1) 3(х+у)+1=х+4у

Проверим ответы:

1) (-1;-1)

2) ( -3; 4 ]

3) любое число (-∞;+∞)

4) [ — 1,5; — 1)

7-2(х-у)=х-8у

2) 5х + 12 ≤ 3х+ 20

х

2х + 7 ≥ 0

3) 4х -6у =2

3у -2х =1

4) -2 ≤ 6х + 7

5) 5(х+у)-7(х-у) = 54

Проверим ответы:

5) (9; 6)

6) (- ∞; 1 )

7)

4(х+у)+3(х-у) = 51

6) 2х ² — 7х + 5 0

2 – х ≥ 0

7) 3х ² — 2х – 1 0

х ² — х – 6 0

«Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»

Практическая работа по теме: «Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»

Цель :

1. Повторить знания обучающихся в теме: «Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств».

2. Закрепить умения и навыки решения линейных уравнений, систем уравнений и неравенств .

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности обучающихся.

Оборудование: рабочие тетради и тетради для практических работ, ручка, калькулятор.

Продолжительность: 1 час

Порядок выполнения:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом и решением примеров .

2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры).

3. В тетрадях для практических работ выполнить практическую работу .

Теоретические сведения:

Линейные уравнения.
Уравнение вида ax+ b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = .
Если a=0; b  0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b = 0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Примеры решения уравнений

Системы уравнений с двумя переменными
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.

Примеры решения систем уравнений

Линейные неравенства с одной переменной.

Линейным называется неравенство вида ax+b0 (соответственно ax+b 0, ax+b 0), где а и b – действительные числа, причем а0.
Неравенства решаются на основе следующих утверждений.
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Примеры решения неравенств

Система неравенств
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти множество общих решений заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Пример решения систем неравенств

Варианты практической работы:

Решение уравнений, систем уравнений и неравенств с двумя переменными

Задача 1. Какие геометрические фигуры задают следующие системы уравнений и неравенств:

а) б)

Решение

Выполним построение на координатной плоскости.

Для случая а) получим отрезок, принадлежащий прямой 2x_­+3y-12=0

Для б) треугольник

Задача 2. Не выполняя рисунка на координатной плоскости выясните пересекает ли прямую x+y-6=0 отрезок, соединяющий точки:

а) A(-1;-4) и B(-7;3)

б) C(5;2) и D(10;-7)

Решение.

а) координаты точек A и B удовлетворяют неравенству x+y-6<0, т.е. они обе лежат ниже прямой x+y-6=0. Следовательно, отрезок, соединяющий точки A и B, данную прямую не пересекает.

б) координаты точки С удовлетворяют неравенству x+y-6>0, т.е. она лежит выше прямой x+y-6=0. Координаты точки D удовлетворяют неравенству

x+y-6<0, т.е. она лежит ниже прямой x+y-6=0. Следовательно, отрезок CD будет пересекать прямую.

С целью закрепления указанного учебного материала могут быть использованы и такие задачи.

Задача 3. Укажите координаты каких-либо двух точек, если известно, что отрезок, их соединяющий не пересекает прямую 3x-5y=4.

Задача 4. Запишите уравнение какой-либо прямой, которая пересекает отрезок, соединяющий точки A(-2;1) и B(3;5).

В курсе алгебры при изучении графиков уравнений или неравенств с двумя переменными могут быть предложены задачи на определение осей симметрии тех или иных геометрических фигур.

Задача 1. Имеет ли ось симметрии график уравнения x-3y+1=0?

Решение

График уравнения x-3y+1=0 есть прямая линия, следовательно, он имеет оси симметрии и их бесконечное множество.

Задача 2. Сколько осей симметрии имеет график уравнения x²+y²=16?

Решение

Графиком уравнения x²+y²=16 является окружность, следовательно, он имеет бесконечное множество осей симметрии.

Задача 3. Запишите уравнение осей симметрии фигуры, задаваемой системой неравенств.

Решение

Данная система неравенств задает квадрат ABCD.

Всякий квадрат имеет 4 оси симметрии: KM; EF; AC; BD.

Прямая KM совпадает с ox, поэтому ее уравнение у=0.

Точка N имеет координаты (5;0), значит, x=5 – уравнение EF.

Прямая AC проходит через точки A(3;2) и C(7;-2), для определения коэффициентов k и b в общем уравнении прямой y=kx+b составим систему

Отсюда k=-1, b=5, y=-x+5

Аналогично уравнение прямой CD: y=x-5

Осуществлению взаимосвязи курсов алгебры и геометрии способствуют также использование в курсе математики задач на вычисление площадей геометрических фигур, заданных уравнениями или их системами.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, заданного системой неравенств

Решение

На координатной плоскости изображен заданный треугольник.

Определив координаты точек A,B,C,

находим, что AC=6, OB=3.

Ответ: 9

Задача 2. Вычислите площадь треугольника, ограниченного прямыми

y-2x=-2, 3y=-4x+24 и осью абсцисс

Решение

Координаты A и C найдем как координаты точек пересечения прямых

y-2x=-2 и 3y=-4x+24 с осью абсцисс; получим A(1;0), C(6;0). Для отыскания координат точки B решим систему: ; B(3;4).

Итак, AC=5; BD=4,

Ответ: 10

Задача 3. . Из условий х² + у² = 9, у² + z² = 16 и у² = = хz для положительных x, у и z, не вычисляя их значений, указать значение выражения ху + уz.

Решение. Привычное задание решить систему уравнений

x²+y²=9

y² +z²=16

^{y2= xz}

у учащихся затруднений не вызывает. Однако в данном случае нужно, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + уz.. Учитель может обратить внимание учащихся, что х, у и z положительны по условию и, таким образом, дать им некоторую подсказку, что задачу можно решить геометрически.

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа х, у и 3 являются соответственно длинами кате­тов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы тре­угольника BCD с прямым углом D

Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z, и по теореме, обратной теореме о пропор­циональных отрезках в прямоугольном треугольни­ке, угол ABC — прямой.

Теперь рассмотрим выражение ху + уz.

ху + _Уz= (х + z.)*у = 2s_АВС =3*4=12.

Примечание. Для данной системы уравнений за­дания могут быть и другие. Например, найти зна­чение выражения х + у + z или в каком отноше­нии находятся числа х и у; z и у;х + z и у.

«Решение систем уравнений и неравенств с одной переменной»

Урок по теме : «Решение систем уравнений и неравенств с одной переменной»

Тип урока: закрепление и совершенствование знаний, умений и навыков.

Оборудование: Доска, карточки для работы в парах, индивидуальные .

Цели урока:

—образовательные: систематизировать знания, вырабатывать умения решать неравенства с одной переменной на основе свойств квадратичной функции и методом интервалов; создать условия контроля усвоения знаний и умений;

—развивающие: формировать учебно-познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание;

—воспитательные: воспитывать интерес к изучению математики, активность и мобильность на уроке и самостоятельность.

Ход урока

« Пусть математика сложна,

Ее до края не познать,

Откроет двери всем она,

В них только надо постучать.»

1.Организационный момент.

1.Приветствие учащихся, тема ,цель мотивация урока

2.Актуализация знаний

«Ты-мне, я-тебе».

Учащиеся берут со стола карточки с вопросами и задают его любому однокласснику. Если тот не может ответить, отвечает сам.(способы решения систем уравнений ,свойства решения систем неравенств, решения корней уравнений, метод интервалов ,решение неравенств второй степени с одной переменной.)

2.Устная работа.

-Найти решение системы неравенств: (объяснить способ решения)

х+у=7 х-у=4

ху=12 ху=5

-Найти решение неравенств:

2х+2≥0

-5х≤10

Х²+7х+10 ^≥0

3.Практическая часть.

Работа на повторение

Стр.30 № 154(4-5) решение систем уравнений способом подстановки

х²-ху+у²=7 х²-у=14

х+у=5 зх+у=4

Решение задач, составляя системы уравнений

Стр.30 №157 работа самостоятельно , взаимопроверка

Разность двух чисел равна 6, а произведение 216.Найдите эти числа.

Ответ :(18;12 и -18 ;-12)

Стр 31 №169 решение систем неравенств

х²+6х+5

х²+4х+30

2х²-10х+5

х²+3х-20

4.Работа в парах. Найти решение задачи

Периметр прямоугольника равен 82 м, диагональ 29 м .Найдите его стороны.

Ответ: (21 м и 20 м)

5.Работа по карточкам .

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

6.«Найди ошибку»

1)2х² + 13х – 7.

Решение:

2х² + 13х -7 =0

D = — b² – 4ас

D = 169 — 4·2·7 = 114,

х₁ = 8 х₂ = — .

Ответ: ( — ; 8).

2)х(х – 2)(х +5)(х – 8)

Решение:

Область определения: R,

Нули функции: х = -2; х = 5; х = 0; х = -8,

7.Подведение итогов. Рефлексия

— С какими трудностями Вы столкнулись?

— Какие приятные ощущения Вы испытали?

— Закончите фразу: «Я бы хотел похвалить себя за то, что…»

8.Домашнее задание: стр 31 № 163

Спасибо за урок.

1)2х² + 13х – 7

Решение:

2х² + 13х -7 =0

D = — b² – 4ас

D = 169 — 4·2·7 = 113,

х₁ = 7; х₂ = — .

Ответ: ( — ; 7).

^{2)х(х – 3)(х +4)(х – 7)}

^{Решение:}

^{Область определения:R,}

^{Нули функции: х = — 3; х = 4; х = — 7; х = 5,}

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х — 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

Решение системы неравенств с одним неизвестным

Решить систему неравенств — это значит найти значения неизвестного, которые удовлетворяют КАЖДОМУ неравенству системы.

Алгоритм решения системы неравенств с одним неизвестным прост:

1. Сначала решаем каждое неравенство системы по отдельности, и на своей оси.  Последнее очень важно: часто при решении системы нелинейных неравенств делают такую ошибку: приравнивают к нулю левые части неравенств, находят корни и все корни наносят на одну ось. ЭТО НЕВЕРНО!

2. Решения всех неравенств совмещаем на одной числовой оси, и находим область,   над  которой расположено столько «стрелок», сколько неравенств в системе.

Рассмотрим пример. Решим систему неравенств:

Решим каждое неравенство системы, используя метод интервалов:

(1)  x²-x-20<0

Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: x₁=5, x₂=-4

Нанесем их на числовую ось:

Расставим знаки. Для этого возьмем число, больше большего корня и подставим вместо х в левую часть неравенства.

Возьмем, например, число 10:

10²-10-20>0, следовательно в самом правом промежутке ставим «+». Так как все корни нечетной кратности,  знаки меняются при переходе через корни:

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше 0:      Аналогично для второго неравенства:

(2) x²-2x-8<0 :

Выделим область,  в которой левая часть неравенства меньше 0:

Аналогично для третьего неравенства:

(3)    2x²+x-45<0

Теперь совместим на одной числовой оси решение трех неравенств:

Мы видим, что три «стрелки», изображающие решения всех трех неравенств проходят над отрезком (-2,4) — это и есть решение нашей системы неравенств.

Ответ: (-2,4)