Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k² − ac, а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x² + 6x − 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении k = 5.

---

Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении k = 6.

---

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x² + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении k = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = 3² − 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x² + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b² − 4ac), в формуле D₁ = k² − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на

ac.

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

---

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x² − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть k = −3. Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = (−3)² − 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

---

Пример 3. Решить квадратное уравнение x² − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть k = −5. Найдём дискриминант по формуле D₁ = k

² − ac

D₁ = k² − ac = (−5)² − 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

---

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что

Найдём дискриминант по формуле

D₁ = k² − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

---

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2

k

b = 2k

Заменим в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax² + 2kx + c = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b² − 4ac = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b² − 4ac = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac = 4(k² − ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k² − ac.

В выражении 4(k² − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения

k² − ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k² − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

D₁ = k² − ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k² − ac)

Но ранее было сказано, что выражение

k² − ac обозначается через D₁. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; 0,6

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −1,4

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой  D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b² — 4ac,

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x² — 4x + 2 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = -4,  c

= 2.

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

D < 0.

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x² — 6x + 9 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -6,  c = 9.

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-6)² — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

D = 0.

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ:  3.

Пример 3.

x² — 4x — 5 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -5

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

D > 0.

Уравнение имеет два корня:

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ:  5,  -1.

Как найти Дискриминант? 🤔 Формулы, Примеры решений.

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Есть три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы ваш ребенок легко справиться с будущими экзаменами, запишите его на курс подготовки к ОГЭ или ЕГЭ по математике в Skysmart. На занятиях с личным преподавателем он потренируется решать пробные варианты экзамена на время, увидит свои сильные и слабые стороны, разберется в каждой сложной теме и выработает тактику поведения на экзамене, чтобы добиться отличных результатов без стресса.

Записывайтесь на бесплатный пробный урок математики: познакомим с платформой, наметим программу обучения и вдохновим ребенка.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• как найти дискрининант: D = b² − 4ac;
• если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b²/2a;
• если дискриминант положительный — найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней
  

А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x² — 4x + 2 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D < 0, корней нет.

Пример 2. Решить уравнение: x² — 6x + 9 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-6)² — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.


3. D = 0, значит уравнение имеет один корень:
   

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x² — 4x — 5 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.2-4ac\),

   где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

    

   Чем конкретно нам может помочь дискриминант?

   1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
   2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
   3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.

   То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.

   Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.

   1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
   2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
   3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.

   \(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;

   \(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.

    

   Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное — не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

   Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

   Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

   Решение полных квадратных уравнений

   Покажем, как вывести эти формулы:

   Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид

   ,
   где k =

   .

   Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:

   или , где D₁ = (

   )² — ac.

   Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.

   Пример 1. Решить квадратное уравнение 4x² -28x + 49 = 0.

   Решение.

   Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

   Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D₁ :

   D₁ = (

   )² — ac = (-14)² — 4*49 = 196 — 196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
   x = .

   Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

   4x² -28x + 49 = 0 (2x — 7)² = 0 2x = 7 x =

   .

   Ответ:

   .

   Пример 2. Решить уравнение .

   Решение.

   Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

   Умножив обе части уравнения на -6, получим x² + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:

   .

   Ответ: -3,0.

   Пример 3. Решить уравнение .

   Решение.
   Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

   .

   Умножив обе части уравнения на 15, получим:

   6x² + 3x = 20x-10 6x² + 3x — 20x + 10 = 0 6x² — 17x + 10 = 0.

   Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
   D = b² — 4ac = (-17)² — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

   Ответ:

   , 2.

   Пример 4. Решить уравнение .

   Решение.

   Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

   Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (

   = √2), вычислим дискриминант D₁:

   D₁ = (

   )² — ac = (√2)² — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

   Ответ: -√2-1, -√2+1.

   Пример 5. Решить уравнение .

   Решение.

   Умножим левую и правую части уравнения на 6:

   Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

   Так как b = -6, то есть b делится на 2 (

   = 3), вычислим дискриминант D₁:

   D₁ = (b/2)² — ac = 3² — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

   Ответ:

   Формула решения приведенного квадратного уравнения. Квадратные уравнения

   Уравнение вида

   Выражение D = b 2 — 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
   В случае, когда D = 0 , иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
   Используя обозначение D = b 2 — 4 ac , можно переписать формулу (2) в виде

   Если b = 2 k , то формула (2) принимает вид:

   где k = b / 2 .
   Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент b — четное число.
   Пример 1: Решить уравнение 2 x 2 — 5 x + 2 = 0 . Здесь a = 2, b = -5, c = 2 . Имеем D = b 2 — 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Так как D > 0 , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

   Итак x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 — 3) / 4 = 1 / 2 ,
   то есть x 1 = 2 и x 2 = 1 / 2 — корни заданного уравнения.
   Пример 2: Решить уравнение 2 x 2 — 3 x + 5 = 0 . Здесь a = 2, b = -3, c = 5 . Находим дискриминант D = b 2 — 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Так как D 0 , то уравнение не имеет действительных корней.

   Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c =0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным . Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
   Пример 1: решить уравнение 2 x 2 — 5 x = 0 .
   Имеем x (2 x — 5) = 0 . Значит либо x = 0 , либо 2 x — 5 = 0 , то есть x = 2.5 . Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
   Пример 2: решить уравнение 3 x 2 — 27 = 0 .
   Имеем 3 x 2 = 27 . Следовательно корни данного уравнения — 3 и -3 .

   Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q =0 имеет действительные корни, то их сумма равна — p , а произведение равно q , то есть

   x 1 + x 2 = -p ,
   x 1 x 2 = q

   (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

   Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

   С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

   Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

   D = b 2 – 4ас.

   В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

   Если дискриминант отрицательное число (D

   Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

   тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

   Например. Решить уравнение х 2 – 4х + 4= 0.

   D = 4 2 – 4 · 4 = 0

   x = (- (-4))/2 = 2

   Ответ: 2.

   Решить уравнение 2х 2 + х + 3 = 0.

   D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

   Ответ: корней нет .

   Решить уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 .

   D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

   х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

   х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

   Ответ: – 3,5 ; 1 .

   Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

   По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

   ах 2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

   а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

   D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

   Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2 , затем с меньшим – bx , а затем свободный член с.

   При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

   Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2 равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0 . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а , стоящий при х 2 .

   На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
   уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

   Пример. Решить уравнение

   3х 2 + 6х – 6 = 0.

   Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

   D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

   √D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

   х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

   х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

   Ответ: –1 – √3; –1 + √3

   Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

   √(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

   х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

   х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

   Ответ: –1 – √3; –1 + √3 . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
   уравнения рисунок 3.

   D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

   √(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

   х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

   х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

   Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

   Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

   сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

   Внимание!
   К этой теме имеются дополнительные
   материалы в Особом разделе 555.
   Для тех, кто сильно «не очень…»
   И для тех, кто «очень даже…»)

   Виды квадратных уравнений

   Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является «квадратное». Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

   Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

   Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

   Здесь а =1; b = 3; c = -4

   Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

   Здесь а =-3; b = 6; c = -18

   Ну, вы поняли…

   В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

   Такие квадратные уравнения называются полными.

   А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

   5х 2 -25 = 0,

   2х 2 -6х=0,

   -х 2 +4х=0

   И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

   2х 2 =0,

   -0,3х 2 =0

   Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

   Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

   Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

   Решение квадратных уравнений.

   Решение полных квадратных уравнений.

   Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

   Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

   Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

   Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

   а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

   Пример практически решён:

   Это ответ.

   Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

   Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

   Предположим, надо вот такой примерчик решить:

   Здесь a = -6; b = -5; c = -1

   Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

   Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

   Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

   Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

   Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

   Решение неполных квадратных уравнений.

   Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

   Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

   Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

   И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
   Не получается? То-то…
   Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

   Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 — то, что меньше, а х 2 — то, что больше.

   Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

   Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

   Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

   Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
   Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

   Дискриминант. Формула дискриминанта.

   Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

   Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

   D = b 2 — 4ac

   И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

   Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

   1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

   2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

   3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

   Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

   Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

   А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

   Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
   Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

   Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

   И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

   А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

   Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

   Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
   Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

   Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

   Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

   Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

   Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

   Итак, подытожим тему.

   Практические советы:

   1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

   2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

   3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

   4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

   Теперь можно и порешать.)

   Решить уравнения:

   8х 2 — 6x + 1 = 0

   х 2 + 3x + 8 = 0

   х 2 — 4x + 4 = 0

   (х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

   Ответы (в беспорядке):

   х 1 = 0
   х 2 = 5

   х 1,2 = 2

   х 1 = 2
   х 2 = -0,5

   х — любое число

   х 1 = -3
   х 2 = 3

   решений нет

   х 1 = 0,25
   х 2 = 0,5

   Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

   Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

   Если Вам нравится этот сайт…

   Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

   Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

   можно познакомиться с функциями и производными.

   », то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

   Что называют квадратным уравнением

   Важно!

   Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

   Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

   Примеры квадратных уравнений

   • 5x 2 − 14x + 17 = 0
   • −x 2 + x + = 0
   • x 2 + 0,25x = 0
   • x 2 − 8 = 0

   Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

   A x 2 + b x + c = 0

   «a », «b » и «c » — заданные числа.
   • «a » — первый или старший коэффициент;
   • «b » — второй коэффициент;
   • «c » — свободный член.

   Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

   Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

   5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x + = 0 x 2 + 0,25x = 0

   Уравнение	Коэффициенты
   a = −7 b = −13 с = 8
   x 2 − 8 = 0

   Как решать квадратные уравнения

   В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

   Запомните!

   Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

   • привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
   • использовать формулу для корней:

   Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

   X 2 − 3x − 4 = 0

   Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

   Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.

   
   x 1;2 =
   x 1;2 =
   x 1;2 =
   x 1;2 =

   С её помощью решается любое квадратное уравнение.

   В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
   «b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

   Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

   x 2 + 9 + x = 7x

   В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

   X 2 + 9 + x = 7x
   x 2 + 9 + x − 7x = 0
   x 2 + 9 − 6x = 0
   x 2 − 6x + 9 = 0
   

   Теперь можно использовать формулу для корней.

   X 1;2 =
   x 1;2 =
   x 1;2 =
   x 1;2 =
   x =

   
   x = 3
   Ответ: x = 3

   Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

   В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

   Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным . Как мы видим коэффициент при х 2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

   Неполные квадратные уравнения бывают трех видов :

   1) Если b = 0, с ≠ 0, то ах 2 + с = 0;

   2) Если b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;

   3) Если b= 0, с = 0, то ах 2 = 0.

   • Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах 2 + с = 0.

   Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

   ах 2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х 2 = ‒с/а.

   Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня

   x = ±√(–c/a) .

   Если же ‒c/a

   Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

   Пример 1 . Решите уравнение 2х 2 ‒ 32 = 0.

   Ответ: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.

   Пример 2 . Решите уравнение 2х 2 + 8 = 0.

   Ответ: уравнение решений не имеет.

   • Разберемся как же решаются уравнения вида ах 2 + bх = 0.

   Чтобы решить уравнение ах 2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах + b = 0. Решая уравнение ах + b = 0, получим ах = ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах 2 + bх = 0, всегда имеет два корня х 1 = 0 и х 2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.
   

   Закрепим наши знания на конкретном примере.

   Пример 3 . Решить уравнение 3х 2 ‒ 12х = 0.

   х(3х ‒ 12) = 0

   х= 0 или 3х – 12 = 0

   Ответ: х 1 = 0, х 2 = 4.

   • Уравнения третьего вида ах 2 = 0 решаются очень просто.

   Если ах 2 = 0, то х 2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х 1 = 0, х 2 = 0.

   Для наглядности рассмотрим схему.

   Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

   Пример 4. Решить уравнение 7х 2 = 0.

   Ответ: х 1, 2 = 0.

   Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

   Пример 5. Решить уравнение

   Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

   Сократим

   5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.

   Раскроем скобки

   25х 2 + 45 – 24х 2 + 54 = 90.

   Приведем подобные

   Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

   Ответ: корней нет.

   Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

   Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки , мы вместе решим возникшие проблемы.

   сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

   Как объяснить ученику 8-9 класса, что такое дискриминант квадратного уравнения, как его получили, почему оно работает?

   На самом деле дискриминант — штука достаточно нетривиальная и объяснить его непросто.2] 

   (еще раз хочется сказать много теплых матерных слов разработчикам сайта, которые за хз сколько лет так и не сделали возможность верхних и нижних индексов)

   Давайте посмотрим на эту формулу внимательно. Что можно про нее сказать? Во-первых, сразу видно, что если корни кв. уравнения совпадают (в общем случае уравнения n-ой степени — если хоть два из n корней совпадают), то дискриминант сразу обращается в ноль. Ненулевой дискриминант уравнения показывает нам, что все корни уравнения различны.
   Дальше мы видим, что все множители, составляющие выражение дискриминанта, являются квадратами  — квадрат коэффициента и квадраты разностей корней. Это значит, что если все корни уравнения являются действительными числами, то дискриминант никак не может быть меньше нуля, поскольку квадрат любого действительного числа, равно как и разности любых двух действительных чисел, — это обязательно положительное число (или ноль). То есть, если дискриминант меньше нуля, то хотя бы один из корней обязательно является комплексным числом. В случае квадратного уравнения — оба корня.

   То есть, дискриминант есть некоторый математический инструмент, который позволяет подразделить (отсюда и название) все n-степенные уравнения на три вида: 1) те, у которых есть совпадающие действительные корни, 2) те, у которых все корни разные и все действительные, и 3) те, у которых все корни разные и некоторые из них комплексные. Это бывает очень полезно для различных практических задач, когда нужно быть уверенным, что все решения уравнения — это действительные числа, поскольку (например!) иначе уравнение не имеет физического смысла. Или нужно видеть, в каком случае задача вырождена (некоторые корни совпадают). И так далее.

   Теперь относительно формулы вычисления значения дискриминанта из коэф. квадратного уравнения. Эта формула получена обратным путем и не несет какого-то своего собственного глубокого смысла.2 — 4ac. Таким образом, оно никак не объясняет, что такое дискриминант. Это просто частный случай для квадратного уравнения, поскольку его (как и кубическое) еще можно решить алгебраически.

   2} + bx + c = 0, потому что трехчлен в левой части нелегко вынести за скобки. Это не означает, что квадратное уравнение не имеет решения. На этом этапе нам нужно обратиться к прямому подходу квадратной формулы, чтобы найти решения квадратного уравнения или, проще говоря, определить значения x, которые могут удовлетворять уравнению.

   Чтобы использовать квадратную формулу, квадратное уравнение, которое мы решаем, необходимо преобразовать в «стандартную форму», в противном случае все последующие шаги не будут работать.Цель состоит в том, чтобы преобразовать квадратное уравнение таким образом, чтобы квадратное выражение было изолировано с одной стороны уравнения, в то время как противоположная сторона содержала только ноль, 0.

   Взгляните на диаграмму ниже.

   В этом удобном формате числовые значения a, b и c легко идентифицируются! Зная эти значения, мы можем теперь подставить их в формулу корней квадратного уравнения, а затем найти значения x. 2} + bx + c = 0.

При необходимости снизьте скорость. Будьте осторожны с каждым шагом, упрощая выражения. Здесь обычно случаются типичные ошибки, потому что учащиеся склонны «расслабляться», что приводит к ошибкам, которые можно было предотвратить, например, при сложении, вычитании, умножении и / или делении действительных чисел.

---

Примеры решения квадратных уравнений по квадратичной формуле

Пример 1 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

При осмотре очевидно, что квадратное уравнение имеет стандартную форму, поскольку правая часть равна нулю, а остальные члены остаются в левой части. Другими словами, у нас есть что-то вроде этого

Это здорово! Нам нужно просто определить значения a, b и c, а затем подставить их в формулу корней квадратного уравнения.

Вот и все! Возьмите за привычку всегда проверять решенные значения x обратно в исходное уравнение.

---

Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение абсолютно не в той форме, в которой мы хотим, потому что правая часть равна НЕ нулю. Мне нужно удалить это 7 с правой стороны, вычтя обе части на 7. Это решит нашу проблему. После этого решите относительно x как обычно.

Окончательные ответы: {x_1} = 1 и {x_2} = — {2 \ over 3}.

---

Пример 3 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение выглядит как «беспорядок».У меня есть переменные x и константы по обе стороны уравнения. Если мы сталкиваемся с чем-то подобным, всегда придерживайтесь того, что мы знаем. Да, все дело в стандартной форме. Мы должны заставить правую часть равняться нулю. Мы можем сделать это за два шага.

Сначала я вычту обе стороны на 5x, а затем прибавлю 8.

Нам нужны значения:

a = — 1, b = — \, 8 и c = 2

---

Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

Что ж, если вы думаете, что Пример 3 — это «беспорядок», то он должен быть еще более «беспорядочным». Однако вскоре вы поймете, что они действительно очень похожи.

Сначала нам нужно выполнить некоторую очистку, преобразовав это квадратное уравнение в стандартную форму. Звучит знакомо? Поверьте, эта проблема не так плоха, как кажется, если мы знаем, что делать.

Напоминаю, что нам нужно что-то вроде этого

Следовательно, мы должны сделать все возможное, чтобы правая часть уравнения стала равной нулю.2} термин справа.

• Исключите член x с правой стороны.
• Удалите постоянную с правой стороны.

После получения правильной стандартной формы на предыдущем шаге теперь пора подставить значения a, b и c в формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти x.

• Из преобразованной стандартной формы извлеките требуемые значения.

a = 1, b = — \, 4 и c = — \, 14

• Затем вычислите эти значения в формуле корней квадратного уравнения.

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас заинтересует:

Решение квадратных уравнений методом квадратного корня
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

квадратных уравнений | Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Решите квадратные уравнения факторизацией.
• Решите квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня.
• Решите квадратные уравнения, заполнив квадрат.
• Решите квадратные уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения.

Рисунок 1.

Монитор компьютера слева на (Рисунок) — это модель с диагональю 23,6 дюйма, а монитор справа — модель с диагональю 27 дюймов. Пропорционально мониторы выглядят очень похожими. Если пространство ограничено, и нам нужен максимально большой монитор, как нам решить, какой из них выбрать? В этом разделе мы узнаем, как решать такие проблемы, используя четыре разных метода.{2} -4 = 0 \, [/ latex] — квадратные уравнения. Они используются бесчисленным количеством способов в области инженерии, архитектуры, финансов, биологии и, конечно же, математики.

Часто самым простым методом решения квадратного уравнения является факторинг. Факторинг означает поиск выражений, которые можно перемножить, чтобы получить выражение на одной стороне уравнения.

Если квадратное уравнение можно разложить на множители, оно записывается как произведение линейных членов. Решение путем факторизации зависит от свойства нулевого произведения, которое гласит, что если [latex] \, a \ cdot b = 0, [/ latex], то [latex] \, a = 0 \, [/ latex] или [latex] \, b = 0, [/ latex] где a и b — действительные числа или алгебраические выражения.Другими словами, если произведение двух чисел или двух выражений равно нулю, то одно из чисел или одно из выражений должно быть равно нулю, потому что ноль, умноженный на что-либо, равен нулю.

При умножении множителей уравнение превращается в строку терминов, разделенных знаками плюс или минус. Таким образом, в этом смысле операция умножения отменяет операцию факторинга. Например, разверните факторизованное выражение [латекс] \, \ left (x-2 \ right) \ left (x + 3 \ right) \, [/ latex], умножив два множителя вместе.{2} + x-6 = 0 \, [/ latex] в стандартной форме.

Мы можем использовать свойство нулевого произведения для решения квадратных уравнений, в которых мы сначала должны вычесть наибольший общий множитель (GCF), а также для уравнений, которые также имеют специальные формулы факторизации, такие как разность квадратов, оба из которых мы увидим позже в этом разделе.

Свойство нулевого произведения и квадратные уравнения

Свойство нулевого продукта заявляет

[латекс] \ text {If} a \ cdot b = 0, \ text {then} a = 0 \ text {или} b = 0, [/ latex]

, где a и b — действительные числа или алгебраические выражения.{2}, [/ latex] равно 1. У нас есть один метод факторизации квадратных уравнений в этой форме.

Как это сделать

Дан квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1, разложите его на множители.

1. Найдите два числа, произведение которых равно c , а сумма равна b .
2. Используйте эти числа, чтобы записать два множителя вида [латекс] \, \ left (x + k \ right) \ text {или} \ left (xk \ right), [/ latex], где k — одно из числа, найденные на шаге 1.{2} + x-6 = 0, [/ latex] ищем два числа, произведение которых равно [latex] \, — 6 \, [/ latex], а сумма равна 1. Начните с рассмотрения возможных множителей [ латекс] \, — 6. [/ латекс]

   [латекс] \ begin {array} {c} 1 \ cdot \ left (-6 \ right) \\ \ left (-6 \ right) \ cdot 1 \\ 2 \ cdot \ left (-3 \ right) \ \ 3 \ cdot \ left (-2 \ right) \ end {array} [/ latex]

   Последняя пара, [latex] \, 3 \ cdot \ left (-2 \ right) \, [/ latex] суммируется до 1, так что это числа. Обратите внимание, что подойдет только одна пара чисел. Затем запишите факторы.

   [латекс] \ влево (x-2 \ вправо) \ влево (x + 3 \ вправо) = 0 [/ латекс]

   Чтобы решить это уравнение, мы используем свойство нулевого произведения. Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

   [латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ left (x-2 \ right) \ left (x + 3 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill \ left (x-2 \ right ) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & 2 \ hfill \\ \ hfill \ left (x + 3 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & -3 \ hfill \ end { array} [/ latex]

   Два решения: [латекс] \, 2 \, [/ латекс] и [латекс] \, — 3.{2} + 8x + 15 = 0. [/ Latex]

   Показать решение

   Найдите два числа, произведение которых равно [latex] \, 15 \, [/ latex], а сумма равна [latex] \, 8. \, [/ Latex]. Перечислите факторы [latex] \, 15. [/ Latex] ]

   [латекс] \ begin {array} {c} 1 \ cdot 15 \ hfill \\ 3 \ cdot 5 \ hfill \\ \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (-15 \ right) \ hfill \\ \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-5 \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Числа, которые складываются с 8, — это 3 и 5. Затем запишите множители, установите каждый множитель равным нулю и решите.

   [латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 5 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill \ left (x + 3 \ right) ) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & -3 \ hfill \\ \ hfill \ left (x + 5 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & -5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Растворы: [латекс] \, — 3 \, [/ латекс] и [латекс] \, — 5. {2} + bx + c = 0, [/ latex] умножьте [латекс] \, a \ cdot c.[/ латекс]

3. Найдите два числа, произведение которых равно [latex] \, ac \, [/ latex], а сумма равна [latex] \, b. [/ Latex]
4. Перепишите уравнение, заменив член [latex] \, bx \, [/ latex] двумя членами, используя числа, найденные на шаге 1, в качестве коэффициентов x.
5. Разложите на множители первые два члена, а затем последние два члена. Выражения в скобках должны быть точно такими же, чтобы можно было использовать группировку.
6. Вынести за скобки выражение, заключенное в скобки.
7. Установите выражения равными нулю и найдите переменную.{2} + 15x + 9 = 0. [/ Latex]
   Показать решение

   Сначала умножьте [latex] \, ac: 4 \ left (9 \ right) = 36. \, [/ Latex] Затем укажите множители [latex] \, 36. [/ Latex]

   [латекс] \ begin {array} {l} 1 \ cdot 36 \ hfill \\ 2 \ cdot 18 \ hfill \\ 3 \ cdot 12 \ hfill \\ 4 \ cdot 9 \ hfill \\ 6 \ cdot 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Единственная пара множителей, суммирующая [латекс] \, 15 \, [/ латекс], это [латекс] \, 3 + 12. \, [/ Латекс] Перепишите уравнение, заменив член b , [латекс] \, 15x, [/ latex] с двумя членами, используя 3 и 12 в качестве коэффициентов x .{2} + 3x + 12x + 9 & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x \ left (4x + 3 \ right) +3 \ left (4x + 3 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill \ left (4x + 3 \ right) \ left (x + 3 \ right) & = & 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Решите, используя свойство нулевого произведения.

   [латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ left (4x + 3 \ right) \ left (x + 3 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ phantom {\ rule {2em} {0ex }} \ hfill \ left (4x + 3 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & — \ frac {3} {4} \ hfill \\ \ phantom {\ rule {2em} {0ex} } \ hfill \ left (x + 3 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & -3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Рисунок 3.{2} + 3x + 2x + 2 \ right) & = & 0 \ hfill \\ \ hfill -x \ left [3x \ left (x + 1 \ right) +2 \ left (x + 1 \ right) \ right ] & = & 0 \ hfill \\ \ hfill -x \ left (3x + 2 \ right) \ left (x + 1 \ right) & = & 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Теперь мы используем свойство нулевого продукта. Обратите внимание, что у нас есть три фактора.

   [латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill -x & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & 0 \ hfill \\ \ hfill 3x + 2 & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & — \ frac {2} {3} \ hfill \\ \ hfill x + 1 & = & 0 \ hfill \\ \ hfill x & = & -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Решения: [латекс] \, 0, [/ latex] [latex] — \ frac {2} {3}, [/ latex] и [latex] \, — 1.{2} = 15. [/ Латекс]

   Показать решение

   [латекс] x = 4 ± \ sqrt {5} [/ латекс]

   Завершение площади

   Не все квадратные уравнения могут быть разложены на множители или могут быть решены в их исходной форме с использованием свойства квадратного корня. В этих случаях мы можем использовать метод решения квадратного уравнения, известный как завершение квадрата. Используя этот метод, мы добавляем или вычитаем члены к обеим сторонам уравнения, пока у нас не будет трехчлена полного квадрата с одной стороны от знака равенства. Затем мы применяем свойство квадратного корня.{2} -6x = 13. [/ Латекс]

   Показать решение

   [латекс] x = 3 ± \ sqrt {22} [/ латекс]

   Использование квадратичной формулы

   Четвертый метод решения квадратного уравнения — использование квадратной формулы, формулы, которая решает все квадратные уравнения. Хотя квадратная формула работает с любым квадратным уравнением в стандартной форме, легко допустить ошибку при подстановке значений в формулу. Будьте внимательны при замене и используйте круглые скобки при вставке отрицательного числа.{2} — \ left (4 \ right) \ cdot \ left (1 \ right) \ cdot \ left (2 \ right)}} {2 \ cdot 1} \ hfill \\ & = & \ frac {-1 ± \ sqrt {1-8}} {2} \ hfill \\ & = & \ frac {-1 ± \ sqrt {-7}} {2} \ hfill \\ & = & \ frac {-1 ± i \ sqrt {7}} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Решение уравнения: [latex] \, \ frac {-1 + i \ sqrt {7}} {2} \, [/ latex] и [latex] \, \ frac {-1-i \ sqrt { 7}} {2} \, [/ latex] или [latex] \, \ frac {-1} {2} + \ frac {i \ sqrt {7}} {2} \, [/ latex] и [latex ] \, \ frac {-1} {2} — \ frac {i \ sqrt {7}} {2}. {2} + 3x-2 = 0.{2}, [/ latex], где [latex] \, a \, [/ latex] и [latex] \, b \, [/ latex] относятся к ногам прямоугольного треугольника, смежного с [latex] \, 90 ° \, угол [/ латекс], а [латекс] \, c \, [/ латекс] относится к гипотенузе. Он находит неизмеримое применение в архитектуре, инженерии, науках, геометрии, тригонометрии и алгебре, а также в повседневных приложениях.

   Мы используем теорему Пифагора, чтобы найти длину одной стороны треугольника, когда у нас есть длины двух других. Поскольку каждый член в теореме возведен в квадрат, когда мы решаем сторону треугольника, мы получаем квадратное уравнение.Угол {\ circ} \, [/ latex] и [latex] \, c \, [/ latex] относится к гипотенузе, как показано на (Рисунок).

   Рисунок 3.

   Нахождение длины недостающей стороны прямоугольного треугольника

   Найдите длину недостающей стороны прямоугольного треугольника на (Рисунок).

   Рисунок 4.

   Показать решение

   Поскольку у нас есть измерения для стороны b и гипотенузы, недостающая сторона равна a. {2} -4ac}} {2a} [/ латекс]

   Ключевые понятия

   • Многие квадратные уравнения могут быть решены путем факторизации, когда уравнение имеет старший коэффициент, равный 1, или если уравнение представляет собой разность квадратов.Затем свойство нулевого фактора используется для поиска решений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
   • Многие квадратные уравнения со старшим коэффициентом, отличным от 1, могут быть решены путем разложения на множители с использованием метода группировки. См. (Рисунок) и (Рисунок).
   • Другой метод решения квадратичных вычислений — это свойство извлечения квадратного корня. Переменная возведена в квадрат. Мы выделяем квадрат и извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения. Решение даст положительное и отрицательное решение.См. (Рисунок) и (Рисунок).
   • Завершение квадрата — это метод решения квадратных уравнений, когда уравнение не может быть разложено на множители. См. (Рисунок) .
   • Очень надежный метод решения квадратных уравнений — это квадратная формула, основанная на коэффициентах и ​​постоянном члене в уравнении. См. (Рисунок).
   • Дискриминант используется, чтобы указать природу корней, которые даст квадратное уравнение: действительные или комплексные, рациональные или иррациональные, и сколько корней каждого из них.См. (Рисунок) .
   • Теорема Пифагора, одна из самых известных теорем в истории, используется для решения задач прямоугольного треугольника и имеет приложения во многих областях. Чтобы определить длину одной стороны прямоугольного треугольника, необходимо решить квадратное уравнение. См. (Рисунок) .

   Упражнения по разделам

   Словесный

   Как распознать квадратное уравнение?

   Показать решение

   Это уравнение второй степени (старший показатель переменной степени равен 2).{2} + bx + c \, [/ latex] и не имеют нулей ( x -перехват). {2} -4ac, [/ latex] и как оно определяет количество и характер наших решений?

   Опишите два сценария, в которых использование свойства квадратного корня для решения квадратного уравнения было бы наиболее эффективным методом.{2}} = 0 [/ латекс]

   Показать решение

   [латекс] x = \ frac {-1 ± \ sqrt {17}} {8} [/ латекс]

   Технологии

   Для следующих упражнений введите выражения в графическую утилиту и найдите нули в уравнении (точки пересечения x ), используя 2 ^nd CALC 2: zero. Вспомните, что поиск нулей спросит левую границу (переместите курсор влево от нуля, введите), затем правую границу (переместите курсор вправо от нуля, введите), затем угадайте (переместите курсор между границами около нуля , входить).{2} -4ac}} {2a} \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Покажите, что сумма двух решений квадратного уравнения равна [latex] \, \ frac {-b} {a}. [/ Latex]

   У человека есть сад, длина которого на 10 футов больше ширины. Задайте квадратное уравнение, чтобы найти размеры сада, если его площадь составляет 119 футов. ² . Решите квадратное уравнение, чтобы найти длину и ширину.

   Показать решение

   [латекс] x \ влево (x + 10 \ вправо) = 119; [/ латекс] 7 футов и 17 футов

   Акции Abercrombie и Fitch имели цену [латекс] \, P = 0.{2} + 280x-1000, [/ latex], где [latex] \, x \, [/ latex] представляет количество предметов, проданных на аукционе, а [latex] \, p \, [/ latex] — это прибыль. Сделано компанией, проводившей аукцион. Сколько проданных товаров дало бы максимальную прибыль? Решите эту проблему, построив график выражения в вашей графической утилите и найдя максимум, используя 2 ^и CALC максимум. Чтобы получить хорошее окно для кривой, установите [latex] \, x \, [/ latex] [0,200] и [latex] \, y \, [/ latex] [0,10000].

   Показать решение

   максимум при [латексе] \, x = 70 [/ латексе]

   Реальные приложения

   Формула нормального систолического кровяного давления для мужчины [латекс] \, A, [/ латекс], измеренная в мм рт. {2} + 13t + 130, [/ latex] где [latex] \, 1 \ le t \ le 6 .\, [/ latex] Найдите день, когда 160 студентов заболели гриппом. Напомним, что ограничение на [latex] \, t \, [/ latex] не превышает 6.

   Глоссарий

   завершение квадрата

   процесс решения квадратных уравнений, в котором члены складываются или вычитаются из обеих сторон уравнения, чтобы сделать одну сторону идеальным квадратом.

   дискриминант

   выражение под корнем в квадратной формуле, которое указывает на природу решений, действительные или комплексные, рациональные или иррациональные, одинарные или двойные корни.

   Теорема Пифагора

   теорема, устанавливающая соотношение между длинами сторон прямоугольного треугольника, используемая для решения задач прямоугольного треугольника

   квадратное уравнение

   уравнение, содержащее многочлен второй степени; можно решить несколькими методами

   квадратная формула

   формула, которая решит все квадратные уравнения

   свойство квадратного корня

   один из методов, используемых для решения квадратного уравнения, в котором член [latex] \, {x} ^ {2} \, [/ latex] изолирован так, что можно взять квадратный корень из обеих частей уравнения решить для x

   свойство нулевого продукта

   свойство, которое формально заявляет, что умножение на ноль равно нулю, так что каждый коэффициент квадратного уравнения может быть установлен равным нулю для решения уравнений

   квадратных уравнений | Решенные задачи и практические вопросы

   В этой статье мы рассмотрим квадратные уравнения — определения, форматы, решенные задачи и примеры вопросов для практики.

   Квадратное уравнение — это полином, наибольшая степень которого равна квадрату переменной (x ² , y ² и т. Д.)

   Определения

   Моном — это алгебраическое выражение, содержащее только один член.

   Пример: x ³ , 2x, y ² , 3xyz и т. Д.

   Многочлен — это алгебраическое выражение, содержащее более одного члена.

   В качестве альтернативы можно указать —

   Многочлен формируется путем сложения / вычитания нескольких одночленов.

   Пример: x ³ + 2y ² + 6x + 10, 3x ² + 2x-1, 7y-2 и т. Д.

   Многочлен, содержащий два члена, называется биномиальным выражением .

   Многочлен, содержащий три члена, называется выражением трехчлена .

   Стандартное квадратное уравнение выглядит так:

   топор ² + bx + c = 0

   Где a, b, c — числа и a≥1.

   a, b называются коэффициентами x ^{, 2,} и x соответственно, а c называется константой.

   Ниже приведены примеры некоторых квадратных уравнений:

   1) x ² + 5x + 6 = 0, где a = 1, b = 5 и c = 6.

   2) x ² + 2x-3 = 0, где a = 1, b = 2 и c = -3

   3) 3x ² + 2x = 1

   → 3x ² + 2x-1 = 0, где a = 3, b = 2 и c = -1

   4) 9x ² = 4

   → 9x ² -4 = 0, где a = 9, b = 0 и c = -4

   Для каждого квадратного уравнения может быть одно или несколько решений.Они называются корнями квадратного уравнения.

   Для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0,

   сумма его корней = –b / a и произведение его корней = c / a.

   Квадратное уравнение может быть выражено как произведение двух биномов.

   Например, рассмотрим следующее уравнение

   x ² — (a + b) x + ab = 0

   x ² -ax-bx + ab = 0

   х (х-а) -b (х-а) = 0

   (х-а) (х-б) = 0

   x-a = 0 или x-b = 0
   x = a или x = b

   Здесь a и b называются корнями данного квадратного уравнения.

   Теперь давайте вычислим корни уравнения x ² + 5x + 6 = 0.

   Мы должны взять два числа, сложить которые мы получим 5 и умножить получим 6. Это 2 и 3.

   Выразим средний член как сложение 2х и 3х.

   → х ² + 2x + 3x + 6 = 0

   → х (х + 2) +3 (х + 2) = 0

   → (х + 2) (х + 3) = 0

   → x + 2 = 0 или x + 3 = 0

   → x = -2 или x = -3

   Этот метод называется факторингом .

   Ранее мы видели, что сумма корней равна –b / a, а произведение корней равно c / a. Давайте проверим это.

   Сумма корней уравнения x ² + 5x + 6 = 0 равна -5, а произведение корней равно 6.

   Корни этого уравнения -2 и -3 при сложении дают -5, а при умножении дают 6.

   Решенные примеры квадратных уравнений

   Решим еще несколько примеров этим методом.

   Задача 1: Решить для x: x ² -3x-10 = 0

   Решение :

   Выразим -3x как сумму -5x и + 2x.

   → х ² -5x + 2x-10 = 0

   → х (х-5) +2 (х-5) = 0

   → (х-5) (х + 2) = 0

   → x-5 = 0 или x + 2 = 0

   → x = 5 или x = -2

   Задача 2: Решите относительно x: x ² -18x + 45 = 0

   Решение :

   Числа, которые в сумме дают -18 и дают +45 при умножении: -15 и -3.

   Переписывая уравнение,

   → х ² -15x-3x + 45 = 0

   → х (х-15) -3 (х-15) = 0

   → (х-15) (х-3) = 0

   → x-15 = 0 или x-3 = 0

   → x = 15 или x = 3

   До сих пор коэффициент x ² был равен 1.Давайте посмотрим, как решить уравнения, в которых коэффициент при x ² больше 1.

   Задача 3: Решить относительно x: 3x ² + 2x = 1

   Решение :

   Переписывая наше уравнение, получаем 3x ² + 2x-1 = 0

   Здесь коэффициент при x ² равен 3. В этих случаях мы умножаем константу c на коэффициент x ² . Следовательно, произведение выбранных нами чисел должно быть равно -3 (-1 * 3).

   Выражение 2x как суммы + 3x и –x

   → 3x ² + 3x-x-1 = 0

   → 3х (х + 1) -1 (х + 1) = 0

   → (3x-1) (x + 1) = 0

   → 3x-1 = 0 или x + 1 = 0

   → x = 1/3 или x = -1

   Задача 4: Решите для x: 11x ² + 18x + 7 = 0

   Решение :

   В этом случае сумма выбранных чисел должна быть равна 18, а произведение чисел должно быть равно 11 * 7 = 77.

   Это можно сделать, представив 18x как сумму 11x и 7x.

   → 11x ² + 11x + 7x + 7 = 0

   → 11x (x + 1) +7 (x + 1) = 0

   → (х + 1) (11x + 7) = 0

   → x + 1 = 0 или 11x + 7 = 0

   → х = -1 или х = -7/11.

   Факторинг — простой способ найти корни. Но этот метод применим только к уравнениям, которые можно разложить на множители.

   Например, рассмотрим уравнение x ² + 2x-6 = 0.

   Если мы возьмем +3 и -2, их умножение даст -6, но их сложение не даст +2. Следовательно, это квадратное уравнение нельзя разложить на множители.

   Для такого рода уравнений мы применяем формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни.

   Квадратичная формула для нахождения корней,

   x = [-b ± √ (b ² -4ac)] / 2a

   Теперь давайте найдем корни приведенного выше уравнения.

   x ² + 2x-6 = 0

   Здесь a = 1, b = 2 и c = -6.

   Подставляя эти значения в формулу,

   x = [-2 ± √ (4 — (4 * 1 * -6))] / 2 * 1

   → x = [-2 ± √ (4 + 24)] / 2

   → x = [-2 ± √28] / 2

   Когда мы получаем неполный квадрат в квадратном корне, мы обычно пытаемся выразить его как произведение двух чисел, одно из которых является точным квадратом. Это сделано для упрощения. Здесь 28 может быть выражено как произведение 4 и 7.

   → x = [-2 ± √ (4 * 7)] / 2

   → x = [-2 ± 2√7] / 2

   → x = 2 [-1 ± √7] / 2

   → х = -1 ± √7

   Следовательно, √7-1 и -√7-1 являются корнями этого уравнения.

   Рассмотрим другой пример.

   Решить относительно x: x ² = 24 — 10x

   Решение :

   Переписывая уравнение в стандартную квадратичную форму,

   x ² + 10x-24 = 0

   Какие два числа при сложении дают +10, а при умножении — -24? 12 и -2.

   Значит, это можно решить методом факторинга. Но давайте решим его новым методом, применив формулу корней квадратного уравнения.

   Здесь a = 1, b = 10 и c = -24.

   x = [-10 ± √ (100 — 4 * 1 * -24)] / 2 * 1

   x = [-10 ± √ (100 — (- 96))] / 2

   x = [-10 ± √196] / 2

   x = [-10 ± 14] / 2

   x = 2 или x = -12 — корни.

   Дискриминант

   Для уравнения ax ² + bx + c = 0, b ² -4ac называется дискриминантом и помогает определить характер корней квадратного уравнения.

   Если b ² -4ac> 0, корни действительны и различны.

   Если b ² -4ac = 0, корни действительны и равны.

   Если b ² -4ac <0, корни не являются действительными (они комплексные).

   Рассмотрим следующий пример:

   Задача: Найдите характер корней уравнения x ² + x + 12 = 0.

   Решение :

   b ² -4ac = -47 для этого уравнения. Итак, у него сложные корни. Давайте проверим это.

   → [-1 ± √ (1-48)] / 2 (1)

   → [-1 ± √-47] / 2

   √-47 обычно записывается как i √47, указывая на то, что это мнимое число.

   Значит проверено.
   

   Тест по квадратным уравнениям

   : решите следующую задачу

   Проблема 1

   Решить относительно x: x ² -15x + 56 = 0

   A. x = 14 или x = 4
   B. x = 8 или x = 7
   C. x = 28 или x = 2
   D. Все вышеперечисленное

   Ответ 1

   Б.

   Пояснение

   Только 8 и 7 удовлетворяют условиям сложения до 15 и получения произведения 56.

   Задача 2

   Найти x, если 2x ² + 7x + 4 = 0

   A. -7 ± √17 / 4
   B. -7 ± √7 / 4
   C. [-7 ± √17] / 4
   D. [-7 ± √17] / 2

   Ответ 2

   C.

   Пояснение :

   Применяя формулу корней квадратного уравнения и подставляя a = 2, b = 7 и c = 4, мы получаем ответ как C.

   Задача 3

   При каком значении k уравнение x ² -12x + k = 0 имеет действительные и равные корни?
   А.6
   Б. 35
   В. 12
   Д. 36

   Ответ 3

   Д.

   Пояснение

   b ² -4ac = 0, чтобы уравнение имело действительные и равные корни.
   144-4к = 0 → к = 36

   
   

   Пройдите этот доступный онлайн-курс по квадратным уравнениям. Из решения, построения графиков и записи квадратного уравнения вы узнаете все шаг за шагом. Щелкните ниже. Квадратные уравнения; Ваше полное руководство

   % PDF-1.4 % 388 0 объект > эндобдж xref 388 168 0000000016 00000 н. 0000004866 00000 н. 0000004980 00000 н. 0000006585 00000 н. 0000006913 00000 н. 0000007027 00000 н. 0000007382 00000 п. 0000007764 00000 н. 0000012310 00000 п. 0000012667 00000 п. 0000012938 00000 п. 0000013050 00000 п. 0000013307 00000 п. 0000013478 00000 п. 0000013787 00000 п. 0000014139 00000 п. 0000014695 00000 п. 0000015083 00000 п. 0000015465 00000 п. 0000015902 00000 н. 0000020121 00000 п. 0000020391 00000 п. 0000020580 00000 п. 0000020843 00000 п. 0000021107 00000 п. 0000021196 00000 п. 0000021801 00000 п. 0000021970 00000 п. 0000022342 00000 п. 0000022781 00000 п. 0000022964 00000 н. 0000023082 00000 п. 0000023582 00000 п. 0000023775 00000 п. 0000027838 00000 п. 0000028203 00000 п. 0000028436 00000 п. 0000033482 00000 п. 0000033754 00000 п. 0000033884 00000 п. 0000034456 00000 п. 0000034752 00000 п. 0000034916 00000 п. 0000035294 00000 п. 0000035850 00000 п. 0000036043 00000 п. 0000036306 00000 п. 0000036587 00000 п. 0000036727 00000 н. 0000039197 00000 п. 0000039532 00000 п. 0000039935 00000 н. 0000044013 00000 п. 0000044463 00000 п. 0000044874 00000 н. 0000045177 00000 п. 0000045264 00000 п. 0000050093 00000 п. 0000050403 00000 п. 0000050584 00000 п. 0000050989 00000 п. 0000051191 00000 п. 0000055739 00000 п. 0000056221 00000 п. 0000056385 00000 п. 0000056655 00000 п. 0000057012 00000 п. 0000060099 00000 п. 0000064373 00000 п. 0000064540 00000 п. 0000064798 00000 п. 0000069033 00000 п. 0000069396 00000 п. 0000069806 00000 п. 0000070324 00000 п. 0000070686 00000 п. 0000070919 00000 п. 0000071307 00000 п. 0000071655 00000 п. 0000072073 00000 п. 0000072445 00000 п. 0000077290 00000 н. 0000081743 00000 п. 0000087153 00000 п. 0000112495 00000 н. 0000113277 00000 н. 0000113402 00000 н. 0000116210 00000 н. 0000118378 00000 н. 0000120651 00000 н. 0000121294 00000 н. 0000122976 00000 н. 0000123803 00000 н. 0000125315 00000 н. 0000150888 00000 н. 0000151622 00000 н. 0000152509 00000 н. 0000157047 00000 н. 0000157082 00000 н. 0000157160 00000 н. 0000171703 00000 н. 0000172034 00000 н. 0000172100 00000 н. 0000172216 00000 н. 0000172251 00000 н. 0000172329 00000 н. 00001

   00000 н. 00001 00000 н. 00001 00000 н. 00001 00000 н. 00001 00000 н. 00001

   00000 н. 00001 00000 н. 00001

   00000 н. 00001 00000 н. 0000193652 00000 н. 0000193957 00000 н. 0000194278 00000 н. 0000194372 00000 н. 0000195070 00000 н. 0000195344 00000 н. 0000195653 00000 н. 0000195740 00000 н. 0000196393 00000 н. 0000196656 00000 н. 0000196959 00000 н. 0000197152 00000 н. 0000197605 00000 н. 0000197915 00000 н. 0000198326 00000 н. 0000198765 00000 н. 0000199154 ​​00000 н. 0000199490 00000 н. 0000199820 00000 н. 0000200238 00000 н. 0000200716 00000 н. 0000201026 00000 н. 0000201434 00000 н. 0000201858 00000 н. 0000203231 00000 н. 0000203568 00000 н. 0000203948 00000 н. 0000204430 00000 н. 0000204764 00000 н. 0000205082 00000 н. 0000206483 00000 н. 0000206783 00000 н. 0000246506 00000 н. 0000246545 00000 н. 0000249656 00000 н. 0000249695 00000 н. 0000252806 00000 н. 0000252845 00000 н. 0000253690 00000 н. 0000253755 00000 н. 0000256049 00000 н. 0000256114 00000 н. 0000256454 00000 н. 0000256764 00000 н. 0000257141 00000 н. 0000257547 00000 н. 0000258049 00000 н. 0000258471 00000 н. 0000258549 00000 н. 0000258817 00000 н. 0000258895 00000 н. 0000259163 00000 н. 0000003656 00000 н. трейлер ] / Назад 761871 >> startxref 0 %% EOF 555 0 объект > поток h ޴ kPUaeѽ «X, rE: # 4` Ը A]` eJd @ rAǑ Չ qLj: / Ϝ9 = 9s Ln

   9.3 Решите квадратные уравнения, используя квадратичную формулу — промежуточная алгебра 2e

   Задачи обучения

   К концу этого раздела вы сможете:

   • Решите квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы
   • Используйте дискриминант, чтобы предсказать количество и тип решений квадратного уравнения
   • Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения

   Будьте готовы 9,7

   Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

   Вычислить b2−4abb2−4ab, когда a = 3a = 3 и b = −2.b = −2.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.21.

   Будьте готовы 9,8

   Упростить: 108.108.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 8.13.

   Будьте готовы 9.9

   Упростить: 50,50.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 8.76.

   Решите квадратные уравнения с помощью квадратной формулы

   Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз предпринимали одни и те же шаги.К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ — «да». Математики ищут закономерности, когда делают что-то снова и снова, чтобы облегчить свою работу. В этом разделе мы выведем и воспользуемся формулой для нахождения решения квадратного уравнения.

   Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в целом», чтобы мы выполняли алгебраические шаги только один раз, а затем использовали новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной.Теперь мы рассмотрим этапы завершения квадрата, используя общую форму квадратного уравнения для решения квадратного уравнения для x.

   Начнем со стандартной формы квадратного уравнения и решим его для x , заполнив квадрат.

   Квадратичная формула

   Решения квадратного уравнения вида ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0a ≠ 0 даются формулой:

   x = −b ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a

   Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения a , b и c из стандартной формы в выражение в правой части формулы.Затем мы упрощаем выражение. В результате получается пара решений квадратного уравнения.

   Обратите внимание, что формула представляет собой уравнение. Убедитесь, что вы используете обе стороны уравнения.

   Пример 9.21

   Как решить квадратное уравнение с помощью квадратной формулы

   Решите через дискриминант: 2×2 + 9x − 5 = 0,2×2 + 9x − 5 = 0.

   Попробуйте 9,41

   Решите через дискриминант: 3y2−5y + 2 = 03y2−5y + 2 = 0.

   Попробуй 9.42

   Решите через дискриминант: 4z2 + 2z − 6 = 04z2 + 2z − 6 = 0.

   How To

   Решите квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.

   1. Шаг 1. Запишите квадратное уравнение в стандартной форме: ax ² + bx + c = 0. Определите значения a , b и c .
   2. Шаг 2. Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения a , b и c .
   3. Шаг 3. Упростите.
   4. Шаг 4. Проверьте решения.

   Если вы произносите формулу во время написания каждой задачи, вы сразу же ее запомните! И помните, что квадратная формула — это УРАВНЕНИЕ. Убедитесь, что вы начинаете с « x =».

   Пример 9.22

   Решите через дискриминант: x2−6x = −5.x2−6x = −5.

   Попробуйте 9,43

   Решите через дискриминант: a2−2a = 15a2−2a = 15.

   Попробуй 9.44

   Решите через дискриминант: b2 + 24 = −10bb2 + 24 = −10b.

   Когда мы решали квадратные уравнения с помощью свойства квадратного корня, мы иногда получали ответы с радикалами. То же самое может случиться и при использовании квадратичной формулы. Если в качестве решения мы получаем радикал, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.

   Пример 9.23

   Решите через дискриминант: 2×2 + 10x + 11 = 0,2×2 + 10x + 11 = 0.

   Попробуйте 9,45

   Решите через дискриминант: 3m2 + 12m + 7 = 03m2 + 12m + 7 = 0.

   Попробуйте 9,46

   Решите через дискриминант: 5n2 + 4n − 4 = 05n2 + 4n − 4 = 0.

   Когда мы подставляем a , b и c в квадратную формулу, а подкоренное выражение отрицательное, квадратное уравнение будет иметь мнимые или комплексные решения. Мы увидим это в следующем примере.

   Пример 9.24

   Решите через дискриминант: 3p2 + 2p + 9 = 0,3p2 + 2p + 9 = 0.

   Попробуйте 9,47

   Решите через дискриминант: 4a2−2a + 8 = 04a2−2a + 8 = 0.

   Попробуйте 9,48

   Решите через дискриминант: 5b2 + 2b + 4 = 05b2 + 2b + 4 = 0.

   Помните, чтобы использовать квадратичную формулу, уравнение должно быть записано в стандартной форме: ax ² + bx + c = 0. Иногда нам нужно сделать некоторую алгебру, чтобы преобразовать уравнение в стандартную форму. форму до того, как мы сможем использовать квадратичную формулу.

   Пример 9.25

   Решите через дискриминант: x (x + 6) + 4 = 0.х (х + 6) + 4 = 0.

   Решение

   Наш первый шаг — получить уравнение в стандартной форме.

   Попробуйте 9,49

   Решите через дискриминант: x (x + 2) −5 = 0.x (x + 2) −5 = 0.

   Попробуйте 9,50

   Решите через дискриминант: 3y (y − 2) −3 = 0,3y (y − 2) −3 = 0.

   Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы очищали дроби, умножая обе части уравнения на ЖК-дисплей.Это дало нам возможность решить эквивалентное уравнение — без дробей. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.

   Пример 9.26

   Решите через дискриминант: 12u2 + 23u = 13.12u2 + 23u = 13.

   Решение

   Наш первый шаг — очистить дроби.

   Попробуйте 9,51

   Решите через дискриминант: 14c2−13c = 11214c2−13c = 112.

   Попробуйте 9,52

   Решите через дискриминант: 19d2−12d = −1319d2−12d = −13.

   Подумайте об уравнении ( x — 3) ² = 0. Из свойства нулевого произведения мы знаем, что это уравнение имеет только одно решение,
   x = 3.

   В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения, стандартная форма которого представляет собой трехчлен полного квадрата, равного 0, дает только одно решение. Обратите внимание, что после упрощения подкоренное выражение становится 0, что приводит только к одному решению.

   Пример 9.27

   Решите через дискриминант: 4×2−20x = −25.4×2−20x = −25.

   Решение

   Знаете ли вы, что 4 x ² -20 x + 25 — это трехчлен полного квадрата. Это эквивалентно (2 x -5) ² ? Если вы решите
   4 x ² -20 x + 25 = 0 путем факторизации и последующего использования свойства квадратного корня, получите ли вы тот же результат?

   Попробуйте 9,53

   Решите через дискриминант: r2 + 10r + 25 = 0.r2 + 10r + 25 = 0.

   Попробуйте 9,54

   Решите, используя дискриминант: 25t2−40t = −16,25t2−40t = −16.

   Использование дискриминанта для предсказания количества и типа решений квадратного уравнения

   Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два реальных решения, одно реальное решение, а иногда два комплексных решения. Есть ли способ предсказать количество и тип решений квадратного уравнения, не решая его на самом деле?

   Да, выражение под радикалом квадратной формулы позволяет нам легко определить количество и тип решений.Это выражение называется дискриминантом.

   Дискриминант

   Давайте посмотрим на дискриминант уравнений в некоторых примерах, а также на количество и тип решений этих квадратных уравнений.

   Квадратное уравнение (в стандартной форме)	Дискриминант b2−4acb2−4ac	Значение дискриминанта	Количество и тип решений
   2×2 + 9x − 5 = 02×2 + 9x − 5 = 0	92−4 · 2 (−5) 12192−4 · 2 (−5) 121	+	2 настоящих
   4×2−20x + 25 = 04×2−20x + 25 = 0	(−20) 2−4 · 4 · 250 (−20) 2−4 · 4 · 250	0	1 реал
   3p2 + 2p + 9 = 03p2 + 2p + 9 = 0	22−4 · 3 · 9−10422−4 · 3 · 9−104	–	2 комплекс

   Использование дискриминанта,

   b ² — 4 ac , для определения количества и типа решений квадратного уравнения

   Для квадратного уравнения вида ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0, a ≠ 0,

   • Если b ² -4 ac > 0, уравнение имеет 2 действительных решения.
   • , если b ² -4 ac = 0, уравнение имеет 1 действительное решение.
   • , если b ² -4 ac <0, уравнение имеет 2 комплексных решения.

   Пример 9.28

   Определите количество решений каждого квадратного уравнения.

   ⓐ 3×2 + 7x − 9 = 03×2 + 7x − 9 = 0 ⓑ 5n2 + n + 4 = 05n2 + n + 4 = 0 ⓒ 9y2−6y + 1 = 0.9y2−6y + 1 = 0.

   Решение

   Чтобы определить количество решений каждого квадратного уравнения, мы посмотрим на его дискриминант.

   ⓐ

   	3×2 + 7x − 9 = 03×2 + 7x − 9 = 0
   Уравнение в стандартной форме, обозначьте a , b и c .	a = 3, b = 7, c = −9a = 3, b = 7, c = −9
   Запишите дискриминант.	b2−4acb2−4ac
   Подставить значения a , b и c .	(7) 2−4 · 3 · (−9) (7) 2−4 · 3 · (−9)
   Упростить.	49 + 10849 + 108
   	157157

   Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть 2 действительных решения.

   ⓑ

   	5n2 + n + 4 = 05n2 + n + 4 = 0
   Уравнение в стандартной форме, обозначьте a , b и c .	a = 5, b = 1, c = 4a = 5, b = 1, c = 4
   Запишите дискриминант.	b2−4acb2−4ac
   Подставить значения a , b и c .	(1) 2−4 · 5 · 4 (1) 2−4 · 5 · 4
   Упростить.	1−801−80
   	−79−79

   Поскольку дискриминант отрицательный, есть 2 комплексных решения уравнения.

   ⓒ

   	9y2−6y + 1 = 09y2−6y + 1 = 0
   Уравнение в стандартной форме, обозначьте a , b и c .	a = 9, b = −6, c = 1a = 9, b = −6, c = 1
   Запишите дискриминант.	b2−4acb2−4ac
   Подставить значения a , b и c .	(−6) 2−4 · 9 · 1 (−6) 2−4 · 9 · 1
   Упростить.	36−3636−36
   	00

   Поскольку дискриминант равен 0, существует 1 действительное решение уравнения.

   Попробуйте 9,55

   Определите количество и тип решений каждого квадратного уравнения.

   ⓐ 8m2−3m + 6 = 08m2−3m + 6 = 0 ⓑ 5z2 + 6z − 2 = 05z2 + 6z − 2 = 0 ⓒ 9w2 + 24w + 16 = 0.9w2 + 24w + 16 = 0.

   Попробуйте 9,56

   Определите количество и тип решений каждого квадратного уравнения.

   ⓐ b2 + 7b − 13 = 0b2 + 7b − 13 = 0 ⓑ 5a2−6a + 10 = 05a2−6a + 10 = 0 ⓒ 4r2−20r + 25 = 0.4r2−20r + 25 = 0.

   Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

   Мы резюмируем четыре метода, которые мы использовали для решения квадратных уравнений ниже.

   Методы решения квадратных уравнений

   1. Факторинг
   2. Свойство квадратного корня
   3. Завершение площади
   4. Квадратичная формула

   Учитывая, что у нас есть четыре метода решения квадратного уравнения, как вы решите, какой из них использовать? Факторинг — часто самый быстрый метод, поэтому мы сначала пробуем его.Если уравнение имеет вид ax2 = kax2 = k или a (x − h) 2 = ka (x − h) 2 = k, мы используем свойство квадратного корня. Для любого другого уравнения, вероятно, лучше всего использовать квадратичную формулу. Помните, что вы можете решить любое квадратное уравнение, используя квадратную формулу, но это не всегда самый простой метод.

   Как насчет метода заполнения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают не использовать его. Нам нужно было включить его в список методов, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы получить квадратную формулу.Вы также будете использовать процесс завершения квадрата в других областях алгебры.

   How To

   Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения.

   1. Шаг 1. Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные множители легко, этот метод очень быстрый.
   2. Шаг 2. Далее попробуйте , свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме ax2 = kax2 = k или a (x − h) 2 = k, a (x − h) 2 = k, его можно легко решить, используя свойство квадратного корня.
   3. Шаг 3. Используйте квадратичную формулу . Любое другое квадратное уравнение лучше всего решать с помощью квадратной формулы.

   В следующем примере эта стратегия используется для решения каждого квадратного уравнения.

   Пример 9.29

   Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения.

   ⓐ 5z2 = 175z2 = 17 ⓑ 4×2−12x + 9 = 04×2−12x + 9 = 0 ⓒ 8u2 + 6u = 11,8u2 + 6u = 11.

   Решение

   ⓐ
   5z2 = 175z2 = 17

   Поскольку уравнение имеет вид ax2 = k, ax2 = k, наиболее подходящим методом является использование свойства квадратного корня.

   ⓑ
   4×2−12x + 9 = 04×2−12x + 9 = 0

   Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен полного квадрата, поэтому факторинг будет наиболее подходящим методом.

   ⓒ

   	8u2 + 6u = 118u2 + 6u = 11
   Приведите уравнение в стандартную форму.	8u2 + 6u − 11 = 08u2 + 6u − 11 = 0

   Хотя наша первая мысль может заключаться в том, чтобы попробовать факторинг, размышления обо всех возможностях метода проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода.

   Попробуйте 9,57

   Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения.

   x2 + 6x + 8 = 0x2 + 6x + 8 = 0 ⓑ (n − 3) 2 = 16 (n − 3) 2 = 16 ⓒ 5p2−6p = 9,5p2−6p = 9.

   Попробуйте 9,58

   Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения.

   ⓐ 8a2 + 3a − 9 = 08a2 + 3a − 9 = 0 ⓑ 4b2 + 4b + 1 = 04b2 + 4b + 1 = 0 ⓒ 5c2 = 125,5c2 = 125.

   Раздел 9.3. Упражнения

   Практика ведет к совершенству

   Решите квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы

   В следующих упражнениях решите, используя квадратичную формулу.

   128.

   6×2 + 2x − 20 = 06×2 + 2x − 20 = 0

   133.

   (v + 1) (v − 5) −4 = 0 (v + 1) (v − 5) −4 = 0

   134.

   (x + 1) (x − 3) = 2 (x + 1) (x − 3) = 2

   135.

   (y + 4) (y − 7) = 18 (y + 4) (y − 7) = 18

   136.

   (x + 2) (x + 6) = 21 (x + 2) (x + 6) = 21

   142.

   25d2−60d + 36 = 025d2−60d + 36 = 0

   Использование дискриминанта для предсказания числа реальных решений квадратного уравнения

   В следующих упражнениях определите количество реальных решений для каждого квадратного уравнения.

   145.

   ⓐ 4×2−5x + 16 = 04×2−5x + 16 = 0 ⓑ 36y2 + 36y + 9 = 036y2 + 36y + 9 = 0 ⓒ 6m2 + 3m − 5 = 06m2 + 3m − 5 = 0

   146.

   ⓐ 9v2−15v + 25 = 09v2−15v + 25 = 0 ⓑ 100w2 + 60w + 9 = 0100w2 + 60w + 9 = 0 ⓒ 5c2 + 7c − 10 = 05c2 + 7c − 10 = 0

   147.

   ⓐ r2 + 12r + 36 = 0r2 + 12r + 36 = 0 ⓑ 8t2−11t + 5 = 08t2−11t + 5 = 0 ⓒ 3v2−5v − 1 = 03v2−5v − 1 = 0

   148.

   ⓐ 25p2 + 10p + 1 = 025p2 + 10p + 1 = 0 ⓑ 7q2−3q − 6 = 07q2−3q − 6 = 0 ⓒ 7y2 + 2y + 8 = 07y2 + 2y + 8 = 0

   Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

   В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (разложение на множители, квадратный корень или квадратная формула) для решения каждого квадратного уравнения.Не решай.

   149.

   
   ⓐ x2−5x − 24 = 0x2−5x − 24 = 0
   ⓑ (y + 5) 2 = 12 (y + 5) 2 = 12
   ⓒ 14m2 + 3m = 1114m2 + 3m = 11

   150.

   
   ⓐ (8v + 3) 2 = 81 (8v + 3) 2 = 81
   ⓑ w2−9w − 22 = 0w2−9w − 22 = 0
   ⓒ 4n2−10n = 64n2−10n = 6

   151.

   
   6a2 + 14a = 206a2 + 14a = 20
   ⓑ (x − 14) 2 = 516 (x − 14) 2 = 516
   ⓒ y2−2y = 8y2−2y = 8

   152.

   
   ⓐ 8b2 + 15b = 48b2 + 15b = 4
   ⓑ 59v2−23v = 159v2−23v = 1
   ⓒ (w + 43) 2 = 29 (w + 43) 2 = 29

   Письменные упражнения

   153.

   Решите уравнение x2 + 10x = 120×2 + 10x = 120

   ⓐ, заполнив квадрат

   ⓑ по квадратичной формуле

   ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

   154.

   Решите уравнение 12y2 + 23y = 2412y2 + 23y = 24

   ⓐ, заполнив квадрат

   ⓑ по квадратичной формуле

   ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

   Самопроверка

   ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

   ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

   Решение квадратных уравнений с квадратичной формулой

   Purplemath

   Кто-то (возможно, в Индии седьмого века) решал множество квадратных уравнений, завершая квадрат.В какой-то момент он (и, да, тогда это был бы парень) заметил, что он всегда делал одни и те же шаги в одном и том же порядке для каждого уравнения.

   Великая сила алгебры заключается в том, что она дает нам возможность иметь дело с абстракциями, такими как формулы, которые всегда работают. Это может избавить нас от бремени и беспорядка, связанного с необходимостью возиться с числами каждый раз, когда мы делаем одно и то же. Используя эту способность по отношению к решению квадратичных квадратов путем завершения квадрата, он составил формулу из того, что он делал; а именно квадратичная формула, которая гласит:

   MathHelp.com

   Квадратичная формула: Дано квадратное уравнение в следующей форме:

   … где a , b и c — числовые коэффициенты членов квадратичного уравнения, значение переменной x определяется следующим уравнением:

   Квадратичная формула хороша тем, что она всегда работает.Есть некоторые квадраты (на самом деле большинство из них), которые мы не можем решить с помощью факторизации. Но квадратная формула всегда даст ответ, независимо от того, было ли квадратное выражение факторизованным.

   Давайте попробуем еще раз эту первую задачу с предыдущей страницы, но на этот раз мы будем использовать квадратичную формулу вместо трудоемкого процесса завершения квадрата:

   • Используйте квадратичную формулу для решения

     x ² — 4 x — 8 = 0

   Квадратичная формула требует, чтобы у меня было квадратичное выражение с одной стороны от знака «равно» и «ноль» с другой стороны.Они уже дали мне уравнение в такой форме. Кроме того, Формула выражается в виде числовых коэффициентов при квадратичном выражении. Глядя на коэффициенты в этом уравнении, я вижу, что a = 1, b = –4 и c = –8. Я вставлю эти числа в формулу и упрощу. (Я должен получить тот же ответ, что и раньше.)

   Это тот же ответ, который я получил ранее, который подтверждает, что квадратичная формула работает так, как задумано.Еще раз, мой окончательный ответ:

   ---

   Самое приятное в квадратичной формуле (по сравнению с завершением квадрата) состоит в том, что мы просто подставляем формулу. Нет никаких «шагов», которые нужно запомнить, и, следовательно, меньше возможностей для ошибок. При этом сказано:

   Следите за тем, чтобы не пропустить знак «±» перед радикалом.

   Не проводите дробную линию только под квадратным корнем, потому что она также находится под начальной частью «- b ».

   Не забывайте, что знаменатель формулы — «2 a », а не просто «2». То есть, когда ведущий член представляет собой что-то вроде «5 x ² », вам нужно не забыть поместить в знаменатель значение « a = 5».

   Используйте круглые скобки вокруг коэффициентов, когда вы впервые вставляете их в формулу, особенно когда любой из этих коэффициентов отрицательный, чтобы не потерять знаки «минус».

   ---

   • Решите 4

     x ² + 3 x — 2 = 0, используя квадратичную формулу.

   Сначала я зачитаю значения коэффициентов, которые я буду подставлять в формулу:

   Теперь все, что мне нужно сделать, это вставить эти значения в формулу и упростить, чтобы получить ответ:

   x = [- (3) ± sqrt {(3) ² — 4 (4) (- 2}] / [2 (4)]

   = [–3 ± sqrt {9 + 32}] / [8]

   = [–3 ± sqrt {41}] / [8]

   Абсолютно ничего не упростит, так что я закончил.Мой ответ:

   x = [–3 ± sqrt {41}] / [8]

   ---

   Вы должны обязательно запомнить квадратную формулу. Меня не волнует, скажет ли ваш учитель, что даст вам его на следующем тесте; все равно запомните его, потому что он вам понадобится позже. Это не так уж и долго, и есть даже песня, которая поможет вам запомнить ее на мелодию «Pop Goes the Weasel»:

   X равно отрицательному B
   Плюс или минус квадратный корень
   из B-квадрата минус четыре A C
   Всего два A

   (Вышеупомянутая песня для меня не оригинальна.Я узнал это в другом месте.)

   При использовании формулы будьте осторожны, потому что, пока вы делаете свою работу аккуратно, квадратичная формула каждый раз будет давать вам правильный ответ.

   У меня есть урок по квадратичной формуле, в котором представлены рабочие примеры и показана связь между дискриминантом (часть « b ² — 4 ac » внутри квадратного корня), количеством и типом решений квадратное уравнение и график соответствующей параболы.Если вам нужна дополнительная помощь с формулой, изучите урок по указанной выше гиперссылке.

   ---

   Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений с помощью квадратной формулы. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить, используя квадратичную формулу», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.)

   (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.{2} \) само по себе. Шаг 2 : Используйте свойство квадратного корня. Не забудьте написать символ \ (\ pm \). \ (x = \ pm \ sqrt {50} \) Шаг 3 : Упростите корень. Перепишите, чтобы показать два решения. \ (\ begin {array} {l} {x = \ pm \ sqrt {25} \ cdot \ sqrt {2}} \\ {x = \ pm 5 \ sqrt {2}} \\ {} x = 5 \ sqrt {2}, \: x = -5 \ sqrt {2} \ end {array} \) Шаг 4 : Проверьте решения.{2} -27 = 0 \).

   Ответ

   \ (y = 3 \ sqrt {3}, y = -3 \ sqrt {3} \)

   Шаги, которые необходимо предпринять для использования свойства квадратного корня для решения квадратного уравнения, перечислены здесь.

   Решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня

   1. Выделите квадратичный член и сделайте его коэффициент равным единице.
   2. Использовать свойство квадратного корня.
   3. Упростить радикал.
   4. Проверить решения.{2} = 36 \) Используйте свойство квадратного корня. \ (z = \ pm \ sqrt {36} \) Упростим корень. \ (z = \ pm 6 \) Перепишите, чтобы показать два решения. \ (z = 6, \ quad z = -6 \)

      Проверьте решения:

      Рисунок 9.1.1 Таблица 9.{2} = — 72 \) Используйте свойство квадратного корня. \ (x = \ pm \ sqrt {-72} \) Упростите, используя комплексные числа. \ (х = \ pm \ sqrt {72} i \) Упростим корень. \ (x = \ pm 6 \ sqrt {2} i \) Перепишите, чтобы показать два решения

      Проверьте решения:

      Рисунок 9.{2} = 12 \) Используйте свойство квадратного корня для бинома. \ (y-7 = \ pm \ sqrt {12} \) Упростим корень. \ (y-7 = \ pm 2 \ sqrt {3} \) Решите относительно \ (y \). \ (y = 7 \ pm 2 \ sqrt {3} \) Перепишите, чтобы показать два решения. \ (y = 7 + 2 \ sqrt {3} \)
      \ (y = 7-2 \ sqrt {3} \)

      Чек:

      Рисунок 9.{2} = \ frac {5} {9} \)

      Используйте свойство квадратного корня.

      \ (x- \ frac {1} {3} = \ pm \ sqrt {\ frac {5} {9}} \)

      Записываем радикал как долю квадратных корней.

      \ (x- \ frac {1} {3} = \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {9}} \)

      Упростите радикал.

      \ (x- \ frac {1} {3} = \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {3} \)

      Решите относительно \ (x \).

      \ (x = \ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {3} \)

      Перепишите, чтобы показать два решения.

      \ (x = \ frac {1} {3} + \ frac {\ sqrt {5}} {3}, x = \ frac {1} {3} — \ frac {\ sqrt {5}} {3} \)

      Чек:

      Оставляем вам чек.{2} = — 12 \)

      Используйте свойство квадратного корня.

      \ (2 x-3 = \ pm \ sqrt {-12} \)

      Упростите радикал.

      \ (2 x-3 = \ pm 2 \ sqrt {3} i \)

      Добавьте \ (3 \) к обеим сторонам.

      \ (2 x = 3 \ pm 2 \ sqrt {3} i \)

      Разделите обе части на \ (2 \).

      \ (x = \ frac {3 \ pm 2 \ sqrt {3 i}} {2} \)

      Перепишите в стандартной форме.

      \ (x = \ frac {3} {2} \ pm \ frac {2 \ sqrt {3} i} {2} \)

      Упростить.

      \ (x = \ frac {3} {2} \ pm \ sqrt {3} i \)

      Перепишите, чтобы показать два решения.{2} = 16 \) Используйте свойство квадратного корня. \ (2 n + 1 = \ pm \ sqrt {16} \) Упростим корень. \ (2 n + 1 = \ pm 4 \) Решите относительно \ (n \). Разделите каждую сторону на \ (2 \). Перепишите, чтобы показать два решения. \ (n = \ frac {-1 + 4} {2}, n = \ frac {-1-4} {2} \) Упростите каждое уравнение.{2} +40 п + 25 = 4 \).

      Ответ

      \ (n = — \ frac {3} {4}, \ quad n = — \ frac {7} {4} \)

      Получите доступ к этому онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики использования свойства квадратного корня для решения квадратных уравнений.

      .