Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения  слева на  (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как 

, а по определению обратной матрицы  (E– единичная матрица порядка n на n), поэтому   Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений по матричному методу определяется равенством . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы . Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу  только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С 

nНЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений . Решение. В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как 

. Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее. Мы знаем, что для матрицы  обратная матрица может быть найдена как , где  — алгебраические дополнения элементов . В нашем случае   Тогда   Выполним проверку полученного решения  , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.   Следовательно, решение найдено верно. Ответ:  или в другой записи .

Пример. Решите СЛАУ  матричным методом. Решение. Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x₂, второе – x₁

, третье – x₃. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как . От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ . Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что :   Построим обратную матрицу  с помощью матрицы из алгебраических дополнений:   тогда,   Осталось найти решение СЛАУ:   Рекомендуем выполнить проверку. Ответ: .

При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ  НЕЛЬЗЯ записать как . Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:   или 

  Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместо x₁, x₂, …, x_n могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ  в матричной форме запишется как . Разберем пример. Пример. Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений  с помощью обратной матрицы. Решение. Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме . Вычислим определитель основной матрицы:   Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как  . Найдем обратную матрицу по формуле :   Получим искомое решение:   Ответ: x = 0, y = -2, z = 3. Пример. Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений  матричным методом. Решение. Определитель основной матрицы системы равен нулю   поэтому, мы не можем применить матричный метод.

Пример. Решите СЛАУ 

 матричным методом,  — некоторое действительное число. Решение. Система уравнений в матричной форме имеет вид . Вычислим определитель основной матрицы системы и убедимся в том, что он отличен от нуля:   Квадратных трехчлен  не обращается в ноль ни при каких действительных значениях , так как его дискриминант отрицателен , поэтому определитель основной матрицы системы не равен нулю ни при каких действительных  . По матричному методу имеем . Построим обратную матрицу по формуле :   Тогда   Ответ: .

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Определение. Матрица А^-1называется обратной к матрице А, если выполняется условие: АА^-1= А^-1А=Е, где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная А

-1матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.

Определение. Квадратная матрица А=называется невырожденной, если её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема.Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Определение. Присоединенной матрицейк матрице А называется матрица вида:

=, где А_ij-алгебраическое дополнение элемента а_ij.

Находят обратную матрицу поформуле: А^-1_=.

Пример 3.1

Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы.

А=

Решение.

1. Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем определитель матрицы:

=3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

2. Найдем транспонированную матрицу.

А^Т=

3. Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы.

= (-1)¹⁺¹=12-4=8

= (-1)¹⁺²= -(4-4)= 0

= (-1)¹⁺³= 2-6= -4

= (-1)²⁺¹= -(0-2)=2

= (-1)²⁺²= 12-2=10

= (-1)²⁺³= -(6-0)= -6

= (-1)³⁺¹= 0-3= -3

= (-1)³⁺²= -(6-1)= -5

= (-1)³⁺³= 9-0=9.

=

4. Воспользуемся формулой: А^-1_=.

А^-1==.

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Выпишим основную матрицу данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь перепишем систему (1) в матричной форме:AX=BX=A^-1B- решение системы (1).

Пример 3.2

Решить систему линейных уравнений: методом обратной матрицы.

Решение.

Формула, по которой будем находить решение системы: X=A^-1B.

Основная матрица системы А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=.

Найдем определитель =3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы (см. пример 3.1):

А^-1=.

Подставим в формулу X=A^-1B, получим:X===

Ответ: =, ,.

Правильность решения легко проверить, подставив полученные результаты, , в данную систему уравнения.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Основная матрица данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь запишем систему (1) в матричной форме:AX=B.

Теорема Крамера. Пусть —определитель матрицы А, _j—определитель матрицы, получаемой из А заменойj-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если0, то система имеет единственное решение:, (1jn).

Пример 4.1

Решить систему линейных уравнений: методом Крамера.

Решение.

Основная матрица системы А=и вектор-столбец свободных членов:B=.

Найдем определитель ==3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к.0, следовательно, можно применить формулы Крамера.

Найдем определители ,,, полученные заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов:

==1(12-4)-1(8-6)+2(4-9)=8-2-10= -4;

==3(8-6)-0+1(2-4)=6-2=4;

==3(9-4)-0+1(2-3)=15-1=14.

Тогда, по формуле Крамера:

== —=;

=;

=.

Ответ: =, ,.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть дана система линейных уравнений. Рассмотрим расширенную матрицу (АВ) данной системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду, в результате получим расширенную матрицу (АВ).

Если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы r(A)<r(АВ), то система несовместна. Еслиr(A)=r(АВ)=n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и определена. Еслиr(A)=r(АВ)<n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и неопределенна.

Записываем систему линейных уравнений из полученной ступенчатой матрицы. Определяем базисные и свободные переменные, и выражая базисные переменные через свободные получаем решение системы.

Пример 4.2

Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение.

r(A)=r(АВ)=nсистема совместна и определена.

Отсюда, запишем эквивалентную систему уравнений, имеем:

Решая её, получаем:

Ответ: =, ,.

Пример 4.3

Найти общее решение системы: .

Решение.

Составим матрицу системы: А=

Приведем её к треугольному виду:

r(A)=2. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (3-2)=1, т. е. у нас одна свободная переменная это.

Выразим базисные переменные через свободные: . Обозначая свободную переменную:=, получаем общее решение в виде:

Пример 4.4

Найти общее решение системы:

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

АВ=

r(A)=r(AВ)=2<n, гдеn-число неизвестных, то система совместная и неопределенная. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (5-2)=3, значит,-свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные: Обозначая свободную переменную:=,,получаем общее решение в виде:.

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Определение. Матрица А^-1называется обратной к матрице А, если выполняется условие: АА^-1= А^-1А=Е, где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная А^-1матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.

Определение. Квадратная матрица А=называется невырожденной, если её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема.Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Определение. Присоединенной матрицейк матрице А называется матрица вида:

=, где А_ij-алгебраическое дополнение элемента а_ij.

Находят обратную матрицу поформуле: А^-1_=.

Пример 3.1

Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы.

А=

Решение.

1. Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем определитель матрицы:

=3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

2. Найдем транспонированную матрицу.

А^Т=

3. Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы.

= (-1)¹⁺¹=12-4=8

= (-1)¹⁺²= -(4-4)= 0

= (-1)¹⁺³= 2-6= -4

= (-1)²⁺¹= -(0-2)=2

= (-1)²⁺²= 12-2=10

= (-1)²⁺³= -(6-0)= -6

= (-1)³⁺¹= 0-3= -3

= (-1)³⁺²= -(6-1)= -5

= (-1)³⁺³= 9-0=9.

=

4. Воспользуемся формулой: А^-1_=.

А^-1==.

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Выпишим основную матрицу данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь перепишем систему (1) в матричной форме:AX=BX=A^-1B- решение системы (1).

Пример 3.2

Решить систему линейных уравнений: методом обратной матрицы.

Решение.

Формула, по которой будем находить решение системы: X=A^-1B.

Основная матрица системы А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=.

Найдем определитель =3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы (см. пример 3.1):

А^-1=.

Подставим в формулу X=A^-1B, получим:X===

Ответ: =, ,.

Правильность решения легко проверить, подставив полученные результаты, , в данную систему уравнения.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Основная матрица данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь запишем систему (1) в матричной форме:AX=B.

Теорема Крамера. Пусть —определитель матрицы А, _j—определитель матрицы, получаемой из А заменойj-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если0, то система имеет единственное решение:, (1jn).

Пример 4.1

Решить систему линейных уравнений: методом Крамера.

Решение.

Основная матрица системы А=и вектор-столбец свободных членов:B=.

Найдем определитель ==3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к.0, следовательно, можно применить формулы Крамера.

Найдем определители ,,, полученные заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов:

==1(12-4)-1(8-6)+2(4-9)=8-2-10= -4;

==3(8-6)-0+1(2-4)=6-2=4;

==3(9-4)-0+1(2-3)=15-1=14.

Тогда, по формуле Крамера:

== —=;

=;

=.

Ответ: =, ,.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть дана система линейных уравнений. Рассмотрим расширенную матрицу (АВ) данной системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду, в результате получим расширенную матрицу (АВ).

Если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы r(A)<r(АВ), то система несовместна. Еслиr(A)=r(АВ)=n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и определена. Еслиr(A)=r(АВ)<n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и неопределенна.

Записываем систему линейных уравнений из полученной ступенчатой матрицы. Определяем базисные и свободные переменные, и выражая базисные переменные через свободные получаем решение системы.

Пример 4.2

Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение.

r(A)=r(АВ)=nсистема совместна и определена.

Отсюда, запишем эквивалентную систему уравнений, имеем:

Решая её, получаем:

Ответ: =, ,.

Пример 4.3

Найти общее решение системы: .

Решение.

Составим матрицу системы: А=

Приведем её к треугольному виду:

r(A)=2. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (3-2)=1, т. е. у нас одна свободная переменная это.

Выразим базисные переменные через свободные: . Обозначая свободную переменную:=, получаем общее решение в виде:

Пример 4.4

Найти общее решение системы:

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

АВ=

r(A)=r(AВ)=2<n, гдеn-число неизвестных, то система совместная и неопределенная. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (5-2)=3, значит,-свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные: Обозначая свободную переменную:=,,получаем общее решение в виде:.

§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Весьма удобно записывать систему линейных уравнений

(1)

в матричной форме, а именно: если А=(а_ij) – основная матрица системы, а В и X – столбцы свободных членов и неизвестных, то (1) можно записать в виде

A·X=B. (2)

Как и в предыдущем параграфе, предположим, что определитель системы Δ≠0. Отсюда вытекает, что основная матрица системы имеет обратную А^—1. Умножим обе части матричного равенства (2) на матрицу А^—1. Используя ассоциативность умножения матриц и роль единичной матрицы, как единицы при умножении матриц, будем иметь:

A^—1(AX)= A^—1B,

(A^—1A)X= A^—1B,

EX= A^—1B,

X= A^—1B. (3)

Последнее равенство и дает выражение столбца неизвестных через обратную матрицу и столбец свободных членов. Вспомним вид обратной матрицы

A^—1=(А_ji/Δ) и приравняем j—е элементы столбцов, стоящих в левой и правой частях (3):

или

.

Выражение, стоящее в скобках, есть не что иное, как разложение определителя Δ_j (из предыдущего параграфа) по j—му столбцу. Поэтому (3) равносильно

,

и мы снова пришли к формулам Крамера.

Итак, если определитель Δ основной матрицы А системы линейных уравнений отличен от нуля, то существует и притом единственное решение матричного уравнения

АХ=В,

определяемое соотношением

Х=А^-1В,

которое эквивалентно формулам Крамера.

§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Вначале одно предварительное замечание. Применяя метод Гаусса, приходится выполнять такие преобразования системы: 1) переставлять местами два уравнения; 2) умножать обе части какого-нибудь уравнения системы на одно и то же число, отличное от нуля; 3) обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и то же число, вычитать из соответствующих частей некоторого другого уравнения системы. Нетрудно показать, что система, полученная в результате этих преобразований, будет эквивалентна исходной.

Перейдем теперь к изложению методом Гаусса, который называется также методом последовательного исключения неизвестных.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений

(1)

Предположим, что а₁₁≠0 (в противном случае пришлось бы переставить два уравнения: ведь какой-нибудь из коэффициентов при x₁ отличен от 0). С помощью 1-го уравнения исключим неизвестное x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого вычтем из i—го уравнения первое уравнение, умноженное на а_і1/a₁₁ , i=2,3,…,m. В результате придем к новой системе, эквивалентной исходной:

(2)

Далее будем преобразовывать систему (2), причем 1-е уравнение мы не будем трогать совсем и подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть этой системы, состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом мы считаем, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю: такие уравнения мы выбросили бы, если бы и их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мы уже доказали бы несовместимость нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличные от нуля; для определенности примем, что(в противном случае пришлось бы переставлять уравнения или неизвестные). С помощью 2-го уравнения системы (2) исключим неизвестноеx₂ из всех уравнений системы (2), начиная с третьего. Для этого вычтем из j—го уравнения второе, умноженное на . Придем к следующей системе, эквивалентной системе (2), а значит (1):

(3)

Наша система содержит теперь p уравнений, p≤m, так как некоторые уравнения оказались, возможно, отброшенными. В дальнейшем подлежит преобразованиям, аналогично уже поделанным, часть полученной системы, содержащей все уравнения, кроме двух первых.

Когда остановится этот процесс последовательного исключения неизвестных?

Если мы придем к такой системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю, то, как мы знаем, наша исходная система несовместна.

Если же таких уравнений не встретится, то процесс исключения закончится не позже чем на (m–1)—ом шаге. Обозначим через k – число уравнений, которые останутся в системе после завершения процесса исключения неизвестных. Возможны случаи: k=n, k<n, k>n.

В случае, когда k=n получим так называемую “треугольную” систему

(4)

у которой в каждом последующем уравнении ровно на одно неизвестное меньше, чем в предыдущем. Из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значение для неизвестного x_n. Подставив его в предпоследнее уравнение, мы найдем однозначно определенное значение для неизвестного x_n—1. Продолжая так далее, мы найдем, что система (4), а поэтому и система (1) обладают единственным решением, т.е. совместна и определена.

Пусть теперь k<n. Система, полученная после завершения процесса исключения, имеет так называемую “трапецеидальную” форму:

(5)

Назовем неизвестные x_k+1, x_k+2,…,x_n свободными, придадим им произвольные числовые значения и перенесем члены, содержащие их, в правые части уравнений. Мы получим систему “треугольной” формы (4), из которой однозначно определяется неизвестные x₁, x₂,…,x_k. Так как значения для свободных неизвестных можно выбирать бесконечным числом различных способов, то наша система (5) и, следовательно, система (1) будут совместными, но неопределенными. Легко проверить, что указанным здесь методом будут найдены все решения системы (1).

Третий случай, когда k>n кажется возможным лишь первый момент. Система имеет вид, получающийся приписыванием к системе (4) еще нескольких уравнений, содержащих лишь неизвестное x_n. В действительности, однако, в этом случае преобразования просто не доведены до конца: так как , то из всех уравнений, начиная с (n+1)—го, неизвестное x_n может быть исключено.

Итак, подведем итоги. Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе исключения неизвестных мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; Если же такого уравнения мы не встретим, то система будет совместной. Совместная система будет определенной, если приводится к треугольному виду (4) (число оставшихся уравнений равно числу неизвестных), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (5) (число оставшихся уравнений меньше числа неизвестных).

Замечание. При практическом применении метода Гаусса следует выписать основную матрицу системы и, приписав к ней столбец свободных членов, получить так называемую расширенную матрицу системы. Все преобразования выполняют над строками этой матрицы. Для удобства столбец свободных членов можно отделить вертикальной чертой от остальных столбцов матрицы.

Пример. Решить систему

Решение. Подвергаем преобразованиям расширенную матрицу этой системы.

Краткие пояснения. 1-й шаг: первую строку вычитаем из третьей. 2-й шаг: вторую строку умножаем на 5 и вычитаем из третьей, а также умножаем на 7 и прибавляем к четвертой. 3-й шаг: третью строку умножаем на 2 и прибавляем к четвертой. 4-й шаг: отбрасываем четвертую строку, сплошь состоящую из нулей, и делим третью строку на 2. Мыприходим, следовательно, к системе:

В качестве свободного неизвестного можно принять любое из неизвестных х₃ или х₄. Пусть х₄=α. Тогда из 3-го уравнения х₃=6+2α, из 2-го получаем х₂=3+α, а из первого х₁= –8. Итак, общий вид решения заданной системы:

(–8; 3+α; 6+2α; α), где α – произвольное число.

§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Весьма удобно записывать систему линейных уравнений

(1)

в матричной форме, а именно: если А=(а_ij) – основная матрица системы, а В и X – столбцы свободных членов и неизвестных, то (1) можно записать в виде

A·X=B. (2)

Как и в предыдущем параграфе, предположим, что определитель системы Δ≠0. Отсюда вытекает, что основная матрица системы имеет обратную А^—1. Умножим обе части матричного равенства (2) на матрицу А^—1. Используя ассоциативность умножения матриц и роль единичной матрицы, как единицы при умножении матриц, будем иметь:

A^—1(AX)= A^—1B,

(A^—1A)X= A^—1B,

EX= A^—1B,

X= A^—1B. (3)

Последнее равенство и дает выражение столбца неизвестных через обратную матрицу и столбец свободных членов. Вспомним вид обратной матрицы

A^—1=(А_ji/Δ) и приравняем j—е элементы столбцов, стоящих в левой и правой частях (3):

или

.

Выражение, стоящее в скобках, есть не что иное, как разложение определителя Δ_j (из предыдущего параграфа) по j—му столбцу. Поэтому (3) равносильно

,

и мы снова пришли к формулам Крамера.

Итак, если определитель Δ основной матрицы А системы линейных уравнений отличен от нуля, то существует и притом единственное решение матричного уравнения

АХ=В,

определяемое соотношением

Х=А^-1В,

которое эквивалентно формулам Крамера.

§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Вначале одно предварительное замечание. Применяя метод Гаусса, приходится выполнять такие преобразования системы: 1) переставлять местами два уравнения; 2) умножать обе части какого-нибудь уравнения системы на одно и то же число, отличное от нуля; 3) обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и то же число, вычитать из соответствующих частей некоторого другого уравнения системы. Нетрудно показать, что система, полученная в результате этих преобразований, будет эквивалентна исходной.

Перейдем теперь к изложению методом Гаусса, который называется также методом последовательного исключения неизвестных.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений

(1)

Предположим, что а₁₁≠0 (в противном случае пришлось бы переставить два уравнения: ведь какой-нибудь из коэффициентов при x₁ отличен от 0). С помощью 1-го уравнения исключим неизвестное x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого вычтем из i—го уравнения первое уравнение, умноженное на а_і1/a₁₁ , i=2,3,…,m. В результате придем к новой системе, эквивалентной исходной:

(2)

Далее будем преобразовывать систему (2), причем 1-е уравнение мы не будем трогать совсем и подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть этой системы, состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом мы считаем, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю: такие уравнения мы выбросили бы, если бы и их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мы уже доказали бы несовместимость нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличные от нуля; для определенности примем, что(в противном случае пришлось бы переставлять уравнения или неизвестные). С помощью 2-го уравнения системы (2) исключим неизвестноеx₂ из всех уравнений системы (2), начиная с третьего. Для этого вычтем из j—го уравнения второе, умноженное на . Придем к следующей системе, эквивалентной системе (2), а значит (1):

(3)

Наша система содержит теперь p уравнений, p≤m, так как некоторые уравнения оказались, возможно, отброшенными. В дальнейшем подлежит преобразованиям, аналогично уже поделанным, часть полученной системы, содержащей все уравнения, кроме двух первых.

Когда остановится этот процесс последовательного исключения неизвестных?

Если мы придем к такой системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю, то, как мы знаем, наша исходная система несовместна.

Если же таких уравнений не встретится, то процесс исключения закончится не позже чем на (m–1)—ом шаге. Обозначим через k – число уравнений, которые останутся в системе после завершения процесса исключения неизвестных. Возможны случаи: k=n, k<n, k>n.

В случае, когда k=n получим так называемую “треугольную” систему

(4)

у которой в каждом последующем уравнении ровно на одно неизвестное меньше, чем в предыдущем. Из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значение для неизвестного x_n. Подставив его в предпоследнее уравнение, мы найдем однозначно определенное значение для неизвестного x_n—1. Продолжая так далее, мы найдем, что система (4), а поэтому и система (1) обладают единственным решением, т.е. совместна и определена.

Пусть теперь k<n. Система, полученная после завершения процесса исключения, имеет так называемую “трапецеидальную” форму:

(5)

Назовем неизвестные x_k+1, x_k+2,…,x_n свободными, придадим им произвольные числовые значения и перенесем члены, содержащие их, в правые части уравнений. Мы получим систему “треугольной” формы (4), из которой однозначно определяется неизвестные x₁, x₂,…,x_k. Так как значения для свободных неизвестных можно выбирать бесконечным числом различных способов, то наша система (5) и, следовательно, система (1) будут совместными, но неопределенными. Легко проверить, что указанным здесь методом будут найдены все решения системы (1).

Третий случай, когда k>n кажется возможным лишь первый момент. Система имеет вид, получающийся приписыванием к системе (4) еще нескольких уравнений, содержащих лишь неизвестное x_n. В действительности, однако, в этом случае преобразования просто не доведены до конца: так как , то из всех уравнений, начиная с (n+1)—го, неизвестное x_n может быть исключено.

Итак, подведем итоги. Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе исключения неизвестных мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; Если же такого уравнения мы не встретим, то система будет совместной. Совместная система будет определенной, если приводится к треугольному виду (4) (число оставшихся уравнений равно числу неизвестных), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (5) (число оставшихся уравнений меньше числа неизвестных).

Замечание. При практическом применении метода Гаусса следует выписать основную матрицу системы и, приписав к ней столбец свободных членов, получить так называемую расширенную матрицу системы. Все преобразования выполняют над строками этой матрицы. Для удобства столбец свободных членов можно отделить вертикальной чертой от остальных столбцов матрицы.

Пример. Решить систему

Решение. Подвергаем преобразованиям расширенную матрицу этой системы.

Краткие пояснения. 1-й шаг: первую строку вычитаем из третьей. 2-й шаг: вторую строку умножаем на 5 и вычитаем из третьей, а также умножаем на 7 и прибавляем к четвертой. 3-й шаг: третью строку умножаем на 2 и прибавляем к четвертой. 4-й шаг: отбрасываем четвертую строку, сплошь состоящую из нулей, и делим третью строку на 2. Мыприходим, следовательно, к системе:

В качестве свободного неизвестного можно принять любое из неизвестных х₃ или х₄. Пусть х₄=α. Тогда из 3-го уравнения х₃=6+2α, из 2-го получаем х₂=3+α, а из первого х₁= –8. Итак, общий вид решения заданной системы:

(–8; 3+α; 6+2α; α), где α – произвольное число.