Решение уравнений 3 степени 9 класс – «Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

Содержание

Лекция по теме "Уравнения высших степеней. Методы их решения". 9-й класс

Основные цели:

  1. Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
  2. Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
  3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
  4. Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

  • Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
  • Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
  • Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
  • Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
  • Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

План урока:

  1. Организационный момент.
    Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
  2. Актуализация знаний учащихся.
    Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
  3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
  4. Подведение итогов.
    Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.
  5. Домашнее задание.
    Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

  • Понятие уравнения с одной переменной.
  • Понятие корня уравнения, решения уравнения.
  • Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
  • Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
  • Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
  • Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
  • Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
  • Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
  • Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение

n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x : Pn(x) = 0 , где Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + a1x + a0 – многочлен n-й степени от x, an≠ 0. Если an = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x3 – 4x2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x2– 1) = 0 x1 = 4 , x2 = 1, x3 = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax3 + bx2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x3 – 5x2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x2 – 6x + 1) = 0 x1 = -1, x2 = 3 + 2, x3 = 3 – 2.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3; +5; +15}. Применим схему Горнера:

x3 x2 x1
x0
вывод
1 -9 23 -15
1 1 1 х 1 – 9 = -8 1 х (-8) + 23 = 15 1 х 15 – 15 = 0 1 – корень
x2 x1 x0

Получаем (x – 1)(x2 – 8x + 15) = 0 x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о

Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x3 + 27x2x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3}. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {+1; +3; +9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+1; +; +; +3}. Применим схему Горнера:

x3 x2 x1 x0 вывод
9 27 -1 -3
1 9 1 x 9 + 27 = 36 1 x 36 – 1 = 35 1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0 1 – не корень
-1 9 -1 x 9 + 27 = 18 -1 x 18 – 1 = -19 -1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0 -1 – не корень
9 x 9 + 27 = 30 x 30 – 1 = 9 x 9 – 3 = 0 корень
x2 x1 x0

Получаем (x – )(9x2 + 30x + 9) = 0 x1 = , x2 = - , x

3 = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.

  • Если свободный член равен 1
.

  • Если можно воспользоваться заменой вида y = kx
.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 0 (x4 + 2x3) + (5x2 + 10x) – (6x + 12 ) = 0 (x + 2)(x3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x2 + x + 6) = 0

x1 = -2, x2 = 1.

Метод замены переменной.

  • Биквадратное уравнение вида ax4 + bx2 + с = 0.

Пример: x4 + 5x2 – 36 = 0. Замена y = x2. Отсюда y1 = 4, y2 = -9. Поэтому x1,2 = +2 .

  • Возвратное уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

  • Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2bx + a = 0.

  • Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0.

  • Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 1:

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для

n = 3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

  • Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
  • За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
  • Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней.
  • Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x8x3 + 1 = 0 не имеет корней.
  • Использование свойства монотонности функций
  • . Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
    Пример 1: уравнение x5 + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
    Пример 2: уравнение x4 + (x – 1)4 = 97 имеет корни x1 = -2 и x2 = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

  • Формула Кардано
  • Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
  • Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

Список литературы:

  1. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
  2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
  3. Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
  4. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
  5. Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
  6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н.

urok.1sept.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Алгебра

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

Схема метода Кардано

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 +
+ a2x + a3= 0,
(1)

где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа, Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0,(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(3)

      Тогда, поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано(4)

      Если ввести обозначения

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(6)

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то выполнено равенство:

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано(9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      С другой стороны,

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Таким образом,

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6x2 – 6x – 2 = 0.(13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

      Тогда получим

x3 – 6x2 – 6x – 2 =
= (y + 2)3– 6(y + 2)2
– 6(y + 2) – 2 =
= y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2
– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 =
= y3 – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y3 – 18y – 30 = 0.(15)

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(16)

      Тогда поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (15) примет вид

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(17)

      Далее из (17) получаем:

Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы КарданоРешение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Отсюда по формуле (16) получаем:

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

или использовали формулу

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

презентация для 9 класса "Некоторые способы решения уравнений высших степеней"

Некоторые приемы решения уравнений высших степеней Выполнила: учитель математики Астапкович М. К. САРАТОВ 2014

Некоторые приемы решения уравнений высших степеней

Выполнила:

учитель математики

Астапкович М. К.

САРАТОВ

2014

 Возвратно – симметричные уравнения  Симметричным называется целое рациональное уравнение вида  а 0 x n + а 1 x n – 1 + … +a 1 x + a 0 = 0.  Симметричные уравнения – частный случай возвратных уравнений, которые имеют вид, где а ≠ 0, при k = 0,1,…,n.  Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин «возвратные уравнения» был введён Л. Эйлером.

Возвратно – симметричные уравнения

Симметричным называется целое рациональное уравнение вида

а 0 x n + а 1 x n – 1 + … +a 1 x + a 0 = 0.

Симметричные уравнения – частный случай возвратных уравнений, которые имеют вид, где а ≠ 0, при k = 0,1,…,n.

Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин «возвратные уравнения» был введён Л. Эйлером.

Возвратно – симметричные уравнения 3- ей степени  В общем виде возвратно - симметричное уравнение 3-ей степени имеет вид : ax 3 + bx 2 +bx + a=0  Сгруппируем первый и последний, второй и третий члены, вынесем общие множители, тем самым, разложив левую часть уравнения на множители: ax 3 +bx 2 +bx+a=a(x 3 +3)+bx(x+1)=a(x+1)(x 2+ x+1)+bx(x+1)=(x+1)(ax 2 -ax+a+bx)=(x+1)(ax 2 +(b-a)x+a)  Тогда уравнение примет вид (x+1)(ax 2 +(b-a)x+a)=0 полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений ,х+1=0 и ax 2 +(b-a)x+a =0, решая первое получаем один из корней уравнения х=-1 , другие корни, если они есть, находят, решая второе уравнение. Заметим, что (-1) является корнем возвратно - симметричного уравнения любой нечётной степени.

Возвратно – симметричные уравнения 3- ей степени

В общем виде возвратно - симметричное уравнение 3-ей степени имеет вид : ax 3 + bx 2 +bx + a=0

Сгруппируем первый и последний, второй и третий члены, вынесем общие множители, тем самым, разложив левую часть уравнения на множители: ax 3 +bx 2 +bx+a=a(x 3 +3)+bx(x+1)=a(x+1)(x 2+ x+1)+bx(x+1)=(x+1)(ax 2 -ax+a+bx)=(x+1)(ax 2 +(b-a)x+a)

Тогда уравнение примет вид (x+1)(ax 2 +(b-a)x+a)=0 полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений ,х+1=0 и ax 2 +(b-a)x+a =0, решая первое получаем один из корней уравнения х=-1 , другие корни, если они есть, находят, решая второе уравнение. Заметим, что (-1) является корнем возвратно - симметричного уравнения любой нечётной степени.

Пример 1. Решите уравнение:  Х 3 -7х 2 -7х+3=0. Решение:  Имеем возвратно - симметричное уравнение третьей степени. Сгруппируем первый и четвёртый, второй и третий члены, вынесем общий множитель за скобки, получим:  3(х 3 +1)-7х(х+1)=0  Полученное уравнение сводится к решению совокупности двух уравнений: х+1=0 или  3х 2 -10х+3=0 Решая первое, получим корень , решая второе: . Ответ: - 1; ; 3.
  • Пример 1. Решите уравнение:

Х 3 -7х 2 -7х+3=0.

Решение:

Имеем возвратно - симметричное уравнение третьей степени. Сгруппируем первый и четвёртый, второй и третий члены, вынесем общий множитель за скобки, получим:

3(х 3 +1)-7х(х+1)=0

Полученное уравнение сводится к решению совокупности двух уравнений: х+1=0 или

3х 2 -10х+3=0

Решая первое, получим корень , решая второе: .

Ответ: - 1; ; 3.

Рассмотрим симметричное уравнение четвёртой степени вида  ах 4 ±bx 3 +cx 2 +bx+a=0  где a, b и c — некоторые числа, причём a  0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма: - разделить левую и правую части уравнения на x 2 . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a  0; -группировкой привести полученное уравнение к виду   a (х 2 +  ) + b (х±  ) + c = 0 ; -ввести новую переменную t = х± , тогда выполнено  t 2 = х 2 ±2  + то есть х 2 + = t 2 ± 2; -в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:  at 2 + bt + c ± 2a = 0 ; -решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной, решив два уравнения х+ =t 1  и х+ =t 2

Рассмотрим симметричное уравнение четвёртой степени вида

ах 4 ±bx 3 +cx 2 +bx+a=0

где a, b и c — некоторые числа, причём a  0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

- разделить левую и правую части уравнения на x 2 . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a  0;

-группировкой привести полученное уравнение к виду

a (х 2 + ) + b (х± ) + c = 0 ;

-ввести новую переменную t = х± , тогда выполнено

t 2 = х 2 ±2 + то есть х 2 + = t 2 ± 2;

-в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at 2 + bt + c ± 2a = 0 ;

-решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной, решив два уравнения х+ =t 1

и х+ =t 2

 Возвратно – симметричными уравнениями четвёртой степени назовём уравнения вида: ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+c=0 , в котором выполняется зависимость между коэффициентами .  Уравнение вида ax 4 ±bx 3 +cx 2 +bkx+ak 2 =0 при будем называть обобщённо возвратным. Такое уравнение также несложно решать, если разделить все члены уравнения на x 2 и затем ввести замену t=x±

Возвратно – симметричными уравнениями четвёртой степени назовём уравнения вида: ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+c=0 , в котором выполняется зависимость между коэффициентами .

Уравнение вида ax 4 ±bx 3 +cx 2 +bkx+ak 2 =0

при будем называть обобщённо возвратным. Такое уравнение также несложно решать, если разделить все члены уравнения на x 2 и затем ввести замену t=x±

Искусственные (нестандартные) приёмы, используемые для решения уравнений

Иногда при решении уравнений используются искусственные приёмы: умножение уравнения на функцию, представление одного из слагаемых в виде некоторой суммы или, в частности, прибавление или вычитание одного и того же выражения, с целью последующей группировки слагаемых, угадывание корня уравнения.

Пример. Решите уравнение: Х 8 -х 6 +х 4 -х 2 +1=0

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе части уравнения на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Умножим обе части уравнения на многочлен х 2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение: X 10 +1=0

Ясно, что это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

 В курсе алгебры уравнения занимают ведущее место, решая их можно получить ответы на вопросы, связанные с наукой и техникой. В работе были рассмотрены несколько способов решения уравнений.  При решении приведённых выше уравнений ученики расширяют свой математический кругозор, при этом происходит развитие логического мышления, умения анализировать, сравнивать. Кроме того, решение уравнений различными способами – это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремлённость, усидчивость, сила воли.

В курсе алгебры уравнения занимают ведущее место, решая их можно получить ответы на вопросы, связанные с наукой и техникой. В работе были рассмотрены несколько способов решения уравнений.

При решении приведённых выше уравнений ученики расширяют свой математический кругозор, при этом происходит развитие логического мышления, умения анализировать, сравнивать. Кроме того, решение уравнений различными способами – это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремлённость, усидчивость, сила воли.

multiurok.ru

Творческая работа учащихся по алгебре (9 класс) по теме: Урок-защита проектов "Решение уравнений высших степеней" 9 класс

Слайд 1

Зарождение алгебры Выполнили: Бикмурзина Сабина , Тажибаева Жанара

Слайд 2

Цели проекта: Познакомиться с информацией о решении уравнений в процессе формирования науки алгебры . Совершенствовать навыки работы с образовательными ресурсами в Интернете. Уметь оформлять полученные результаты в виде презентации.

Слайд 3

Алгебра-часть математики, которая изучает общие свойства действий над величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. Слово «алгебра» возникло после появления трактата « Китаб аль-ждебр валь-мукабала » хорезмского математика и астронома Мухаммеда Бен Мусса аль-Хорезми (787-850г.г.) В этом труде он описал краткое сочинение о вычислениях посредством « аль-ждебр валь-мукабала », понимая под этим метод решения уравнений. Метод этот сводился к двум операциям : перенос членов из одной части в другую ( аль-ждебр ) и приведение подобных членов ( валь-мукабала ).

Слайд 4

Диофант жил в четвертом веке до нашей эры. ученый отошел от традиционных в греческой математике геометрических проблем и занялся алгеброй. Основное его произведение «Арифметика». Сохранилось 6 томов из предполагаемых 13; в них содержится 189 уравнений с решениями. Автор интересуется только одним решением: положительным и рациональным. Диофант не применял общих методов решения уравнений: методы у него меняются от одного уравнения к другому. При выборе коэффициентов уравнений, чтобы получить желаемое рациональное и положительное решение, Диофант применяет много остроумных приемов.

Слайд 6

«Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына, коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?»

Слайд 7

Решение: X лет - продолжительность жизни Диофанта Надпись на могиле приводит нас к уравнению первой степени, решив которое, находим, что Диофант прожил 84 года.

Слайд 8

Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми – крупнейший ученый первой половины IX века, труды которого сыграли огромную роль в развитии математики и естествознания вначале в обширном регионе азиатской культуре, а затем начиная с XII века, и в Европе. Сейчас установлено, что ал-Хорезми был автором следующих сочинений: 1) «Книга об индийской арифметике» 2) «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы »; 3) «Астрономические таблицы ( зидж )»; 4) «Книга картины Земли »; 5) «Книга о построении астролябии»; 6) «Книга о действиях с помощью астролябии»; 7) «Книга о солнечных часах »; 8) «Трактат об определении эры евреев и их праздниках»; 9) «Книга истории». Предполагают, что он родился в городе Хиве, о его жизни почти ничего не известно. Научной работой аль-Хорезми в основном занимался в Багдаде. Его труды в течение нескольких веков оказывали сильное влияние на ученых Востока и Запада.

Слайд 9

Учебник математики Ал-Хорезми , выпущенный им около 830 года под заглавием „ Китаб мухтасар аль-джебр ва ал- мукабала " , посвящен в основном решению уравнений первой и второй степени. Этот математик уравнения решает также геометрически. Вот пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х 2 +10х = 39 . В оригинале эта задача формулируется следующим образом: « Квадрат и десять корней равны 39».

Слайд 10

Китаб - книга мухтасар – краткая аль - артикль джебр - восстановление ва – союз «и» ал-мукабала - противопоставление

Слайд 11

При решении уравнения Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный, Мы к обеим частям, С этим членом сличив, Равный член придадим, Только с знаком другим, - И найдем результат нам желательный Ал-джабра

Слайд 12

Ал-мукабала Дальше смотрим в уравнение, Можно ль сделать приведенье, Если члены в нем подобны, Сопоставить их удобно, Вычтя равный член из них, К одному приводим их.

Слайд 13

6х -13 2х -5 = 13 -2х 4х = 8 2 = х Ал-джабра Ал-мукабала Решить уравнение: 6х-13=2х-5

Слайд 14

Узбекский математик, поэт и врач Омар Хайям уже в IX веке систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени В 8 лет знал Коран по памяти, глубоко занимался математикой, астрономией, философией. В 12 лет Омар стал учеником Нишапурского медресе . Он блестяще закончил курс по мусульманскому праву и медицине, получив квалификацию хакима , то есть врача. Но медицинская практика мало интересовала Омара. Он изучал сочинения известного математика и астронома Сабита ибн Курры , труды греческих математиков.

Слайд 15

Однажды во время чтения «Книги об исцелении» Абу Али ибн Сины Хайям почувствовал приближение смерти (а было тогда ему уже за восемьдесят). Остановился он в чтении на разделе, посвященном труднейшему метафизическому вопросу и озаглавленному «Единое во множественном», заложил между листов золотую зубочистку, которую держал в руке, и закрыл фолиант. Затем он позвал своих близких и учеников, составил завещание и после этого уже не принимал ни пищи, ни питья. Исполнив молитву на сон грядущий, он положил земной поклон и, стоя на коленях, произнёс: «Боже! По мере своих сил я старался познать Тебя. Прости меня! Поскольку я познал Тебя, постольку я к Тебе приблизился». С этими словами на устах Хайям и умер.

Слайд 16

Джероламо Кардано ( 1501 - 1576 ) – врач, философ, математик и механик – в своей книге, посвященной алгебре, указал «формулу Кардано » - формулу для нахождения корня уравнения третьей степени: С 1534 года Кардано начал чтение лекций по математике и медицине в Миланском университете. . Работы Кардано сыграли большую роль в развитии алгебры; одним из первых в Европе он стал допускать отрицательные корни уравнений. С именем Кардано связывают формулу решения неполного кубического уравнения. Одиннадцать лет спустя он издал свой значительный труд по математике, озаглавленный „ Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus ". Именно этот труд обусловил выдающееся место Кардано в истории развития математики .

Слайд 17

Согласно легенде, Кардано предсказал день своей смерти и, чтобы оправдать своё предсказание, покончил с собой. С юности Джероламо обуревала жажда славы. На склоне лет он писал в своей автобиографии: Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти. Учился в университетах Павии и Падуи . Занимался сначала исключительно медициной, но в 1534 стал профессором математики в Милане , позже — в Болонье , хотя доходное врачебное занятие не бросил и завоевал репутацию одного из лучших европейских врачей. Подрабатывал также составлением астрологических альманахов и гороскопов . За составление и публикацию гороскопа Иисуса Христа был обвинён в ереси ( 1570 ), провёл несколько месяцев в тюрьме и был вынужден уехать в Рим просить у Папы отпущение грехов. Женился в 1531 году . Старший сын Кардано был осуждён за убийство изменницы-жены и казнён ( 1560 ), из-за чего Кардано и переехал в Болонью . Младший сын стал игроком и воровал деньги у отца.

Слайд 18

Никколо Тарталья (1499-1557) – учитель математики - заново открыл метод Даль Ферро. Итальянский математик Тарталья Труды посвящены вопросам математики, механики, баллистики, геодезии, фортификации и др. В сочинении "Новая наука" (1537г.) он показал, что траектория полёта снаряда на всём протяжении есть кривая линия (парабола) и что наибольшая дальность полёта снаряда соответствует углу в 45°. Другая его важная работа - "Общий трактат о числе и мере" (части 1-6, 1556-60г.), который содержит обширный материал по вопросам арифметики, алгебры и геометрии. Имя Тарталья, наряду с именем Дж. Кардано , связано с разработкой способа решения кубических уравнений .

Слайд 19

12 февраля 1535 года между Фиори и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил все предложенные Фиори 30 задач, в то время как сам Фиори не решил ни одной задачи Тартальи.

Слайд 20

Вначале Декарт готовился к военной карьере, но увлекся математикой, которая привлекла его достоверностью своих выводов. Но и ему не было условий для научной работы. Иезуиты выступают против учения Декарта, угрожают ему расправой и заставляют покинуть Францию. Двадцать лет он живет в Голландии, последние два года жизни он провел в Швеции, создавая Академию наук. Климат Швеции подорвал здоровье ученого, и он умирает вдали от родины от воспаления легких. Декарт внес большой вклад в геометрию, алгебру. С его именем связаны такие понятия, как координаты, произведение, парабола, овал и другие. Декарт всю жизнь опасался неодобрения со стороны могущественного ордена иезуитов. Декарт был мишенью для яростных нападок церковников. Впоследствии произведения Декарта были присуждены к сожжению как еретически

Слайд 21

Франсуа Виет (1540-1603) – «отец алгебры» - открыл несколько способов решения уравнений четвертой и пятой степени. Франсуа Виет по образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 по 1584 г. Был советником королей Генриха III , а после его смерти – Генриха IX

Слайд 22

Благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами. Виет нашел общие методы решений уравнений второй, третьей и четвертой степени, унифицировал методы, найденные раннее Ферро и Феррари, а также вывел общеизвестные теперь формулы суммы и произведения корней квадратного уравнения (формулы Виета). Впервые свои исследования по математике Виет опубликовал в книге "Математический канон" в 1574 году. Эта книга печаталась за счет Виета и поэтому вышла очень небольшим тиражом. Его работы были написаны столь трудным для понимания математическим языком, что не нашли такого распространения, которого заслуживали. Все свои математические труды Виет опубликовал в 1591 году в книге „ Isagoge in artem analiti - cam ". Они свидетельствовали о всесторонности его знаний. Спустя 40 лет после смерти Виета его произведения были изданы под общим заглавием “Opera mathematica ”.

Слайд 23

Голландский ученый Андриан Ромен вызвал на поединок всех математиков мира, предложив им решить уравнение 45 степени. Коэффициенты были очень большими числами, один из них был равен 488494125. 53-летний Виет указал 23 корня уравнения, остальные 22 корня были отрицательные, а Виет отрицательных чисел на признавал. Как к Виету пришла слава

Слайд 24

Теорема, выражающая связь между коэффициентам и квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. «Если В + D , умноженное на А минус А 2 , равно BD , то А равно В и равно D ».

Слайд 25

Другие научные заслуги Виета: знаменитые « формулы Виета » для коэффициентов многочлена как функций его корней ; новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения , применимый также для трисекции угла; первый пример бесконечного произведения: полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней; идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений; оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами; частичное решение задачи Аполлония о построении круга, касающегося трёх данных, в сочинении Apollonius Gallus (1600). Решение Виета не проходит для случая внешних касаний. [2]

Слайд 26

« Алгебраические обозначения получают усовершенствование у Виета и Декарта ; начиная с Декарта алгебраическая запись мало чем отличается от современной » . Андронов А.А., советский математик

Слайд 27

«Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть … при помощи названной науки.» Г.В. Лейбниц

nsportal.ru

Решение уравнений высших степеней (графический метод). 9-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Продолжительность: 1 урок (45 минут)

Класс: 9-й класс.

Технологии:

1) технология обработки графической информации( создание интерактивной презентации с управляющими элементами, эффектами анимации в Microsoft PowerPoint и графический редактор Paint)

2) Технология обработки текстовой информации (создание памятки в Microsoft Word)

3) ЦОР 9_21 из единой коллекции цифровых образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru,

4) программная среда “Математический конструктор 3.0” .Инструмент предназначен для создания интерактивных моделей по математике, сочетающих в себе конструирование, динамическое варьирование, эксперимент. Инструмент позволяет строить и анализировать графики функций. Программная среда “Математический конструктор”:

  • может использоваться как дома, так и в школе при различных формах проведения занятий и при различной компьютерной оснащенности учебного класса;
  • позволяет быстрее и эффективнее освоить школьный курс по математике, повышает запоминаемость материала;
  • обеспечивает возможность изучения математики на основе деятельностного подхода за счет внедрения элементов эксперимента и исследования в учебный процесс;
  • повышает степень эмоциональной вовлеченности учеников, обеспечивает возможность постановки творческих задач и организации проектной работы;
  • показывает, как современные технологии эффективно применяются для моделирования и визуализации математических понятий.

Программную среду можно свободно получить на сайте http://school-collection.edu.ru,

Конспект урока

Цели урока.

  • Развивающие: продолжить развивать умения и навыки исследовательской работы, коммуникативные качества личности, познавательный интерес к математике и информатике.
  • Обучающие: научить решать уравнения графическим способом, закрепить навыки построения графиков соответствующих функций и умение решения уравнений в среде математического конструктора.
  • Воспитывающие: воспитывать чувство ответственности, аккуратности, трудолюбия; чувство взаимопомощи, информационной культуры

План урока

  1. Актуализация опорных знаний.
  2. Новый материал.
  3. Первичное закрепление
  4. Обучающая самостоятельная работа.

Ход урока

1. Актуализация опорных знаний.

А) На предыдущих уроках вы знакомились с методами решения уравнений высших степеней. Перечислите изученные методы ( метод разложения на множители, метод введения новой переменной).

Б) Расскажите как решить уравнения

х3-6х2-4х+24=0

х4-4х2-45=0

Первые два уравнения не вызывают затруднений и обучающие быстро называют способ решения, а третье вызывает затруднение – даже раскрыв скобки и представив уравнение виде дроби равной нулю, обучающиеся не могут определить способ решения.

Уравнения такого вида удобнее решить с помощью графиков. А раз использоваться будут графики функций, то и способ называется графический.

Учитель объявляет тему и задачи на урока. Презентация 1.Слайд 1

В) Для успешной работы повторим построение графиков изученных функций, преобразование графиков. Презентация 1. Слайд2,Слайд3

Обучающимся предлагается по графику определить формулу, проговорить этапы построения, приемы преобразования.

2-3.

Изучение нового материала. Первичное закрепление нового материала.

Объяснение нового материала проводиться с использованием ЦОР 9_21 Приложение 1из единой коллекции цифровых образовательных ресурсов. Презентация 1.Слайд3. Переход по управляющей кнопке.

(Обучающиеся имеют возможность в последующей работе пользоваться ЦОР)

Затем обучающиеся с помощью учителя обобщают полученные знания и составляют план решения уравнений графическим способом. Презентация 1. Слайд4

Для первичного закрепления, также используем ЦОР 9-21

4.

Обучающая самостоятельная работа. Презентация 1. Слайд5.

Классу предлагается самостоятельно, в среде математического конструктора решить 4 уравнения.

На каждой парте находиться памятка для работы с математическим конструктором 3.0.

Проверяем решения, подробно комментируем. Презентация 1. Слайд5 и по управляющим кнопкам переходим на Слайды 6-9 и обратно.

5. Итог урока.

Домашнее задание. 1. Выучить план. 2. Решить номера из учебника.

Источники и литература

  1. Алгебра 9: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2000 г.
  2. Миндюк М. Б., Миндюк Я. Г. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс. — М.: Генжер, 2000 г.
  3. Материалы Интернет портала http://school-collection.edu.ru.

Приложение

urok.1sept.ru

Конспект обобщающего урока по алгебре в 9-м классе по теме "Решение уравнений высших степеней"

Цели урока:

  • Образовательные:

- привести в систему знания учащихся по теме «Решение уравнений третьей и четвёртой степеней»;
- повторить теорию решения уравнений;
- выработать умение определять вид уравнения;
- выбирать наиболее рациональные способы решения данного уравнения.

- развитие аналитического мышления;
- развитие умения производить классификацию фактов;
- выработка желания глубины проникновения в предмет.

  • Воспитательные:

- воспитание потребности в знаниях;
- воспитание культуры общения.

Методическая цель урока: реализация вариативной части учебного плана. Углубленное изучение математики.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Эпиграф к уроку:

Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. Л.Н.Толстой.

Или

Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике. О.Лодж.

Ход урока

I. Мотивация учебной деятельности (постановка перед учащимися целей урока, сообщение плана урока)

II. Актуализация опорных знаний

а) Повторение теории решения уравнений:

- что называется уравнением?
- что значит решить уравнение?
- что называется корнем уравнения?
- какие виды уравнений вы знаете?
- способы решения уравнений?

Для работы можно использовать таблицу «Классификация уравнений». (Приложение)

- Какие уравнения относятся к целым, дробным, иррациональным?
- А уравнения с модулем, параметром к каким уравнениям можно отнести?

б) Повторение методов решения уравнений.

Аналитический.

Приёмы:

1) простейшие(приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, приведение дробей к общему знаменателю, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, решение квадратных уравнений по формуле, умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число).

Пример 1.

х(х-6)=х

Решение:

х(х-6)=х | : х≠0
х-6=1
х=7

Обосновать ошибку. Что произошло? Решить уравнение правильно.

Пример 2.

=-1

Решение:

()2=(-1)2
х+3=1
х=-2

Обосновать ошибку. Что произошло? Решить уравнение правильно.

2) разложение на множители (формулы сокращённого умножения, группировка, теорема Безу).

3) введение вспомогательной переменной (следует помнить об ОДЗ самого уравнения и ОДЗ новой переменной).

4) Нетрадиционные приёмы решения:

  • функционально-графический;
  • смешанный.

в) Устная работа по группам.

Задание: классифицировать уравнения по виду и по способу решения.

1. =

2. у2-5у+6=0

3. (х-2)2-2(х-2)-4=0

4. +1=6

5. =х

6. Указать количество корней уравнения 2+|х|=а

7. х3+3х2-4х=0

8. (х-1)22=4-3х

III. Решение уравнений 3 и 4 степени, т.е. решение уравнений

а0 х41х32х23 х+а4=0
а0 х31х22х+а3 =0

Исторический экскурс

Вы знаете, что алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. XVи XVI столетия вошли в историю Европы под названием «эпоха Возрождения». Для неё характерен расцвет науки и культуры. В Европе появились компас, часы, порох, дешёвая бумага, книгопечатание. Развивалась промышленность, требующая технических усовершенствований и изобретений, появляются стимулы для развития науки. Расцвет науки происходит главным образом в Италии, Франции, Германии. Итальянские математики XVI в. сделали крупное математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений 3 и 4 степеней. Николо Тарталья (ребёнок из очень бедной семьи, мать не могла платить за образование, поэтому мальчик в школе узнал только половину азбуки, всеми остальными знаниями он овладел самостоятельно). В 6 лет он получил удар мечом в гортань от французского воина и с тех пор говорил с трудом, отсюда и прозвище Тарталья (заика). Он вывел формулы для решения уравнений 3-ей степени, но своё открытие держал в тайне.

Джироламо Кардано (медик) занимался астрологией, составлял гороскопы. Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить её в секрете. Он не сдержал слово и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа». Ученик Кардано Луиджи Феррари нашёл формулы для решения уравнений 4 степени.

Решение уравнений

№ 1.

х3-9х+х2–9=0

Способ решения данного уравнения - разложение на множители способом группировки.

32)-(9х+9)=0
х2(х+1)-9(х+1)=0
(х+1)(х2-9)=0
(х+1)(х-3)(х+3)=0 Ответ: -3; -1; 3.

№ 2. х3-6х2+11х-6=0

Способ решения данного уравнения – разложение на множители с помощью теоремы Безу.

Один корень найдём подбором. Их следует искать среди делителей свободного члена данного многочлена ±1, ±2, ±3, ±6. Но т.к. сумма коэффициентов многочлена равна 0, то его корнем является 1.По теореме Безу (остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а)равен Р(а). Если а- корень многочлена Р(х), то многочлен делится на (х-а)без остатка). Разделим многочлен 3 степени на двучлен (х-1).

х3-6х2+11х-6=(х-1)(х2-5х+6)
(х-1)(х2-5х+6)=0

Ответ: 1, 2, 3.

№ 3. х4 +5х3+6х2+5х+1=0

(Возвратное или симметричное уравнение – это уравнение, в котором коэффициенты, равностоящие от концов равны.)

Способ решения данного уравнения – деление правой и левой частей уравнения на х2.

Вопрос - почему это можно сделать? Не происходит ли потеря корня?

х2+5х+6++ = 0

2 +)+5(х+) = 0

х+=у (ОДЗ для вспомогательной переменной?)

х2 +=(х+)2-2 = у2-2

у2-2+5у+6=0

у1=-4; у2=-1

х+=-4, х=-2

х +=-1, корней нет.

Ответ: -2 -; -2+.

№ 4. х5+6х4+11х3+11х2+6х+1=0

Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень х=-1 (применим теорему Безу), после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения на двучлен (х+1) приводится к возвратному уравнению чётной степени. Решение можно заранее подготовить (на доске, показать через проектор) и в целях экономии времени не решать.

(х+1)(х4+5х3+6х2+5х+1)=0 (см. предыдущий пример)

№ 5. (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40

Уравнение сводится к квадратному, если сумма чисел любых двух скобок равна сумме чисел двух других скобок.

2+6х+5)(х2+6х+8)=40

ух2+6х

(у+5)(у+8)=40

у2+13у=0

х2+6х=0 х2+6х=-13, корней нет, т.к. D<0

Ответ: -6, 0.

IV. Домашнее задание

3+8х-х2-4=0
3-12х2+22х-12=0
4-35х3+62х2-35х+6=0
(х+1)(х+2)(х+4)(х+3)=15

V. Подведение итогов урока

Список литературы

1. М.И. Сканави «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы», Москва «ОНИКС 21 век », «Мир и Образование», 2002.
2. В. М. Говоров, П.Т. Дыбов, Н.В. Мирошин, С.Ф. Смирнова «Сборник конкурсных задач поматематике для поступающих в ВУЗы», Москва «ОНИКС 21 век », «Мир и Образование», 2003.
3. А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский «Справочник по методам решения задач по математике», Москва «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1989.

urok.1sept.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Алгебра

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 +
+ a3x + a4 = 0,
(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 +
+ cx + d = 0,
(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари(3)

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,(5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(7)

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

или, раскрыв скобки, - в виде

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(10)

а также квадратное уравнение

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4x3 – 4x2
– 20x – 5 = 0.
(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 =
= (y – 1)4 + 4(y – 1)3
– 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 +
+ 4y3 – 12y2 + 12y – 4 –
– 4y2 + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

Ответ.

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 =
= (y2 – 2y – 4) (y2 +
+ 2y – 2).
(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

www.resolventa.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск