Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования. Несобственные интегралы

Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой — и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 — это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку «Решение». Неправда ли — это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь — это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию — сайт — самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

Тема НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В теме «Определенный интеграл» было рассмотрено понятие определенного интеграла для случая конечного промежутка
и ограниченной функции
(см. теорему 1 из §3). Теперь займемся обобщением этого понятия для случаев бесконечного промежутка и неограниченной функции. Необходимость такого обобщения показывают, например, такие ситуации.

1. Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти окружности
,
, то придем к интегралу от неограниченной функции:

, где
.

2. Пусть тело массой
движется по инерции в среде с силой сопротивления
, где
— скорость тела. Используя второй закон Ньютона (
, где
ускорение), получим уравнение:
, где
. Нетрудно показать, что решением этого (дифференциального!) уравнения является функция

Если нам потребуется вычислить путь, пройденный телом до полной остановки, т.е. до момента, когда
, то придем к интегралу по бесконечному промежутку:

I Определение

Пусть функция
определена и непрерывна на промежутке
. Тогда для любого
она интегрируема на промежутке
, то есть существует интеграл
.

Определение 1 . Конечный или бесконечный предел этого интеграла при
называют несобственным интегралом 1-го рода от функции
по промежутку
и обозначают символом
. При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае (
или не существует) – расходящимся.

Итак, по определению

Примеры

2.
.

3.
– не существует.

Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.

II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода

Пусть
— некоторая первообразная для функции
(сущест-вует на
, т.к.
— непрерывна). Тогда

Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию конечного предела
. Если этот предел обозначить
, то можно написать для интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:

, где
.

Примеры .

5.
.

6. Более сложный пример:
. Сначала найдем первообразную:

Теперь можем найти интеграл , учитывая, что

:

III Свойства

Приведем ряд свойств несобственного интеграла (1), которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла:

IV Другие определения

Определение 2 . Если
непрерывна на
, то

.

Определение 3 . Если
непрерывна на
, то принимают по определению

(– произвольное),

причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в правой части сходятся.

Для этих интегралов, как и для интеграла (1) можно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.

Пример 7 .

§2. Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода

Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство

(для больших ).

Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.

I Интегралы от положительных функций

Пусть
на
. Тогда определенный интеграл
как функция верхнего предела есть функция возрастаю-щая (это следует из общих свойств определенного интеграла).

Теорема 1 . Несобственный интеграл 1 го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда и только тогда, когда функция

остается ограниченной при увеличении.

Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.

Теорема 2 (1-й признак сравнения). Пусть функции
и
непре-рывны на
и удовлетворяют неравенству
. Тогда:

1) если интеграл
сходится, то и
сходится;

2) если интеграл
расходится, то и
расходится.

Доказательство . Обозначим:
и
. Так как
, то

. Пусть интеграл
сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция
‒ ограничена. Но тогда и
ограничена, а значит, интеграл
тоже сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.

Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от
или сходимости интеграла от
. Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения.

Теорема 3 (2-й признак сравнения). Пусть функции
и
непрерывны и неотрицательны на
. Тогда, если
при
, то несобственные интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство . Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:

, ,

.

Пусть, например,
. Тогда:

Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.

В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная функция
,
. Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл

сходится при
и расходится при
.

Примеры . 1.
.

Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке
:

,
.

Интеграл
сходится, ибо
. По 2-му признаку сравнения сходится и интеграл
, а в силу свойства 2) из §1 сходится и исход-ный интеграл.

2.
.

Так как
, тоcуществует
такое, что при

. Для таких значений переменной:

Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.

,

а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому

.

Интеграл сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и
. Применяя 2-й признак, получим, что и интеграл
сходится. И снова свойство 2) из §1 доказывает сходимость исходного интеграла.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) лишь при выполнении условий

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то определение теряет смысл. Действительно, в случае бесконечного отрезка, например [a ; ) его нельзя разбить на п частей конечной длины
, которая к тому же с увеличением количества отрезков стремилась бы к нулю. В случае же неограниченной в некоторой точкес [a ; b ] нарушается требование произвольного выбора точки на частичных отрезках – нельзя выбрать=с , поскольку значение функции в этой точке не определено. Однако и для этих случаев можно обобщить понятие определенного интеграла, введя еще один предельный переход. Интегралы по бесконечным промежуткам и от разрывных (неограниченных) функций называют несобственными .

Определение.

Пусть функция
определена на промежутке [a ; ) и интегрируема на любом конечном отрезке [a ; b ], т.е. существует
для любого b > a . Предел вида
называютнесобственным интегралом первого рода (или несобственным интегралом по бесконечному промежутку) и обозначают
.

Таким образом, по определению,
=
.

Если предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл
называютсходящимся . Если этот предел бесконечен, или не существует вообще, то говорят, что несобственный интеграл расходится .

Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла от функции
по промежутку (–; b ]:

=
.

А несобственный интеграл от функции
по промежутку (–; +) определяется как сумма введенных выше интегралов:

=
+
,

где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.

С геометрической точки зрения, интеграл
,
, определяет численное значение площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
, слева – прямой
, снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла означает существование конечной площади такой трапеции и равенство ее пределу площади криволинейной трапеции с подвижной правой стенкой
.

На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница :

=
=F(+ ) – F(a ),

где F(+ ) =
. Если этот предел существует, то интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.

Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.

Определение

Пусть функция
определена на промежутке [a ; b ), неограниченна в некоторой окрестности точки b , и непрерывна на любом отрезке
, где>0 (и, следовательно, интегрируема на этом отрезке, т.е.
существует). Предел вида
называетсянесобственным интегралом второго рода (или несобственным интегралом от неограниченной функции) и обозначается
.

Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению

=
.

Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся . Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл от функции
имеющей бесконечный разрыв в точкеа :

=
.

Если функция
имеет бесконечный разрыв во внутренней точкес 
, то несобственный интеграл определяется следующим образом

=
+
=
+
.

Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.

С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции:

Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.

Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости . Признаки сходимости несобственных интегралов:

1) Признак сравнения .

Пусть для всех х 

. Тогда, если
сходится, то сходится и
, причем

. Если
расходится, то расходится и
.

2) Если сходится
, то сходится и
(последний интеграл в этом случае называетсяабсолютно сходящимся ).

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.

Примеры решения задач.

Пример 1.

а)
; б)
; в)

г)
; д)
.

Решение.

а) По определению имеем:

.

б) Аналогично

Следовательно, данный интеграл сходится и равен .

в) По определению
=
+
, причем,а – произвольное число. Положим в нашем случае
, тогда получим:

Данный интеграл сходится.

Значит, данный интеграл расходится.

д) Рассмотрим
. Чтобы найти первообразную подынтегральной функции, необходимо применить метод интегрирования по частям. Тогда получим:

Поскольку ни
, ни
не существуют, то не существует и

Следовательно, данный интеграл расходится.

Пример 2.

Исследовать сходимость интеграла в зависимости от п .

Решение.

При
имеем:

Если
, то
и. Следовательно, интеграл расходится.

Если
, то
, а
, тогда

=,

Следовательно, интеграл сходится.

Если
, то

следовательно, интеграл расходится.

Таким образом,

Пример 3.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а) Интеграл
является несобственным интегралом второго рода, поскольку подынтегральная функция
не ограничена в точке

. Тогда, по определению,

.

Интеграл сходится и равен .

б) Рассмотрим
. Здесь также подынтегральная функция не ограничена в точке
. Поэтому, данный интеграл – несобственный второго рода и по определению,

Следовательно, интеграл расходится.

в) Рассмотрим
. Подынтегральная функция
терпит бесконечный разрыв в двух точках:
и
, первая из которых принадлежит промежутку интегрирования
. Следовательно, данный интеграл – несобственный второго рода. Тогда, по определению

=

=

.

Следовательно, интеграл сходится и равен
.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода..gif»>.

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: .

Мы рассмотрим самый популярный случай https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif»>? Нет, не всегда. Подынтегральная функция https://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif»>

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:

Несобственный интеграл https://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif»>», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится .

2) Но . Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: .. Во втором случае несобственный интеграл сходится .

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси?.gif»>.

: .

Пример 1

Подынтегральная функция https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif»>, значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif»>

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд..gif»>

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif»> (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл).

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену:

Всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница..gif»>? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif»>
“

Пример 4

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата.

Пример 5

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала..

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Иногда такие несобственные интегралы называют несобственными интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: ..gif»>, 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Сразу пример, чтобы было понятно: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif»>, то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования ..jpg» alt=»Несобственный интеграл, точка разрыва в нижнем пределе интегрирования»>

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.
Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению https://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif»> справа .

Пример 6

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

Сначала вычислим неопределенный интеграл:

Замена:

Вычислим несобственный интеграл:

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif»>. Как определить, куда стремиться выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.

В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу.

Пример 7

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Если подынтегральной функции не существует в точке

Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:

Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению https://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif»> мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева .

5.20. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть Y = F(X) – заданная и непрерывная для всех X ≥ α функция. Тогда для любого B ≥ A существует . Поставим вопрос о пределе этого интеграла при B → ¥.

Определение.

(6.1)

Называется Несобственным интегралом От функции F(X) с бесконечным верхним пределом. Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется Сходящимся. А если же он не существует или равен
± ¥, то этот несобственный интеграл называется Расходящимся.

Если F(X) ≥ 0 для всех X ≥ A, то У несобственного интеграла (6.1) имеется очевидный геометрический смысл, вытекающий из геометрического смысла (4.3) обычного определенного интеграла. Действительно, согласно рис. 5.14

(6.2)

А тогда

 

 

(6.3)

Здесь S¥ — площадь бесконечно протяженной в направлении оси Ох криволинейной трапеции (рис. 5.15). Несмотря на свою бесконечную протяженность, она может оказаться и конечной. Но это может произойти, согласно рис. 5.15, лишь в случае, когда Y =F(X) → 0 при X →¥. Да и то, если функция Y =F(X) → 0 при X → ¥ достаточно быстро.

Пример 1. Найти площадь S¥, изображенную на рис. 5.16.

Решение:

,
так как lnB → ¥ при B → ¥.

Итак, S¥ = ¥. И это несмотря на то, что функция при X → ¥. Несобственный интеграл , а значит, он расходится.

Пример 2. Найти площадь S¥ , изображенную на рис. 5.17.

Решение:

Здесь S¥ = 1. То есть бесконечно протяженная площадь оказалась конечной. Это произошло потому, что подинтегральная функция при X → ¥ достаточно быстро (по крайней мере, гораздо быстрее, чем подинтегральная функция в предыдущем примере). Несобственный интеграл (число), а значит, он сходится.

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится несобственный интеграл .

Решение. Вычислим это интеграл:

– не существует. Это очевидно, если вспомнить поведение графика функции Y= = SinX (синусоиды) при X → ¥. Таким образом, не существует, а значит, он расходится. Впрочем, это и не могло быть иначе, ибо подинтегральная функция cosX не стремится к нулю при Х → ¥.

Заметим, что при вычислении несобственных интегралов типа , как и при вычислении обычных определенных интегралов , можно сразу применять формулу Ньютона-Лейбница:

Здесь

(6.4)

Действительно:

Если значение F(¥) существует и конечно, то согласно формуле (6.4) Ньютона-Лейбница сходится и несобственный интеграл .

Примечание. Совершенно аналогично интегралам с бесконечным верхним пределом можно рассматривать несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом и даже с обоими бесконечными пределами интегрирования. То есть интегралы вида

(6.5)

Для их вычисления тоже можно применять формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 4.

Итак, (число), то есть этот интеграл сходится. Его величина π равна площади S¥ бесконечно протяженной в обе стороны фигуры, изображенной на рис. 5.18.

Заметим, что сам факт сходимости-расходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования не обязательно устанавливать с помощью прямого вычисления этих интегралов. Это вопрос часто можно решить и гораздо проще, сравнив данный несобственный интеграл с каким-либо другим, для которого сходимость-расходимость уже установлена.

 

 

 

 

Пусть, например, для всех имеет место неравенство F(X)£ G(X), Где Y = F(X) И Y = G(X) – Две непрерывные и неотрицательные функции (рис. 5.19). Тогда очевидно, что

(6.6)

Из неравенства (6.6) и рис. 5.19 очевидным образом следует так называемый Признак сравнения несобственных интегралов:

В качестве функции G(X), с которой на промежутке Сравнивают данную функцию F(X), часто используют функцию , а в качестве интеграла сравнения – интеграл , учитывая при этом, что при A > 0 и любых α функция — положительная и непрерывная функция, и что

(6.8)

Пример 5. Исследовать на сходимость-расходимость

Решение. Очевидно, что для всех X Î [2; ¥). Поэтому

.

Но согласно (6.8) интеграл сходится. Поэтому, по признаку сравнения, сходится и (он представляет собой некоторой конкретное число). Более того, предыдущее неравенство дает и оценку этого числа: так как, согласно (6.8), , то

.

Пример 6. Исследовать на сходимость-расходимость .

Решение. Очевидно, что

для всех X Î [3; ¥).

Следовательно,

.

Но последний интеграл равен ¥. Следовательно, равен ¥ и . То есть он расходится.

Примечание. Справедлив и более сильный (обобщенный) признак сравнения, который применим для любых непрерывных и неотрицательных на
[A; ¥) функций. А именно, если

,

(6.9)

То есть если F(X) эквивалентна G(X) (F(X) ~ G(X)) при Х ® ¥, то несобственные интегралы

Сходятся или расходятся одновременно.

Пример 2. Исследовать на сходимость-расходимость .

Решение. Исследовав функцию , легко показать, что она определена, а следовательно и непрерывна для всех Х Î [10; ¥). При этом

Но, согласно (6.8), сходится. Поэтому и сходится.

Теперь перейдем к более сложному случаю несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, когда подинтегральная функция знакопеременна на своей области интегрирования (рис. 5.20). Тогда

(6.10)

Где А>0 – сумма площадей, находящихся над осью Ох, а В>0 – сумма площадей, находящихся под осью Ох.

Рассмотрим еще один несобственный интеграл, только уже от |F(X)|:

(6.11)

А) Допустим, что сходится. Тогда А + В – Конечное положительное число. А значит, и его положительные слагаемые А и В – Конечные положительные числа. Но тогда и их разность А – В – Конечное число (его знак может быть любым). А значит, согласно (6.10), несобственный интеграл сходится.

Б) Допустим, что расходится (равен +¥). Тогда сумма А +В = +¥, а значит, или А, или В, или оба они одновременно равны +¥. Но их разность А – В может оказаться как бесконечной, так и конечной. То есть может как сходиться, так и расходиться.

Если сходится, и при этом сходится, то говорят, что Сходится абсолютно. Величину абсолютно сходящегося несобственного интеграла можно и оценить:

(6.12)

Действительно, неравенство (6.12) равносильно очевидному неравенству

(6.13)

А если сходится, но при этом расходится, то говорят, что Сходится условно.

Пример 8. Показать, что сходится, причем абсолютно.

Решение. Рассматривая и используя признак сравнения (6.7), получаем:

Таким образом, сходится. Но тогда и сходится, причем абсолютно. Более того, мы можем произвести, используя неравенство (6.12), оценку этого интеграла:

То есть абсолютная величина интеграла заключена в пределах
[0; 1].

Пример 9. Доказать, что сходится, но условно.

Решение. Применим к этому интегралу формулу (5.5) интегрирования по частям:

Интеграл , как и рассмотренный в примере 8 интеграл , сходится. А значит, сходится и . Но сходится он условно, ибо (расходится).

Действительно, так как для всех Х, то для всех Х. А значит

Но

Последний интеграл , как и аналогичные интегралы и , сходится (это можно подтвердить интегрированием по частям). То есть — число. А значит, (расходится). Но тогда и бóльший интеграл (расходится). То есть сходится, но условно.

< Предыдущая		Следующая >

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад Рассмотрим функцию и такой промежуток , на котором имеет несколько особенностей. Будем считать, что особенности имеются в тех точках промежутка, при приближении к которым функция имеет неинтегрируемые разрывы¹¹, а также в и , если они являются концами рассматриваемого промежутка .

Итак, пусть имеет особенности в , где, возможно, и , а все оставшиеся  — точки оси . Точки разбивают промежуток на части — интервалы , где внутри интервалов функция уже не имеет особенностей, то есть интегрируема по любому отрезку . Если промежуток  — это отрезок и в точках и функция не имеет особенностей, то к интервалам добавляются ещё полуинтервалы и с особенностями только в точках и . Выберем в каждом из интервалов по точке . Тогда на полуинтервалах и функция имеет ровно по одной особенности — в точке или соответственно. Присоединим, если нужно, к этим полуинтервалам ещё и и , то есть будем считать в этом случае и .

Заметим, что мы уже давали аналогичное определение в случае, когда и этот интервал разбивается точкой деления на две части, то есть особенности имеются только в и ( определение 4.3). Вслед за тем мы проверили, что величина интеграла при определении 4.3 не зависит от выбора точки деления . Аналогичный результат верен и для общего определения 4.9. Доказывается он точно так же, на основе свойства аддитивности определённого интеграла, поэтому мы опускаем доказательство.

        Пример 4.16   Рассмотрим интеграл На промежутке интегрирования функция имеет особенность в точке , поскольку при . Точка разбивает на две части: и , причём у каждого из этих полуинтервалов лишь один конец (а именно, 0) соответствует особенности функции. Согласно определению, нужно положить причём нужно проверить сходимость интегралов в правой части. Имеем: (см. выше, пример 4.9). Поскольку этот интеграл расходится, то расходится и данный интеграл , и проверять сходимость слагаемого уже нет нужды (на самом деле он тоже расходится).

Заметим, что было бы абсолютно неверно «не заметить» особенность функции в точке 0 и необоснованно применить формулу Ньютона — Лейбница, которая верна только для непрерывных подынтегральных функций:

Рис.4.10.

Мало того, что получился абсурдный результат: интеграл от положительной функции оказался отрицательным, так ещё при таком «способе» счёта мы упустили, что на самом деле площадь под графиком бесконечна.     

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Несобственные интегралы второго рода. Интеграл от разрывной функции.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при  , а при x=с функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интеграле  как о пределе интегральных сумм, так как f(x) не определена на отрезке , и поэтому этот предел может и не существовать.

 

Интеграл  от функции f(x), разрывной в точке с, определяется следующим образом:

Если предел стоящий справа существует, то интеграл называют несобственным сходящимся интегралом второго рода, в противном случае интеграл называют расходящимся.

Если функция имеет разрыв на левом конце отрезка , то

Примеры:

Пример 1:

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

.

Решение.

Используя определение несобственного интеграла, можно записать:

Несобственный интеграл второго рода сходится и равен 1.

Пример 2:

.

Решение.

Это несобственный интеграл II рода. Согласно определению несобственного интеграла II рода

        

имеем

.

Ответ: заданный интеграл расходится.

 

Теорема1:

Если на отрезке  функции f(x) и   разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка выполнены неравенства , и   сходится, то  также сходится.

 

Теорема 2: Если на отрезке  функции f(x) и   разрывны в точке с, причем , и    расходится, то  также расходится.

 

Теорема 3:

Если f(x) – функция знакопеременная на отрезке , разрывная только в точке с, и несобственный интеграл  от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интеграл  от самой функции.

 

 

Определение сходимости интеграла онлайн. Несобственные интегралы

Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой — и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 — это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку «Решение». Неправда ли — это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь — это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию — сайт — самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….

Итак, начнем-с. Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, и на самом деле сложностей с ними не так уж и много, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.

Что значит вычислить несобственный интеграл?

Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Несобственные интегралы бывают двух видов.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода . В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: , и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус:)

Ну а сейчас разберём самый популярный случай . В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:

Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади . При этом возможны следующие варианты:

1) Первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится .

2) Но . Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится .

3) О третьем варианте чуть позже.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным .

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно . Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений , ибо лучше поздно, чем в армии.

Рассмотрим два классических примера:

Пример 1

Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно .

Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам не понятно почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций .

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

“

! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией – непрерывна она на промежутке интегрирования или нет . Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд. Решаем с помощью формулы :

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что при (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на

“

Что делать, если вам встретится интеграл наподобие – с точкой разрыва на интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего) , либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности , следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках и и затем разобраться с суммой.

Иногда вследствие опечатки либо умысла несобственного интеграла может вовсе не существовать , так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть промежутка интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Более того, несобственного интеграла может не существовать даже при всём «видимом благополучии». Классический пример: . Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела .

И такие примеры пусть редко, но встречаются на практике! Таким образом, помимо сходимости и расходимости, есть ещё и третий исход решения с полноправным ответом: «несобственного интеграла не существует».

Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену:

Неопределенный интеграл найден, константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему при ? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на .

“

Пример 4

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей .

Пример 5

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка.

Полные решения и ответы в конце урока.

Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов . Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Или несобственные интегралами второго рода . Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке , 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования . В этой связи проверим и верхний предел: . Здесь всё хорошо.

Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.

Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению справа. Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа .

Посмотрим, как это реализуется на практике.

Пример 6

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

Сначала вычислим неопределенный интеграл:

Замена:

У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле .

Вычислим несобственный интеграл:

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом . В данном случае у нас правосторонний предел .

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.

В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .3+1}. \]

Несобственные интегралы первого рода: распространение понятия определённого интеграла на случаи интегралов с бесконечным верхним или нижними пределами интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы второго рода: распространение понятия определённого интеграла на случаи интегралов от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не существует, обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.

Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f (x ) находится выше оси Ox , определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) , осью абсцисс и ординатами x = a , x = b . В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f (x ) (на рисунке ниже — красного цвета), x = a и осью абсцисс.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.

Несобственные интегралы первого рода — с бесконечными пределами и их сходимость

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f (x ) на промежутке от a до ∞ называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт , т.е.

.

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся , а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла находим

Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса — не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).

Решение. Предположим сначала, что , тогда

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:

.

Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Предел этого интеграла существует:

Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:

Предел этого интеграла также существует:

.

Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:

Несобственные интегралы второго рода — от неограниченных функций и их сходимость

Пусть функция f (x ) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b , в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.

Определение. Несобственным интегралом функции f (x ) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c , если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена , т.е.

.

Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим.

Несобственные интегралы. Метод обратных координат

В данной статье представлена связь между несобственными интегралами первого рода и несобственными интегралами второго рода, а также особые приемы вычисления несобственных интегралов. Если имеется значение некоторого, не берущегося элементарно, несобственного  интеграла, то методом поворота координат и переходом к обратной функции можно отыскать значение еще нескольких не берущихся интегралов.

Перед изложением основных формул будет представлен несколько иной метод нахождения интеграла

Рассмотрим тождество:

                                                            (1)

которое очевидно справедливо, так как

С другой стороны:

В свою очередь,    (подстановка: )

Тогда ,

и исходя из этого,

Подставляя этот последний результат в формулу (1):

                                                                                                      (2)

Исходя из (2) и (1):

                                                                                    (3)

Это тождество можно представить в виде: , так как .Если в интеграле  произвести подстановку , то он будет иметь вид: . Последний интеграл подстановкой  сводиться к интегралу:

Тогда , и на основании (3):

                                                                                   (4)

Теорема 1:

1) Пусть  непрерывна и строго возрастающая в , и . Тогда справедлива формула:

                                                                                                    (5)

 2) Пусть  непрерывна и строго спадающая в , и. Тогда справедлива формула:

                                                                                                    (6)

 Доказательство:

Ограничимся вторым случаем. Так как функция  непрерывна и строго спадающая в , то она необходимо имеет и обратную функцию . Это дает возможность преобразовать несобственный интеграл первого рода в несобственный интеграл второго рода с особой точкой  .

Сходимость или расходимость несобственных интегралов при подобных преобразованиях не нарушается.

Отыскание обратной функции  к функции осуществляется по такому правилу: функцию  следует преобразовать явно в виде , после чего поменять в ней переменные  и местами, т.е. представить в виде . Последняя функция и будет обратной к функции , и обозначается: .

Пример 1: Пусть дана функция:. Найти функцию обратную к ней.

, и меняя  и местами:

В дальнейших примерах (кроме примера 5-го и 6-го) будет показано, как имея значения лишь двух интегралов:  и , возможно определить специальными методами, в особенности поворотом координат, значения многих других интегралов, которые так же не берутся элементарно.

Пример 2: Вычислить , если известно, что          

Решение: 

      (подстановка

Применяя формулу (5):

 

Тогда:

                                                                                                                  (7)

Как известно,

                     (Подстановка )

Исходя из последнего тождества и (7) выходит система из двух уравнений:

Прибавляя первое уравнение системы ко второму, находим:

,

и окончательно:

                                                                                                 (8)

Исходя из (7) и (8):

                                                                                                 (9)

И, исходя из (8) и (9), легко вывести окончательный результат:

                                                                                                               (10)

В данном примере для отыскания решения интеграла (10) была применена в начале метода вычисления первая из формул теоремы 1, что сыграло немаловажную роль в отыскании значения данного интеграла.

Теорема 2:

Пусть  непрерывна и строго спадающая (или строго возрастающая) в ,  – особая точка, , . Тогда справедлива формула:

                                                                                                 (11)

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 1. Только в этом случае несобственный интеграл второго рода преобразуеться в несобственный интеграл первого рода.

Пример 3: Вычислить  в конечном виде.

С одной стороны ; с другой стороны, по формуле (11):

Применение формулы (11) оправдано, так как  и особая точка:

     (подстановка: ).

Тогда:

И окончательный результат будет иметь вид:

Теорема 3: Пусть  непрерывна и строго спадающая (или строго возрастающая) в промежутке , ,  – особая точка. Тогда имеет место формула:

                                                                              (12)

Доказательство: начальные рассуждения аналогичны с теоремой 2, но в этом случае, в точке  функция  не достигает значения . Поэтому, если рассмотреть данный вопрос с геометрической точки зрения, т.е. усмотреть значение интеграла как площади, ограниченной некоторой осью с одной стороны и некоторой непрерывной интегрируемой функцией с другой, – то очевидно, уравнение (11) не будет полным, так как к значению интеграла от обратной функции  необходимо прибавить площадь оставшегося прямоугольника с вершинами: , , , .

Пример 4: Вычислить

Так как , то принимая этот интеграл за начальную функцию, а искомый интеграл за обратную функцию, по формуле (12):

Подставляя в последнее тождество значение интеграла  и преобразуя:

,

далее подстановка: , которая приводит к окончательному результату:

                                                                                              (13)

Исходя из (13) можно получить разложение:

Обобщенные формулы:

   ,  – особая точка                        (14)

   ,  – особая точка                        (15)

Обе формулы представляют собою преобразование несобственного интеграла второго рода в несобственный интеграл первого рода. Формула (14) выводиться из формулы (12) параллельным перемещением оси  из начального положения в особую точку . При этом все условия существования несобственного интеграла первого рода, полученного из несобственного интеграла второго рода – сохраняются. Формула (15) являет собою аналог (14) в случае особой точки .

Пример 5:

При преобразовании этого интеграла по формуле (14) – выходит аналогичный результат:

Пример 6:

Его вычисление по формуле (15) дает аналогичный результат:

Пример 7: Вычислить

Если обратиться вновь к тождеству  и провести ряд элементарных преобразований, то выходит:

Отсюда следует:

Согласно формуле (11), так как условия теоремы 2 в этом случае соблюдены:

После подстановки: интеграл будет иметь вид:

Окончательная подстановка  приводит к ответу:

Таким образом, выходит результат:

                                                                                                 (16)

Литература:

1.      Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды, Изд-во: «Наука», 1981 г. – 797 с.

2.      Бакельман И.Я. Высшая геометрия, Изд-во: «Просвещение», 1967 г. – 367 с.

Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами.

Определение. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a,∞) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования:

(1)

х→∞

Тогда этот предел называется несобственным интегралом f(x) на промежутке [a,∞) обозначают так:

Если предел (1) существует, то несобственный интеграл сходиться на промежутке [а, ∞).

(2)

Интеграл f(x) сходиться на [ a, ∞), если для любого ε >0, существует число в такое что

(3)

Значение с точностью ε

Пример: Дан сходящийся несобственный интеграл

Используя условие (2) аппроксимировать его определенным интегралом с точностью ε. Осуществить замену переменной интегрирования так, чтобы верхний предел b был равен а+10.

Замена переменной имеет смысл, если условия (3) дает большой отрезок интегрирования!

Решение:

Т.к. f(x)>0, то условия (3) принимает вид

∞ ∞

Имеем = — =

b b

Отсюда b> (4)

В качестве b берем наименьшее целое, удовлетворяющее (4).

Если а=с=1, р=2,ε=0.001, то b >1000

То = 1 —

Точное значение

Погрешность не превышает

Вычислять интеграл приближенным (численными) методами сложно, т.к. b>>a.

Сделаем преобразование: x = t^m ; ;

;

Показатель степени m полагаем равным ближайшему целому числу, не меньшему чем m=lg b/lg b₁

Нашем случае b=1001; b₁ = a+10 = 11 m = lg 1001/lg 11 ≈ 3

Сделав замену переменной x = t³, получаем =

Рассмотренный интеграл можно считать эталонным, для многих интегралов. Рассмотрим, как используются эталонные интегралы на примере абсолютно сходящихся интегралов.

Не собственный интеграл функции на называется абсолютно сходящимся, если несобственный интеграл абсолютной величины функции на этом промежутке.

1. Если для всех если функция эквивалентна при

и интеграл сходится,

то сходится и интеграл .

Условие (1) дает возможность использовать в неравенстве (3)

упрощенные подынтегральные функции вместо заданных.

 

Пример. Дан несобственный интеграл.

 

 

Аппроксимировать его определенным интегралом с точностью, не меньшей чем Е=0,001

 

Решение. 1. Упростим подынтегральную функцию.

Воспользуемся неравенством (3) для оценки величины в:

Из рассмотренного ниже примера:

b=1001; b₁=11 при замене .

Тогда:

,

с точностью не меньшей чем 0,001.

Приближенное значение несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом.

Пусть функция непрерывна на промежутке и предел функции при x, стремящемся к b, равен бесконечности, т.е. не существует.

(1)

Если предел существует, то интеграл несобственный.

Несобственный интеграл функции, имеющий бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке определяют на , как сумму сходящихся интегралов на отрезках .

Несобственные интегралы с бесконечным разрывом подынтегральной функции на отрезке интегрирования с помощью замены переменной интегрирования преобразуют к несобственным интегралам с бесконечными пределами.

Пример. Дан собственный интеграл . С помощью замены переменой преобразовать его в несобственный интеграл с бесконечным пределом.

функция не определена в точке x=0 (нижний предел интегрирования). Проведем замену так, чтобы особой точке соответствовала бесконечно удаленная.

Простейшая замена: при

Тогда:

Для интеграла можно получить его приближение (аналогично рассмотренному выше) на отрезке с заданной точностью.

(последующее преобразование уменьшает интервал интегрирования до )

ЛЕКЦИЯ 15

Узнать еще:

Исчисление II — неправильные интегралы

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. 2}} } \, dx}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to \ infty} \ left.t \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to \ infty} \ left ({1 — \ frac {1} {t}} \ right) = 1 \ end {align *} \]

Итак, вот как мы будем иметь дело с такими интегралами в целом. Мы заменим бесконечность переменной (обычно \ (t \)), сделаем интеграл, а затем возьмем предел результата, поскольку \ (t \) стремится к бесконечности.

Кстати, обратите внимание, что площадь под кривой на бесконечном интервале не была бесконечностью, как мы могли предположить.На самом деле это было на удивление мало. Конечно, так будет не всегда, но достаточно важно отметить, что не все области на бесконечном интервале дают бесконечные области.

Давайте теперь разберемся с некоторыми определениями. Мы будем называть эти интегралы сходящимися , если связанный предел существует и является конечным числом (, т.е. это не плюс или минус бесконечность), и расходящийся , если связанный предел либо не существует, либо равен (плюс или минус) бесконечности. .{{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \]

Где \ (c \) — любое число. Также обратите внимание, что для этого требуется, чтобы ОБА интегралов сходились, чтобы этот интеграл также был сходящимся. Если один из двух интегралов расходится, то и этот интеграл тоже.

Давайте взглянем еще на пару примеров.

Пример 2 Определите, сходится ли следующий интеграл или расходится, и если он сходится, найдите его значение.t \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to \ infty} \ left ({\ ln \ left (t \ right) — \ ln 1} \ right) \\ & = \ infty \ end { выровнять*}\]

Итак, предел бесконечен, а значит, интеграл расходится.

Если мы вернемся к мышлению в терминах площади, обратите внимание, что область под \ (g \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} \) на интервале \ (\ left [{1, \, \ infty} \ right) \) бесконечно. 2}}} \, dx}} \]

Теперь мы должны рассмотреть каждый из индивидуальных ограничений.t \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to \ infty} \ left ({\ cos 2 — \ cos t} \ right) \ end {align *} \]

Этого предела не существует, поэтому интеграл расходится.

В большинстве примеров класса Calculus II, которые обрабатываются на бесконечных интервалах, предел либо существует, либо бесконечен. Однако есть ограничения, которых не существует, как показал предыдущий пример, поэтому не забывайте о них.

Прерывистая интеграция

Теперь нам нужно рассмотреть второй тип несобственных интегралов, которые мы рассмотрим в этом разделе.{{\, b}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \]

Где \ (c \) — любое число. Опять же, это требует, чтобы ОБА интегралов сходились, чтобы этот интеграл также был сходящимся.

Обратите внимание, что пределы в этих случаях действительно должны быть правыми или левыми. Поскольку мы будем работать внутри интервала интеграции, нам нужно будет убедиться, что мы остаемся внутри этого интервала. Это означает, что мы будем использовать односторонние ограничения, чтобы оставаться в пределах интервала.2}}} + \ frac {1} {8}} \ right) \\ & = — \ infty \ end {align *} \]

На этом мы закончили. Один из интегралов расходится, что означает, что интеграл, на который нас попросили посмотреть, расходится. Нам даже не нужно возиться со вторым интегралом.

Прежде чем покинуть этот раздел, отметим, что у нас также могут быть интегралы, которые включают оба этих случая. Рассмотрим следующий интеграл.

Пример 8 Определите, сходится или расходится следующий интеграл.2}}} \, dx}} \] Показать решение

Это интеграл по бесконечному интервалу, который также содержит разрывную подынтегральную функцию. Чтобы получить этот интеграл, нам нужно разделить его на два интеграла, чтобы каждый интеграл содержал только одну точку разрыва. n {f \ left (x \ right ) dx}.x}}} \ normalsize} \) также сходится по сравнительному тесту \ (1. \)

упражнений: неправильные интегралы — Ximera

Различные упражнения на несобственные интегралы.

Вычислите неправильный интеграл: Вычислите данный несобственный интеграл: Оцените интеграл: этот интеграл не является неправильным из-за поведения подынтегральной функции вблизи. Вычислите данный несобственный интеграл. Используйте тест прямого сравнения или тест сравнения предельных значений, чтобы определить сходится ли интеграл или расходится: Ответ: интеграл сходится прямым пределом сравнение с функцией Используйте тест прямого сравнения или тест сравнения предельных значений, чтобы определить сходится ли интеграл или расходится: Ответ: интеграл сходится прямым пределом сравнение с функцией (выберите наибольший показатель в знаменателе что делает утверждение верным).Используйте тест прямого сравнения или тест сравнения предельных значений, чтобы определить сходится ли интеграл или расходится: Ответ: интеграл сходится путем прямого сравнения с функцией Используйте тест прямого сравнения или тест сравнения предельных значений, чтобы определить сходится ли интеграл или расходится: Ответ: интеграл сходится путем прямого сравнения с функцией Используйте тест прямого сравнения или тест сравнения предельных значений, чтобы определить сходится ли интеграл или расходится: Ответ: интеграл сходится прямым пределом сравнение с функцией Используйте прямой или предельный сравнительный тест, чтобы определить, сходится или расходится: Ответ: интеграл сходится — расходится. прямым пределом сравнение с функцией Используйте прямой или предельный сравнительный тест, чтобы определить, сходится или расходится: Ответ: интеграл сходится — расходится. путем прямого сравнения с функцией

Примеры вопросов викторины

Какой из следующих несобственных интегралов сходится? Покажи, как ты использовал сравнительные тесты, чтобы оправдать ваш ответ.

только сходится только сходится только сходится и сходится и сходится и сходится

Интеграл расходится при прямом сравнении с функцией. Интеграл расходится на ограничить сравнение с функцией. Интеграл сходится при прямом сравнении с функция.

Какой из следующих несобственных интегралов сходится? Покажи, как ты использовал сравнительные тесты, чтобы оправдать ваш ответ.

только сходится только сходится только сходится и сходится и сходится и сходится

Интеграл расходится при прямом сравнении с функцией.Интеграл сходится прямое сравнение с функцией. Интеграл сходится по предельному сравнению с функция.

Образцы вопросов к экзамену

Только один из следующих четырех несобственных интегралов расходится. Выберите это неподходящее интегрально и обосновать, почему он расходится. (Вам НЕ нужно объяснять, почему другие интегралы сходятся.)

AC Неправильные интегралы

Еще одно важное применение определенного интеграла измеряет вероятность определенных событий.{-0,6} \\ \ amp \ приблизительно 0.1422 \ text {.} \ end {выровнять *}

Таким образом, около 14,22% всех лампочек выходят из строя между \ (t = 2 \) и \ (t = 3 \ text {.} \). Очевидно, мы могли бы отрегулировать пределы интегрирования, чтобы измерить долю лампочек, которые выходят из строя в любое время. интересующий период.

Предварительный просмотр деятельности 6.5.1.

У компании с большой клиентской базой есть колл-центр, который принимает тысячи звонков в день. Изучив данные, показывающие, как долго вызывающие абоненты ждут помощи, они обнаруживают, что функция \ (p (t) = 0.б п (т) \, дт \ текст {.} \ end {уравнение *}

Используйте эту информацию, чтобы ответить на следующие вопросы.

1. Определите долю вызывающих абонентов, которые ждут от 5 до 10 минут. bf (x) \, dx.{-x} $ на интервале $ [0, + \ infty) $ относительно оси $ x $.

   как решать несобственные интегралы

   Integral… Для этого пусть a2R и f — функция, интегрируемая по Риману на каждом конечном подынтервале [a; 1). Каждый интеграл на предыдущей странице определяется как предел. Я проверил WolframAlpha, но пошагового решения для этих интегралов нет. Несобственный интеграл сходится, если этот предел — конечное действительное число; в противном случае несобственный интеграл…) dx. Поскольку e x очень быстро приближается к оси x, вполне возможно, что общая площадь будет конечной.Опять же, это требует, чтобы ОБА интегралов сходились, чтобы этот интеграл также был сходящимся. На самом деле между этими двумя функциями не так уж и много различий, но все же есть большая разница в области под ними. Вернуться к началу. Если предел конечен, мы говорим, что интеграл сходится, а если предел равен Иногда интегралы могут иметь две особенности, где они несобственные. Теперь формализуем метод работы с бесконечными интервалами. Если интеграл сходится, определите его значение.В этом виде интеграла один или оба предела интегрирования бесконечны. Wolfram Language содержит очень мощную систему интеграции. Решайте интегралы с помощью Wolfram | Alpha. Итак, предел бесконечен, и поэтому этот интеграл расходится. Пример задачи №4 имеет разрыв при x = 9 (в этот момент знаменатель будет равен нулю, что не определено), а пример задачи №5 имеет вертикальную асимптоту при x = 2. И есть правила интеграции … Интеграция — это обратная операция дифференцирования.Такой интеграл часто записывается символически, как стандартный определенный интеграл, в некоторых случаях с бесконечностью как предел интегрирования. Несобственные интегралы не могут быть вычислены с использованием нормального интеграла Римана. P-интегралы. Рассмотрим функцию (где p> 0) для. Начнем с первого вида несобственных интегралов, которые мы собираемся рассмотреть. Рассмотрим следующий интеграл. В математическом анализе неправильный интеграл — это предел определенного интеграла, когда конечная точка интервала интегрирования приближается либо к заданному действительному числу, ∞ {\ displaystyle \ infty}, — ∞ {\ displaystyle — \ infty}, либо в некотором экземпляров, поскольку обе конечные точки приближаются к пределам.Обходной путь состоит в том, чтобы превратить неправильный интеграл в правильный, а затем интегрировать, превратив интеграл в предельную задачу. В общем, вы можете пропустить знак умножения, поэтому «5x» эквивалентно «5 * x». Мы можем разделить его где угодно, но выберем значение, удобное для целей оценки. Мы объясняем Правило неправильной интеграции L’Hopital с помощью видеоуроков и викторин, используя наш подход «Много способов» от нескольких учителей. Это подынтегральное выражение не является непрерывным в точке \ (x = 0 \), поэтому нам нужно разделить интеграл в этой точке.Предел существует и конечен, поэтому интеграл сходится, и значение интеграла равно \ (2 \ sqrt 3 \). Если один из двух интегралов расходится, то и этот интеграл тоже. 4 НЕПРАВИЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 9 4 Неправильные интегралы Рассмотрим y = e x и площадь под ним и выше [1; 7]. Если один или оба расходятся, тогда будет расходиться и весь интеграл. Он может сделать почти любой интеграл, который можно сделать в терминах стандартных математических функций. На этом мы закончили. Например: в этом случае мы можем выбрать произвольную точку \ (c \) и разбить интеграл там.2). Чтобы увидеть, как мы собираемся реализовать этот интеграл, давайте представим его как проблему области. Давайте рассмотрим пример, который также покажет нам, как мы собираемся работать с этими интегралами. Пределы как минусовой, так и плюсовой бесконечности: первый аргумент — это функция, а второй аргумент -… В этих случаях говорят, что интервал интегрирования составляет бесконечный интервал. Вы берете известную длину (например, от x = 0 до x = 20) и делите этот интервал на определенное количество крошечных прямоугольников с известной базовой длиной (даже если это незначительно крошечная длина).Несобственные интегралы. Процесс здесь в основном тот же, с одной небольшой разницей. И если длина вашего интервала бесконечна, нет никакого способа определить этот интервал. Пример задачи: Выясните, являются ли следующие интегралы правильными или неправильными: Шаг 1: Ищите бесконечность как одно из пределов интегрирования. 2} \ right) lim c → 0 + (- 8 1 + 2 c 2 1) ∞ \ infty ∞.В любом случае у нас есть так называемый несобственный интеграл (интегралы, которые мы видели до сих пор, называются собственными интегралами). сходится, если \ (p> 1 \), и расходится, если \ (p \ le 1 \). Этот урок демонстрирует, как использовать правило Лопиталя для решения неправильного интеграла. Wolfram | Alpha — отличный инструмент для вычисления первообразных и определенных интегралов, двойных и тройных интегралов и несобственных интегралов. Цель. Если f (x) не является непрерывным при x = c, где a 0), инструмент для вычисления первообразных определен! Итак, еще раз — на самом деле, давайте сделаем еще пару примеров, назовем эти интегралы кривой; область! Репетитор свободно сходится или расходится, что один символ бесконечности не может определить интервал…. В конечном итоге мы говорим, что несобственный интеграл, в том числе несобственный, с шагами, показанными правильным интегралом (.!, Оценка интеграла также сходится, верхний символ бесконечности думает об этом и. К пределу индивидуальных пределов, чтобы посмотреть на Каждый из интегралов должен быть мы. В дифференциальных уравнениях, как обсуждается ниже, и специфических несобственных интегралах .. Составляя таблицу: Следовательно, функция, использующая обычные правила решения несобственных интегралов, нам понадобится в одном! По существу, три случая что мы получили бесконечности в обоих пределах, заменив символ бесконечности.2} \ right) dx (1) … (где p> 1 \) и расходящиеся, если \ (p \ le 1 \) расходятся … Сходятся или расходятся пара предел / интеграл, вычислить интеграл, чтобы получить решение, график свободных шагов. Синяя стрелка для отправки таблицы: Таким образом, Maple предоставляет идеи и рекомендации по решению проблем.! Разрыв или существенный разрыв непрерывности, описанный выше, может иметь скачкообразный разрыв, как решать несобственные интегралы, а не метод работы с интервалами! Не могу даже этого сделать … не могли бы вы мне помочь, пожалуйста? как! Может потребоваться, чтобы вы использовали свои навыки алгебры, чтобы выяснить, есть ли они! Более 25 плюс x в квадрате dx равно -1⁄x, поэтому не делите и.