Решение неравенств с модулем и параметром: Неравенства с модулем и параметром

Содержание

Урок «Решение неравенств с модулем, содержащих параметр»

Тема: Решение неравенств с модулем, содержащих параметр.

Цели урока:

Обучающая познакомить с методом решения неравенств с модулем, содержащих параметр.
Развивающая — развитие познавательной активности, логического мышления.
Воспитательная — воспитание организованности, внимания, математической наблюдательности.

ТСО: Проектор, компьютер. Дискета со приложениями №1,№2. Переносная доска.

Наглядность: таблица с формулами

Ход урока:

I. Актуализация знаний и проверка домашнего задания.

Вступительное слово учителя.

Задачи  с параметром встречаются на ЕГЭ в группе «С» под номерами 3 и 5.
Так как среди вас есть те, кто претендует на высокий балл, то тема важна для изучения. Начнем с повторения ключевых задач по теме «Решение  неравенств с модулем».


Назовите идею решения  неравенств, записанных на доске и решите их:

Ответы. Ученик.

Фёдоров С.

Свиршевская М.

Васильева А.

Михеев А.

На переносной доске работает Клинов А.
Решить неравенство:              
Приходилось ли вам встречать и другие способы решения неравенств?

Ответ: графический. Приложение 1.
Рассмотрим, в чем заключается графический способ решения.
Решить неравенство : 
Соловцов:  – строим графики функций   
Отмечаем точку пересечения графиков А.
Знак  >  понимаем так, что 1 график выше графика 2 и пишем ответ: X < 2

Приложение 1.

Повторим алгоритм решения линейных неравенств с параметром: 
Клинов А. объясняет решение на переносной доске. 
x(a+1)<a
если  
если
если

II. Изучение новой темы:

Учитель: рассмотрим  методы решения типовых примеров.

В числовых неравенствах заменив число  на букву,  получим неравенство с параметром.
Рассмотрим методы решения  этих неравенств. Они аналогичны рассмотренным способам решения неравенств с модулем.

Т.к. знак модуля определён, т.е.    
Решение зависит от выражения  а+1

Учитель: решим следующее неравенство:


Ответ:
Если ;

Учитель: Решим 3 пример.


Какими способами можно решить неравенство, если бы вместо буквы а  стояло число?
Ответ: возведение обеих частей неравенства в квадрат, методом «промежутков».
Те же способы применяются и для неравенства с параметром.
Методом «промежутков» пойдет решать Семенова Д.
Методом возведения в квадрат- Федоров С.
,
,

Проверили решения данного примера.
Каким еще способом можно решить данное неравенство?
Ответ:  графический.
Показывается приложение 2.
1.Строим графики функций
Найдем те значения переменной Х, когда  первый график лежит выше второго.

Приложение 2.
Возможны варианты,  когда а < 5  и а > 5


Рассмотрев различные способы решения, сделаем вывод- какой метод наиболее рациональный? Какими методами можно решить неравенства с параметром?

Вывод:
Методы решения неравенств с модулем, содержащие параметр, аналогичны тем, что применяются при решении числовых неравенств с модулем: по определению модуля, возведение обеих частей в квадрат, метод интервалов, графический. Необходимо выбирать наиболее рациональный.

Домашнее задание:
Подобрать и решить 3 уравнения с модулем, 3 неравенства  с модулем и 3 неравенства с модулем, содержащие параметр. Можно придумать самим.

Уравнения и неравенства с параметром

1. Линейное уравнение с параметром 2 вид — интерпретация лёгкое 4 Б. Определить, при каких значениях параметра корень линейного уравнения равен 0, или уравнение не имеет корней.
2. Уравнение с модулем и параметром 2 вид — интерпретация лёгкое 7 Б. Решение уравнения с модулем и параметром.
3. Показательное уравнение с параметром 2 вид — интерпретация лёгкое 2 Б. Нахождение параметра.
4. Неравенство с модулем и параметром 2 вид — интерпретация лёгкое 7 Б. Решение неравенства с модулем и параметром.
5. Линейное уравнение с двумя параметрами 2 вид — интерпретация среднее 8 Б. Решение линейного уравнения с двумя параметрами.
6. Квадратичная функция с параметром 2 вид — интерпретация
среднее
2 Б. Нахождение параметра.
7. Линейное неравенство с параметром 2 вид — интерпретация среднее 6 Б. Решение линейного неравенства с параметром.
8. Квадратичное неравенство с параметром 2 вид — интерпретация среднее 7 Б. Решение квадратичного неравенства с параметром.
9.
Неравенство n-ой степени с параметром 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Неравенство с параметром. Чётная степень.
10. Линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Предлагается решить линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) или выражения при неизвестном в левой части, или выражения в правой части.
11. Наименьшее целочисленное значение параметра 3 вид — анализ сложное 3 Б. Определяется наименьшее целочисленное значение параметра, при котором уравнение имеет два корня.
12. Логарифмическое неравенство с параметром 3 вид — анализ сложное 4 Б. Предлагается решить логарифмическое неравенство с параметром. Параметр находится в основании логарифма.
13. Показательное уравнение с параметром 3 вид — анализ сложное 4 Б. Определяется значение параметра, при котором показательное уравнение не имеет корней. Само уравнение не решается.

Способы решения уравнений и неравенств содержащих модули и параметры

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Шастовская средняя общеобразовательная школа»

Способы решения уравнений и неравенств, содержащих модули и параметры.

Программа элективного курса по математике

10 класс

с. Шастово

2011 год

Автор-составитель программы:

Петухова Н.М., учитель математики 1 категории МОУ «Шастовская средняя общеобразовательная школа»

Рецензенты:______________________________________________________________________________________________________________________

Программа рассмотрена на заседании школьного методического совета

От «______»_______________2011г. , протокол № ______

Утверждена «_____»________________20___г.

Директор школы:____________________________

Пояснительная записка

Уравнения и неравенства в школьном курсе математики представляют собой отдельную содержательную линию, благодаря чему подробно изучаются уравнения и неравенства различных видов в основной и старшей школе. Среди большого многообразия всех задач, предлагаемых на олимпиадах, на вступительных экзаменах, на ЕГЭ часто встречаются и задачи, связанные с решением уравнений и неравенств с модулями и параметрами. Но программой школьного курса не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, не рассматриваются методы решения уравнений и неравенств, содержащих модули. Тема решения задач с параметрами представлена так же недостаточно для того, чтобы даже наиболее подготовленные обучающиеся уверенно могли выполнять задания части С на ЕГЭ по математике. Поэтому актуальность данного элективного курса является очевидной. Изучение курса, ставя перед учениками новые проблемы, призвано стимулировать развитие их математической культуры и навыков аналитического мышления, исследовательских умений.

Цели курса: обобщение, систематизация, расширение, углубление знаний по теме «Уравнения и неравенства, содержащие модули и параметры», обретение и совершенствование практических навыков решения задач с модулями и параметрами, повышение уровня математической подготовки школьников.

Задачи курса

  • вооружить учащихся системой знаний о способах решения уравнений и неравенств с модулями и параметрами;

  • сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

  • подготовить учащихся ЕГЭ;

  • сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах; сформировать навыки работы со справочной литературой, компьютером;

  • сформировать навыки исследовательской работы;

  • способствовать развитию математического мышления учащихся;

  • способствовать формированию познавательного интереса к математике.

Программа элективного курса рассчитана на 17 часов. Курс имеет практико-ориентированную направленность, большую часть времени предусматривается уделять выполнению практических заданий.

Содержание курса состоит из восьми разделов, включая введение и итоговое занятие. Учитель, в зависимости от уровня подготовки учащихся, может изменить уровень сложности представленного материала.

Программа содержит темы творческих работ, список литературы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками индивидуальных творческих и групповых работ на итоговом занятии.

Организация учебного процесса

В процессе освоения курса предусматриваются разные формы занятий : лекции, семинары, практикумы, компьютерное исследование и др.

Отработка и закрепление основных умений и навыков осуществляется при выполнении практических заданий.

Формирование важнейших умений и навыков происходит на фоне развития умственной деятельности, так как школьники учатся анализировать, замечать существенное, подмечать общее и делать обобщения, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения.

Уделяется внимание развитию речи: учащимся предлагается объяснять свои действия, вслух высказывать свою точку зрения, ссылаться на известные правила, факты, высказывать догадки, предлагать способы решения, задавать вопросы, публично выступать. Проектная и исследовательская деятельность учащихся позволяет удовлетворять их индивидуальные потребности и интересы, выявлять их индивидуальные возможности, т.е. максимально индивидуализировать обучение.

Итоговой формой контроля, подводящей изучение курса к логическому завершению, предполагается написание учащимися научно-исследовательской работы, реферата, проекта (создание презентации).

Преподавание курса строится как изучение вопросов, не предусмотренных программой основного курса.

Важным достоинством предлагаемой программы, является:

  • научность изложения материала, обогащение историческими сведениями,

  • межпредметные связи (математика + информатика),

  • доступность для восприятия учащимися,

  • возможность организации занятий с элементами исследования,

  • развитие абстрактного мышления, простор для творческой деятельности учащихся.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы элективного курса учащиеся получают возможность

знать понимать:

  • определение абсолютной величины (модуля) действительного числа, её геометрическую интерпретацию;

  • основные свойства абсолютной величины;

  • правила построения графиков функций, содержащих знак абсолютной величины;

  • алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

  • определение уравнения (неравенства) с параметром;

  • что означает решить уравнение (неравенство) с параметром.

Уметь:

  • применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

  • строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит модуль;

  • решать уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

  • Решать линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметром;

  • Распознавать расположение корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра;

  • Применять графический метод для решения уравнений и неравенств с параметром.

Тематический план

Тема

Количество часов

Форма проведения

1

Введение. Абсолютная величина действительного числа

1

Лекция

2

Графики функций, аналитическое выражение которых содержит модуль

2

Компьютерный практикум.

Исследование.

3

Уравнения, содержащие модуль

2

Семинар-практикум

4

Неравенства, содержащие модуль

2

Семинар-практикум

5

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

2

Лекция.

Практическая работа.

6

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

5

Лекция

Работа с дополнительными источниками

Исследование

Практикум по решению задач

7

Уравнения и неравенства с параметрами разных типов

2

Лекция

Практическая работа

8

Итоговое занятие

1

Защита творческой работы

ИТОГО:

17

Содержание курса

1. Введение. Абсолютная величина действительного числа (1 ч). Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе, его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые участникам курса.

Абсолютная величина действительного числа а. Модули противоположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия |а|. Модуль суммы модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения, модуль частного. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Применение свойств модуля при решении задач.

2. Графики функций, аналитическое выражение которых содержит модуль (2 ч).

Применение компьютерной программы «Advanced Grapher» при построении графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Правила и алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики функций , . Графики некоторых простейших функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.

3. Уравнения, содержащие модуль (2 ч).

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов, графический метод, использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида . Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих модули. Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений.

4. Неравенства, содержащие модуль (2 ч.).

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы решения неравенств с модулем. Неравенства вида , R .

Неравенства вида . Метод интервалов при решении неравенств, содержащих знак модуля. Неравенства с двумя переменными.

5. Линейные уравнения и неравенства с параметрами (2 ч)

Постановка задачи для уравнений и неравенств с параметрами. Возможное количество решений линейного уравнения. Определение и некоторые свойства неравенств. Структура решений линейного неравенства.

6. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами.(5 ч).

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта и с применением теоремы Виета. Расположение параболы в зависимости от коэффициентов квадратного уравнения. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена. Равносильные уравнения. Уравнение – следствие. Структура решений квадратных неравенств, их геометрическая интерпретация. Примеры решения квадратных неравенств с параметрами.

  1. Уравнения и неравенства с параметрами разных типов(2 ч)

Примеры решения уравнений и неравенств с параметрами разных типов ( рациональные, тригонометрические, содержащие модули и др.). Графический метод решения (метод сечений).

  1. Итоговое занятие (1ч).

Темы творческих работ

  1. Определение и свойства модуля (таблица в бумажном и электронном вариантах)

  2. Алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля (презентация).

  3. Решение линейных уравнений с модулем методом интервалов (презентация)

  4. Примеры решения уравнений и неравенств с параметрами графическим способом ( сечение прямой у= ах)

  5. Уравнения с параметром, содержащие модули. Примеры с решениями.

  6. Задачи с параметрами на ЕГЭ

Литература для учителя

  1. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М. : Научный мир, 2011.

  2. Горштейн П.И., Полонский В. Б., Якир М.С. Задачи с параметрами . –К.: РИА»Текст»; МП»ОКО», 1992

  3. Дорофеев Г.В., Бунимович Е.А. и др. Курс по выбору для IX класса «Избранные вопросы математики», Математика в школе,2003,№ 10.

  4. Дорофеев Г.В., Седова Е.А., Шестаков С.А. ЕГЭ 2008. Математика. Суперрепетитор.

  5. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем.-М.: АРКТИ, 2010 (Абитуриент: готовимся к ЕГЭ)

  6. Мальцев Г.И. Решение математических задач разными способами. Учебно-методическое пособие. Шадринский пединститут, 1998г.

  7. Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа: 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.

  8. Семенко Е. А., Некрасов С. Д., Титов Г.Н. и др. Задания для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа: Кн. для учащихся 11 кл.- М.: Просвещение, 2001.

  9. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. Том I/ М.: МЦНМО, 1997.

Электронные средства обучения

  1. Тест-диск «ЕГЭ». Открытые экзаменационные задания (контрольно-измерительные материалы) из Федерального банка тестовых материалов ФИПИ . ООО «Издательство «Эксмо», 2008г.

  2. Диск «Практикум по математике 5-11 кл» ;

  3. Компьютерная программа «Advanced Grapher»;

  4. Чудаева Е.В. Абсолютная величина (презентация).г. Инсар, 2009г

Литература для обучающихся

  1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2009.

  2. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2008;

  3. Макарычев Ю. Н., Миндюк н. Г., Короткова Л.М..Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. – М.: Просвещение, 2009г.

  4. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса»

  5. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углублённым изучением математики – М.: Просвещение, 2001.

  6. Сергеев И.Н., Панфёров В. С. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства/ Под редакцией А. Л. Семёнова и И. В. Ященко –М.: МЦНМО, 2011

  7. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

Интернет-ресурсы

/

/

/

/razdel.php?s=&razdelid=239 – книги для подготовки к ЕГЭ

/exam

/ege. html

/work/JavaScript/treenow.htm

/

Рабочая программа элективного курса «Уравнения и неравенства смодулем и параметром» 10 класс

Пояснительная записка

Целью реализации основной образовательной программы основного общего образования по элективному курсу «Уравнения и неравенства с модулем и параметром» является усвоение содержания учебного предмета «Уравнения и неравенства с модулем и параметром» и достижение обучающимися результатов изучения в соответствии с требованиями, установленными Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования и основной образовательной программой основного общего образования образовательной организации.

Программа обучения рассчитана на 16 часов (1 час в неделю в 1 полугодие, 16 учебных недель).

Главными задачами реализации элективного курса «Уравнения и неравенства с модулем и параметром» являются:

— формирование математического представления учащихся о приёмах и методах решения задач с модулем и параметром;

— формирование умений применения аппарата алгебры к решению уравнений и неравенств с модулем и параметром;

— формирование опыта овладения рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.

Пособие для педагога:

Авторская программа Д. Ф. Айвазяна (Математика 10 – 11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс / авт. Сост. Д. Ф. Айвазян. — Волгоград: Учитель, 2009. – 204с.

Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: [Текст], учебн. пособие / М.И.Башмаков.- М.: Дрофа, 1999.- 400 с.

Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]: учебн. пособие/ П.И.Горнштейн, В.Б Полонский, М.С. Якир. –Дрофа, 1998. — 87с.

Дорофеев, Г. В. Решение задач, содержащих модули и параметры:/ [Текст], пособие для поступающих в вузы/ Г.В. Дорофеев, В.В. Затахавай.

— Просвещение: АО «Учеб. лит.» 1996. — 320 с.

Литвиненко, В.Н. Практикум по решению математических задач: [Текст]: учебн. пособие/ В.Н.Литвиненко, А. Г Мордкович. — М.: Просвещение, 1998. — с 134-168.

Родионов, Е.М. Решение задач с модулями и параметрами [Текст]: пособие для поступающих в вузы/ Е.М. Родионов, М.: Просвещение, 1997. — 120 с.

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса

ФГОС основного общего образования устанавливает требования к результатам освоения учебного предмета:

– личностным;

– метапредметным;

– предметным.

Таблица 1

Планируемые личностные и метапредметные результаты освоения учебного предмета, курса

способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

формирование и развитие учебной и общепользовательской компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ-компетентности)

формирование первоначальных представлений об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов

умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни

умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др. ) для иллюстрации, интерпретации, аргументации

умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки

умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач

понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом

умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем

умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера

Таблица 2

Планируемые предметные результаты освоения учебного предмета, курса

решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;

применять аппарат алгебры и начал математического анализа к решению алгебраических задач;

приобретению знаний и опыта применения полученных знаний и умений для решения уравнений и неравенств с модулем и параметром

владеть знаниями:

— понятие модуля и параметра;

— алгоритмы решений задач с модулем и параметрами;

— зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем — от значений параметра;

— свойства функций в задачах с параметрами;

— свойства функций, содержащих модули;

— способы решений уравнений, неравенств и их систем, содержащих модуль.

пониманию и правильному использованию терминов

освоению приёмов работы с информацией, её осмыслению

Содержание элективного курса

10 класс (16 часов)

Раздел 1. Линейные и квадратные уравнения с модулем (4 часа)

Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение вида |х|= а, |ах+в|=0. Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с – любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|. Уравнения вида: |ах+b|+|сх+d|=t, |ах+b|+|сх+d|+nх=t. Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину.

Раздел 2. Линейные неравенства с модулем. (3 часа)

Неравенство вида |ах+в|≤с. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

Неравенства вида |ах+в|+|сх+д| <т, |ах+в|+| сх+д|+ пх> т. Неравенства вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

Раздел 3. Линейное уравнение с параметрами (3 часа)

Понятие параметра. Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида ах= в. Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.

Раздел 4. Линейные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в. Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Раздел 5. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена. Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

Тематическое планирование

Раздел 1. Линейные и квадратные уравнения с модулем (4 часа)

1.

Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение вида |х|= а, |ах+b|=0

Рассмотреть понятие модуля действительного числа. Познакомить учащихся с решением уравнения вида |х|= а, |ах+в|=0, основываясь на определение.

1

2.

Уравнений вида: |ах+b|=с, где с — любое действительное число, |ах+b|=|сх+d|

Познакомить учащихся с решением уравнения вида |ах+b|=с, где с — любое действительное число, |ах+b|=|сх+d|

1

3.

Уравнения вида: |ах+b|+|сх+d|=t, |ах+b|+|сх+d|+nх=t

Познакомить учащихся с решением уравнения вида |ах+b|+|сх+d|=t, |ах+b|+|сх+d|+nх=t

1

4.

Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину

Рассмотреть понятие квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину. Познакомить учащихся с решением квадратного уравнения, содержащего абсолютную величину.

1

Раздел 2. Линейные неравенства с модулем. (3 часа)

5.

Неравенство вида |ах+в|≤с. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

Рассмотреть понятие линейного неравенства, познакомить учащихся с алгебраическим методом решения неравенства для любых действительных значений с.

1

6.

Неравенства вида |ах+в|+|сх+д| <т, |ах+в|+| сх+д|+ пх> т. Графическая интерпретация.

Познакомить учащихся с решением неравенств вида |ах+в|+|сх+д| <т, |ах+в|+| сх+д|+ пх> т методом промежутков, графическим методом решения неравенства

1

7.

Неравенства вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

Рассмотреть графические и аналитические методы решения неравенств вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д

1

Раздел 3. Линейное уравнение с параметрами (3 часа)

8

Понятие параметра. Линейное уравнение с параметрами.

Рассмотреть вопросы: Что значит — решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит — исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т.д.), содержащее параметры.

1

9.

Общий метод решения уравнения вида ах= в.

Рассмотреть варианты решения уравнения вида ах= в при в=0, в0.

1

10.

Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.

Рассмотреть линейные уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.).

1

Раздел 4. Линейные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

11.

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

Рассмотреть записи решения неравенства, при а<0, а>0, а=0.

1

12.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Познакомить учащихся с методом приведения к линейным уравнениям и неравенствам с параметрами, содержащих дополнительные условия.

1

13.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Познакомить учащихся с методом приведения к линейным уравнениям и неравенствам с параметрами, содержащих дополнительные условия.

Раздел 5. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

14

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром.

Познакомить учащихся с методом решения квадратных уравнений и неравенств с параметром.

1

15

Исследование квадратного трехчлена.

Рассмотреть исследование квадратного трехчлена.

1

16

Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

Рассмотреть зависимость количества корней от значения параметров. Рассмотреть параметр, как фиксированное число.

1

Календарно-тематическое планирование на 2020/2021 учебный год

10 класс, 16 часов

Уравнений вида: |ах+b|=с, где с — любое действительное число, |ах+b|=|сх+d|

1

11.09.20

3.

Уравнения вида: |ах+b|+|сх+d|=t, |ах+b|+|сх+d|+nх=t

1

18. 09.20

4.

Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину

1

25.09.20

Раздел 2. Линейные неравенства с модулем. (3 часа)

5.

Неравенство вида |ах+в|≤с. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

1

02.10.20

6.

Неравенства вида |ах+в|+|сх+д| <т, |ах+в|+| сх+д|+ пх> т. Графическая интерпретация.

1

09.10.20

7.

Неравенства вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

1

16.10.20

Раздел 3. Линейное уравнение с параметрами (3 часа)

8

Понятие параметра. Линейное уравнение с параметрами.

1

23.10.20

9.

Общий метод решения уравнения вида ах= в.

1

06.11.20

10.

Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.

1

13.11.20

Раздел 4. Линейные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

11.

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

1

20.11.20

12.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

1

27.11.20

13.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

1

04. 12.20

Раздел 5. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (3 часа)

14

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром.

1

11.12.20

15

Исследование квадратного трехчлена.

1

18.12.20

16

Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

1

25.12.20

2.6: Решение уравнений и неравенств с абсолютными значениями

Уравнения с абсолютными значениями

Напомним, что абсолютное значение 63 действительного числа \(a\), обозначаемого \(|a|\), определяется как расстояние между нулем (начало координат) и графиком этого действительного числа на числовая строка. Например, \(|−3|=3\) и \(|3|=3\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Кроме того, абсолютное значение действительного числа можно определить алгебраически как кусочную функцию.

\(| a | = \left\{ \begin{array} { l } { a \text { if } a \geq 0 } \\ { — a \text { if } a < 0 } \end{array} \право.\)

Учитывая это определение, \(|3| = 3\) и \(|−3| = − (−3) = 3\). Следовательно, уравнение \(|x| = 3\) имеет два решения при \ (x\), а именно \(\{±3\}\). В общем, для любого алгебраического выражения \(X\) и любого положительного числа \(p\):

\(\text{If}\: | X | = p \text { then } X = — p \text { или } X = p\)

Другими словами, аргумент абсолютного значения 64 \(X\) может быть как положительным, так и отрицательным \(p\).Используйте эту теорему для алгебраического решения уравнений абсолютного значения.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Решите: \(|x+2|=3\).

Раствор

В этом случае аргумент абсолютного значения равен \(x+2\) и должен быть равен \(3\) или \(−3\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Поэтому, чтобы решить это уравнение абсолютного значения, установите \(x+2\) равным \(±3\) и решите каждое линейное уравнение как обычно.

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | = 3 } \\ { x + 2 = — 3 \quad \quad\text { or } \quad\quad x + 2 = 3 } \\ { x = — 5 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x = 1 } \end{массив}\)

Ответ :

Решения: \(−5\) и \(1\).

Чтобы визуализировать эти решения, постройте графики функций по обе стороны от знака равенства на одном и том же наборе координатных осей. В этом случае \(f (x) = |x + 2|\) — функция абсолютного значения, сдвинутая на две единицы по горизонтали влево, а \(g (x) = 3\) — постоянная функция, график которой представляет собой горизонтальная линия. Определите \(x\)-значения, где \(f (x) = g (x)\).

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

Из графика видно, что обе функции совпадают, где \(x = −5\) и \(x = 1\). Решения соответствуют точкам пересечения.

Пример \(\PageIndex{2}\):

Решите: \(| 2 x + 3 | = 4\).

Раствор

Здесь аргумент абсолютного значения равен \(2x+3\) и может быть равен \(-4\) или \(4\).

\(\begin{array} { rl } { | 2 x + 3 | } & { = \quad 4 } \\ { 2 x + 3 = — 4 } & { \text { или }\quad 2 x + 3 = 4 } \\ { 2 x = — 7 } & \quad\quad\:\: { 2 x = 1 } \\ { x = — \frac { 7 } { 2 } } & \quad\quad\:\ : { х = \ гидроразрыв { 1 } { 2 } } \ конец {массив} \)

Проверьте, удовлетворяют ли эти решения исходному уравнению.

Проверка \(x=-\frac{7}{2}\) Проверка \(x=\frac{1}{2}\)
\(\begin{align} | 2 x + 3 | & = 4 \\ \left| 2 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 7 } { 2 }} \right) + 3 \ справа | & = 4 \\ | — 7 + 3 | & = 4 \\ | — 4 | & = 4 \\ 4 & = 4 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\) \(\begin{array} { r } { | 2 x + 3 | = 4 } \\ { \left| 2 \left( \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 }} \right) + 3 \right| = 4 } \\ { | 1 + 3 | = 4 } \\ { | 4 | = 4 } \\ { 4 = 4 } \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array }\)
Таблица \(\PageIndex{1}\)

Ответ :

Решения: \(-\frac{7}{2}\) и \(\frac{1}{2}\).

Чтобы применить теорему, необходимо выделить абсолютное значение. Общие шаги для решения уравнений абсолютного значения описаны в следующем примере.

Пример \(\PageIndex{3}\):

Решите: \(2 |5x − 1| − 3 = 9\).

Раствор

Шаг 1 : Изолируйте абсолютное значение, чтобы получить форму \(|X| = p\).

\(\begin{align} 2 | 5 x — 1 | — 3 & = 9 \:\:\:\color{Cerulean} { Добавить\: 3\: к\: обеим\: сторонам.} \ 2 | 5 х — 1 | & = 12 \:\:\color{Cerulean} { Разделить\: обе\: стороны\: на\: 2 } \\ | 5 х — 1 | & = 6 \end{выровнено}\)

Шаг 2 : Установите аргумент абсолютного значения равным \(±p\). Здесь аргумент равен \(5x — 1\) и \(p = 6\).

\(5 х — 1 = — 6 \текст { или } 5 х — 1 = 6\)

Шаг 3 : Решите каждое из полученных линейных уравнений.

\(\begin{array} { rl } { 5 x — 1 = — 6 \quad\:\:\text { or } \quad\quad5 x — 1 } & { \:\:\:\:\: \:= 6 } \\ { 5 x = — 5 }\quad\:\quad\quad\quad\quad\quad\quad\: & { 5 x = 7 } \\ { x = — 1 } \quad\ quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:& { x = \frac { 7 } { 5 } } \end{массив}\)

Шаг 4 : Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверка \(x=-1\) Проверка \(x=\frac{7}{5}\)
\(\begin{align} 2 | 5 x — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 | 5 ( \color{Cerulean}{- 1}\color{Black}{ )} — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 | — 5 — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 | — 6 | — 3 & = 9 \\ 12 — 3 & = 9 \\ 9 & = 9 \color{Cerulean}{✓ }\конец{выровнено}\) \(\begin{align} 2 | 5 x — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 \left| 5 \left( \color{Cerulean}{\frac { 7 } { 5 }} \right) — 1 \right| — 3 & = 9 \\ 2 | 7 — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 | 6 | — 3 & = 9 \\ 12 — 3 & = 9 \\ 9 & = 9 \color{Cerulean }{✓} \end{выровнено}\)
Таблица \(\PageIndex{2}\)

Ответ :

Решения равны \(-1\) и \(\frac{7}{5}\)

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Решите: \(2 — 7 | x + 4 | = — 12\).

Ответить

\(-6, -2\)

www.youtube.com/v/G0EjbqreYmU

Не все уравнения абсолютного значения имеют два решения.

Пример \(\PageIndex{4}\):

Решите: \(| 7 x — 6 | + 3 = 3\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} { l } { | 7 x — 6 | + 3 = 3 \:\:\:\color{Cerulean} { Вычесть\: 3\: на\: обе\: стороны.} } \\ { \quad | 7 х — 6 | = 0 } \end{массив}\)

Только ноль имеет абсолютное значение нуля, \(|0| = 0\). Другими словами, \(|X| = 0\) имеет одно решение, а именно \(X = 0\). Поэтому установите аргумент \(7x − 6\) равным нулю, а затем найдите \(x\).

\(\begin{align} 7 x — 6 & = 0 \\ 7 x & = 6 \\ x & = \frac { 6 } { 7 } \end{align}\)

Геометрически одно решение соответствует одной точке пересечения.

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

Ответ :

Решение: \(\frac{6}{7}\).

Пример \(\PageIndex{5}\):

Решить: \(|x+7|+5=4\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{align} | x + 7 | + 5 & = 4 \:\:\color{Cerulean} { Вычесть \: 5\: на\: обе\: стороны. } \\ | x + 7 | & = — 1 \end{выровнено}\)

В этом случае мы видим, что изолированное абсолютное значение равно отрицательному числу. Напомним, что абсолютное значение всегда будет положительным. Отсюда делаем вывод, что решения нет.Геометрически точки пересечения нет.

Рисунок \(\PageIndex{5}\)

Ответ :

Нет решения, \(Ø\).

Если задано уравнение с двумя абсолютными значениями вида \(| a | = | b |\), то \(b\) должно быть таким же, как \(a\), или противоположным. Например, если \(a=5\), то \(b = \pm 5\) и мы имеем:

\(| 5 | = | — 5 | \text { или } | 5 | = | + 5 |\)

В общем, для заданных алгебраических выражений \(X\) и \(Y\):

\(\text{Если} | X | = | Y | \text {тогда } X = — Y \text { или } X = Y\).

Другими словами, если два выражения абсолютного значения равны, то аргументы могут быть одинаковыми или противоположными.

Пример \(\PageIndex{6}\):

Решите: \(| 2 x — 5 | = | x — 4 |\).

Раствор

Установите \(2x-5\) равным \(\pm ( x — 4 )\) и затем решите каждое линейное уравнение.

\(\begin{array} { c } { | 2 x — 5 | = | x — 4 | } \\ { 2 x — 5 = — ( x — 4 ) \:\: \text { или }\: \: 2 x — 5 = + ( x — 4 ) } \\ { 2 x — 5 = — x + 4 }\quad\quad\quad 2x-5=x-4 \\ { 3 x = 9 }\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad x=1 \\ { x = 3 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\:} \конец{массив}\)

Для проверки подставляем эти значения в исходное уравнение.

Чек \(х=1\) Проверка \(x=3\)
\(\begin{align} | 2 x — 5 | & = | x — 4 | \\ | 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} — 5 | & = | ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} — 4 | \\ | — 3 | & = | — 3 | \\ 3 & = 3 \color{Cerulean}{ ✓}\end{aligned }\) \(\begin{align} | 2 x — 5 | & = | x — 4 | \\ | 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{)} — 5 | & = | ( \ color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} — 4 | \\ | 1 | & = | — 1 | \\ 1 & = 1 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)
Таблица \(\PageIndex{3}\)

В качестве упражнения используйте графическую утилиту для построения графиков \(f(x)= |2x-5|\) и \(g(x)=| x-4|\) на том же наборе осей. Убедитесь, что графики пересекаются там, где \(x\) равно \(1\) и \(3\).

Ответ :

Решения: \(1\) и \(3\).

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Решите: \(| х + 10 | = | 3 х — 2 |\).

Ответить

\(-2, 6\)

www.youtube.com/v/CskWmsQCBMU

Неравенства абсолютного значения

Начнем с рассмотрения решений следующего неравенства:

\(| х | \leq 3\)

Абсолютное значение числа представляет собой расстояние от начала координат.Следовательно, это уравнение описывает все числа, расстояние которых от нуля меньше или равно \(3\). Мы можем изобразить этот набор решений, заштриховав все такие числа.

Рисунок \(\PageIndex{6}\)

Конечно, мы можем видеть, что существует бесконечно много решений \(|x|≤3\), ограниченных \(−3\) и \(3\). Выразите этот набор решений, используя обозначение набора или обозначение интервала, следующим образом:

\(\begin{array} { c } { \{ x | — 3 \leq x \leq 3 \} \color{Cerulean} { Set\: Notation } } \\ { [ — 3,3 ] \quad \ color{Cerulean}{Интервал \:Notation} } \end{массив}\)

В этом тексте мы будем выражать решения в виде интервалов. В общем, для любого алгебраического выражения \(X\) и любого положительного числа \(p\):

\(\text{If} | X | \leq p \text { then } — p \leq X \leq p\).

Эта теорема верна и для строгих неравенств. Другими словами, мы можем преобразовать любое абсолютное неравенство, включающее « меньше », в составное неравенство, которое можно решить как обычно.

Пример \(\PageIndex{7}\):

Решите и нарисуйте набор решений: \(|x+2|<3\).

Раствор

Ограничьте аргумент \(x+2\) величинами \(−3\) и \(3\) и решите.

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | < 3 } \\ { - 3 < x + 2 < 3 } \\ { - 3 \color{Cerulean}{- 2}\color{Black }{ <} x + 2 \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ <} 3 \color{Cerulean}{- 2} } \\ { - 5 < x < 1 } \end{array} \)

Здесь мы используем открытые точки для обозначения строгих неравенств на графике следующим образом.

Рисунок \(\PageIndex{7}\)

Ответ :

Используя обозначение интервала, \((−5,1)\).

Решение задачи \(| x + 2 | < 3\) можно интерпретировать графически, если положить \(f ( x ) = | x + 2 |\) и \(g(x)=3\), а затем определить где \(f (x) Рисунок \(\PageIndex{7}\)

Решение состоит из всех \(x\)-значений, где график \(f\) находится ниже графика \(g\). В этом случае мы видим, что \(|x + 2| < 3\), где значения \(x\) находятся между \(−5\) и \(1\). Чтобы применить теорему, мы должны сначала выделить абсолютное значение.

Пример \(\PageIndex{8}\):

Решите: \(4 |x + 3| − 7 ≤ 5\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} { c } { 4 | x + 3 | — 7 \leq 5 } \\ { 4 | x + 3 | \leq 12 } \\ { | x + 3 | \leq 3 } \ конец{массив}\)

Затем примените теорему и перепишите абсолютное неравенство как составное неравенство.

\(\begin{array} { c } { | x + 3 | \leq 3 } \\ { — 3 \leq x + 3 \leq 3 } \end{array}\)

Решить.

\(\begin{align} — 3 \leq x + 3 \leq & 3 \\ — 3 \color{Cerulean}{- 3} \color{Black}{ \leq} x + 3 \color{Cerulean}{ — 3} & \color{Black}{ \leq} 3 \color{Cerulean}{- 3} \\ — 6 \leq x \leq 0 \end{aligned}\)

Заштрихуйте решения на числовой прямой и представьте ответ в виде интервалов. Здесь мы используем закрытые точки для обозначения инклюзивных неравенств на графике следующим образом:

Рисунок \(\PageIndex{8}\)

Ответ :

Используя обозначение интервала, \([−6,0]\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Решите и нарисуйте набор решений: \(3 + | 4 x — 5 | < 8\).

Ответить

Обозначение интервала: \((0, \frac{5}{2})\)

Рисунок \(\PageIndex{9}\)

www.youtube.com/v/sX6ppL2Fbq0

Далее мы исследуем решения неравенства, включающего « больше, чем », как в следующем примере:

\(| х | \geq 3\)

Это неравенство описывает все числа, расстояние которых от начала координат больше или равно \(3\). На графике мы можем заштриховать все такие числа.

Рисунок \(\PageIndex{10}\)

Существует бесконечно много решений, которые можно выразить с помощью системы обозначений и интервалов следующим образом:

\(\begin{array} { l } { \{ x | x \leq — 3 \text { or } x \geq 3 \} \:\:\color{Cerulean} { Set\: Notation } } \\ { ( — \infty , — 3 ] \cup [ 3 , \infty ) \:\:\color{Cerulean} { Интервал\: Обозначение } } \end{массив}\)

В общем, для любого алгебраического выражения \(X\) и любого положительного числа \(p\):

\(\text{If} | X | \geq p \text { then } X \leq — p \text { или } X \geq p\).

Теорема верна и для строгих неравенств. Другими словами, мы можем преобразовать любое абсолютное неравенство, включающее « больше, чем », в составное неравенство, описывающее два интервала.

Пример \(\PageIndex{9}\):

Решите и нарисуйте набор решений: \(|x+2|>3\).

Раствор

Аргумент \(x+2\) должен быть меньше \(−3\) или больше \(3\).

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | > 3 } \\ { x + 2 < - 3 \quad \text { or } \quad x + 2 > 3 } \\ { x < - 5 }\quad\quad\quad\quad\quad\: x>1 \end{массив}\)

Рисунок \(\PageIndex{11}\)

Ответ :

Используя обозначение интервала, \((−∞,−5)∪(1,∞)\).

Решение задачи \(|x + 2| > 3\) можно интерпретировать графически, если положить \(f (x) = |x + 2|\) и \(g (x) = 3\), а затем определить где \ (f (x) > g (x) \) путем построения графиков \ (f \) и \ (g \) на одном и том же наборе осей.

Рисунок \(\PageIndex{12}\)

Решение состоит из всех \(x\)-значений, где график \(f\) находится выше графика \(g\). В этом случае мы можем видеть, что \(|x + 2| > 3\), где \(x\)-значения меньше \(−5\) или больше \(1\). Чтобы применить теорему, мы должны сначала выделить абсолютное значение.

Пример \(\PageIndex{10}\):

Решите: \(3 + 2 |4x − 7| ≥ 13\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} { r } { 3 + 2 | 4 x — 7 | \geq 13 } \\ { 2 | 4 x — 7 | \geq 10 } \\ { | 4 x — 7 | \geq 5 } \конец{массив}\)

Затем примените теорему и перепишите абсолютное неравенство как составное неравенство.

\(\begin{array} &\quad\quad\quad\quad\:\:\:|4x-7|\geq 5 \\ 4 x — 7 \leq — 5 \quad \text { or } \quad 4 x — 7 \geq 5 \end{массив}\)

Решить.

\(\begin{array} { l } { 4 x — 7 \leq — 5 \text { or } 4 x — 7 \geq 5 } \\ \quad\:\:\:\:{ 4 x \leq 2 } \quad\quad\quad\:\:\: 4x\geq 12\\ \quad\:\:\:\:{ 4 x \leq \frac { 2 } { 4 } } \quad\quad\quad \quad x\geq 3 \\ \quad\quad{ 4 x \leq \frac { 1 } { 2 } } \end{массив}\)

Заштрихуйте решения на числовой прямой и представьте ответ, используя интервальную запись.

Рисунок \(\PageIndex{13}\)

Ответ :

Используя обозначение интервала, \((−∞,12]∪[3,∞)\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Решите и постройте график: \(3 | 6 x + 5 | — 2 > 13\).

Ответить

Используя обозначение интервала, \(\left( — \infty , — \frac { 5 } { 3 } \right) \cup ( 0 , \infty )\)

Рисунок \(\PageIndex{14}\)

www.youtube.com/v/P6HjRz6W4F4

До этого момента наборы решений линейных абсолютных неравенств состояли из одного ограниченного интервала или двух неограниченных интервалов. Это не всегда так.

Пример \(\PageIndex{11}\):

Решите и постройте график: \(|2x−1|+5>2\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} {c} { | 2 x — 1 | + 5 > 2 } \\ { | 2 x — 1 | > — 3 } \end{array}\)

Обратите внимание, что абсолютное значение больше отрицательного числа. Для любого действительного числа x абсолютное значение аргумента всегда будет положительным. Следовательно, любое действительное число решит это неравенство.

Рисунок \(\PageIndex{15}\)

Геометрически мы можем видеть, что \(f(x)=|2x−1|+5\) всегда больше, чем \(g(x)=2\).

Рисунок \(\PageIndex{16}\)

Ответ :

Все действительные числа, \(ℝ\).

Пример \(\PageIndex{12}\):

Решите и постройте график: \(|x+1|+4≤3\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} { l } { | x + 1 | + 4 \leq 3 } \\ { | x + 1 | \leq — 1 } \end{array}\)

В этом случае мы видим, что изолированное абсолютное значение должно быть меньше или равно отрицательному числу.Опять же, абсолютное значение всегда будет положительным; следовательно, мы можем сделать вывод, что решения нет.

Геометрически мы видим, что \(f(x)=|x+1|+4\) никогда не меньше, чем \(g(x)=3\).

Рисунок \(\PageIndex{17}\)

Ответ : \(Ø\)

Таким образом, есть три случая для уравнений и неравенств с абсолютными значениями. Отношения \(=, <, \leq, > \) и \(≥\) определяют, какую теорему применять.

Случай 1: Уравнение абсолютного значения:

\(\begin{array} { c } { \text { If } | X | = p } \\ { \text { then } X = — p \text { or } X = p } \end{ массив}\) Рисунок \(\PageIndex{18}\)

Случай 2: Неравенство абсолютного значения, включающее »

меньше .
\(\begin{array} { c } { \text { If } | X | \leq p } \\ { \text { then } — p \leq X \leq p } \end{array}\ ) Рисунок \(\PageIndex{19}\)

Случай 3: Неравенство абсолютного значения, включающее «

больше, чем «.
\(\begin{array} { c } { \text { If } | X | \geq p } \\ { \text { then } X \leq — p \text { or } X \geq p } \конец{массив}\) Рисунок \(\PageIndex{20}\)

Неравенства абсолютного значения


Выражения абсолютного значения не обязательно должны быть абсолютно равными; у них тоже могут быть неравенства.Эээ, неравенства. Однако все становится немного странно, когда у нас есть абсолютные значения и неравенства в одной комнате вместе.

Пример задачи

Решить | х | < 1.

Если бы это было уравнение, у нас было бы в сумке следующее: x = 1 или x = -1. Но подумайте о том, что на самом деле означает абсолютное значение. Это расстояние от 0 до числа. Если у нас есть | х | < 1, нам нужны все числа, расстояние которых от 0 меньше 1.

Да, это они. На числовой прямой мы видим, что x = -1 и x  = 1 являются границами этого составного неравенства, -1 < x < 1. Иными словами, это x > -1 и . x < 1. Или, в-третьих, решения нашего неравенства находятся между ±1. Нужно ли нам выражаться четвертым способом? Надеюсь, что нет, потому что мы отключились.

Это шаблон, который повторяется для многих абсолютных значений неравенства.Если у нас есть |(некоторые вещи)| < какое-то число n , тогда наш ответ — n < (кое-что) < n . Затем мы находим нашу переменную. Не н , другой, внутри хлама. Мы не показывали это здесь, но вы знаете, что это там.

Пример задачи

Решить |2 x + 3| ≤ 5.

Частичное равенство знаков ничего не меняет. Очень похоже на тот дешевый мотель, в котором мы останавливались во время нашего путешествия прошлым летом. Мы получаем нервы, просто вспоминая простыни в этом месте.

У нас есть какой-то знак «меньше», поэтому любые решения, которые мы можем найти, будут между -5 и 5.

-5 ≤ 2 x + 3 ≤ 5

Да, вот так. Теперь мы можем найти нашу переменную. Начнем с вычитания 3 из каждой секции.

-8 ≤ 2 x ≤ 2

Пришло время разделить коэффициент от переменной. Наши ладони начали потеть; Как насчет твоей? Они должны, так как мы делим знаки неравенства вокруг. Однако 2 положительный, так что у нас все хорошо.Вытираем руки полотенцем и делим, получаем решения:

-4 ≤ x ≤ 1

Это все хорошо, но что делать, когда абсолютное значение «больше» числа? Ответ не будет выглядеть так же, как в случае «меньше». Это не может быть просто, не так ли?

Пример задачи

Решить | х | ≥ 6.

Давайте снова подумаем об этом с точки зрения расстояния: нам нужны все числа, расстояние которых больше или равно 6 единицам от 0. Как только у нас будут все эти числа, мы оденем их в платья и устроим чаепитие.

Похоже, наши решения могут быть меньше или равны -6 или больше или равны 6. Это еще одно составное неравенство, но на этот раз оно соединено с помощью «или»:

x ≤ — 6 или x ≥ 6

Может показаться странным, что числа меньше -6 могут быть решением задачи, которая начинается со знака «больше чем», но подставьте число и проверьте его: |-7| ≥ 6? Ага, |-7| это 7.И 7 определенно больше и страшнее, чем 6, потому что 7 8 9.

Пример задачи

Решить |-2 x – 1| > 7.

Первым делом встаем и растягиваемся. Мы долго работали над этим неравенством, и это убивает нас. Сделав это, мы проверяем знак неравенства. Это знак «больше чем», поэтому мы знаем, что у нас будет составное неравенство «или». Одно из неравенств будет нашим исходным выражением, только без полос абсолютного значения.

-2 x – 1 > 7

-2 x > 8

x < -4

Видели? Отрицательное деление — мы должны изменить все знаки. Все они, включая знак неравенства.

Другая половина раствора будет противоположна тому, что находится внутри стержней.

-(-2 x – 1) > 7

-2 x – 1 < -7

У нас есть еще отрицательное умножение. Переверни это неравенство, переверни его хорошенько.

-2 x < -6

x > 3

И тогда мы должны изменить это снова. Шиш, решайся уже. Вы хотите указать влево или вправо?

Наше полное решение: x < -4 или x > 3. Мы немного нервничаем по поводу нашего ответа; там было много вывесок, и мы слышали какие-то тревожные звуки, пока он был в другой комнате. Итак, давайте перепроверим.

Подстановка -5, что меньше -4:

|-2(-5) – 1| > 7

|10 – 1| > 7

|9| > 7

Подставляем 4, что больше 3:

|-2(4) – 1| > 7

|-8 – 1| > 7

|-9| > 7

Ладно, все круто.И оказывается, что эти звуки были просто его расстроенной скрипкой. Мы думали, что он пытается вызвать группу пауков. Мы были и близки к тому, чтобы вызвать истребителя.

Резюме

Столкнулись с абсолютным неравенством и не знаете, что делать?

  • Если неравенство имеет знак «меньше» (<) с выражением абсолютного значения слева, то решение представляет собой составное неравенство «и» между константой ±.
  • Если неравенство имеет знак «больше» (>) с выражением абсолютного значения слева, то решение представляет собой составное неравенство «или».
    • Первая половина представляет собой исходное выражение с удаленными знаками абсолютного значения.
    • Вторая половина переворачивает знак неравенства и изменяет все, что находится за пределами полос абсолютного значения, на противоположный знак.
  • Если вы не можете вспомнить эти правила или просто не знаете, что делать, нарисуйте небольшую числовую линию. Глядя на это, вы не запутаетесь.

Быстрый вопрос: что произойдет, если мы попытаемся найти | х | < -1? Или | х | > -1? Происходит следующее: «Это ловушка!» Абсолютное значение всегда будет положительным, поэтому решения нет. Любое значение x будет больше любого отрицательного числа и никогда не может быть меньше отрицательного числа. Не поддавайтесь на это, или кальмары в скафандрах будут продолжать кричать на вас.

Абсолютное значение. Уравнения абсолютного значения

12

Алгеграфическое определение

Геометрический смысл

Уравнения абсолютного значения

Неравенства абсолютного значения

Геометрический смысл | x a |

ЭТОТ СИМВОЛ | х | обозначает абсолютное значение x , что является числом без знака.|+3| = 3.   |−3| = 3. Можно сказать, что абсолютное значение числа — это его чисто арифметическое значение.

Вот алгебраическое определение | х |:

Если x ≥ 0, то | х | = х ;

, если х х| = — х .

То есть, если x неотрицательно: |3|, то абсолютным значением является само число.

Если x отрицательно: |−3|, то абсолютное значение отрицательно; что делает абсолютное значение положительным.

Геометрически, | х | это расстояние от x от 0.

И 3, и −3 являются расстоянием в 3 единицы от 0.  |3| знак равно |−3| = 3. Расстояние в математике никогда не бывает отрицательным.

Проблема 1.   Оцените следующее.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай задачу сам!

   а)   |6| = 6   б)   |−6| = 6   в)   |0| = 0   г)   |2 − 7| =  5
 
   д)   |8| + |−4| = 8 + 4 = 12    е)   |−3| − |−2| = 3 − 2 = 1 
 
   ж)   1 − |−1| = 1 – 1 = 0   ч)   −8 + |−7| = −8 + 7 = −1 
   i)    −4 
|−4|
= −4
 4
 = −1      j)  (−4)|−4|= (−4) ·  4 = −16

Проблема 2. Объясните следующие правила.

а)  |− x | = | х |.

Оба — x и x — это одинаковое расстояние от 0,

.

б)  | б а | = | а б |

b a является отрицательным числом a b .

(Урок 7).

Следовательно, согласно части а), они равны.

в)  | х |² = х ²

Мы можем удалить столбцы абсолютных значений, потому что левая часть никогда не бывает отрицательной, равно как и правая.

Уравнения абсолютного значения

| и | = 5.

Какие значения могут иметь и ?

и могут быть либо 5, либо -5. Ибо если мы заменим на любым из них, утверждение — уравнение — будет верным.

Итак, любое уравнение, в котором выглядит так —

| и | = б

— имеет два решения

a = b , или a = − b .

Все, что находится внутри вертикальных полос — и в этом примере — мы называем аргументом абсолютного значения. Либо аргумент будет равен  b , либо он будет равен − b .

Пример 1.   Решите для x :

| х — 2 | = 8.

Решение . x − 2 — это аргумент. Либо этот аргумент будет равен 8, либо он будет равен -8.

x — 2 = 8, или x — 2 = -8.

Мы должны решить эти два уравнения. Первый подразумевает

х = 8 + 2 = 10.

Второй подразумевает

х = -8 + 2 = -6.

Вот два решения:   x = 10 или −6.

Задача 3.

а) Сколько решений имеет уравнение абсолютного значения? Два.

б)  Запишите их для этого уравнения:  | х | = 4.

Задача 4.   Решите для x .

| х + 5| = 4.

Решите эти два уравнения:

х + 5 = 4      х + 5 = −4
 
x = 4 − 5   х = −4 − 5
 
x = −1   или   х = −9

Проблема 5. Решите для х .

|1 − x | = 7.

1 − х = 7      1 − x = −7
 
x = 7 − 1   х = −7 − 1
 
x = 6   х = −8
х = −6   или   х = 8.

Задача 6.   Решите для x .

|2 x + 5| = 9.

2 x + 5 = 9      2 х + 5 = −9
 
2 x = 9 − 5   2 x = −9 − 5
 
2 x = 4   2 x = −14
х = 2   или   х = −7.

Неравенства абсолютного значения

Существуют две формы абсолютных неравенств. Один с меньше , | a |b, а другой с больше , | а |> б . Они решаются по-разному. Вот первый случай.

Пример 2. Абсолютное значение меньше .

| и |

Чтобы это неравенство было верным, какие значения могут иметь и ?

Геометрически и меньше 3 единиц от 0.

Следовательно,

−3 г

Это решение. Неравенство будет верным, если a имеет любое значение от -3 до 3.

В общем, если неравенство выглядит так —

| и | б.

— тогда решение будет выглядеть так:

б а б

для любого аргумента a .

Пример 3.   Для каких значений x будет выполняться это неравенство?

|2 x − 1|

Решение . Аргумент 2 x — 1 будет лежать между -5 и 5:

-5 х — 1

Мы должны изолировать x . Во-первых, добавьте 1 к каждому члену неравенства:

−5 + 1 х

−4 х

Теперь разделите каждое слагаемое на 2:

−2 х

Неравенство будет верным для любого значения x в этом интервале.

Задача 7.   Решите это неравенство для x :

| х + 2|

−7 х + 2

Вычтите 2 из каждого члена:

−7 − 2 х

−9 х

Задача 8.   Решите это неравенство для x :

|3 x − 5|

−10 х − 5

Добавьте 5 к каждому члену:

−5 х

Разделите каждое слагаемое на 3:

Проблема 9.Решите это неравенство для x :

|1 − 2 x |

−9 х

Вычтите 1 из каждого члена:

−10 х

Разделите каждый член на −2. Смысл изменится.

5 > х > −4.

То есть

−4 х

Пример 4.Абсолютное значение больше .

| и | > 3.

Для каких значений и это будет верно?

Геометрически,

и > 3 или и

Это форма решения для любого аргумента a :  

Если

| и | > б  (и б > 0),

, затем

a > b  или   a b.

Задача 10.   Решить для x :

| х | > 5.

Задача 11.   Для каких значений x это будет верно?

| х + 2| > 7.

Из первого уравнения следует, что 90 739 x 90 740 > 5. Второе,  90 739 x 90 740.

Задача 12.   Решите для x :

|2 x + 5| > 9.

2 x + 5 > 9 или 2 x + 5

Решите эти два уравнения:

2 х > 4   2 x −14
 
x > 2     или   х −7

Проблема 13. Решите для x :

|1 − 2 x | > 9.

1 – 2 90 739 x 90 740 > 9, или  1 – 2 90 739 x 90 740

Решите эти два уравнения. При окончательном делении на −2, 90 537, ощущения изменятся.

−2 x > 8   −2 x −10
 
x −4     или   х > 5.

Геометрический смысл | x a |

Геометрически,  | x a | это расстояние от x от до .

| х — 2 | означает расстояние x от 2. Итак, если мы напишем

| х — 2 | = 4

мы имеем в виду, что x на 4 единицы отличается от 2.

x , следовательно, равно либо -2, либо 6.

С другой стороны, если мы напишем

| х — 2 |

мы имеем в виду x это меньше чем 4 единицы от 2.

Это означает, что x может иметь любое значение в открытом интервале от -2 до 6.

Задача 14.   В чем геометрический смысл | х + а |?

Расстояние x от − до .Для, | x  +  a | = | x −(− a )|.

| x + 1| означает расстояние x от −1. Например, если

| х + 1| = 2,

, тогда x на 2 единицы меньше -1.

x = −3,  или   x = 1,

Задача 15.   Каков геометрический смысл каждого из следующих? И поэтому какие значения имеет x ?

а)  | х | = 2

x — это 2 единицы от 0. Для, | х | = | х — 0 |. Таким образом, 90 739 x 90 740 равно 2 или −2.

б)  | х — 3 | = 1

x на 1 единицу меньше 3.   x  поэтому равно 2 или 4.

в)  | х + 3| = 1

x на 1 единицу меньше -3. 90 739 x 90 740 , следовательно, равно −4 или −2.

г)  | х — 5 | ≤ 2

x меньше или равно 2 единицам от 5. x поэтому может принимать любое значение в закрытом интервале между 3 и 7.

Замкнутый интервал.

д)  | х + 5| ≤ 2

x меньше или равно 2 единицам от -5. Поэтому x может принимать любое значение в закрытом интервале между -7 и -3.

Задача 16.   | х — 5 | д. Укажите геометрический смысл этого и проиллюстрируйте его на числовой прямой.

x соответствует d единицам из 5.

x поэтому попадает в интервал между 5 — d и 5 + d .

5 − д х

Следующий урок: Экспоненты

Содержание | Дом


Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.


Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]


Решение абсолютного неравенства —

Вы столкнулись с «особенностью» решения.Я рекомендую вам написать отчет об ошибке и сослаться на случай 02336440. Это становится действительно очевидным, когда вы делаете что-то вроде

«Функция» заключается в том, что теперь, когда интервал является решением, MATLAB возвращает репрезентативное решение. Я подробно проработал, какое репрезентативное решение будет выбрано; увидеть ниже.

Официальный ответ Mathworks заключается в том, что вы должны использовать «условия возврата»:

>> syms z; sol =solve(abs(1+z)<=1,z, 'returnconditions',true)

sol =

структура с полями:

z: [1×1 sym]

параметры: [1×2 sym]

условия: [1×1 sym]

>> sol. z

ans =

x*exp(y*1i) — 1

>> параметры решения

ans =

[ x, y]

>> условия решения

<04

ans =

ans 2*pi & 0 <= x & x <= 1 & 0 <= y

Другой способ записать это условие: x в [0, 1], y в [0, 2*pi), z равно x* exp(y*1i) — 1

Если вы протестируете это решение, то увидите, что большинство сгенерированных z являются сложными. Это потому, что вы не ограничивали себя реальными ценностями.

>> syms z реальный; sol =solve(abs(1+z)<=1,z, 'returnconditions',true)

sol =

структура с полями:

z: [1×1 sym]

параметры: [1×1 sym]

условия: [1×1 sym]

>> sol.z, sol.parameters,sol.conditions

ans =

x

ans =

x

ans9 = 900 0 & -2 <= x

Символьный движок прекрасно и понятно вычисляет значения; беспорядок возникает, когда интерфейс между MATLAB и символьным движком переводит результаты в другой формат.

Как я сообщал в случае:

Экспериментально правило разбивает решения на непересекающиеся интервалы. Для каждого из непересекающихся интервалов, выражаемых через простую пару границ

, если обе границы интервала одинаковы, то

, если эта граница бесконечна

испускать пустую, а не бесконечную границу

иначе

испускать эту границу

end

elseif границы -inf и +inf

выдать 0

elseif одна из границ бесконечна

выдать другую границу плюс 1 * sign() бесконечности

elseif 0 находится в интервале

выдать 0

elseif pi находится в интервале

выдать pi

else выдать среднее значение границ

end

вернуть объединение всех выданных значений выходные данные аналогичны приведенным выше, но вместо простого среднего значения двух границ вычисляются min() и max() границ, которые охватывают интервал (открытый или закрытый). д., и они усреднены.

Введение в абсолютные неравенства в алгебре

Front Porch Math > > Неравенства абсолютного значения: решение и построение графиков задач с одной переменной.

Видео о неравенствах абсолютного значения охватывает решение и построение графиков задач с одной переменной. Начав с самого простого примера, мы рассмотрим, как удалить столбцы абсолютных значений, чтобы мы могли решить проблему и построить график. Затем мы решаем и рисуем более сложные задачи и показываем, как проверять решения.

Стенограмма

Введение в абсолютные неравенства

Мы рассмотрели абсолютное значение числа, равного 5. Теперь давайте посмотрим на абсолютное значение числа, меньшего 5.

Итак, вопрос в том, какие числа отстоят от нуля менее чем на 5 делений, поскольку абсолютное значение — это расстояние от нуля.

Составим список чисел, отстоящих от нуля менее чем на 5 делений: $0$, $1$, $-1$, -2, -4, $-\frac{1}{2}, 2\frac{1 {3}$, 2. 8, 4.9. Но написали ли мы все возможные решения? Нет. Хотя 5 и -5 не являются решениями, 4,9999 является. Итак, чтобы изобразить все возможные решения, нам нужно обвести кружком 5 и -5 и заштриховать их.

Мы можем описать эти числа как меньше 5, но также и больше -5.
Так же, как когда мы решали уравнения абсолютного значения, прежде чем мы сможем начать, нам нужно написать уравнение дважды. Один раз с положительным неравенством и один раз с отрицательным. Только с неравенствами надо быть осторожными, потому что, когда мы пишем это как отрицание, нам также нужно перевернуть знак неравенства.Следовательно, чтобы записать абсолютное значение x меньше 5, мы должны написать $x < 5$ и $x>-5$.

Давайте посмотрим на неравенство абсолютное значение x больше, чем 5.

На этот раз мы ищем числа, которые отличаются от нуля более чем на 5 пробелов. Опять же, мы можем составить список: 6, 7 8, $9\frac{1}{2}$, 7,5, 6,2… и простым способом описать все эти числа было бы сказать $x > 5$. Являются ли это единственными ответами, ну нет, потому что -6, -7,5, -5,3, $9\frac{1}{2}$ также числа, которые больше, чем 5 от нуля, и простой способ описать все эти числа $х < -5$.Чтобы переписать абсолютное значение x больше 5 без полос абсолютного значения, мы должны написать $x > 5$ и $x < -5$. ( $|x|>a = -a>x>a = x<-a$ или $x>a$)

Итак, чтобы изобразить все возможные решения, нам нужно обвести кружком 5 и -5 и заштриховать область
слева от -5 и справа от 5. Помните, что нам нужно затемнить стрелки в конце , чтобы показать, что все числа после стрелки также являются частью решения.

Теперь давайте решим несколько задач:

Сначала мы рассмотрим |x+5|

< 3

Чтобы найти все решения, нам сначала нужно записать это неравенство без столбцов абсолютного значения.
Мы можем написать, что так как x+5<3 и x+5>-3, то мы можем решить оба этих неравенства, вычитая 5 из обеих частей.
При x+5<3 получаем x<-2, а при x+5>-3 получаем x>-8
Итак, окончательное решение равно x<-2 и x>-8. Другими словами, x находится между -8 и -2, и
мы также можем записать это в виде составного неравенства: -8 Давайте быстро нарисуем графически все возможные решения.
Теперь давайте выберем значение из графика, чтобы проверить наше решение. Мы можем попробовать -4 .
-4+5 равно 1, поэтому абсолютное значение равно 1. И 1 меньше 3.

Теперь попробуем решить задачу $|x-3| \geq$ 4.

Во-первых, нам нужно записать это неравенство без столбцов абсолютного значения. Мы запишем это как два неравенства: x-3 больше или равно 4 и x-3 меньше или равно -4
Теперь, чтобы решить их, мы добавим 3 к каждой стороне обоих неравенств, получив x больше или равно 7 или x меньше или равно -1.
Давайте быстро изобразим все возможные решения.Поскольку исходная задача была больше или равна, нам нужно будет поместить заштрихованные круги на -1 и 7.
Теперь давайте выберем несколько тестовых значений, чтобы проверить наше решение. Мы можем попробовать -5 и положительное 10.
-5 — 3 равно -8, а абсолютное значение -8 равно 8. И 8 больше 4.
10 — 3 равно 7, а абсолютное значение 7 равно 7. И 7 больше, чем 4. Так что, похоже, это работает.

Объяснение урока: неравенства с одной переменной и абсолютными значениями

В этом объяснении мы узнаем, как решать неравенства с одной переменной, которые содержат абсолютные значения.

Уравнения с абсолютными значениями нельзя решать так же, как линейные уравнения. Аналогично, неравенства с абсолютными значениями требуют специального метода для решения.

Определение: абсолютное значение

Абсолютное значение любого числа 𝑥 определяется алгебраически следующим образом: |𝑥|=𝑥𝑥≥0,−𝑥𝑥0.ifif

Из определения абсолютного значения мы видим, что всегда есть два числа с одним и тем же ненулевым абсолютным значением, в то время как только 0 имеет абсолютное значение 0.Например, решения |𝑥|=4 — оба числа на расстоянии 4 от 0, расположенные по обе стороны от 0, то есть 4 и -4. Алгебраически, мы можем преобразовать это уравнение в два уравнения, а именно, 𝑥=4 для 𝑥≥0 и −𝑥=4 для 𝑥0.

Неравенства с абсолютными значениями – это неравенства, включающие абсолютное значение числа, выраженное через неизвестное, 𝑥. Простейшие абсолютные неравенства имеют вид |𝑥|𝑐,|𝑥|≤𝑐,|𝑥|>𝑐,|𝑥|≥𝑐, где 𝑐 — константа.

Рассмотрим, например, |𝑥|≤4. Используя определение абсолютного значения число как расстояние между 0 и числом, решением этого неравенства является множество чисел, которые расположен на расстоянии от 0, меньшем или равном 4. Мы можем изобразить это на числовой прямой.

Этот набор чисел равен [−4,4]. В качестве альтернативы мы можем написать −4≤𝑥≤4.

Стоит отметить, что если 𝑐 отрицательно, то решений неравенства нет, так как абсолютное значение числа всегда неотрицательно.

Несколько более сложная форма абсолютного неравенства: |𝑥−𝑎|𝑐,|𝑥−𝑎|≤𝑐,|𝑥−𝑎|>𝑐,|𝑥−𝑎|≥𝑐, где 𝑐 — константа.

Вместо абсолютного значения 𝑥 мы имеем здесь абсолютное значение 𝑥−𝑎. Назовем этот номер 𝑛. Итак, 𝑛=𝑥−𝑎, что можно преобразовать в 𝑎+𝑛=𝑥. Следовательно, 𝑛 — это число, которое при добавлении к 𝑎 дает 𝑥.

Пусть у нас есть курсор, расположенный в 𝑎 на числовой строке; перемещение его на 𝑛 поместит курсор в 𝑥. Если 𝑛 положителен, то 𝑥 больше, чем 𝑎 (это расположена справа относительно 𝑎), а если 𝑛 отрицательно, то 𝑥 равно меньше 𝑎 (находится слева относительно 𝑎).

Таким образом, абсолютное значение 𝑛, то есть |𝑥−𝑎|, можно интерпретировать как расстояние между 𝑥 и 𝑎. Рассмотрим, например, неравенство |𝑥−2|≤3.

Множество его решений — это множество чисел, находящихся на расстоянии от числа 2, меньшем или равном 3. Два числа которые находятся на расстоянии ровно 3 от 2, равны −1 и 5. Следовательно, все числа между −1 и 5 расположены на расстоянии от 2 максимум 3. Множество решений равно [−1,5].

Теперь обратим неравенство, так что |𝑥−2|>3. Решение этого неравенства это набор чисел, которые находятся на расстоянии от 2 больше , чем 3. Это все числа, которые меньше −1 или больше 5. В системе обозначений это ]−∞,−1[∪]5,+∞[.

Подведем итоги.

Стандартный результат: набор решений простого абсолютного неравенства

Набор решений абсолютного неравенства формы |𝑥−𝑎|≤𝑐 (с 𝑐≥0) — интервал с центром в 𝑎 длины 2𝑐: [𝑎−𝑐,𝑎+𝑐].

Аналогично, |𝑥−𝑎|𝑐 (с 𝑐≥0) имеет набор решений ]𝑎−𝑐,𝑎+𝑐[.

Множество решений абсолютных неравенств вида |𝑥−𝑎|>𝑐 есть дополнительное к множеству решений обратного неравенства |𝑥−𝑎|≤𝑐 описано выше: ℝ−[𝑎−𝑐,𝑎+𝑐]=]−∞,𝑎−𝑐[∪]𝑎+𝑐,+∞[.

Аналогично, |𝑥−𝑎|≥𝑐 имеет набор решений ℝ−]𝑎−𝑐,𝑎+𝑐[=]−∞,𝑎−𝑐]∪[𝑎+𝑐,+∞[.

Это можно представить в числовой строке.

Этот тип неравенств соответствует реальным ситуациям толерантности к определенному измеряемому признаку объекта.Например, представьте себе плотника, который отрезает куски дерева длиной 2,54 м. с допуском 1 см. Это означает, что длина не должна быть точно 2,54 м, но может быть до на 1 см больше или меньше 2,54 м. Следовательно, любой кусок длиной от 2,53 м и 2,55 м имеет необходимая длина; мы говорим, что эти длины находятся в пределах допуска.

Давайте посмотрим в нашем первом примере, как такая ситуация описывается абсолютным неравенством.

Пример 1. Решение текстовых задач путем нахождения границ набора решений абсолютного неравенства

Фабрика производит банки весом 𝑥 грамм. Для контроля качества производства банки допускаются к продаже только в том случае, если |𝑥−183|≤6. Определить наибольшую и наименьшую массу банки, которая может быть проданы.

Ответ

Сначала интерпретируем данное неравенство |𝑥−183|≤6. Как 𝑥 — вес банки в граммах, 𝑥−183 представляет разница между фактическим весом банки и вес 183 гр.|𝑥−183| является затем разница между фактическим весом банки и 183 г. То неравенство |𝑥−183|≤6 означает, что эта разница может достигать 6 грамм в любую сторону; то есть это означает, что вес a может быть до 6 граммов тяжелее или легче, чем 183 г.

Таким образом, максимально возможный вес определяется выражением 183+6=189,г и наименьший возможный вес определяется выражением 183−6=177.g

В предыдущем примере мы имели дело с ситуацией, когда фабрика стремится производить банки весом 183 г; этот вес затем называется номинальным весом .Впрочем, как есть вероятно, сложно производить банки с определенным весом, здесь допускается некоторое отклонение от номинального веса 6 грамм; мы говорим, что существует допуск 6 грамм. Для каждой банки разница между ее весом и номинальным весом называется отклонение от номинального веса.

Давайте теперь решим на нашем следующем примере задачу, обратную нашему предыдущему примеру, а именно, запишем абсолютное неравенство для описания интервала.

Пример 2. Формирование абсолютных значений неравенства в текстовой задаче

Учитывая, что оценки учащихся на экзамене варьируются от 69 до 93, напишите абсолютное неравенство, чтобы выразить диапазон оценок.

Ответ

Данный диапазон может быть сначала записан как закрытый интервал, [69,93]. Напомним, что множество решений абсолютного неравенства вида |𝑥−𝑎|≤𝑐 есть отрезок с центром в 𝑎 длины 2𝑐. Следовательно, мы можем найти это неравенство, найдя центр, 𝑎, [69,93] и его полудлина, 𝑐.

Длина [69,93] определяется выражением 2𝑐=93−69=24.

Его центр можно найти либо с помощью полудлины (𝑐=12), либо прибавив его к нижнему границы или вычитая ее из верхней границы: 𝑎=69+12=93−12=81, или вычислив среднюю точку между 69 и 93 (которая является средним значением двух значений): 𝑎=12(69+93)=12×162=81.

Таким образом, мы можем выразить диапазон от 69 до 93 как абсолютную величину неравенства |𝑥−81|≤12.

В следующем примере мы увидим, как некоторые сложные неравенства эквивалентны простому абсолютному неравенству.

Пример 3. Преобразование неравенства в виде абсолютного неравенства √4𝑥−8𝑥+4≤8 равно . Ответ

Для начала вспомним, что квадратный корень всегда неотрицательный.Таким образом, у нас есть 0≤√4𝑥−8𝑥+4≤8.

Теперь мы можем возвести в квадрат каждую часть неравенства, что приведет к 0≤4𝑥−8𝑥+4≤64.

Разделив каждую сторону на 4, мы получим 0≤𝑥−2𝑥+1≤16, и разложение на множители 𝑥−2𝑥+1 приводит к 0≤(𝑥−1)≤16.

Извлечение квадратного корня из каждой стороны, наконец, дает нам 0≤|𝑥−1|≤4.

Напомним, что множество решений абсолютного неравенства вида |𝑥−𝑎|≤𝑐 представляет собой замкнутый интервал с центром в точке 𝑎 длины 2𝑐, т. е. [𝑎−𝑐,𝑎+𝑐].

Следовательно, здесь [−3,5], что является вариантом D.

В предыдущем примере построение графика параболы 𝑦=𝑥−4𝑥+4 и горизонтальной линии 𝑦=16 позволяет визуализировать, что для заданной линии симметрии параболы множество решений неравенства вида 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐≤𝑑 всегда имеет центр в 𝑥-координате вершины параболы.

Стоит отметить, что неравенство 0≤√4𝑥−16𝑥+16≤8 можно было решить и с помощью нахождение границ интервала, то есть 𝑥-координат точек пересечения парабола с линией 𝑦=16.Это решения уравнения: 𝑥−4𝑥+4=16,𝑥−4𝑥−12=0, то есть −2 и 6.

Поскольку коэффициент перед 𝑥-членом в 𝑥−4𝑥+4 положителен, парабола 𝑦=𝑥−4𝑥+4 открывается вверх, а значит, как видно из графика, множество решений неравенство 𝑥−4𝑥+4≤16 равно [−2,6].

Если бы парабола открылась вниз и все еще пересекала линию 𝑦=16 в тех же точках, она была бы ниже строка для всех 𝑥 в множестве ℝ−]−2,6[.

Сейчас мы узнаем, как решать такие неравенства графически и алгебраически.Эти методы позволят нам решать более сложные неравенства. Давайте сначала вспомним, как построить график функции абсолютного значения. Для этого мы можем Завершите столик для 𝑦 = | 𝑥 |:

𝑥 -3 -2 -1 0 1 2 3
𝑦 3 2 1 0 1 2 3

Затем мы можем нанести координаты на пару координатных осей, чтобы применить определение для построения графика: 900 значения и графики абсолютных значений очень полезны при решении абсолютных ценностное неравенство. Поэтому отработка этих навыков очень важна.

Рассмотрим неравенство |𝑥+1|≤3.

Сначала решим графически. Итак, на одном и том же наборе осей строим графики 𝑦=|𝑥+1| и 𝑦=3:

Из этого графика видно, что красный график 𝑦=|𝑥+1| меньше или равен до 3, когда 𝑥 больше или равно -4 и меньше или равно 2. Таким образом, решение задачи неравенство −4≤𝑥≤2.

Набор решений равен [−4,2].

Обратите внимание на график 𝑦=|𝑥+1| симметричен относительно 𝑥=−1, что согласуется с интерпретацией |𝑥+1|=|𝑥−(−1)| как расстояние между 𝑥 и −1, как мы узнали ранее.

Теперь из графика видно, как можно подойти к решению этого неравенства графически. Красный график содержит часть каждый из графиков 𝑦=𝑥+1 и 𝑦=−(𝑥+1). Итак, решение |𝑥+1|≤3 эквивалентно решению системы сложных неравенств 𝑥+1≤3 и −(𝑥+1)≤3. Умножая каждую сторону последнего неравенство на −1, находим 𝑥+1≥−3.

Следовательно, |𝑥+1|≤3 эквивалентно −3≤𝑥+1≤3.

Давайте решим это алгебраически, сначала вычитая 1 из трех членов: −3−1≤𝑥+1−1≤3−1−4≤𝑥≤2.

Это согласуется с нашими первоначальными выводами, полученными при просмотре графиков.

Оба метода одинаково приемлемы для решения абсолютных неравенств, но стоит практиковать оба, особенно решение графически, так как это помогает вам визуализировать решение. Также стоит потренироваться давать ответ в различных формы, в том числе в виде упрощенных неравенств на числовых прямых и в виде интервалов.

Давайте рассмотрим еще пару примеров.

Пример 4. Решение абсолютных неравенств

Найдите множество решений неравенства |𝑥+4|9.

Ответ

Мы решим этот вопрос сначала с помощью графического подхода, а затем с помощью алгебраический подход. Для графического решения неравенства необходимо построить графики 𝑦=|𝑥+4| и 𝑦=9 на том же наборе оси.

Чтобы построить график 𝑦=|𝑥+4|, мы сначала решим 𝑥+4=0, обнаружив, что 𝑥=−4. Когда 𝑥≥−4, 𝑥+4≥0; следовательно, |𝑥+4|=𝑥+4, поэтому наш график такой же, как 𝑦=𝑥+4 в этой области. За 𝑥−4, 𝑥+40; таким образом, |𝑥+4|=−(𝑥+4) и граф 𝑦=|𝑥+4| то же самое как граф 𝑦=−𝑥−4 в этой области.Построение этих двух линий вместе с 𝑦=9 на графике, получаем следующее.

Заметим, что два графика пересекаются в точках (−13,9) и (5,9) и что граф 𝑦=|𝑥+4| находится ниже линии 𝑦=9 для −13𝑥5. Отсюда заключаем, что решением неравенства является −13𝑥5.

Вопрос, однако, требует множества решений неравенства, которое было бы записывается как ]−13,5[.

Если мы хотим решить неравенство алгебраически, мы перепишем |𝑥+4|9 как составное неравенство: −9𝑥+49.

Вычитание 4 с каждой стороны дает −13𝑥5.

Следовательно, набор решений равен ]−13,5[.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором неравенство нужно изменить, прежде чем оно будет решено, как мы только что сделали.

Пример 5. Решение абсолютных неравенств

Алгебраически найдите множество решений неравенства |7−𝑥|+3≤−6.

Ответ

Обратите внимание, что вопрос явно просит нас вычислить набор решений алгебраически; однако для удобства объяснения решения мы также представим график.Если мы начнем с вычитания 3 из каждой части неравенства, мы получим |7−𝑥|≤−9.

Теперь левая часть неравенства представляет собой абсолютное значение, которое всегда больше больше или равно нулю, а правая часть — отрицательное число, поэтому решение, так как левая часть никогда не может быть меньше или равна правой части. Это можно ясно увидеть, нарисовав графики 𝑦=−9 и 𝑦=|7−𝑥| на том же наборе осей:

Красный график здесь, очевидно, никогда не меньше синего графика.Следовательно, решение множеством для неравенства является пустое множество, ∅.

В нашем последнем примере мы собираемся алгебраически решить более сложное абсолютное неравенство.

Пример 6. Решение абсолютных неравенств алгебраически

Алгебраически найти множество решений неравенства |𝑥−3|+|𝑥−5|>6.

Ответ

Здесь мы имеем неравенство с двумя членами по абсолютной величине, |𝑥−3| и |𝑥−5|. Применяя формальное определение абсолютного значения для каждого термин дает |𝑥−3|=𝑥−3𝑥−3≥0,𝑥≥3,−(𝑥−3)𝑥−30,𝑥3,ifor for и |𝑥−5|=𝑥−5𝑥−5≥0,𝑥≥5,−(𝑥−5)𝑥−50,𝑥5,iforifor

Мы видим, что нам нужно разделить ℝ на два интервала для каждого члена абсолютного значения , так что Всего ℝ разбит на 3 интервала: ]−∞,3[∪[3,5[∪[5,+∞[.Чтобы не ошибиться, запишем по таблице значение каждого члена абсолютного значения для каждого интервала и, таким образом, переписать наше неравенство для каждого интервала.

]−∞,3[ [3,5[ [5,+∞[
|𝑥−3| −(𝑥−3) 𝑥−3 𝑥−3
|𝑥−5| −(𝑥−5) −(𝑥−5) 𝑥−5
|𝑥−3|+|𝑥−5|>6 −(𝑥−3)− 5)>6 𝑥−3−(𝑥−5)>6 𝑥−3+𝑥−5>6

Теперь нам нужно решить неравенство для каждого из трех интервалов.

Для 𝑥3 имеем −(𝑥−3)−(𝑥−5)>6.

Раскрытие скобок дает −𝑥+3−𝑥+5>6, что упрощает до −2𝑥+8>6.

Вычитание 8 с каждой стороны дает −2𝑥>−2.

И, наконец, умножение каждой стороны на −12 дает 𝑥1.

Для 3≤𝑥5 имеем 𝑥−3−(𝑥−5)>6.

Раскрытие скобок дает 𝑥−3−𝑥+5>6, что упрощает до 2>6.

Это неравенство неверно. Следовательно, 𝑥 не может находиться в интервале [3,5[.

Для 𝑥≥5 имеем 𝑥−3+𝑥−5>6, что упрощает до 2𝑥−8>6.

Добавление 8 к каждой стороне дает 2𝑥>14.

И, наконец, деление каждой стороны на 2 дает 𝑥>7.

Объединив наши 3 решения, мы находим, что 𝑥1𝑥>7 или что соответствует множеству решений ]−∞,1[∪]7,+∞[=ℝ−[1,7].

Давайте теперь обобщим то, что мы узнали из этого объяснения.

Ключевые моменты

  • Абсолютное значение числа можно интерпретировать как его расстояние от нуля.
  • Абсолютные неравенства формы |𝑥−𝑎|𝑐 или |𝑥−𝑎|≤𝑐 (при 𝑐≥0) можно решить алгебраически, записав их в виде составного неравенства вида −𝑐𝑥−𝑎𝑐 или −𝑐≤𝑥−𝑎≤𝑐.
  • Абсолютные неравенства вида |𝑥−𝑎|>𝑐 (или |𝑥−𝑎|≥𝑐) являются дополнительными неравенствами |𝑥−𝑎|𝑐 или |𝑥−𝑎|≤𝑐, что означает, что их наборы решений дополняют друг друга.
  • Множество решений абсолютных неравенств вида |𝑥−𝑎|≤𝑐 (с 𝑐≥0) — интервал с центром в 𝑎 длины 2𝑐: [𝑎−𝑐,𝑎+𝑐]; аналогично |𝑥−𝑎|𝑐 (с 𝑐≥0) имеет множество решений ]𝑎−𝑐,𝑎+𝑐[.
  • Множество решений абсолютных неравенств вида |𝑥−𝑎|>𝑐 равно ℝ−[𝑎−𝑐,𝑎+𝑐] и |𝑥−𝑎|≥𝑐 равно ℝ−]𝑎−𝑐,𝑎+𝑐[.
  • Абсолютные неравенства формы |𝑥−𝑎|𝑐 (или любого другого символ неравенства) можно решить графически, построив график соответствующей функции абсолютного значения 𝑦=|𝑥−𝑎| и строку 𝑦=𝑐 и проверяя, для чего 𝑥-значений функция абсолютного значения находится ниже (для неравенств с или ≤) или выше (для неравенств с > или ≥) строка 𝑦=𝑐.
  • Более сложные абсолютные неравенства можно решить алгебраически, разбив ℝ на интервалы, в которых знаки чисел внутри столбцов абсолютного значения всех членов абсолютного значения в неравенство не изменится. Затем неравенства можно переписать для каждого из этих интервалов, используя формальную формулу определение абсолютной величины и решается отдельно. Окончательное решение получается путем объединения всех решения.

1.2 Работа с абсолютными значениями — алгебра среднего уровня

Изолируйте термин с абсолютным значением, добавив 5 к обеим сторонам.

\(\begin{array}{r}3\left|4w-1\right|-5=10\\\underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,+5\,\,\,+5}\\ 3\влево|4w-1\вправо|=15\конец{массив}\)

Не «распределять» 3 на абсолютное значение. Эти вертикальные полосы не скобки, поэтому распределение не работает. Вместо этого разделите обе части уравнения на 3. Теперь абсолютное значение изолировано.

\(\begin{array}{r} \underline{3\left|4w-1\right|}=\underline{15}\\3\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\\\left|4w-1\right|=\,\,5\end{массив}\)

Напишите два уравнения, которые дадут абсолютное значение 5, и решите их.

\( \displaystyle \begin{array}{r}(4w-1)=5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{или}\,\,\,\ ,\,\,-(4w-1)=5\\\подчеркивание{\,\,\,\,\,\,\,+1\,\,+1}\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\подчеркнуть{\,\,\, \,\,\,\,\,\,-1\,\,\,\,\,-1}\\\,\,\,\,\,\underline{4w}=\underline{6} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\подчеркивание{-4w}\,\,\,\,\,\,\,=\подчеркивание{4}\\\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,-4\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,w=\frac{3}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w=-1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w=\frac{3}{2}\,\,\,\,\,\text{or}\ ,\,\,\,\,-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{ массив}\)

Проверьте решения в исходном уравнении.

\( \displaystyle \begin{array}{r}\,\,\,\,\,3\left| 4w-1\, \right|-5=10\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\влево|4w-1\, \вправо|-5=10\\\\3\влево|4\влево( \frac{ 3}{2} \right)-1\, \right|-5=10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 \left|4w-1\, \right|-5=10\\\\\,\,\,\,\,\,3\left|\frac{12}{2}-1\, \right| -5=10\,\,\,\,\,\,\,3\влево|4(-1)-1\, \вправо|-5=10\\\\\,\,\,\, \,\,\,\,3\влево|6-1\, \вправо|-5=10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,3\влево|-4-1\, \вправо|-5=10\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,3\влево(5\вправо)-5=10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,3\влево|-5 \вправо|-5=10\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,15-5=10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,15-5=10\\ 10=10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10=10\end{массив }\)

Оба решения проверяются!

Ответить
\(w=-1\,\,\,\,\text{или}\,\,\,\,w=\frac{3}{2}\) .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.