Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса.
Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выберите количество неизвестных величин: 2345
Заполните систему линейных уравнений
Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.
Решить системуВоспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса
На нашем сайте решение происходит в режиме онлайн, каждый шаг решения имеет подробное описание, поэтому вы с легкость сможете освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Также мы применяем наиболее полную форму метода Гаусса, когда матрица приводится не к диагональному виду, а к единичной форме. В этом случае правая колонка и будет представлять значения неизвестных переменных. При этом нет необходимости вычислять новые неизвестные через ранее рассчитанные.
matematikam.ru
Решение уравнений методом Гаусса онлайн калькулятор
Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса позволяет максимально легко и быстро решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Успех данного метода заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений. Сегодня решить систему алгебраических уравнений онлайн методом Гаусса можно с помощью специальных решательов, но ниже мы разберем решение системы линейных уравнений, чтобы наглядно на примере увидеть все его достоинства.
Так же читайте нашу статью «Решить уравнение матричным способом онлайн решателем»
Допустим, дана система линейных уравнений:
\[\left\{\begin{matrix} 2\cdot x_1+4\cdot x_2+1\cdot x_3 = 36\\ 5\cdot x_1 + 2 \cdot x_2 +1 \cdot x_3 =47\\ 2\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 4 \cdot x_3 = 37 \end{matrix}\right.\]
Представим ее в матричной форме:
\[\begin{bmatrix} 2 & 4 & 1\\ 5 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 36\\ 47\\ 37 \end{bmatrix}\]
Выберем строку с максимальным коэффициентом \[a_i1\] и меняем ее с первой.
\[\begin{bmatrix} 5 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 1\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 47\\ 36\\ 37 \end{bmatrix}\]
Нормируем уравнения относительно коэффициента при \[x_1\]:
\[\begin{bmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\\ 2 & \frac{4}{2} & \frac{1}{2}\\ 2 & \frac{3}{2} & \frac{4}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{47}{5}\\ \frac{36}{2}\\ \frac{37}{2} \end{bmatrix} \]
\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1.5 & 2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 9.6\\ 9.1 \end{bmatrix}\]
Вычитаем 1 уравнение из 2 и 3:
\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1.6 & 0.3\\ 0 & 1.1 & 1.8 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 8.6\\ 9.1 \end{bmatrix}\]
Выбираем строку с наибольшим коэффициентом при \[a_i2\] (уравнение 1 не рассматривается) и перемещаем ее на место 2.
\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1.6 & 0.3\\ 0 & 1.1 & 1.8 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 8.6\\ 9.1 \end{bmatrix}\]
Нормируем 2 и 3 уравнения относительно коэффициента при \[x_2\]
\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1 & 0.1875\\ 0 & 1 & 1.636 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 5.375\\ 8.272 \end{bmatrix}\]
Вычитаем уравнение 2 из 3
\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1 & 0.1875\\ 0 & 0 & 1.4489 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 5.375\\ 2.897 \end{bmatrix}\]
Нормируем уравнение 3 относительно коэффициента при \[x_3\]
\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1 & 0.166\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 5.333\\ 2 \end{bmatrix}\]
Откуда получаем \[x_3=2\]. Подставляем полученное значение в уравнения 2 и 1 получаем
\[x_2 = 5.333 — 0.1666 \cdot 2 = 5.333 — 0.333 =5\]
\[x_1+0.4 \cdot x_2 = 9.4 — 0.2 \cdot 2 = 9.4 — 0.4=9\]
Подставляя полученное значение \[x_2=5\] в уравнение 1, найдем
\[x_1 = 9 — 0.4 \cdot 5 = 9 — 2 = 7\]
Таким образом, решением системы уравнений будет вектор
\[x =\begin{bmatrix} 7 & 5 & 2 \end{bmatrix}^T\].
Где можно решить уравнение методом Гаусса онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения
Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.
Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:
Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.
Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.
В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).
Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.
Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).
Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных
1 2 -3 5 1 1 3 -13 22 -1 3 5 1 -2 5 2 3 4 -7 4СЛАУ в матричном виде
Количество решений
Коэффициенты решения
save Сохранить share Поделиться extension Виджет
1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Откуда обратным ходом находим единственное решение:
Система совместна и определена.
2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
В результате приходим к системе:
Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:
поэтому их можно отбросить.
Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.
При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения
Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.
3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:
не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.
4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим
Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.
5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система имеет вид:
Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:
которые можно отбросить.
Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:
planetcalc.ru
Калькулятор линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений
Как решать линейные уравнения
Каждое уравнение в системе является линейным – алгебраическим уравнением первой степени. Также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ.
Коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные в классическом варианте считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются, либо естественным образом обобщаются, на случай любых полей, к примеру, комплексных чисел.
В зависимости от количества уравнений в системе алгебраических уравнений, содержится столько же переменных. Например, если уравнения два, то и в системе уравнений будет две переменные, x и y. Решением такой системы алгебраических уравнений будут всевозможные пары (x, y), при подстановке которых в каждое уравнение системы будет получаться верное равенство.
Системы алгебраических уравнений часто записывают в матричной форме, значения которой будут соответствовать соответствующим коэффициентам уравнений в системе. А значит для решения алгебраических уравнений можно использовать калькулятор.
Решением алгебраических уравнений могут быть пары как целых, так и дробных чисел. В системе линейных алгебраических уравнений не допускается возведение в степень и извлечение корня, иначе они перестанут быть линейными.
Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных способов для этого. Вы можете решить систему алгебраических уравнений, используя онлайн калькулятор. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.
«Решение системы линейных уравнений методом Крамера»
«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса»
Также читайте нашу статью «Калькулятор матриц онлайн»
Бесплатный онлайн калькулятор линейных уравнений
Наш бесплатный решатель линейных уравнений и любых функций позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Как решить линейное уравнение методом Гаусса онлайн
Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса является самым действующим способом решения систем линейных уравнений, поскольку ни метод Крамера, ни матричный метод не работают в условиях, когда система имеет бесконечное количество решений или несовместна. Однако последовательное исключение неизвестных, что и заложено в основу метода Гаусса, приведет к решению любых линейных систем.
Так же читайте нашу статью «Решить логарифмическое уравнение онлайн решателем»
Решим следующую систему линейных уравнений методом Гаусса:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]
Сделаем расширенную матрицу:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Используя 2 уравнение, избавимся от переменной \[x_2\] в последующих уравнениях:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Выполним исключение переменной \[x_2\] из 3 и 4 уравнений. К 3 строке добавим 2, умноженную на \[\frac{1}{4}, \] а к \[4 — 2,\] умноженную на \[\frac{7}{1}. \]
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[-\frac{18}{18}=-1.\] Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]
Основываясь на полученных данных, делаем вывод, что полученная и данная системы — совместны и определённы. Искомое решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения имеем
\[x_4=-\frac{7}{18}.\]
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40,\]
откуда
\[x_3=\frac{13}{9}.\]
Далее, подставляем значения \[x_3\] и \[x_4\] во второе уравнение системы:
\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8,\]
т.е.
\[x_2=-\frac{43}{18}.\]
Наконец, подстановка значений \[x_2, x_3, x_4\] в первое уравнение даёт:
\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1,\]
Получаем:
\[x_1=\frac {2}{3}.\]
Ответ:
\[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18}).\]
Где можно решить линейные уравнения методом Гаусса онлайн?
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Система линейных уравнений вида:
может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.
Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т. е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:
Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
8 3 4 5 31 14 4 33 23 17 15 4 23 7 22 4 11 17 1 51СЛАУ в матричном виде
Точность вычисленияЗнаков после запятой: 2
Количество решений
Вектор решения системы уравнений
save Сохранить share Поделиться extension Виджет
Метод Гаусса
Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н. э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).
Приведение матрицы к ступенчатому виду
На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:
Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних строк матрицы, помноженных на , верхних строк , помноженных на коэффициент , где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.
Выражение базисных переменных
Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент , затем производится обратное вычитание из верхних строк , этой строки , помноженных на коэффициент , где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк). Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент , в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.
planetcalc.ru
Решение матриц методом Гаусса, с примерами
Метод Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и для нахождения обратной матрицы. Начнем с нахождения обратной матрицы.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Гаусса
1. Пусть задана квадратная матрица
припишем к столбцам матрицы справа столбцы единичной матрицы того же порядка. Получим матрицу
2. С помощью элементарных преобразований строк приведем матрицу к матрице, в левой части которой будет стоять единичная матрица:
3. Полученная таким образом матрица, стоящая в правой части матрицы , и будет обратной матрицей к матрице
Алгоритм применения метода Гаусса для решения СЛУ
Пусть задана система линейных уравнений
Записывается матрица – расширенная матрица этой системы:
Над строками матрицы производятся элементарные преобразования: разрешается изменять порядок строк, умножать строки на любые отличные от нуля числа и прибавлять к любой строке матрицы любую другую её строку, умноженное на произвольное число. В результате таких элементарных преобразований основная матрица системы должна быть приведена к нижнему треугольному виду
Эта матрица эквивалентна системе линейных уравнений
Из этой системы последовательно снизу вверх выражаются все неизвестные переменные.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com