квадратное уравнение | C++ для приматов

Условие задачи:
Каждая четвёрка чисел входного потока представляет собой квадратное уравнение в такой форме $ax^2+bx+c=d.$ Выпишите через запятую решения этих уравнений (если это возможно).

Тесты:

Входной поток чисел	Корни уравнений
1 -6 8 0 1 12 20 0	2, 4; -10, -2;
1 1 -6 -2 1 -2 10 0	-2.56155, 1.56155; нет корней;
2 -0.5 2.2 0 5 0 -25 0	нет корней; -2.23607, 2.23607;

Код на языке C++:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std;   int main() {     double a, b, c, d, D;     double x1,x2,x3;     while(cin>>a>>b>>c>>d){         D=b*b-4*a*(c-d);         if(D>0)         {             x1=(-b-sqrt(D))/(2*a);             x2=(-b+sqrt(D))/(2*a);             cout<<x1<<«, «<<x2<<«; «;         }         else         {             if(D==0)             {                 x3=(-b)/(2*a);                 cout<<x3<<«; «;             }             else cout<<«нет корней»<<«; «;         }     }     return 0; }

Код на языке Java:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

import java.util.*; import java.lang.*; import java.io.*;   class Ideone {     public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception     {         double a,b,c,d,D;         double x1,x2,x3;         Scanner in = new Scanner(System.in);         while (in.hasNextDouble()){                     a = in.nextDouble();             b = in.nextDouble();                     c = in.nextDouble();                     d = in.nextDouble();                     D=b*b-4*a*(c-d);                     if(D>0){                         x1=(-b-Math.sqrt(D))/(2*a);                         x2=(-b+Math.sqrt(D))/(2*a);                         System.out.println(x1+» «+x2+»;»);                     }                     else{                         if(D==0){                             x3=(-b)/(2*a);                             System.out.println(x3+»;»);                         }                         else System.out.println(«нет корней;»);                     }                 }     } }

Решение задачи:
Для решения этой задачи используется цикл, который выполняется до тех пор, пока в потоке подряд расположены четыре числа, четыре коэффициента, которые стоят перед неизвестными в квадратном уравнении классического вида: [latex]ax^{2}\pm bx\pm c=d[/latex]. Для самого нахождения корней использовалась известная формула [latex]x_{1,2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2} \pm 4a(c-d)}}{2a}[/latex]. В коде, для удобства, она была разделена на две части: нахождение дискриминанта [latex]D[/latex] и нахождение самих корней, что возможно (на вещественной числовой оси) лишь при условии [latex]D>0[/latex].

Решение задачи на C++: Ideone
Решение задачи на Java: Ideone

Posted in 4. Потоковая обработка. Tagged квадратное уравнение, потоковая обработка.

Задача:

Даны действительные числа [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex] ([latex]a[/latex]≠0). Выяснить, имеет ли уравнение [latex]ax^2 + bx + c = 0[/latex]  действительные корни. Если корни имеются, то найти их. В противном случае ответом должно служить сообщение, что корней нет.

Тесты:

Ввод:			Вывод:	Результат
a	b	c
0	*ввод не доступен*	*ввод не доступен*	неверный ввод	Нарушено первоначальное условие, дальнейший ввод не доступен
1	-3	2	уравнение имеет два действительных корня:x1=1.00×2=2.00	уравнение обладает двумя действительными корнями, которые были найдены
9	54	81	уравнение имеет один действительный корень:x0=-3.00	уравнение обладает единственным действительным корнем, который был найден
3	11	19	уравнение не имеет действительных корней	корни уравнения отсутствуют
4	21	24	уравнение имеет два действительных корня:x1=-6.73×2=-14.27	уравнение обладает двумя действительными корнями, которые были найдены
-2	-3.7	5	уравнение имеет два действительных корня:x1=5.51×2=-1.81	уравнение обладает двумя действительными корнями, которые были найдены

Код программы:

cpp.mazurok.com

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

      Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

5x² = 0 .

      Решение.

      Ответ: 0 .

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную   x   за скобки, перепишем уравнение в виде

      Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

      Ответ: .

      Пример 3. Решить уравнение

2x² – 5 = 0 .

      Решение.

      Ответ: .

      Пример 4. Решить уравнение

      Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.

      Ответ: .

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство. В случае, когда   D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

(9)

      В случае, когда   D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

(10)

      В случае, когда  D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0, из формулы (9) получаем:

      Следовательно, в случае, когда   D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

(11)

      В случае, когда   D > 0, из формулы (10) получаем:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

	(12)
	(13)

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c = = a (x – x1)2.

(16)

      В случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c = = a (x – x1) (x – x2) .

(17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0, корни   x₁ и   x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c =
= a (x – x₁) (x – x₂) =
= a [x² – (x₁ + x₂) x + x₁x₂] =
= ax² – a(x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ .

      Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

(18)

      Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

      Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа   x₁ и   x₂ являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

      Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа   x₁ и   x₂ являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

      Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

      Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

2.1.1 Квадратные уравнения

Видеоурок 1: Квадратное уравнение и его корни

Видеоурок 2: Решение квадратных уравнений

 

Лекция: Квадратные уравнения

Уравнение

Уравнение — это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная. 

Решить уравнение — значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

 

Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

— линейное: a*x = b;

— квадратное: a*x² + b*x + c = 0.

То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

Квадратные уравнения

Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид: 

a*x² + b*x + c = 0.

При этом a, b, c являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А «х» — корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

«а» — коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

«b» — стоит перед неизвестной в первой степени.

«с» — свободный член уравнения.

Если, например, мы имеем уравнение вида:

2х²-5х+3=0

В нем «2» — это коэффициент при старшем члене уравнения, «-5» — второй коэффициент, а «3» — свободный член.

Решение квадратного уравнения

Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

Решение по дискриминанту:

При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

Теорема Виета

Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета.

Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

Корни уравнения находятся следующим образом:

Неполное квадратное уравнение

Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

1. Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0), то квадратное уравнение будет иметь вид:

Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

2. Если второй коэффициент равен нулю (b = 0), то уравнение будет иметь следующий вид:

Для решения данного уравнения необходимо освободить корень от коэффициентов, в результате чего уравнение будет иметь следующий вид:

3. Если же свободный член равен нулю, то уравнение имеет следующий вид:

Для его решения необходимо вынести общий множитель за скобку. В результате этого мы имеем право каждый множитель приравнять к нулю. Это значит, что один корень всегда будет равен нулю, а второй вычисляется, как линейное уравнение по правилам нахождения неизвестного слагаемого.

cknow.ru