Виды функций

Постоянная функция. Эта функция задана формулой  у = b, где b – некоторое число. Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b) на оси ординат. Графиком функции у = 0 является ось абсцисс.

Прямая пропорциональность. Эта функция задана формулой у = kx, где коэффициент пропорциональности k ≠ 0. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. 

Линейная функция. Такая функция задана формулой у = kx + b, где k и b – действительные числа. Графиком линейной функции является прямая.

Графики линейных функций могут пересекаться или быть параллельными.

Так, прямые графиков линейных функций у = k₁x + b₁ и у = k₂x + b₂ пересекаются, если k₁ ≠ k₂; если же k₁ = k₂, то прямые параллельны.

Обратная пропорциональность – это функция, которая задана формулой у = k/x, где k ≠ 0.

K называется коэффициентом обратной пропорциональности. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

Функция у = х² представлена графиком, получившим название парабола: на промежутке [-~; 0] функция убывает, на промежутке [0; ~] функция возрастает.

Функция у = х³ возрастает на всей числовой прямой и графически представлена кубической параболой.

Степенная функция с натуральным показателем. Эта функция задана формулой у = хⁿ, где n – натуральное число. Графики степенной функции с натуральным показателем зависят от n. Например, если n = 1, то графиком будет прямая (у = х), если n = 2, то графиком будет парабола и т.д.

Степенная функция с целым отрицательным показателем представлена формулой у = х^—n, где n – натуральное число. Данная функция определена при всех х ≠ 0. График функции также зависит от показателя степени n.

Функция у = ˅х. Такая функция имеет смысл при х  > или = 0. Функция у = ˅х отличается тем, что она не является ни четной, ни нечетной.

Степенная функция с положительным дробным показателем. Эта функция представлена формулой у = х^r, где r – положительная несократимая дробь. Данная функция также не является ни четной, ни нечетной.

Закрепим изученный материал.

Задание 1.

Построим график функции у = х².

Решение.

Для этого выберем несколько значений х и найдем соответствующие им значения у.

1.Если х = 0, то у = 0.

2. Если х = 1, то у = 1.

3. Если х = 3, то у = 9.

4. Если х = 5, то у = 25.

5. Если х = -1, то у = 1.

6. Если х = -3, то у = 9.

7. Если х = -5, то у = 25 и т.д.

Следовательно, наши «опорные» точки имеют координаты (0; 0), (1; 1), (3; 9), (5; 25), (-1; 1) и т.д.

Ответ: нашим графиком будет парабола.

Задание 2.

Построим график функции у = х³.

Решение.

Для этого выберем несколько значений х и найдем им соответствующие значения у.

1.Если х = 0, то у = 0.

2. Если х = 1, то у = 1.

3. Если х = 2, то у = 8.

4. Если х = 3, то у = 27.

5. Если х = -1, то у = -1.

6. Если х = -2, то у = -8.

7. Если х = -3, то у = -27 и т.д.

Следовательно, наши «опорные» точки имеют координаты (0; 0), (1; 1), (2; 8), (3; 27), (-1; -1) и т.д.

Ответ: нашим графиком будет кубическая парабола.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Типы функций | JavaScript Camp

Как и в JavaScript, функции в TypeScript могут быть как именованные, так и анонимные. Это позволяет вам выбрать наиболее удобный подход для разработки вашего приложения, будь то выстраивание списка в функций в API, либо вкладывая одну функцию в другую.

Тип функции​

Каждая функция имеет тип, как и обычные переменные. Тип функции фактически представляет комбинацию типов параметров и типа возвращаемого значения. Например, возьмем следующую функцию:

function sum(x: number, y: number): number {
  return x + y
}

Copy

Она имеет тип (x:number, y:number) => number;, то есть принимает два параметра number и возвращает значение типа number. Названия параметров в типе функции необязательно должны соответствовать названиям конкретной функции. А перед типом возвращаемого значения ставится знак равно со стрелкой.

И подобно тому, как определяются переменные определенного типа, можно определять переменные, которые имеют тип функции:

let op: (x: number, y: number) => number

Copy

То есть переменная op представляет любую функцию, которая принимает два числа и которая возвращает число. Например:

function sum(x: number, y: number): number {
  return x + y
}
function subtract(a: number, b: number): number {
  return a - b
}

let op: (x: number, y: number) => number

op = sum
console. log(op(2, 4)) 

op = subtract
console.log(op(6, 4)) 

Copy

Здесь вначале переменная op указывает на функцию sum. И соответственно вызов op(2, 4) фактически будет представлять вызов sum(2, 4). А затем op указывает на функцию subtract.

Функции обратного вызова​

Тип функции можно использовать как тип переменной, но он также может применяться для определения типа параметра другой функции:

function mathOp(x: number, y: number, operation: (a: number, b: number) => number): number {
  let result = operation(x, y)
  return result
}
let operationFunc: (x: number, y: number) => number

operationFunc = function (a: number, b: number): number {
  return a + b
}
console.log(mathOp(10, 20, operationFunc)) 

operationFunc = function (a: number, b: number): number {
  return a * b
}
console.log(mathOp(10, 20, operationFunc)) 

Copy

Здесь в функции mathOp третий парметр как раз представляет функцию, которая принимает два параметра типа number и возвращает число. Фактически тем самым мы можем передавать функции обратного вызова, например, при генерации событий, когда в ответ на некоторое действие срабатывает другая функция.

Стрелочные функции​

Для определения функций в

TypeScript можно использовать стрелочные функции или arrow functions. Стрелочные функции представляют выражения типа (параметры) => тело функции. Например:

let sum = (x: number, y: number) => x + y

let result = sum(15, 35) 
console.log(result)

Copy

Тип параметров можно опускать:

function learnJavaScript() { let sum = (x, y) => x + y let result = sum(15, 35) // 50 return result }

function learnJavaScript() {
  let sum = (x, y) => x + y
  let result = sum(15, 35) 
  return result
}

Если стрелочная функция не требует параметров, то используются пустые круглые скобки. Если передается только один параметр, то скобки можно опустить:

function learnJavaScript() { let square = x => x * x let hello = () => ‘Hello world’ return hello() + ‘ ‘ + square(7) }

function learnJavaScript() {
 
  let square = x => x * x
  let hello = () => 'Hello world'
  return hello() + ' ' + square(7)
}

Если тело функции представляет множество выражений, а не просто одно выражение, как в примере выше, тогда можно опять же заключить все выражения в фигурные скобки:

let sum = (x: number, y: number) => {
  x *= 2
  return x + y
}

let result = sum(15, 35) 
console. log(result)

Copy

Стрелочные функции можно передавать в функцию вместо параметра, который представляет собой функцию:

function mathOp(x: number, y: number, operation: (a: number, b: number) => number): number {
  let result = operation(x, y)
  return result
}
console.log(mathOp(10, 20, (x, y) => x + y)) 
console.log(mathOp(10, 20, (x, y) => x * y)) 
 

Copy

Функциональные типы​

Добавим типы для функций add и myAdd:

function add(x: number, y: number): number {
  return x + y
}

let myAdd = function (x: number, y: number): number {
  return x + y
}

Copy

Как видно, мы добавили типы не только к параметрам, передаваемым в функцию, но и на возвращаемое функцией значение.

Теперь опишем полный тип этой функции:

let myAdd: (baseValue: number, increment: number) => number = function (x: number, y: number): number {
  return x + y
}

Copy

Функциональный тип состоит из двух частей: типов аргументов и типом возвращаемого значения. Тип возвращаемого значения определяется после =>. В том случае, если функция не возвращает никакого значения, должно быть указано void.

Вопросы:​

1. Функции в TypeScript могут быть:

• именованные и анонимные
• архивные и распакованные
• под Windows и MaC OS
• типичные и не типичные

2. Функция имеет тип как:

• тип возвращаемого значения
• целое число
• только строка
• возвращаемое значение

3. Функции можно передавать в функцию вместо параметра:

• Можно
• Нельзя
• Только в модуле
• Только в Mac OS

Для того чтобы понять насколько вы усвоили этот урок пройдите тест в мобильном приложении в нашей школы по этой теме.

Ссылки:​

1. Статья «Тип функции и стрелочные функции», metanit.com
2. Статья «Функции в языке TypeScript», medium.com
3. Статья «Типы функций», typescript-lang. ru

Contributors ✨​

Thanks goes to these wonderful people (emoji key):

Функции, используемых в базах данных Microsoft SQL — SQL Server

• Статья
• 12/01/2021
• Чтение занимает 2 мин

Были ли сведения на этой странице полезными?

Оцените свои впечатления

Да Нет

Хотите оставить дополнительный отзыв?

Отзывы будут отправляться в корпорацию Майкрософт.

Нажав кнопку «Отправить», вы разрешаете использовать свой отзыв для улучшения продуктов и служб Майкрософт. Политика конфиденциальности.

Отправить

В этой статье

Применимо к: SQL Server (все поддерживаемые версии) База данных SQL Azure Управляемый экземпляр SQL Azure Azure Synapse Analytics Параллельное хранилище данных

Сведения о категориях встроенных функций, которые можно использовать с базами данных SQL. Вы можете использовать встроенные функции или создавать собственные пользовательские функции.

Агрегатные функции

Агрегатные функции выполняют вычисление на наборе значений и возвращают одиночное значение. Они допускаются в списке выбора или в предложении HAVING инструкции SELECT.

Агрегатную функцию можно использовать в сочетании с предложением GROUP BY для статистических вычислений на основе категорий строк. Используйте предложение OVER для вычисления статистического значения на основе определенного диапазона значений. Предложение OVER не может следовать за агрегатными функциями GROUPING и GROUPING_ID.

Все агрегатные функции являются детерминированными. Это означает, что они всегда возвращают одинаковый результат для одинаковых входных значений. Дополнительные сведения см. в статье Детерминированные и недетерминированные функции.

Аналитические функции

Аналитические функции вычисляют статистическое значение на основе группы строк. Однако, в отличие от агрегатных функций, аналитические функции могут возвращать несколько строк для каждой группы. Аналитические функции можно использовать для вычисления скользящих средних, промежуточных итогов, процентных долей или первых N результатов в группе.

Ранжирующие функции

Ранжирующие функции возвращают ранжирующее значение для каждой строки в секции. В зависимости от используемой функции значения некоторых строк могут совпадать. Ранжирующие функции являются недетерминированными.

Функции наборов строк

Функции наборов строк возвращают объект, который можно использовать так же, как табличные ссылки в инструкции SQL.

Скалярные функции

Обрабатывают и возвращают одиночное значение. Скалярные функции можно применять везде, где выражение допустимо.

Категории скалярных функций

Детерминизм функций

Различаются детерминированные и недетерминированные встроенные функции SQL Server. Функция является детерминированной, если для определенных входных значений она каждый раз возвращает один и тот же результат. Функция является недетерминированной, если она возвращает различные результаты даже для одних и тех же исходных значений. Дополнительные сведения см. в статье Детерминированные и недетерминированные функции.

Параметры сортировки функций

Функции, в которые вводится символьная строка и которые выдают ее, используют параметры сортировки входной строки для строки вывода.

Функции, которые обрабатывают несимвольные исходные данные и выдают символьную строку, применяют при выводе параметры сортировки по умолчанию для текущей базы данных.

Функции, обрабатывающие в качестве исходных данных несколько символьных строк и возвращающие символьную строку, задают параметры сортировки для строки вывода по правилам очередности параметров сортировки. Дополнительные сведения см. в статье Очередность параметров сортировки (Transact-SQL).

См. также:

CREATE FUNCTION (Transact-SQL)
Детерминированные и недетерминированные функции
Использование хранимых процедур (MDX)

Понятие и разновидности функций права, классификация

На протяжении всей своей истории человечество пыталось изобрести наиболее функциональный и действенный институт регулирования отношений внутри общества. Первоначально таковым было насилие. Посредством войн и убийств решалась большая часть возникающих вопросов. Однако вскоре люди осознали, что подобным способом они приносят вред исключительно самим себе. Поэтому вскоре насилие было заменено в большей части религией. Конечно, этот метод стал куда более выгодным и действенным, хотя имел свои негативные особенности. Подчинение абсолютно всех общественных отношений воле неведомого высшего разума препятствовало эволюции человечества.

Бесспорно, такое положение дел никого не устраивало. Таким образом, люди осознали, что лучше всего регулировать отношения друг между другом посредством санкционированных норм или же правил поведения. Этот регулятор вскоре приобрел самую большую популярность и стал называться правом. Следует отметить, что право по сей день является основным регулятором общественных отношений. Его развитие в XXI веке достигло своего пика, что позволяет контролировать практически все отрасли человеческой жизнедеятельности. Таким образом, право имеет ряд функций, благодаря которым осуществляется регламент нашего существования. Именно понятие и виды функций права будут рассмотрены нами в данной статье.

Что такое право?

Прежде чем выделить понятие и виды функций права, необходимо разобраться, что собой представляет право вообще. Данный термин имеет множество дефиниций, но в статье будет представлена наиболее классическая. Согласно ей, право – это один из ключевых регуляторов отношений в обществе. Оно представляет собой структурированную систему формально-определенных, общеобязательных и гарантированных страной норм поведения. При помощи этих норм осуществляется непосредственное регулирование общества.

Понимание права

Следует отметить тот факт, что понимание права зависит от конкретного теоретического взгляда. К примеру, некоторые ученые отождествляют право с государственной властью. По их мнению, эти две категории попросту не могут существовать в отдельности, потому что право санкционируется и создается, по сути, государством. Приверженцы иного теоретического подхода утверждают, что право – это совокупность всех нормативных актов в той или иной стране. Такой взгляд не лишен логики, поскольку юридические нормы существуют именно в НПА. Таким образом, понимание права полностью зависит от той или иной теоретической школы, хотя некоторые общие закономерности все-таки существуют.

Признаки права как регулятора общественных отношений

Задачи и функции права во многом обусловлены теми признаками, которые присущи данному юридическому регулятору общественных правоотношений. Однако и в этом вопросе не существует единого теоретического подхода. Как правило, учеными выделяются следующие наиболее общие признаки права, а именно:

• Общеобязательный характер, то есть действие права распространено на большое количество субъектов.
• Гарантированность исполнения со стороны государства.
• Нормативная установленность общепризнанных правил поведения.
• Волевой и интеллектуальный характер, то есть право исходит от людей.
• Структурированность.
• Формальная определенность.

Учитывая представленные признаки, можно сделать вывод, что право является не просто социальным феноменом внутреннего регулирования, а целостной и достаточно интересной системой, которая выполняет ряд собственных функций.

Функции права

Итак, что же собой представляют функции права? Сразу следует оговориться, что предмет и функции права — это понятия, неразрывно связанные между собой. Предметом называется совокупность правоотношений, которые регулируются той или иной юридической отраслью. А функции – это направления правового воздействия. Как показывает практика, функциональная часть выражается в банальном упорядочивании конкретных общественных отношений. Этот тезис наглядно прослеживается в той или иной области права или же отрасли.

Таким образом, учитывая все вышесказанное, можно сделать вывод, что функции права – это ключевые направления воздействия на те или иные социальные отношения. С помощью такого влияния можно увидеть реальное предназначение каждой юридической отрасли и её пользу для общества. Отсюда следует, что с теоретической точки зрения функции – основы права.

Характеризующие факторы правовых функций

Функции права, понятие и классификация которых представлены в статье, имеют ряд характеризующих факторов. Посредством них можно увидеть востребованность и динамику развития юридического регулятора в реальности. Таким образом, функции обладают следующими свойствами, а именно:

— перечень функций показывает реальную направленность юридического регулятора и круг правоотношений, который фактически затрагивается;

— как правило, функции постоянны, неизменны;

— функции права показывают направления, которые люди не могут регулировать иными способами, нежели правом;

— содержание каждой функции в отдельности характеризуется динамикой изменения задач, целей и основных направлений, в зависимости от малейших изменений в сфере тех или иных общественно-правовых отношений;

— все без исключения функции входят в единую структуру, что позволяет говорить об их системности;

Следует отметить, что с учетом вышеперечисленных свойств юридические функции права разделены в зависимости от отраслевой принадлежности. То есть одни функции принадлежат одной отрасли, другие — другой. Это значит, что мы можем говорить в отдельности о направлениях действия функции трудового права, административного, гражданского, уголовного и т. п. Помимо этого, системный характер функций и права в целом дает возможность классификации направлений действия регулятора на основе разных факторов. В статье будет представлена стандартная дифференциация, а также особенности функций в некоторых отраслях.

Классификация

Функции права имеют двойственный характер регулятивной направленности. Простыми словами, право является как юридическим, так и сугубо социальным явлением. Это значит, что понятие и виды функций права также будут рассматриваться через призму этих двух принципиально разных позиций. Учеными-теоретиками на сегодняшний день весь массив функциональной направленности разделяется следующим образом: общесоциальный блок и специально-юридический.

Общесоциальная направленность

Общесоциальные функции доказывают и наглядно демонстрируют роль права в процессе регулирования человеческой жизнедеятельности. Они непосредственно отражают регламент отдельных сфер, которые меньше всего контактируют с юридической отраслью. Таким образом, в общесоциальном блоке выделяют ряд следующих функций, а именно:

1) Политическая. Данная функция достаточно важна с учетом современного развития политической жизни и культуры. Она проявляется в регулировании правом отношений между государствами, политическими партиями, религиозными конфессиями и иными социальными формированиями, которые участвуют в процессе потребления, обмена и производства материальных благ. Помимо этого, политическая функция, по сути, обуславливает наличие своеобразного гаранта прав и свобод субъектов подобных правоотношений.

2) Экономическая функция права существует для поддержания здорового финансового климата в государства. В данном случае правовое регулирование направлено в большей части на повышение инициативы субъектов хозяйственной деятельности. Следует отметить, что экономическое направление очень часто подвергается влиянию мировых тенденций. Например, в XXI веке большая часть государств желает выйти на мировой рынок. Соответственно, все отношения внутри этих стран будут регулироваться в угоду тенденциям рыночной экономики.

3) Воспитательная функция права направлена на формирование у участников общественных отношений осознания справедливости и действенности существующего идеологического режима.

4) Тот факт, что право поддерживает развитие национальной, исторически сформированной мысли и идеологии, дает возможность говорить о существовании культурной функции.

5) Социальный контроль также является одной из функций права. Он проявляется в стимулировании и удержании от неправомерных действий участников общественных отношений.

Таким образом, функции права, понятие и классификация которых представлены в статье, во многих аспектах регулируют не только юридические направления жизнедеятельности человека. Иными словами, общесоциальные направления дают возможность юридической системе влиять на окружающий нас мир.

Функции специально-юридической направленности

Если общесоциальные функции показывают действие права на неюридические отрасли, то специально-юридические – это наглядные примеры той материи, которая позволяет праву фактически работать. Другими словами, специальными они называются, потому что регулируют внутреннее устройство права и его взаимосвязь со структурными элементами. На сегодняшний день ученые выделяют следующие специально-юридические функции, а именно:

1) Регулятивная функция является основным направлением динамики юридической системы в целом. Как уже было указанно в начале статьи, право – это основной регулятор общественных отношений. Посредством представленной функции он оказывает нужное по силе влияние на те или иные моменты, возникающие в обществе. Непосредственная координация общественных отношений осуществляется через различные юридические отрасли. К примеру, функции трудового права в основном регулирующие, потому что властного веления государства тут не требуется, ведь институт ответственности в трудовой отрасли изначально развит слабо.

2) Охранительная функция наравне с регулятивной является одной из самых главных. Посредством неё осуществляется вытеснение негативных явлений, восстановление нарушенных прав и привлечение к ответственности лиц, совершивших противоправные поступки. При помощи этой функции право поддерживает существующий юридический режим в государстве путем пресечения любых действий, выходящих за его рамки. Например, функции административного права по большей части являются регулятивными. Таким образом, общественные отношения не только упорядочиваются, но и становятся более «удобными» для координации. В структуре охранительного направления также выделяют некоторые дополнительные, точнее, вспомогательные функциональные ответвления. К подобным относятся: восстановительная, карательная, компенсационная и ограничительная функции.

Следует отметить, что задачи и функции права реализуются путем специальной деятельности субъектов того или иного типа общественных отношений. Что касается охранительного направления, то его структурные элементы осуществляют свое действие лишь через определенные формы, которые будут представлены далее.

Формы охранительной функции

Функции административного права или любой иной отрасли, которые имеют охранительный характер, реализуются через определенные формы. Многие ученые выдвигают теории о том, что без представленных далее норм невозможно было бы реально влиять на общество. Иными словами, любые негативные явления нельзя было бы искоренить, а тем более восстановить нарушенные правомочия субъектов. На сегодняшний день выделяются следующие формы реализации, а именно:

1) Информационная. Посредством данной формы осуществляется передача информации от государства к отдельным субъектам права для формирования у них представления о существующем юридическом режиме, правилам которого необходимо подчиняться.

2) Ориентационная форма прямо связана с передачей информации, потому знание субъектов существующего юридического режима позволяет им формировать ориентиры своего поведения. Последние, в свою очередь, должны оградить людей от осуществления каких-либо правонарушений.

3) Регламентирующая – это форма, проявляющаяся в реальных действиях специальных субъектов права, которые своими властными велениями координируют поведение общества в целом и отдельных личностей.

4) Обеспечительная форма является комплексом запретов и дозволений, посредством которых люди выбирают наиболее приемлемый «сюжет» своего поведения.

Заключение

Итак, в статье мы представили понятие и виды функций права. Нужно отметить, что рассмотренная проблематика постоянно исследуется учеными всего мира. Ведь посредством функций фактически реализуется главная задача права, которая и обусловила его создание – регулирование общественных отношений.

Категории встроенных функций Excel — MS Excel

Все встроенные функции Excel разделены на несколько категорий. Например, функции категории Текстовые используются, в основном, для работы с текстовыми строками. Математические функции, с помощью которых можно составлять различные математические выражения, отнесены к категории Математические и т.

п. Основные категории функций перечислены ниже. Все названия категорий соответствуют названиям команд, расположенным в группе Библиотека функций на вкладке Формулы.

Логические функции

Категория Логические содержит семь функций, в том числе функции ЕСЛИ и ЕСЛИОШИБКА. Использование логических функций делает формулы более гибкими, а использование функции ЕСЛИ наделяет формулу способностью «принимать решения». Благодаря этому функция ЕСЛИ стала самой используемой логической функцией. Функция ЕСЛИОШИБКА имеется в библиотеке встроенных функций только в Excel 2010 (2007). Об этом необходимо помнить, если ваши рабочие книги используются в разных версиях Excel.

Текстовые функции

Текстовые функции предназначены для обработки текста, например если создаете информационную базу про бесплатные программы скачать. Например, с помощью функций ПРОПНАЧ или ДЛСТР можно изменить регистр или определить длину текстовой строки. Используя текстовые функции, можно объединить несколько строк в одну или, наоборот, разделить одну текстовую строку на несколько строк. Например, формула =СЦЕПИТЬ(A1;A2) объединяет две текстовые строки, содержащиеся в ячейках A1 и A2, в одну.

Функции категории Проверка свойств и значений

Функции этой категории часто называют информационными. Функция ЯЧЕЙКА этой категории позволяет получить информацию о ячейке. Другие информационные функции проверяют выполнение какоголибо условия и, в зависимости от результата, возвращают значение ИСТИНА или ЛОЖЬ (или числовое значение). Например, с помощью функции ЕЧИСЛО можно проверить, данные какого типа содержит ячейка. Если в ячейке содержится число, функция ЕЧИСЛО возвращает логическое значение ИСТИНА, в противном случае функция возвращает логическое значение ЛОЖЬ.

Функции Дата и время

Функции, принадлежащие к этой категории, предназначены для работы со значениями даты и времени. По сути, эти функции работают с числовыми значениями, потому что дата и время в Excel являются числами, к которым применен один из числовых форматов даты и времени. С помощью функции этой категории можно вычислить количество рабочих дней между двумя датами (функция ЧИСТРАБДНИ), преобразовать дату в год (функция ГОД), месяц (функция МЕСЯЦ) или день недели (функция ДЕНЬНЕД) и т. п.

Математические функции

Математические функции позволяют выполнять простые и сложные вычисления. В категорию Математические входят тригонометрические функции, например SIN, COS, ACOS; функции, выполняющие арифметические действия, например СУММ, ПРОИЗВЕД, ЧАСТНОЕ; и многие другие функции. К этой же категории относятся функции, позволяющие работать с массивами значений или матрицами, — МУМНОЖ, МОПРЕД и МОБР, а также функции АГРЕГАТ и ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ, которые используются для получения итоговых значений (суммы, среднего арифметического, минимального или максимального значений и т.п.) в массивах данных или списках. Функция АГРЕГАТ доступна только в Excel 2010!

Функции — SwiftBook

Функции – это самостоятельные фрагменты кода, решающие определенную задачу. Каждой функции присваивается уникальное имя, по которому ее можно идентифицировать и «вызвать» в нужный момент.

Язык Swift предлагает достаточно гибкий единый синтаксис функций – от простых C-подобных функций без параметров до сложных методов в стиле Objective-C с локальными и внешними параметрами. Параметры могут служить как для простой инициализации значений внутри функции, так и для изменения внешних переменных после выполнения функции.

Каждая функция в Swift имеет тип, описывающий тип параметров функции и тип возвращаемого значения. Тип функции можно использовать аналогично любым другим типам в Swift, т. е. одна функция может быть параметром другой функции либо ее результирующим значением. Функции также могут вкладываться друг в друга, что позволяет инкапсулировать определенный алгоритм внутри локального контекста.

При объявлении функции можно задать одно или несколько именованных типизированных значений, которые будут ее входными данными (или параметрами), а также тип значения, которое функция будет возвращать в качестве результата (или возвращаемый тип).

У каждой функции должно быть имя, которое отражает решаемую задачу. Чтобы воспользоваться функцией, ее нужно «вызвать», указав имя и входные значения (аргументы), соответствующие типам параметров этой функции. Аргументы функции всегда должны идти в том же порядке, в каком они были указаны при объявлении функции.

В приведенном ниже примере функция называется greet(person:), потому что это отражает ее задачу – получить имя пользователя и вежливо поздороваться. Для этого задается один входной параметр типа String под названием person, а возвращается тоже значение типа String, но уже содержащее приветствие:

func greet(person: String) -> String {
    let greeting = "Привет, " + person + "!"
    return greeting
}

Вся эта информация указана в объявлении функции, перед которым стоит ключевое слово func. Тип возвращаемого значения функции ставится после результирующей стрелки -> (это дефис и правая угловая скобка).

Из объявления функции можно узнать, что она делает, какие у нее входные данные и какой результат она возвращает. Объявленную функцию можно однозначно вызывать из любого участка кода:

print(greet(person: "Anna"))
// Выведет "Привет, Anna!"
print(greet(person: "Brian"))
// Выведет "Привет, Brian!"

Функция greet(person:) вызывается, принимая значение типа String, которое стоит после имени person, например вот так — greet(person: «Anna»). Поскольку функция возвращает значение типа String, вызов функции greet(person:) может быть завернут в вызов для функции print(_:separator:terminator:), чтобы напечатать полученную строку и увидеть возвращаемое значение (см. выше).

Тело функции greet(person:) начинается с объявления новой константы типа String под названием greeting, и устанавливается простое сообщение-приветствие. Затем это приветствие возвращается в точку вызова функции с помощью ключевого слова return. После выполнения оператора return greeting функция завершает свою работу и возвращает текущее значение greeting.

Функцию greet(person:) можно вызывать многократно и с разными входными значениями. В примере выше показано, что будет, если функцию вызвать с аргументом «Anna» и со значением «Brian». В каждом случае функция возвратит персональное приветствие.

Чтобы упростить код этой функции, можно записать создание сообщения и его возврат в одну строку:

func greetAgain(person: String) -> String {
    return "Hello again, " + person + "!"
}
print(greetAgain(person: "Anna"))
// Выведет "Hello again, Anna!"

В языке Swift параметры функций и возвращаемые значения реализованы очень гибко. Разработчик может объявлять любые функции – от простейших, с одним безымянным параметром, до сложных, со множеством параметров и составными именами.

Функции без параметров

В некоторых случаях функции могут не иметь входных параметров. Вот пример функции без входных параметров, которая при вызове всегда возвращает одно и то же значение типа String:

func sayHelloWorld() -> String {
    return "hello, world"
}
print(sayHelloWorld())
// Выведет "hello, world"

Обратите внимание, что несмотря на отсутствие параметров, в объявлении функции все равно нужно ставить скобки после имени. При вызове после имени функции также указываются пустые скобки.

Функции с несколькими входными параметрами

У функции может быть несколько параметров, которые указываются через запятую в скобках.

Эта функция принимает два параметра: имя человека и булево значение, приветствовали ли его уже, и возвращает соответствующее приветствие для этого человека:

func greet(person: String, alreadyGreeted: Bool) -> String {
    if alreadyGreeted {
        return greetAgain(person: person)
    } else {
        return greet(person: person)
    }
}
print(greet(person: "Tim", alreadyGreeted: true))
// Выведет "Hello again, Tim!"

Вы вызываете функцию greet(person:alreadyGreeted:), передавая значение типа String параметру с ярлыком person и булево значение с ярлыком alreadyGreeted, взятое в скобки через запятую. Обратите внимание, что эта функция отличается от функции greet(person:), которую вы видели в предыдущем разделе. Хотя имена обеих функций начинаются с greet, функция greet(person:alreadyGreeted:) принимает два аргумента, а greet(person:) принимает только один.

Функции, не возвращающие значения

В некоторых случаях функции могут не иметь возвращаемого типа. Вот другая реализация функции greet(person:), которая выводит свое собственное значение типа String, но не возвращает его:

func greet(person: String) {
    print("Привет, \(person)!")
}
greet(person: "Dave")
// Выведет "Привет, Dave!"

Так как у функции нет выходного значения, в ее объявлении отсутствует результирующая стрелка (->) и возвращаемый тип.

Заметка

Строго говоря, функция greet(person:) все же возвращает значение, хотя оно нигде и не указано. Функции, для которых не задан возвращаемый тип, получают специальный тип Void. По сути, это просто пустой кортеж, т. е. кортеж с нулем элементов, который записывается как ().

Выходное значение функции может быть игнорировано:

func printAndCount(string: String) -> Int {
    print(string)
    return string.count
}
func printWithoutCounting(string: String) {
    let _ = printAndCount(string: string)
}
printAndCount(string: "hello, world")
// Выведет "hello, world" и возвращает значение 12
printWithoutCounting(string: "hello, world")
// Выведет "hello, world", но не возвращает значения

Первая функция, printAndCount(string:) выводит строку, а затем возвращает подсчет символов в виде целого (Int). Вторая функция, printWithoutCounting(string:) вызывает первую, но игнорирует ее возвращаемое значение. При вызове второй функции первая функция по-прежнему печатает сообщение, но ее возвращаемое значение не используется.

Заметка

Хотя возвращаемые значения можно игнорировать, функция все же должна возвратить то, что задано в ее объявлении. Функция, для которой указан возвращаемый тип, не может заканчиваться оператором, который ничего не возвращает, иначе произойдет ошибка во время компиляции.

Функции, возвращающие несколько значений

Вы можете использовать кортежный тип в качестве возвращаемого типа для функции для возврата нескольких значений в виде составного параметра.

В следующем примере объявлена функция minMax(array:), которая ищет минимальный и максимальный элементы в массиве типа Int:

func minMax(array: [Int]) -> (min: Int, max: Int) {
    var currentMin = array[0]
    var currentMax = array[0]
    for value in array[1..<array.count] {
        if value < currentMin {
            currentMin = value
        } else if value > currentMax {
            currentMax = value
        }
    }
    return (currentMin, currentMax)
}

Функция minMax(array:) возвращает кортеж из двух значений типа Int. Этим значениям присвоены имена min и max, чтобы к ним можно было обращаться при запросе возвращаемого типа функции.

Тело функции minMax(array:) начинается с инициализации двух рабочих переменных currentMin и currentMax значением первого целого элемента в массиве. Затем функция последовательно проходит по всем остальным значениям в массиве и сравнивает их со значениями currentMin и currentMax соответственно. И наконец, самое маленькое и самое большое значения возвращаются внутри кортежа типа Int.

Так как имена элементов кортежа указаны в возвращаемом типе функции, к ним можно обращаться через точку и считывать значения:

let bounds = minMax(array: [8, -6, 2, 109, 3, 71])
print("min is \(bounds.min) and max is \(bounds.max)")
// Выведет "min is -6 and max is 109"

Обратите внимание, что элементам кортежа не нужно давать название в момент возвращения кортежа из функции, так как их имена уже указаны как часть возвращаемого типа функции.

Опциональный кортеж как возвращаемый тип

Если возвращаемый из функции кортеж может иметь «пустое значение», то его следует объявить как опциональный кортеж, т. е. кортеж, который может равняться nil. Чтобы сделать возвращаемый кортеж опциональным, нужно поставить вопросительный знак после закрывающей скобки:(Int, Int)? или (String, Int, Bool)?.

Заметка

Кортеж-опционал вида (Int, Int)? — это не то же самое, что кортеж, содержащий опционалы: (Int?, Int?). Кортеж-опционал сам является опционалом, но не обязан состоять из опциональных значений.

Функция minMax(array:) выше возвращает кортеж из двух значений типа Int, однако не проверяет корректность передаваемого массива. Если аргумент array содержит пустой массив, для которого count равно 0, функция minMax в том виде, в каком она приведена выше, выдаст ошибку выполнения, когда попытается обратиться к элементу array[0].

Для устранения этого недочета перепишем функцию minMax(array:) так, чтобы она возвращала кортеж-опционал, который в случае пустого массива примет значение nil:

func minMax(array: [Int]) -> (min: Int, max: Int)? {
    if array.isEmpty { return nil }
    var currentMin = array[0]
    var currentMax = array[0]
    for value in array[1. .<array.count] {
        if value < currentMin {
            currentMin = value
        } else if value > currentMax {
            currentMax = value
        }
    }
    return (currentMin, currentMax)
}

Чтобы проверить, возвращает ли эта версия функции minMax(array:) фактическое значение кортежа или nil, можно использовать привязку опционала:

if let bounds = minMax(array: [8, -6, 2, 109, 3, 71]) {
    print("min is \(bounds.min) and max is \(bounds.max)")
}
// Выведет "min is -6 and max is 109"

Функции с неявным возвращаемым значением

Если тело функции состоит из единственного выражения, то функция неявно возвращает это выражение. Например, обе функции в примере ниже имеют одно и то же поведение:

func greeting(for person: String) -> String {
    "Привет, " + person + "!"
}
print(greeting(for: "Дейв"))
// Выведет "Привет, Дейв!"

func anotherGreeting(for person: String) -> String {
    return "Привет, " + person + "!"
}
print(anotherGreeting(for: "Дейв"))
// Выведет "Привет, Дейв!"

Поведение функции greeting(for:) заключается в том, чтобы просто вернуть приветственное сообщение, что означает, что мы можем использовать сокращенную запись этой функции. Функция anotherGreeting(for:) возвращает то же самое приветственное сообщение, используя ключевое слово return. Таким образом, если вы пишите функцию, которая состоит из одного лишь возвращаемого значения, то вы можете опустить слово return.

Как вы увидите в главе «Сокращенный вариант объявления геттера», геттер так же может использовать сокращенную форму записи с опущенным словом return.

Заметка

Код, который вы написали с неявным возвращаемым значением должен иметь это самое возвращаемое значение. Например, вы не можете использовать fatalError(«Oh no!») или print(13) как неявные возвращаемые значения.

Каждый параметр функции имеет ярлык аргумента и имя параметра. Ярлык аргумента используется при вызове функции. Каждый параметр при вызове функции записывается  с ярлыком аргумента, стоящим перед ним. Имя параметра используется при реализации функции. По умолчанию параметры используют имена их параметров в качестве ярлыка аргумента.

func someFunction(firstParameterName: Int, secondParameterName: Int) {
    // Внутри тела функции firstParameterName и secondParameterName
    // ссылаются на значения аргументов, первого и второго параметров. 
}
someFunction(firstParameterName: 1, secondParameterName: 2)

Все параметры должны иметь уникальные имена. Несмотря на то, что несколько параметров могут иметь один ярлык аргумента, уникальные ярлыки аргумента метки помогают сделать ваш код более читабельным.

Указываем ярлыки аргументов

Вы пишете ярлык аргумента перед именем параметра через пробел:

func someFunction(argumentLabel parameterName: Int) {
    // В теле функции parameterName относится к значению аргумента
    // для этого параметра.
}

Вот вариант функции greet(person:), которая принимает имя человека и его родной город, затем возвращает приветствие:

func greet(person: String, from hometown: String) -> String {
    return "Hello \(person)!  Glad you could visit from \(hometown)."
}
print(greet(person: "Bill", from: "Cupertino"))
// Выводит "Hello Bill!  Glad you could visit from Cupertino."

Использование ярлыков аргументов позволяет функции вызываться в более выразительной манере, в виде предложения, при этом все же предоставляя тело функции в более читаемом виде и с более понятыми намерениями.

Пропуск ярлыков аргумента

Если вы не хотите использовать ярлык аргумента в качестве параметра, используйте подчеркивание (_) вместо явного ярлыка аргумента для этого параметра.

func someFunction(_ firstParameterName: Int, secondParameterName: Int) {
    // В теле функции firstParameterName и secondParameterName
    // ссылаются на значения аргументов для первого и второго параметров.
}
someFunction(1, secondParameterName: 2)

Если у параметра есть ярлык аргумента, то аргумент должен иметь ярлык при вызове функции.

Значения по умолчанию для параметров

При объявлении функции любому из ее параметров можно присвоить значение по умолчанию. Если у параметра есть значение по умолчанию, то при вызове функции этот параметр можно опустить.

func someFunction(parameterWithoutDefault: Int, parameterWithDefault: Int = 12) {
    // Если вы пропускаете второй аргумент при вызове функции, то
    // значение parameterWithDefault будет равняться 12 внутри тела функции. 
}
someFunction(parameterWithoutDefault: 3, parameterWithDefault: 6) // parameterWithDefault равен 6
someFunction(parameterWithoutDefault: 4) // parameterWithDefault равен 12

Расположите параметры, у которых нет дефолтных значений в начале списка параметров функции до параметров с дефолтными значениями. Параметры, не имеющие значения по умолчанию, как правило, более важны для значения функции — их запись в первую очередь облегчает распознавание функции уже вызванной ранее, независимо от того, опущены ли какие-то параметры по умолчанию.

Вариативные параметры

Вариативным называют параметр, который может иметь сразу несколько значений или не иметь ни одного. С помощью вариативного параметра можно передать в функцию произвольное число входных значений. Чтобы объявить параметр как вариативный, нужно поставить три точки (…) после его типа.

Значения, переданные через вариативный параметр, доступны внутри функции в виде массива соответствующего типа. Например, вариативный параметр numbers типа Double… доступен внутри функции в виде массива-константы numbers типа [Double].

В приведенном ниже примере вычисляется среднее арифметическое (или же среднее) последовательности чисел, имеющей произвольную длину:

func arithmeticMean(_ numbers: Double...) -> Double {
    var total: Double = 0
    for number in numbers {
        total += number
    }
    return total / Double(numbers.count)
}
arithmeticMean(1, 2, 3, 4, 5)
// возвращает 3.0, что является средним арифметическим этих пяти чисел
arithmeticMean(3, 8.25, 18.75)
// возвращает 10.0, что является средним арифметическим этих трех чисел

Функции могут иметь несколько вариативных параметров. Первый параметр, который идет после вариативного параметра должен иметь ярлык аргумента. Ярлык аргумента позволяет однозначно определить, какие аргументы передаются вариативному, а какие — параметрам, которые идут после вариативного параметра.

Сквозные параметры

Параметры функции по умолчанию являются константами. Попытка изменить значение параметра функции из тела этой функции приводит к ошибке компиляции. Это означает, что вы не сможете изменить значение параметра по ошибке. Если вы хотите, чтобы функция изменила значение параметра, и вы хотите, чтобы эти изменения сохранились после того, как закончился вызов функции, определите этот параметр в качестве сквозного параметра.

Для создания сквозного параметра нужно поставить ключевое слово inout перед типом объявлением параметра. Сквозной параметр передает значение в функцию, которое затем изменяется в ней и возвращается из функции, заменяя исходное значение. Более подробную информацию поведения сквозных параметров и связанных с ними оптимизаций компилятора см. Сквозные Параметры.

Вы можете передать только переменную в качестве аргумента для сквозного параметра. Вы не можете передать константу или значения литерала в качестве аргумента, так как константы и литералы не могут быть изменены. Вы ставите амперсанд (&) непосредственно перед именем переменной, когда передаете ее в качестве аргумента сквозного параметра, чтобы указать, что он может быть изменен с помощью функции.

Заметка

Сквозные параметры не могут иметь значения по умолчанию, а вариативные параметры не могут быть сквозными, с ключевым словом inout.

Вот пример функции под названием swapTwoInts(_:_:), у которой есть два сквозных целочисленных параметра – a и b:

func swapTwoInts(_ a: inout Int, _ b: inout Int) {
    let temporaryA = a
    a = b
    b = temporaryA
}

Функция swapTwoInts(_:_:) просто меняет значение переменной b на значение a, а значение a – на значение b. Для этого функция сохраняет значение a в локальной константе temporaryA, присваивает значение b переменной a, а затем присваивает значение temporaryA переменной b.

Вы можете вызвать функцию swapTwoInts (_: _:) с двумя переменными типа Int, чтобы поменять их значения. Обратите внимание, что имена someInt и anotherInt начинаются с амперсанда, когда они передаются в swapTwoInts (_: _:) функции:

var someInt = 3
var anotherInt = 107
swapTwoInts(&someInt, &anotherInt)
print("someInt is now \(someInt), and anotherInt is now \(anotherInt)")
// Выведет "someInt is now 107, and anotherInt is now 3"

В вышеприведенном примере видно, что исходные значения переменных someInt и anotherInt изменены функцией swapTwoInts (_: _:), несмотря на то, что изначально они были объявлены за ее пределами.

Заметка

Сквозные параметры – это не то же самое, что возвращаемые функцией значения. В примере с функцией swapTwoInts нет ни возвращаемого типа, ни возвращаемого значения, но параметры someInt и anotherInt все равно изменяются. Сквозные параметры – это альтернативный способ передачи изменений, сделанных внутри функции, за пределы тела этой функции.

У каждой функции есть специальный функциональный тип, состоящий из типов параметров и типа возвращаемого значения.

Пример:

func addTwoInts(a: Int, _ b: Int) -> Int {
  return a + b
}
func multiplyTwoInts(a: Int, _ b: Int) -> Int {
  return a * b
}

В данном примере объявлены две простые математические функции – addTwoInts и multiplyTwoInts. Каждая из этих функций принимает два значения типа Int и возвращает одно значение типа Int, содержащее результат математической операции.

Обе функции имеют тип (Int, Int) -> Int. Эта запись означает следующее:

«функция с двумя параметрами типа Int, возвращающая значение типа Int».

Вот еще один пример, но уже функции без параметров и возвращаемого значения:

func printHelloWorld() {
  print("hello, world")
}

Эта функция имеет тип () -> Void, т. е. «функция без параметров, которая возвращает Void».

Использование функциональных типов

В Swift с функциональными типами можно работать так же, как и с другими типами. Например, можно объявить константу или переменную функционального типа и присвоить ей функцию соответствующего типа:

var mathFunction: (Int, Int) -> Int = addTwoInts

Эта запись означает следующее:

«Объявить переменную mathFunction, имеющую тип «функция, принимающая два значения типа Int, и возвращающая одно значение типа Int». Присвоить этой новой переменной указатель на функцию addTwoInts».

Функция addTwoInts имеет тот же тип, что и переменная mathFunction, поэтому с точки зрения языка Swift такое присваивание корректно.

Теперь функцию можно вызывать с помощью переменной mathFunction:

print("Result: \(mathFunction(2, 3))")
// Выведет "Result: 5"

Той же переменной можно присвоить и другую функцию такого же типа – аналогично нефункциональным типам:

mathFunction = multiplyTwoInts
print("Result: \(mathFunction(2, 3))")
// Выведет "Result: 6"

Как и в случае с любым другим типом, вы можете не указывать тип явно, а предоставить Swift самостоятельно вывести функциональный тип при присваивании функции константе или переменной:

let anotherMathFunction = addTwoInts
// для константы anotherMathFunction выведен тип (Int, Int) -> Int

Функциональные типы как типы параметров

Функциональные типы наподобие (Int, Int) -> Int могут быть типами параметров другой функции. Это позволяет определять некоторые аспекты реализации функции непосредственно во время ее вызова.

Следующий код печатает на экране результаты работы приведенных выше математических функций:

func printMathResult(_ mathFunction: (Int, Int) -> Int, _ a: Int, _ b: Int) {
    print("Result: \(mathFunction(a, b))")
}
printMathResult(addTwoInts, 3, 5)
// Выведет "Result: 8"

В этом примере объявлена функция printMathResult(_:_:_:), у которой есть три параметра. Первый параметр под названием mathFunction имеет тип (Int, Int) -> Int. Соответственно, аргументом этого параметра может быть любая функция такого же типа. Второй и третий параметры называются a и b и относятся к типу Int. Они служат для передачи двух входных значений для математической функции.

При вызове printMathResult(_:_:_:) получает в качестве входных данных функцию addTwoInts(_:_:) и два целочисленных значения 3 и 5. Затем она вызывает переданную функцию со значениями 3 и 5, а также выводит на экран результат 8.

Задача функции printMathResult(_:_:_:) заключается в том, чтобы печатать результат работы математической функции соответствующего типа. При этом конкретные детали этой математической функции не имеют значения – главное, чтобы она была подходящего типа. Все это позволяет безопасно управлять работой функции printMathResult(_:_:_:) непосредственно во время вызова.

Функциональные типы как возвращаемые типы

Функциональный тип можно сделать возвращаемым типом другой функции. Для этого нужно записать полный функциональный тип сразу же после возвратной стрелки (->) в возвращаемой функции.

В следующем примере объявлены две простые функции – stepForward(_:) и stepBackward(_:). Функция stepForward(_:) возвращает входное значение, увеличенное на единицу, а функция stepBackward(_:) – уменьшенное на единицу. Обе функции имеют тип (Int) -> Int:

func stepForward(_ input: Int) -> Int {
    return input + 1
}
func stepBackward(_ input: Int) -> Int {
    return input - 1
}

Следующая функция под названием chooseStepFunction(backward:) имеет возвращаемый тип (Int) -> Int. Функция chooseStepFunction(backward:) возвращает функцию stepForward(_:) или функцию stepBackward(_:) в зависимости от значения логического параметра backward:

func chooseStepFunction(backward: Bool) -> (Int) -> Int {
    return backward ? stepBackward : stepForward
}

Теперь с помощью chooseStepFunction(backward:) можно получать функцию, которая будет сдвигать значение влево или вправо:

var currentValue = 3
let moveNearerToZero = chooseStepFunction(backward: currentValue > 0)
// moveNearerToZero ссылается на функцию stepBackward()

В предыдущем примере мы определяли, нужно ли прибавить или отнять единицу, чтобы последовательно приблизить переменную currentValue к нулю. Изначально currentValue имеет значение 3, т. е. сравнение currentValue > 0 даст true, а функция chooseStepFunction(backward:), соответственно, возвратит функцию stepBackward(_:). Указатель на возвращаемую функцию хранится в константе moveNearerToZero.

Так как moveNearerToZero теперь ссылается на нужную функцию, можно использовать эту константу для отсчета до нуля:

print("Counting to zero:")
// Counting to zero:
while currentValue != 0 {
    print("\(currentValue)... ")
    currentValue = moveNearerToZero(currentValue)
}
print("zero!")
// 3...
// 2...
// 1...
// zero!

Все ранее рассмотренные в этом разделе функции являются глобальными, т. е. определенными в глобальном контексте. Но помимо глобальных можно объявлять и функции, находящиеся внутри других функций, или же вложенные.

Вложенные функции по умолчанию недоступны извне, а вызываются и используются только заключающей функцией. Заключающая функция может также возвращать одну из вложенных, чтобы вложенную функцию можно было использовать за ее пределами.

Приведенный выше пример с функцией chooseStepFunction(backward:) можно переписать со вложенными функциями:

func chooseStepFunction(backward: Bool) -> (Int) -> Int {
    func stepForward(input: Int) -> Int { return input + 1 }
    func stepBackward(input: Int) -> Int { return input - 1 }
    return backward ? stepBackward : stepForward
}
var currentValue = -4
let moveNearerToZero = chooseStepFunction(backward: currentValue > 0)
// moveNearerToZero теперь ссылается на вложенную функцию stepForward() 
while currentValue != 0 {
    print("\(currentValue). .. ")
    currentValue = moveNearerToZero(currentValue)
}
print("zero!")
// -4...
// -3...
// -2...
// -1...
// zero!

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Основные виды функций, их графики и свойства

6
4
1
t 1 x =
2
3
x
u 1 x = — x
4
6
t 1 x = sin x +cos x
4
u 1 x = — x
Можно ли
утверждать,
что данный
график
задаёт
функцию?
v 1 x = cos x
1
2
3
4
4
2
2
-10
1
-5
-10
5
10
15
1
-5
5
10
6
-2
t 1 x = sin x +cos x
u1 x = — x
-2
v 1 x = cos x
4
-4
6
-4
-6
2
6
t 1 x = sin x +cos x
4
1
-8
-6
u1 x = — x
-10
v 1 x = cos x
1
-5
5
10
4
15
2
3
6
4
-2
t 1 x = sin x +cos x
2
2
u 1 x = — x
v 1 x = cos x
4
-4
2
-10
1
1
-5
5
10
5
15
-6
-10
1
-5
-2
5
10
-2
-8
-2
-4
15
6. Название
1.
2.
3.
4.
5.
Свойство графика
функции,обратной
объединяющее
не
имеющей
пропорциональности.
возрастание
линейной
не
значений
квадратичной
имеющей
выше
функции.
разрывов.
и убывание.
функции.
или/и ниже данного.
1
4
Г
И
3 П Р Я М А
Е
Н Е П Р Е РЫВ
Б
5 О Г Р А Н
Л
6 П А
А
2
М
О
Я
Н
О
НО С Т Ь
О
И Ч Е ННО С Т Ь
Н
Р А Б О Л А
С
Т
Ь
1
Прочитайте график функции:
1 вариант
2 вариант
2
3
6
4
6
t 1 x = 1,5 3 x 5-5 x 3
1. Область определения функции
D(y) = (- ; + )
2. Область значений функции
E(y) = (-4 ; + )
E(y) = (- ; + )
3. Чётность/нечетность функции
Чётная
Нечётная
4. Нули функции
у=0 при х = 0; ±1,4
у=0 при х = 0; ±1,2
-10
-5
5
10
15
5. Промежутки возрастания/
убывания функции
y при х [–1;0], [1;+ ]
y при (– ;–1], [1;+ ]
y при x (– ;-1], [0;1]
y при х x [–1; 1]
6. Наибольшее/наименьшее
значение функции
унаим = –4; унаиб не сущ.
Унаим , унаиб не сущ.
7. Ограниченность функции
Ограничена снизу
Не ограничена
8. Непрерывность функции
непрерывна
u1 x = 4 x 4-8 x 2
4
2
1
-2
-4
-6
4
2
1
-2
-4
-6
4
Укажите номера
верных
утверждений:
2
1) f(-3) = f(3)
-10
1
-5
2) f(-2)
-2
3) f(0) > f(1)
4) f(x) >1 при -3
5) f(x) 1 0 x 3
-4
-6
Основные виды функций и их графики:
Линейная функция y = kx + b (k, b R) График – прямая
Частные случаи:
y = kx (прямая пропорциональность)
График – прямая, походящая через начало координат
y = а (а R) График – прямая, параллельная оси Ох
х = а (а R) График – прямая, параллельная оси Оу
Обратная пропорциональность y =
(k ≠ 0, x ≠ 0, y ≠ 0)
График – гипербола
Квадратичная функция y = ax2 + bx+ c (a, b, c R; a≠0)
График – парабола
Степенная функция y = xn (n N)
График – парабола или кубическая парабола
Степенная функция y = x– n (n N)
Модуль y = |x|
Квадратный корень у х
Кубический корень
у 3 х
h x = -x x-5 2 +3
s x = 4 x-1 2 -2
2
r
x
=
-0,5
x+4
задающую +1
6
Укажите формулу,
эту функцию:
4
2
1) у 2 х 4
1
-2
-4
-6
5
2) у 2 х 4
3) у 2 х 4
4) у 2 х 4
x
10
15
f x =
g x =
h x =
s x =
r x =
6
Укажите формулу, задающую
эту функцию:
4
2
1
-5
1
1) у х 2;
4
1
2) у х 2;
4
-2
-4
-6
5
1
3) у х 2
4
1
4) у х 2
4
10
Укажите формулу,
задающую
эту функцию:
y
f x = x 2 +6 x+5
-5
g x =
h x = -x x-5 2 +3
8
6
2
1
-2
-4
5
2) у
х
5
3) у
х
1
4) у
5х
s x = 4 x-1 2 -2
r x = -0,5 x+4 2 +1
4
-5
1
1) у
5х
5
10
x
15
s x = 4 x-1 2 -2
формулу,r x = -0,5 x+4
Укажите
задающую
эту функцию:
4
2
x
1
-5
5
10
-2
-4
1) у х 6 х 5; 3) у х 6 х 5
2
2
2) у х 6 х 5; 4) у х 6 х 5
2
-6
-8
2
s x = 4 x-1 2 -2
r x = -0,5 x+4 2 +1
2
1
-2
-4
Укажите формулу, задающую
x
эту функцию:
5
10
15
1) у ( х 2)
2
2) у х 8
2
-6
3) у 2 х 2
2
-8
4) у 2( х 2)
2
Анимированные персонажи взяты с сайта: http://office. microsoft.com
Назовите уравнение
функции, график которой
изображён ниже:
у х х
14
2
3,
4
5 2
12
6
4
2
1
-5
-2
5
10
15
Графики созданы в среде «Живая математика»
Анимированные персонажи взяты с сайта: http://office.microsoft.com

Типы функций — Типы, определение, примеры

Типы функций определяются на основе домена, диапазона и выражения функции. Выражение, используемое для записи функции, является основным определяющим фактором для функции. Наряду с выражением взаимосвязь между элементами набора доменов и набора диапазонов также учитывает тип функции. Классификация функций помогает легко понять и изучить различные типы функций.

Каждое математическое выражение, имеющее входное значение и полученный ответ, можно удобно представить в виде функции.Здесь мы узнаем о типах функций и их определении, примерах.

Какие бывают типы функций?

Функция y = f (x) подразделяется на различные типы функций на основе таких факторов, как область определения и диапазон функции, а также выражение функции. Функции имеют значение домена , x , , которое называется вводом. Значение домена может быть числом, углом, десятичной дробью. Точно так же значение y или значение f (x) (обычно числовое значение) является диапазоном.Типы функций подразделяются на следующие четыре типа.

• На основе элементов набора
• На основе уравнения
• На основе диапазона
• на основе домена

Представление функций

Есть три различных формы представления функций. Функции должны быть представлены для демонстрации значений домена и значений диапазона, а также взаимосвязи между ними.Функции могут быть представлены с помощью диаграмм Венна, графических форматов и форм реестров. Подробности каждой из форм представления следующие.

Диаграмма Венна: Диаграмма Венна — важный формат для представления функции. Диаграммы Венна обычно представлены в виде двух кружков со стрелками, соединяющими элементы в каждом из кружков. Область представлена ​​в одном кружке, а значения диапазона — в другом кружке. И функция определяет стрелки и то, как стрелки соединяют различные элементы в двух кругах.

Графическая форма: Функции легко понять, если они представлены в графической форме с помощью координатных осей. Представление функции в графической форме помогает нам понять изменение поведения функций, если функция увеличивается или уменьшается. Область определения функции — значение x отображается по оси x, а диапазон значений функции f (x) откладывается по оси y.

Ростерная форма: Ростерная запись набора — это простое математическое представление набора в математической форме.Домен и диапазон функции представлены в цветочных скобках, причем первый элемент пары представляет домен, а второй элемент — диапазон. Попробуем разобраться в этом на простом примере. Для функции вида f (x) = x ² функция представлена ​​как {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}. Здесь первый элемент — это домен или значение x, а второй элемент — это диапазон или значение f (x) функции.

Список типов функций

Типы функций дополнительно классифицированы для облегчения понимания и обучения.Типы функций были дополнительно разделены на четыре различных типа, и они представлены следующим образом.

На основе элементов	Одна функция — одна Много одной функции К функции One One и функция Onto В функцию Постоянная функция
На основе уравнения	Функция идентификации Линейная функция Квадратичная функция Кубическая функция Полиномиальные функции
На основе диапазона	Функция модуля Рациональная функция Сигнум, функция Четные и нечетные функции Периодические функции Наибольшая целочисленная функция Обратная функция Составные функции
на основе домена	Алгебраические функции Тригонометрические функции Логарифмические функции

Типы функций — на основе элементов набора

Эти типы функций классифицируются на основе количества взаимосвязей между элементами в домене и кодомене. Ниже перечислены различные типы функций, основанные на элементах набора.

Одна одна функция

Функция взаимно-однозначного определения определяется функцией f: A → B таким образом, что каждый элемент набора A связан с отдельным элементом набора B. Функция взаимно однозначного соответствия также называется инъективной функцией. Здесь каждый элемент области имеет отличное изображение или элемент совместной области для данной функции.

Функция «многие к одному»

Функция «многие к одному» определяется функцией f: A → B, так что более одного элемента множества A связаны с одним и тем же элементом в множестве B.В функции «многие к одному» несколько элементов имеют один и тот же домен или изображение. Если функция «многие к одному» в кодомене представляет собой одно значение или все элементы домена связаны с одним элементом, то это называется постоянной функцией.

Включение

В функции on каждый элемент codomain связан с элементом домена. Для функции, определенной f: A → B, такой, что каждый элемент в множестве B имеет прообраз в множестве A. Функция on также называется субъективной функцией.

One One и Onto Function (Bijection)

Функция, которая является как единицей, так и функцией включения, называется биективной функцией. Здесь каждый элемент домена связан с отдельным элементом в кодомене, и каждый элемент кодомена имеет прообраз. Другими словами, каждый элемент множества A связан с отдельным элементом в множестве B, и нет ни одного элемента в множестве B, который не был бы пропущен.

В функцию

Функция into полностью противоположна по свойствам функции on.Здесь есть определенные элементы в ко-домене, которые не имеют никакого прообраза. Элементы набора B являются лишними и не связаны ни с какими элементами набора A.

Постоянная функция

Постоянная функция — важная форма функции «многие к одному». В постоянной функции все элементы домена имеют одно изображение. Постоянная функция имеет вид f (x) = K, где K — действительное число. Для разных значений области (значение x) одно и то же значение диапазона K получается для постоянной функции.

Типы функций — на основе уравнения

Алгебраические выражения также являются функциями и основаны на степени полинома. Функции, основанные на уравнениях, классифицируются в следующие уравнения в зависимости от степени переменной «x».

1. Полиномиальная функция нулевой степени называется постоянной функцией.
2. Полиномиальная функция первой степени называется линейной функцией.
3. Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией.
4. Полиномиальная функция третьей степени является кубической функцией.

Давайте разберемся с каждой из этих функций подробно.

Функция идентификации

Функция идентификации имеет тот же домен и диапазон. Уравнение тождественной функции: f (x) = x или y = x. Область и диапазон тождественной функции имеют вид {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ….. (n, n)}.

График функции идентичности представляет собой прямую линию, которая одинаково наклонена к осям координат и проходит через начало координат.Функция идентичности может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому она присутствует в первом и третьем квадрантах координатной оси.

Линейная функция

Полиномиальная функция, имеющая уравнение первой степени, является линейной функцией. Область определения и диапазон линейной функции — это действительное число, имеющее прямолинейный график. Такие уравнения, как y = x + 2, y = 3x, y = 2x — 1, являются примерами линейных функций. Тождественную функцию y = x также можно рассматривать как линейную функцию.

Общий вид линейной функции: f (x) = ax + b, где a, b — действительные числа. Графически для представления линейной функции можно представить уравнение линии y = mx + c, где m — наклон линии, а c — точка пересечения линии по оси y.

Квадратичная функция

Квадратичная функция имеет квадратное уравнение второй степени и график в виде кривой. Общая форма квадратичной функции: f (x) = ax ² + bx + c, где a ≠ 0 и a, b, c — постоянные, а x — переменная.Область определения квадратичной функции составляет

р.

График квадратного уравнения является нелинейным графиком и имеет параболическую форму. Примеры квадратичных функций: f (x) = 3x ² + 5, f (x) = x ² — 3x + 2.

Кубическая функция

Кубическая функция имеет уравнение третьей степени. Общая форма кубической функции: f (x) = ax ³ + bx ² + cx + d, где a ≠ 0, а a, b, c и d — действительные числа, а x — переменная.Область определения кубической функции —

р.

График кубической функции более искривлен, чем квадратичная функция. Пример кубической функции: f (x) = 8x ³ + 5x ² + 3.

Полиномиальная функция

Общая форма полиномиальной функции: f (x) = a ⁿ x ⁿ + a ^n-1 x ^n-1 + a ^n-2 x ^n-2 +. …. ах + б. Здесь n — неотрицательное целое число, а x — переменная.Область определения и диапазон полиномиальной функции — R. В зависимости от мощности полиномиальной функции, функции могут быть классифицированы как квадратичная функция, кубическая функция и т. Д.

Типы функций — в зависимости от диапазона

Здесь типы функций классифицированы на основе диапазона, полученного из данных функций. Ниже перечислены различные типы функций в зависимости от диапазона.

Функция модуля

Функция модуля дает абсолютное значение функции независимо от знака значения входной области.Функция модуля представлена ​​как f (x) = | x |. Входное значение «x» может быть положительным или отрицательным выражением. График функции модуля лежит в первом и втором квадрантах, поскольку координаты точек на графике имеют вид (x, y), (-x, y).

Рациональная функция

Функция, состоящая из двух функций и выраженная в виде дроби, является рациональной функцией. Рациональная дробь имеет вид f (x) / g (x) и g (x) ≠ 0.Функции, используемые в этой рациональной функции, могут быть алгебраической функцией или любой другой функцией. Графическое представление этих рациональных функций аналогично асимптотам, поскольку оно не касается осевых линий.

Функция Signum

Функция signum помогает нам узнать знак функции и не дает числового значения или каких-либо других значений для диапазона. Диапазон сигнум-функции ограничен {-1, 0, 1}. Для положительного значения домена знаковая функция дает ответ 1, для отрицательных значений знаковая функция дает ответ -1, а для значения 0 домена изображение равно 0.Функция signum имеет широкое применение в программировании.

Четная и нечетная функция

Четные и нечетные функции основаны на соотношении между входными и выходными значениями функции. Для отрицательного значения домена, если диапазон также является отрицательным значением диапазона исходной функции, тогда функция является нечетной функцией. А для отрицательного значения домена, если диапазон такой же, как у исходной функции, тогда функция является четной функцией.

Если f (-x) = f (x), для всех значений x, тогда функция является четной функцией, а если f (-x) = -f (x), для всех значений x, то функция — нечетная функция. Примером четных функций являются x ² , Cosx, Secx, а примером нечетных функций: x ³ , Sinx, Tanx.

Периодическая функция

Функция считается периодической функцией, если один и тот же диапазон появляется для разных значений домена и последовательно. Тригонометрические функции можно рассматривать как периодические функции.Например, функция f (x) = Sinx имеет диапазон, равный диапазону [-1, 1] для различных значений домена x = nπ + (-1) ⁿ x. Точно так же мы можем записать домен и диапазон тригонометрических функций и доказать, что диапазон появляется периодически.

Обратная функция

Функция, обратная функции f (x), обозначается f ^-1 (x). Для инверсии функции домен и диапазон данной функции возвращаются как диапазон и домен обратной функции.Обратную функцию можно заметно увидеть в алгебраических функциях и в обратных тригонометрических функциях. Домен Sinx — это R, а его диапазон — [-1, 1], а для Sin ^-1 x доменом является [-1, 1] и диапазон, если R. Существует обратная функция функции, если это биективная функция.

Если функция f (x) = x ² , то функция, обратная функции, будет f ^-1 (x) = \ (\ sqrt x \).

Наибольшее целое число

Функция наибольшего целого числа также известна как ступенчатая функция.Функция наибольшего целого числа округляет число в большую сторону до ближайшего целого числа, меньшего или равного заданному числу. Ясно, что входная переменная x может принимать любое действительное значение. Однако вывод всегда будет целым числом. Кроме того, в выходном наборе будут присутствовать все целые числа. Таким образом, область определения этой функции — действительные числа R, а ее диапазон — целые числа (Z).

График наибольшей целочисленной функции известен как ступенчатая кривая из-за ступенчатой ​​структуры кривой. Наибольшая интегральная функция обозначается как f (x) = ⌊x⌋.Для функции, принимающей значения из [1, 2), значение f (x) равно 1.

Составная функция

Составные функции имеют вид gof (x), fog (x), h (g (f (x))) и состоят из отдельных функций f (x), g (x), h ( Икс). Составные функции, состоящие из двух функций, имеют диапазон одной функции, образующей область для другой функции. Давайте рассмотрим составную функцию fog (x), которая состоит из двух функций f (x) и g (x).

Здесь мы пишем fog (x) = f (g (x)).Диапазон значений g (x) образует область определения функции f (x). Его можно рассматривать как последовательность двух функций. Если f (x) = 2x + 3 и g (x) = x + 1, имеем туман (x) = f (g (x)) = f (x + 1) = 2 (x + 1) + 3 = 2x + 5.

типов функций — на основе домена

Функции используются во всех остальных разделах математики. Функции были классифицированы на основе типов уравнений, используемых для определения функций. Функциональные уравнения обычно имеют алгебраические выражения, тригонометрические функции, логарифмы, показатели степени и, следовательно, именуются на основе этих значений области.Три основных типа функций, основанных на значении предметной области, следующие.

Алгебраическая функция

Алгебраическая функция полезна для определения различных операций алгебры. Алгебраическая функция имеет переменную, коэффициент, постоянный член и различные арифметические операторы, такие как сложение, вычитание, умножение, деление. Алгебраическая функция обычно имеет вид f (x) = a ⁿ x ⁿ + a ^{n — 1} x ^{n — 1} + a ^n-2 x ^n-2 +……. топор + c.

Алгебраическая функция также может быть представлена ​​графически. Алгебраическая функция также называется линейной функцией, квадратичной функцией, кубической функцией, полиномиальной функцией, в зависимости от степени алгебраического уравнения.

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции также имеют область определения и диапазон, аналогичные любым другим функциям. Шесть тригонометрических функций: f (θ) = sinθ, f (θ) = cosθ, f (θ) = tanθ, f (θ) = secθ, f (θ) = cosecθ.Здесь значение домена θ — это угол, выраженный в градусах или радианах. Эти тригонометрические функции были взяты на основе отношения сторон прямоугольного треугольника и основаны на теореме Пифагора.

Кроме этих тригонометрических функций, были получены также обратные тригонометрические функции. Область обратной тригонометрической функции — это вещественное число, а ее диапазон — угол. Тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции также иногда называют периодическими функциями, поскольку главные значения повторяются.

Логарифмические функции

Логарифмические функции получены из экспоненциальных функций. Логарифмические функции считаются обратными к экспоненциальным функциям. Логарифмические функции имеют «журнал» в функции и основание. Логарифмическая функция имеет вид y = \ (\ log_ax \). Здесь значение домена является входным значением «x» и рассчитывается с использованием логарифмической таблицы Напьера. Логарифмическая функция дает количество экспоненциальных раз, до которого выросло основание, чтобы получить значение x.Та же логарифмическая функция может быть выражена как экспоненциальная функция как x = a ^y .

Связанная тема

Следующий раздел поможет лучше понять типы функций.

2 — Типы

Раздел 2

Типы функций

Часто используемые функции в экономике:

Линейная функция: Каждый член содержит не более одной переменной, а показатель степени переменной равен \ (1 \).{n} $$
Здесь \ (a_ {1}, \ cdots, a_ {n} \) — коэффициенты.
(Быстрый вопрос: может ли \ (a_ {n} \) быть равным нулю, если функция является полиномиальной функцией степени n?)

Рациональная функция: $$ f (x) = \ frac {g (x)} {h (x)} \ qquad \ qquad \ color {red} {(g (x) \ neq 0, \; \; h (x) \ neq 0)} $$

Другими часто используемыми функциями в экономике являются естественные экспоненциальные функции и натуральные логарифмические функции и т. Д. (Пожалуйста, см. Рекомендованную книгу, чтобы узнать больше об экспоненциальных и логарифмических функциях.{x} \) — экспоненциальная функция.

\ (y = \ ln \; x \) — логарифмическая функция.

Дополнительные примеры см. В рекомендованной книге.

Построение графика функции

Когда мы, , рисуем график функции , мы обычно помещаем независимую переменную на горизонтальную ось, а зависимую переменную — на вертикальную. Если у нас есть две переменные в функции, одна — зависимая переменная, другая — независимая переменная, например, \ (y = f (x) \), мы можем нарисовать график, используя два измерения или ось в декартовой плоскости с помощью координаты \ ((x, y) \).Все точки на графике \ (y = f (x) \) удовлетворяют уравнению \ (y = f (x) \).
Хотя во время экзамена написание вашего имени и номера ученика важно для вашей идентификации, также важно указать каждую ось, используя соответствующую переменную для определения функции. На рисунке 2 мы представляем графики некоторых часто используемых функций. Попробуйте найти две распространенные ошибки, которые присутствуют на этих графиках.

Рисунок 2

типов функций: простые определения и примеры

Типы функций: Содержание :

1. Что такое функция?
2. Что такое функционал?
3. Типы функций: от A до Z

Посмотрите видео для быстрого объяснения функций и функций.нефункциональные:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Функция — это тип уравнения или формулы, у которых есть ровно один выход (y) для каждого входа (x). Если вы поместите «2» в уравнение x ² , будет только один результат: 4. Некоторые формулы, такие как x = y ² , не являются типами функций, потому что есть две возможности для вывода (одна положительная и один отрицательный).

Примечание для пользователей графических калькуляторов Excel и TI: «Функция» — это предопределенная формула.Все встроенные функции Excel также являются функциями в традиционном смысле (т. Е. Вы получите один вывод для каждого ввода).

Подробнее о различиях между формулами и функциями.

Обозначение функции сообщает вам, что уравнение, с которым вы работаете, соответствует определению функции.
Наиболее распространенное обозначение функции — это f (x), которое читается вслух как «f of x».

«f (x)» используется вместо «y» в формуле; Они означают одно и то же.Например, вместо более привычного y = 2x вы увидите f (x) = 2x. Между двумя формулами нет никакой разницы, кроме разных обозначений.

Вместо f можно использовать любую букву (см. Названия функций ниже). Например:

Примеры

1. y = 2x + 4; решить для y, когда x = 2.
2. f (x) = 2x + 4; решить для f (x), когда x = 2.

Две приведенные выше формулы говорят вам об одном и том же, они решаются одинаково (вставьте ваше значение x и решите), и они дают вам точно такое же решение:

1. y = 2x + 4 = 2 (2) + 4 = 4 + 4 = 8
2. f (x) = 2x + 4 = 2 (2) + 4 = 4 + 4 = 8

Вы также можете увидеть вопросы, написанные следующим образом:
f (x) = 2x + 4; решить для f (2)
Это означает то же самое, что:
f (x) = 2x + 4; решить для f (x), когда x = 2.

Другие примеры: Оценка функции.

Зачем нужна нотация функций?

Итак, если y и f (x) означают одно и то же, зачем вообще использовать обозначение функций? Использование f (x) или g (x) вместо y может показаться произвольным, но это может помочь вам разделить различные части формулы и упростить работу с ними. Обозначение функций дает вам больше информации и большую гибкость.

Например, цепное правило использует обозначение функции F ′ (x), f ′ (x), g (x) и g ′ (x). Он говорит вам, что эти четыре части необходимо рассматривать отдельно:

Правило цепочки.

Давайте удалим все различные обозначения и заменим их более знакомым «y»:

Конечно, выглядит проще, но удачи в попытках решить эту проблему!

Имя функции — это буква, обозначающая функцию:

• g (x): имя функции «g»
• h (x): имя функции «h»
• z (x): имя функции — «z»

Аргумент — буква в скобках.Во всех трех приведенных выше примерах буква «х». Вы также можете увидеть букву «t» или любую другую:

.

• г (x): аргумент — «x»
• ч (т): аргумент — «т»
• z (s): аргумент — «s»

Тест вертикальной линии — простой способ выяснить, есть ли у вас функция.

Вы также можете использовать правило «многие к одному»:

• Это функция : « многие к одному ». Это говорит о том, что если у вас есть несколько значений x, которые соответствуют одному значению y — скажем, (2,9), (3,9) и (6,9) — то это все еще квалифицируется как функция. Проще говоря, функция может иметь несколько координатных точек на прямой слева направо.
  
• Не функция : « один ко многим ». Другими словами, допустим, у вас есть одно значение x, которое соответствует множеству значений y. Например, — в координатной записи — (2,1) и (2,10). Если первое число (значение x) повторяется, значит, у вас нет функции. Другими словами, если у вас есть несколько координатных точек на прямой линии вверх и вниз, то это не функция.
  В качестве практического примера от одного ко многим, у одного человека может быть несколько детей. Однако у одного ребенка может быть только одна биологическая мать (пример отношений один на один). Чтобы выразить это в более математическом контексте: предположим, что набор S упорядоченных пар (x, y) представляет утверждение «x является матерью y». Набор S является отношением один ко многим, потому что несколько упорядоченных пар могут иметь одно и то же значение для x (т. е. одна мать x может иметь несколько дочерних элементов y).

См. Также:

Проблемы «один ко многим» и «многие к одному»

Хотя приведенные выше рекомендации можно найти во многих учебниках, они обманчиво сложны, для использования, потому что некоторые графики, которые имеют ситуацию «многие к одному», не обязательно будут функциями; Могут быть и другие места (т.е. пара других координатных точек), которые соединяются вертикально, что делает его непригодным для использования в качестве функции. Эти «правила» также могут быть трудно запомнить (это первое число, которое может повторяться? Или второе?). Иногда это практически невозможно понять без тяжелой алгебры или использования компьютера. Это потому, что даже если у вас есть несколько координат или даже уравнение, вы можете упустить только одну точку (возможно, с очень большим значением x), которая делает ваш график не функцией.

Почему это важно?

Вы мало что можете сделать с уравнением в исчислении, если оно не является функцией. Вы можете разделить сложную функцию на более мелкие, похожие на функции части (называемые кусочными функциями), но, по сути, исчисление правильно работает только с функциями . Если вы не проведете тест с вертикальной линией перед выполнением каких-либо расчетов, ваши решения могут вводить в заблуждение или просто неверны.

В общем, функция является функцией функций : функцией, которая зависит от других функций.

В базовое определение внесено несколько изменений. Какой из них вы будете использовать, зависит от того, в какой области вы работаете.

Функционалы: разные определения

1. Вариационное исчисление
Функции, строительные блоки дифференциального исчисления, принимают скаляры в качестве входных данных и производят скаляры в качестве выходных данных. Функционалы — это строительные блоки для вариационного исчисления, которые принимают функцию на входе и возвращают скалярный результат.

Несмотря на то, что существуют разные типы функционалов, вариационное исчисление в основном касается одного конкретного: где подынтегральное выражение определенного интеграла содержит (еще предстоит определить) функцию.Цель вариационного исчисления — изучить изменения этих функционалов при переходе от одной функции к другой.

В обозначениях функционал записывается как I [u (x)], где I — уникальное скалярное значение для каждой функции u (x). Например: [1].

Подынтегральное выражение F (x, u, u ′, u ′ ′) dx включает функцию u и ее производные.

2. Общая математика
В общей математике функционал может относиться к функции, специально созданной из набора функций с действительным знаком.Например, функционал может быть максимумом набора функций на отрезке [0, 1]. Бинарный функционал принимает два набора функций для создания одной функции. Например, максимум два набора функций на интервале [0, 1]. Дополнением к функционалу является замыкание [2].

3. CompSci
Функционалы в информатике (в частности, машинное обучение) определяются несколько иначе, как принятие функций в качестве аргументов или выдача функций в качестве результатов.Функционалы могут отображать функции в действительные числа и действительные числа в функции. В этом контексте их часто называют функциями высшего порядка . Функции высшего порядка включают дифференциальный оператор и определенный интеграл. [3].

Список литературы

[1] Кассель, К. (2013). Вариационные методы с приложениями в науке и технике. Издательство Кембриджского университета.
[2] Уоткинс, Вариационное исчисление
в функционалах. Получено 6 апреля 2021 г. с сайта https: // www.sjsu.edu/faculty/watkins/calcfunctionals.htm
[3] Харпер Р. Функционалы0. Получено 6 апреля 2021 г. по адресу: https://www.cs.cmu.edu/~rwh/introsml/core/functionals.htm

.

Есть четыре операции над функциями :

1. Дополнение,
2. Вычитание,
3. Умножение,
4. Дивизия.

В следующих примерах я буду использовать функции f (x) и g (x).

У вас нет , чтобы использовать «f» и «g».Эти обозначения несколько произвольны. Функции могут быть представлены любыми буквами; Выбор во многом зависит от предпочтений конкретного автора или профессора. Например: j (t), s (t) или h (t). Вы также можете увидеть время (t) вместо «x», особенно в приложениях по экономике и физике.

Примеры операций над типами функций

1. Дополнение

С помощью сложения вы можете сложить две или более функций. Формула:

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

Предположим, мы хотим добавить следующие две функции:

Чтобы получить решение, подставьте функции в формулу:

(f + g) (x) = (x ² ) + (4x + 6) = x ² + 4x + 6

По возможности комбинируйте похожие термины.Для иллюстрации предположим, что вы хотите добавить следующие две функции:

• f (x) = 10x + 1
• г (х) = 12x — 3
• (f + g) (x) = (10x + 1) + (12x — 3) = 22x — 2

2.

Вычитание

Две или более функции также могут быть вычтены. Формула:

(е — г) (х) = е (х) — г (х)

Я буду использовать те же значения для функций f (x) и g (x), что и в моем первом примере выше.

(f — g) (x) = x ² — 4x + 6

3.Умножение

Чтобы умножить две функции, используйте следующую формулу:

(е · g) (x) = f (x) · g (x)

Использование тех же значений для f (x) и g (x), как указано выше, приводит к следующему решению:

(f · g) (x) = (x ² ) · (4x + 6) = 4x ³ + 6x ²

4. Отдел

Две функции также можно разделить. Формула деления:

(ж / г) (х) = е (х) / г (х)

Подставляя значения из текущего примера, вы получаете:

(ж / г) (x) = x ² / 4x + 6

При работе с операциями над функциями просто посмотрите, что операция говорит вам делать — будь то сложение, вычитание, умножение или деление.После определения операции решите, подставив значения функций в приведенные выше формулы.

Вы можете найти больше примеров здесь: Комбинации функций.

Очевидно, это очень длинный список . Прокрутите вниз, чтобы найти тип функции, о которой вы хотите узнать больше, щелкните букву в списке A-Z ниже или нажмите Ctrl + F на клавиатуре для поиска определенных типов функций. В качестве альтернативы вы можете использовать окно поиска Google, встроенное на сайт (в правом верхнем углу страницы).Если вы не видите здесь нужной функции, оставьте комментарий, и я добавлю его!

Типы функций от А до Я (щелкните имя функции, чтобы получить дополнительную информацию о конкретной функции):

Щелкните, чтобы перейти к этому письму: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Щелкните имя функции для получения дополнительных сведений о конкретной функции):

Типы функций: от A до O

А

В

С

D

E

Ф

G

H

Я

Дж

К

л

м

N

Типы функций (от O до Z)

O

Типы функций: от P до Z

-П

квартал

R

S

т

U

В

Вт

X
Y

Z

Состав:

1. Определение арифметических функций
2. Нормальный порядок

Арифметическая функция — это любая функция от набора натуральных чисел (целых неотрицательных чисел, которые мы используем для подсчета) до набора комплексных чисел. Другими словами, это комплексная функция, которая определена на множестве натуральных чисел. В обозначениях это:

ж: ℕ → ℂ

Арифметические функции в основном теоретические, используются для исследования свойств натуральных чисел. В качестве общей идеи вы можете представить арифметическую функцию как , последовательность действительных чисел или комплексных чисел (хотя, как указывает А.Дж. Хильдебранд, такой взгляд на функции не очень полезен).

Типы функций: примеры арифметических функций

Арифметические функции в основном используются в теории чисел , где их иногда называют функциями теории чисел . Их поведение может быть странным и трудно предсказуемым, но некоторые из более простых и хорошо известных функций очень полезны в теории чисел.

Двумя наиболее важными арифметическими функциями являются функция Эйлера и функция Мёбиуса. Однако у функций не обязательно должны быть имена собственные. Например, все следующие арифметические функции (Wong, n.d.):

• Количество делителей некоторого числа n,
• Количество простых чисел меньше n,
• Количество способов n можно представить в виде суммы двух квадратов.

Грубо говоря, арифметическая функция имеет нормальный порядок F ( n ), если f ( n ) приблизительно равно F ( n ) почти для всех значений n .

Точнее ((Hardy & Wright, 1979), нормальный порядок F ( n ) равен f ( n ), если для каждого положительного ε и почти всех значений n

Другими словами (Порубски, 2020): функция f имеет нормальный порядок F , если существует набор положительных целых чисел S с асимптотической плотностью 1 такой, что

История нормального порядка

Эта концепция была впервые введена Харди и Рамунуджаном (1917, цитируется в Indlekofer, 2001), где они доказали, что две арифметические функции ω и Ω имеют нормальный порядок «log log n», где:

• ω (n) = количество различных простых делителей,
• Ω (n) = все простые делители (с учетом кратности).

Арифметическая функция: Каталожный номер

Харди, Г. и Рамануджан, С. Нормальное число простых делителей числа n, Quart. Journ. Math.Oxford 40, 76-92 (1917).
Харди, Г. Х. и Райт, Э. М. Введение в теорию чисел, 5-е изд. Оксфорд, Англия: Издательство Оксфордского университета, стр. 356, 1979.
Хильдебранд, А. (2005). Введение в аналитическую теорию чисел. Заметки к лекциям по математике 531, осень 2005 г. Получено 11 декабря 2019 г. с сайта:
https: //faculty.math.illinois.edu / ~ hildebr / ant / main1.pdf
Индлекофер К. Теория чисел — вероятностный, эвристический и вычислительный подходы. Компьютеры и математика с приложениями 43 (2002) 1035-1061.
Иванец, Х. (2014). Лекции о дзета-функции Римана. Американское математическое общество.
Миллер С. и Таклоо-Бигаш. (2006). Приглашение к современной теории чисел. Издательство Принстонского университета.
Порубски С. Нормальный порядок. Получено 2020/6/3 с интерактивного информационного портала по алгоритмической математике, Институт компьютерных наук Чешской академии наук, Прага, Чешская Республика, веб-страница https: // www. cs.cas.cz/portal/AlgoMath/NumberTheory/ArithmeticFunctions/NormalOrder.htm
Шахнер М. Алгебраические и аналитические свойства арифметических функций. Получено 11 декабря 2019 г. с: http://math.uchicago.edu/~may/REU2018/REUPapers/Schachner.pdf
Вонг Р. Средние значения арифметических функций. Получено 11 декабря 2019 г. по адресу: https://ocw.mit.edu/courses/mat Mathematics/18-104-seminar-in-analysis-applications-to-number-theory-fall-2006/projects/wong.pdf

.

Функция центра (также называемая функцией центра треугольника , функцией центра симметричного треугольника или просто центром ) дает трилинейные координаты центра треугольника.Три переменные функции {a, b, c} или {α, β γ} соответствуют углам или сторонам.

Что такое центр треугольника?

Центр треугольника — это точка, определяемая в терминах длин сторон и углов треугольника, для которой существует функция центра. Центр большого треугольника — это центр, в котором функция α = f (A, B, C) является функцией только угла A.

Звучит просто, но не обманывайте себя, думая, что у треугольника только один центр. «Центр» можно определить по-разному.Например, центр тяжести является пересечением медиан треугольника, а центр описанной окружности является центром окружности, вписанной в треугольник.

Фактически, существуют тысячи различных центров треугольника, включая точку Ферма, которая имеет функцию центра α = csc (A + & frac13; π), и точку дальнего конца с функцией α = a (b ⁴ + c ⁴ — a ⁴ — b ² c ² ).

Свойства функции центра треугольника

Функция центра треугольника является однородной функцией (т.е. с переменными, которые увеличиваются в той же пропорции). В обозначениях это:
f (t a, t b, t c) = t ⁿ f (a, b, c).
Где n — постоянная.

Функция также имеет значение , отличное от нуля, , что означает, что у нее не может быть значений, равных нулю. Это имеет смысл, потому что ненулевое значение треугольника приведет к получению формы, отличной от треугольника: линии, точки или вообще отсутствия формы.

Функция центра треугольника имеет бисимметрию (две плоскости симметрии под прямым углом) во второй и третьей переменных.В обозначениях:
f (a, b, c) = f (a, c, b).

В исчислении, когда автор использует термин «функция делителя», он обычно относится к функции, на которую делится другая функция. Однако существуют определенные типы функций делителей, используемые в основном в теории чисел, включая функции Дирихле и сумматорные функции делителей.

1. Делительная функция как делитель

В общей математике «делитель» определяется как «… другое число, на которое нужно разделить другое число» (Оксфорд).Например:

In 12 ÷ 4 = 3, 4 — это делитель .

Это может быть расширено до деления функций в исчислении. Например:

In f (g) ÷ f (h), f (h) — функция делителя .

Функции деления — это то, что время от времени возникает в исчислении, особенно в том, что касается определения функций.

В этой частной функции нижняя функция (x ² — x — 2) является делителем.

Вы также увидите этот тип функции в правиле частного:

Правило частного находит производные для функций частного.

Функция делителя Дирихле и сумматора (сигма)

В теории чисел функция делителя Дирихле представляет собой подсчет количества положительных делителей некоторого числа «n», включая n и 1.

Например:

• Если n = 10, то d (10) = {1, 2, 5, 10} = 4.
• Если n = 25, то d (25) = {1, 5, 25} = 3

Делительную функцию Дирихле иногда обозначают ( d ( n )).Однако эту терминологию можно спутать с другой функцией, которая равна сумме , положительных делителей n, включая n и 1. Это иногда называют сигма-функцией (не путать с сигма-функцией Вейерштрасса. ) или сумматорную функцию делителя , чтобы отличить ее от функции Дирихле. Обратите внимание, что два делителя отличаются тем, что версия Дирихле — это отсчетов из того, сколько, в то время как функция суммирующего делителя представляет собой сумму всех делителей.

В то время как некоторые авторы указывают, что это функция Дирихле или Сумматория, другие этого не делают. Убедитесь, что вы читаете намерение авторов, а не угадываете его смысл.

Ограниченная функция делителя

Ограниченная функция делителей определяется как сумма делителей числа n, исключая n. Обычно обозначается как s (n).

Примечания к обозначениям

Функцию делителя можно обозначать d (n), ν (n), τ (n) или Ω (n).

Трансцендент Лерха , названный в честь чешского математика
Матиаса Лерха (1860 — 1922), определяется степенным рядом [1]:

Где a ≠ 0, -1, -2,… в области | z | <1 для любого s ∈ & Copf; или | z | ≤ 1 для & Ropf; > 1 [2].

Где используется Transcendent Лерха

Многие суммы взаимных сил могут быть выражены в терминах трансцендентной функции Лерха; Он часто появляется в задачах физической науки. Например:

• Постановка электростатических задач [3],
• Представление распределений в физике частиц . Например, в распределении Бозе-Эйнштейна (которое описывает статистическое поведение бозонов) [4].
• Изготовление карт городского шума [5].

В теории чисел трансцендент Лерха обеспечивает единую основу для изучения многих специальных функций. Его можно получить из тесно связанной дзета-функции Лерха заменой переменной z = e ^2πia [6]. Функции Лерха обычно представляют интерес, потому что их аналитические продолжения включают, как частные случаи, несколько важных трансцендентных функций, включая функцию полилогарифма и дзета-функцию Римана [7]. Трансцендент Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица, сводящуюся к дзета-функции Гурвица при z = 1.

Трансцендент Лерха: ссылки

[1] Эрдейи, В. Магнус, Ф. Оберхеттингер и Ф. Г. Трикоми (1953a) Высшие трансцендентные функции. Vol. I. McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон.
[2] Cai, X. & Lopez, J. (2021). Замечание об асимптотическом разложении трансцендента Лерха. Получено 24 апреля 2021 г. по адресу: http://arxiv-export-lb.library.cornell.edu/pdf/1806.01122
[3] Ивченко В. (2020). О силе взаимодействия точечного заряда с бесконечной диэлектрической пластиной конечной толщины.Европейский журнал физики, том 41, выпуск 1, id.015201.
[4] Аван А. (2015). К теории дзета-функций и L-функций. Получено 24 апреля 2021 г. из: https://stars.library.ucf.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1052&context=etd
[5] Лагариас, Дж. И Ли, У. Дзета-функция Лерха III. Полилогарифмы и особые значения. Получено 24 апреля 2021 г. по адресу: https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2015arXiv150606161L/abstract
[6] Navas, L. (2015). Трансцендент Лерха с точки зрения анализа Фурье. Журнал математического анализа и приложений.
[7] Wei, W. et al. (2015). Упрощенная аналитическая модель для прогнозирования уровня звука в экранированных городских районах с учетом множественной дифракции и отражений. Журнал Acoust Soc Am Nov; 138 (5): 2744-58. DOI: 10.1121 / 1.4932585.

Метрическое пространство — это набор вместе с метрикой на этом наборе. «Метрика» на самом деле является функцией; тот, который определяет расстояние между любыми двумя членами набора.Часто члены метрического пространства называются точек ; так что мы можем сказать, что метрика определяет расстояние между любыми двумя точками.

Более формально это набор X вместе с метрической функцией d , которая присваивает действительное число (мы можем назвать это d (x, y) ) каждой паре x, y. Существуют некоторые ограничения на то, какой тип функции мы можем называть «функцией расстояния», поэтому мы рассмотрим их ниже.

Свойства метрической функции

Метрика (наша функция d выше) должна удовлетворять нескольким важным свойствам, но все они довольно просты и интуитивно понятны.

1. Если и только если x = y, то d (x, y) = 0.
2. d (x, y) = d (y, x) (всегда)
3. d (x, y) + d (y, z) ≥ g (x, z) (это называется неравенством треугольника)

Эти аксиомы говорят нам следующее:

1. Расстояние от точки до самой себя всегда 1
2. Расстояние от одной точки до другой всегда такое же, как от второй точки назад, а
3. Третья сторона треугольника всегда меньше суммы двух его сторон (или равна, если все точки находятся на прямой).

Примеры метрических пространств

Метрическое пространство, с которым вы, возможно, наиболее знакомы, — это действительные числа; там функция расстояния определяется как d (x, y) = | y-x |.

Положительные действительные числа также могут быть определены как метрическое пространство с функцией расстояния
d (x, y) = | log (y / x) |.

Набор всех точек на полу в вашей комнате с расстоянием между ними, определяемым как измеренное расстояние в миллиметрах, также является метрическим пространством.

Пример метрической окружности

Более знакомый способ определить метрическое пространство круга — использовать евклидову формулу.Более интересным становится то, где вы добавляете различные геометрические формы, например, геометрию такси, которая требует от вас перехода от точки a к точке b по сетке (так же, как такси может добраться от точки a до точки b в Нью-Йорке).

Сравнение двух функций расстояния для окружности.

В математике « именованная функция » относится к одному из следующих значений:

1. Полностью определенная функция
2. Знакомая функция (т. Е. Имеет заданное имя, например, гамма-функция).
3. Функция, определенная в математическом программном обеспечении.

1. Полностью определенные типы функций

Именованная функция иногда означает функцию, которая полностью и полностью определена , иногда с использованием логики. Например, Дейкстра и Шолтен (2002) вводят следующую именованную функцию в своей книге Исчисление предикатов и семантика программ :

«[ ф. Y ≡ Y ]
с f [согласно более раннему определению] для любого Z, заданного как
[ f.Y ≡ ¬ B ∧ P ] ∨ ( B ∧ wp. S. Z )] ”

Я сократил полное определение здесь, потому что — из-за предыдущих определений — обозначение заняло бы половину сообщения. Но дело в том, что авторы не оставили камня на камне от полного определения функции.
Примечания к логической нотации:
Если вы не знакомы с используемыми выше логическими символами, вот что они означают:

• ¬ — это символ отрицания, который иногда также записывается как ~.
• ∧ — это символ «логического и».
• ∨ — это символ «логического или».

2. Знакомые функции

Термин с именем «функция » иногда используется просто для обозначения функции, которая знакома и узнаваема. Преобразование «незнакомой» функции (той, которая не соответствует общепринятому формату) в «знакомую» (см. «Типы функций» для некоторых примеров) имеет много преимуществ. К ним относятся известные производные, известные интегралы и возможность использовать программное обеспечение для управления функциями.

В качестве примера следующая G-функция появляется на странице 224 книги «Дробное исчисление и его приложения: материалы международной конференции, проходившей в Университете Нью-Хейвена» :

Хотя это действительно обозначено как «G-функция. », Это не« известный ». Все, что нужно, — это переписать выражение в скобках так, чтобы функция стала «именованной функцией». Это похоже на идею принуждения выражений к явным функциям, чтобы ими можно было манипулировать алгебраически.

Типы функций: именованные функции в программном обеспечении

В программировании именованные типы функций определены вами, и зависят от данных, которые вы вводите в программное обеспечение.

Например, вы ввели список детей и матерей этих детей.
У вас может быть именованная функция mother (x).
мать TINA приводит к JILL .

В качестве другого примера следующая именованная функция (сумма квадратов) принимает два числа в качестве аргументов и выводит сумму их квадратов (Wailing, 2019):
(определить сумму квадратов
(лямбда (xy)
( + (квадрат x) (квадрат y)))).

Содержание (Щелкните, чтобы перейти в этот раздел):

1. Определение
Домен
2. и диапазон
3. Производная

Функция квадрата возводит в квадрат все входные данные . Формула

f (x) = x ² .

График (иногда называемый квадратной картой ) представляет собой параболу. Парабола вогнута вверх (то есть похожа на чашку). Если вы поместите отрицательный знак перед «x ² » (а не только x-значение), вы получите перевернутую параболу (т. е.е. тот, который вогнут вниз).

Парабола вогнута вверх (оранжевая) для f (x) = x ² и вогнута вниз (синяя) для f (x) = -x ² .

Функция квадрата имеет только одну точку пересечения: в начале координат (т.е. x = 0).

Квадратная функция является обратной функцией квадратного корня.

Область квадратной функции — это набор всех действительных чисел. Диапазон — это набор всех неотрицательных действительных чисел, потому что возведение числа в квадрат всегда дает положительный результат.

Функция квадрата также может быть определена в терминах ее домена и диапазона . Он берет каждое действительное число в домене, возводит это число в квадрат и присваивает его результату в диапазоне. Функция получила свое название, потому что числа возведены в квадрат. Например, если x = 4, то 4 ² = 16.

Еще несколько примеров значений функций:

• f (0) = 0 * 0 = 0,
• f (2) = 2 * 2 = 0,
• f (-3) = -3 * -3 = 9,
• ф (п) = р * р,
• f (высота) = высота * высота.

Производная квадратной функции равна 2x.

Здесь используется правило степени для дифференцирования экспонент. Шаги для поиска производной (показаны на изображении выше):

1. Скопируйте число экспоненты и поместите его впереди, так что f (x) = x ² становится f (x) = 2x ²
2. Вычтите 1 из показателя степени в новом уравнении из шага 1: f (x) = 2x ^{2 — 1} = f (x) = 2x ¹ = 2x

Функция ближайшего целого числа (также называемая nint или с округлением по x ) g (x) = {x} присваивает ближайшее целое число x для каждого действительного числа.Если x находится в середине двух целых чисел, функция возвращает наибольшее из двух чисел (Gerstein, 2012), что позволяет избежать статистической ошибки (Nemati et al., 2013).

Расстояние до ближайшей целочисленной функции || . ||

Несколько примеров:

• {1.99} = 2,
• {6} = 6,
• {3. 5} = 4,
• {-0,6} = -1,
• {-4,5} = -4.

Функция в основном используется в теории чисел и теории приближений, а также в теории динамических систем.Он также может «привести в порядок множество сложных формул», таких как формула для количества перестановок n букв без фиксированных точек:

Что, когда вы понимаете, что сумма является усечением бесконечного ряда для e ^-1 , упрощается до:
D _n = || n! / E || для n ≥ 1.
(Wilf, 1987, с. 855.).

Подобные функции, принадлежащие к одному семейству — функции, возвращающие действительные целые числа на основе определенного правила — включают функцию потолка (наименьшее целое число) и функцию пола (наибольшее целое число).

Обозначение ближайшей целочисленной функции

Ближайшая целочисленная функция не имеет общепринятой стандартной записи. Хотя для представления ближайшей целочисленной функции обычно используются фигурные скобки (как в приведенных выше примерах), символ || || также используется; Например, || 0,49 || = 0 (Браун, 1998). Другие обозначения включают символ «(x)» (Singh, 2021) и (Wilf, 1987).

Иногда используются скобки [], но их можно спутать с классом эквивалентности.Кроме того, функция пола иногда обозначается скобками, особенно в старых текстах, что усугубляет потенциальную путаницу. Обозначение | _x] также иногда используется (Hastad et al. 1988), но это обозначение громоздко и не рекомендуется (Nemati et al, 2013).

Ближайшая целочисленная функция: ссылки

Браун, П. (1998). Достижения в хроматографии — Том 39 — страница 154. Тейлор и Фрэнсис.
Герштейн, Л. (2012). Введение в математические структуры и доказательства.Springer.
Hastad, J .; Просто, Б .; Lagarias, J.C .; и Шнорр, К. П. «Алгоритмы с полиномиальным временем для нахождения целочисленных отношений между действительными числами». SIAM J. Comput. 18, 859-881, 1988.
Nemati et al., (2013). Использование алгоритма черных дыр в дискретном пространстве по ближайшей целочисленной функции
. Международный журнал искусственного интеллекта IAES (IJ-AI)
Vol. 2, No. 4, декабрь 2013 г., стр. 173–178.
Сингх, С. (2021). 3.9. Наибольшие и наименьшие целые функции. Получено 27 января 2021 г. по адресу: https: // cnx.org / contents / [защита электронной почты]: [защита электронной почты] / Функции наибольшего и наименьшего целых чисел
Wilf, H. (1987). Уголок редактора: строки, подстроки и функция ближайшего целого числа. The American Mathematical Monthly Vol. 94, No. 9 (ноябрь 1987 г.), стр. 855-860 (6 страниц) Издатель: Taylor & Francis, Ltd.

Вещественные аналитические функции локально задаются сходящимся степенным рядом (т. Е. Он имеет степенной ряд в определенной окрестности). Более конкретно, они могут быть выражены степенным рядом с непустым радиусом сходимости — интервалом положительного радиуса с центром в α [1]:

Вещественные аналитические функции бесконечно дифференцируемы с точностью до n-й производной (например,г. первая производная, вторая производная, третья производная,…).

Определение вещественной аналитической функции с помощью серии Тейлора

Разложение аналитической функции в степенной ряд совпадает с рядом Тейлора. Это дает нам еще один способ определения вещественной аналитической функции, поскольку мы соглашаемся с ее рядом Тейлора в окрестности каждой точки. Другими словами, ряд Тейлора в какой-то момент сходится к этому ряду.

Например, функция является вещественно аналитической в ​​нуле, если существует некоторое R> 0, так что:

Чтобы быть классифицированной как реально аналитическая, функция не должна везде согласовываться со своим рядом Тейлора, как раз тогда, когда R <0.

В более общем плане эти функции могут быть описаны как аналитические в произвольной точке a, и в этом случае выражение будет дифференцировано в точке a:

Это говорит о том, что пока | x — a | меньше R (т.е. мы находимся рядом с точкой а), функцию f можно записать в виде степенного ряда.

Свойства вещественной аналитической функции

Вещественные аналитические функции — это очень маленький класс функций внутри набора гладких (бесконечно дифференцируемых) функций. Чтобы функция могла быть классифицирована как «настоящая аналитическая», она должна быть все из следующих:

Список литературы

[1] Стефански Р. (2004). Факторизация многочленов и вещественных аналитических функций. Получено 8 июля 2021 г. по адресу: https://radekstefanski.weebly.com/uploads/1/3/6/4/13643663/stefanski2004-factorization1.pdf

.

Что такое функция с установленным значением?

Как правило, многозначная функция (также называемая многозначной функцией ) имеет несколько входов для одного выхода.В дифференциальном исчислении многозначных отображений отображение определяется более точно, чтобы включать производные многозначных функций.

Заданная функция: простой пример

Допустим, потребитель хочет выбрать услугу кабельного телевидения из множества доступных по аналогичной цене вариантов. У потребителя может быть неоднозначное мнение о том, что выбрать, и может быть трудно определить, почему он принял это решение (включая спортивные каналы? Репутацию компании?), Но мы знаем, что они выберут один. Этот многозначный вход в один выход является отличительной чертой многозначной функции.

Соответствие (из теории множеств) является примером многозначной функции. Соответствие присваивает набор точек одной точке; этот набор точек может быть из того же набора или целиком из другого набора (Aliprantis & Border, 2006).

Интересный факт: Самое длинное название многозначной функции — это карта Кнастера-Куратовски-Мазуркевича , которая отображает от X до E, где (Beer, 1993):

• E — локально выпуклое пространство, а
• X — непустое подмножество E.

Дополнительные технические определения

По большей части, когда вы слышите термин «многозначная функция», это обычно означает, что это многозначная функция, и эти два термина часто используются как синонимы. Однако существует еще технических определений , которые возникают в таких областях, как дифференциальное исчисление многозначных отображений. Например, Chalco-Cano et al. (2011) определяют многозначную функцию следующим образом:

«Многозначная функция — это функция со значениями в K ⁿ или K ⁿ _C [K ⁿ — это семейство всех непустых компактных подмножеств & Ropf; ⁿ и K ⁿ _C — семейство всех A ∈ K ⁿ таких, что A — выпуклое множество], пространство всех непустых компактных подмножеств Rn (пространство всех непустых компактных выпуклых подмножеств Р-н) »

Определенный таким образом, можно найти производные для многозначных функций.Эти относительно новые разработки включают H-дифференцируемость (Banks et al., 1970; Hukuhara, 1967), G-дифференцируемость (Chalco-Cano et al., 2008) и gH-дифференцируемость (Stefanini and Bede, 2009).

Заданная функция: Каталожный номер

Алипрантис, К. и Бордер, К. (2006). Бесконечномерный анализ. Путеводитель автостопщика. Springer Berlin Heidelberg.
Бэнкс, Х и др. (1970). Дифференциальное исчисление для многофункциональных функций, Журнал математического анализа и приложений 29 (1970) 246–272.
Бир, Г. (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах. Спрингер, Нидерланды.
Chalco-Cano, Y. et al. (2008). О новом решении нечетких дифференциальных уравнений, Хаос, солитоны и фракталы 38 (2008) 112–119.
Chalco-Cano, Y. et al. (2011). Обобщенная производная и pi-производная для многозначных функций q. Информационные науки 181 (2011) 2177-2188.
Хукухара, М. (1967). Интеграция измеримых приложений не является компактной выпуклой, Функциональная функция 10.205–223.
Стефанини, Л. и Беде, Б. (2009). Обобщенная дифференцируемость Хукухары интервальных функций и интервальных дифференциальных уравнений, Нелинейный анализ 71 1311–1328
Уолкер, М. (2020). Переписки. Получено 20 октября 2020 г. по адресу: http://www.u.arizona.edu/~mwalker/02_Equilibrium%20Existence/Correspondences.pdf

.

Унарная функция имеет один вход и один выход. Например, основная функция f (x) является унарной функцией. Этот класс функций наиболее часто изучается в общей математике и исчислении, поэтому большинство типов функций, с которыми вы имеете дело в начальном исчислении, являются унарными.

Обычно подразумевается термин унарный ; когда вы слышите ссылку на «функцию», это обычно означает унарную функцию. Другие функции упоминаются по их конкретному имени, чтобы отличать их от обычных (унарных) функций. Например, двоичная функция или пустая функция.

Унарные вещественные функции принимают один аргумент и имеют область действительных чисел. Функция рампы является примером.

Унарная функция в теории множеств и CS

В теории множеств вы можете думать об унарной функции f как об одной, которая при применении к аргументу x приводит к их сопоставлению, как в f ( x ) (Tarksy & Givant , 1987).Унарную функцию также можно рассматривать в более простых терминах как просто функцию, которая отображает элемент A в элементы A . Связанный термин — это унарная операция , которая определена в наборе A как A → A .

В информатика унарные функции действуют таким же образом, за исключением того, что они определены как объекты функций , вызываемые с одним аргументом . В функциональном программировании эти функции также называются монадическими функциями .

Использование в лямбда-исчислении

В лямбда-исчислении , чисто теоретической форме исчисления, каждое значение является унарной функцией. Лямбда-исчисление — это простой способ применения типов функций к аргументам.

Типы функций: Каталожные номера

Графический калькулятор Desmos.
Альберт, Джон. Примечания к курсу по аддитивности. Получено с http://math.ou.edu/~jalbert/courses/additive_functions_2.pdf, 14 июня 2019 г. Buchman, A. & Zimmerman, R. (1970). Одиннадцатый год по математике. Получено 24 сентября 2017 г. по адресу: http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED046731.pdf
Кларк, Э. Лекция 5: Исчисление предикатов. Получено 7 апреля 2020 г. по адресу: http://www.cs.cmu.edu/~emc/15-398/lectures/lecture5.pdf
Тарский А. и Гивант С. (1987). Формализация теории множеств без переменных, Том 41. Американская математическая ассоциация.
Эдсгер В. Дейкстра, Карел С. Шолтен. (2012). Исчисление предикатов и семантика программ. Springer Science & Business Media.
Oxford Lexico, получено 30 ноября 2019 г. с: https://www.lexico.com/en/definition/divisor
Kimblerling, C. (2020). Энциклопедия треугольных центров. Получено 4 сентября 2020 г. по адресу: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
Reinhart, C. et al. Центры треугольников. Получено от 4 сентября 2020 г. по адресу: https://brightspace.uakron.edu/d2l/common/viewFile.d2lfile/Database/MTQzMzU4MQ/Presentation_Group6_Reinhart_Kuzas_Burke.pptx?ou=6605&contextId=14871,13579 B. (Ред.). (2006). Дробное исчисление и его приложения: материалы международной конференции, проводимой в Университете Нью-Хейвена. Springer.
Шапиро, Гарольд Н. Введение в теорию чисел. Страница 70. Получено с https://books.google.mn/books?id=4aX9WH8Kw_MC, 3 июня 2019 г.
Ширали, С. Первые шаги в теории чисел: учебник по делимости
Thompson, S. & Gardner, M . (1914). Calculus Made Easy, 2-е издание. Компания Macmillan.
Янг, К. (2018). Precalculus, 3-е издание.Вайли.
Wailing, F. (2019) Сессия 5: Функции ракетки. Получено 3 декабря 2019 г. по адресу: https://www.cs.uni.edu/~wallingf/teaching/cs3540/sessions/session05.html.
Исчисление одной переменной
Wenpang, Z. (2009). Труды Пятой Международной конференции по теории чисел и понятиям смарандаче (Университет Шанлуо, Китай). Бесконечное исследование.
Чжан В. (2005). Исследование проблем Смарандаче в теории чисел (собрано…, том 2.

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые решения на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Типы функций — javatpoint

1. Инъективные (один-к-одному) функции: Функция, в которой один элемент набора доменов соединяется с одним элементом набора совмещенных доменов. 2. Сюръективные (Onto) функции: Функция, в которой каждый элемент Co-Domain Set имеет один прообраз. Пример: Рассмотрим, A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} и f = {(1, b), (2, a), (3, c), (4, в)}. Это сюръективная функция, поскольку каждый элемент B является изображением некоторого A Примечание. В функции Onto Range равен Co-Domain. 3. Биективные (один-к-одному) функции: Функция, которая одновременно является инъективной (один-к-одному) и сюръективной (на), называется биективной (один-к-одному) функцией. Пример: Рассмотрим P = {x, y, z} Q = {a, b, c} и f: P → Q такие, что f = {(x, a), (y, b), (z, c)} Функция f взаимно однозначна, а также она находится на. Так что это биективная функция. 4. Функции Into: Функция, в которой должен присутствовать элемент из ко-домена Y, не имеет прообраза в домене X. Пример: Рассмотрим, A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} и f: A → B такие, что f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} В функции f диапазон, т. Е. {1, 2, 3} ≠ ко-домен Y, т. Е. {1, 2, 3, 4} Следовательно, это функция в 5.Функции «один-один на один»: Пусть f: X → Y. Функция f называется «один на один на функцию», если разные элементы X имеют разные уникальные изображения Y. Пример: Рассмотрим, X = {k, l, m} Y = {1, 2, 3, 4} и f: X → Y такие, что f = {(k, 1), (l, 3), (m, 4)} Функция f является взаимно однозначной с функцией 6. Функции «много-один»: Пусть f: X → Y. Функция f называется функциями «много-один», если существует два или более двух различных элементов в X, имеющих одно и то же изображение в Y. Пример: Рассмотрим X = {1, 2, 3, 4, 5} Y = {x, y, z} и f: X → Y такие, что f = {(1, x), (2, x), (3, x), (4, y), (5, z)} Функция f является функцией многих единиц 7. Функции «много-один-один»: Пусть f: X → Y. Функция f называется функцией «много-один» тогда и только тогда, когда одновременно много-один и в функции. Пример: Рассмотрим X = {a, b, c} Y = {1, 2} и f: X → Y такие, что f = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} Поскольку функция f является функцией многие-один и в, так и функцией многие-один в. 8. Функции «многие-один»: Пусть f: X → Y. Функция f называется «многие-один» для функции тогда и только тогда, когда одновременно много и много единиц. Пример: Рассмотрим X = {1, 2, 3, 4} Y = {k, l} и f: X → Y такие, что f = {(1, k), (2, k), (3, l), (4, l)} Функция f — это много-один (поскольку два элемента имеют одно и то же изображение в Y), и она включена (поскольку каждый элемент Y является изображением некоторого элемента X). Итак, много-один на функцию

Типы функций — объяснения, типы, решаемые примеры и важные часто задаваемые вопросы

Что такое функция в математике?

Функция от набора M к набору N — это бинарное отношение или правило, которое связывает, строит или изображает каждый компонент набора M с компонентом набора N. Цель этой главы — познакомить вас с различными типами. функций, чтобы вы могли ознакомиться с типами. Вы также узнаете, что у каждого типа есть свои индивидуальные графики.Примеры различных типов функций показаны ниже.

Обозначение функции в математике

Функция из множества M в множество N обозначается:

F: M → N

Мы в основном используем F, G, H для обозначения функции

Мы также можем обозначить a математический класс любой функции, используя следующий метод:

• Метод табуляции

• Графический метод

• Метод стрелочной диаграммы

Типы математических функций с примерами

Согласно характеристикам, представленным функцией , его можно разделить на различные типы, например: —

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

1. Индивидуальная функция.

Математическая функция называется функцией «один-к-одному», если каждый компонент функции домена имеет свой собственный и уникальный компонент в диапазоне функции. При этом функция от набора M до набора N считается функцией один-к-одному, если никакие два или более элементов набора M не имеют одинаковых компонентов, отображаемых или отображаемых в наборе N. Кроме того, что никакие два или более компонентов не уточняются. через функцию обеспечить аналогичный вывод.

Например:

Когда f: M → N описывается формулой y = f (x) = x³, функция «f» определяется как взаимно-однозначная, поскольку куб с разными числами всегда сам по себе другой.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

2. Функция включения.

Функция входит в функцию, если два или более компонентов в ее Домене имеют один и тот же компонент в своем диапазоне.

Например:

Если установлено M = {M, N, O} и установлено N = {1,2}

И «f» — это функция, с помощью которой f: M → N описывается следующим образом:

Then функция «f» рассматривается как функция Onto.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

3. Функции Into

Говорят, что функция является функцией Into, в которой есть элемент совмещенной области Y и не имеет прообраза в домене X.

Пример:

Принять во внимание, P = {P, Q, R}

Q = {1, 2, 3, 4} и f: P → Q способом

f = {[P, 1 ], [Q, 2], [R, 3]}

В функции f диапазон, т. Е. {1, 2, 3} ≠ ко-домен Y, т. Е. {1, 2, 3, 4}

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

5. Функции «Один — один на один»

Функция f считается однозначной для функции, если существуют разные компоненты X и есть отличительные уникальные изображения Y.

Пример : Докажите один-один в функцию снизу, установите

X = [P, Q, R]

Y = [1, 2, 3 и 4} и f: X → Y способом

f = {[ P, 1], [(Q, 3], [R, 4]}

Таким образом, функция f является однозначной с функцией

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

5. Функции много-одного

Функция f является функцией много-одного, если два или более разных элемента в X имеют одно и то же изображение в Y.

Пример: доказательство функции много-одного

Взят, X = [1, 2, 3 , 4, 5]

Y = [X, Y, Z] и f: X → Y

Таким образом, f = {[1, X], [2, X], [3, X], [4 , Y], [5, Z]}

Следовательно, функция f является функцией многих единиц.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

6. Функции «много единиц»

Функция f является функцией многих единиц. функция, только если она есть — как много, так и в функцию.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

7. Функции много-одного онто

Функция f совмещает много-единичную функцию, только если — как много единиц, так и более.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Решенные примеры

Практическая задача 1:

Алекс выходит из квартиры в 5:50 утра и отправляется на пробежку на 9 миль. Он возвращается в 7:08 утра, чтобы ответить на следующие вопросы, предполагая, что Алекс бежит в постоянном темпе.

Укажите расстояние D (в милях), которое пробегает Алекс, как линейную функцию от его времени бега «t» (в минутах).

Постройте график D

Упростите смысл наклона.

Решение1:

(i). в момент времени t = 0 Алекс находится в своей квартире, таким образом, D (0) = 0

В момент времени t = 78 минут Алекс завершил пробег 9 миль, таким образом, D (78) = 9.

Наклон линейной функции составляет: —

m = 9−0 / 78−0 = 3/26

Пересечение оси y равно (0, 0), таким образом, линейное уравнение для этой функции имеет вид

D (t) = 3/26 t

(ii). Теперь, чтобы построить график D, выполните тот факт, что график пересекает начало координат и имеет наклон m = 3/26

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

(iii). наклон m = 3/26 ≈ 0,115 указывает расстояние (в милях), которое Алекс пробегает за минуту, или его среднюю скорость.

Интересные факты

• Что касается математической обработки, существует бесконечное количество функций, намного больше, чем то, что вы узнали в этой главе

• Различные математические функции могут защитить нас в жизни от того, что мы неправильно используем, обманываем или эксплуатируем

Типы функций

Функции обозначаются именем функции.Функции действуют на данные (аргументы) и получают направление в их вычислении с помощью параметров функции. Их можно использовать в промежуточных итогах, фильтрах, преобразованиях и т. Д. (См. Раздел Использование функций в MicroStrategy.)

MicroStrategy имеет пять типов функций:

• Однозначные функции: также известны как негрупповые или скалярные функции. Они работают с каждым отдельным элементом входной переменной или аргумента, в результате чего получается выходной элемент для каждого. Примерами этой категории являются простые математические операторы (+, -, *, /), Abs, Accrint, Cos, Round, Truncate, ApplySimple и т. Д.

• Функции группового значения: также известны как функции группирования или агрегирования.Они принимают один или несколько списков значений в качестве входных и генерируют одно выходное значение для каждого списка. Примеры этой категории: Avg (Среднее), AvgDev, Count, HomoscedasticTTest, Sum, ApplyAgg и т. Д.

• Функции OLAP: также известны как относительные функции. Они берут несколько элементов из списка и возвращают новый список элементов. Каждый элемент связан с другим элементом или другими элементами в списке и зависит от него, и положение этого элемента определяет, как выполняются вычисления. Примеры включают функции Rank и NTile, RunningSum, MovingAvg, ApplyOLAP и т. Д.

• Логические функции: обеспечивают базовое сравнение и возвращают значения ИСТИНА или ЛОЖЬ на основе вычисления формулы.К этому типу функций относятся And, Or, Not и ApplyLogic.

• Функции сравнения: сравнение отдельных значений или списков значений или сравнение списка с пороговым значением. Примеры этой категории: Между, Нравится, Больше (>), Меньше (<), ApplyComparison и т. Д.

Дополнительную информацию и примеры функций см. В Справочнике по функциям.

Определение типов функций на примере

Типы функций в математике определяются на основе домена, диапазона и выражения функции. Выражение, применяемое для адресации функции, является основным определяющим фактором для функции. Классификация функций помогает легко понять и изучить различные типы функций.

Помимо выражения, взаимосвязь или связь между элементами набора доменов и набора диапазонов также являются оценками для различных типов функций.

Отношение, в котором каждый вход имеет определенный выход, является математическим определением функции. В этой статье мы узнаем о типах функций в математике с примерами, подробными диаграммами и многим другим. Прежде чем перейти к типам функций в математике, давайте кратко рассмотрим определение функции, а также важные термины, связанные с ним.

Узнайте больше о связях и функциях здесь.

Какие типы функций?

Функция p = f (q) подразделяется на основные типы функций на основе таких факторов, как домен и диапазон функции, а также выражение функции. Функции имеют значение домена q, которое назначается в качестве входных данных.

Содержимое домена может быть числом, десятичным, угловым, целым, дробным. Точно так же значение p или значение f (q), которое обычно является числовым значением, обозначает диапазон. Различные типы функций сгруппированы в следующие типы.

• Исходя из установленных элементов.
• На основе уравнения.
• Исходя из ассортимента.
• На основе домена.

Прежде чем перейти к подробной классификации различных функций, давайте разберемся с представлением функций.

Также читайте здесь о статистике.

Типы функций

Различные другие типы функций упомянуты в таблице ниже:

На основе элементов	Одноразовая функция Многопользовательская функция Включенная функция Однозначная и функция нахождения В функцию Постоянная функция
На основе уравнения	Функция идентичности Линейная функция Квадратичная функция Кубическая функция Полиномиальные функции
На основе диапазона	Функция модуля Рациональная функция Функция Signum Четные и нечетные функции Периодические функции Функция наибольшего целого числа Обратная функция Функции наименьшего целого числа 90 021 Составные функции
На основе домена	Алгебраические функции Тригонометрические функции Логарифмические функции Экспоненциальные функции

Давайте узнаем о каждом из перечисленных выше функции с примерами и диаграммами.

Прочтите эту статью о наборах.

Типы функций — на основе элементов набора

Этот тип классификации функции зависит от количества взаимосвязей между элементами в домене и кодомене. Ниже описаны различные типы функций в зависимости от элементов набора.

Однозначная функция или инъективная функция

Однозначная функция также называется инъективной функцией. Здесь каждый элемент домена обладает различным изображением или элементом совмещенной области для назначенной функции.

Функция f: A → B объявляется функцией один-один, если разные компоненты в A имеют разные изображения или связаны с разными элементами в B. функция f: A → B объявляется входящей функцией, если каждый компонент в B имеет хотя бы один прообраз в A. то есть, если-диапазон функции f = Co-домен функции f, то f включен. Онт-функция также называется субъективной функцией.

Изучите концепции комплексных чисел здесь.

Биективная функция или функция «один-один и онто»

Функция f: A → B объявляется биективной функцией, если она является одновременно однозначной и функцией на. Другими словами, мы можем сказать, что каждый элемент набора A связан с другим элементом в наборе B, и в наборе B нет ни одного элемента, который не был бы оставлен для подключения к набору A.

Функция «много-один»

Любая функция f: A → B называется функцией «много-один», если два (или более двух) различных компонентов в A имеют идентичные изображения в B.В функции «многие к одному» несколько элементов владеют одним и тем же совмещенным доменом или изображением.

Into Function

Любая функция f: A → B называется входящей функцией, если существует хотя бы один элемент в B, который не имеет прообраза в A. т. Е. Если диапазон функция f ⊂ Co-область определения функции f, то f находится в.

Подводя итог, можно сказать, что функция into по своим характеристикам прямо противоположна функции on. То есть здесь определенные элементы в co-domain не владеют никаким прообразом.Это означает, что элементы в наборе B являются избыточными и не приравниваются ни к каким элементам в наборе A.

Подробнее о линиях регрессии можно узнать здесь.

Постоянная функция

Постоянная функция — это важная форма функции «многие к одному». В этой функции все элементы домена имеют единые данные / изображение.

Постоянная функция — это функция, которая представляет одно и то же значение вывода для любого представленного ввода. Он представлен как, f (x) = c, где c — постоянная.Например, f (x) = 6 — постоянная функция.

OR

Постоянная функция математически выражается как f: R → R и представлена ​​как f (x) = y = c, для x ∈ R, а c обозначает константу в R. Область определения функции f означает R, и его диапазон является постоянным, c. Нарисовывая график, мы получаем прямую линию, параллельную оси x, как показано выше.

Типы функций — на основе уравнения

Алгебраические выражения также включены в типы функций и основаны на степени полиномиального выражения.Например:

• Полиномиальная функция с нулевой степенью объявляется постоянной функцией.
• Полиномиальная функция первой степени называется линейной функцией.
• Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией.
• Точно так же полиномиальная функция третьей степени является кубической функцией.

Расскажите нам подробнее о каждой из этих функций.

Идентификационная функция

Идентификационная функция — это функция, которая обеспечивает идентичный ввод и вывод.Он представлен как, f (x) = x, где x ∈ R. Например, f (4) = 4 обозначает тождественную функцию. Это означает, что функция идентификации имеет идентичный домен и диапазон. Область и диапазон функции идентичности имеют шаблон {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)… .. (n, n)}.

График функции идентичности представляет собой прямую непрерывную линию, которая довольно наклонена к осям координат и пересекает начало координат. Функция идентичности может использовать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому она присутствует в первом и третьем квадрантах координатной оси, как видно из приведенного выше графика.

Прочтите также об арифметических прогрессиях в этой статье.

Линейная функция

Полиномиальная функция с уравнением первой степени называется линейной функцией. Домен и диапазон для такой функции являются действительными числами, и это дает прямолинейный график. Такие уравнения, как y = x + 4, y = 6x, y = 4x — 1, являются примерами линейных функций. Тождественная функция y = x также может быть включена в линейную функцию.

Посмотрите график для y = x — 6.{3} — 5 \).

Типы функций — в зависимости от диапазона

Следующим в строке являются типы функций, основанные на диапазоне, полученном от данных функций. Ниже рассматриваются различные типы функций в зависимости от диапазона.

Функция модуля

Функция \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) называется функцией модуля.

Это может быть дополнительно определено как:

\ (\ begin {Bmatrix} f \ left (x \ right) & = x & x \ ge0 \\
f \ left (x \ right) & = — x & x <0 \ end {Bmatrix} \)

Функция модуля возвращает абсолютное значение данной функции, независимо от знака содержимого входной области. График функции модуля продолжается в первом и втором квадрантах, поскольку координаты точек на графике имеют шаблон (x, y), (-x, y).

Область | x | есть R и его диапазон равен [0, ∞).

Функция f: R → R, определенная как f (x) = | x | для каждого x ∈R называется модульной функцией. Это означает, что для любого неотрицательного значения x, f (x) эквивалентно x. Хотя для отрицательных условий x значение f (x) отрицательно относительно значения x.{2} −4} \) — рациональная функция.

Рассмотрим приведенный ниже график для рациональной функции, заданной уравнением: \ (y = \ frac {4x + 1} {2x + 1} \).

Область и диапазон рациональных функций — R. На графической иллюстрации показаны асимптоты, кривые, которые кажутся касающимися осевых линий, как это видно на приведенном выше графике.

Signum Function

Signum function помогает определить знак функции реального значения и атрибуты +1 (положительный 1) для положительных входных значений функции и -1 (отрицательный 1) для отрицательных входных значений функции .

Signum функция просто возвращает знак для присвоенных значений x. Для значения x больше нуля, значение, присвоенное выходу, равно +1, для значения x меньше нуля, значение, присвоенное выходу, равно -1, а для значения x, равного нулю, выход эквивалентен нулю. Сигнальную функцию можно интерпретировать и узнать из приведенного ниже выражения.

Знаковая функция f: R → R, представленная следующим образом:

\ (\ begin {matrix} f \ left (x \ right) & = x & x> 0 \\
& = \ 0 & x = 0 \\
& = — x & x <0 \ end {matrix} \)

OR

\ (\ begin {matrix} f \ left (x \ right) & = \ frac {\ left | x \ right |} {x} & \ text {if} x \ ne0 \\
& = 0 & \ text {if} x = 0 \ end {matrix} \)

График сигнум-функции показан ниже:

Область сигнум-функции охватывает все действительные числа и представлены по оси абсцисс, а диапазон сигнум-функции имеет просто два значения, +1, -1, нарисованные по оси ординат.

Домен = R

Диапазон = {-1, 0, 1}

Также прочтите здесь о многострочных графиках.

Четные и нечетные функции

Четные и нечетные функции зависят от соотношения между входным и выходным состояниями функции. То есть для отрицательного значения домена, если диапазон также является значением -ve диапазона первичной функции, тогда функция называется нечетной.

Кроме того, для значения домена -ve, если диапазон эквивалентен диапазону основной функции, тогда функция обозначает четное значение.{-1} \) обозначается; B → A, который отображает каждую компоненту b ∈ B с такой компонентой a ∈ A, что f (a) = b, называется функцией, обратной к f: A → B.

Для обратной функции, область определения и диапазон присвоенная функция реверсируется относительно диапазона и домена обратной функции. Обратная функция заметно наблюдается в алгебраических функциях и обратных тригонометрических функциях.

Периодическая функция

Считается, что функция является периодической функцией, если один и тот же диапазон последовательно совпадает с разными значениями домена. Можно сказать, что тригонометрические функции периодические.

Например, функция f (x) = Sinx имеет диапазон, равный диапазону [-1, 1] для различных значений домена.

Функция наибольшего целого числа

Функция f (x) = [x] называется функцией наибольшего целого числа и означает наибольшее целое число, меньшее или равное x, т.е. [x] ≤ x.

OR

Функция f: R → R, представленная как f (x) = [x], x∈R, принимает значение наибольшего целого числа, меньшего или равного x.Такая функция обозначается как функция наибольшего целого числа.

Функция наибольшего целого числа также распознается как ступенчатая функция, которую можно визуализировать с помощью приведенной выше диаграммы. Область определения такой функции — действительные числа R, а ее диапазон — целые числа (Z).

Также читайте здесь об осях x и y.

Функции наименьшего целого числа

Функция f (x) = [x] называется функцией наименьшего / наименьшего целого числа и означает наименьшее целое число, большее или равное x i. 2 \)

Типы функций — на основе предметной области

Функции используются во многих других областях математики. Функциональные уравнения обычно содержат алгебраические представления, тригонометрические, логарифмы и показатели степени и поэтому именуются на основе этих значений области. Узнайте больше о доменных функциях в этом разделе.

Алгебраическая функция

Функция, которая включает конечное число членов, включая степени, корни независимой переменной x, коэффициент, постоянный член, а также основные операции, такие как сложение, умножение, вычитание и деление, распознается как алгебраическое уравнение.2} \).

Алгебраическая функция необходима для определения различных операций алгебры, а также определяется как линейная функция, кубическая функция, квадратичная функция, полиномиальная функция, в зависимости от степени алгебраического уравнения.

Прочтите статью о Locus.

Тригонометрические функции

Шесть основных тригонометрических функций: sinθ, cosθ, tanθ, secθ, cosecθ. Здесь значение домена θ — это угол, измеряемый в градусах или радианах.y \), где «y» обозначает переменную, а «b» обозначает константу, которая также называется базой функции.

Экспоненциальная функция в основном используется для определения экспоненциального затухания / экспоненциального роста. Чаще всего используется основание экспоненциальной функции e.

Логарифмические функции

Представление логарифмических функций, как показано: \ (f \ left (y \ right) = \ log_b \ left (y \ right) \).

Здесь b означает основание функции.

В зависимости от базы функция может быть убывающей (значение b находится между 0 и 1) или возрастающей (значение b больше 1) функцией. Логарифмические функции также являются обратными экспоненциальными функциями.

Представление функций

Функции должны быть разработаны для отображения значений домена и значений диапазона, а также взаимосвязи или связи между ними. Существует три различных формы представления функций: диаграммы Венна, графические формы и шаблоны списков.Ниже рассматриваются три модели.

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна — это мощная форма для описания функции. Диаграммы Венна обычно отображаются двумя кружками со стрелками, объединяющими компоненты в каждом из кружков. Домен показан в одном кружке, а значения диапазона помещены в другой. Кроме того, функция определяет стрелки и то, как стрелки связывают различные элементы в двух заданных кругах.

Также читайте здесь о последовательностях и сериях.

Графическая форма

Функции легко понять, если они представлены в графическом шаблоне с использованием осей координат. Выражение функции в графической форме помогает нам узнать, как меняются операции функции, если функция прогрессирует или уменьшается.

Область функции, которая является значением p, представлена ​​на оси x, а диапазон или состояние f (p) функции откладывается на оси y соответственно. {3} \), функция представлена ​​как {(1, 1), (2, 8), (3, 27), (4, 64)}. Здесь первый элемент обозначает область или значение x, а второй компонент обозначает диапазон или значение f (x) функции.

Типы решаемых функций Примеры

Зная о различных типах функций и их представлении, давайте перейдем к некоторым из решенных вопросов для лучшего практического изучения темы.

Решенный пример 1: Найти тип однозначной функции f: {1, 2, 3} → {1, 2, 3}?

1) На

2) На

3) На

и на

4) Ничего из вышеперечисленного

Решение:

Поскольку f равно один — один, три элемента {1, 2, 3 } необходимо отнести к 3 различным элементам ко-области {1, 2, 3} под f.4P_2 = \ frac {4!} {2!} = 12 \).

Количество функций «многие к одному» = Общее количество of functions — One to one functions = 16 — 12 = 4.

Решенный пример 3: Что из следующего является , а не функцией «в»?

1) f (x) = x, ∀ x ∈ A, где f — функция на A = {1, 2, 3, 4, 5}.

2) f (x) = x + 1, ∀ x ∈ A, где f — функция от A = {1, 2, 3, 4, 5} до B = {2, 3, 4, 5, 6 , 7}.

3) f (x) = 2x, ∀ x ∈ A, где f — функция от A = {1, 2, 3, 4, 5} до B = {2, 4, 6, 8, 10, 12 }.

4) И 1, и 2

5) Ни одно из этих

Решение:

Концепция:

В функцию:

Любая функция f: A → B считается действующей, если существует хотя бы один элемент в B, который не имеет прообраза в A, тогда функция f называется функцией в.

т.е. Если Диапазон функции f ⊂ Ко-домен функции f, то f находится в.

Функция идентичности:

Любая функция f: A → A называется функцией идентичности, если f (x) = x, ∀ x ∈ A.

Примечание: любая функция идентичности на непустом множестве A является как один-один, так и на.

Функция включения / сюръективная функция:

Функция f: A → B называется функцией включения, если каждый элемент в B имеет хотя бы одно предварительное изображение в A.

т.е. если диапазон функции f = Ко-домен функции f, затем f находится на

Расчет:

Давайте начнем проверять все варианты для достижения ответа.

Вариант 1:

Дано: f (x) = x, ∀ x ∈ A, где A = {1, 2, 3, 4, 5} и f — функция на A.

Как мы знаем, данная функция является функцией идентичности, которая является как однозначной, так и включенной.

∴ Данная функция f (x) = x, является , а не в функцию.

Вариант 2:

Дано: f (x) = x + 1, ∀ x ∈ A, где f — функция от A = {1, 2, 3, 4, 5} до B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

⇒ f (1) = 2 ∈ B, f (2) = 3 ∈ B, f (3) = 4 ∈ B, f (4) = 5 ∈ B, f (5) = 6 ∈ B.

Таким образом, область значений данной функции равна B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, а диапазон функции f равен {2, 3, 4, 5, 6}

⇒ Здесь диапазон функции f ⊂ Кообласть функции f

Следовательно, данная функция является функцией «внутрь».

Вариант 3:

Дано: f (x) = 2x, ∀ x ∈ A, где f — функция от A = {1, 2, 3, 4, 5} до B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

⇒ f (1) = 2 ∈ B, f (2) = 4 ∈ B, f (3) = 6 ∈ B, f (4) = 8 ∈ B, f (5 ) = 10 ∈ B.

Таким образом, область значений данной функции равна B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, а диапазон функции f равен {2, 4, 6, 8, 10}

⇒ Здесь также Диапазон функции f ⊂ Ко-область определения функции f.

Следовательно, данная функция является функцией «в».

Следовательно, вариант 1 будет правильным ответом.

Решенный пример 4: Какой из следующих вариантов является функцией идентификации?

1) f (x) = 1

2) f (x) = IxI

3) f (x) = 0

4) f (x) = x

Решение:

Расчет:

Функция идентификации — это функция, которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве аргумента.

Следовательно, f: R → R, f (x) = x — функция тождества

Следовательно, вариант 4 является правильным ответом.{2} -4bx + 9 \) равно -27; равно 3 или -3.

Мы надеемся, что приведенная выше статья о типах функций будет полезна для вашего понимания и подготовки к экзамену. Следите за обновлениями приложения Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным темам из математики и другим подобным предметам. Кроме того, просмотрите серию доступных тестов, чтобы проверить свои знания по нескольким экзаменам.

Типы функций Часто задаваемые вопросы

Q.1 Что вы подразумеваете под функцией?

Отв.1 Функция относится к определенной взаимосвязи, которая очерчивает каждый элемент одного набора, причем только один элемент относится к другому набору.

Q.2 Какие бывают типы функций?

Ans.2 Существуют различные типы функций: функция «многие к одному», функция «один к одному», на функцию, один и на функцию, постоянная функция, функция идентичности, квадратичная функция, полиномиальная функция, функция модуля, рациональная функция, функция знака, функция наибольшего целого числа и так далее.

Q.3 Каковы основные способы представления функций?

Ans. 3 Основные способы представления функции: Диаграммы Венна, графические формы и шаблоны списка.

Q.4 На основе элементов, как мы классифицируем различные типы функций?

Ans.4 На основе элементов различные типы функций следующие: функция «Один – один», функция «Многие-один», функция «Один», функция «Один – один» и функция «Он», функция «В» и функция «Постоянная».

Q.5 Как мы понимаем функцию модуля?

Ans.5 Функция модуля возвращает абсолютное значение заданной функции независимо от знака содержимого входной области.

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

• Получите мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

• Получите ежедневную капсулу GK и текущие новости и PDF-файлы

• Получите 100+ бесплатных пробных тестов и викторин

Подпишитесь бесплатно Уже есть аккаунт? Войти

Следующее сообщение

.