Решение квадратных уравнений c – Программа для решения квадратных уравнений на C++

квадратное уравнение | C++ для приматов

Условие задачи:
Каждая четвёрка чисел входного потока представляет собой квадратное уравнение в такой форме $ax^2+bx+c=d.$ Выпишите через запятую решения этих уравнений (если это возможно).

Тесты:

Входной поток чисел Корни уравнений
1 -6 8 0 1 12 20 0 2, 4; -10, -2;
1 1 -6 -2 1 -2 10 0 -2.56155, 1.56155; нет корней;
2 -0.5 2.2 0 5 0 -25 0 нет корней; -2.23607, 2.23607;

Код на языке C++:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

 

int main() {

    double a, b, c, d, D;

    double x1,x2,x3;

    while(cin>>a>>b>>c>>d){

        D=b*b-4*a*(c-d);

        if(D>0)

        {

            x1=(-b-sqrt(D))/(2*a);

            x2=(-b+sqrt(D))/(2*a);

            cout<<x1<<", "<<x2<<"; ";

        }

        else

        {

            if(D==0)

            {

                x3=(-b)/(2*a);

                cout<<x3<<"; ";

            }

            else cout<<"нет корней"<<"; ";

        }

    }

    return 0;

}

Код на языке Java:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

 

class Ideone

{

    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

    {

        double a,b,c,d,D;

        double x1,x2,x3;

        Scanner in = new Scanner(System.in);

        while (in.hasNextDouble()){

                    a = in.nextDouble();

            b = in.nextDouble();

                    c = in.nextDouble();

                    d = in.nextDouble();

                    D=b*b-4*a*(c-d);

                    if(D>0){

                        x1=(-b-Math.sqrt(D))/(2*a);

                        x2=(-b+Math.sqrt(D))/(2*a);

                        System.out.println(x1+" "+x2+";");

                    }

                    else{

                        if(D==0){

                            x3=(-b)/(2*a);

                            System.out.println(x3+";");

                        }

                        else System.out.println("нет корней;");

                    }

                }

    }

}

Решение задачи:
Для решения этой задачи используется цикл, который выполняется до тех пор, пока в потоке подряд расположены четыре числа, четыре коэффициента, которые стоят перед неизвестными в квадратном уравнении классического вида: [latex]ax^{2}\pm bx\pm c=d[/latex]. Для самого нахождения корней использовалась известная формула [latex]x_{1,2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2} \pm 4a(c-d)}}{2a}[/latex]. В коде, для удобства, она была разделена на две части: нахождение дискриминанта [latex]D[/latex] и нахождение самих корней, что возможно (на вещественной числовой оси) лишь при условии [latex]D>0[/latex].

Решение задачи на C++: Ideone
Решение задачи на Java: Ideone

Posted in 4. Потоковая обработка. Tagged квадратное уравнение, потоковая обработка.

Задача:

Даны действительные числа [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex] ([latex]a[/latex]≠0). Выяснить, имеет ли уравнение [latex]ax^2 + bx + c = 0[/latex]  действительные корни. Если корни имеются, то найти их. В противном случае ответом должно служить сообщение, что корней нет.

Тесты:

Ввод: Вывод: Результат
a b c
0 *ввод не доступен* *ввод не доступен* неверный ввод Нарушено первоначальное условие, дальнейший ввод не доступен
1 -3 2 уравнение имеет два действительных корня:x1=1.00×2=2.00 уравнение обладает двумя действительными корнями, которые были найдены
9 54 81 уравнение имеет один действительный корень:x0=-3.00 уравнение обладает единственным действительным корнем, который был найден
3 11 19 уравнение не имеет действительных корней корни уравнения отсутствуют
 4  21  24 уравнение имеет два действительных корня:x1=-6.73×2=-14.27 уравнение обладает двумя действительными корнями, которые были найдены
 -2 -3.7 5 уравнение имеет два действительных корня:x1=5.51×2=-1.81 уравнение обладает двумя действительными корнями, которые были найдены

Код программы:

cpp.mazurok.com

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Алгебра

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

      Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

5x2 = 0 .

      Решение.

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: 0 .

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную   x   за скобки, перепишем уравнение в виде

      Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

.

      Пример 3. Решить уравнение

2x2 – 5 = 0 .

      Решение.

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета .

      Пример 4. Решить уравнение

      Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

.

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(6)

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В случае, когда Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета, квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство. В случае, когда   D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(9)

      В случае, когда   D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(10)

      В случае, когда  D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0, из формулы (9) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Следовательно, в случае, когда   D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
(11)

      В случае, когда   D > 0, из формулы (10) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(12)
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(13)

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(14)

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(15)

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c =
= a (x – x1)2.
(16)

      В случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c =
= a (x – x1) (x – x2) .
(17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0, корни   x1 и   x2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax2 + bx + c =
= a (x – x1) (x – x2) =
= a [x2 – (x1 + x2) x + x1x2] =
= ax2a(x1 + x2) x + ax1x2 .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax2 + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax2a (x1 + x2) x + a x1x2 .

      Таким образом, справедливы равенства

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

следствием которых являются формулы

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(18)

      Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

      Словами прямая теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x1 и   x2 являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

      Обратная теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x1 и   x2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

      Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

      Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

2.1.1 Квадратные уравнения

Видеоурок 1: Квадратное уравнение и его корни

Видеоурок 2: Решение квадратных уравнений

 

Лекция: Квадратные уравнения


Уравнение

Уравнение - это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная. 

Решить уравнение - значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

 

Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

- линейное: a*x = b;

- квадратное: a*x2 + b*x + c = 0.

То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

Квадратные уравнения


Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид: 

a*x2 + b*x + c = 0.

При этом a, b, c являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А "х" - корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

"а" - коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

"b" - стоит перед неизвестной в первой степени.

"с" - свободный член уравнения.

Если, например, мы имеем уравнение вида:

2-5х+3=0

В нем "2" - это коэффициент при старшем члене уравнения, "-5" - второй коэффициент, а "3" - свободный член.

Решение квадратного уравнения

Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

Решение по дискриминанту:

При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

Теорема Виета


Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета.

Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

Корни уравнения находятся следующим образом:

Неполное квадратное уравнение

Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

1. Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0), то квадратное уравнение будет иметь вид:

Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

2. Если второй коэффициент равен нулю (b = 0), то уравнение будет иметь следующий вид:

Для решения данного уравнения необходимо освободить корень от коэффициентов, в результате чего уравнение будет иметь следующий вид:

3. Если же свободный член равен нулю, то уравнение имеет следующий вид:

Для его решения необходимо вынести общий множитель за скобку. В результате этого мы имеем право каждый множитель приравнять к нулю. Это значит, что один корень всегда будет равен нулю, а второй вычисляется, как линейное уравнение по правилам нахождения неизвестного слагаемого.


cknow.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о