Решение несобственных интегралов – .

Несобственные интегралы

Сегодня я подготовил для вас подробную статью о несобственных интегралах

Определенные интегралы , для которых отрезок [a; b] конечен, а функция f(x) – непрерывна на этом отрезке, называют собственными.

С целью обобщения понятия интеграла рассмотрим:

1) определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечными пределами интегрирования;
2) определенные интегралы с конечными пределами интегрирования, но от функций, имеющих бесконечный разрыв на промежутке интегрирования. Такие определенные интегралы называют несобственными.

1. Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция  f(x) определена на промежутке [a; +∞) и пусть f(x) интегрирована на любом отрезке [a; b]  (b> a– произвольные действительные числа).

Определение 1.1. Предел  интеграла при b→+∞  называется несобственными интегралом функции f(x) от а до +∞ и обозначается символом

 

Если предел (1.1) есть конечное число, то несобственный интеграл   называют сходящимся. Если предел (1.1) не существует или равен бесконечности, то несобственный  интеграл называют расходящимся.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Вычислим определенный интеграл

Имеем

Следовательно, заданный интеграл сходится и он равен

Из рассмотренного следует, что вопрос о сходимости (расходимости) несобственных интегралов решается с помощью первоначальной функции для подынтегральной функции. Это обстоятельство сильно сужает круг практического использования понятия несобственного интеграла. В отдельных случаях вопрос о сходимости (расхождении) несобственного интеграла можно решить, не находя первообразной для подынтегральной функции. При этом пользуются так называемыми признаками сходимости несобственных интегралов. Простейшим признаком сходимости является признак сравнения.

Теорема 1.1. Пусть для всех x ≥ a функции f(x) и g(x) определены и выполняются неравенства 0 ≤ f(x) g(x). Тогда:

Для функции f(x), непрерывной на бесконечном промежутке -∞ < x ≤ b, определяется несобственный интеграл 

Для функции f(x), непрерывной на всей числовой оси, несобственный интеграл  определяется равенством:

где с – произвольное действительное число. 

2. Интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция f(x) такая, что для произвольного малого ɛ>0  она определена, ограничена и интегрирована на отрезке [a+ɛ; b] и неограниченна на (a; b].

Определение 1.2. Предел определенного интеграла  при ɛ→0  называется несобственным интегралом функции f(x) на отрезке [a; b]  и обозначается символом

Аналогично для функции f(x), определенной, непрерывной и интегрированной на отрезке [a; b- ɛ] и неограниченной на [a; b) обозначается несобственный интеграл:

Если пределы (1.4), (1.5) есть конечные числа, то несобственные интегралы называются сходящимися, а если эти пределы не существуют, то несобственные интегралы называются расходящимися.

В конце отметим, что для функции f(x), которая имеет на промежутке (a; b) точку с, в окрестности которой f(x) неограниченная, но является ограниченной и интегрированной на каждом из отрезков [a; c- ɛ] и [ñ + ɛ; b], интеграл определяется равенством.

Аналогично обозначается несобственный интеграл на отрезке [a; b] от функции, которая непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.

Пример 1.2.Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

а) функция  
 
ограничена и непрерывна, а потому и интегрируемая. Предельное значение

 

существует; таким образом,

ограничена и непрерывна, но

 расходится.

Пример 1.3Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение

Решение.

если α > 0, интеграл сходится; если α ≤ 0, то интеграл расходится;

 

если α > 1; если 0 < α ≤ 1, интеграл расходится как и при α = 1:

так и при 0 < α < 1:

Пример 1.4. Найти несобственный интеграл

Решение. Функция  непрерывна при 0 ≤ x < 2 и имеет бесконечный разрыв в точке x=2, поэтому имеем

Поэтому данный интеграл сходится и равен 2√2.

Пример 1.5. Исследовать сходимость интегралы. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

то есть, несобственный интеграл  расходится

то есть, несобственный интеграл I2 сходится и равен .

Пример 1.5. Исследовать на сходимость интегралы:

Решение.

Если у Вас есть ко мне вопросы, или нужна помощь, консультация по решению несобственных интегралов, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь. 

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Как вычислить несобственный интеграл и выяснить сходимость

Несобственные интегралы первого рода. По сути это тот же определённый интеграл,
но в случаях, когда интегралы имеют бесконечный верхний или нижний пределы интегрирования, или оба предела
интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы второго рода. По сути это тот же
определённый интеграл, но в случаях, когда интеграл берётся от неограниченных функций,
подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не имеет,
обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений.
Так появляются несобственные интегралы.

Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто.
В случае, когда график функции y = f(x)
находится выше оси Ox, определённый интеграл
выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x),
осью абсцисс и ординатами x = a, x = b.
В свою очередь несобственный интеграл
выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями
y = f(x) (на рисунке ниже — красного цвета), x = a
и осью абсцисс.

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных
интервалов:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла,

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный
интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный
интеграл называется расходящимся.

Использование предела интеграла вместо самого несобственного
интеграла.
Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел
определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то
несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся. К чему стремится
переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода
или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Итак, запись несобственного интеграла как
отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом
интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке
от a до называется
предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b
и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел
интегрирования неограниченно растёт, т.е.

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся, а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла находим

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень
икса — не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость.
То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится,
а при каких расходится?

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла (нижний предел интегрирования больше нуля).

Решение. Предположим сначала, что На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, тогда

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

В полученном выражении перейдём к пределу при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, то есть
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, и не существует, когда
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, то есть
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

В первом случае, то есть при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла
имеет место На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.
Если На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, то
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла и
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла не существует.

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл
сходится
при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла и
расходится при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла,
можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла (если он сходится).

Решение. С помощью метода замены переменной можно получить очень полезную формулу:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Доказывать эту формулу нет необходимости, но запомнить стоит — пригодится. Итак, применяя эту формулу для нахождения первообразной получим

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Итак, несобственный интеграл сходится и равен 1.

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла (если он сходится).

Решение. Находим

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Но предел На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла не существует, т. е. данный несобственный интеграл расходится.

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке, поэтому определённый
интеграл от неё на отрезке [0, b] существует
при всяком b. Находим этот интеграл:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Находим предел этого интеграла:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

По определению, значение данного несобственного интеграла:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, обозначаемый символом На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, а именно

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Если этот предел существует (и, значит, конечен, то есть, равен некоторому числу, а не бесконечности), то данный несобственный интеграл называется сходящимся.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла с бесконечным
нижним пределом(если он сходится).

Решение. Находим предел данного интеграла:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Вывод: данный несобственный интеграл сходится, а его значение равно -1/2.

Несобственные интегралы с двумя бесконечными пределами

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования, обозначаемый символом На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, нужно
предварительно представить в виде суммы двух несобственных интегралов, один из которых с конечным верхним
пределом интегрирования, другой — с конечным нижним пределом интегрирования, т.е.

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

По определению,

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла,

причём этот несобственный интеграл считается сходящимся, если оба предела существуют, когда a и b независимо друг от друга неограниченно возрастают по абсолютной величине.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла
с двумя бесконечными пределами (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла с двумя бесконечными
пределами представляем данный интеграл как сумму двух несобственных интегралов:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Преобразуем подынтегральное выражение к форме На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла,
с помощью выделения полного квадрата:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

По формуле На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла
находим:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

(Эта формула, которой мы воспользовались, а также другие формулы, пригодные для интегрирования
дробей, приведены в уроке Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей).

Предел этого интеграла существует:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Предел этого интеграла также существует:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного
интеграла с двумя бесконечными пределами:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Пусть функция f(x) задана на
отрезке от a до b
и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b,
в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.

Определение. Несобственным интегралом функции f(x)
на отрезке от a до b
называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c,
если при стремлении c к b
функция неограниченно возрастает, а в точке x = b
функция не определена, т.е.

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется
сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Это также обобщённая формула Ньютона-Лейбница. Именно она применяется в решении задач на вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

Пример 8. Вычислить несобственный интеграл На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла неограниченно возрастает, а в точке x = 0 функция не определена, то есть, не существует. Применяем обобщённую формулу Ньютона-Лейбница:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

(так как при x = 0 первообразная непрерывна). Вывод: данный несобственный интеграл сходится и равен -3/2.

Пример 9. Вычислить несобственный интеграл На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке полуотрезка
[0, 1]. В точке x = 1
функция обращается в бесконечность. Если взять На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла,
то на [0, c] подынтегральная функция непрерывна и,
следовательно, существует интеграл.

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Найдём предел этого интеграла:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Результат предыдущих действий: несобственный интеграл сходится и его значение мы нашли.

Пример 10. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла (верхний предел интегрирования больше нижнего).

Решение. Подынтегральная функция обращается в бесконечность при
x = b, в остальных точках она непрерывна.
Предположим сначала, что На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла,
тогда для На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

В полученном выражении перейдём к пределу при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла:

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, то есть
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, и не существует,
когда На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, то есть
На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

В первом случае, то есть при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

Если На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла, то

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла не существует.

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл
сходится
при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла и
расходится при На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла.

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Начало темы «Интеграл»

Продолжение темы «Интеграл»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Несобственный интеграл, формулы и примеры

Несобственный интеграл первого рода

Таким образом, по определению

   

Если такой предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае, если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл является расходящимся.

Аналогичным образом задается несобственный интеграл на промежутке .

Несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

   

Такой несобственный интеграл сходится только в том случае, когда оба несобственных интеграла в правой части являются сходящимися.

Примеры решения задач

Несобственный интеграл второго рода

Пусть некоторая функция непрерывна на промежутке , а в точке имеет разрыв второго рода. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается , то есть

   

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся. В случае, когда предел не существует или равен бесконечности, несобственный интеграл является расходящимся.

Аналогично, если в точке подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв, то несобственный интеграл второго рода определяется равенством:

   

Если подынтегральная функция терпит разрыв в некоторой внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

   

Интеграл, стоящий в левой части равенства, называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части приведенного равенства.

ru.solverbook.com

2. Несобственные интегралы

Несобственный
интеграл

Определенный
интеграл как предел интегральной суммы

может
существовать (т.е. иметь определенное
конечное значение) лишь при выполнении
условий

  1. отрезок
    интегрирования [a;
    b]
    конечный;

  2. подынтегральная
    функция

    непрерывная (или хотя бы кусочно-непрерывная)
    и, следовательно, ограниченная на этом
    отрезке.

Если
хотя бы одно из этих условий нарушено,
то определение теряет смысл. Действительно,
в случае бесконечного отрезка, например
[a;
)
его нельзя разбить на п
частей конечной длины
,
которая к тому же с увеличением количества
отрезков стремилась бы к нулю. В случае
же неограниченной в некоторой точке
с[a;
b]
нарушается требование произвольного
выбора точки

на частичных отрезках – нельзя выбрать
=с,
поскольку значение функции в этой точке
не определено. Однако и для этих случаев
можно обобщить понятие определенного
интеграла, введя еще один предельный
переход. Интегралы по бесконечным
промежуткам и от разрывных (неограниченных)
функций называют несобственными.

Определение.

Пусть
функция

определена на промежутке [a;
)
и интегрируема на любом конечном отрезке
[a;
b],
т.е. существует

для любого b
> a.
Предел вида

называют несобственным
интегралом

первого
рода
(или
несобственным интегралом по бесконечному
промежутку) и обозначают
.

Таким
образом, по определению,
=.

Если
предел справа существует и конечен, то
несобственный интеграл

называют сходящимся.
Если этот предел бесконечен, или не
существует вообще, то говорят, что
несобственный интеграл расходится.

Аналогично
можно ввести понятие несобственного
интеграла от функции

по промежутку (–;
b]:

=.

А
несобственный интеграл от функции

по промежутку (–;
+)
определяется как сумма введенных выше
интегралов:

=+,

где
а
– произвольная точка. Этот интеграл
сходится, если сходятся оба слагаемых,
и расходится, если расходится хотя бы
одно из слагаемых.

С
геометрической точки зрения, интеграл

,
,
определяет численное значение площади
бесконечной криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции
,
слева – прямой
,
снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла
означает существование конечной площади
такой трапеции и равенство ее пределу
площади криволинейной трапеции с
подвижной правой стенкой
.

На
случай интеграла с бесконечным пределом
можно обобщить и формулу
Ньютона-Лейбница
:

=
=
F(+)
– F(a),

где
F(+)
=
.
Если этот предел существует, то интеграл
сходится, в противном случае – расходится.

Мы
рассмотрели обобщение понятия
определенного интеграла на случай
бесконечного промежутка.

Рассмотрим теперь
обобщение для случая неограниченной
функции.

Определение

Пусть
функция

определена на промежутке [a;
b),
неограниченна в некоторой окрестности
точки b,
и непрерывна на любом отрезке
,
где >0
(и, следовательно, интегрируема на этом
отрезке, т.е.

существует). Предел вида
называется несобственным
интегралом второго рода

(или несобственным интегралом от
неограниченной функции) и обозначается

.

Таким
образом, несобственный интеграл от
неограниченной в точке b
функции есть по определению

=.

Если
предел справа существует и конечен, то
интеграл называется сходящимся.
Если конечного предела не существует,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.

Аналогично
можно определить несобственный интеграл
от функции

имеющей бесконечный разрыв в точке а:

=.

Если
функция

имеет бесконечный разрыв во внутренней
точке с,
то несобственный интеграл определяется
следующим образом

=+

=
+.

Этот интеграл
сходится, если сходятся оба слагаемых,
и расходится, если расходится хотя бы
одно слагаемое.

С
геометрической точки зрения, несобственный
интеграл от неограниченной функции
также характеризует площадь неограниченной
криволинейной трапеции:

Поскольку
несобственный интеграл выводится путем
предельного перехода из определенного
интеграла, то все свойства определенного
интеграла могут быть перенесены (с
соответствующими уточнениями) на
несобственные интеграла первого и
второго рода.

Во
многих задачах, приводящих к несобственным
интегралам, не обязательно знать, чему
равен этот интеграл, достаточно лишь
убедиться в его сходимости или
расходимости. Для этого используют
признаки
сходимости
.
Признаки
сходимости несобственных интегралов:

1)
Признак
сравнения
.

Пусть
для всех х.
Тогда, если

сходится, то сходится и
,
причем
.
Если

расходится, то расходится и
.

2)
Если сходится
,
то сходится и

(последний интеграл в этом случае
называется абсолютно
сходящимся
).

Признаки
сходимости и расходимости несобственных
интегралов от неограниченных функций
аналогичны сформулированным выше.

Примеры
решения задач.

Пример
1.

Вычислить
несобственный интеграл или установить
его расходимость:

а)

;
б)
;
в)

г)
; д).

Решение.

а)
По определению
имеем:

,

Следовательно,
данный интеграл сходится и равен
.

б)
Аналогично

.

Следовательно,
данный интеграл сходится и равен
.

в)
По определению
=+,
причем, а
– произвольное число. Положим в нашем
случае
,
тогда получим:

.

Данный
интеграл сходится.

г)

Значит, данный
интеграл расходится.

д)
Рассмотрим.
Чтобы найти первообразную подынтегральной
функции, необходимо применить метод
интегрирования по частям. Тогда получим:

Поскольку
ни
,
ни
не существуют, то не существует и

.

Следовательно,
данный интеграл расходится.

Пример
2.

Исследовать
сходимость интеграла
в зависимости от п.

Решение.

При
имеем:

.

Если
,
то

и
.
Следовательно, интеграл расходится.

Если
,
то
,
а
,
тогда

,

=

,

Следовательно,
интеграл сходится.

Если
,
то

,

следовательно,
интеграл расходится.

Таким
образом,

Пример
3.

Вычислить
несобственный интеграл или установить
его расходимость:

а)
;
б)
;
в)
.

Решение.

а)
Интеграл

является несобственным интегралом
второго рода, поскольку подынтегральная
функция

не ограничена в точке
.
Тогда, по определению,

.

Интеграл сходится и равен
.

б)
Рассмотрим.
Здесь также подынтегральная функция
не ограничена в точке
.
Поэтому, данный интеграл – несобственный
второго рода и по определению,

.

Следовательно,
интеграл расходится.

в)
Рассмотрим
.
Подынтегральная функция

терпит бесконечный разрыв в двух точках:

и
,
первая из которых принадлежит промежутку
интегрирования
.
Следовательно, данный интеграл –
несобственный второго рода. Тогда, по
определению

==

.

Следовательно,
интеграл сходится и равен
.

studfile.net

16. Несобственные интегралы второго рода

Если неограничена на , то особенность может быть в точках или внутренней точке этого отрезка. Мы рассмотрим случай с особенностью в точке .

Определение. Пусть задана на полуинтервале и Пусть далее для всякого существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует Или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка , на верхнем и нижнем пределах одновременно. Для удобства изложения мы рассматриваем случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.

Примеры.

1. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при расходится. Пусть теперь Тогда

И мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при сходится и при расходится. Аналогичные выводы можно сделать про несобственные интегралы ,.

Интегралы , , используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

2. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке , поэтому

.

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.

3. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точках и , поэтому интеграл разбиваем на сумму двух, например, . Для первого из них

. Следовательно, интеграл расходится и поэтому исходный интеграл также расходится.

4. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке , поэтому

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

5. Выясним сходимость интеграла . Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

6. Выяснить сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . По определению имеем

7. Выяснить сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . По определению имеем

8. Выяснить сходимость интеграла .

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому разбиваем интеграл на сумму двух

. Для первого из них имеем

.

Аналогично доказывается сходимость второго слагаемого. Следовательно исходный интеграл сходится.

Задание 2.6

Используя определение выяснить сходимость несобственных интегралов второго рода.

1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7. ; 8. ; 9. .

Ответы: 1.; 2. расходится; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7. расходится; 8. расходится; 9. расходится.

Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.

Теорема 2.11.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого существует Такое, что для всех выполняется неравенство

Доказательство этого результата опустим.

Теорема 2.12. Пусть для всякого Выполнено неравенство . Тогда, если интеграл сходится, то интеграл сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.

Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.

Теорема 2.13. Если и — бесконечно большие одного порядка роста, то есть , то интегралы И либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.

Примеры

1. Для интеграла подынтегральная функция имеет особенность в точках и . Точки в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен 0,5 и интеграл сходится.

2. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точках и . Точки и в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен и интеграл сходится.

3. Выясним сходимость интеграла .

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен 1,5 и интеграл расходится.

4. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.

5. Выясним сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.

6. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.

7. Выяснить сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точках и Обе входят в промежуток интегрирования. Разбиваем интеграл на два

Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен , а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен 1. Поэтому интеграл расходится.

Задание 2.7

Используя теорему сравнения выяснить сходимость несобственных интегралов. В ответе указаны: точка, в которой функция бесконечно большая; порядок роста подынтегральной функции относительно пробной функции; сходимость.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Ответы: 1. , , сходится; 2. , сходится; 3. , , сходится; 4., сходится; 5. , расходится; 6. , , сходится; 7. , сходится; 8. , сходится; 9. , , сходится; 10. , сходится;

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Сходимость интегралов, формулы и примеры

Теорема (Признак сравнения). Пусть на промежутке функции и непрерывны, а в правом конце указанного промежутка, то есть в точке , терпят разрыв второго рода. Пусть для указанных функций справедливо следующее неравенство: . Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

ru.solverbook.com

Несобств интегр

Приближённое
вычисление несобственных интегралов.

Понятие
несобственного интеграла.

Понятие несобственного
интеграла является обобщением понятия
определённого интеграла на случай,
когда либо промежуток интегрирования
бесконечен, либо подынтегральная функция
в некоторых точках неограниченна или
неопределенна.

Различают два типа
несобственных интегралов:

  1. несобственные
    интегралы с бесконечными пределами
    интегрирования

  1. несобственные
    интегралы от неограниченных функций

Опр. Если функция
f(x)
определена на промежутке [a;
]
и при любом значении b>a
существует
,
то можно рассмотреть
,
который и называют несобственным
интегралом с бесконечным верхним
пределом интегрирования от функции
f(x)
на промежутке [a;
]
и обозначают
.

Если данный предел
конечен, то говорят что несобственный
интеграл сходится, а функция f(x)
интегрируема на [a;
],
иначе несобственный интеграл расходится,
а функция неинтегрируемая на [a;
].

Пример:
сходится;

расходится

Аналогичным образом
вводятся понятия несобственного
интеграла с бесконечным нижним пределом
и бесконечными пределами интегрирования.

Правила вычисления
несобственных интегралов с бесконечными
пределами интегрирования.

Так как несобственные
интегралы с бесконечными пределами
интегрирования по определению вычисляются
предельным переходом из соответствующих
определённых интегралов, то для них
справедливы все свойства определённых
интегралов, в частности формула
Ньютона–Лейбница. Тогда, если F(x)
первообразная f(x),
то

Опр. Пусть функция
f(x)
определена на [a;b]
за исключением некоторой точки в
окрестности которой она неограниченна.
Для определённости положим, что эта
точка b.
Тогда если существует

то этот предел называется несобственным
интегралом от неограниченной на нём
функции f(x)

и обозначается

В случае, если
точка с – является точкой разрыва
функции f(x)
на [a;
b],
а несобственные интегралы на отрезах
[a;
с] и [с; b]
существуют, считают, что

Правила вычисления
несобственных интегралов от неограниченных
функций.

Если F(x)
первообразная функции f(x)
и

1)
,
то

2)
,
то

3) с– точка разрыва

Геометрический
смысл несобственного интеграла.

Если существует
несобственный интеграл от f(x),
взятый вдоль основания криволинейной
трапеции, то он задаёт площадь этой
бесконечной трапеции, в противном случае
понятие площади не имеет смысла.

Некоторые способы
приближённого вычисления несобственных
интегралов.

Существуют различные
методы численного вычисления несобственных
интегралов с заданной точностью.

I.
Интегралы первого типа можно вычислять
с помощью замены

.

Тогда несобственный
интеграл перейдёт в интеграл с конечными
пределами интегрирования
.
Интегралы такого типа можно вычислить
по методу квадратур Гаусса.

II.
При приближённом вычислении несобственных
интегралов
особая
точка) можно использовать определение
этих интегралов и применить метод
“обрезания бесконечного предела
интегрирования конечным значением”.

Интегралы
соответственно представляются в виде:

,

причём А выбирает
настолько большим, а 1,
2
– столь малым, чтобы в пределах заданной
точности интегралы
,

не влияли бы на результаты, т.е.

и

не превосходили бы соответствующей
погрешности вычислений. Остальные
интегралы вычисляют уже изученными
методами с соответствующими погрешностями.

Пример.
Вычислить приближённо интеграл I=
с точностью до 10-4.

Решение. Из
неравенства

следует, что

.
Не трудно заметить, что при подстановке
вместо А значения 3 выполняется неравенство
.
Таким образом, достаточно взять А=3.

Значение же
интеграла

можно найти по формуле Симпсона с
заданной точностью I=0.8862.

III.
В некоторых случаях при вычислении
несобственных интегралов можно
использовать “мультипликативное
выделение особенности”. Для этого
подынтегральную функцию f(x)
представляют в виде произведения двух
функций
,
одна из которых (x)
ограничена, а другая p(x)
рассматривается как весовая функция –
положительна и интегрируема на
рассматриваемом промежутке. В данном
случае полученные интегралы вычисляются
с помощью квадратурных формул с весом,
рассмотренных в прошлом семестре.

IV.
Часто при вычислении несобственных
интегралов второго типа пользуются
методом выделения особенностей,
предложенным Л.В. Канторовичем. Этот
приём состоит в том, что если подынтегральная
функция на рассматриваемом интервале
ограничена

, то несобственный интеграл существует
и можно приступать к его вычислению.
Сделать это можно с помощью аддитивного
выделения особенностей. Для этого из
подынтегральной функции f(x)
в несобственном интеграле

выделяют в качестве
слагаемого некоторую функцию g(x),
имеющую те же особенности, что и f(x),
легко интегрируемую и такую, чтобы
разность

была бы достаточно гладкой функцией.

рассмотрим
достаточно широкий класс функций,
имеющих вид

где

для

разлагается в степенной ряд

Тогда полагаем

и

Функция g(x)
интегрируется непосредственно, а (x)
имеет на отрезке [a;
b]
n
непрерывных производных, а значит может
быть вычислена обычными численными
методами с оценкой погрешности.

Замечания: 1) Данный
метод выделения особенностей может
оказаться полезным при вычислении
собственных интегралов, если подынтегральная
функция не является достаточно гладкой.

Пример.
Вычислить приближённо интеграл I=

Решение. В этом
интеграле особой является точка x=0.

Разложим функцию
(1-x)-1/2
по степеням x
с помощью биномиального ряда

В разложении
остановимся на слагаемом, содержащем
x4,
и положим

Тогда I=

Первый интеграл
можно вычислить аналитически I1=1.5691585…,
а второй можно вычислить по формуле
Симпсона I1=0.00116385.
В результате получаем I=1.570797.

Истинное же значение
интеграла I=.

studfile.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск