Развернутый угол это в геометрии: Что такое развёрнутый угол? Ответ на webmath.ru

Содержание

Как выглядит развернутый угол. Развернутый угол в геометрии. Задачи с развернутыми углами

Лекция: Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

Мерой угла называют величину, на которую отклоняется некоторый луч относительно первоначального положения.

Мера угла может измеряться двумя величинами: градусами и радианами, отсюда и название единиц – градусная и радианная мера угла.

Градусная мера угла

Градусная мера дает возможность оценить, какое количество градусов, минут или секунд помещается в тот или иной угол.

Расчет углов в градусах производится с точки зрения того, что полный поворот луча – это 360°. Половина поворота 180° — развернутый угол, четверть – 90° — прямой угол и т.д.


Радианная мера угла

А теперь давайте же разберемся, что такое радианная мера угла. Как известно из физики, существуют дополнительные единицы. Например, для измерения температуры основной единицей являются Кельвины, а дополнительной градусы Цельсия.

Для измерения длины мы используем метры, а англичане используют футы. Данный список можно продолжать и далее. Смысл в том, чтобы Вы поняли, что, кроме градусной меры измерения угла, существует радианная мера, которая так же имеет право на существование.

Для определения радианной меры угла используют окружность. Считается, что радианная мера – это длина дуги окружности, описанная центральным углом.

Напомним, что центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а лучи опираются на некоторую дугу.

Итак, угол в 1 рад имеет градусную меру в 57,3°. Радианная мера угла описывается либо натуральными числами, или же с использованием числа π ≈ 3,14.

Для геометрии удобнее использовать градусную меру угла, однако для тригонометрии используют радианную меру.

«Основные понятия геометрии» — Признак равенства треугольника. Отрезки. Геометрия. Смежные и вертикальные углы. Построение параллельных прямых. Построение треугольника. Выводы. Прямые параллельны.

Вершины. Простейшие геометрические фигуры. Какая фигура называется треугольником. Равные отрезки имеют равные длины. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей.

«Геометрия в таблицах» — Координаты точки и координаты вектора в пространстве Скалярное произведение векторов в пространстве Движение Цилиндр Конус Сфера и шар Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямой призмы и цилиндра Объем наклонной призмы Объем пирамиды Объем конуса Объем шара и площадь сферы. Таблицы геометрия.

«Геометрия 8 класс» — Каждое утверждение опирается на уже доказанные. У любого здания есть фундамент. Понятие теоремы. Аксиома -утверждение, истинность которых принимается без доказательств. Каждое математическое утверждение, получаемое путем логического доказательства, есть теорема. Так перебирая теоремы, можно добраться до аксиом.

«Геометрия это наука» — Геометрия состоит из двух разделов: планиметрии и стереометрии. Какая геометрическая фигура была отличительным знаком пифагорейцев? Какую форму, по мнению пифагорейцев, имела вся Вселенная? Ответ: 580 – 500 гг. до н. эры. Когда существовала Древняя Греция? Введение. Ответ: «Плоскомерие». Объяснение устройства мира пифагорейцы тесно связывали с геометрией.

«Геометрические термины» — Конус. Пирамида. Радиус и центр. Диагональ. Геометрия. Квадрат. Ромб. Куб. Трапеция. Возникновение геометрических терминов. Точка. Линия. Цилиндр. Гипотенуза и катет. Сфера. Призма. Из истории геометрических терминов.

«Что изучает геометрия» — Слово «параллельный» происходит от греческого «параллелос» — идти рядом. История геометрии. Преобразования в основном ограничивались подобием. L=(Р1+Р2)/2 L – длина окружности Р1 — периметр большого квадрата Р2 — периметр малого квадрата. Vпрям. Геометрия в Древней Греции. Муза геометрии, Лувр. Мы узнаем откуда пришла, и какой раньше была геометрия.

Всего в теме 24 презентации

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол — геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре — прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол — это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол — это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие — он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла — от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных — острого, тупого, прямого и развернутого — в геометрии существует много других их видов.

В этой статье будет рассматриваться одна из основных геометрических фигур — угол. После общего введения в это понятие мы уделим основное внимание отдельному виду такой фигуры. Развернутый угол — важное понятие геометрии, которое и будет основной темой этой статьи.

Введение в понятие геометрического угла

В геометрии существует ряд объектов, которые составляют основу всей науки. Угол как раз относиться к ним и определяется с помощью понятия луча, поэтому начнем именно с него.

Также перед тем, как приступать к определению самого угла, нужно вспомнить о нескольких не менее важных объектах в геометрии — это точка, прямая на плоскости и собственно сама плоскость. Прямой называют самую простую геометрическую фигуру, у которой нет ни начала, ни конца. Плоскостью — поверхность, которая имеет два измерения. Ну и луч (или же полупрямая) в геометрии — это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.

Используя данные понятия, можем составить утверждение, что углом является геометрическая фигура, которая полностью лежит в некоторой плоскости и состоит из двух несовпадающих лучей с общим началом. Такие лучи называются сторонами угла, а общее начало сторон — это его вершина.

Виды углов и геометрии

Мы знаем о том, что углы могут быть совсем разными. А потому немного ниже будет приведена небольшая классификация, которая поможет лучше разобраться в видах углов и их главных особенностях. Итак, существует несколько видов углов в геометрии:

  1. Прямой угол. Он характеризируется величиной в 90 градусов, а значит, его стороны всегда перпендикулярны между собой.
  2. Острый угол. К таким углам относятся все их представители, имеющие размер меньше 90 градусов.
  3. Тупой угол. Здесь же могут быть все углы с величиной от 90 до 180 градусов.
  4. Развернутый угол. Имеет размер строго 180 градусов и внешне его стороны составляют одну прямую.

Понятие развернутого угла

Теперь давайте рассмотрим развернутый угол более подробно. Это тот случай, когда обе стороны лежат на одной прямой, что можно четко увидеть на рисунке немного ниже. Значит, мы можем с уверенностью сказать, что у развернутого угла одна из его сторон по сути есть продолжением другой.

Стоит запомнить тот факт, что такой угол всегда можно разделить с помощью луча, который выходит из его вершины. В результате мы получим два угла, которые в геометрии называются смежными.

Также развернутый угол имеет несколько особенностей. Для того, чтобы рассказать о первой из них, нужно вспомнить понятие «биссектриса угла». Напомним, что это луч, который делит любой угол строго пополам. Что касается развернутого угла, то его биссектриса разделяет его таким образом, что образуется два прямых угла по 90 градусов. Это очень легко просчитать математически: 180˚ (градус развернутого угла) : 2 = 90˚.

Если же разделять развернутый угол совсем произвольным лучом, то в результате мы всегда получаем два угла, один из которых будет острым, а другой — тупым.

Свойства развернутых углов

Будет удобно рассматривать этот угол, собрав воедино все его главные свойства, что мы и сделали в данном списке:

  1. Стороны развернутого угла антипараллельны и составляют прямую.
  2. Величина развернутого угла всегда составляет 180˚.
  3. Два смежных угла вместе всегда составляют развернутый угол.
  4. Полный угол, который составляет 360˚, состоит из двух развернутых и равен их суме.
  5. Половина развернутого угла — это прямой угол.

Итак, зная все эти характеристики данного вида углов, мы можем использовать их для решения ряда геометрических задач.

Задачи с развернутыми углами

Для того, чтобы понять, усвоили ли вы понятие развернутого угла, попытайтесь ответить на несколько следующих вопросов.

  1. Чему равен развернутый угол, если его стороны составляют вертикальную прямую?
  2. Будут ли два угла смежными, если величина первого 72˚, а другого — 118˚?
  3. Если полный угол состоит из двух развернутых, то сколько в нем прямых углов?
  4. Развернутый угол разделили лучом на два таких угла, что их градусные меры относятся как 1:4. Вычислите полученные углы.

Решения и ответы:

  1. Как бы ни был расположен развернутый угол, он всегда по определению равен 180˚.
  2. Смежные углы имеют одну общую сторону. Поэтому, чтобы вычислить размер угла, который они составляю вместе, нужно просто прибавить значение их градусных мер. Значит, 72 +118 = 190. Но по определению развернутый угол составляет 180˚, а значит, два данных угла не могут быть смежными.
  3. Развернутый угол вмещает два прямых угла. А так как в полном имеется два развернутых, значит, прямых в нем будет 4.
  4. Если мы назовем искомые углы а и b, то пусть х — это коэффициент пропорциональности для них, а это значит, что а=х, и соответственно b=4х. Развернутый угол в градусах равен 180˚. И согласно своим свойствам, что градусная мера угла всегда равна сумме градусных мер тех углов, на которые он разбивается любым произвольным лучом, что проходит между его сторонами, можем сделать вывод, что х + 4х = 180˚, а значит, 5х = 180˚. Отсюда находим: х=а=36˚ и b = 4х = 144˚. Ответ: 36˚ и 144˚.

Если у вас получилось ответить на все эти вопросы без подсказок и не подглядывая в ответы, значит вы готовы переходить к следующему уроку по геометрии.

что это такое, как выглядит и обозначается, сколько радиан и градусов

Что такое развёрнутый угол — понятие и обозначение

Определение

Развернутым называют угол со сторонами, лежащей на одной прямой.

Стороны развернутого угла взаимно дополняют друг друга. В результате получается прямая линия. Таким образом, стороны данной геометрической фигуры представляют собой дополнительные лучи. К примеру, на рисунке изображен ∠CDK, который является развернутым. Точка D служит его вершиной, лучи, обозначенные, как DK и DC – сторонами ∠CDK.

 

Решить задачу, в которой требуется начертить развернутый угол достаточно просто. Необходимо нарисовать прямую линию и поставить на ней отметку в виде точки, которая будет являться вершиной. Существует другой способ. В начале на плоскости отмечают произвольную точку. Данная отметка будет принята за вершину угла. Если через нее прочертить прямую линию, то получится развернутый угол. Схематично оба способа представлены на рисунке.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

 

Определить, является ли угол развернутым, тупым или острым можно с помощью ряда признаков.

Основные свойства развернутого угла:

  1. Стороны геометрической фигуры являются антипараллельными и складываются в прямую линию.
  2. Развернутый угол в любом случае, независимо от способа начертания, будет составлять 180 градусов.
  3. Если соединить вместе пару смежных углов, то полученная фигура будет выглядеть, как развернутый угол.
  4. В случае, когда соединяют пару развернутых углов, в результате получают полный угол в 360 градусов, который равен сумме этих углов.
  5. Прямой угол является половиной развернутого угла.

Геометрические фигуры с развернутыми углами

В геометрии производя некоторые манипуляции с развернутыми углами, можно получить новые фигуры. К примеру, если такую геометрическую фигуру разделить лучом на два угла, то полученные углы называют смежными. Такие элементы изображены на рисунке.

 

∠ABD  в данном случае является развернутым углом, а ВС представляет собой луч. Таким образом, углы ∠ABС и ∠CBD — смежные углы.

С помощью биссектрисы можно разделить представленную фигуру на два прямых угла. Наглядно данный метод получения геометрических фигур продемонстрирован на рисунке. {0}\)

Как выглядят острые и тупые углы. Острый угол. Введение в понятие геометрического угла

26 июня 2013

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является геометрической фигурой. Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол — геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре — прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол — это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера тупого угла всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол — это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить смежные углы, проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие — он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла — от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных — острого, тупого, прямого и развернутого — в геометрии существует много других их видов.

Источник: fb.ru

Актуально

Разное
Разное

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Навигация по странице.

Определение угла.

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a . Пусть O – некоторая точка прямой a . Точка O разделяет прямую a на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О называется лучом , а точка О называется началом луча . Еще можно услышать, что луч называют полупрямой .

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p или луч k ), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА или луч СD ). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Определение.

Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла , общее начало сторон угла называют вершиной угла .

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Определение.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым .

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k , а другая h ), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA , а вторая сторона угла OB ), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1 , 2 и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.


Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла , а другую – внешней областью угла . Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая — внешней.


Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Определение.

Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Определение.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.

Определение.

Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

Сравнение углов.

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными .


Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными , причем меньшим считается тот угол, который составляет часть другого (большим является тот угол, который полностью содержит другой угол).


Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение углов.

Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус .

Определение.

Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180 углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180 равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180 раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30 раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90 раз (половина развернутого угла).


Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Определение.

Минута – это одна шестидесятая часть градуса.

Определение.

Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600 секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17 градусов 3 минуты и 59 секунд, можно обозначить как .

Определение.

Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.

Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110 ), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180] (в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом . Угол меньший 90 градусов называется острым углом . Угол больший девяноста градусов называется тупым углом . Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90) , мера тупого угла – числом из интервала (90, 180) , прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.


Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ , который составляют углы АОС , СОD и DОВ , при этом .

Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам , так как они составляют развернутый угол.

Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ и СОD – вертикальные, то углы АОВ и ВОС — смежные и углы СОD и ВОС также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом . Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Определение.

Угол в один радиан – это центральный угол , которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA (как и радиуса OB ) равна длине дуги AB , поэтому, по определению угол AOB равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

Обозначение углов на чертеже.

На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.


Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.


Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

В этой статье будет рассматриваться одна из основных геометрических фигур — угол. После общего введения в это понятие мы уделим основное внимание отдельному виду такой фигуры. Развернутый угол — важное понятие геометрии, которое и будет основной темой этой статьи.

Введение в понятие геометрического угла

В геометрии существует ряд объектов, которые составляют основу всей науки. Угол как раз относиться к ним и определяется с помощью понятия луча, поэтому начнем именно с него.

Также перед тем, как приступать к определению самого угла, нужно вспомнить о нескольких не менее важных объектах в геометрии — это точка, прямая на плоскости и собственно сама плоскость. Прямой называют самую простую геометрическую фигуру, у которой нет ни начала, ни конца. Плоскостью — поверхность, которая имеет два измерения. Ну и луч (или же полупрямая) в геометрии — это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.

Используя данные понятия, можем составить утверждение, что углом является геометрическая фигура, которая полностью лежит в некоторой плоскости и состоит из двух несовпадающих лучей с общим началом. Такие лучи называются сторонами угла, а общее начало сторон — это его вершина.

Виды углов и геометрии

Мы знаем о том, что углы могут быть совсем разными. А потому немного ниже будет приведена небольшая классификация, которая поможет лучше разобраться в видах углов и их главных особенностях. Итак, существует несколько видов углов в геометрии:

  1. Прямой угол. Он характеризируется величиной в 90 градусов, а значит, его стороны всегда перпендикулярны между собой.
  2. Острый угол. К таким углам относятся все их представители, имеющие размер меньше 90 градусов.
  3. Тупой угол. Здесь же могут быть все углы с величиной от 90 до 180 градусов.
  4. Развернутый угол. Имеет размер строго 180 градусов и внешне его стороны составляют одну прямую.

Понятие развернутого угла

Теперь давайте рассмотрим развернутый угол более подробно. Это тот случай, когда обе стороны лежат на одной прямой, что можно четко увидеть на рисунке немного ниже. Значит, мы можем с уверенностью сказать, что у развернутого угла одна из его сторон по сути есть продолжением другой.

Стоит запомнить тот факт, что такой угол всегда можно разделить с помощью луча, который выходит из его вершины. В результате мы получим два угла, которые в геометрии называются смежными.

Также развернутый угол имеет несколько особенностей. Для того, чтобы рассказать о первой из них, нужно вспомнить понятие «биссектриса угла». Напомним, что это луч, который делит любой угол строго пополам. Что касается развернутого угла, то его биссектриса разделяет его таким образом, что образуется два прямых угла по 90 градусов. Это очень легко просчитать математически: 180˚ (градус развернутого угла) : 2 = 90˚.

Если же разделять развернутый угол совсем произвольным лучом, то в результате мы всегда получаем два угла, один из которых будет острым, а другой — тупым.

Свойства развернутых углов

Будет удобно рассматривать этот угол, собрав воедино все его главные свойства, что мы и сделали в данном списке:

  1. Стороны развернутого угла антипараллельны и составляют прямую.
  2. Величина развернутого угла всегда составляет 180˚.
  3. Два смежных угла вместе всегда составляют развернутый угол.
  4. Полный угол, который составляет 360˚, состоит из двух развернутых и равен их суме.
  5. Половина развернутого угла — это прямой угол.

Итак, зная все эти характеристики данного вида углов, мы можем использовать их для решения ряда геометрических задач.

Задачи с развернутыми углами

Для того, чтобы понять, усвоили ли вы понятие развернутого угла, попытайтесь ответить на несколько следующих вопросов.

  1. Чему равен развернутый угол, если его стороны составляют вертикальную прямую?
  2. Будут ли два угла смежными, если величина первого 72˚, а другого — 118˚?
  3. Если полный угол состоит из двух развернутых, то сколько в нем прямых углов?
  4. Развернутый угол разделили лучом на два таких угла, что их градусные меры относятся как 1:4. Вычислите полученные углы.

Решения и ответы:

  1. Как бы ни был расположен развернутый угол, он всегда по определению равен 180˚.
  2. Смежные углы имеют одну общую сторону. Поэтому, чтобы вычислить размер угла, который они составляю вместе, нужно просто прибавить значение их градусных мер. Значит, 72 +118 = 190. Но по определению развернутый угол составляет 180˚, а значит, два данных угла не могут быть смежными.
  3. Развернутый угол вмещает два прямых угла. А так как в полном имеется два развернутых, значит, прямых в нем будет 4.
  4. Если мы назовем искомые углы а и b, то пусть х — это коэффициент пропорциональности для них, а это значит, что а=х, и соответственно b=4х. Развернутый угол в градусах равен 180˚. И согласно своим свойствам, что градусная мера угла всегда равна сумме градусных мер тех углов, на которые он разбивается любым произвольным лучом, что проходит между его сторонами, можем сделать вывод, что х + 4х = 180˚, а значит, 5х = 180˚. Отсюда находим: х=а=36˚ и b = 4х = 144˚. Ответ: 36˚ и 144˚.

Если у вас получилось ответить на все эти вопросы без подсказок и не подглядывая в ответы, значит вы готовы переходить к следующему уроку по геометрии.

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а две другие стороны составляют прямую линию:

Углы MOP и PON смежные, так как луч OP — общая сторона, а две другие стороны — OM и ON составляют прямую.

Общая сторона смежных углов называется наклонной к прямой , на которой лежат две другие стороны, только в том случае, когда смежные углы не равны между собой. Если смежные углы равны, то их общая сторона будет перпендикуляром .

Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла дополняют до прямых линий стороны другого угла:

Углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 — вертикальные.

Вертикальные углы равны.

Докажем, что вертикальные углы равны:

Сумма ∠1 и ∠2 составляет развёрнутый угол. И сумма ∠3 и ∠2 составляет развёрнутый угол. Значит, эти две суммы равны:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

В этом равенстве слева и справа есть по одинаковому слагаемому — ∠2. Равенство не нарушится, если это слагаемое в левой и в правой части опустить. Тогда мы получаем.

Острый угол это угол градусная мера которого до 90 градусов.

Прямой угол это угол градусная мера которого 90 градусов

Тупой угол это угол градусная мера которого больше 90 градусов. Острый угол — это угол меньше 90°. Тупой угол — это угол больше 90°, но меньше 180°. Прямой угол — это угол = 90°.

20. Какие углы называются смежными? Чему равна их сумма?

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая) . Сумма смежных углов равна 180°. Или

Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами. сумма смежных углов равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

21. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают?

Вертикальные углы — два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны. (Вертикальными называются углы, образованные пересекающимися прямыми и не являющиеся прилегающими друг к другу, то есть общей стороны у них нет, но вертикальные углы имеют вершину в одной точке. Вертикальные углы равны между собой).

22. Какие прямые называются перпендикулярными? Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Или Перпендикулярные прямые это прямые пересекающиеся под углом 90 градусов. Или Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

23. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой. Что такое основание перпендикуляра? называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.

24. Что такое теорема и доказательство теоремы? В математике утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а само рассуждение – доказательством теоремы.

Теоре́ма — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод) . В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые, в рамках конкретной теории, принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований. Доказательство — это утверждение, объясняющее теорему. Теорема — такая гипотеза, которую требуется доказать;Гипотеза всегда требует доказательства. Доказательство — доводы, подтверждающие действенность, правильность теоремы.

определение угла, измерение углов, обозначения и примеры. Развернутый и неразвернутый угол

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол — геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре — прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол — это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол — это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие — он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла — от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т. е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных — острого, тупого, прямого и развернутого — в геометрии существует много других их видов.

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух различных лучей, исходящих из одной точки. В данном случае, эти лучи называются сторонами угла. Точка, являющаяся началом лучей, называется вершиной угла. На рисунке вы можете увидеть угол с вершиной в точке О , и сторонами k и m .

На сторонах угла отмечены точки А и С. Этот угол можно обозначить как угол AOC. В середине обязательно должно стоять название точки, в которой находится вершина угла. Также существуют и другие обозначения, угол О или угол km. В геометрии вместо слова угол часто пишут специальный значок.

Развернутый и неразвернутый угол

Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. То есть одна сторона угла является продолжением другой стороны угла. На рисунке нижк представлен развернутый угол О.

Следует отметить, что любой угол, разделяет плоскость на две части. Если угол не является развернутым, то одна из частей называется внутренней областью угла, а другая внешней областью этого угла. На рисунке ниже представлен неразвернутый угол и отмечены внешняя и внутренняя области этого угла.

В случае с развернутым углом любую из двух частей, на которые он делит плоскость, можно считать внешней областью угла. Можно говорить о положении точки относительно угла. Точка может лежать вне угла (во внешней области), может находится на одной из его сторон, либо может лежать внутри угла (во внутренней области).

На рисунке ниже, точка А лежит вне угла О, точка B лежит на одной из сторон угла, а точка С лежит внутри угла.

Измерение углов

Для измерения углов существует прибор называемый транспортиром. Единицей измерения угла является градус . Следует отметить, что каждый угол имеет определенную градусную меру, которая больше нуля.

В зависимости от градусной меры углы делятся на несколько групп.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы обозначаются румбами .

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Развернутый угол» в других словарях:

    Угол, равный двум прямым. *РАЗВЕРТКА поверхности фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. Развертка кривой см. Эвольвента … Большой Энциклопедический словарь

    угол — ▲ разность направление (в пространстве) угол протяженность поворота от одного направления к другому; разность направлений; часть полного оборота (# наклона. образовывать #). наклон. наклонный. отклонение. уклониться (дорога уклонилась вправо). … …

    Угол — Углы: 1 общего вида; 2 смежные; 3 прилежащие; 4 вертикальные; 5 развернутый; 6 прямой, острый и тупой; 7 между кривыми; 8 между прямой и плоскостью; 9 между скрещивающимися прямыми (не лежащими в одной плоскостью) прямыми. УГОЛ, геометрическая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    Геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Лучи наз. сторонами У., а их общее начало вершиной У. Пусть [ ВА),[ ВС) стороны угла, В его вершина, плоскость, определяемая сторонами У. Фигура делит плоскость… … Математическая энциклопедия

    Угол, равный двум прямым. * * * РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ, угол, равный двум прямым … Энциклопедический словарь

    Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

    1) Замкнутая ломаная линия, именно: если различные точки, никакие последовательные три из к рых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков наз. многоугольником (см. рис. 1). М. могут быть пространственными или плоскими (ниже… … Математическая энциклопедия

    поперек — ▲ под углом максимум, косой угол поперечный. поперек под прямым углом. . прямой угол угол максимального отклонения; угол, равный своему смежному; четверть оборота. перпендикуляр. перпендикулярный находящийся под прямым углом. перпендикулярно.… … Идеографический словарь русского языка

    градус — а, м. 1) Единица измерения плоского угла, равная 1/90 прямого угла или соответственно 1/360 окружности. Угол в 90 градусов называется прямым углом. Развернутый угол составляет 180 градусов. 2) Единица измерения температурного интервала, имеющая… … Популярный словарь русского языка

    Теорема Шварца Кристоффеля важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном… … Википедия

«Основные понятия геометрии» — Признак равенства треугольника. Отрезки. Геометрия. Смежные и вертикальные углы. Построение параллельных прямых. Построение треугольника. Выводы. Прямые параллельны. Вершины. Простейшие геометрические фигуры. Какая фигура называется треугольником. Равные отрезки имеют равные длины. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей.

«Геометрия в таблицах» — Координаты точки и координаты вектора в пространстве Скалярное произведение векторов в пространстве Движение Цилиндр Конус Сфера и шар Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямой призмы и цилиндра Объем наклонной призмы Объем пирамиды Объем конуса Объем шара и площадь сферы. Таблицы геометрия.

«Геометрия 8 класс» — Каждое утверждение опирается на уже доказанные. У любого здания есть фундамент. Понятие теоремы. Аксиома -утверждение, истинность которых принимается без доказательств. Каждое математическое утверждение, получаемое путем логического доказательства, есть теорема. Так перебирая теоремы, можно добраться до аксиом.

«Геометрия это наука» — Геометрия состоит из двух разделов: планиметрии и стереометрии. Какая геометрическая фигура была отличительным знаком пифагорейцев? Какую форму, по мнению пифагорейцев, имела вся Вселенная? Ответ: 580 – 500 гг. до н. эры. Когда существовала Древняя Греция? Введение. Ответ: «Плоскомерие». Объяснение устройства мира пифагорейцы тесно связывали с геометрией.

«Геометрические термины» — Конус. Пирамида. Радиус и центр. Диагональ. Геометрия. Квадрат. Ромб. Куб. Трапеция. Возникновение геометрических терминов. Точка. Линия. Цилиндр. Гипотенуза и катет. Сфера. Призма. Из истории геометрических терминов.

«Что изучает геометрия» — Слово «параллельный» происходит от греческого «параллелос» — идти рядом. История геометрии. Преобразования в основном ограничивались подобием. L=(Р1+Р2)/2 L – длина окружности Р1 — периметр большого квадрата Р2 — периметр малого квадрата. Vпрям. Геометрия в Древней Греции. Муза геометрии, Лувр. Мы узнаем откуда пришла, и какой раньше была геометрия.

Всего в теме 24 презентации

Прямой и развернутый угол.

Чертежный треугольник. 5-й класс

— Ребята, сегодня мы продолжаем  изучать раздел математики, связанный с предметом геометрии.
Мы, когда изучали темы «Отрезок. Прямая. Луч» говорили, что в геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. И пусть девизом нашего сегодняшнего урока станет это четверостишье:

Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает –
Тот вечно хнычет и скучает.

— Итак, вы готовы быть внимательными и находчивыми?
— …
— Тогда,  начинаем.

Тема урока: ? ? ?
(Дети работают под диктовкой учителя)

— Отметьте в тетрадях две точки:  А и В.
-Соедините эти точки.
—  Назовите фигуру и дайте определение.
— Сделайте так, чтобы ваш отрезок превратился в луч.
— Что вы для  этого сделали? Что такое луч?
— Постройте 3 луча так, чтобы луч был направлен вверх, вниз, влево. Назовите эти лучи.
— Отметьте точку О.  Нарисуйте два луча ОВ, ОА выходящие из одной точки.
— Как вы думаете, какую геометрическую фигуру мы получили? Давайте попробуем дать определение этой фигуры.

УГЛОМ НАЗЫВАЮТ ФИГУРУ, ОБРАЗОВАННУЮ ДВУМЯ ЛУЧАМИ И ВЫХОДЯЩИМИ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ.

  — Обозначение угла:

 ПОМНИТЕ: при записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину.
.   
— Постройте  ∠АВС. Отметьте точки К, Р лежащие внутри угла, М, Т – лежащие вне угла, точку L на стороне ВА, точку Н на стороне ВС.

— Как сравнивать два угла?
— …
— Постройте  ∠МНК.
— Глядя на этот угол постройте угол больше (меньше) этого угла. Запишите ответ с помощью знака больше,  меньше.

— Постройте угол КОС. Проводите луч ОР так, чтоб он лежал ближе к стороне ОС. Сравните ∠ КОС и ∠РОС.

-Постройте луч ОВ, здесь же постройте луч ОА так, чтобы они лежали на одной прямой.  ∠АОВ называется развернутым.  

 — Попробуйте дать определение развернутого угла.

ДВА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДРУГ –ДРУГУ ЛУЧА ОБРАЗУЮТ РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ.

— Перед вами лежит лист бумаги. Давайте этот лист согнем в два раза пополам и развернем. Сколько углов образуют линии сгиба?
Каждый из этих углов прямой. Какой же угол называется прямым?

ПРЯМЫМ УГЛОМ НАЗЫВАЮТ ПОЛОВИНУ РАЗВЕРНУТОГО УГЛА.

 — В ваших треугольниках есть прямой угол? Если я попрошу вас построить прямой угол, вы построите? А как?
— …
Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником (рис. 167).

ЧТОБЫ ПОСТРОИТЬ ПРЯМОЙ УГОЛ, НУЖНО:
1) построить луч ОА;
2) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;
3) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.
В итоге получится прямой угол.

— Постройте прямй угол ВОС.  Как еще можно обозначить этот угол? (запишите все обозначения угла)

 Ребята, как же мы озаглавим тему нашего урока?

ТЕМА УРОКА: « Угол. Развернутый и прямой угол. Чертежный треугольник»

Что нового мы узнали на уроке?
….
ЦЕЛЬ УРОКА:  …(ввести понятие угла, его элементов, научить строить углы, давать им названия, сравнивать углы, прививать интерес к предмету.)

Закрепление.

— Откройте учебники стр.339. Отвечаем на вопросы. Ответы находим с учебника.
— Устная работа по рисункам.
1) Назовите углы, изображенные на доске и запишите их обозначение.

2) Укажите, какие точки на рисунке лежат внутри угла, вне угла, на стороне ОК, на стороне ОМ.

3)  Изобразите  с помощью чертежного треугольника  3 прямых и 2 развернутых углов  в разных положениях.

4)  Посмотрите на часы. Когда часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол? (Прямой угол?)

Решить № 1588; 1587.

Домашнее задание: п. 41, №№ 1609, 1610.

Итог урока.

Как записать прямой угол. Развернутый, тупой, вертикальный и неразвернутый: виды углов геометрии

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения .

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч , а точка O – начало луча .

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым .

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .

Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла , другая – внешняя область угла . Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение 6

Два угла называют смежными , если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Определение 7

Два угла называют вертикальными , если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные .

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус .

Определение 8

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты.

Определение 9

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « » », а секунды « «» ». Имеет место обозначение:

1 ° = 60 » = 3600 «» , 1 » = (1 60) ° , 1 » = 60 «» , 1 «» = (1 60) » = (1 3600) ° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 » 59 «» .

Определение 11

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 » 59 «» . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.

Острый угол измеряется в интервале (0 , 90) , а тупой – (90 , 180) . Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны . Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С, С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом . Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой, с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В. По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Навигация по странице.

Определение угла.

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a . Пусть O – некоторая точка прямой a . Точка O разделяет прямую a на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О называется лучом , а точка О называется началом луча . Еще можно услышать, что луч называют полупрямой .

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p или луч k ), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА или луч СD ). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Определение.

Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла , общее начало сторон угла называют вершиной угла .

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Определение.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым .

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k , а другая h ), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA , а вторая сторона угла OB ), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1 , 2 и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.


Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла , а другую – внешней областью угла . Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая — внешней.


Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Определение.

Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Определение.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.

Определение.

Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

Сравнение углов.

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными .


Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными , причем меньшим считается тот угол, который составляет часть другого (большим является тот угол, который полностью содержит другой угол).


Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение углов.

Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус .

Определение.

Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180 углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180 равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180 раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30 раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90 раз (половина развернутого угла).


Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Определение.

Минута – это одна шестидесятая часть градуса.

Определение.

Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600 секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17 градусов 3 минуты и 59 секунд, можно обозначить как .

Определение.

Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.

Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110 ), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180] (в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом . Угол меньший 90 градусов называется острым углом . Угол больший девяноста градусов называется тупым углом . Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90) , мера тупого угла – числом из интервала (90, 180) , прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.


Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ , который составляют углы АОС , СОD и DОВ , при этом .

Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам , так как они составляют развернутый угол.

Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ и СОD – вертикальные, то углы АОВ и ВОС — смежные и углы СОD и ВОС также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом . Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Определение.

Угол в один радиан – это центральный угол , которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA (как и радиуса OB ) равна длине дуги AB , поэтому, по определению угол AOB равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

Обозначение углов на чертеже.

На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.


Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.


Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

Что такое угол?

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160).
Лучи, образующие угол , называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла.
На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОБ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой — названием его вершины.

Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О».

Вместо слова «угол» пишут знак .

Например, AОВ, O.

На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и У лежат вне этого угла, а точки М и Н — на сторонах угла.

Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения.

Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.

Например, на рисунке 162 ABC = MNK.

Из вершины угла СОК (рис. 163) проведен луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла — СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК.

Пишут: COP

Прямой и развернутый угол

Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла (рис. 164).

Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 ч развернутый угол (рис. 165).

Согнем два раза пополам лист бумаги, а потом развернем его (рис. 166).

Линии сгиба образуют 4 равных угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.

Прямым углом называют половину развернутого угла.

Чертежный треугольник



Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником (рис. 167). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОЛ, надо:

а) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;

б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.

В результате получим прямой угол АОВ.

Вопросы к теме

1.Что такое угол?
2.Какой угол называют развернутым?
3.Какие углы называют равными?
4.Какой угол называют прямым?
5.Как строят прямой угол с помощью чертежного треугольника?

Нам с вами уже известно, что любой угол делит плоскость на две части. Но, в случае, если у угла его обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. То есть, у развернутого угла одна его сторона является продолжением его другой стороны угла.

Теперь давайте посмотрим на рисунок, на котором как раз и изображен развернутый угол О.


Если мы возьмем и проведем из вершины развернутого угла луч, то он разделит данный развернутый угол еще на два угла, которые будут иметь одну общую сторону, а другие два угла будут составлять прямую. То есть, с одного развернутого угла мы получили два смежных.

Если мы возьмем развернутый угол и проведем биссектрису, то эта биссектриса разделит развернутый угол на два прямых угла.

А, в том случае, если мы из вершины развернутого угла проведем произвольный луч, который не является биссектрисой, то такой луч разделит развернутый угол на два угла, один из которых будет острым, а другой тупым.

Свойства развернутого угла

Развернутый угол обладает такими свойствами:

Во-первых, стороны развёрнутого угла являются антипараллельными и образуют прямую;
во-вторых, развернутый угол равен 180°;
в-третьих, два смежных угла образуют развернутый угол;
в-четвертых, развернутый угол составляет половину полного угла;
в-пятых, полный угол будет равен сумме двух развёрнутых углов;
в-шестых, половина развернутого угла составляет прямой угол.

Измерение углов

Чтобы измерить любой угол, для этих целей чаще всего используют транспортир, у которого единица измерения равна одному градусу. При измерении углов следует помнить, что любой угол имеет свою определенную градусную меру и естественно эта мера больше нуля. А развернутый угол, как нам уже известно, равен 180 градусам.

То есть, если мы с вами возьмем любую плоскость круга и разделим ее радиусами на 360 равных частей, то 1/360 часть данного круга будет являться угловым градусом. Как вы уже знаете, что градус обозначается определенным значком, который имеет такой вид: « ° ».

Теперь мы также знаем, что один градус 1° = 1/360 части круга. Если угол равен плоскости круга и составляет 360 градусов, то такой угол является полным.

А теперь мы возьмем, и плоскость круга поделим с помощью двух радиусов, лежащих на одной прямой линии, на две равные части. То в этом случае, плоскость полукруга составит половину полного угла, то есть 360: 2 = 180°. Мы с вами получили угол, который равен полуплоскости круга и имеет 180°. Это и есть развернутый угол.

Практическое задание

1613. Назовите углы, изображенные на рисунке 168. Запишите их обозначения.


1614. Начертите четыре луча: ОА, ОВ, ОС и OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи. На сколько частей эти лучи делят плоскость ?

1615. Укажите, какие точки на рисунке 169 лежат внутри угла КОМ, Какие точки лежат вне этого угла? Какие точки лежат на стороне OK, a какие — на стороне ОМ?

1616. Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.

1617. Минутная стрелка за 10 мин повернулась на угол АОВ, за следующие 10 мин — на угол ВОС, а еще за 15 мин — на угол COD. Сравните углы АОВ и ВОС, ВОС и COD, АОС и АОВ, АОС и COD (рис. 170).

1618. Изобразите с помощью чертежного треугольника 4 прямых угла в разных положениях.

1619. С помощью чертежного треугольника найдите на рисунке 171 прямые углы. Запишите их обозначения.

1620. Укажите прямые углы в классной комнате.

а) 0,09 200; б) 208 0,4; в) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Сколько процентов от 400 составляет число 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Найдите пропущенное число:

а) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Начертите квадрат, сторона которого равна длине 10 клеток тетради. Пусть этот квадрат изображает поле. Рожь занимает 12% поля, овес — 8%, пшеница — 64%, а остальная часть поля занята гречихой. Покажите на рисунке часть поля, занятую каждой культурой. Сколько процентов поля занимает гречиха?

1632. За учебный год Петя израсходовал 40% купленных в начале года тетрадей, и у него осталось 30 тетрадей. Сколько тетрадей было куплено для Пети в начале учебного года?

1633. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

1634. Построенный в древности Александрийский маяк, который называли одним из семи чудес света, выше башен Московского Кремля в 1,7 раза, но ниже здания Московского университета на 119 м. Найдите высоту каждого из этих сооружений, если башни Московского Кремля на 49 м ниже Александрийского маяка.

1635. Найдите с помощью микрокалькулятора:

а) 4,5% от 168; в) 28,3% от 569,8;
б) 147,6% от 2500; г) 0,09% от 456 800.

1636. Решите задачу:

1) Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день — 35% огорода. Сколько аров осталось еще вскопать?

2) У Сережи было 4,8 ч свободного времени. 35% этого времени он потратил на чтение книги, а 40% на просмотр передач по телевизору. Сколько времени у него еще осталось?

1637. Выполните действия:

1) ((23,79: 7,8 — 6,8: 17) 3,04 — 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 — 6,6) : ((4,8 — 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638. Начертите угол ВАС и отметьте по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла.

1639. Какие из отмеченных на рисунке 172 точек лежат внутри угла АМК.Какая точка лежит внутри угла АМВ> но вне угла АМК.Какие точки лежат на сторонах угла АМК?

1640. Найдите с помощью чертежного треугольника прямые углы на рисунке 173.

1641. Постройте квадрат со стороной 43 мм. Вычислите его периметр и площадь.

1642. Найдите значение выражения:

а) 14,791: а + 160,961: b, если а = 100, b = 10;
б) 361,62с + 1848: d, если с = 100, d =100.

1643. Рабочий должен был изготовить 450 деталей. В первый день он изготовил 60% деталей, а остальные — во второй. Сколько деталей изготовил рабочий во второй день?

1644. В библиотеке было 8000 книг. Через год число их увеличилось на 2000 книг. На сколько процентов увеличилось число книг в библиотеке?

1645. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день — 46% пути, а в третий — остальные 450 км. Сколько километров проехали эти грузовики?

1646. Найдите, сколько составляют:

а) 1% от тонны; в) 5% от 7 т;
б) 1% от литра; г) 6% от 80 км.

1647. Масса детеныша моржа в 9 раз меньше массы взрослого моржа. Какова масса взрослого моржа, если вместе с детенышем их масса равна 0,9 т?

1648. Во время маневров командир оставил 0,3 всех своих солдат охранять переправу, а остальных разделил на 2 отряда для обороны двух высот. В первом отряде было в 6 раз больше солдат, чем во втором. Сколько солдат было в первом отряде, если всего было 200 солдат?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы обозначаются румбами .

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Полный угол» в других словарях:

    Неузаконенная внесистемная ед. плоского угла. 1 П. у.= 2ПИ рад 6.283 185 рад (см. Радиан) … Большой энциклопедический политехнический словарь

    Угол вертикальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется приборами центрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь

    Угол горизонтальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется ߑؐѐޑАܐؠцентрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь

    полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора — полный механический угол поворота Полный угол поворота подвижной системы переменного резистора от упора до упора. Примечание Для резисторов, не имеющих упоров, полный механический угол равен максимальному углу между двумя положениями подвижной… … Справочник технического переводчика

    Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора — 52. Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора Полный механический угол поворота D. Mechanischer Drehwinkel E. Total mechanical rotation F. Course mécanique totale Полный угол поворота подвижной системы переменного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    УГОЛ — (1) атаки угол между направлением воздушного потока, набегающего на крыло самолёта, и хордой сечения крыла. От этого угла зависит значение подъёмной силы. Угол, при котором подъёмная сила максимальна, называется критическим углом атаки. У… … Большая политехническая энциклопедия

    УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь

    Элементы: Drop прыжок с высоты, выполняется с места или из позиции cat leap. Амортизировать падение можно только ногами, или ногами и руками (ну или одной рукой). Spring прыжок через какое либо препятствие, не касаясь его. Например, перелёт через … Википедия

    Идти в полную. Жарг. угол. Признаваться в совершении преступления. Балдаев 1, 169. Два полных, третий не целый. Новг. Ирон. О небольшом количестве людей где л. НОС 2, 76 …

    Жарг. угол. Одобр. Всё в порядке, дела идут хорошо. Б., 159; Быков, 202. /i> Вероятно, из идиш или иврита, где слово является оценкой высшего качества. Елистратов 1994, 537 … Большой словарь русских поговорок

С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура , что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты.

Вконтакте

Когда изучаются

Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам :

  • В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
  • В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.

Внимание! В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.

Определение и измерение

Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол в планиметрии.

Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:

  • вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита;
  • стороны – полупрямые, проведенные из вершины.

Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части :

  • внутренняя — в планиметрии не превышает 180 градусов;
  • внешняя.

Принцип измерения углов в планиметрии объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.

Важно! Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.

Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.

Основные виды

Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.

По величине

Учитывая величину, углы разделяют на:

  • развернутый;
  • прямой;
  • тупой;
  • острый.

Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.

Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?

180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам . Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.

Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.

Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми. По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.

Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.

Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.

Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии — «основное свойство измерения».

При разделении угла одним лучом или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.

На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.

Фигуры при пересечении прямых

Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.

Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов .

Элементы в треугольнике

Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними .

Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.

Пересечение двух прямых секущей

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых секущей также образуются углы , которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:

  • внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5;
  • внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6;
  • соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.

В том случае, когда секущая пересекает две

Конспект урока по геометрии развернутый угол

ИНФОРМАЦИОННАЯ КАРТА В СООТВЕТСТВИИ С ФГОС

УТВЕРЖДАЮ_________________

подпись учителя

«___» ________________ 2016 г.

Ставят учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того,

что ещё неизвестно.

Познавательные

Умеют заменять термины определениями. Выделяют объекты и процессы с точки зрения целого и частей. Выполняют операции со знаками и символами. Устанавливают

причинно-следственные связи. Анализируют объект, выбирают, сопоставляют и

обосновывают способы решения задачи.

Коммуникативные

Обмениваются знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений. Проявляют готовность оказывать помощь и эмоциональную поддержку другим.

Развивают способность брать на себя инициативу.

6

Цель и задачи урока

Цель: ввести определение угла, его обозначения, графическую интерпретацию; определить виды углов в стандартных ситуациях, их особенности, основные характеристики; научить строить углы заданного вида по различным параметрам, сравнивать углы.

Задачи:
1.Образовательные: повторить правила построения углов и научить разным способам обозначения угла; ввести понятие развернутого угла; сформировать умение сравнивать углы наложением.

2.Развивающие: развитие способности конкретизировать теоретические знания при решении задач; развитие умения анализировать предложенный материал; развитие умения работы с текстовыми источниками информации; способствовать развитию монологической речи и диалога как формы обобщения и закрепления знаний

3.Воспитывающие: воспитание культуры математической речи; воспитание культуры математической записи при решении задач; воспитание культуры делового общения, сотрудничества.

7

Обоснование выбора содержания учебного материала, методов, форм работы на уроке

Продуктивный, системно- деятельностный подход. групповая, работа в парах, индивидуальная. Фронтальная работа, групповая технология, ИКТ.

8

Описание применяемых образовательных технологий, обоснование их использования

игровая, сотрудничества, ИКТ.

9

Средства

учебник, ПК, мультимедийный проектор, интерактивная доска, карточки с заданиями.

10

Ход урока

Дидактическая структура урока


Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

I.Организационный момент

Ребята, сегодня мы продолжаем изучать раздел математики, связанный с геометрией. Мы, когда изучали темы «Отрезок. Прямая. Луч» говорили, что в геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. И пусть девизом нашего сегодняшнего урока станет это четверостишье:

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает –

Тот вечно хнычет и скучает.

— Итак, вы готовы быть внимательными и находчивыми?

Да.

II.Подготовка к основному этапу занятия.

— Откройте тетради, запишите число. Отметьте в тетрадях две точки: А и В.

Соедините эти точки.

Назовите фигуру.

Сделайте так, чтобы ваш отрезок превратился в луч.

Что вы для этого сделали? Что такое луч? Назовите его.

Отметьте точку О. Нарисуйте два луча ОВ, ОА выходящие из одной точки.

Как вы думаете, какую геометрическую фигуру мы получили? (Угол).

Давайте попробуем дать определение этой фигуры.

УГЛОМ НАЗЫВАЮТ ФИГУРУ, ОБРАЗОВАННУЮ ДВУМЯ ЛУЧАМИ И ВЫХОДЯЩИМИ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ.

Один ученик выходит к доске, остальные пишут в тетрадях

Ответы детей.

Угол

III.Усвоения знаний и способов действия.

IV. Первичная проверка понимания.

Итак, мы подошли к теме нашего урока. Как вы думаете, с какими геометрическими фигурами мы сегодня познакомимся?

Ученики записывают тему урока, находят в учебнике определение угла,

Ребята, а каковы же цели нашего урока?

Давайте вспомним, какие бывают углы?

Задание 1.(на слайде)

-На сколько частей угол делит плоскость?

— На две части: внутренняя и внешняя.

С помощью учебника назовите точки, лежащие внутри угла

Какие углы будем называть равные?

Взяли листы с заданиями.

1. Постройте угол КОС. Проводите луч ОР внутри угла КОС так, чтобы он лежал ближе к стороне ОС. Сравните ∠ КОС и ∠РОС.

2. Постройте лучи ОВ и ОА так, чтобы они лежали на одной прямой.

3. Постройте три прямых угла в разных положениях.

Проверьте себя.

Взгляните на экран. Задание 1 (Слайд презентации). Обратите внимание на запись, что один угол меньше другого.

В задании 2 у вас получился такой чертёж? Как можно назвать угол

АОВ? , Почему?

Попробуйте дать определение развернутого угла.

ДВА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДРУГ – ДРУГУ ЛУЧА ОБРАЗУЮТ

РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ.

Стрелки часов образуют развёрнутый угол. Назовите время, при котором стрелки образуют развёрнутый угол.

Поставьте + или – напротив выполненного задания. А что с Заданием 3?

Как проверить, что вы выполнили задание правильно?

1. Как обозначается луч?

2.Как называется точка О.?

3.Можно ли измерить длину луча?4.Почему?

1. Что делает точка, лежащая на прямой?

2. Как ты думаешь, как можно назвать лучи ОМ и ОN?

3. Постарайся объяснить, почему они получили название «дополнительные» или «противоположные»

4) Какие точки принадлежат прямой m , а какие не принадлежат.

Кто мне скажет определение угла?

Обозначается:

АВС или В ( можно СВА или  В ).

Читается «угол АВС или угол В» («угол СВА или угол В»)

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а точка, из которой они выходят – вершиной угла.

Отвечают.

Читают и записывают в тетради.


Узнать разновидности углов, научиться их строить, сравнивать. Пользоваться чертёжным треугольником.

Острые, прямые и тупые. Задание 1.

Стр 135, рис 86.

АОВ, вне угла, на сторонах угла.
Которые совпадают при наложении.

Презентация.

(∠АОВ называется развернутым)

Формулируют правило.

На слайде изображены прямые, лучи.

На слайде так же изображены лучи.

Угол — это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки

Лучи МК и МЕ – стороны угла КМЕ

М- вершина угла КМЕ ОА и ОД – стороны АОД ,О- вершина АОД

V.Закрепления изученного материала.

Рассмотри внимательно рисунок.

На нем изображены точки, которые принадлежат  АВС и не принадлежат АВС.Так, точки Р, Е, Д, К принадлежат  АВС, точки М, О не принадлежат АВС, причём точки Р, К лежат на сторонах  АВС.

Два дополнительных друг другу луча образуют развёрнутый угол.АОВ – развёрнутый угол или О – развёрнутый угол. Стороны развёрнутого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина.

ОА, ОВ – стороны развёрнутого угла

О – вершина развёрнутого угла

Работа с учебником рис 86, стр 135.

На слайде дано задание. Проверка на слайде.

3.9. Работа в группах с моделями углов (прямого, острого, тупого). Путем наложения сравниваются углы. Учащиеся делают выводы.

Обьяснение учителем как можно сравнить углы с помощью прозрачной плёнки.

Самостоятельно выполняют, проверка .

VI. Итог урока

Домашнее задание

Сегодня я узнал…

Я выполнял задания …

Я понял, что…

Теперь я могу…

Я научился…

Я приобрел…

У меня получилось…

Стр 137, №509,стр 136 №505.

Ответы учащихся.

Записывают домашнее задание.

Пример прямого угла

, мера и градусы | Как выглядит прямой угол? — Видео и стенограмма урока

Какова мера прямого угла?

Прямой угол, как следует из названия, подобен прямой линии. У него большой угол измерения, больше, чем тупой угол, с измерением {eq}180° {/eq}.

Пример прямого угла

Измерение угла {eq}180° {/eq} образует прямой угол между двумя пересекающимися линиями.Прямые углы можно образовать, поместив три точки на любую прямую, где каждая точка имеет значение координаты. Внешние точки составляют конечные точки двух отрезков прямой, а средняя точка создает вершину, в которой эти две прямые пересекаются с углом между ними {eq}180° {/eq}.

Прямые углы Факты

Изменение направления

Прямые углы также означают изменение направления. Представьте, что кто-то стоит на часах, показывающих 12:00. Повернувшись лицом к 6:00, был сделан поворот на {eq}180° {/eq}.Прямые углы измеряют это изменение направления. Вот откуда происходит фраза «полный разворот на 180», когда человек меняет свое мнение о чем-то или если он действительно поворачивается на {eq}180° {/eq}, чтобы посмотреть в другом направлении.

Полукруг

Прямые углы также могут представлять половину круга. Круги содержат в общей сложности {eq}360° {/eq}, а половина 360 – это 180 °, поэтому прямые углы составляют полукруг. Половина пиццы, например, имеет угол {eq}180° {/eq}, то есть прямой угол.Поскольку прямые углы представляют собой полукруг, если бы кто-то повернулся на {eq}180° {/eq}, он бы сделал половину оборота вокруг окружности. Если бы они повернули еще раз на {eq}180° {/eq}, они бы вернулись к тому, с чего начали, следовательно, поворот «совершит полный круг».

Дополнительные углы

Прямые углы могут состоять из двух или более углов. Поскольку сумма прямых углов равна {eq}180° {/eq}, другие углы, сумма измерений которых равна {eq}180° {/eq}, могут лежать в пределах прямого угла.Углы, образующие прямой угол, называются дополнительными углами . Например, два прямых угла, идущие друг к другу, образуют прямой угол, потому что каждый прямой угол имеет измерение {eq}90 ° {/eq}, что в сумме дает {eq}180 ° {/eq}. Эти прямые углы будут считаться дополнительными, поскольку они образуют прямой угол. Прямой угол может также состоять из прямого угла и двух острых углов или из тупого угла и острого угла. Если в сумме измерения угла составляют {eq}180° {/eq}, для создания прямого угла возможно множество различных комбинаций дополнительных углов.

Примеры прямого угла

Пример 1: Вечеринка с пиццей

Сюзи и идет к другу на вечеринку с пиццей. Сьюзи вегетарианка, поэтому ее друзья решают заказать половину пепперони и половину овощей. Когда пиццу доставили, они замечают, что пиццерия забыла предварительно нарезать их пиццу, поэтому решают помочь себе. Танака лезет первым и берет {eq}30° {/eq} ломтика овощей. Эми идет следом и берет ломтик овощей {eq}15° {/eq} и ломтик пепперони {eq}40° {/eq}.Ханна берет ломтик овоща {eq}40° {/eq}. Оливия любит мясо, поэтому она берет ломтик пепперони {eq}45° {/eq}, а Сэм берет ломтик пепперони {eq}30° {/eq} и {eq}20° {/eq}. кусочек овоща. Лаура берет ломтик овощей {eq}25° {/eq} и ломтик пепперони {eq}25° {/eq}.

A) Сколько овощной пиццы осталось вегетарианке Сьюзи, в градусах?

B) Любительница мяса Оливия хотела бы еще кусочек пепперони, еще что-нибудь осталось? Если да, то сколько (в градусах)?

Решения:

Поскольку пицца состоит наполовину из пепперони и наполовину из овощей, то каждая сторона будет иметь {eq}180° {/eq}.Суммируя измерения ломтиков овощей, оставшуюся часть пиццы можно найти, вычитая эту сумму из {eq}180° {/eq}. Это же можно сделать и с пепперони.

A ) Для овощей:

{экв}30° + 15°+ 40° + 20° + 25° = 130° {/экв}

Теперь эту сумму можно вычесть из {экв}180° { /eq}, чтобы найти оставшееся количество овощной пиццы:

{eq}180° {/eq} — {eq}130° = 50° {/eq}

Следовательно, существует {eq}50° {/ eq} ломтик овоща, оставленный для Сюзи.

B) Для пепперони:

{eq}40° + 45° + 30° + 25° = 135° {/eq}

Похоже, пиццы пепперони осталось больше. Чтобы узнать сколько, вычтите эту сумму из {eq}180° {/eq}:

{eq}180° {/eq} — {eq}135° = 45° {/eq}

Оставшийся ломтик пепперони составляет {экв}45° {/экв}.

Пример 2. Кусочки пазла

Джереми присматривает за своим младшим племянником Логаном. Он достает из коробки с игрушками Логана игру-головоломку. Головоломка состоит из нескольких разноцветных клиновидных фигур, состоящих из разных углов.Красный — {eq}15° {/eq}, оранжевый — {eq}45° {/eq}, желтый — {eq}60° {/eq}, зеленый — {eq}90 ° {/eq}, синий — {eq}120° {/eq}, а фиолетовый — {eq}150° {/eq}. Какие возможные комбинации кусочков головоломки может собрать Джереми, чтобы продемонстрировать Логану, что такое прямой угол?

Решение:

Так как прямой угол имеет размер {eq}180° {/eq}, то две или более частей, которые в сумме дают это измерение, образуют прямой угол.

Возможны две комбинации, одна из которых содержит красный, оранжевый и синий элементы:

{eq}15° {/eq} (красный) + {eq}45° {/eq} (оранжевый) + { eq}120° {/eq} (синий) {eq}= 180° {/eq}

Другая комбинация содержит желтый и синий фрагмент:

{eq}60° {/eq} (желтый) {eq} + 120° {/eq} (синий) {eq}= 180° {/eq}

Итоги урока

Каждый раз, когда две линии пересекаются друг с другом, между ними образуется угол. В геометрии существует множество различных типов углов в зависимости от величины угла.Эти углы включают следующее:

  • Тупой (>{eq}90° {/eq} & < {eq}180° {/eq})
  • Рефлекс (>{экв}180° {/экв})
  • Полный оборот (>{eq}360° {/eq})

Углы с размером ровно {eq}180° {/eq} классифицируются как прямых угла , поскольку они образуют прямую линию между пересекающимися лучами. Прямые углы могут быть образованы любыми тремя точками на прямой, а также могут состоять из нескольких меньших углов или двух прямых углов.Углы, составляющие прямой угол, называются дополнительными углами . Прямой угол также может означать изменение направления, как если бы кто-то повернулся в прямо противоположном направлении. Прямые углы также образуют полукруг, так как половина {eq}360° {/eq} равна {eq}180° {/eq}.

Прямой угол — Элементарная математика

Значение

Неофициальный: угол, который соответствует углу (прямоугольного) листа бумаги или углу у основания заглавной буквы L или вершине заглавной буквы T.

Вот все примеры прямых углов: 

 

Это не прямые углы: два левых угла тупые («шире» прямого угла), а два правых оба острые («острее» прямого угла).

Математический фон

Построение прямого угла

Вы можете построить прямой угол, просто сложив бумагу, даже если она была разорвана так, что нет прямых краев!

Сложите лист бумаги в любом направлении.Например:

Результат будет выглядеть так:

Затем сделайте второй сгиб, следя за тем, чтобы первоначальный сгиб лежал на самом себе.

Результат будет выглядеть так:

Когда вы развернете лист бумаги, две складки будут перпендикулярны друг другу. Все четыре угла прямые.

Почему это работает? Первая складка создает прямую складку.Вторая складка складывает одну часть этой линии на другую. Если угол сложить через его вершину так, что одна сторона угла лежит прямо на другой, то сгиб делит угол пополам. Прямая линия исходной складки образует прямой угол (180°) вокруг любой ее точки. Сгибание через эту точку делит угол пополам, поэтому каждый результирующий угол равен 90 °, и поэтому они прямые.

Факты о прямых углах

Вокруг точки укладываются четыре прямых угла. То, как мы определяем градусы, «полный оборот» вокруг точки составляет 360°, поэтому мера каждого прямого угла составляет одну четвертую часть: 90°.В неформальной речи (не в математике) прямоугольные углы иногда называют квадратными углами, хотя, как и в фигурах выше, в форме нет ничего «квадратного». Две прямые, расположенные под прямым углом друг к другу, называются перпендикулярными друг другу.

Родственные математические идеи

перпендикуляр, угол, прямоугольник

«Правильно»: Что в слове?

Когда-то была произнесена буква gh в слове «право»; оно произошло от буквы c в латинском «прямо-». В английском языке слова с «прямо-» в них часто имеют значения, связанные с «право».

Слово «право» имеет много значений. Одно из его значений — «правильный», противоположное «неправильному» (когда мы делаем что-то неправильное, мы пытаемся исправить свою ошибку). прямо», как в «После школы, пожалуйста, возвращайся домой».

Зачем все эти значения? Что у них общего?

Как и у большинства слов, у права есть пра-…-пра-пра-пра-пра-пра-бабушка. Самый ранний из известных нам предков мог звучать как reg, а многие родственники right пишутся как reg или rect.Первоначальное значение было чем-то вроде «движения по прямой линии». Когда мы что-то регулируем, мы удерживаем это на правильном пути, удерживаем от изменений, сохраняем контроль. Правила и предписания заставляют людей «следовать прямым путем», поступать правильно. Слово правитель является двоюродным братом слова обычный, а значит, двоюродным братом слова право. Когда g в слове типа регулярный молчит (как в правых и многих других словах), мы получаем линейку. Линейка помогает провести прямую линию. Король — это правитель, который устанавливает правила, регулирующие страну.Тираннозавр Рекс был «королем» динозавров; «rex» — это латинское слово, означающее «король», и оно связано с reg и rect. Король — королевский просто царственный с другим молчаливым г — был самым богатым, самым могущественным человеком, который давал людям их права или отнимал их! Когда мы называем детей Ричардом или Региной или, конечно же, Рексом — или Генрихом или Роем с еще одной безмолвной буквой «г», — мы сравниваем их с королями и королевами!

Если право означает что-то вроде «прямо», почему мы говорим «повернуть направо»?

Слово «право» предполагает силу — не только короля, но и правую руку — и поэтому поворот направо — это поворот к этой правой руке.

Откуда прямой угол получил свое название? Есть ли и «левые углы»?


Нет, прямой угол не имеет ничего общего с правым или левым поворотом.

На этой карте мы говорим, что Уолнат-стрит образует прямой угол с Мейн-стрит, потому что она уходит от Мейн-стрит как можно «прямее». Корн-стрит поворачивает под другим углом.

Геометрия: линии и углы — Magoosh Math

Линии и углы составляют почти все геометрические фигуры. Итак, давайте углубимся в геометрию, обсудив эти самые основные элементы форм.

Теперь мы можем начать говорить о геометрии. И, конечно же, геометрия — это наука о формах. Теперь для некоторых визуально ориентированных людей геометрия дается очень естественно. И другим людям, которые не развили свои визуальные навыки, геометрия может быть немного сложнее.

Специально для тех, кому геометрия немного сложнее, вот что я скажу.

Недостаточно просто смотреть эти видео. После того, как вы посмотрите их, возьмите бумагу и линейку и нарисуйте эти разные формы, на самом деле физически нарисуйте их на бумаге.И строить формы и физические объекты. Вы можете использовать карандаши, зубочистки, соломинки, что-нибудь в этом роде. На самом деле стройте треугольники, стройте прямоугольники, реально смотрите на них.

ДОСТАВЬТЕ!

Изображение Аарона Амата

Используйте свои руки!

Используйте свои руки, наши руки на самом деле являются частью нашего интеллекта. Вы используете свои руки, вы задействуете каждую часть мозга. Это значительно облегчит понимание всех этих взаимосвязей.

Итак, начнем с линий.Линии прямые, и они продолжаются вечно в обоих направлениях. Здесь у нас есть куча разных прямых линий в куче разных направлений. Вы должны представить, что в конце каждой строки есть какие-то стрелки или что-то в этом роде. Это указывает на то, что линии на самом деле продолжаются вечно в обоих направлениях.

Линии и углы: все линии прямые

Очень важно не путать прямую с горизонтальной. Эти два слова имеют очень разные значения, но иногда некоторые ученики их путают.Все линии прямые. Итак, все линии, которые были на предыдущем слайде, линии, идущие в разных направлениях, все это прямые линии.

И всегда можно считать, что линия на тесте прямая. Если он выглядит прямым, он прямой. Это всегда так на тесте. Но некоторые линии нарисованы горизонтально для удобства. Однако вы никогда не сможете считать линии строго горизонтальными или вертикальными просто потому, что они так выглядят. Теперь люди действительно запутались в этом. Вы сбиты с толку, если думаете, что горизонтальное и прямое означают одно и то же.

Итак, мы говорим, что вы можете сделать вывод из теста, что линии прямые. Люди ошибочно предполагают, что это также означает, что они могут считать линии горизонтальными, а это неверно. Отрезок — это конечный участок прямой.

Пример

Итак, например, здесь у нас есть отрезок, у него две конечные точки. И когда эти конечные точки помечены, это облегчает обсуждение.

Это отрезок AB. И для целей теста AB может означать фактическую форму самого отрезка.Или это может означать длину отрезка, числовую длину. Угол возникает между двумя линиями или двумя сегментами. Например, здесь у нас есть угол.

Линии и углы: понимание углов

Изображение Radu Bercan

Это происходит между одной линией и одним сегментом. Лучший способ понять угол — это думать о нем динамически, как о повороте или вращении. Другими словами, идя отсюда сюда. Вот что такое угол, это динамическое пространство между двумя линиями.Если мы обозначим точки, мы можем говорить об угле.

Обозначение углов

Мы могли бы назвать этот угол либо CDE, либо EDC, точка D, вершина угла. Здесь точка угла должна быть в середине имени. Итак, мы можем вызывать либо CDE, либо EDC, главное, чтобы вершина находилась посередине. Иногда в этих видео я также буду использовать название одного ракурса, если нет двусмысленности. Например, на этой диаграмме только один угол.

Так что я мог бы назвать это углом D.Теоретически такое могло произойти на тесте. Хотя тест часто достаточно осторожен, чтобы всегда использовать трехбуквенное имя для угла. Мы измеряем величину угла в градусах. Тест может указать это напрямую, так что 50 градусов.

В качестве альтернативы тест может маркировать диаграмму и указывать меру угла в тексте. Таким образом, угол GFH = 50 градусов, потому что они ставят буквы в точках на диаграмме. Мы можем просто использовать это, чтобы говорить об этой мере в количестве градусов в тексте.На самом деле, вероятно, это любимая вещь, это просто указать угол с переменным числом градусов.

Гибкий формат тестирования

Этот гибкий формат позволяет им либо указать угол, ведь в тексте они могли сказать x = 50, либо задать вопрос об этом. Они могли бы дать нам другую информацию и сказать найти x. Поэтому они хотели бы это сделать. Мы сделаем краткий обзор основных фактов степени. В прямом угле 180 градусов, и, конечно же, помните, что прямая линия может идти в любом направлении.

Но если на прямой есть какая-то точка, то на всем протяжении от одной стороны линии до другой. Это 180 градусов, в прямом углу 90 градусов. Итак, у нас есть две линии, пересекающиеся под прямым углом. На самом деле на этом перекрестке четыре прямых угла. Если две линии или сегменты встречаются под прямым углом, они называются перпендикулярными, это термин, который вы должны знать.

Перпендикулярные линии и прямые углы

Тест может либо нарисовать этот маленький квадрат, знак перпендикуляра, который является этим маленьким квадратом, либо указать, что угол равен 90 градусам. Он может обозначить 90 градусов на диаграмме или X градусов и сказать нам в тексте, что X равно 90. Есть множество способов, которыми они могут сказать нам, что это угол 90 градусов. Не думайте, что две линии перпендикулярны, если вам об этом прямо не сказано, часто это ловушка.

Изображение Анара Бабаева

Предположим, что эти точки появляются как часть большой диаграммы, и никакой дополнительной информации не дается. Конечно, похоже, что они могут быть под прямым углом, и это очень заманчиво предположить.Тест хотел бы, чтобы вы сделали ошибку, предполагая, что линии перпендикулярны, а угол равен ровно 90 градусам.

На самом деле это не так, я нарисовал так, что угол там равен 89,6 градусов. Таким образом, он близок к прямому углу и может выглядеть как прямой невооруженным глазом. Но ни одно из особых свойств прямого угла не соответствует действительности.

В следующих видеороликах мы будем больше говорить об особых свойствах прямых углов. Ни одно из особых свойств прямого угла не верно, если угол близок к 90, но не точно равен 90.

Очень важно, так что вы не можете предположить, что две линии перпендикулярны, если у вас нет для этого каких-либо оснований.

Линии и углы: конгруэнтные формы

Я введу один термин, который, вероятно, не появится в тесте, конгруэнтный. Конгруэнтность похожа на равенство для форм. Мы используем понятие равенства для чисел и очень похожее понятие «конгруэнтность» для форм.

Две фигуры конгруэнтны, если они имеют одинаковую форму и одинаковый размер.

Они не обязательно должны иметь одинаковую ориентацию. Так, например, фиолетовая и зеленая фигуры здесь конгруэнтны, одна перевернута с другой. Можно сказать, что одна версия для правшей, а другая — для левшей, но в основном это та же самая форма.

Эти два конгруэнтны, хотя и имеют разную ориентацию.

Биссектрисы

Биссектриса делит что-то на две конгруэнтные части. Биссектриса делит угол на два меньших равных угла.Например, здесь у нас есть биссектриса угла. Если нам говорят, например, что большой угол PNM равен 40 градусам, а NQ делит угол пополам, то мы можем сделать вывод, что каждый из двух меньших углов должен быть равен 20 градусам.

Каждый из них должен быть ровно наполовину равен друг другу, потому что угол был разделен пополам. Точно так же биссектриса сегмента может быть точкой, другим сегментом или линией. Биссектриса делит отрезок на две равные половины. Обратите внимание, что сегмент ST делит PQ пополам. Также обратите внимание, что PQ не делит ST пополам, потому что SR явно больше, чем RT.

Таким образом, тот факт, что ST делит PQ пополам, означает, что R является серединой PQ и что PR = RQ. Мы разделили его на две равные половины, и опять же, это всегда означает деление пополам. Иногда линия делит сегмент пополам, а также перпендикулярна ему. Прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Прямая VW перпендикулярна, это биссектриса TU. Каждая точка биссектрисы отрезка равноудалена от двух концов отрезка.И это действительно полезный факт, который проявляется по-разному. Серединный перпендикуляр на самом деле представляет собой множество всех возможных точек, равноудаленных от двух концов отрезка.

Линии и углы: рассмотрим углы

Теперь немного основных фактов об углах. Мы уже говорили, что прямая содержит 180 градусов. Это означает, что если два или более угла лежат на одной прямой, то сумма их углов равна 180 градусам. Так, например, мы можем предположить, что эта длинная линия прямая.В этом месте у него нет какого-то небольшого изгиба.

Тест нам этого не сделает, если он выглядит прямо, то он прямой. И, следовательно, мы знаем, что эти два угла вместе составляют 180. Итак, x + y = 180. Если два угла в сумме дают 180, то они называются дополнительными. Два угла на прямой всегда являются дополнительными. Таким образом, p + q = 180.

Изображение от BlueRingMedia

Когда две линии пересекаются

Когда две линии пересекаются, образуются четыре угла.Итак, здесь у нас есть две линии, которые бесконечно идут в обоих направлениях, они должны пересечься, и образуются эти четыре угла. Пары противоположных углов, имеющих только общую вершину, называются вертикальными углами, а вертикальные углы всегда конгруэнтны. Так, например, А и С не имеют общих сторон.

Общее у a и c то, что они касаются одной вершины. Они касаются вершины, b и d также касаются вершины. Вот почему они называются вертикальными углами, потому что они сходятся в вершине.Итак, мы знаем, что вертикальные углы равны, мы знаем, что a = c и b = d. Конечно, пары соседних углов, a + b, b + c, все они являются дополнительными.

Все они в сумме дают 180 градусов, потому что у нас есть пары углов на линии. Следовательно, если нам дан один угол на этой диаграмме, мы можем найти остальные три. Например, если a = 35, мы знаем, что c должно быть равно. Это также должно быть 35 градусов. А b и d должны быть дополнительным углом 145 градусов. Так что любые две пары вместе, любые два угла вместе в паре дают в сумме 180 градусов.

Линии и углы: практическое задание 1

Вот практическое задание, остановите видео, а потом мы поговорим об этом.

Изображение Евгении Илюхиной

Хорошо На диаграмме x = 40 градусов и RT делит пополам большой угол SRU, который является очень большим углом. Что ж, SRU — это дополнительный угол к этому 40-градусному углу, поэтому SRU должно быть 180 минус 40, что будет 140. Таким образом, SRU равно 140.

И этот угол делится пополам, потому что он делится пополам, он разрезается на две равные половины.Итак, есть две половинки, каждая из которых должна быть по 70 градусов. SRT = 70 градусов, TRU = 70 градусов. Это две равные половины угла, который был разделен пополам. Теперь заметьте, что угол TRV, этот угол состоит из TRU и угла x, которые мы знаем.

Мы знаем, что TRU равно 70 градусам, мы знаем, что угол X равен 40 градусам, поэтому мы складываем их вместе. TRV должен быть под углом 110 градусов. Теперь обратите внимание, что TRV — это вертикальный угол SRW, поэтому эти два угла должны быть равны. Это означает, что угол SRW также должен составлять 110 градусов, поэтому Y равно 110.Наконец, мы рассмотрим параллельные линии.

Линии и углы: параллельные линии

Если две прямые параллельны, они никогда не пересекаются и всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. И опять же, это еще одно из этих свойств, например, перпендикулярность, близость к параллельности, для бобов не учитывается. Вы должны знать, что две линии точно параллельны. Очевидно, поскольку параллельные прямые никогда не пересекаются, они никогда не образуют друг с другом углов.

Поперечные линии

Мы получаем много углов, если третья непараллельная линия пересекает две параллельные линии.Эта третья линия называется секущей. Секущей называют прямую, пересекающую две параллельные прямые. Итак, здесь у нас есть поперечный разрез по параллельным линиям WX и YZ. И мы получаем восемь ангелов там.

Теперь четыре больших ангела равны. И четыре ангелочка все равны. Таким образом, другими словами, a = d = e = h и b = c = f = g, это большая идея. Среди них, вы, конечно, помните из геометрии, есть всевозможные специальные имена.

Альтернативный внутренний и внешний вид той же стороны и соответствующие углы.Если вы хотите запомнить все эти специальные имена, отлично, вам это не нужно. Все, что вам нужно помнить, это то, что все большие углы равны, все маленькие углы равны. Итак, вот еще раз схема, и теперь я ее пометил, чтобы было понятно, что все поровну.

Линии и углы: дополнительные углы

Также обратите внимание, что p и q являются дополнительными. Так что любой большой угол плюс любой маленький угол равняется 180 градусам, это очень хорошая идея. Таким образом, если нам дан градус любого из углов здесь, мы могли бы найти остальные семь.Подводя итог, мы говорили о прямых и отрезках, мы говорили об углах и градусах.

Мы указали, что в прямом угле 180 градусов, а в прямом углу 90 градусов. Мы говорили о биссектрисах углов и серединных перпендикулярах. Биссектриса делит угол на два меньших равных угла. Биссектриса перпендикулярна отрезку и делит его на две равные половины.

Мы говорили о том, что два угла на прямой являются дополнительными. Вертикальные углы равны.А мы говорили об углах, образованных секущей, пересекающей пару параллельных прямых. И мы поговорим о многих приложениях этих фундаментальных идей в следующих видео.

  • Майк работал экспертом по GMAT в Magoosh, помогая создавать сотни видео уроков и практические вопросы, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. Он также был признан «участником месяца» более двух лет в GMAT Club. Майк имеет A.B. по физике (окончание с отличием ) и M.Т.С. в религиях мира, оба из Гарварда. Помимо стандартного тестирования, Майк имеет более чем 20-летний опыт преподавания как в частных, так и в государственных средних школах, специализируясь на математике и физике. В свободное время Майк любит разбивать настольные мячи на орбите, и, несмотря на то, что у него нет явных дефектов черепа, он настаивает на том, чтобы болеть за нью-йоркский Метс. Узнайте больше о GMAT из видеороликов Майка на Youtube и ресурсов, таких как What is a Good GMAT Score? и диагностический тест GMAT.

    Посмотреть все сообщения

Две прямые линии по прямой друг к другу.

Евклид I. 13, 14.

Содержание | Введение | Дом

П л а н е   Геометрия

Приключение в языке и логике

на основе

Книга I. Предложения 13 и 14

Предложение 13

Предложение 14

Уголки прямые.Дополнительные углы.

МЫ ЗНАЕМ, ЧТО КОГДА ПРЯМАЯ ЛИНИЯ EB стоит на другой прямой

и делаем смежные углы равными, то имеем два прямых угла. Но должно быть очевидно, что когда какая-либо прямая опирается на другую, то смежные углы ABC, ABD вместе равны двух прямых углов. Это следующее предложение.

(Доказательство покажет, что два прямых угла CBE, EBD
равны трем углам CBA, ABE, EBD;
но углы CBA, ABD также равны этим трем углам;
поэтому CBA, ABD равны два прямых угла.)

Когда прямая линия, находящаяся на другой прямой, образует два угла, она либо образует два прямых угла, либо образует углы, которые вместе равны двум прямым углам.
 
Пусть прямая AB проходит через прямую CD и образует
два уголка CBA, ABD;
 
то либо углы CBA, ABD равны двум прямым углам, либо вместе они равны
равны двум прямым углам.
 
Ибо если угол CBA равен углу ABD, то они прямые
уголки. (Определение 3)
 
Но если они не равны, то провести ВЕ из точки В под прямым углом
на CD; (л. 11)
 
поэтому углы CBE, EBD два прямых угла.
 
Теперь, начиная с углов
CBA, ABE равны углу CBE,
 
к каждому из которых присоединяется прямой угол EBD;
 
поэтому три угла
 
CBA, ABE, EBD равны углам CBE, EBD. (Аксиома 2)
 
А, т.к. уголки
 
ABE, EBD равны углу ABD,
 
к каждому из этих углов соединения CBA;
 
поэтому три угла
 
CBA, ABE, EBD равны углам CBA, ABD. (Аксиома 2)
 
Но мы показали, что углы CBE, EBD равны тем же трем углам;
 
и вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу;
(Аксиома 1)
поэтому уголки
CBA, ABD равны углам CBE, EBD.
 
Но CBE, EBD — два прямых угла;
 
поэтому углы CBA, ABD вместе равны двум прямым углам.
 
Следовательно, , когда прямая линия стоит на другой прямой и т. д.  Q.E.D.
Следствие 1 . Когда две прямые пересекают друг друга, четыре угла, которые они образуют, вместе равны четырем прямым углам.
Следствие 2 . Следовательно, когда любое количество прямых пересекается в одной точке, все углы, которые они образуют, вместе равны четырем прямым углам.

Гипотеза предложения 13 состоит в том, что прямая, лежащая на другой, образует два угла. Но как не сделать два угла? Если бы он стоял на краю линии. В этом случае получится только один угол.

Однако, когда он не стоит на краю, тогда образующиеся углы равны двум прямым углам. И наоборот — если углы

ABC, ABD вместе равны двум прямым углам, тогда BD лежит на одной прямой с CB.

Это предложение 14. Но нет предыдущего предложения или определения, которое бы давало критерий того, что две прямые составляют прямую. Это предложение есть критерий.Поэтому доказать это можно только косвенным методом.

Таким образом, если мы предположим, что BD представляет собой , а не , лежащую на прямой линии с CB, то мы можем предположить, что BE есть, поскольку прямая линия CB может быть продолжена в виде прямой линии. Но это приводит к выводу, что угол ABE равен углу ABD, меньший большему; что абсурдно. (Вы можете это показать?) Отсюда следует, что BD — единственная прямая, которая лежит на прямой с CB.

Если две прямые проходят по разные стороны от данной прямой и, встречаясь в одной точке этой прямой, образуют смежные углы, равные двум прямым углам, то эти две прямые лежат на одной прямой .
 
Пусть две прямые CB, BD лежат по разные стороны от прямой AF, пересекаясь в точке B, и пусть смежные углы ABC, ABD равны двум прямым углам;
, то BD будет на одной линии с CB.
 
Ибо, если BD не лежит на прямой линии с CB, пусть BE находится на прямой линии с CB.
 
Тогда, поскольку прямая AB лежит на (предполагаемой) прямой CBE,
 
прилежащие углы ABC, ABE равны двум прямым углам. (л. 13)
Но углы ABC, ABD также равны двум прямым углам. (гипотеза)
 
Следовательно, углы ABC, ABE равны углам ABC, ABD.
(Постулат 4 и Аксиома 1)
 
От каждой пары отнять угол ABC;
 
тогда оставшийся угол ABE равен оставшемуся углу ABD,
(Аксиома 3)
меньшее к большему — что абсурдно.
 
Следовательно, ВЕ не находится на прямой линии с СВ.
 
Таким же образом можно доказать, что ни одна из прямых не является какой-либо другой прямой, кроме BD.
 
Следовательно, , если две прямые и т. д.  Q.E.D.

Уголки прямые. Дополнительные углы.

Угол в планиметрии строго меньше двух прямых углов.

Мы не думаем об углах ABC, CBD вместе как об одном угле. Угол, который мы называем углом ABD, — это тупой угол ABD, который меньше двух прямых углов.

Если CD прямая, то и AB ей соответствует, то в классическом

Геометрию

мы не называем CBD углом. Однако в современных методах лечения стало характерно называть КБД прямым углом.

Прямой угол — это угол, стороны которого лежат на прямой линии
друг с другом.

При таком понятии предложение 14 очевидно и тривиально. Вполне вероятно, что именно поэтому и возник прямой угол.

Когда два угла вместе равны прямому углу — двум прямым углам, — мы говорим, что они дополняют друг друга или что они являются дополнительными углами. Таким образом, угол ABC выше является дополнением угла ABD, и наоборот. Остается решить задачу 5, чтобы доказать простую теорему:

Углы, являющиеся дополнениями одного и того же угла, равны друг другу.

Пожалуйста, «переверните» страницу и выполните Задачи.

или

Перейдите к следующему предложению.

Предыдущее предложение

Содержание | Введение | Дом


Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.


Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]


Типы углов – объяснение и примеры

Различные типы углов существуют в природе, и каждый из них имеет большое значение в нашей повседневной жизни.

Например, , архитекторы и инженеры используют углы при проектировании машин, зданий, дорог и мостов.

В спорте спортсмены используют углы для улучшения своих результатов. Например, человек должен крутиться с диском под определенным углом, чтобы быстро бросить его далеко. В футболе вы должны использовать определенный угол, чтобы передать мяч следующему игроку.

Плотники и ремесленники также используют углы для изготовления таких предметов, как диваны, столы, стулья, ведра и т. д. Художники используют углы для набросков портретов и картин.Модельеры также используют ракурсы, чтобы подобрать лучшие наряды. По этим причинам необходимо изучить различные типы углов.

(Чтобы пройти основное объяснение углов, вы можете обратиться к предыдущей статье «Углы».)

Различные типы углов

Углы классифицируются на основе: семь типов углов, основанных на их градусном измерении.Они включают в себя:

  • нулевые углы
  • Острые углы
  • Right Angles
  • тупые углы
  • Reflex Angles
  • Reflex Angles
  • Полный угол
— нулевой угол

Нулевой угол (0 °) образуется, когда оба плеча угла находятся в одном и том же положении.

Иллюстрация:

∠ RPQ = 0° (нулевой угол)

– Острый угол

Острый угол – это угол, который больше 0°, но меньше 90°.Типичные примеры острых углов: 15°, 30°, 45°, 60° и т. д.

∠ XYZ больше 0°, но меньше 90° (острый угол)

– угол 90 градусов

A Угол 90 градусов, также известный как прямой угол, представляет собой угол, мера которого равна 90 °, называется прямым углом. Прямые углы изображаются путем рисования небольшого квадратного прямоугольника между сторонами угла.

Иллюстрация:

∠ ABC = 90° (прямой угол)

В следующем разделе (треугольников) будет целая статья о прямоугольных треугольниках.

– Тупой угол

Тупой угол – это тип угла, градусное измерение которого больше 90°, но меньше 180°. Примеры тупых углов: 100°, 120°, 140°, 160°, 170° и т. д.

∠ PQR — тупой угол, поскольку он меньше 180° и больше 90°.

– Прямой угол

Прямой угол – это угол, мера которого равна 180° (прямая)

Иллюстрация:

∠ XYZ =180° (прямой угол)

– Отражение Угол

Рефлекторные углы — это типы углов, градусное измерение которых больше 180°, но меньше 360°. Общие примеры рефлекторных углов: 200°, 220°, 250°, 300°, 350° и т. д.

Иллюстрация:

∠ PQR больше 180°, но меньше 360°

– Полный угол

Полный угол равен 360°. 1 оборот равен 360°.

Иллюстрация:

Классификация углов на основе вращения

В зависимости от направления вращения углы можно разделить на две категории, а именно;

  • Положительные углы
  • Отрицательные углы

Положительные углы

Положительные углы — это типы углов, измерения которых отсчитываются против часовой стрелки от основания.

Отрицательные углы

Отрицательные углы измеряются по часовой стрелке от основания.

 

Другие типы углов

Помимо рассмотренных выше углов, существуют другие типы углов, известные как парные углы. Их называют парными углами, потому что они появляются парами, чтобы показать определенное свойство. Это:

  • Смежные углы имеют одинаковые вершину и плечо.
  • Дополнительные углы: Пара углов, сумма которых составляет 90°.
  • Дополнительные углы: Парные углы, сумма углов которых равна 180º.
  • Вертикально противоположные углы. Вертикально противоположные углы равны.
  • Альтернативные внутренние углы: Альтернативные внутренние углы представляют собой парные углы, образованные при пересечении одной прямой двух параллельных прямых. Альтернативные внутренние углы всегда равны друг другу.
  • Альтернативные внешние углы : Альтернативные внешние углы — это просто вертикальные углы альтернативных внутренних углов. Альтернативные внешние углы эквивалентны.
  • Соответствующие углы : Соответствующие углы — это парные углы, образованные при пересечении прямой парой параллельных прямых. Соответствующие углы также равны между собой.

Мы рассмотрели краткий обзор различных типов углов. Далее мы увидим подробные статьи о наиболее распространенных типах углов (дополнительные углы, дополнительные углы и т. д.).

 

Геометрия естественной сцены предсказывает восприятие углов и ориентацию линий

Proc Natl Acad Sci U S A.2005 г., 25 января; 102 (4): 1228–1233.

Neuroscience

Center for Cognitive Neuroscience, Duke University, Box

, Durham, NC 27708

Предоставлено Dale Purves, 14 декабря 2004 г. вариант.

Эта статья была процитирована другими статьями в PMC.
Дополнительные материалы

Вспомогательный текст

GUID: 255A4447-D50A-46D0-A41C-899B30EA0D3D

GUID: 66D6A28D-9A39-424A-BE56-BA21DDFD0DD3

Abstract

Зрительные стимулы, которые влекут за собой пересечение двух или более прямых линий, вызывают множество хорошо известных аномалий восприятия.Выдающимися среди этих аномалий являются систематическая переоценка острых углов, недооценка тупых углов и неправильное восприятие ориентации линии, представленное в классических иллюзиях наклона, Цельнера и Геринга. Здесь мы показываем, что распределения вероятностей возможных реальных источников проецируемых линий и углов, полученные из базы данных дальномерных изображений природных сцен, точно предсказывают каждую из этих особенностей восприятия. Эти результаты подразумевают, что восприятие углов и ориентированных линий определяется статистической взаимосвязью между геометрическими стимулами и их физическими источниками в типичной визуальной среде.

Ключевые слова: геометрические иллюзии, статистика природы, зрение 7) (). Это тонкое, но надежное явление тесно связано с серией более сложных геометрических иллюзий, возникающих при пересечении линий. Самым простым из них является иллюзия наклона, при которой представление вертикальной линии в контексте наклонно ориентированной линии приводит к тому, что вертикальная линия кажется слегка наклоненной по отношению к наклонной ().Направление иллюзорного наклона согласуется с перцептивным увеличением острых углов стимула и уменьшением тупых углов. Величина этого неправильного восприятия усиливается повторением элементов стимула в более сложной иллюзии Цёлльнера. Еще одной разновидностью является иллюзия Геринга, в которой две прямые линии кажутся изогнутыми или изогнутыми в контексте пересекающихся линий с ориентацией, которая постепенно меняется (). Несмотря на многочисленные исследования (см.8), причина этих родственных явлений неизвестна.

Неправильное восприятие углов и ориентации линий. ( A ) Переоценка острых углов и недооценка тупых (7). ( B ) Иллюзия наклона. Вертикально ориентированная тестовая линия (серая) кажется слегка наклоненной против часовой стрелки в контексте наклонно ориентированной «индуцирующей линии» (черная). ( C ) Иллюзия Цёлльнера. Параллельные вертикальные тестовые линии (серые) кажутся наклоненными в направлении, противоположном направлению контекстных линий (черные).( D ) Иллюзия Геринга. Две прямые параллельные тестовые линии (серые) кажутся изогнутыми.

Объяснение этих эффектов, которое мы проверяем здесь, основано на фундаментальной неоднозначности геометрических стимулов. Поскольку размер, расстояние и ориентация физических объектов объединяются в любой проекции света, реальные источники геометрических элементов изображения не могут быть получены из стимула сетчатки как такового. Тем не менее, наблюдатель должен соответствующим образом реагировать на физические источники, лежащие в основе изображения на сетчатке.Растущее количество данных свидетельствует о том, что зрительная система справляется с этим биологическим затруднением, генерируя восприятие в соответствии с распределением вероятностей физических источников изображений на сетчатке (см., например, ссылки 9–11). В результате восприятия не обязательно согласуются с физическими измерениями объектов или условий, лежащих в основе изображения на сетчатке, что приводит к множеству «оптических иллюзий». Вдохновленные успехом этой вероятностной схемы в объяснении ряда других геометрических аномалий (12–14), мы задаемся вопросом, предсказываются ли явления, показанные в ней, статистической взаимосвязью между различными стимулами и их возможными реальными источниками. Чтобы проверить эту идею, мы использовали лазерное сканирование дальности, чтобы получить базу данных природных сцен, которая включала расположение в трехмерном пространстве каждой точки в сценах, что позволило нам связать данный узор на изображении с пространственной конфигурацией его реального источника. .

Материалы и методы

База данных Range-Image. Подробности, связанные с получением используемой здесь информации о дальности, были описаны (12). Вкратце, эти данные были получены с помощью 3D-лазерного сканера LMS-Z210 (Riegl, США, Орландо, Флорида), который предоставил оцифрованные изображения с указанием расстояния, а также информацию о яркости для каждого пикселя в сцене.Дальномерность системы составляет от 2 до ≈300 м с точностью ±25 мм по всему диапазону при угловом разрешении 0,144°. Используя эту систему, мы собрали 103 широкоугольных изображения (333° по горизонтали и 80° по вертикали), в том числе 25 полностью естественных сцен и 78 сцен со зданиями и другими постройками человека (). Каждое из этих широкоугольных изображений представляет собой пространственную карту трехмерного физического мира в сферической полярной системе координат, источником которой является источник лазерного луча.

Выборка базы данных изображений диапазона с помощью геометрических шаблонов. ( A ) Репрезентативная сцена, полученная с помощью лазерного дальномерного сканирования (здесь показана лишь небольшая часть полного широкопольного изображения, полученного сканером). Показано изображение в истинном цвете ( Верхний ) и соответствующее изображение диапазона ( Нижний ); расстояние от начала лазерного луча до каждой точки изображения дальности обозначается цветовой маркировкой. Черные области (небо) — это точки сцены, от которых не было зафиксировано лазерного отражения.( B ) Пиксели в 2D-изображении, спроецированном из области 3D-сцены в базе данных, схематически представлены квадратами сетки. Черные точки обозначают шаблон опорной линии, а красные точки обозначают серию шаблонов для выборки второй линии, ориентированной под разными углами по отношению к опорной линии. ( C ) Набор белых точек указывает на действительный образец для эталонной линии в этом примере (т.е. набор соответствует геометрическим критериям, описанным в Материалы и методы ).На увеличенных изображениях области, заключенной в рамку, показаны примеры второго шаблона, который последовательно накладывался на одну и ту же область изображения для проверки наличия второй прямой линии в разных ориентациях (второй шаблон в каждом из этих случаев также является допустимым образцом). .

Из этих изображений мы создали большое количество проекций, аппроксимирующих центральные изображения сетчатки, которые возникли бы при просмотре различных областей этих сцен (подробности см. в ссылке 12; каждый пиксель в изображениях имеет значение 0.144° угла обзора). Результатом каждой такой проекции было двумерное изображение части исходной широкоугольной сцены вместе с полной информацией о ее геометрическом отношении к соответствующей части трехмерного мира.

Определение физических источников углов. При рассмотрении углов, образованных пересекающимися прямыми линиями, естественно думать о стимулах, генерируемых яркостным контрастом сцены. Границы яркостного контраста (т.15). Еще одна причина такого внимания в прошлых исследованиях заключается в том, что края обычно вызывают гораздо более сильные реакции в нейронах зрительной коры, чем стимулы, не имеющие контрастных границ. Несмотря на очевидную важность краев для зрения, с чисто геометрической точки зрения прямые линии не ограничиваются теми, которые случайно совпадают с яркостно-контрастными границами. Как для геометрических, так и для поведенческих целей прямая линия — это просто набор точек с положениями в пространстве, которые соответствуют линейной прогрессии.Поскольку целью здесь является понимание восприятия геометрии и ее поведенческих последствий, мы определяем прямые линии с точки зрения геометрии, а не контраста: прямые линии, извлеченные из базы данных в дальнейшем, представляют собой наборы точек, которые образуют прямые линии по геометрическим критериям (см. ниже). Поскольку этот геометрический подход может показаться нелогичным читателям, привыкшим думать об анализе визуальной сцены (и видении) в первую очередь с точки зрения контраста, дополнительные пояснения включены в вспомогательную информацию, которая опубликована на веб-сайте PNAS.

Отбор проб с помощью геометрических шаблонов. Чтобы идентифицировать физические источники двух пересекающихся линий, образующих определенные углы, мы сначала определили области сцен в базе данных, которые содержали действительный физический источник одной из двух линий (опорная линия), используя шаблон прямой линии (). Шаблон для опорной линии, который соответствовал углу зрения 1,6°, был ориентирован на 0° (горизонтально), 45° или 90° и применялся к 2D-изображениям, преобразованным из 3D-сцен ().Затем набор точек, лежащих в основе шаблона опорной линии на изображении, был проверен, чтобы определить, соответствуют ли они физическим точкам, которые ложатся на прямую линию на поверхности в трехмерном мире. Для этого к соответствующим физическим точкам методом наименьших квадратов подгонялась прямая. Набор точек в 3D-сцене принимался за действительную выборку физического источника опорной линии, если среднее отклонение точек от аппроксимируемой линии было меньше произвольного стандарта (2% от среднего расстояния этого набора точек). точки от плоскости изображения; этот стандарт был использован потому, что он был одинаково строгим для наборов точек изображения с физическими аналогами, расположенными на разных расстояниях).Применение этого геометрического критерия гарантировало, что прямая линия на изображении была сгенерирована проекцией истинной прямой линии в трехмерном пространстве.

Определив таким образом действительный образец физического источника опорной линии, мы затем наложили дополнительный шаблон прямой линии на образец изображения, чтобы определить вероятность появления второй линии в той же области сцены, что и образовал угол с опорной линией (см. ). Угол между контрольной линией и этой второй линией варьировался от 5° до 175° с шагом 5° (величина угла определялась поворотом, необходимым для перемещения контрольной линии против часовой стрелки до наложения на вторую линию). Затем точки, лежащие в основе этого второго шаблона, были исследованы, чтобы определить, соответствуют ли они прямой линии в трехмерном пространстве, с использованием критериев, описанных выше. Если это дополнительное условие было соблюдено, образец считался действительным физическим источником угла, указанного контрольной линией и линией, идентифицированной вторым шаблоном.

Каждый из шаблонов, использованных при выборке базы данных, состоял из 11 равномерно расположенных точек (см. Ресурсы). Поскольку изображения состояли из отдельных пикселей, точки в шаблоне не соответствовали точно пикселям изображений, за исключением случаев, когда шаблоны были горизонтальными или вертикальными.Диапазон (расстояние) Информация для каждой точки в шаблонах была таким образом, была интерполирована в соответствии с ( C 1 R 1 + C 2 R 2 + C 3 R R 3 + C + C 4 R 4 ) / ( C 1 + C 2 + 9034 C 3 + C 4 ) и 1 , c 2 , c 3 и c 4 являются величинами, обратными расстояниям центров интереса от этих четырех пикселей в плоскости изображения.

Эта общая процедура выборки была повторена для каждой из ≈10 6 проекций 2D-изображения, созданных из 3D-сцен. Общее количество полученных таким образом действительных образцов составило ≈4,4 × 10 6 (от ≈3 × 10 4 до 2 × 10 5 образцов для каждого из протестированных углов и ориентаций).

Определение вероятностей. Наконец, мы накопили количество достоверных выборок физических источников ракурсов, идентифицированных таким образом, получив таким образом распределение частоты появления физических источников различных ракурсов в естественных сценах.Нормирование каждого из частотных распределений привело к получению соответствующих вероятностных распределений ( P A ) числа появлений физических источников углов. Кумулятивные вероятности [т.е. F A ( A x ), суммарная вероятность появления физических источников всех углов ( A ) меньше или равна конкретному значению x ] затем были получены путем вычисления площади под кривыми P A слева от линии, обозначающей A = x . Эти вероятности использовались для прогнозирования перцептивных последствий просмотра угловых стимулов.

Результаты

Вероятностный подход к рационализации восприятия угла. Учитывая тот факт, что зрительные животные должны соответствующим образом реагировать на физический источник стимула, несмотря на неопределенное значение изображения на сетчатке, проверяемая здесь гипотеза состоит в том, что зрительное восприятие углов и ориентаций линий генерируется в соответствии с распределением вероятностей возможных физических источники раздражения сетчатки.Каждая точка в распределении вероятностей физических источников углов, полученном с помощью только что описанного метода, указывает на относительную частоту появления всех физических условий, порождающих угол определенного содержания. Такое распределение, во всех смыслах и целях, представляет собой эмпирическую шкалу, которая ранжирует угловые размеры, с которыми сталкиваются люди-наблюдатели: для любого заданного угла в проецируемом изображении распределение указывает процент всех физических источников, испытываемых наблюдателями, которые генерировали угловые проекции. меньше, чем стягиваемость этого угла и процент, который генерирует угловые проекции с большими стягиваниями.Кажущийся смысл того или иного угла, согласно гипотезе, должен предсказываться рангом этого угла в накопленном прошлом опыте с углами и их физическими источниками (т.е. по частоте встречаемости тех физических источников, которые проецировались как углы). меньше, чем этот угол, по сравнению с появлением источников, которые генерировали проекции с большим углом). В соответствии с этой концепцией, чем выше процент физических источников, которые в прошлом опыте генерировали углы с меньшими размерами, чем рассматриваемый угол, тем выше этот угол занимает место на эмпирической шкале, определяемой распределением вероятностей, и, следовательно, тем больше воспринимаемый размер этого угла. .

Вероятностные распределения физических источников углов. показывает распределения вероятностей, полученные из базы данных изображений дальности, показывающие относительную частоту появления физических источников различных угловых проекций. Очевидно, что независимо от трех различных ориентаций опорной линии (горизонтальной, наклонной и вертикальной, обозначенных черными линиями на значках под графиками) или типа сцены, из которой были получены статистические данные (натуральные сцены или сцены, содержащие человеческие артефакты), распределения образуют желоб с более низкими значениями для углов, равных или близких к 90°.Другими словами, для любой конкретной опорной линии на изображении вероятность появления второй линии, образующей с ней угол, уменьшается по мере того, как вторая линия становится все более ортогональной опорной линии.

Нормированная частота встречаемости физических источников углов с различным натяжением при наличии у физического источника горизонтальной ( Слева ), наклонной ( Центр ) или вертикальной ( Справа ) опорной линии. Распределения были получены из базы данных изображений диапазонов путем применения соответствующих геометрических шаблонов, как указано на рис.Значки под графиками указывают ориентацию шаблонов опорной линии (черный) и второй линии (серый). Обратите внимание, что результаты, полученные в полностью естественных сценах ( Верхний ), существенно не отличаются от результатов в «плотницких» условиях ( Нижний ).

Физическую основу этих статистических наблюдений можно понять, рассмотрев источники прямых линий в реальном мире. Поскольку любая неслучайная прямолинейная проекция на плоскость изображения возникает из прямой линии в трехмерном пространстве (см. Материалы и методы ), а прямая линия в трехмерном пространстве принадлежит участку плоской поверхности, наличие двух пересекающихся линий на изображении обычно означает наличие самолета в соответствующей области сцены.Плоская поверхность, содержащая физические источники двух линий, пересекающихся под углом 90°, будет иметь в среднем большую площадь, чем поверхность, содержащая источники двух менее ортогональных линий. Вероятность появления больших плоских поверхностей, естественно, ниже, чем появление меньших, потому что большие поверхности включают в себя меньшие. Соответственно, встречаемость физических источников углов около 90° статистически ниже, чем встречаемость источников углов около 0° или 180°.

Прогнозирование восприятия острых и тупых углов. Поскольку результаты, полученные для разных типов сцен, а также результаты использования опорных линий в разных ориентациях, схожи, распределения вероятностей были объединены для дополнительного анализа. показывает кумулятивное распределение вероятностей, полученное из этого общего распределения. Кумулятивное значение вероятности представляет собой суммарную вероятность появления источников всех углов, меньших или равных заданному поднапряжению (см. Материалы и методы ).Таким образом, для любого заданного угла наклона соответствующее кумулятивное значение вероятности указывает процент физических источников всех угловых проекций, которые будут проецироваться как углы, меньшие, чем данный угол, и процент, который будет генерировать угловые проекции, большие, чем рассматриваемый угол. Например, угол проекции 30° соответствует кумулятивной вероятности 0,185 на серой кривой в , что означает, что ≈19% физических источников углов генерируют проекции углов ≤30° и ≈81% генерируют углы >30°.По сравнению с кумулятивным распределением, полученным из гипотетического распределения вероятностей, в котором вероятность одинакова для физических источников всех углов (черная линия на ), кумулятивное распределение физических источников углов, полученное из базы данных изображений дальности (серая кривая ) показывает более высокие значения вероятности для углов <90° и более низкие значения вероятности для углов >90°.

Прогнозирование воспринимаемой величины угла на основе вероятностного распределения источников углов в базе данных.( A ) Серая кривая представляет собой кумулятивное распределение вероятностей физических источников углов, полученное из распределения вероятностей, объединенного из шести распределений, показанных на рис. Черная линия указывает кумулятивное распределение вероятностей, полученное из гипотетического распределения, в котором вероятность источников всех возможных угловых проекций одинакова (см. вставку ). ( B ) Предсказанные восприятия угловых размеров показаны серой кривой; пунктирная черная линия указывает на восприятие, соответствующее фактической интенсивности стимулов сетчатки.( C ) Величина неправильного восприятия угла, предсказанная этим анализом (серая кривая), по сравнению с психофизическими измерениями неправильного восприятия угла (столбики; данные взяты из ссылки 7).

Если, как мы предполагаем, восприятие любого спроецированного угла генерируется вероятностно, то видимые углы должны согласовываться с их относительными позициями (т. е. рангами) на эмпирической шкале угловых подтяжек, определяемой кумулятивным распределением вероятностей источников углы. Как указано в , если бы вероятность всех угловых подтяжек была одинаковой, спектр возможных углов имел бы равномерно распределенные позиции на этой эмпирической шкале, т.е.т. е. угол х ° всегда соответствовал бы кумулятивной вероятности х /180. В этом случае положение угла х на эмпирической шкале всегда будет таким же, как положение угла в геометрическом пространстве 0–180°, и, таким образом, воспринимаемый размер любого угла всегда будет соответствовать его фактическому значению. подтекст.

Однако распределение появлений физических источников углов, полученных из базы данных изображений, неравномерно (см. серую линию на ).Для любого угла x между 0° и 90° кумулятивная вероятность несколько больше, чем x /180, а это означает, что положение любого такого угла x на этой эмпирической шкале немного сдвинуто в направлении 180° по сравнению с его положением в геометрическом пространстве 0–180°. Противоположное верно для любого угла между 90° и 180°. Чтобы проиллюстрировать это, снова рассмотрим угол 30°. Положение этого угла в геометрическом пространстве равно 30/180. Однако совокупная вероятность, соответствующая 30°, равна 0.185 (≈33/180), что больше, чем 30/180, а это означает, что угол 30° занимает место выше, чем 30/180 среди всех угловых проекций, с которыми сталкиваются люди-наблюдатели. Напротив, любой тупой угол 90 334 x 90 335 ° будет иметь место ниже, чем 90 334 x 90 335/180 на эмпирической шкале угловых подтяжек. Таким образом, положения как острых, так и тупых углов в эмпирическом пространстве углов систематически смещаются в сторону 90° по сравнению с их положением в геометрическом пространстве. Поскольку в этой структуре предсказанные размеры воспринимаемых углов задаются кумулятивной вероятностью для любого угла 90 334 x 90 335, умноженной на 180 (), размер любого угла между 0 ° и 90 ° должен систематически увеличиваться в восприятии, тогда как размер углы между 90° и 180° должны быть уменьшены.Сравнение ошибочных восприятий угла, реально наблюдаемых испытуемыми, и тех, которые были предсказаны настоящим анализом, показывает хорошее совпадение (1).

Объяснение иллюзий тильта, Цёлльнера и Геринга. Кажущийся наклон вертикальной линии, вызванный контекстом наклонной линии (см. ), можно объяснить таким же образом. Рассмотрим, например, вероятность появления у физических источников второй линии, ориентированной под различными углами, при заданной опорной линии, ориентированной под углом 60° к горизонтали ().(Эта ориентация опорной линии была выбрана потому, что она часто используется для демонстрации эффекта наклона; однако следующий аргумент применим к индуцирующей линии при любой ориентации. ) Распределение вероятностей, полученное таким образом, имеет общие характеристики с распределениями показано на , в котором положение вертикальной линии (т. е. линии, повернутой на 30° против часовой стрелки от опорной линии) обозначено пунктирной линией на . Кумулятивное значение вероятности, связанное с этим углом [т.е.e., F A ( A ≤ 30)] равно 0,184, что при умножении на 180 предсказывает, что воспринимаемый угол между опорной линией и вертикальной линией должен составлять 33,2°, или на 3,2° больше, чем фактический угол между двумя линиями. Соответственно, вертикальная линия в контексте линии, ориентированной под углом 60°, должна восприниматься как отклоненная от базовой линии немного больше, чем она есть на самом деле, и, таким образом, казаться не совсем вертикальной (). Этот прогноз снова согласуется с тем, что наблюдатели видят в ответ на такого рода стимулы (см.4, 16 и 17).

Статистическое объяснение иллюзии наклона. ( A ) Распределение вероятностей физических источников проекций углов в базе данных при заданной опорной линии, ориентированной под углом 60° к горизонтали (обозначена черным на значках под графиком). ( B Left ) Стандартное представление иллюзии наклона, как показано на ; серая линия вертикальна. ( B Right ) Направление (стрелки) и величина эффекта наклона, предсказанные распределением, показанным в A .Сплошная серая линия вертикальна; пунктирная линия указывает предсказанный сдвиг в видимом положении вертикальной линии, показанной слева.

Иллюзия Цёлльнера (см. ) по сути является повторением таких простых стимулов наклона, производящих общий эффект, при котором вертикальные тестовые линии кажутся более заметно наклоненными в сторону от контекстуальных линий. Точно так же параллельные линии в стимуле Геринга (1) кажутся искривленными из-за объединения простых стимулов наклона. В этом случае верхняя и нижняя половины контекстных строк наклоняются в противоположных направлениях, в результате чего верхняя и нижняя половины тестовых строк постепенно наклоняются в разные стороны, что приводит к кажущемуся изгибу.

Обсуждение

Основная проблема зрительного восприятия изложена во введении: физические источники любого данного изображения на сетчатке, на которые должен реагировать наблюдатель, не определяются информацией в изображении на сетчатке. Вероятным биологическим решением этой дилеммы является создание восприятий, которые согласуются с распределением вероятностей возможных физических источников стимулов сетчатки. Неправильное восприятие углов и связанные с ними геометрические иллюзии, рассматриваемые здесь, хорошо предсказываются этой статистической зависимостью.Эта стратегия восприятия, которая предположительно применима ко всем другим геометрическим стимулам, обеспечивает способ максимизации шансов на успешное визуально управляемое поведение перед лицом стимулов, значимость которых не может быть известна напрямую (см. вспомогательную информацию для объяснения того, как это происходит). структура отличается от байесовских подходов).

Нейронные механизмы, лежащие в основе восприятия углов и ориентации линий. Это объяснение неправильного восприятия углов и ориентации линий также обеспечивает основу для понимания нейронных механизмов, лежащих в основе этого аспекта геометрической обработки.Давно известно, что многие нейроны зрительной коры избирательно реагируют на линии или края в определенной ориентации (18, 19). Более того, ориентированно-селективные клетки, как правило, пространственно организованы таким образом, что существует систематическая прогрессия в предпочтительной ориентации клеток в пределах любого данного участка зрительной коры (20). Учитывая хорошо задокументированное существование латерального торможения среди сенсорных элементов на входных стадиях зрительной системы (21, 22), естественно предположить, что сходные эффекты латерального торможения среди клеток зрительной коры, которые избирательно реагируют на линии и края в различных ориентации могут лежать в основе аномальных восприятий, проиллюстрированных в (2, 4, 16, 23–25).В этой концепции ориентационные домены, совместно активируемые двумя угловыми плечами, предположительно ингибируют друг друга, тем самым сдвигая распределение корковой активности в сторону ориентационных доменов, расположенных дальше друг от друга, чем это было бы в противном случае.

Хотя эта идея предсказывает перцептивное увеличение острых углов, она не дает физиологической основы для недооценки тупых углов. Другая трудность заключается в том, что, хотя в некоторых первоначальных электрофизиологических исследованиях было обнаружено латеральное торможение среди селективных по ориентации нейронов в зрительной коре (26, 27), более поздние исследования показали, что взаимодействия между зрительными кортикальными нейронами гораздо сложнее, чем простые тормозные эффекты, изначально предполагалось (28–30).Таким образом, влияние контекстуальных линейных стимулов на ответ на целевой сегмент линии может быть торможением, облегчением или некоторой их комбинацией в зависимости от множества факторов (например, ориентации и длины стимулов и других рецептивных свойств нейронов). вовлеченный). В результате в настоящее время нет единого мнения о том, как следует интерпретировать такие взаимодействия или как они связаны с восприятием углов и/или ориентации линий.

Альтернатива, предложенная настоящими результатами, заключается в том, что эти сложные корковые взаимодействия являются средством создания экземпляров эмпирических ассоциаций между проекциями пересекающихся линий и их источниками, причем полный спектр контекстуальных взаимодействий, видимых в зрительной коре, отражает весь диапазон возможных источников изображений. отношения.Паттерн корковой активности в ответ на две пересекающиеся линии в этой концепции определяется эмпирическим распределением реальных источников пересекающихся линий, при этом активность отдельных нейронов представляет разные точки распределения. Поскольку в эмпирическом пространстве углов, определяемом этим распределением, угол между двумя пересекающимися линиями всегда смещен в сторону 90° по сравнению с фактическим углом в стимуле сетчатки (см.), пики активности нейронов, вызванные углом, будут смещены в сторону домены ориентации более ортогональны по своей селективности, чем пики активности, вызванные каждой линией в отдельности.В дополнение к обеспечению единой основы для понимания реакции нейронов как на острые, так и на тупые углы, это предсказание предлагает другой способ рассмотрения соответствующей нейрофизиологии. Вместо того, чтобы рассматриваться как эпифеномен корковой обработки, измененные пики корковой активности в этой интерпретации означают накопленную статистическую информацию, переданную прошлым опытом вида и индивидуума. Достоинства этой интерпретации физиологических реакций, вызванных углами и линиями в разных ориентациях, можно проверить с помощью методов функциональной визуализации или других методов, выявляющих паттерны активности коры головного мозга.

Заключение. Хотя искажения, возникающие при просмотре под острым или тупым углом в отсутствие другой контекстуальной информации, могут показаться тривиальными в отношении успеха или неудачи человеческого поведения, визуальная стратегия, которую они обозначают, лежит в основе зрения. Преимущество вероятностной стратегии, отраженной в этих перцептивных аномалиях, состоит в том, что отношения между объектами физического мира сохраняются в перцептивном пространстве, гарантируя, что восприятия наблюдателя обеспечивают наиболее полезное руководство к действию перед лицом неизбежно неопределенного смысла происходящего. изображения сетчатки.

Благодарности

Мы благодарим Д. Фитцпатрика, Ф. Лонга, С. Нанди, С. Саймона, Дж. Войводика и З. Янга за полезные комментарии к рукописи. Эта работа была поддержана Национальным институтом здравоохранения и Управлением научных исследований ВВС.

Примечания

Вклад авторов: C.Q.H. разработал исследование, провел исследование, проанализировал данные и написал статью; и Д.П. участвовал во всех аспектах работы.

Ссылки

1. Вундт, В.(1862) Beiträge zur Theorie der Sinneswahrnehmung (Winter’sche Verlagshandlung, Лейпциг, Германия).

2. Карпентер Р.Х.С. и Блейкмор К. (1973) Exp. Мозг Res. 18 , 287–303. [PubMed] [Google Scholar]6. Маклин, И. Э. и Стейси, Б. Г. (1971) Percept. Психофиз. 9 , 499–504. [Google Scholar]

8. Робинсон, Дж. О. (1998) Психология визуальных иллюзий (Dover Publications, Mineola, NY).

9. Нилл, Д. К. и Ричардс, В. (1996) Восприятие как байесовский вывод (Кембриджский унив.Press, Кембридж, Великобритания).

10. Purves, D. & Lotto, B. (2003) Почему мы видим то, что делаем: эмпирическая теория зрения (Sinauer, Sunderland, MA).

11. Рао, Р. П. Н., Ольсхаузен, Б. А. и Левицки, М. С. (2002) Вероятностные модели мозга (MIT Press, Кембридж, Массачусетс).

15. Ярбус, А. Л. (1967) Движения глаз и зрение (Пленум, Нью-Йорк).

17. Вендерот, П., Паркинсон, А. и Уайт, Д. (1979) Восприятие 8 , 47–57. [PubMed] [Google Scholar] 24.g$ в сотенной системе
Практический пример

Прямые углы могут образовываться геометрически в трех различных случаях.

1.

Прямой уголок по линии

Угол прямой может быть геометрически прямым углом, но он должен подчиняться двум правилам.

  1. Линия должна быть параллельна горизонтальному направлению.
  2. Начальная точка линии должна быть справа или считать точку с правой стороны начальной точкой линии.

$\overrightarrow{QR}$ — луч на плоскости. Он стартует из точки $Q$ и продолжает бесконечное движение через другую точку $R$ влево от начальной точки.

Никакая другая линия не может рассматриваться как опорная линия для измерения угла луча $\overrightarrow{QR}$. °$, и он лежит на прямой.°$, чтобы достичь своей конечной позиции из начальной позиции.

Он сформировал прямую линию, объединив начальное положение и конечное положение луча. Следовательно, он называется прямым углом, а также прямым углом.

Обратите внимание, что луч $\overrightarrow{XY}$ не обязательно должен быть параллелен горизонтальной базовой линии и может образовывать любой угол. В этом случае считается, что измеряется угол, образованный лучом от его начального положения до конечного положения, а не угол, образованный горизонтальной базовой линией.°$. Поэтому угол называется прямым углом, а просто прямым углом.

Обратите внимание, что угол измеряется путем рассмотрения одного луча в качестве базовой линии для другого и наоборот для измерения угла между ними, и нет необходимости учитывать угол, образованный прямой линией с горизонтальной базовой линией, поскольку речь идет об угле между две линии, а не угол, образованный линией.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *