайсингу или предварительному редактированию РНК. Оба эти процесса могут давать разные трансляционные предшественники и, следовательно, разные белковые продукты. Зрелая транскрипт мРНК, наконец, транслируется в соответствующий белковый продукт.

Контроль на уровне перевода достигается с помощью многочисленных механизмов. Один механизм, который был тщательно изучен, включает роль небольших некодирующих молекул РНК. Эти молекулы РНК в основном бывают двух типов — небольшие интерферирующие РНК (миРНК) и микроРНК (миРНК). Молекулы siRNA и miRNA ингибируют трансляцию по двум преобладающим механизмам. Молекулы миРНК приводят к рекрутированию РНК-индуцированных комплексов сайленсинга (RISC), которые расщепляют молекулы мРНК-мишени. С другой стороны, молекулы miRNA приводят к рекрутированию микроРНК-индуцированного комплекса сайленсинга (MISC), который физически блокирует рибосомную транслокацию во время трансляции.Роль малых некодирующих РНК часто замечалась в процессе дифференцировки клеток [4].

Конечная контрольная контрольная точка находится на уровне посттрансляционных модификаций (PTM). Они влияют на структуру и, следовательно, на активность, стабильность и функционирование белка. Следовательно, PTM имеют решающее значение для клеточной роли белков. PTM в гистонах, таких как метилирование, ацетилирование и убиквитинирование в определенных остатках, критически влияет на конформационные состояния хроматина в клетке, изменяя стабильность взаимодействий гистон-ДНК [2].

Несмотря на то, что существует множество контрольных точек, на уровне инициации транскрипции почти полностью обнаруживаются сложные контроли экспрессии генов. Средства управления инициацией транскрипции чрезвычайно разнообразны и сложны и демонстрируют чрезвычайную изменчивость с точки зрения количества типов лежащих в основе молекулярных сигналов. Причины, поддерживающие последнее, представлены ниже.

Число генов в организме намного превышает количество факторов транскрипции. Например, геном человека имеет около 20 000-25 000 генов.Каждый из этих генов имеет множество уникальных временных и пространственных паттернов экспрессии. Тем не менее, количество ДНК-связывающих транскрипционных факторов составляет около 1850 [5]. Типы цис-регуляторных элементов также невелики по сравнению с числом профилей экспрессии всего генома. Следовательно, возникает вопрос о том, как клетка может воспринимать так много внешних сигналов и проявлять такое разнообразие экспрессии генов с таким ограниченным количеством факторов, с которыми можно работать.

Учитывая разнообразие молекулярных сигналов, которые должен интерпретировать механизм транскрипции, было бы непрактично для каждого регулятора иметь уникальную мишень.С другой стороны, специфичность сигналов не может быть поставлена под угрозу.

Поскольку каждый ген находится под контролем более чем одного типа и числа цис-регуляторных элементов, комбинаторная регуляция позволяет организму иметь бесчисленные паттерны экспрессии даже с ограниченным количеством факторов транскрипции. Задача, стоящая перед функциональной геномикой, состоит в том, чтобы понять, как различные сочетания одних и тех же ДНК-связывающих факторов изменяют экспрессию отдельных генов.

В этом документе рассматриваются некоторые из тех факторов или моментов в транскрипции, которые позволяют клетке эффективно и блестяще управлять своими ресурсами и вызывать необходимый отклик.Они были разделены на четыре уровня обсуждения: цис-регуляторные модули, транскрипционные факторы, ко-регуляторы и длинный некодирующий РНК-опосредованный контроль.

2. Модули CIS-Regulator

Связывание DBTFs зависит от последовательности. Хотя эти сайты вырождены, они имеют определенный уровень консенсуса. Такие сайты, имеющие фиксированную консенсусную область и некоторые вариабельные области, называются цис-регуляторными элементами. Открытый вопрос, который существует, заключается в том, как цис-регуляторные элементы, которые похожи у разных промоторов, не нацелены в ответ на конкретный сигнал.Похоже, что процесс устранения гораздо надежнее, чем процесс связывания. Фланкирующие последовательности и состояние хроматина оба способствуют этому, но все же механизмы не очень хорошо поняты. На ДНК есть области, где комбинации цис-элементов встречаются в кластерах. Эти цис-регуляторные модули влияют на транскрипцию, даже если они расположены далеко от гена-мишени. Исходя из их влияния на активность транскрипции генов, они далее подразделяются на энхансеры (если они увеличивают скорость транскрипции гена) и репрессоры (если они уменьшают транскрипцию гена-мишени).Они похожи на проксимальные промоторы, но один цис-регуляторный модуль может контролировать экспрессию разных генов в разное время. Цис-регуляторные модули контролируют пространственную и временную экспрессию генов, независимо от их расстояния и ориентации

Реализация таблицы истинности — Simulink

Вы задаете матрицу, которая определяет все возможные выходы блока как Параметр таблицы истинности . Каждый ряд матрицы содержит выходные данные для другой комбинации входных элементов. Вы должны указать выходы для каждой комбинации входов. Количество столбцов количество выходов блока.

Параметр Таблица истинности может иметь логические значения (0 или 1) любого типа данных, включая типы данных с фиксированной точкой.Если стол содержит не булевы значения, тип данных таблицы должен быть двойной .

Соотношение между количеством входов и количеством строк это:

количество строк = 2 ^{(количество входы)}

Simulink ^® возвращает строку матрицы путем вычисления индекса строки из входные векторные элементы.Simulink вычисляет индекс путем построения двоичного числа, где ввод векторные элементы с нулевыми значениями равны 0, а элементы с ненулевыми значениями равны 1, затем добавляем 1 к результату. Для входного вектора u , из m элементов:

индекс строки = 1 + и (м) * 2 ⁰ + и (м-1) * 2 ¹ +... + и (1) * 2 ^м-1

Программное использование

Блок Параметр : TruthTable

Тип : символьный вектор

Значения : матрица

По умолчанию :

 '[0 0; 0 1; 0;
1; 1 0; 0 1; 1 0; 1 0; 1 1] '

Как выбрать формулу комбинаторики?

Перестановки

Размещения

Сочетания

Решебник задач по комбинаторике

Изучаем комбинаторику: полезные ссылки

Количество размещений

Размещение с повторениями

Пример алгоритма получения размещений с повторениями для массива объектов на Java

Пример получения размещений с повторениями для списка на Haskell

Ссылки

Размещения

Сочетания

Количество размещений

Размещение с повторениями

Пример алгоритма получения размещений с повторениями для массива объектов на Java

Пример получения размещений с повторениями для списка на Haskell

Ссылки

Основные понятия

Перестановки

Размещения

Размещение с повторением

Сочетания

Сочетания с повторениями

Что такое комбинаторика в математике

Основные понятия

Правило произведения

Правило суммы

Сочетания с повторениями и без повторений

Размещения с повторениями и без повторений

Перестановки с повторениями и без повторений

Комбинаторные задачи с решениями

Заключение

комбинаторных архивов — GeeksforGeeks

комбинаторный контроль экспрессии генов

1. Введение

2. Модули CIS-Regulator

Реализация таблицы истинности — Simulink

Программное использование

Добавить комментарий Отменить ответ