Неполное квадратное уравнение. Примеры решения

Неполное квадратное уравнение отличаются от классических (полных) уравнений тем, что его множители или свободный член равны нулю. Графиком таких функций являются параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Разновидности неполных уравнений

Ничего сложного в определении типа неполного многочлена нет. Рассмотреть основные отличия лучше всего на наглядных примерах:

1. Если b = 0, то уравнение имеет вид ax² + c = 0.
2. Если c = 0, то решать следует выражение ax² + bx = 0.
3. Если b = 0 и c = 0, то многочлен превращается в равенство типа ax² = 0.

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в заданиях для проверки знаний, так как единственно верное значение переменной x в выражении – это ноль. В дальнейшем будет рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) видов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Не зависимо от разновидности уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

1. Привести выражение к удобному для поиска корней виду.
2. Произвести вычисления.
3. Записать ответ.

Решать неполные уравнения проще всего, разложив на множители левую часть и оставив ноль в правой. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для поиска корней сводится к вычислению значения x для каждого из множителей.

Научиться способам решения можно только лишь на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:

4x² – 1 = 0.

Как видно, в данном случае b = 0. Разложим левую часть на множители и получим выражение:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Подобным требованиям отвечают значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

Для того, чтобы легко и быстро справляться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:

Если в выражении отсутствует свободный член, задача многократно упрощается. Достаточно будет всего лишь найти и вынести за скобки общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример, как решать неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0.

x² + 3x = 0

Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционный способ решения и неполные квадратные уравнения

Что же будет, если применить формулу дискриминанта и попытаться найти корни многочлена, при коэффициентах равных нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий для ЕГЭ по математики 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и методом разложения на множители.

-7x² – 3x = 0.

Рассчитаем значение дискриминант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, многочлен имеет два корня:

Теперь, решим уравнение разложением на множители и сравним результаты.

-x ⋅ (7x + 3) = 0,

1) –x₁ = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Как видно, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым способ получилось гораздо проще и быстрее.

Теорема Виета

А что же делать с полюбившейся теоремой Виета? Можно ли применять данный метод при неполном трехчлене? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

На самом деле применять теорему Виета в данном случае возможно. Необходимо лишь привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулем.

Например, при b = 0 и a = 1, дабы исключить вероятность путаницы следует записать задание в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Теоретические выкладки помогают ознакомиться с сутью вопроса, и всегда требуют отработки навыка при решении конкретных задач. Снова обратимся к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:

x² – 16 = 0.

Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:

x² + 0 – 16 = 0.

Следующим шагом составим систему условий:

Очевидно, что корнями квадратного многочлена будут x₁ = 4 и x₂ = -4.

Теперь, потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4× x² – 1 = 0

Для того, чтобы применить к выражению теорему Виета необходимо избавиться от дроби. Перемножим левую и правую части на 4, и посмотрим на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово для решения теоремой Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ просто перенеся с = 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итог, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является разложения на множители, является самым простым и быстрым методом. При возникновении затруднений в процессе поиска корней можно обратиться к традиционному методу нахождения корней через дискриминант.

 

 

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

Решение неполных квадратных уравнений — СПИШИ У АНТОШКИ

 Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0 ,

где коэффициенты a , b и c — любые действительные числа, причем а ≠ 0 .

Коэффициенты a , b и с называют:

а — первый или старший коэффициент ;

b — второй коэффициент или коэффициент при х ;

с — свободный член.    

Квадратные уравнения бывают полные и неполные:

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты a , b и c не равны нулю. 

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент b  и или свободный член с равны нулю:

1. если коэффициент b = 0 , уравнение имеет вид: ax² + 0*x + c = 0 = ax² + c = 0

2. если свободный член c = 0 , уравнение имеет вид: ax² + b*x + 0 = 0 = ax² + b*x  = 0

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.    

Методы  решения   неполных квадратный уравнений:

Можно выделить 3  типа таких уравнений:

I. ax²  = 0, в этом уравнении коэффициент b  и свободный член c  равны 0 .

II.ax² + c = 0, в этом уравнении коэффициент b равен 0.

III. ax² + b*x = 0, в этом уравнении свободный член c  равен 0.

Рассмотрим решение каждого варианта:

1. Неполное квадратное уравнение вида ax²  + c = 0, где a ≠ 0  c ≠ 0:

1) Выразим неизвестное:

x² = -с / а

2) Проверяем знак выражения −c / a:

если −c / a , то уравнение не имеет решений,

если −c / a >0 , то уравнение имеет два корня x = √(-с/а)

2. Неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

1) Вынесем общим множитель x: ax² + bx =    x (ax + b) = 0

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 

3. Неполное квадратное уравнение вида ax² = 0, где a ≠ 0 

Данное уравнение всегда имеет только один корень: x = 0 

Рассмотрим примеры:

1.  2x² — 18 = 0 (данное уравнение — уравнение вида ax² + c = 0)

Выразим x² = 18 / 2 = 9

x² = √9 = ±3

Ответ: −3;3.

2.  18x² + 18 = 0 (данное уравнение — уравнение вида ax² + c = 0)

Выразим x² = -18 / 18 = -1

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения корней нет

Ответ: корней нет. Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества ∅ 

3. 3x² + 15x = 0 (данное уравнение — уравнение вида ax² + bx = 0)

Разложим левую часть на множители и найдем корни:

3x² + 15x = 0 ⇔ 3х(x + 5) = 0 ⇔ 3х = 0     ⇔    х = 0

                                                         или (х + 5) = 0  ⇔  х = -5

 Ответ: −5;0.

Квадратные уравнения (8 класс)

Примеры:

\(3x^2-26x+5=0\)
\((4-x)(4x-3)=3\)
\(\frac{x^2}{2}\)\(+\) \(\frac{2x}{3}\)\(=\)\(\frac{x-2}{6}\)

В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.

Левая часть уравнения, то есть выражение \(ax^2+bx+c\), является квадратным трехчленом.

Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Полное квадратное уравнение \(6x^2-x-2=0\) \(x^2-4x+3=0\) \(\frac{x^2}{2}-3x+1=0\)

Неполное квадратное уравнение \(5x^2=0\) \(x^2-25=0\) \(\frac{1}{2}x^2-x=0\)

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь.

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения: 

1. Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

2. Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
   Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

3. Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).

4. Вычислить корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)   и   \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).
   

Примеры:

Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:

\(2x(1+x)=3(x+5)\)		Равносильными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Сначала раскрываем скобки.
\(2x+2x^2=3x+15\)		Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак…
\(2x+2x^2-3x-15=0\)		…и приводим подобные слагаемые.
\(2x^2-x-15=0\)		Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
\(a=2\),      \(b=-1\),     \(c=-15\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=(-1)^2-4·2·(-15) =1+120=121\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1+11}{4}=3\) \(x_2=\frac{-(-1) — \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1-11}{4}=-2,5\)		Записываем ответ:

Ответ: \(x_1=3\), \(x_2=-2,5\).

Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:

\(x^2+9=6x\)		Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
\(x^2-6x+9=0\)		Выпишем коэффициенты.
\(a=1\),      \(b=-6\),   \(c=9\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=(-6)^2-4·1·9=36-36=0\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-(-6) + \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6+0}{2}=3\) \(x_2=\frac{-(-6) — \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6-0}{2}=3\)		В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Ответ: \(x=3\).

Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:

\(3x^2+x+2=0\)		Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
\(a=3\),    \(b=1\),   \(c=2\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=1^2-4·3·2=1-24=-23\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\) \(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)		Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Ответ: нет корней.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

Примеры решения полных, неполных и приведенных квадратных уравнений

Смотрите также:
Квадратные уравнения (шпаргалка)

Скачать статью

Квадратные уравнения — ЁП

Квадратное уравнение – уравнение вида ax2+bx+c=0, где x – переменная, a,b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: ax2+bx+c=0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a=…b=…c=…
3. Вычислить дискриминант по формуле: D=b2−4ac
4. Если D>0, будет два различных корня, которые находятся по формуле: x1,2=−b±D2a
5. Если D=0, будет один корень, который находится по формуле: x=−b2a
6. Если D<0, решений нет: x∈∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. −x2+6x+7=0

a=−1,b=6,c=7

D=b2−4ac=62−4⋅(−1)⋅7=36+28=64

D>0 – будет два различных корня:

x1,2=−b±D2a=−6±642⋅(−1)=−6±8−2=[−6+8−2=2−2=−1−6−8−2=−14−2=7

Ответ: x1=−1,x2=7

 

1. −x2+4x−4=0

a=−1,b=4,c=−4

D=b2−4ac=42−4⋅(−1)⋅(−4)=16−16=0

D=0 – будет один корень:

x=−b2a=−42⋅(−1)=−4−2=2

Ответ: x=2

 

1. 2×2−7x+10=0

a=2,b=−7,c=10

D=b2−4ac=(−7)2−4⋅2⋅10=49−80=−31

D<0 – решений нет.

Ответ: x∈∅

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b=0, либо c=0, либо b=c=0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!