Формула степеней алгебра: Умножение степеней, деление, таблица

Содержание

Умножение степеней, деление, таблица

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое степень числа

Алгебра дает нам такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

  • an — степень, где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3). Неважно в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук и ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

an · a

m = am+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

 

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(an)m = an· m 

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)

n = an · bn

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Умножение чисел с одинаковыми степенями

Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

an · bn = (a · b)n , где

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

  • a5 · b5 = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)5
  • 35 · 4
    5
    = (3·4)5 = 125 = 248 832
  • 16a2 = 42·a2 = (4a)2

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:

am · an= am+n, где

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа

  • 35 · 32 = 35+3 = 38 = 6561
  • 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048 

Умножение чисел с разными степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:

an · bn = (a · b)n

Если же разные и степени, и основания и одно из оснований не преобразуется в число с той же степенью, как у другого числа (как здесь: 2

8 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Деление чисел с одинаковыми степенями

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

an : bn = (a : b)n, где 

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Деление чисел со степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше.

А именно:



Если же разные и степени, и основания, то возводим в степень каждое число и только потом умножаем:

Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1. Выражения, которые имеют смысл

Сложность: лёгкое

4
2.
Степень с дробным показателем (обыкновенная дробь)

Сложность: лёгкое

1
3. Степень с дробным показателем (смешанное число)

Сложность: лёгкое

2
4. Степень с дробным показателем (десятичная дробь)

Сложность: лёгкое

2
5. Корень степени n из обыкновенной дроби

Сложность: лёгкое

1
6. Корень степени n из степени

Сложность: лёгкое

1
7. Степень с рациональным показателем

Сложность: лёгкое

2
8. Произведение степеней с рациональными показателями

Сложность: лёгкое

2
9. Частное степеней с рациональными показателями

Сложность: лёгкое

1
10. Возведение степени в степень (рациональные показатели)

Сложность: лёгкое

1
11. Значение степени с рациональным показателем

Сложность: среднее

4
12. Степень с дробным показателем

Сложность: лёгкое

1
13. Упрощение выражения, содержащего радикалы, замена переменных

Сложность: сложное

5
14. Степень с целым показателем

Сложность: среднее

6
15. Произведение степени и корня

Сложность: среднее

2,5
16. Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные и обыкновенные дроби)

Сложность: среднее

3
17. Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные дроби)

Сложность: среднее

6
18. Произведение в рациональной степени (степень и дробь)

Сложность: среднее

6
19. Сумма корней и степеней

Сложность: среднее

4
20. Свойства степеней с рациональными показателями (дробь)

Сложность: среднее

4
21. Произведение бинома на одночлен

Сложность: среднее

5
22. Квадрат бинома

Сложность: среднее

4
23. Произведение суммы и разности (степень и число)

Сложность: среднее

3
24. Сокращение дроби

Сложность: среднее

4
25. Упрощение выражения, содержащего радикалы, формула разложения на множители кв. трёхчлена

Сложность: среднее

4
26. Произведение суммы и разности двух степеней

Сложность: сложное

4

Счет, степени, корни — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к проведению алгебраических вычислений, преобразований и упрощений

К оглавлению…

При выполнении численных вычислений с большим количеством операций и дробей желательно выполнять следующие рекомендации:

  • Переводите десятичные дроби в обыкновенные, т. е. такие у которых есть числитель и знаменатель.
  • Не старайтесь посчитать сразу все выражение. Выполняйте вычисления по одному действию, пошагово. При этом учтите, что:
    • сначала выполняют операции в скобках;
    • затем считают произведения и/или деления;
    • потом суммируют или вычитают;
    • и в последнюю очередь, если это была многоэтажная дробь, делят уже полностью упрощенный числитель на тоже полностью упрощенный знаменатель;
    • причем выполняя в первую очередь операции в скобках также соблюдают ту же последовательность, сначала произведения или деления внутри скобок, потом суммирование или вычитание в скобках, а если внутри скобки есть другая скобка то действия в ней выполняются прежде всего.
  • Не спешите умножать и делить «страшные числа». Скорее всего, в одном из следующих действий что-то сократится. Чтобы проще было сократить можно числа раскладывать на простые множители.
  • При сложении и вычитании выделяйте в дробях целую часть (если это возможно). При умножении и делении, наоборот, приводите дробь к виду без целой части.

От корней в знаменателе принято избавляться. Для избавления от корня над всем знаменателем умножают числитель и знаменатель на выражение, равное знаменателю. Для избавления от корня над частью знаменателя умножают числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. В этом случае образуется разность квадратов (сопряжённым для (ab) является выражение (a + b) и наоборот).

При преобразовании или упрощении алгебраических выражений последовательность действий такова:

  • Разложить на множители все, что можно разложить на множители.
  • Сократить все, что можно сократить.
  • И только потом приводить к общему знаменателю. Ни в коем случае не пытайтесь сразу сломя голову приводить к общему знаменателю. Пример будет становиться чем дальше, тем страшнее.
  • Снова разложить на множители и сократить.

Для того чтобы перевести десятичную периодическую дробь в обыкновенную (с числителем и знаменателем) необходимо:

  • Из числа, стоящего до второго периода в исходной периодической дроби вычесть число, стоящее до первого периода в этой же дроби и записать полученную разность в числитель будущей обыкновенной дроби.
  • В знаменателе же записать столько девяток, сколько цифр в периоде исходной дроби, и столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
  • Не забыть про целую часть, если она есть.

При решении задач из данной темы также необходимо помнить много сведений из предыдущих тем. Приведём далее основные из них.

 

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

 

Квадратный трехчлен и теорема Виета

К оглавлению…

В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения согласно теореме Виета может быть вычислено по формуле:

Итак, еще раз о теореме Виета:

  • Если D < 0 (дискриминант отрицателен), то уравнение корней не имеет и теорему Виета применять нельзя.
  • Если D > 0 (дискриминант положителен), то уравнение имеет два корня и теорема Виета прекрасно работает.
  • Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень, для которого бессмысленно вводить понятие суммы или произведения корней, поэтому теорему Виета тоже не применяем.

 

Основные свойства степеней

К оглавлению…

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

 

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение. Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

 

Основные свойства квадратного корня

К оглавлению…

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 — bn и h5 -d4 есть a3 — bn + h5 — d4.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из 2a4 3h2b6 5(a — h)6
Вычитаем -6a4 4h2b6 2(a — h)6
Результат 8a4 -h2b6 3(a — h)6

Или:
2a4 — (-6a4) = 8a4
3h2b6 — 4h2b6 = -h2b6
5(a — h)6 — 2(a — h)6 = 3(a — h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множитель x-3 3a6y2 a2b3y2
Второй множитель am -2x a3b2y
Результат amx-3 -6a6xy2 a2b3y2a3b2y

Или:
x-3 ⋅ am = amx-3
3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a5b5y3.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, an.am = am+n.

Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Первый множитель 4an b2y3 (b + h — y)n
Второй множитель 2an b4y (b + h — y)
Результат 8a2n b6y4 (b + h — y)n+1

Или:
4an ⋅ 2an = 8a2n
b2y3 ⋅ b4y = b6y4
(b + h — y)n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y)n+1

Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x — y).
Ответ: x4 — y4.
Умножьте (x3 + x — 5) ⋅ (2x3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a2 — b2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a2 — y2.
(a2 — y2)⋅(a2 + y2) = a4 — y4.
(a4 — y4)⋅(a4 + y4) = a8 — y8. 5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю.
a2.a-4 есть a-2 первый числитель.
a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель.
a3.a-4 есть a-1, общий числитель.
После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. 6$

Что и требовалось доказать.

Быстро найти нужную формулу для расчета онлайн. Геометрия. Алгебра.

В комбинаторике биномиальный коэффициент означает, число всех возможных вариантов выборки k элементов из множества элементов n.

Пример:

Из множества n {1,2,3,4}, выбираем все возможные комбинации из двух элементов, k=2

{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}

Получается шесть возможных вариантов.

Подставив значения в формулу, проверим полученный результат:

 


 

 

Факториал — произведение первых по счету, n натуральных чисел, обозначается n!

 

для n ϵ N (множество натуральных чисел)

 

по определению:

 

Факториал существует только для натуральных чисел и нуля.

пример вычисления факториала:

3!=1·2·3=6

5!=1·2·3·4·5=120

 


 

 

Одночлен — произведение числа (коэффициента), одной или несколько переменных и их натуральных степеней.

Многочлен — алгебраическая сумма одночленов.

Двучлен (бином) — многочлен состоящий из двух членов

 

A. B. C. Dодночлены

Сложение многочленов:

 

Вычитание многочленов:

 

Умножение многочлена на одночлен:

 

Деление многочлена на одночлен:

Умножение многочлена на многочлен:

 



a— основание степени, действительное число ( R )

n — показатель степени, натуральное число ( n ϵ N )

 

 

 

Произведение степеней с одинаковым основанием:

 

Деление степеней с одинаковым основанием:

если  n > m

 

если  n = m

 

если  n < m

 

Возведение степени в степень:

 

Произведение в степени:

 

Деление в степени:


Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня


Формулы преобразования степени числа.

Свойства степени

(ab)n=anbn   
Степень произведения двух чисел равна произведению каждого из сомножителей в этой степени  

( a / b )n  = an / bn
Степень частного равна частному этих чисел, каждое из которых возведено в данную степень  

an am = an+m
Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней

an  / am = an-m если n > m
Частное двух одинаковых чисел в разной степени равно этому числу в степени разности числителя и знаменателя, при условии, что степень числа в числителе больше степени в знаменателе. 

(an )m=anm
Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению

Формулы преобразования корня числа.

Свойства корня

n√0 = 0
Корень произвольной степени из нуля равен нулю

n√1 = 1
  Корень произвольной степени из единицы равен единице

Корень числа произвольной степени, возведенный в эту же степень, равен этому числу.

Корень произвольной степени от произведения равен произведению корней этой же степени каждого из множителей

Корень произвольной степени частного двух чисел равен частному корней этой степени этих же чисел


Содержание главы:
 Задача про бросание гранаты | Описание курса | Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа 

   

Как найти степень многочлена

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам Varsity найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как найти степень многочлена

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам Varsity найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Алгебра — Многочлены

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-4: Многочлены

В этом разделе мы начнем рассматривать многочлены.{23}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень:}} \, \, 23 \\ & 5x — 7 & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень :}} \, \, 1 \\ & — 8 & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень:}} \, \, 0 \ end {align *} \]

Итак, полином не обязательно должен содержать все степени \ (x \), как мы видим в первом примере. Кроме того, полиномы могут состоять из одного члена, как мы видим в третьем и пятом примерах. m} \).3} + 3x — 11y & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень: 14}} \ end {align *} \]

В полиномах такого типа не каждый член должен содержать в себе как \ (x \), так и \ (y \), на самом деле, как мы видим в последнем примере, им не нужно иметь никаких терминов, которые содержат как \ (x \), так и \ (y \). Кроме того, степень полинома может быть получена из членов, содержащих только одну переменную. Также обратите внимание, что несколько терминов могут иметь одинаковую степень.

Мы также можем говорить о многочленах от трех переменных, четырех переменных или любого количества переменных, которое нам нужно.Подавляющее большинство полиномов, которые мы увидим в этом курсе, являются полиномами от одной переменной, поэтому большинство примеров в оставшейся части этого раздела будут полиномами от одной переменной.

Далее нам нужно избавиться от некоторой терминологии. Моном — это многочлен, состоящий ровно из одного члена. Бином — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Наконец, трехчлен — это многочлен, состоящий ровно из трех членов.Мы будем время от времени использовать эти термины, так что вы, вероятно, должны хотя бы немного с ними ознакомиться.

Теперь нам нужно поговорить о сложении, вычитании и умножении многочленов. Обратите внимание, что мы не учли деление многочленов. Это будет обсуждаться в следующем разделе, где мы будем довольно часто использовать деление многочленов.

Прежде, чем мы начнем это обсуждение, мы должны вспомнить закон распределения. Это будет многократно использоваться в оставшейся части этого раздела.2} — 9x + 4} \ right) \]

В этом случае скобки не требуются, поскольку мы складываем два многочлена. Они существуют просто для того, чтобы прояснить операцию, которую мы выполняем. Чтобы сложить два полинома, все, что мы делаем, — это , объединяем аналогичные термины . Это означает, что для каждого члена с тем же показателем степени мы будем добавлять или вычитать коэффициент этого члена. 2} + x + 1 \).2} + x — 3} \ right) \]

На этот раз скобки вокруг второго члена обязательны. Мы вычитаем весь многочлен, и скобки должны быть там, чтобы убедиться, что мы действительно вычитаем весь многочлен.

При выполнении вычитания первое, что мы сделаем, это поставим знак минус через круглые скобки. Это означает, что мы изменим знак у каждого члена второго многочлена. Обратите внимание, что все, что мы на самом деле здесь делаем, это умножение «-1» на второй многочлен, используя закон распределения.2} \ end {align *} \]

Это очень распространенные ошибки, которые студенты часто совершают, когда только начинают учиться умножать многочлены.

Полиномы

Полином состоит из двух или более членов. Например, x + y , y 2 x 2 и x 2 + 3 x + 5 y 2 — все полиномы. Бином — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Например, x + y — бином. Трехчлен — это многочлен, состоящий ровно из трех членов. Например, y 2 + 9 y + 8 является трехчленом.

Полиномы обычно располагаются одним из двух способов. Порядок возрастания — это, в основном, когда сила члена увеличивается с каждым последующим термином. Например, x + x 2 + x 3 или 5 x + 2 x 2 — 3 x 3 + x 5 расположены в порядке возрастания. Порядок убывания — это, в основном, когда степень члена уменьшается для каждого последующего члена. Например, x 3 + x 2 + x или 2 x 4 + 3 x 2 + 7 x расположены в порядке убывания. Чаще используется порядок убывания.

Сложение и вычитание многочленов

К прибавьте или вычтите многочлены , просто расположите как члены в столбцах, а затем сложите или вычтите.(Или просто добавьте или вычтите подобные термины, если перестановка не требуется.)

Пример 1

Выполните указанную арифметику.

  1. Сложите многочлены.

  2. Вычтите многочлены.

Умножающие многочлены

Чтобы умножили полиномы, умножьте каждый член одного полинома на каждый член другого полинома.Затем при необходимости упростите.

Пример 2

Умножить.

Или вы можете использовать « F.O.I.L. ”с биномами. F.O.I.L. означает F, первые условия, или дополнительные условия, I дополнительные условия, L дополнительные условия. Затем при необходимости упростите.

Пример 3

Умножить.

(3 x + a ) (2 x — 2 a ) =

Умножьте первых члена каждого количества.

Сейчас вне условий.

Теперь внутри терминов.

Наконец, последних термина.

Теперь упростим.

6 x 2 — 6 ax + 2 ax — 2 a 2 = 6 x 2 — 4 ax — 2 a 2

Пример 4

Умножить.

Эту операцию также можно выполнить с помощью свойства distributive.

Деление многочленов на одночлены

Чтобы делить многочлен на одночлен, просто делит каждый член многочлена на одночлен.

Пример 5

Разделить.

Деление многочленов на многочлены
От

до делите многочлен на многочлен, убедитесь, что оба они находятся в порядке убывания; затем используйте длинное деление. ( Помните: Разделите на первый член, умножьте, вычтите, уменьшите.)

Пример 6

Разделить 4 a 2 + 18 a + 8 на a + 4.

Пример 7

Разделить.

  1. Первое изменение в порядке убывания: x 2 + 2 x + 1.Затем разделите.

  2. Примечание. Если термины отсутствуют, убедитесь, что между ними достаточно места.

  3. Этот ответ можно переписать как

Как решать уравнения 1-й, 2-й и 3-й степени

При изучении математики мы можем столкнуться с задачей решения различных типов уравнений, поэтому в этом посте мы увидим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.

Содержание:

  • Возможные варианты решений
  • Решение уравнений первой степени
  • Решение уравнений второй степени
  • Решение уравнений третьей степени
  • Заключение

Возможные варианты решений

Во-первых, нам нужно понять, каковы возможные решения для решения уравнений, вот они:

Мы определяем

как набор возможных решений уравнения.

1-Нет решения: некоторые уравнения не имеют решения, т. Е. Для переменной невозможно значение, позволяющее сделать уравнение проверенным или истинным. Вот пример:

Упростим уравнение, умножив на круглые скобки, получим

и вычитая

из обеих частей, мы получаем 6 = 10, что неверно, и, следовательно, мы делаем вывод, что для этого уравнения нет решения, т.е. пусто или.

2- Уникальное решение: уравнения могут иметь уникальное решение, которое проверяет его, что означает, что существует одно и только одно значение, которое переменная должна принимать, чтобы уравнение стало истинным. Вот несколько примеров:

Пример 1:

, вычитая 5 с обеих сторон, получаем

и разделив на 3 обе стороны, получим

Вот решение, которое мы ищем

, и оно уникально. — единственное значение, при котором уравнение становится истинным,.

Пример 2:

Вычитая

из обеих частей, чтобы исключить в правой части уравнения, мы получаем

и добавив 14 к обеим сторонам, мы получим

, разделив на 4, мы получим одно и только одно значение для i.е. .

3- Множественные решения: уравнения могут иметь несколько решений, где есть несколько значений для

для проверки уравнения, вот пример этого:

мы можем произвести умножение скобок и получить

Используя факторизованную запись уравнения, чтобы правая часть была равна 0, одна из двух круглых скобок должна быть равна 0, и для этого у нас есть два случая:

Либо

, вычитая 5, мы получаем, а при делении на 2 получаем,

или

и добавив 3 для обеих сторон, мы получим.

Итак, у нас есть два возможных решения этого уравнения

.

4- Бесконечные решения. Уравнение с бесконечными решениями всегда проверяется независимо от значения

. Давайте взглянем на следующий пример:

, упростив обе стороны, получаем

, а затем

, вычитая

с обеих сторон, получаем.

Упростив уравнение, мы получили

, которое верно все время, оно не зависит от значения, поэтому независимо от значения уравнения всегда верно, и, поскольку имеет бесконечное количество возможных значений, у нас есть бесконечные решения для этого уравнение.

Теперь, увидев различные варианты количества возможных решений, давайте посмотрим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.

Решение уравнений первой степени

Определение

Мы называем уравнением первой степени каждое уравнение, записанное следующим образом:

Где

— переменная, и — действительные числа, отличные от 0.

Обратите внимание, что некоторые уравнения первой степени не входят в эту форму, но после упрощения она всегда заканчивается формой, приведенной выше.

Мы называем это уравнением первой степени из-за того, что переменная

начинается в степени 1, и это наивысшая степень переменной в уравнении, то есть.

Алгебраический метод

Чтобы решить уравнение первой степени, мы сначала упростим его, если оно не упрощено, чтобы получить форму

, а затем все, что нам нужно, это передать b в другую сторону и разделить на a, т.е.

и вот решение уравнения

Пример:

Упростим уравнение

, то получаем форму

, а решение —

i.е. .

Геометрический метод

Мы можем решить уравнение геометрически, рассматривая обе части уравнения как уравнение с прямой линией, что означает, что левая часть

является линейным уравнением, а правая часть — линейным уравнением.

Затем мы можем нарисовать обе линии в ортометрической плоскости, и мы проведем линию

и линию, которая эквивалентна оси x (потому что ось x — это линия с)

(т.е.) означает точку, в которой две линии пересекаются, поэтому, проведя линию и выбрав место пересечения с осью x, мы получим наше решение, и это то же самое, что и алгебраический метод.

Пример:

Решим уравнение

Проведем линию по уравнению

Мы выбираем 2 значения из

и получаем соответствующее значение, а затем наносим на график две точки на плоскости, а новый рисуем линию, проходящую через две точки, и координату точки пересечения линии и x- ось — решение уравнения.

Решение уравнений второй степени

Определение

Мы называем уравнение второй степени, каждое уравнение стандартной формы

с, и является действительными числами и отличным от нуля.Это называется уравнением второй степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 2 (т. Е.).

Разложение на множители двух уравнений первой степени

Метод решения уравнения второй степени состоит в том, чтобы записать его в форме умножения двух уравнений первой степени и решить его, найдя решение для двух уравнений первой степени.

Как разложить уравнение второй степени на множители?

Если мы рассмотрим уравнение второй степени, например, следующее

Итак, чтобы перейти от правой формы к левой факторизованной форме, нам нужно вычислить значения

и знать значение и из правой формы.Давайте попробуем пример:

Нам нужно разделить на 2, чтобы убрать множитель

и получить форму

итак, получаем:

Теперь, используя эту форму, мы знаем, что

и.

Итак, нам нужно найти два числа

, и их сумма равна 10, а их произведение равно 21.

У нас есть

, а 21 можно записать как произведение или, а так как должно быть равно 10, то у нас есть значения и, которые составляют и.

После этого все, что нам нужно сделать, это написать уравнение в форме

.

итак, получаем:

Теперь разрешение простое, поскольку у нас есть произведение двух первой степени, равное нулю, тогда мы точно знаем, что либо первый член произведения равен нулю, либо второй равен нулю, что означает либо

, либо мы решаем каждый член первой степени левой части, мы получаем:

и, следовательно, у нас есть два решения уравнения второй степени

,.

Мы можем проверить, присвоив

значение или, как показано ниже:

Решение уравнения второй степени с использованием дискриминанта

Дискриминант уравнения

мы называем выражением, обычно оно обозначается буквой i.е. .

В зависимости от знака дискриминанта мы можем определить количество и значение — если оно есть — решений, и возможные случаи следующие:

1- Если дискриминант строго положительный (

), то уравнение имеет два разных решения, и решениями являются:

.

Пример:

Определим решения уравнения:

Мы оцениваем

:

так что имеем

Мы заключаем, что уравнение имеет два различных решения, и они следующие:

2- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один двойной корень, что означает, что уравнение имеет два одинаковых решения, поэтому одно повторное (или удвоенное) решение.Решение дается следующим образом:

Пример:

Определим решения уравнения:

, оценивая

, получаем:

Мы заключаем, что уравнение имеет одно решение, и решение:

; .

Причина, по которой мы называем это решение двойным корнем или повторяющимся решением, потому что уравнение на самом деле может быть записано как произведение одного и того же многочлена первой степени и, следовательно, того же решения для двух многочленов первой степени.

Если мы возьмем предыдущий пример, у нас будет:

3-Если дискриминант строго отрицательный (

), то уравнение не имеет решений.

Пример:

Решим уравнение

, оценивая

, получаем:

У нас есть

, поэтому мы заключаем, что уравнение не имеет решения (потому что мы не можем извлечь квадратный корень из дельты, поскольку он отрицательный).

Решение уравнения второй степени с использованием алгебраических тождеств

В этом методе мы используем алгебраическое тождество

, г.

, где

— переменное действительное число.

Чтобы решить уравнение

, мы выполняем следующие шаги:

1- Делим обе стороны на

, получаем:.

2- Отнимаем по

с каждой стороны, получаем:.

3- Мы прибавляем значение

(т.е. квадрат одной половины) к обеим сторонам, и получаем:

.

4- Теперь у нас есть левая часть, записанная как Расширение алгебраического тождества

, поэтому мы можем записать левую часть следующим образом:

.

5- Мы извлекаем квадрат из обеих частей и решаем уравнение.

Для лучшего объяснения воспользуемся этим методом на примере:

Сначала делим на 3, получаем:

.

Во-вторых, отнимаем 4 с обеих сторон, получаем:

.

В-третьих, прибавляем

к обеим сторонам, получаем:.

Упрощаем правую часть:

, г.

, г.

.

Далее, записываем левую часть как алгебраическое тождество, получаем:

.

В-пятых, извлекаем квадратный корень из обеих частей, получаем:

.

В-шестых, отнимаем

с обеих сторон, получаем:.

И поэтому у нас есть два решения уравнения второй степени

, решениями являются:

.

Геометрическое решение

, мы можем построить график функции

, и мы ищем значения, используя программное обеспечение для построения графиков или графический калькулятор.

Построив график функции

, мы получим график, представляющий собой параболу, решение уравнения эквивалентно определению значения для точек пересечения графика с осью x.Есть три случая:

На следующем рисунке показаны три возможных случая:

Решение уравнений третьей степени

Определение

Мы называем уравнением третьей степени или кубическим уравнением, каждое упрощенное уравнение имеет следующую стандартную форму:

, где

,,, и — действительные числа, отличные от 0.

Это называется уравнением третьей степени, потому что наибольшая степень

в этом уравнении равна 3 (т. Е.).

Решение уравнения третьей степени

По количеству возможных решений, в отличие от уравнений первой и второй степени, уравнение третьей степени имеет по крайней мере одно решение.Алгебраически причина в том, что член с наивысшей степенью

, т.е. перерастает остальные члены и стремится к бесконечности с обеих сторон в зависимости от знака, что означает, что для очень малых отрицательных значений для () стремятся, а для очень больших положительные значения для () имеют тенденцию к (или наоборот, в зависимости от знака коэффициента члена), это означает переход от одной бесконечности к другой, пройдя через ноль хотя бы один раз. Возможны три случая: одно, два или три решения.

Для решения уравнения третьей степени было бы полезно знать одно решение (или корень) для начала. Зная одно решение (помните, что каждое кубическое уравнение имеет хотя бы одно решение), мы переходим к факторизации уравнения третьей степени в произведение многочлена первой степени (используя известное нам решение) на многочлен второй степени. На данный момент мы не знаем коэффициентов многочлена второй степени, поэтому мы выясняем их значение, а затем решаем уравнение второй степени и, следовательно, получаем решения уравнения третьей степени.

Для лучшего понимания давайте попробуем решить это уравнение:

, зная, что

— это решение.

Поскольку

является решением, то левая часть уравнения третьей степени может быть разложена на произведение полинома первой степени на полином второй степени, что означает, что мы можем записать уравнение в форме:

Теперь нам нужно найти значения

, и для этого мы используем первую развернутую форму полинома третьей степени, т.е.е.

, развернув левую часть, получим:

Поскольку обе стороны теперь находятся в стандартном виде, вычислить значения

, и. Все, что нам нужно сделать, это приравнять каждый коэффициент слева к соответствующему коэффициенту справа, другими словами:

Теперь определяем значения

и:

Итак, у нас

также

так

у нас есть

, заменив a на 1, мы находим так

Следовательно, имеем значения

,,.

, поэтому теперь факторизованная форма выглядит следующим образом:

Теперь осталось решить уравнение второй степени

, используя любой из методов, которые мы видели ранее, мы получаем два решения

Следовательно, уравнение

третьей степени имеет три различных решения, и уравнение может быть записано в факторизованной форме

.

Как мы упоминали ранее, есть три возможных случая для количества решений: одно, два или три решения, и, поскольку мы начинаем с известного решения, для определения количества решений приходит полином второй степени, и он выглядит следующим образом:

  • Если многочлен второй степени не имеет решения, то у нас есть только одно решение, с которого мы начали.
  • В случае, если многочлен второй степени имеет одно решение (удвоенный корень), то для уравнения третьей степени у нас есть всего два решения: одно, с которого мы начали, и одно, полученное от многочлена второй степени.
  • Если многочлен второй степени имеет два различных решения, то у нас есть всего три решения: одно, с которого мы начали, плюс два из многочлена второй степени.

Обратите внимание, что в случае, если константа

в стандартной форме третьего уравнения равна нулю, это означает, что уравнение имеет вид

мы знаем, что

— это решение, поскольку каждый член имеет

, следовательно, нам не нужно проходить весь процесс, чтобы определить коэффициенты второй степени, мы просто берем

в качестве фактора и получаем нашу факторизованную форму следующим образом

с

, а они уже известны и определять их не нужно, поэтому приступаем непосредственно к решению уравнения второй степени.

Пример:

решим уравнение

, так как константы нет, мы берем

в качестве множителя.

Мы знаем, что

является решением, поэтому приступаем к решению уравнения второй степени

, используя один из методов, показанных перед получением двух решений

или.

Мы заключаем, что уравнение

имеет три решения, и факторизованная форма имеет вид.

геометрическое решение

Геометрически причина, по которой уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение, заключается в том, что график переходит от

к или наоборот (от к), и поэтому мы уверены, что график пересекается с осью x по крайней мере один раз.

Чтобы решить уравнение третьей степени, мы можем построить график функции

, и мы ищем, какие значения, с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.

Решение уравнения эквивалентно определению значения

для точки пересечения графика и оси x. Возможны три случая:
  1. График пересекается только в одной точке с осью абсцисс, поэтому уравнение имеет только одно решение.
  2. График имеет две точки пересечения с осью x, поэтому уравнение имеет два различных решения (одно из них удваивается).
  3. График пересекается с осью x в трех точках, поэтому уравнение имеет три различных решения.

На следующем рисунке показаны различные возможные случаи.

Заключение

В заключение, знание этих методов решения может упростить, упростить и упростить процесс решения уравнений первой, второй и третьей степени за счет четких шагов.

Вы хотите повеселиться! Посмотрите на график ниже и посмотрите, как графики меняются в зависимости от значений коэффициентов. Отметьте тип уравнения, которое вы хотите отобразить (одно или несколько), затем проведите пальцем, чтобы изменить значения

,, и посмотрите, как графики меняются динамически. Наслаждаться!

Formula’s (Многочлены) (класс 10) — Mathomania

  1. Степень полинома = наибольшая степень переменной
  2. Линейный полином — Степень = 1
    Пример: — 2x + 3 = 0 или 3x + 5y = 8
    График линейной оси всегда представляет собой прямую линию, пересекающую ось x точно в 1 точке.2 + cx + d = 0
    График кубического уравнения также представляет собой кривую, имеющую 2 поворота и пересекающую ось x в 3 точках. Эти 3 точки пересечения известны как корни кубического уравнения. Существуют три корня кубического уравнения, заданные как α (Альфа), β (Бета) и γ (Гамма).

    α + β + γ = -b / a, т.е. сумма корней = -b / a
    α β + β γ + αγ = c / a, т.е. произведения корней, взятых по 2 за раз = c / a
    αβγ = -d / a ie Произведение корней = -d / a

Кубическое уравнение можно также записать как: —
x ^ 3- (сумма корней) x ^ 2 + (произведение корней, взятых по 2 за раз) x + произведение корней = 0

5. 2 и так далее …….

Полиномиальные тождества

Когда у нас есть сумма (разность) двух или трех чисел в степени 2 или 3 и нам нужно снять скобки, мы используем полиномиальные тождества
(короткие формулы умножения) :

(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
(x — y) 2 = x 2 — 2xy + y 2

Пример 1: Если x = 10, y = 5a
(10 + 5a) 2 = 10 2 + 2 · 10 · 5a + (5a) 2 = 100 + 100a + 25a 2

Пример 2: если x = 10 и y равно 4
(10-4) 2 = 10 2 — 2 · 10 · 4 + 4 2 = 100 — 80 + 16 = 36

Верно и обратное:
25 + 20a + 4a 2 = 5 2 + 2 · 2 · 5 + (2a) 2 = (5 + 2a) 2

Последствия вышеуказанных формул:

(-x + y) 2 = (y — x) 2 = y 2 — 2xy + x 2
(-x — y) 2 = (- (x + y)) 2 = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Формулы 3 степени:

(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
(x — y) 3 = x 3 — 3x 2 y + 3xy 2 — y 3

Пример: (1 + 2 ) 3 = 1 3 + 3. 1 2 .a 2 + 3.1. (A 2 ) 2 + (a 2 ) 3 = 1 + 3a 2 + 3a 4 + a 6

(x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 — 2xy — 2xz + 2yz

Фактор Правила

x 2 — y 2 = (x — y) (x + y)

x 2 + y 2 = (x + y) 2 — 2xy
или
x 2 + y 2 = (x — y) 2 + 2xy

Пример: 9a 2 — 25b 2 = (3a) 2 — (5b) 2 = (3a — 5b) (3a + 5b)

x 3 — y 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2 )
x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 — ху + у 2 )


Если n натуральное число

x n — y n = (x — y) (x n-1 + x n-2 y +. 2 + 20 $


3) Решите уравнение: x 2 -25 = 0
Решение: x 2 -25 = (x — 5) (x + 5)
=> мы должны решить следующие 2 уравнения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
, поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5.

Связанные ресурсы:

Викторина о полиномиальных тождествах

Упрощение полиномиальных выражений — проблемы с решениями

Факторинговые полиномы — проблемы с решениями

Полиномиальные тождества на форуме

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *